Η Παραµετρική Προσέγγιση στον Εύρωστο Έλεγχο

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Η Παραµετρική Προσέγγιση στον Εύρωστο Έλεγχο"

Θήρων Ζάρκος
6 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Η Παραµετρική Προσέγγιση στον Εύρωστο Έλεγχο ρ. Ε.Ν. Αντωνίου Μεταδιδακτορικός Ερευνητής Τµήµα Μαθηµατικών, Α.Π.Θ.

2 Ιστορική Αναδροµή Κλασσική Θεωρία Maxwell O Goverors (1868) - Ρίζες της Θεωρίας Ελέγχου Hermte (1856) Συσχέτιση θέσης των ριζών πολυωνύµου µε την «υπογραφή» τετραγωνικών µορφών Routh (1877), Hurwtz (1895) Αλγεβρικά Κριτήρια Ευστάθειας Lyapuov (1892) Εξίσωση Lyapuov Μη γραµµικά συστήµατα Nyqust (1932), Bode (1945) Γεωµετρικό Κριτήριο Περιθώρια Ενίσχυσης και Φάσης Potryag, Bellma, Kalma, Bucy ( ) Χώρος Καταστάσεων Βέλτιστος Έλεγχος Youla, Kucera, Desoer, Lu, Murray, Rosebrock κ.α. ( ) Πολυωνυµική περιγραφή Ένα σηµαντικό πρόβληµα: Doyle (1978) Η Θεωρία Βέλτιστου Ελέγχου δεν µπορεί να εγγυηθεί ικανοποιητικά περιθώρια ενίσχυσης και φάσης.

3 Ιστορική Αναδροµή Εύρωστος Έλεγχος (Robust Cotrol) Μη- οµηµένη Αβεβαιότητα ( ιαταραχές Περιορισµένου Μέτρου) Zames, Fracs, Doyle, Kmura, Vdyasagar, Glover κ.α. ( Σήµερα) - H Cotrol Small Ga Theorem. οµηµένη Αβεβαιότητα (Παραµετρική Προσέγγιση) Khartoov (1979), Θεώρηµα Khartoov, Soh, Berger, Dabke (1985) Ακτίνα ευστάθειας πολυωνύµου στο χώρο των συντελεστών, Barlett, Hollot, L (1988) Πολυτοπική αβεβαιότητα Θεώρηµα Ακµών, Berack, Hwag, Bhattacharyya (1987) Ακτίνα ευστάθειας πολυωνύµου στο χώρο των παραµέτρων, Chapellat, Bhattacharyya (1989) - Γενικευµένο Θεώρηµα Khartoov, Γεωµετρικός τόπος Tsypk Polyak (1991).

4 Παράδειγµα: Το ανάστροφο εκκρεµές Θέτοντας (στο γραµµικοποιηµένο µοντέλο): x = y, x = y, x = θ, x = θ Για l = 1, g 10 Οι εξισώσεις κατάστασης είναι: j k x 1 x 2 x 3 x 4 y z { = j k m m +2M y 20 Hm+ ML m+ 2M 0 z { j k x 1 x 2 x 3 x 4 y + z { j k 0 2 m + 2M m + 2M y z { u

5 Παράδειγµα: Το ανάστροφο εκκρεµές Το σύστηµα είναι προφανώς ασταθές Εφαρµογή ανάδρασης κατάστασης της µορφής: u = Kx+ v j k x 1 x 2 x 3 x 4 Οι εξισώσεις κατάστασης του κλειστού συστήµατος είναι: y z { = j k k 1 2k 2 2k 3 m +2M m +2M m+ 2M - 20m 2k 4 m + 2M m +2M k 1 m + 2M - k 2 20 Hm+ ML m + 2M m+ 2M - k 3 m + 2M - k 4 m + 2M Το χαρακτηριστικό πολυώνυµο του κλειστού συστήµατος είναι: y z { j k x 1 x 2 x 3 x 4 y + z { j k 0 2 m + 2M m + 2M y z { v 1 phsl= m +2ML s4 + Hk 4-2k 2 L s 3 + H-20m -20M - 2k 1 + k 3 L s k 2 s + 20k 1 D

