[Ολοκληρωτική μορφή του νόμου του Gauss στο κενό ή τον αέρα]
|
|
- Φίλητος Ζάχος
- 8 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Παν/μιο Πατρών Τμήμα Φυσικής. Μάθημα : Ηλκτρομαγνητισμός Ι (Υποχρωτικό 3 ου Εξαμήνου) ΠΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΤΡΩΝ - ΤΜΗΜ ΦΥΣΙΚΗΣ ΜΘΗΜ : HΛΕΚΤΡΟΜΓΝΗΤΙΣΜΟΣ Ι (Υποχρωτικό 3 ου Εξαμήνου) Διδάσκων :Δ.Σκαρλάτος, Επίκουρος Καθηγητής ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ # 1: Ο ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ GAUSS Ο νόμος του Gauss αποτλί έναν από τους θμλιώδις νόμους του Ηλκτρομαγνητισμού, δδομένου ότι αποτλί μία μορφή σύνδσης του ηλκτρικού πδίου μ τις πηγές του (σημιακά φορτία ή συνχίς κατανομές φορτίου).δηλώνι ότι η ηλκτρική ροή που διαπρνά μία κλιστή πιφάνια που πρικλίι έναν καθορισμένο όγκο ίναι ανάλογη του ολικού καθαρού (μ την έννοια του αλγβρικού αθροίσματος) φορτίου που πρικλίται στον όγκο αυτό.η διαπίστωση αυτή κφράζται μ την πολύ απλή μαθηματική σχέση : i E= [Ολοκληρωτική μορφή του νόμου του Gauss στο κνό ή τον αέρα] κλιστ ή πιϕάνια που αποτλί και την ολοκληρωτική μορφή του νόμου. Στην παραπάνω έκφραση το κλιστό πιφανιακό ολοκλήρωμα του πρώτου μέλους αντιπροσωπύι την ολική καθαρή ροή (διαφορά ξρχόμνης και ισρχόμνης) του ηλκτρικού πδίου διαμέσου της κλιστής πιφάνιας και η ποσότητα το ολικό καθαρό φορτίο (μ την έννοια του αλγβρικού αθροίσματος θτικών και αρνητικών φορτίων) που πρικλίται από την πιφάνια αυτή.στην συνέχια θα παραθέσομ την απόδιξη του νόμου στις πριπτώσις κλιστής πιφάνιας που πρικλίι σημιακό φορτίο, σύνολο σημιακών φορτίων και συνχή κατανομή φορτίου.θα πρέπι όμως πρώτα να διαβαστί το Παράρτημα στο τέλος του φυλλαδίου. (i) Σημιακό φορτίο.θωρούμ μία κλιστή πιφάνια τυχαίου σχήματος που πρικλίι ένα (έστω θτικό) σημιακό φορτίο q,όπως φαίνται στο Σχήμα (α).είναι ήδη γνωστό ότι η ένταση του ηλκτρικού πδίου του συγκκριμένου φορτίου κατυθύνται ακτινικά προς τα έξω, όπως και οι δυναμικές γραμμές του πδίου.το Σχήμα δίχνι ένα στοιχιώδς τμήμα της πιφάνιας που αντιπροσωπύται από το διάνυσμα = n ˆ, όπου ˆn το μοναδιαίο κάθτο στην στοιχιώδη πιφάνια διάνυσμα.στο τμήμα αυτό ικονίζται και το διάνυσμα της έντασης του ηλκτρικού πδίου. Για την ολική ροή που διαπρνά την κλιστή πιφάνια θα έχομ ότι : cos E Ecos q cos q d A θ Φ= i = θ = θ = 4π 4π Ο όρος cosθ αντιπροσωπύι την προβολή της στοιχιώδους πιφάνιας σ πιφάνια κάθτη στην ένταση και τις δυναμικές γραμμές του ηλκτρικού πδίου του φορτίου.η πιφάνια αυτή μπορί κάλιστα να ανήκι σ μία σφαίρα ακτίνας μ κέντρο το φορτίο q.κατά συνέπια η ποσότητα cosθ αντιπροσωπύι τη στρά γωνία που σχηματίζται μ κορυφή το φορτίο q και βάση του αντίστοιχου κώνου της την στοιχιώδη πιφάνια cosθ.κατά συνέπια θα έχομ ότι: q q q Φ= d 4π 4π Ω= = 4π Σϕαί ρα ακτ ίνας (ii) Σύνολο διακριτών σημιακών φορτίων.στην πρίπτωση όπου ένα σύνολο σημιακών φορτίων πρικλίται από μία κλιστή πιφάνια, όπως φαίνται στο Σχήμα (β), σ κάθ στοιχίο πιφανίας η ένταση του συνολικού ηλκτρικού πδίου θα ίναι : E = E1+ E +... En Κατά συνέπια : q1 q qn Φ= ( E1+ E +... En ) i = [ cosθ 1+ cos θ cos θ ] n = 4π 4π 4π 1 n 1 cosθ1 cosθ cosθ n = q1 q... q n 4π = A A n 1 1 q1+ q +... q = q1 dω 1+ q dω q1 dω 4π = ( q14π + q4 π +... qn 4π) = 4π ( ) Στην πρίπτωση αυτή τα φορτία πρέπι να λαμβάνονται μ το πρόσημό τους, δδομένου ότι αυτό καθορίζι το άν η ροή του ηλκτρικού τους πδίου ίναι ξρχόμνη ή ισρχόμνη στην κλιστή πιφάνια.συγκκριμένα στο Σχήμα (β) θα έχομ ότι η ροή μέσω της στοιχιώδους πιφάνιας για τα φορτία q1 και q ίναι θτική n 1
2 Παν/μιο Πατρών Τμήμα Φυσικής. Μάθημα : Ηλκτρομαγνητισμός Ι (Υποχρωτικό 3 ου Εξαμήνου) (ξρχόμνη από την κλιστή πιφάνια),νώ για το φορτίο q3 ίναι αρνητική (δηλαδή ισρχόμνη στην κλιστή πιφάνια). (iii)συνχής κατανομή φορτίου. Έστω μία συνχής κατανομή φορτίου όγκου και συνολικού φορτίου που πρικλίται από μία κλιστή πιφάνια τυχαίου σχήματος, όπως φαίνται στο Σχήμα (γ).θωρούμ ότι η συνχής κατανομή φορτίου αποτλέιται από στοιχιώδη φορτία dq.σ ένα σημίο που οριοθτί το κέντρο νός στοιχίου πιφανίας το στοιχιώδς ηλκτρικό πδίο θα ίναι : 1 dq de = ' ' 4π ( ) Η στοιχιώδης ηλκτρική ροή dφ Διαμέσου της πιφάνιας που οφίλται στο φορτίο dq θα ίναι : 1 dq dq cosθ dq dq dq Φ= de i = cosθ d 4π 4π = 4π = Ω= = 4π 4π ϕα ρα ' ' Σ ί ί ' Κατά συνέπια η ολική ροή λόγω της συνολικής συνχούς κατανομής θα ίναι : dq Φ = = κτ νας (α) (β) (γ) ΣΧΗΜ.Για την απόδιξη της ολοκληρωτικής μορφής του νόμου του Gauss.
