f (x + h) f (x) h f (x) = lim h 0 f (z) f (x) z x df (x) dx, df dy dx,

Transcript

1 Διάλεξη 7: Παράγωγοι συναρτήσεων 1

2 Γενικά Πρόοδος μαθήματος Σάββατο 24/11 στις 14:00 2

3 Παράγωγος ως συνάρτηση Η παράγωγος της f (x) ως προς x, είναι η συνάρτηση f (x) και η οποία ισούται με f (x) = lim h 0 f (x + h) f (x) h υπό την προϋπόθεση ότι το όριο υπάρχει. Εναλλακτικά: f (x) = lim z x f (z) f (x) Επίσης γράφεται και: dy, z x df (x), df 3

4 Διαφορισιμότητα σε διαστήματα Μια συνάρτηση f (x) είναι διαφορίσιμη σε ένα ανοιχτό διάστημα (πεπερασμένο ή άπειρο) αν υπάρχει η παράγωγος της σε κάθε σημείο του διαστήματος Μια συνάρτηση f (x) είναι διαφορίσιμη σε ένα κλειστό διάστημα [α,β] αν είναι διαφορίσιμη στο (α,β) και υπάρχουν τα όρια lim h 0 + f (+h) f () h lim h 0 f (+h) f () h 4

5 Παραδείγματα Να υπολογιστεί η εφαπτομένη της g(z) = z στο σημείο (3,2) Να δειχθεί ότι η παρακάτω συνάρτηση δεν είναι διαφορίσιμη στο Ρ 5

6 Μη ύπαρξη παραγώγου 6

7 Διαφορισιμότητα και συνέχεια Αν η f (x) έχει παράγωγο στο x = c, τότε η f είναι συνεχής στο x = c Το αντίστροφο δεν ισχύει 7

8 Κανόνες παραγώγισης: άθρισμα Αν η f (x) είναι παραγωγίσιμη συνάρτηση του x και c μια σταθερά, τότε d df (cf ) = c Αν οι f και g είναι παραγωγίσιμες συναρτήσεις του x, τότε το άθροισμα f + g είναι παραγωγίσιμο σε κάθε σημείο όπου οι f και g είναι και οι δύο παραγωγίσιμες. Σε αυτά τα σημεία d df (f + g) = + dg 8

9 Κανόνες παραγώγισης: γινόμενο Αν οι f και g είναι παραγωγίσιμες συναρτήσεις στο x, τότε και το γινόμενο τους είναι παραγωγίσιμο ή εναλλακτικά d dg (fg) = f + g df d [f (x)g(x)] = f (x)g (x) + g(x)f (x) 9

10 Κανόνες παραγώγισης: πηλίκο Αν οι f και g είναι παραγωγίσιμες συναρτήσεις στο x και g(x) 0 το πηλίκο τους είναι παραγωγίσιμο ή εναλλακτικά d d [ ] f (x) g(x) ( ) f = g df f dg g g 2 (x) = g(x)f (x) f (x)g (x) g 2 (x) 10

11 Κανόνες παραγώγισης: δυνάμεις Αν η f έχει σταθερή τιμή f (x) = c, τότε df = 0 d Αν n θετικός ακέραιος, x n = nx n 1 και γενικά, n πραγματικός αριθμός, d x n = nx n 1 για κάθε x που ορίζονται οι x n και x n 1 11

12 Παραδείγματα Να βρεθεί η παράγωγος της y = x x 2 5x + 1 Εχει η καμπύλη y = x 4 2x οριζόντιες εφαπτομένες Να βρεθεί η παράγωγος της y = (x 2 + 1)(x 3 + 3) Οι καμπύλες y 1 = x 2 + ax + b και y 2 = cx x 2 έχουν κοινή εφαπτομένη στο σημείο (1,0). Να βρεθούν τα a, b, c 12

13 Παράγωγοι ανωτέρων τάξεων Αν η συνάρτηση y = f (x) είναι διαφορίσιμη συνάρτηση, τότε η παράγωγος της f (x) είναι επίσης συνάρτηση. Αν η f (x) είναι διαφορίσιμη, τότε μπορούμε να πάρουμε την παράγωγο της df (x), που είναι μια καινούργια συνάρτηση και γράφεται f (x) = y (x) = d 2 y = d 2 (dy ) = dy 13

14 Παραδείγματα Να υπολογιστεί η 1 και 2 παράγωγος της r = 1 3s 5 2 2s Να υπολογιστούν οι παράγωγοι όλων των τάξεων της y = x x 2 x 14

15 Παράγωγοι τριγωνομετρικών συναρτήσεων d (sin (x)) = cos (x) (cos (x)) = sin (x) d sin (x) d (tan (x)) = d cos (x) = sec2 (x) d (sec (x)) = d 1 cos (x) = sec (x) tan (x) d (csc (x)) = d 1 sin (x) = csc (x) cot (x) cos (x) d (cot (x)) = d sin (x) = csc2 (x) csc: συντέμνουσα, sec: τέμνουσα, cot: συνεφαπτομένη 15

16 Κανόνας αλυσιδωτής παραγώγισης Να υπολογιστεί η παράγωγος της y = (3x 2 + 1) 2 16

17 Κανόνας αλυσιδωτής παραγώγισης Α η f (u) είναι διαφορίσιμη στο σημείο u = g(x) και η g(x) είναι διαφορίσιμη στο x, τότε η σύνθετη συνάρτηση (f g)(x) = f (g(x)) είναι διαφορίσιμη στο x, και (f g) (x) = f (g(x)) g (x) Σε συμβολισμό Leibniz, αν y = f (u) και u = g(x), τότε dy = dy du du όπου η dy du υπολογίζεται στο σημείο u = g(x). 17

18 Παραδείγματα Να υπολογιστεί η παράγωγος της g(t) = tan (5 sin (2t)) Να υπολογιστεί η παράγωγος της g(x) = 1 3x 2 18