Η Πολυεδρική Προσέγγιση στην Ανάλυση και Σύνθεση Συστηµάτων Ελέγχου Εργαστήριο Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου
Η Τετραγωνική Προσέγγιση Ευκλείδια Απόσταση (Eucldean dstance) Ευκλείδια νορµ (Eucldean norm) Νορµ L 2 (L 2 norm) Τετραγωνικός δείκτης επιδόσεως (Quadratc performance ndex)
Η Πολυεδρική Προσέγγιση «Απειρη» απόσταση (Infnty dstance) «Απειρη» νορµ (Infnty norm) Νορµ L (L norm) «Απειρος» δείκτης επδόσεως (Infnty performance ndex)
Ευστάθεια S: x(t+1)=ax(t) n x R n Το σύνολο R είναι θετικώς αµετάβλητο σύνολο του συστήµατος S αν για όλες τις αρχικές καταστάσεις x 0 αντίστοιχες λύσεις x t; x ) για όλα τα t ( 0 οι n Το σύνολο R είναι συστολικό σύνολο του συστήµατος S αν υπάρχει λ <1 τέτοιο ώστε όλες για όλες τις οι αρχικές καταστάσεις x 0 οι αντίστοιχες λύσεις ικανοποιούν την σχέση x t; x ) λ για όλα τα t ( 0
Θετικώς αµετάβλητα και συστολικά σύνολα x 2 λ x 1
Ελλειψοειδή και Παραλληλεπίπεδα x 2 x 2 1 x 1 x 1-1 D( P, c) = : { n T x R x Px c} or { n x R : v( x c} D( P, c) = ) v( x) = x T Px R( G, w) = : n { x R w Gx w} or n { x R : v( ) 1} R( G, w) = x ( Gx) v( x) = max w
Τετραγωνική ευστάθεια Συναρτήσεις Lyapunov v( x) = x T Px Θετικώς αµετάβλητα σύνολα D( P, c) { n T x R x Px c} = : Συνθήκες υπό µορφή µητρικών εξισώσεων A T PA P = Q Q: θετικώς ορισµένη Συνθήκες φάσµατος 2 2 + µ σ < 1
Πολυεδρική ευστάθεια Συναρτήσεις Lyapunov v( x) = max ( Gx) w Θετικώς αµετάβλητα σύνολα R( G, w) { n x R w Gx w} = : Συνθήκες υπό µορφή µητρικών εξισώσεων Συνθήκες φάσµατος GA = HG H w w µ σ < 1 +
Θετική αµεταβλητότητα και φασµατικές ιδιότητες x 2 x 2 1 x 1 x 1-1 Im(s) Im(s) 1 1-1 1-1 1 Re(s) Re(s) -1-1
Θετική αµεταβλητότητα πολυεδρικών συνόλων v( x) { n x R Gx w} S( G, w) = : ( Gx) = max w Το πολυεδρικό σύνολο S(G,w) είναι ένα θετικώς αµετάβλητο σύνολο του συστήµατος S αν κα µόνο αν υπάρχει µήτρα H τέτοια ώστε GA = HG Hw w H 0
Το Πρόβληµα Ελέγχου µε Περιορισµούς x ( t + 1) = Ax( t) + Bu( t) Περιορισµοί στις µεταβλητές ελέγχου Du( t) ρ Ειδική περίπτωση ρ u( t) ρ Περιορισµοί στις µεταβλητές καταστάσεως Cx( t) d Περιοχή ελκτικότητας Gx w 0
Συνθήκες ύπαρξης λύσης (γεωµετρική µορφή) x 2 v 1 v 5 v 2 x 1 v 4 v 3 Όπου v είναι οι κορυφές του πολυέδρου S(G,w)
Συνθήκες ύπαρξης (αλγεβρική µορφή) Υπάρχει λύση στο πρόβληµα ελέγχουµε περιορισµούς αν υπάρχει χρονικός ορίζοντας Τ τέτοιος ώστε x ( t + 1; v ) = Ax( t; v ) + Bu( t, v ) t = 0,1,..., T 1 όπου x (0, v ) = v Du( t; v ) ρ t = 0,1,..., T 1 Cx( t; v ) d t = 1,2,..., T Gx( T; v ) w
Μία προσέγγιση σχεδιασµού x t + 1; v ) = Ax( t; v ) + Bu( t, v ) t = 0,1,..., T 1 ( Du( t; v ) mn u( t; v ), x( t; v ), ε x (0, v ) = v ρ t = 0,1,..., T Cx( t; v ) d t =1,2,..., T Gx( T; v ) { ε } ε w 1
Το Γραµµικό Πρόβληµα Ρύθµισης µε Περιορισµού οθέντων (ΓΠΡΠ) x ( t + 1) = Ax( t) + Bu( t) Du( t) Cx( t) ρ d Gx w 0 Να προσδιορισθεί ένας γραµµικός νόµος µε ανατροφοδότηση καταστάσεως u(t)=fx(t) ώστε το σύνολο S( G, w) να είναι µία περιοχή ελκτικότητας του συστήµατος x( t + 1) = ( A+ BK) x( t)
x 2 S(G,w) x 1
x 2 S(DF,ρ) x 1 u ( t) = Fx( t) Du( t) ρ S( DF, ρ) = { x R : DFx ρ} n
x 2 x 1 Αν το S(DF,ρ) δεν είναι υποσύνολο του S(G,w) (όπως στο σχήµα) τότε η u(k)=f(k) δεν είναι λύση του ΓΠΡΠ.
x 2 x 1 ιευρύνουµε SDFρ (, ) το επιλέγοντας άλλο F
x 2 S(G,w) Ω x 1 S(DF,ρ)
Το ΓΠΡΠ Συνθήκες ύπαρξης λύσης Ογραµµικός νόµος ελέγχου u(t)=fx(t) είναι λύση του ΓΠΡΠ αν και µόνο αν Υπάρχει θετικώς αµετάβλητο σύνολο Ω τέτοιο ώστε S(G,w) Ω S(DF,ρ) Το προκύπτον σύστηµα κλειστού βρόχου x(t+1)=(a+bf)x(t) είναι ασυµπτωτικώς ευσταθές
Ονόµος ελέγχου u(t)=fx(t) είναι λύση στο ΓΠΡΠ αν Το S(G,w) είναι ένα θετικώς αµετάβλητο σύνολο του προκύπτοντος συστήµατος κλειστού βρόχου x(t+1)=(a+bf)x(t ): S(G,w) S(DF,ρ) : H 0 GA + GBF HG = 0 Hw w K 0 KG = DF Kw ρ Το προκύπτον σύστηµα κλειστού βρόχου x(t+1)=(a+bf)x(t) είναι ασυµπτωτικώς αµετάβλητο. Hw < w
Επίλυση του ΓΠΡΠ µε γραµµικό προγραµµατισµό mn F, K, ε { ε} H 0 GA + GBF HG Hw εw 0 < ε <1 K 0 KG = DF Kw ρ = 0