3 Παν/μιο Πατρών Τμήμα Φυσικής. Μάθημα : Ηλκτρομαγνητισμός Ι (Υποχρωτικό 3 ου Εξαμήνου) Ο νόμος του Gauss όπως ξτέθι ίναι μία ολοκληρωτική ξίσωση που ύκολα μπορί να μτατραπί σ διαφορική.θωρούμ μία κλιστή πιφάνια που πρικλίι έναν όγκο μέσα στην οποία βρίσκται μία κατανομή φορτίου όγκου μ (σταθρή ή μταβλητή) πυκνότητα φορτίου ρ, όπως φαίνται στο Σχήμα Β. Μ βάση το νόμο του Gauss θα έχομ ότι: Θώρημα της ποκλίσως Φ = dei = de = ( E) d = i Παράλληλα θα ισχύι και η γνωστή σχέση : = ρd ' = ρd ' όπου πκτίναμ κ του ασφαλούς τον όγκο ολοκλήρωσης από σ δδομένου ότι ο υπόλοιπος όγκος - δν πριέχι φορτίο και δν συνισφέρι στο ολοκλήρωμα. Κατά συνέπια θα έχομ ότι : E d = ( ) Δδομένου ότι η παραπάνω σχέση ξήχθι για τυχαία κλιστή πιφάνια που πρικλίι τυχαίο όγκο θα έχομ ότι γνικά ισχύι: ρ E = ρd [Διαφορική μορφή του νόμου του Gauss στο κνό ή τον αέρα] σχέση που αποτλί και την διαφορική μορφή του νόμου του Gauss. Κατά συνέπια η απόκλιση νός ηλκτρικού πδίου ίναι ανάλογη της πυκνότητας φορτίου που αποτλί την πηγή του. Η απόκλιση του ηλκτρικού πδίου στα βασικά συστήματα συντταγμένων έχι την μορφή: Καρτσιανές (x,y,z): Σφαιρικές (,θ,φ): Κυλινδρικές (,φ,z): E E E E x y z x y = + + z ( E ) ( E sθ ) 1 1 θ 1 Eϕ E = + + sθ θ sθ ϕ ( E ) 1 1 Eϕ E E = + + ϕ z z ΣΧΗΜ Β. Για την απόδιξη της διαφορικής μορφής του νόμου του Gauss. Στο σημίο αυτό μπορούμ να κάνομ μία σιρά παρατηρήσων πάνω σ αυτόν τον πολύ βασικό νόμο. (α) Τι δηλώνι ο νόμος του Gauss.Η ολοκληρωτική μορφή του νόμου δηλώνι ρητά ότι η καθαρή ηλκτρική ροή διαμέσου μίας κλιστής πιφάνιας οφίλται αποκλιστικά στα φορτία που αυτή πρικλίι.κανένα ξωτρικό φορτίο δν συνισφέρι σ καθαρή ροή διαμέσου αυτής. υτό ίναι ένα κ των προτέρων αναμνόμνο 3
4 Παν/μιο Πατρών Τμήμα Φυσικής. Μάθημα : Ηλκτρομαγνητισμός Ι (Υποχρωτικό 3 ου Εξαμήνου) αποτέλσμα.στο Σχήμα Γ(α) όπου ικονόζται το ηλκτρικό πδίο νός θτικού σημιακού φορτίου που ίναι ξωτρικό μίας κλιστής πιφάνιας.το πλήθος των δυναμικών γραμμών που ισέρχται σ αυτήν ίναι ίσο μ το πλήθος αυτών που ξέρχονται από αυτήν δημιουργώντας έτσι μηδνική καθαρή ροή διαμέσου αυτής.παράλληλα άν ένα πλήθος κλιστών πιφανιών 1,, 3 διαφορτικού σχήματος γκλωβίζουν το ίδιο φορτίο στο σωτρικό τους [όπως φαίνται στο Σχήμα Γ(β)], η καθαρή ροή του ηλκτρικού του πδίου διαμέσου αυτών θα ίναι η ίδια και ίση μ q/, καθώς το ίδιο πλήθος δυναμικών γραμμών τις διαπρνά όλς. Τέλος στην πρίπτωση του Σχήματος Γ(γ) όπου διακρίνται ένα σωτρικό και ένα ξωτρικό ως προς μία κλιστή πιφάνια φορτίο, η καθαρή ηλκτρική ροή διαμέσου αυτής θα οφίλται αποκλιστικά στο πρικλιόμνο φορτίο.στην έκφραση όμως του νόμου του Gauss κλιστ ή πιϕάνια E i = = η ένταση E αντιπροσωπύι το συνολικό ηλκτρικό πδίο σ κάθ σημίο του χώρου που οφίλται τόσο στο ξωτρικό φορτίο q όσο και στο σωτρικό φορτίο E = E + E q Παράλληλα η διαφορική μορφή του νόμου αναδικνύι πληρέστρα και το φυσικό του πριχόμνο συνδέοντας άμμσα το ηλκτρικό πδίο μ την πηγή του (μην παραβλέπτ ότι για την απόδιξή της πρικλίσαμ την πηγή του πδίου σ μία κλιστή πιφάνια).η απόκλιση του πδίου ίναι ανάλογη της πυκνότητας φορτίου που το παράγι. (α) (β) q (+) E = E + E q A (+) (γ) ΣΧΗΜ Γ. Για την ανάδιξη του φυσικού πριχομένου του Νόμου του Gauss. 4
5 Παν/μιο Πατρών Τμήμα Φυσικής. Μάθημα : Ηλκτρομαγνητισμός Ι (Υποχρωτικό 3 ου Εξαμήνου) (β) Χρήση του νόμου του Gauss για τον υπολογισμό ντάσως ηλκτρικών πδίων.ο νόμος του Gauss μ την μαθηματική απλότητα που τον χαρακτηρίζι αποτλί ένα πανίσχυρο ργαλίο για τον ύκολο υπολογισμό ηλκτρικών πδίων που προέρχονται από πηγές που παρουσιάζουν σφαιρική, κυλινδρική ή συμμτρία πιπέδου.στην πρίπτωση αυτή η γνική μθοδολογία που ακολουθίται ίναι η ξής: Θωρούμ μια φανταστική κλιστή πιφάνια που πριβάλλι την πηγή του πδίου και έχι την ίδια συμμτρία μ αυτήν. Η νοητή αυτή πιφάνια ονομάζται πιφάνια Gauss και ίναι: Σφαίρα στην πρίπτωση σφαιρικής συμμτρίας της πηγής Κύλινδρος στην πρίπτωση κυλινδρικής συμμτρίας της πηγής Παραλληλπίπδο ή κύλινδρος που τέμνι το πίπδο στην πρίπτωση συμμτρίας πιπέδου. Οι συνήθις πιφάνις Gauss ικονίζονται στο ακόλουθο Σχήμα Δ. Εφαρμόζομ τον νόμο του Gauss στην υποθτική κλιστή πιφάνια που πριβάλλι την πηγή.λόγω της συμμτρίας της πηγής η ένταση του ηλκτρικού πδίου σ όλα τα σημία της πιφάνιας Gauss θα έχι το ίδιο μέτρο και κατά συνέπια βγαίνι έξω από το αντίστοιχο πιφανιακό ολοκλήρωμα σαν σταθρά που αναζητίται.δηλαδή: κλιστ ή πιϕάνια Gauss i = ± = E E κλιστ ή πιϕάνια Gauss Επιφάνια Gauss Επιφάνια Gauss Επιφάνια Gauss ΣΧΗΜ Δ. Οι συνήθως χρησιμοποιούμνς πιφάνις Gauss. 5
6 Παν/μιο Πατρών Τμήμα Φυσικής. Μάθημα : Ηλκτρομαγνητισμός Ι (Υποχρωτικό 3 ου Εξαμήνου) (γ)εξαγωγή του Νόμου του Coulomb από τον νόμο του Gauss.Υπάρχι πλήρης ισοδυναμία μταξύ του νόμου του Gauss και του νόμου του Coulomb.Η απόδιξη του νόμου του Gauss στηρίχθηκ στην ισχύ του νόμου του Coulomb και στην ιδιότητα του να ίναι «νόμος αντιστρόφου ττραγώνου της απόστασης».σ πρίπτωση διαφορτικής ξάρτησης της δύναμης (και κατά συνέπια της έντασης) από την απόσταση,η τυχαία πιφάνια δν θα μπορούσ να προβληθί ισότροπα σ πιφάνια σφαίρας μ κέντρο το σημιακό φορτίο και η συνολική ροή του ηλκτρικού πδίου θα ξαρτώνταν κυρίως από το τυχαίο σχήμα της πιφάνιας και όχι από το συνολικό φορτίο που αυτή πρικλίι. ντίστροφα ο νόμος του Coulomb μπορί να ξαχθί σαν μία φαρμογή του νόμου του Gauss,όπως φαίνται στη συνέχια. Θωρούμ το θτικό σημιακό φορτίο του Σχήματος.Επιθυμούμ να υπολογίσομ την ένταση του ηλκτρικού πδίου του συναρτήσι της απόστασης από αυτό.το πρόβλημα παρουσιάζι προφανή σφαιρική συμμτρία και για τον λόγο αυτό θωρούμ την νοητή σφαιρική πιφάνια Gauss ακτίνας του Σχήματος.Λόγω της συμμτρίας του προβλήματος η ένταση του ηλκτρικού πδίου του φορτίου θα έχι το ίδιο μέτρο σ όλα τα σημία αυτής της πιφάνιας κατυθυνόμνη ακτινικά προς τα έξω. Κατά συνέπια φαρμόζοντας τον νόμο του Gauss θα έχομ ότι : πιϕάνια E i = = = πιϕάνια Ecos = E = πιϕάνια ( Enˆ ) i E( 4π ) = E = 4π πιϕάνια Ή διανυσματικά : E = 4π ˆ Παρατηρούμ ότι καταλήγομ στην γνωστή έκφραση της έντασης του ηλκτρικού πδίου σημιακού φορτίου.εάν τώρα σ απόσταση από αυτό φέρομ ένα σημιακό φορτίο q, η δύναμη που θα δχθί από την πηγή του πδίου θα ίναι: q F = qe = ˆ 4π που ίναι η γνωστή έκφραση του νόμου του Coulomb. Σημίωση: Εάν το φορτίο ήταν αρνητικό η ένταση θα ίχ φορά προς αυτό και πομένως : E= = En = E = E = i ( iˆ) cos18 πιϕάνια πιϕάνια πιϕάνια πιϕάνια E( 4π ) = E = 4π Ή διανυσματικά : E = 4π Παρά την ισοδυναμία των νόμων Gauss και Coulomb, η ισχύς του πρώτου πκτίνται και πέραν των ορίων της ηλκτροστατικής.ισχύι δηλαδή και για την πρίπτωση χρονοξαρτημένων ηλκτρικών πδίων Ε(,t).Για τον λόγο αυτό ο νόμος του Gauss θωρίται πιό γνικός από αυτόν του Coulomb αποτλώντας ένα από τα θμέλια του Ηλκτρομαγνητισμού. ˆ 6