6 ιαπιστώσεις Ερωτήµατα Η ευστάθεια του συστήµατος εξαρτάται από τη θέση των ριζών του χαρακτηριστικού πολυωνύµου στο µιγαδικό επίπεδο. Οι συντελεστές του χαρακτηριστικού πολυωνύµου εξαρτώνται (γραµµικά) από τις παρακάτω παραµέτρους: M, m µάζες του αµαξιδίου και της σφαίρας k 1, k 2, k 3, k 4 - συντελεστές της ανάδρασης κατάστασης Είναι δύσκολο να εφαρµόσουµε κλασσικά κριτήρια ευστάθειας (Routh, Hurwtz, Nyqust) λόγω του µεγάλου πλήθους των παραµέτρων. εδοµένων των (M, m), µπορούµε να προσδιορίσουµε το σύνολο των (k 1, k 2, k 3, k 4 ) που καθιστούν το κλειστό σύστηµα ευσταθές? εδοµένου ενός αντιστάθµιστη (k 1, k 2, k 3, k 4 ) που σταθεροποιεί το σύστηµα, πόσο «µεγάλες» µεταβολές των (M, m) είναι «ανεκτές» ώστε το σύστηµα να παραµείνει ευσταθές?

7 Ευστάθεια Hurwtz Έστω: Με ρίζες: Ορισµός: ps = p + ps+ ps + + ps p 2 ( ) , p( s ) = 0, s, = 1,2,3,..., p( s) Hurwtz Stable Re s < 0, = 1,2,3,..., Αναγκαία Συνθήκη: p( s) Hurwtz Stable p > 0, = 1,2,3,..., * Ims * Ims * * Res * * Res * Ρίζες Ευσταθούς Πολυωνύµου * Ρίζες Ασταθούς Πολυωνύµου

8 Θεώρηµα Hermte - Behler Ορίζουµε: eve p ( s) = p + p s + p s odd p ( s) = ps+ p s + p s και e eve p ( ω) = p ( jω) = p p ω + p ω odd o p ( jω) 2 4 p ( ω) = = p1 p3ω + p5ω... jω Θεώρηµα Η-Β: ps ( ) Hurwtz Stable 0 < ω < ω < ω < ω < ω < ω <... e,1 o,1 e,2 o,2 e,3 o,3 ω : p ( ω ) = 0, ω : p ( ω ) = 0 e, e e, o, o o,

9 Παράδειγµα Έστω το πολυώνυµο phsl=s 9 +11s 8 +52s s s s s s s + 6 Έχουµε: p e HwL=11 w w w w p o HwL=w 8-52 w w w p o HwL Το πολυώνυµο είναι ευσταθές σύµφωνα µε το Θεώρηµα H-B p e HwL

10 Το κριτήριο Routh-Hurwtz Ορίζουµε την ακολουθία οριζουσών: = p = p = 1 3 0, 1 1, 2, p p 2 p p = p p p p p p p p 1 3,... = p p p p p p p p p p p p p 0 p( s) = p + ps p s Hurwtz ευσταθες > 0, = 0,1, 2,..., Θεώρηµα: 0 1

11 Το Θεώρηµα ιάσχισης του Συνόρου (Boudary Crossg Theorem) Έστω µια περιοχή ευστάθειας S. Στην περίπτωση της Hurwtz ευστάθειας: Έστω µια µονοπαραµετρική οικογένεια πολυωνύµων: 2 1. p( λ, s) = p0( λ) + p1( λ) s+ p2( λ) s p ( λ) s, λ I = [ a, b] 2. p ( λ)συνεχεις συναρτησεις του λ 3. deg p( λ, s) =, λ I S = { s,res< 0} Θεώρηµα: Αν pas (, )ειναι ευσταθες και pbs (,) ασταθες, τοτε ρ (a,b]ε.ω. α) Το p( ρ, s) εχει ολες του τις ριζες στο S S β) To p( ρ, s) εχει τουλαχιστον µια ριζα στο S

12 Το Θεώρηµα ιάσχισης του Συνόρου (Παράδειγµα) Έστω : p s s s s ( λ, ) = λ + (3 λ) + ( λ + 1) + λ, λ [1,3] Το ζητούµενο ρ του θεωρήµατος είναι: ρ= λ=1 λ= λ= Ο Γεωµετρικός τόπος των ριζών του πολυωνύµου