7 Παν/μιο Πατρών Τμήμα Φυσικής. Μάθημα : Ηλκτρομαγνητισμός Ι (Υποχρωτικό 3 ου Εξαμήνου) (δ) ντίστοιχη έκφραση που ονομάζται «Νόμος του Gauss στο βαρυτικό πδίο» ίναι δυνατόν να ξαχθί και στην πρίπτωση της βαρυτικής αλληλπίδρασης όντας ισοδύναμος στην πρίπτωση αυτή μ τον νόμο της παγκοσμίου έλξως.κατά συνέπια ένας «νόμος Gauss» μπορί να ξαχθί για κάθ πδίο δυνάμων που η δύναμη ακολουθί έναν νόμο αντιστρόφου ττραγώνου σ σχέση μ την απόσταση από την πηγή του πδίου. () Εφαρμογή του νόμου του Gauss σ κοιλότητς που δν πριέχουν φορτίο.θωρούμ έναν πολύ λπτό θτικά φορτισμένο αγώγιμο φλοιό ακτίνας α και αμλητέου πάχους.εάν ζητηθί ο υπολογισμός του ηλκτρικού πδίου στο σωτρικό του, όπου δν υπάρχι φορτίο, η συμμτρία του προβλήματος υπαγορύι την φαρμογή του νόμου του Gauss θωρώντας στο σωτρικό της σχηματιζόμνης κοιλότητας μία φανταστική σφαιρική πιφάνια Gauss ακτίνας <α [Σχήμα Ε(α)].Θα έχομ πομένως ότι: πιϕάνια E i = = Ε= Η αυστηρότητα της παραπάνω προσέγγισης μπορί να αμφισβητηθί, δδομένου ότι ο λπτός φλοιός φαίνται κ πρώτης όψως ότι δημιουργί ηλκτρικό πδίο στην σωτρική αυτή κοιλότητα μ φορά μάλιστα προς το σωτρικό της.μια πιό λπτομρής ανάλυση οδηγί στο ίδιο αποτέλσμα,ακολουθώντας την προσέγγιση του Σχήματος Ε(β). Θωρούμ ένα σωτρικό σημίο της κοιλότητας που δέχται την πίδραση δύο αντιδιαμτρικών στοιχιωδών πιφανιών του φλοιού 1 και που τα κέντρα τους απέχουν απόστάσις 1 και αντίστοιχα από το σημίο.οι στοιχιώδις ντάσις από κάθ τμήμα στο σημίο αυτό θα ίναι συγγραμμικές και αντίρροπς μ μέτρα: d σ dε = = = dω π 1 4π 1 4π d σ dε = = = σ σ dω 4π 4π 4π όπου σ η πιφανιακή πυκνότητα φορτίου του φλοιού και dω1,dω οι αντίστοιχς σχηματιζόμνς στρές γωνίς μ κορυφή το ν λόγω σημίο.οι γωνίς αυτές ίναι ίσς ως κατά κορυφήν και κατά συνέπια τα μέτρα των ντάσων ίναι ίσα.κατά τον ίδιο τρόπο αλληλοαναιρούνται και οι συνισφορές των άλλων αντιδιαμτρικών τμημάτων του φλοιού.κατά συνέπια η ολική ένταση στο συγκκριμμένο τυχαίο σημίο ίναι μηδέν. Η απόδιξη αυτή ίναι γνικότρη και μπορί να φαρμοσθί και στην πρίπτωση κοιλοτήτων ακαθόριστου σχήματος όπου η έλλιψη συμμτρίας δν υνοί την φαρμογή του νόμου του Gauss. Κατά συνέπια το ηλκτρικό πδίο σ μία κοιλότητα τυχαίου σχήματος που δν πριέχι φορτίο ίναι μηδέν. Επιφάνια Gauss de 1 dω 1 de dω 1 1 (α) (β) ΣΧΗΜ E. 7
8 Παν/μιο Πατρών Τμήμα Φυσικής. Μάθημα : Ηλκτρομαγνητισμός Ι (Υποχρωτικό 3 ου Εξαμήνου) ΠΡΡΤΗΜ : Η ΕΝΝΟΙ ΤΗΣ ΣΤΕΡΕΣ ΓΩΝΙΣ Για την κατανόηση της έννοιας της στράς γωνίας ίναι χρήσιμο να ξκινήσομ από το ακόλουθο διδιάστατο πρόβλημα που ικονίζται στο Σχήμα.Έστω ότι πιθυμούμ να προβάλομ ένα στοιχιώδς μήκος Δ σ πριφέρια κύκλου ακτίνας.η προβολή του θα ίναι ένα στοιχιώδς τόξο για το οποίο θα ισχύι ότι: Δs=Δθ Κατά συνέπια η προβολή του στην πριφέρια κύκλου καθορίζται αποκλιστικά από την γωνία Δθ=Δs/, η οποία μτράται σ ακτίνια [Εάν το στοιχιώδς μήκος και το αντίστοιχο τόξο ίναι απιροστά μικρά μπορούμ κ του ασφαλούς να θωρήσομ το τρίγωνο ΒΓ ως ορθογώνιο και κατά συνέπια θα έχομ ότι:ds=dθ=dcosψ] Y Δθ Δs Β Δ ψ Γ 9 X Η έννοια της στράς γωνίας υπισέρχται όταν θέλομ να πκτίνομ το πρόβλημα στην προβολή μίας στοιχιώδους πιφάνιας σ πιφάνια σφαίρας ακτίνας, όπως ικονίζται στο ακόλουθο Σχήμα. ˆn γ ˆ ˆn Z d d θ ˆ O φ dω Επιφάνια Σφαίρας κτίνας d Y Επιφάνια Σφαίρας κτίνας X 8
9 Παν/μιο Πατρών Τμήμα Φυσικής. Μάθημα : Ηλκτρομαγνητισμός Ι (Υποχρωτικό 3 ου Εξαμήνου) Η πιφάνια d αναπαριστάται από ένα κάθτο σ αυτή διάνυσμα μ μέτρο όσο το μβαδόν της σύμφωνα μ τη σχέση: d = dnˆ όπου ˆn το μοναδιαίο κάθτο στην πιφάνια διάνυσμα. Η προβολή της πιφάνιας d στην πιφάνια σφαίρας ακτίνας θα ίναι: d= ' d ˆ= d ( nˆ ˆ) = d cosγ = sθdθdϕ Η προβολή της πιφάνιας d στην πιφάνια ομόκντρης σφαίρας ακτίνας θα ίναι κατά τον ίδιο τρόπο: d '' = ' sθdθdϕ Παρατηρούμ ότι και οι δύο προβολές αποτλούν βάσις κώνων μ κορυφή την αρχή των αξόνων και συνυθιακά ύψη. Η στοιχιώδης στρά γωνία ορίζται ως το αδιάστατο μέγθος ' d'' dω= = = sθdθdϕ ' και αντιπροσωπύι την βάση του κώνου που αντιστοιχί στην προβολή της πιφάνιας σ σφαίρα μ ακτίνα το μοναδιαίο διάνυσμα ˆ μέσα από την οποία «φαίνονται» και οι προβολές και. Ισχύι δ ότι : dω= sθdθdϕ = 4π Επιϕάνια Σϕαίρας Επιϕάνια Σϕαίρας Γνικώτρα η στρά γωνία ορίζται ως ΔA ΔΩ = όπου Δ το τμήμα πιφανίας μίας σφαιρικής πιφάνιας ακτίνας και ίναι ένα αδιάστατο μέγθος που μτράται σ στρακτίνια (steadians ή συντομογραφικά steads). 9
Νόμος του Gauss 1. Ηλεκτρική Ροή ( πλήθος δυναμικών γραμμών). είναι διάνυσμα μέτρου Α και κατεύθυνσης κάθετης στην επιφάνεια. Στην γενική περίπτωση:
Νόμος του Gauss 1. Ηλκτρική Ροή ( πλήθος δυναμικών γραμμών). ( a) cosφ ( b) ίναι διάνυσμα μέτρου Α και κατύθυνσης κάθτης στην πιφάνια. Στην γνική πρίπτωση: d d d ( ) (πιφανιακό ολοκλήρωμα) Νόμος του Gauss
Διαβάστε περισσότεραΣτοιχεία από τη Γεωμετρία του χώρου (αναλυτικά στο βιβλίο: Ευκλείδεια Γεωμετρία Α και Β Ενιαίου Λυκείου)
Στοιχία από τη Γωμτρία του χώρου (αναλυτικά στο βιβλίο: Ευκλίδια Γωμτρία Α και Β Ενιαίου Λυκίου) Σχήματα των οποίων τα σημία δν βρίσκονται όλα στο ίδιο πίπδο ονομάζονται γωμτρικά στρά (π.χ. σφαίρα, κύλινδρος,
Διαβάστε περισσότεραΚατοίκον Εργασία 2. (γ) το ολικό φορτίο που βρίσκεται στον κύβο. (sd p.e 4.9 p146)
Κατοίκον Εργασία. Ένα σημιακό φορτίο (point charge) 5 mc και ένα - mc βρίσκονται στα σημία (,0,4) και (-3,0,5) αντίστοιχα. (α) Υπολογίστ την δύναμη πάνω σ ένα φορτίο (point charge) nc που βρίσκται στο
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 2ο ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΛΥΜΕΝΕΣ 1 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ
ΜΘΗΜΤΙΚ ΥΜΝΣΙΥ ΜΕΡΣ ο ΕΩΜΕΤΡΙ ΣΚΗΣΕΙΣ ΛΥΜΕΝΕΣ 1 ΕΠΙΜΕΛΕΙ : ΥΕΡΙΝΣ ΣΙΛΗΣ ΜΘΗΜΤΙΚ ΥΜΝΣΙΥ ΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΡΣ 1ο : ΕΩΜΕΤΡΙ ΚΕΦΛΙ 1ο ΣΙΚΕΣ ΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΙΕΣ νακφαλαίωση σημίο άπιρς υθίς από υθύγραμμο τμήμα Δ παράλληλα
Διαβάστε περισσότεραΕΞΙΣΩΣΗ ΣΦΑΙΡΑΣ. είναι όλοι ίσοι και επιπλέον δεν υπάρχουν οι όροι xy, yz, zx. Γενικά µια εξίσωση της µορφής: 0 + Β + Α.
Suies & Publishing ΣΟΛΩΜΟΥ 9 ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΗΛ.:.38..57 www.arnοs.gr 3 Ο γωµτρικός τόπος των σηµίων που έχουν σταθρή απόσταση από το σηµίο,, του 3 ονοµάζται σφαίρα. Η σφαίρα µ κέντρο το,, και ακτίνα έχι
Διαβάστε περισσότερα4.1 ΕΥΘΕΙΕΣ ΚΑΙ ΕΠΙΠΕ Α ΣΤΟ ΧΩΡΟ
1 4.1 ΥΙΣ ΚΙ Ι ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΩΡΙ 1. Το πίπδο: ίναι έννοια πρωταρχική για τα µαθηµατικά δηλαδή έννοια που δν πιδέχται ορισµό. H ικόνα του πιπέδου ίναι γνωστή από την µπιρία µας. Την έχουµ ταυτίσι µ τη µορφή
Διαβάστε περισσότεραΦροντιστήριο 2 ο : Εισαγωγή στον διανυσµατικό λογισµό
Φροντιστήριο ο : Εισαγωγή στον διανυσµατικό λογισµό Βαθµωτά ή µονόµτρα µγέθη scls: Για να οριστούν τα µγέθη αυτά απαιτίται να δοθί µόνο το µέτρο τους πριλαµβανοµένης της µονάδας µέτρησης ιανυσµατικά µγέθη
Διαβάστε περισσότεραΛΥΣΕΙΣ ΦΥΛΛΑΔΙΟΥ 3 Ευθεία - Επίπεδο ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ/2010-11
ΛΥΣΕΙΣ ΦΥΛΛΔΙΥ 3 Ευθία - Επίπδο ΣΧΛΗ ΠΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΝΙΚΩΝ/00-.(α) Τα διανύσματα Β = (,, ), Γ = (,, 3) ίναι μη συγγραμμικά και παράλληλα προς το πίπδο Π, νώ το σημίο (,,3) μ διάνυσμα θέσης r = (,,3) ίναι σημίο
Διαβάστε περισσότερα2 1 1+ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο.Π. ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ:2 ο - ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ: 2.1 2.2. Γιάννης Ζαµπέλης Μαθηµατικός
ΚΕΦΑΛΑΙΟ: ο - ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ:.. ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 4 5 Γιάννης Ζαµπέλης Μαθηµατικός 8575 Β (Αναρτήθηκ 8 4 ) ίνονται τα σηµία Α(,) και Β(5,6). α) Να βρίτ την ξίσωση της υθίας που διέρχται από τα σηµία Α και B.
Διαβάστε περισσότεραΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΤΕΡΑ 18 ΙΟΥΝΙΟΥ 2001 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΦΥΣΙΚΗ
ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΤΕΡΑ 18 ΙΟΥΝΙΟΥ 1 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΦΥΣΙΚΗ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ 1. Σωστό το γ. Σωστό το γ. Σωστό το γ 4. Σωστό το δ
Διαβάστε περισσότερακαι ( n) 1 R. Αν ε > 0, επιλέγουµε για κάθε k 1 ένα καλύπτουµε τότε την ευθεία Α µε την ακολουθία των ορθογωνίων .
80 Σύνολα µέτρου µηδέν στον και ο χαρακτηρισµός του Lebesgue των iema ολοκληρωσίµων συναρτήσων 7. Ορισµός. Έστω για κάθ 0 Α, λέµ ότι το Α έχι διάστατο µέτρο µηδέν αν, > υπάρχι ακολουθία ανοικτών διάστατων
Διαβάστε περισσότεραΓωνία που σχηματίζει η ε με τον άξονα. Έστω Oxy ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο και ε μια ευθεία που τέμνει τον άξονα
ΕΥΘΕΙΑ Γωνία που σχηματίζι η μ τον άξονα. Έστω O ένα σύστημα συντταγμένων στο πίπδο και μια υθία που τέμνι τον άξονα στο σημίο Α. Α ω Α ω Τη γωνία ω που διαγράφι ο άξονας όταν στραφί γύρω από το Α κατά
Διαβάστε περισσότεραΔΙΑΛΕΞΗ 2 Νόμος Gauss, κίνηση σε ηλεκτρικό πεδίο. Ι. Γκιάλας Χίος, 28 Φεβρουαρίου 2014
ΔΙΑΛΕΞΗ 2 Νόμος Gauss, κίνηση σε ηλεκτρικό πεδίο Ι. Γκιάλας Χίος, 28 Φεβρουαρίου 214 Ασκηση συνολικό φορτίο λεκτρικό φορτίο Q είναι κατανεμημένο σε σφαιρικό όγκο ακτίνας R με πυκνότητα ορτίου ανάλογη του
Διαβάστε περισσότεραΑνοικτά και κλειστά σύνολα
5 Ανοικτά και κλιστά σύνολα Στην παράγραφο αυτή αναπτύσσται ο µηχανισµός που θα µας πιτρέψι να µλτήσουµ τις αναλυτικές ιδιότητς των συναρτήσων πολλών µταβλητών. Θα χριαστούµ τις έννοις της ανοικτής σφαίρας
Διαβάστε περισσότεραΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ Ο ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ GAUSS
ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ Ο ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ GAUSS 1 1. ΗΛΕΚΤΡΙΚΗ ΡΟΗ O νόμος του Gauss και o νόμος του Coulomb είναι δύο εναλλακτικές διατυπώσεις της ίδιας βασικής σχέσης μεταξύ μιας κατανομής φορτίου και του
Διαβάστε περισσότεραΣχεδίαση µε τη χρήση Η/Υ
Σχδίαση µ τη χρήση Η/Υ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 1 0 Ο Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α Σ Τ Ο Υ Χ Ω Ρ Ο Υ Ρ Λ Ε Ω Ν Ι Α Σ Α Ν Θ Ο Π Ο Υ Λ Ο Σ, Ε Π Ι Ο Υ Ρ Ο Σ Α Θ Η Γ Η Τ Η Σ Τ Μ Η Μ Α Ι Ο Ι Η Σ Η Σ Α Ι Ι Α Χ Ε Ι
Διαβάστε περισσότεραΦυσική για Μηχανικούς
Φυσική για Μηχανικούς Ο νόμος του Gauss Εικόνα: Σε μια επιτραπέζια μπάλα πλάσματος, οι χρωματιστές γραμμές που βγαίνουν από τη σφαίρα αποδεικνύουν την ύπαρξη ισχυρού ηλεκτρικού πεδίου. Με το νόμο του Gauss,
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμογές Νόμος Gauss, Ηλεκτρικά πεδία. Ιωάννης Γκιάλας 7 Μαρτίου 2014
Εφαρμογές Νόμος Gauss, Ηλεκτρικά πεδία Ιωάννης Γκιάλας 7 Μαρτίου 14 Άσκηση: Ηλεκτρικό πεδίο διακριτών φορτίων Δύο ίσα θετικά φορτία q βρίσκονται σε απόσταση α μεταξύ τους. Να βρεθεί η ακτίνα του κύκλου,
Διαβάστε περισσότεραΗΛΕΚΤΡΟΣΤΑΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΣΤΗΝ ΥΛΗ ΘΕΩΡΙΑ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 6932 946778 ΗΛΕΚΤΡΟΣΤΑΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΣΤΗΝ ΥΛΗ ΘΕΩΡΙΑ Συγγραφή Επιμέλια: Παναγιώτης Φ. Μίρας ΣΟΛΩΜΟΥ 29 - ΑΘΗΝΑ 6932 946778 www.pmoias.weebly.com ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ
Διαβάστε περισσότεραΗλεκτρική ροή. κάθετη στη ροή ή ταχύτητα των σωματιδίων
Ηλεκτρική ροή Θα εξετάσουμε πρώτα την ένοια της ροής (π.χ. σωματιδίων) από μια S ταχύτητα σωματιδίων υ πιφάνεια S κάθετη στη ροή ή ταχύτητα των σωματιδίων Η ένταση J της ακτινοβολίας σωματιδίων ΔΝ ανά
Διαβάστε περισσότεραΗλεκτρομαγνητισμός. Ηλεκτρικό πεδίο νόμος Gauss. Νίκος Ν. Αρπατζάνης
Ηλεκτρομαγνητισμός Ηλεκτρικό πεδίο νόμος Gauss Νίκος Ν. Αρπατζάνης Νόμος Gauss Ο νόµος του Gauss εκφράζει τη σχέση μεταξύ της συνολικής ηλεκτρικής ροής που διέρχεται από μια κλειστή επιφάνεια και του φορτίου
Διαβάστε περισσότεραΦυσική για Μηχανικούς
Φυσική για Μηχανικούς Ο νόμος του Gauss Εικόνα: Σε μια επιτραπέζια μπάλα πλάσματος, οι χρωματιστές γραμμές που βγαίνουν από τη σφαίρα αποδεικνύουν την ύπαρξη ισχυρού ηλεκτρικού πεδίου. Με το νόμο του Gauss,
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 22 Νόµος του Gauss. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.