13 Αρχή Εξαίρεσης του Μηδενός (Zero Excluso Prcple) Έστω µια οικογένεια πολυωνύµων: m () s = {(, δ s p), p Ω},οπου p και Ω m Που ικανοποιεί τις παρακάτω προϋποθέσεις: 1. Η ( s) περιεχει τουλαχιστον ενα ευσταθες πολυωνυµο 2. Το Ω ειναι συναφες µε δροµους 3. deg δ ( s, p) =, p m Θεώρηµα: Καθε δ() ()ειναι ευσταθες ( ) 0,, * * s s δ s p Ω s S Σηµ. Η Αρχή Εξαίρεσης του Μηδενός είναι άµεση συνέπεια του Θεωρήµατος ιάσχισης Συνόρου

14 Hurwtz ευστάθεια ευθυγράµµου τµήµατος Έστω: p ( s) = p + p s p s, p ( s) = p + p s p s Ευθύγραµµο τµήµα των πολυωνύµων: [ p(), s p()] s = { ps (): ps () = λ p() s + (1 λ) p(), s λ [0,1]} Ερώτηµα: Αν p1(), s p2() s είναι ευσταθή, ισχύει το ίδιο για κάθε 1 2 p() s [ p (), s p ()] s? Λήµµα (Segmet Lemma): Ε στω p (), s p () s Hurwtz ευσταθη µε p p > 0. Τοτε καθε ps () [ p(), s p()] s ειναι Hurwtz ευσταθες αν-ν δεν υπαρχει ω > p ( ω) p ( ω) p ( ω) p ( ω) = 0 e o e o p ( ω) p ( ω) 0 e e p ( ω) p ( ω) 0 o o 1 2

15 Παράδειγµα Έστω τα ευσταθή πολυώνυµα: p 1 HsL=10s 3 + s 2 + 6s p 2 HsL=10s 3 + 2s 2 + 8s Το ευθύγραµµο τµήµα των δύο πολυωνύµων: ps = λ p s + λ p s = s + λ s + λ s+ λ 3 2 ( ) 1( ) (1 ) 2( ) 10 (2 ) (8 2 ) 1.57 Για λ = 0.5 ps = s + s + s+ 3 2 ( ) Οι ρίζες είναι: , Â, Â Ασταθές!

16 Το θεώρηµα Khartoov Έστω: ps = p + ps+ ps + + ps p 2 ( ) , Ορίζουµε την οικογένεια πολυωνύµων: + I() s = { p(): s p [ p, p ]} Θεώρηµα Khartoov: Καθε p() s I() s ειναι Hurwtz ευσταθες Τα 4 πολυωνυµα του Khartoov ειναι Hurwtz ευσταθη: p ( s) = p + p s+ p s + p s + p s p ( s) = p + p s+ p s + p s + p s p ( s) = p + p s+ p s + p s + p s p ( s) = p + p s+ p s + p s + p s

17 Το θεώρηµα Khartoov (Ερµηνεία) Το παραλληλεπίπεδο της οικογένειας Ι(s) στο χώρο συντελεστών για =2 p 2 p () s p + () s p 1 p ++ () s p + () s p 0

18 Θεώρηµα Khartoov (Παράδειγµα) To χαρακτηριστικό πολυώνυµου του ανάστροφου εκκρεµούς για Μ=10 και m=1 είναι: phsl= 1 + Hk 4-2k 2 L s 3 + H-2k 1 +k 3-220L s k 2 s + 20k 1 D Για ευκολία θα χρησιµοποιήσουµε το πολυώνυµο χωρίς τον συντελεστή 1/21: phsl=21s 4 + Hk 4-2k 2 L s 3 + H-2k 1 +k 3-220L s k 2 s + 20k 1 Για τα παρακάτω διαστήµατα εφαρµόζουµε το θεώρηµα Khartoov: p 0 œ@30,60d p 1 œ@90,110d p 2 œ@100,200d p 3 œ@70,110d p 4 œ@10,30d p p p + + () s = 10s s s s + 30 () s = 10s 4 +70s s s + 30 () s = 30s s s s + 60 p ++ () s = 30s 4 +70s s s + 60 Τα 4 πολυώνυµα Khartoov αποδεικνύονται Hurwtz ευσταθή.