Κεφάλαιο 22 Νόµος του Gauss Περιεχόµενα Κεφαλαίου 22 Ηλεκτρική Ροή Ο Νόµος του Gauss Εφαρµογές του Νόµου του Gauss Πειραµατικές επιβεβαιώσεις για τους Νόµους των Gauss και Coulomb 22-1 Ηλεκτρική Ροή Ηλεκτρική
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις 2 ου Κεφαλαίου, Νόμος του Gauss
Ασκήσεις 2 ου Κεφαλαίου, Νόμος του Guss 22.36.Μία αγώγιμη σφαίρα με φορτίο q έχει ακτίνα α. Η σφαίρα βρίσκεται στο εσωτερικό μίας κοίλης ομόκεντρης αγώγιμης σφαίρας με εσωτερική ακτίνα και εξωτερική ακτίνα.
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑ. ΘΕΩΡΗΤΙΚΟΣ και ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΟΣ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ. ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ στο ΚΕΦ. 4
ΣΧΟΛΗ. Ν. ΟΚΙΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΩΡΗΤΙΚΟΣ κι ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΟΣ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ στο ΚΕΦ. 4 ρ. Α. Μγουλάς Νοέµριος 5 ) Ν υπολογιστί το ηλκτρικό πδίο που δηµιουργί µι τέλι γώγιµη κοίλη σφίρ
Διαβάστε περισσότεραsin(30 o ) 4 cos(60o ) = 3200 Nm 2 /C (7)
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-112: Φυσική Ι Χειµερινό Εξάµηνο 2016 ιδάσκων : Γ. Καφεντζής Πέµπτη Σειρά Ασκήσεων - Λύσεις Ασκηση 1. (αʹ Η ηλεκτρική ϱοή διαµέσου µιας επιφάνειας A είναι
Διαβάστε περισσότεραΦυσική για Μηχανικούς
Φυσική για Μηχανικούς Εικόνα: Μητέρα και κόρη απολαμβάνουν την επίδραση της ηλεκτρικής φόρτισης των σωμάτων τους. Κάθε μια ξεχωριστή τρίχα των μαλλιών τους φορτίζεται και προκύπτει μια απωθητική δύναμη
Διαβάστε περισσότεραΟρίζοντας την δυναμική ενέργεια σαν: Για μετακίνηση του φορτίου ανάμεσα στις πλάκες: Ηλεκτρικό Δυναμικό 1
Ηλεκτρική Δυναμική Ενέργεια Ένα ζεύγος παράλληλων φορτισμένων μεταλλικών πλακών παράγει ομογενές ηλεκτρικό πεδίο Ε. Το έργο που παράγεται πάνω σε θετικό δοκιμαστικό φορτίο είναι: W W Fl q y q l q y Ορίζοντας
Διαβάστε περισσότερα# Κάθε σημείο που οι συντεταγμένες του. Μεθοδολογία στην ευθεία γραμμή ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΓΡΑΜΜΗ
Μθοδολογία στην υθία γραμμή Κοινά σημία δύο γραμμών. Για να βρούμ τις συντταγμένς του σημίου δύο γραμμών, λύνουμ το σύστημα των ξισώσών τους. ΓΡΑΜΜΗ Μια ξίσωση της μορφής φ(χ,ψ)= λέγται ξίσωση μιας πίπδης
Διαβάστε περισσότεραΚλασική Hλεκτροδυναμική
Κλασική Hλεκτροδυναμική Ενότητα 1: Εισαγωγή Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών επιστημών Τμήμα Φυσικής Σκοποί ενότητας Σκοπός της ενότητας είναι μια σύντομη επανάληψη στις βασικές έννοιες της ηλεκτροστατικής.
Διαβάστε περισσότεραΕξίσωση Laplace Θεωρήματα Μοναδικότητας
Εξίσωση Laplace Θεωρήματα Μοναδικότητας Δομή Διάλεξης Εξίσωση Laplace πλεονεκτήματα μεθόδου επίλυσης της για εύρεση ηλεκτρικού δυναμικού Ιδιότητες λύσεων εξίσωσης Laplace σε 1, 2 και 3 διαστάσεις Θεώρημα
Διαβάστε περισσότεραΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΟΥ ΠΕΔΙΟΥ ΗΛΕΚΤΡΟΣΤΑΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΣΕ Γ.Ο.Ι. ΧΩΡΟΥΣ
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο Η2. Ο νόµος του Gauss
Κεφάλαιο Η2 Ο νόµος του Gauss Ο νόµος του Gauss Ο νόµος του Gauss µπορεί να χρησιµοποιηθεί ως ένας εναλλακτικός τρόπος υπολογισµού του ηλεκτρικού πεδίου. Ο νόµος του Gauss βασίζεται στο γεγονός ότι η ηλεκτρική
Διαβάστε περισσότεραΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΦΥΣΙΚΗ ΙΙ
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΦΥΣΙΚΗ ΙΙ 1. Οι δυναμικές γραμμές ηλεκτροστατικού πεδίου α Είναι κλειστές β Είναι δυνατόν να τέμνονται γ Είναι πυκνότερες σε περιοχές όπου η ένταση του πεδίου είναι μεγαλύτερη δ Ξεκινούν
Διαβάστε περισσότεραΝΟΜΟΣ ΤΟΥ GAUSS ΚΕΦ.. 23
ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ GAUSS ΚΕΦ.. 23 Ροή (γενικά): Ηλεκτρική Ροή Η ποσότητα ενός μεγέθους που διέρχεται από μία επιφάνεια. Ε Ε dα dα θ Ε Ε θ Ηλεκτρική ροή dφ Ε μέσω στοιχειώδους επιφάνειας da (αφού da στοιχειώδης
Διαβάστε περισσότεραΕΝΟΤΗΤΑ Β.2.1. Συμμετρία ως προς άξονα
ΕΝΟΤΗΤΑ Β.2.1. Συμμτρία ως προς άξονα ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ / / Δραστηριότητα 1 Βρίτ το συμμτρικό του Α ως προς την υθία Βρίτ το συμμτρικό του Β ως προς την υθία 1 Α Β Βρίτ το συμμτρικό του Α ως προς
Διαβάστε περισσότεραΦυσική για Μηχανικούς
Φυσική για Μηχανικούς Εικόνα: Μητέρα και κόρη απολαμβάνουν την επίδραση της ηλεκτρικής φόρτισης των σωμάτων τους. Κάθε μια ξεχωριστή τρίχα των μαλλιών τους φορτίζεται και προκύπτει μια απωθητική δύναμη
Διαβάστε περισσότεραΗ θεωρία στην ευθεία σε ερωτήσεις - απαντήσεις
Η θρία στην υθία σ ρτήσις - απαντήσις Τι ονομάζουμ ξίσση γραμμής Μια ξίσση μ δύο αγνώστους λέγται ξίσση μιας γραμμής C, όταν οι συντταγμένς τν σημίν της C, και μόνο αυτές, την παληθύουν Ποιό ίναι το βασικό
Διαβάστε περισσότερα3.3 Το συναρτησοειδές του Minkowski και μετρικοποιησιμότητα σε τοπικά κυρτούς χώρους. x y E (υποπροσθετικότητα ) ) και p( x) p( x)
4 3.3 Το συναρτησοιδές του Mikowski και μτρικοποιησιμότητα σ τοπικά κυρτούς χώρους. Υπνθυμίζουμ ότι αν E διανυσματικός χώρος, μια συνάρτηση : E R λέγται υπογραμμικό συναρτησοιδές αν (ι) ( λ) λ ( ) =, λ
Διαβάστε περισσότεραΠρόβλημα 4.9.
Πρόβλημα 4.9. Να βρεθεί το δυναμικό V() παντού στο χώρο ενός θετικά φορτισμένου φύλλου απείρων διαστάσεων με επιφανειακή πυκνότητα φορτίου σ. Πάρτε τον άξονα κάθετα στο φύλλο και θεωρήστε ότι το φύλλο
Διαβάστε περισσότεραΣυµπάγεια και οµοιόµορφη συνέχεια
35 Συµπάγια και οµοιόµορφη συνέχια Μια πολύ σηµαντική έννοια στην Ανάλυση ίναι αυτή της συµπάγιας. Όπως θα δούµ τα συµπαγή υποσύνολα του Ευκλίδιου χώρου R συµπριφέρονται λίγο πολύ ως ππρασµένα σύνολα.
Διαβάστε περισσότεραΔυναμική Ενέργεια σε Ηλεκτρικό πεδίο, Διαφορά ηλεκτρικού δυναμικού. Ιωάννης Γκιάλας 14 Μαρτίου 2014
Δυναμική Ενέργεια σε Ηλεκτρικό πεδίο, Διαφορά ηλεκτρικού δυναμικού Ιωάννης Γκιάλας 14 Μαρτίου 2014 Έργο ηλεκτροστατικής δύναμης W F Δl W N i i1 F Δl i Η μετατόπιση Δl περιγράφεται από ένα διάνυσμα που
Διαβάστε περισσότερα(α) 1. (β) Το σύστημα βρίσκεται υπό διαφορά δυναμικού 12 V: U ολ = 1 2 C ολ(δv) 2 = J.
4 η Ομάδα Ασκήσεων Δύο πυκνωτές C=5 μf και C=40 μf συνδέονται παράλληλα στους ακροδέκτες πηγών τάσης VS=50 V και VS=75 V αντίστοιχα και φορτίζονται Στην συνέχεια αποσυνδέονται και συνδέονται μεταξύ τους,
Διαβάστε περισσότεραΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ : ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ I (Βασικό 3 ου Εξαμήνου) Διδάσκων : Δ.Σκαρλάτος ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ. Α. Τριγωνομετρικές Ταυτότητες
ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ : ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ I (Βασικό 3 ου Εξαμήνου) Διδάσκων : Δ.Σκαρλάτος ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ Α. Τριγωνομετρικές Ταυτότητες Β. Αναπτύγματα σε σειρές Για
Διαβάστε περισσότερα2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή
Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Εισαγωγή Η ιδέα της χρησιμοποίησης νός συστήματος συντταγμένων για τον προσδιορισμό της θέσης νός σημίου πάνω σ μια πιφάνια προέρχται από την Γωγραφία και ήταν γνωστή στους αρχαίους
Διαβάστε περισσότεραπάχος 0 πλάτος 2a μήκος
B1) Δεδομένου του τύπου E = 2kλ/ρ που έχει αποδειχθεί στο μάθημα και περιγράφει το ηλεκτρικό πεδίο Ε μιας άπειρης γραμμής φορτίου με γραμμική πυκνότητα φορτίου λ σε σημείο Α που βρίσκεται σε απόσταση ρ
Διαβάστε περισσότεραΤο βαρυτικό πεδίο της Γης.
Το βαρυτικό πεδίο της Γης. Θα μελετήσουμε το βαρυτικό πεδίο της Γης, τόσο στο εξωτερικό της όσο και στο εσωτερικό της, χρησιμοποιώντας τη λογική μελέτης του ηλεκτροστατικού πεδίου, με την βοήθεια της ροής.
Διαβάστε περισσότεραΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Β ΛΥΚΕΙΟΥ EΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ των Κώστα Βακαλόπουλου, Βασίλη Καρκάνη, Άννας Βακαλοπούλου
ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Β ΛΥΚΕΙΟΥ EΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ των Κώστ Βκλόπουλου, Βσίλη Κρκάνη, Άννς Βκλοπούλου Άσκηση η Δίνοντι τ δινύσμτ, β διάφορ του μηδνικού γι τ οποί ισχύι: β, β κι β i) Ν βρθούν τ μέτρ των δινυσμάτων,
Διαβάστε περισσότεραφ = ω Β=Γ Α= Β=Ε Γ=Ζ φ Ο
1 Η Π ΕΙΞΗ ΣΤΗΝ ΕΥΚΛΕΙ ΕΙ ΕΩΜΕΤΡΙ. ΩΝΙΕΣ ΙΣΕΣ ια να αποδίξουμ ότι δύο γωνίς ίναι ίσς πρέπι να αποδίξουμ: 1. Ότι ίναι άθροισμα ή διαφορά γωνιών αντίστοια ίσων. α = β α+ γ = β + δ ν τότ γ = δ α γ = β δ.
Διαβάστε περισσότεραT.E.I. ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΕ
T.E.I. ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΕ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ «ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΕΣ ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ ΦΑΣΜΑΤΟΣΚΟΠΙΑΣ» ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 6: ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΥΛΙΚΩΝ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΔΙΑΤΑΞΗΣ ΔΙΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΦΑΣΜΑΤΟΣΚΟΠΙΑΣ ΥΨΗΛΩΝ
Διαβάστε περισσότεραΦυσική για Μηχανικούς
Φυσική για Μηχανικούς Εικόνα: Μητέρα και κόρη απολαμβάνουν την επίδραση της ηλεκτρικής φόρτισης των σωμάτων τους. Κάθε μια ξεχωριστή τρίχα των μαλλιών τους φορτίζεται και προκύπτει μια απωθητική δύναμη
Διαβάστε περισσότεραΣειρά Προβλημάτων 2 Λύσεις
ΕΠΛ2: Θωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Άσκηση Σιρά Προβλημάτων 2 Λύσις Να μτατρέψτ τα πιο κάτω DFA στις κανονικές κφράσις που τα πριγράφουν χρησιμοποιώντας τη διαδικασία που παρουσιάζται στις διαφάνις
Διαβάστε περισσότεραΗλεκτρική ροή. Εμβαδόν=Α
Ηλεκτρική ροή Hλεκτρική ροή: φυσικό μέγεθος (μονόμετρο) που δηλώνει τον αριθμό των δυναμικών γραμών ενός ηλεκτρικού πεδίου που διαπερνούν μία επιφάνεια. Εμβαδόν=Α Για παράδειγμα, η ηλεκτρική ροή για την
Διαβάστε περισσότερα8. ΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ. Φυσική ΙΙ Δ. Κουζούδης. Πρόβλημα 8.6.
1 8. ΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ Πρόβλημα 8.6. Το σύρμα του παρακάτω σχήματος έχει άπειρο μήκος και διαρρέεται από ρεύμα I. Υπολογίστε με τη βοήθεια του νόμου του Biot-Savart με ολοκλήρωση το μέτρο και την κατεύθυνση
Διαβάστε περισσότεραΥπενθυµίσεις Μηχανικής Παραµορφωσίµων Στερεών
Παράρτηµα Υπνθυµίις Μηχανικής Παραµορφωίµων Στρών 1. ΤΑΣΕΙΣ Οι ξωτρικές δυνάµις που πιβάλλονται ένα ώµα µπορούν να χωριθούν δύο κατηγορίς, τις καθολικές δυνάµις και τις πιφανιακές δυνάµις. Οι καθολικές
Διαβάστε περισσότερα6.3 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f(x) = αx + β
1 6.3 Η ΣΥΝΡΤΗΣΗ f() = α + β ΘΕΩΡΙ 1. Η πρίφηµη γωνία ω Έστω υθία που τέµνι τον άξονα σ σηµίο. Στρέφουµ την ηµιυθία κατά θτική φορά µέχρι να πέσι πάνω στην. Η γωνία ω που διαγράφται λέγται γωνία που σχηµατίζι
Διαβάστε περισσότεραΦυσική για Μηχανικούς
Φυσική για Μηχανικούς Ο νόμος του Gauss Εικόνα: Σε μια επιτραπέζια μπάλα πλάσματος, οι χρωματιστές γραμμές που βγαίνουν από τη σφαίρα αποδεικνύουν την ύπαρξη ισχυρού ηλεκτρικού πεδίου. Με το νόμο του Gauss,
Διαβάστε περισσότεραΔΥΝΑΜΙΚΟ ΔΙΑΦΟΡΑ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ
ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΔΙΑΦΟΡΑ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ Υποθέστε ότι έχουμε μερικά ακίνητα φορτισμένα σώματα (σχ.). Τα σώματα αυτά δημιουργούν γύρω τους ηλεκτρικό πεδίο. Αν σε κάποιο σημείο Α του ηλεκτρικού πεδίου τοποθετήσουμε ένα
Διαβάστε περισσότεραΑ ΚΙΝΗΣΗ ΦΟΡΤΙΣΜΕΝΩΝ ΣΩΜΑΤΙ ΙΩΝ ΣΤΟ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΚΑΙ ΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΠΕ ΙΟ
A ΚΙΝΗΣΗ ΦΟΡΤΙΣΜΕΝΩΝ ΣΩΜΑΤΙ ΙΩΝ ΣΤΟ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΚΑΙ ΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΠΕ ΙΟ ΚΙΝΗΣΗ ΦΟΡΤΙΣΜΕΝΟΥ ΣΩΜΑΤΙ ΙΟΥ ΣΕ ΣΤΑΤΙΚΑ ΠΕ ΙΑ Α. Γνική ξίσωση κίνησης για µη ρλατιβιστικές πριπτώσις q( ) + B Α. Αρχή διατήρησης της νέργιας
Διαβάστε περισσότεραΣειρά Προβλημάτων 2 Λύσεις
ΕΠΛ2: Θωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Σιρά Προβλημάτων 2 Λύσις Άσκηση Να μτατρέψτ τα πιο κάτω DFA στις κανονικές κφράσις που τα πριγράφουν χρησιμοποιώντας τη διαδικασία που πριγράφται στις διαφάνις
Διαβάστε περισσότεραΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΑΓΩΓΟΙ - ΠΥΚΝΩΤΕΣ
ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΑΓΩΓΟΙ - ΠΥΚΝΩΤΕΣ Συγγραφή Επιμέλια: Παναγιώτης Φ. Μίρας Θέμα Ένα σημιακό φρτί Q τπθτίται στ κέντρ νός υδέτρυ σφαιρικύ αγώγιμυ κλύφυς ακτινών R και R. Να υπλγιστί τ παγόμν φρτί
Διαβάστε περισσότεραΦυσική για Μηχανικούς
Φυσική για Μηχανικούς Εικόνα: Μητέρα και κόρη απολαμβάνουν την επίδραση της ηλεκτρικής φόρτισης των σωμάτων τους. Κάθε μια ξεχωριστή τρίχα των μαλλιών τους φορτίζεται και προκύπτει μια απωθητική δύναμη
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ : HΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ Ι
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ : HΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ Ι (Υποχρεωτικό ου Εξαμήνου) Διδάσκων : Δ.Σκαρλάτος, Επίκουρος Καθηγητής ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ # 5 : ΤΟ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΔΙΠΟΛΟ Ορισμός : Με τον όρο «ηλεκτρικό
Διαβάστε περισσότεραΗλεκτρική δυναμική ενέργεια
Ηλεκτρική δυναμική ενέργεια Όταν ένα δοκιμαστικό φορτίο βρεθεί μέσα σε ένα ηλεκτρικό πεδίο, δέχεται μια ηλεκτρική δύναμη: F e =q o E. Η ηλεκτρική δύναμη είναι συντηρητική. Έστω δοκιμαστικό φορτίο, q 0,
Διαβάστε περισσότεραΦΥΛΛΑ ΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΦΥΛΛΑ ΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑ ΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1 Θέµα: Τα διανύσµατα ❶ ❷ ❸ ❹ ❺ Η έννοια του διανύσµατος Πρόσθεση και αφαίρεση διανυσµάτων Πολλαπλασιασµός αριθµού µε διάνυσµα Συντεταγµένες
Διαβάστε περισσότερα2018 Φάση 1 ιαγωνίσµατα Προετοιµασίας ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Β' Γενικού Λυκείου. Θετικών Σπουδών. Παρασκευή 5 Ιανουαρίου 2018 ιάρκεια Εξέτασης: 2 ώρες ΘΕΜΑΤΑ
ΘΕΜΑ Α 018 Φάση 1 ιαγωνίσµατα Προτοιµασίας ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β' νικού Λυκίου Θτικών Σπουδών Παρασκυή 5 Ιανουαρίου 018 ιάρκια Εξέτασης: ώρς Α1. Δίνονται τα διανύσματα α, β, γ ΘΕΜΑΤΑ. Να δίξτ ότι ισχύι α β + γ
Διαβάστε περισσότεραC V C = 1. Πυκνωτές. Οι πυκνωτές έχουν πολλές χρήσεις λόγω του ότι αποτελούν αποθήκες ηλεκτρικού φορτίου και ηλεκτρικής δυναμικής ενέργειας.
. Πυκνωτές Δύο αγωγοί που διαχωρίζονται από ένα μονωτή αποτλούν ένα πυκνωτή. Στην πράξη οι αγωγοί φέρουν ία και αντίθτα φορτία. Ορίζουμ αν χωρητικότητα νός πυκνωτή το ταθρό πηλίκο: ab F Οι πυκνωτές έχουν
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέµβριος 2004
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέµβριος 2004 Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου Θέµα 1 (25 µονάδες) Ένα εκκρεµές µήκους l κρέµεται έτσι ώστε η σηµειακή µάζα να βρίσκεται ακριβώς
Διαβάστε περισσότεραΠυκνότητα φορτίου. dq dv. Μικρή Περιοχή. φορτίου. Χωρική ρ Q V. Επιφανειακή σ. dq da Γραµµική λ Q A. σ = dq dl. Q l. Γ.
Πυκνότητα φορτίου Πυκνότητα φορτίου Οµοιόµορφη Μικρή Περιοχή Χωρική ρ Q V ρ= dq dv Επιφανειακή σ Q A σ = dq da Γραµµική λ Q l λ= dq dl Γ. Βούλγαρης 1 Παράσταση της έντασης Ηλεκτρικού Πεδίου. Η Εφαπτόµενη
Διαβάστε περισσότεραΦΥΕ14, 2009-2010-Εργασιά 6 η Ημερομηνία παράδοσης 28/6/2010
ΦΥΕ4, 9--Εργασιά 6 η Ημερομηνία παράδοσης 8/6/ Άσκηση A) Μια ράβδος μήκους είναι ομοιόμορφα φορτισμένη θετικά με συνολικό ηλεκτρικό φορτίο Q και βρίσκεται κατά μήκος του θετικού άξονα x από το σημείο x
Διαβάστε περισσότεραΕργασία 4, ΦΥΕ 24, N. Κυλάφης
Εργασία ΦΥΕ - N Κυλάφης Λύσεις Άσκηση : Θεωρήστε ότι στα σηµεία υπάρχουν τέσσερα φορτία το καθένα Α Να βρεθεί το ηλεκτρικό δυναµικό που δηµιουργείται σε τυχόν σηµείο του άξονα Β Να βρεθεί η ένταση του
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. Ροπή και Στροφορµή Μέρος πρώτο
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ροπή και Στροφορµή Μέρος πρώτο Μέχρι εδώ εξετάσαµε την κίνηση ενός υλικού σηµείου υπό την επίδραση µιας δύναµης. Τα πράγµατα αλλάζουν δραµατικά αν αντί υλικού σηµείου έχοµε ένα στερεό σώµα.
Διαβάστε περισσότεραιανυσµατικά πεδία Όπως έχουµε ήδη αναφέρει ένα διανυσµατικό πεδίο είναι µια συνάρτηση
44 ιανυσµατικά πεδία Όπως έχουµε ήδη αναφέρει ένα διανυσµατικό πεδίο είναι µια συνάρτηση F : U R R. Για εµάς φυσικά µια τέτοια συνάρτηση θα θεωρείται ότι είναι τουλάχιστον συνεχής και συνήθως C και βέβαια
Διαβάστε περισσότεραΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΩΣ ΠΡΟΣ ΑΞΟΝΑ
1 1-2 ΣΥΜΜΕΤΡΙ ΩΣ ΠΡΣ ΞΝ ΞΝΣ ΣΥΜΜΕΤΡΙΣ ΘΕΩΡΙ Συµµτρικό σηµίου ως προς υθία Όταν το ν βρίσκται πάνω στην νοµάζουµ συµµτρικό του ως προς την υθία το σηµίο µ το οποίο συµπίπτι το όταν ιπλώσουµ το σχήµα κατά
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝ. ΠΑΙΔ. Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 27/11/2016 ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: Καραβοκυρός Χρήστος
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΚΠ ΕΤΟΥΣ 2016-2017 ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝ ΠΑΙΔ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 27/11/2016 ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: Καραβοκυρός Χρήστος ΘΕΜΑ Α Να γράψετε στην κόλα σας τον αριθμό
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 12 Ο ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ ΔΡ ΛΕΩΝΙΔΑΣ ΑΝΘΟΠΟΥΛΟΣ, ΕΠΙΚΟΥΡΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΕΡΓΩΝ ΤΕΙ ΛΑΡΙΣΑΣ
Σχδίαση μ τη χρήση Η/Υ ΕΦΑΑΙΟ 12 Ο ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ ΔΡ ΕΩΝΙΔΑΣ ΑΝΘΟΠΟΥΟΣ, ΕΠΙΟΥΡΟΣ ΑΘΗΓΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΗΣΗΣ ΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΕΡΓΩΝ ΤΕΙ ΑΡΙΣΑΣ Γωνίς πιπέδων: Η γωνία δυο τμνόμνων πιπέδων ορίζται
Διαβάστε περισσότερα1η Εργασία στο Μάθημα Γενική Φυσική ΙΙΙ - Τμήμα Τ1. Λύσεις Ασκήσεων 1 ου Κεφαλαίου
1η Εργασία στο Μάθημα Γενική Φυσική ΙΙΙ - Τμήμα Τ1 Λύσεις Ασκήσεων 1 ου Κεφαλαίου 1. Στον άξονα βρίσκονται δύο σημειακά φορτία q A = 1 μ και q Β = 45 μ, καθώς και ένα τρίτο σωματίδιο με άγνωστο φορτίο
Διαβάστε περισσότεραΠεδίο, ονομάζεται μια περιοχή του χώρου, όπου σε κάθε σημείο της ένα ορισμένο φυσικό μέγεθος
ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ Πεδίο, ονομάζεται μια περιοχή του χώρου, όπου σε κάθε σημείο της ένα ορισμένο φυσικό μέγεθος παίρνει καθορισμένη τιμή. Ηλεκτρικό πεδίο Ηλεκτρικό πεδίο ονομάζεται ο χώρος, που σε κάθε σημείο
Διαβάστε περισσότεραΑΣΚΗΣΗ-1: ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΠΕΔΙΑ
ΑΣΚΗΣΗ-1: ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΠΕΔΙΑ Ημερομηνία:. ΤΜΗΜΑ:.. ΟΜΑΔΑ:. Ονομ/νυμο: Α.Μ. Συνεργάτες Ονομ/νυμο: Α.Μ. Ονομ/νυμο: Α.Μ. ΠΕΡΙΛΗΨΗ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ (καθένας με δικά του λόγια, σε όλες τις γραμμές) ΒΑΘΜΟΣ#1: ΥΠΟΓΡΑΦΗ:
Διαβάστε περισσότεραΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Γ. Επικαμπύλια και Επιφανειακά Ολοκληρώματα. Γ.1 Επικαμπύλιο Ολοκλήρωμα
ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Γ Επικαμπύλια και Επιφανειακά Ολοκληρώματα Η αναγκαιότητα για τον ορισμό και την περιγραφή των ολοκληρωμάτων που θα περιγράψουμε στο Παράρτημα αυτό προκύπτει από το γεγονός ότι τα μεγέθη που
Διαβάστε περισσότεραΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ
ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Σκοπός Σκοπός του κεφαλαίου είναι η ανασκόπηση βασικών μαθηματικών εργαλείων που αφορούν τη μελέτη διανυσματικών συναρτήσεων [π.χ. E(, t) ]. Τα εργαλεία αυτά είναι
Διαβάστε περισσότεραΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑ. ε = = Η ελαστικότητα ζήτησης
1 ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑ Οι οικονοµολόγοι νδιαφέρονται να µτρσουν ορισµένς µταβλητές για να µπορέσουν να κάνουν προβλέψις και για να κτιµσουν µ σχτικ ακρίβια τι αποτέλσµα θα έχι η µταβολ µιας µταβλητς πί µιας άλλης.
Διαβάστε περισσότεραΚΕΝΤΡΟ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ & ΧΗΜΕΙΑΣ Ε ΟΥΑΡ ΟΥ ΛΑΓΑΝΑ Ph.D. Λεωφ. Κηφισίας 56, Αµπελόκηποι, Αθήνα Τηλ.: ,
Ε ΟΥΑΡ ΟΥ ΛΑΓΑΝΑ Ph.D. Λωφ. Κηφισίας 56, Απλόκηποι, Αθήνα Τηλ.: 69 97 985, www.edlag.gr ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ Λωφ. Κηφισίας 56, Απλόκηποι, Αθήνα Τηλ.: 69 97 985, E-mail: edlag@otenet.gr, www.edlag.gr
Διαβάστε περισσότεραb proj a b είναι κάθετο στο
ΦΥΛΛΑ ΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. Βρείτε όλα τα σηµεία P τέτοια ώστε η απόσταση του P από το A(, 5, 3) είναι διπλάσια από την απόσταση του P από το B(6, 2, 2). είξτε ότι το σύνολο όλων αυτών των σηµείων είναι σφαίρα.
Διαβάστε περισσότεραΑ) Η επιφάνεια Gauss έχει ακτίνα r μεγαλύτερη ή ίση της ακτίνας του κελύφους, r α.
1. Ένα σφαιρικό κέλυφος που θεωρούμε ότι έχει αμελητέο πάχος έχει ακτίνα α και φέρει φορτίο Q, ομοιόμορφα κατανεμημένο στην επιφάνειά του. Βρείτε την ένταση του ηλεκτρικού πεδίου στο εξωτερικό και στο
Διαβάστε περισσότεραΦυλλάδιο 1 - Σημεία Προσοχής στις Παραγράφους 1.1, 1.2 και 1.3
Φυλλάδιο 1 - Σημεία Προσοχής στις Παραγράφους 1.1, 1.2 και 1.3 1. Σπάμε ένα Διάνυσμα Έστω ότι έχουμε ένα διάνυσμα. Τότε αυτό μπορούμε να το σπάσουμε σε δύο (ή περισσότερα), παρεμβάλλοντας ανάμεσα στα γράμματα
Διαβάστε περισσότεραΣυμπλήρωμα 2 εδαφίου 3.3: Το γενικό μεταβολικό πρόβλημα για συναρτησιακό ολοκληρωτικού τύπου με ολοκληρωτέα συνάρτηση F κατά 2
ΚΕΦ. 3 Η Αρχή των Ήρωνος-Fermat 3.3-8 Συμπλήρωμα 2 δαφίου 3.3: Το νικό μταβολικό πρόβλημα ια συναρτησιακό ολοκληρωτικού τύπου μ ολοκληρωτέα συνάρτηση F κατά 2 τμήματα C, ορισμένο πί καμπυλών που τέμνουν
Διαβάστε περισσότεραΟ νόμος του Ampère. Διαφορική μορφή του ν.ampère. B r. Παρ : To πεδίο Β δακτυλιοειδούς πηνίου. Εντός του πηνίου
Ο νόμος του Apèr Ο νόμος του Apèr Bis μ μ Ji Επιφάνια Bi μ π r ( π s B s r μ Η κυκλοφορία του μαγνητικού πδίου κατά μηκός μιάς κλιστής διαδρομής ισούται μ μ Ι, όπου Ι ίναι το ολικό σταθρό (χρονικά αμτάβλητο
Διαβάστε περισσότερα5.6 Ενέργεια του ηλεκτρικού πεδίου παρουσία πολωμένων διηλεκτρικών. 5.6 Ενέργεια του ηλεκτρικού πεδίου παρουσία πολωμένων διηλεκτρικών
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ : ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ Ι (Υποχρωτικό 3 ου Εξαμήνου) ΔΙΔΑΣΚΩΝ : ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΣΚΑΡΛΑΤΟΣ, Επίκουρος Καθηγητής ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 : Διηλκτρικά 5.1 Γνικές Ιδιότητς 5. Διηλκτρικά
Διαβάστε περισσότεραΑνασκόπηση-Μάθημα 28 Τριπλό ολοκλήρωμα-κυλινδρικές-σφαιρικές συντεταγμένες
Τμήμα Μηχανικών Οικονομίας και Διοίκησης Απειροστικός Λογισμός ΙΙ Γ. Καραγιώργος ykarag@aegean.gr Ανασκόπηση-Μάθημα 28 Τριπλό ολοκλήρωμα-κυλινδρικές-σφαιρικές συντεταγμένες Στο μαθήμα 28 (3 /2/28), συνεχίσαμε
Διαβάστε περισσότεραΑΓΩΓΟΙ - ΠΥΚΝΩΤΕΣ (ΘΕΩΡΙΑ)
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 ΑΓΩΓΟΙ - ΠΥΚΝΩΤΕΣ (ΘΕΩΡΙΑ) Συγγραφή Επιμέλια: Παναγιώτης Φ. Μίρας ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 693 946778 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778.
Διαβάστε περισσότεραΦυσική για Μηχανικούς
Φυσική για Μηχανικούς Εικόνα: Μητέρα και κόρη απολαμβάνουν την επίδραση της ηλεκτρικής φόρτισης των σωμάτων τους. Κάθε μια ξεχωριστή τρίχα των μαλλιών τους φορτίζεται και προκύπτει μια απωθητική δύναμη
Διαβάστε περισσότεραΦΥΕ 14 6η ΕΡΓΑΣΙΑ Παράδοση ( Οι ασκήσεις είναι ϐαθµολογικά ισοδύναµες)
ΑΣΚΗΣΗ 1 ΦΥΕ 14 6η ΕΡΓΑΣΙΑ Παράδοση 30-06-08 ( Οι ασκήσεις είναι ϐαθµολογικά ισοδύναµες) Α) Τρία σηµειακά ϕορτία τοποθετούνται στις κορυφές ενός τετραγώνου πλευράς α, όπως ϕαίνεται στο σχήµα 1. Υπολογίστε
Διαβάστε περισσότερα4.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ Έστω A ένα υποσύνολο του Ονομάζουμ πραγματική συνάρτηση μ πδίο ορισμού το A, μια διαδικασία f, μ την οποία, κάθ στοιχίο A αντιστοιχίζται σ ένα μόνο πραγματικό αριθμό Το
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Α ΒΑΘΜΟΥ
Πριοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Α ΒΑΘΜΟΥ A. ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΜΕ ΔΥΟ ΑΓΝΩΣΤΟΥΣ Γραμμική ξίσωση μ δύο αγνώστους ονομάζται κάθ ξίσωση της μορφής: α + βψ = γ (), μ α,β,γ π.χ. ψ =, =, ψ =, κλπ.
Διαβάστε περισσότεραΦυσική για Μηχανικούς
Φυσική για Μηχανικούς Ηλεκτρικό Δυναμικό Εικόνα: Οι διαδικασίες που συμβαίνουν κατά τη διάρκεια μιας καταιγίδας προκαλούν μεγάλες διαφορές ηλεκτρικού δυναμικού ανάμεσα στα σύννεφα και στο έδαφος. Το αποτέλεσμα
Διαβάστε περισσότεραΗλεκτρομαγνητισμός. Ηλεκτρικό πεδίο νόμος Gauss. Νίκος Ν. Αρπατζάνης
Ηλεκτρομαγνητισμός Ηλεκτρικό πεδίο νόμος Gauss Νίκος Ν. Αρπατζάνης Εισαγωγή Ο νόµος του Gauss: Μπορεί να χρησιµοποιηθεί ως ένας εναλλακτικός τρόπος υπολογισµού της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου. Βασίζεται
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ιατηρητικές δυνάµεις
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ιατηρητικές δυνάµεις Στο υποκεφάλαιο.4 είδαµε ότι, για µονοδιάστατες κινήσεις στον άξονα x, όλες οι δυνάµεις της µορφής F F(x) είναι διατηρητικές. Για κίνηση λοιπόν στις τρεις διαστάσεις, µπορούµε
Διαβάστε περισσότεραΦΟΡΤΙΟ ΚΑΙ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ
ΦΟΡΤΙΟ ΚΑΙ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ H.D. H.D. Young Πανεπιστημιακή Φυσική Εκδόσεις Παπαζήση Alonso Alonso / Finn Θεμελιώδης Πανεπιστημιακή Φυσική Α. Φίλιππας, Λ. Ρεσβάνης (Μετ.) R. A. Seway Φυσική
Διαβάστε περισσότερα( ) Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης. x + y + z = κ ορίζει την επιφάνεια µιας σφαίρας κέντρου ( ) κ > τότε η
Έστω Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης ανοικτό και σταθερά ( µε κ f ( ) ορίζει µια επιφάνεια S στον f : ) τότε η εξίσωση, ονοµάζεται συνήθως επιφάνεια στάθµης της f. εξίσωση, C συνάρτηση. Αν
Διαβάστε περισσότερα