19 Θεώρηµα Khartoov (Παράδειγµα) Το κλειστό σύστηµα του ανάστροφου εκκρεµούς είναι ευσταθές για Κ που ικανοποιεί τις παρακάτω ανισότητες: 30 20k k k 1 + k k 4-2k Λύνοντας τις παραπάνω ανισότητες παίρνουµε: 1.5 k k k k 121 4

20 Σφαιρικές Περιοχές Πολυωνύµων Έστω: 2 p( s) = p0 + ps 1 + p2s ps P Ταυτίζουµε: T + 1 [ ] P p( s) p, p,..., p 0 1 Ανοικτή Σφαιρική Περιοχή: Υπερσφαίρα: B( p ( s), r) = { p( s) P : p( s) p ( s) < r} 0 0 S( p ( s), r) = { p() s P : p() s p () s = r} 0 0 Θεώρηµα: Εστω p () s P, ευσταθες. Τοτε υπαρχει r( p ): ps ( ) Bp ( ( s), r( p)), ευσταθες ps ( ) S( p( s), r( p)), που εχει µια τουλαχιστον 0 0 ριζα στο S η deg( p( s)) < 3. εν υπαρχει ps ( ) S( p( s), r( p)) µε ριζες στο εσωτερικο του S 0 0

21 Ακτίνα ευστάθειας Hurwtz (Ευκλείδεια Νόρµα) Έστω: 2 p( s) = p0 + ps 1 + p2s ps P (Hurwtz Ευσταθές) και e p ( ω) = p p ω + p ω..., p ( ω) = p pω + pω o Ευκλείδεια νόρµα: = p( s) p p p... p Θεώρηµα: a) = 2p b ) = 2p+ 1 d d 2 ω 2 ω r( p) = m( p, p, d ) d m 0 m = f d ω ω 0 e 2 o 2 [ p ( ω)] [ p ( ω)] = ω ω 1 + ω ω 4 4p 4 4( p 1) e [ p ( ω)] + [ p ( ω)] = 4 4p 1 + ω ω 2 o 2

22 Ακτίνα ευστάθειας Hurwtz (Ευκλείδεια Νόρµα) - Παράδειγµα Έστω: phsl=s 9 +11s 8 +52s s s s s s s + 6 d w 2 = Hw 8-52 w w w L 2 + H11 w w w w 2 +6L 2 w 16 + w 12 + w 8 + w Για ω = , d = f ( d ) = m ω 0 r( p) = m(6,1,1.7662) = 1 ω 50 d ω ω

23 Γραµµική Αφφινική Αβεβαιότητα & Πολυτοπική Θεωρία Ορισµός: C κυρτο P, P C, P= λp + (1 λ) P C για λ [0,1] Ορισµός (Πολύτοπο): m m λ = 1 = 1 cov{ P} = { P : P = P, λ = 1, = 1,2,..., m} Ορισµός: P e κορυφη (ακραιο σηµειο) του cov{ P} εν υπαρχουν P P cov{ P}: P = λp + (1 λ) P για λ (0,1) Ορισµός: a b e a b Αν P, P κορυφες (ακραια σηµεια) του cov{ P}, το ευθυγραµµο τµηµα k l [ P, P ] = { P : P = λp + (1 λ) P, λ [0,1]} ειναι ακµη του cov{ P} αν-ν: k l k l P, P cov{ P}, µε P, P [ P, P ] [ P, P ] [ P, P ] = a b a b k l a b k l

24 Γραµµική Αφφινική Αβεβαιότητα & Πολυτοπική Θεωρία cov{ P, P, P, P, P, P, P } = cov{ P, P, P, P, P } P 1 P 2 P 6 P 5 Κορυφες: P1, P2, P3, P4, P6 P 7 P 3 P 4 Ακµες: [ P1, P2],[ P2, P3],[ P3, P4],[ P4, P6],[ P6, P1]

25 Γραµµική Αφφινική Αβεβαιότητα & Πολυτοπική Θεωρία Ορισµός (Πολύτοπο Πολυωνύµων): P = { psq (, ): psq (, ) = p() q+ p() qs p() qs } 0 1 q= [ q, q,..., q ], a = [ a, a,..., a ], b T m T m 1 2 m 1 2 m T p ( q) = a q + b, q Q = cov{ q } Αν m m λq = 1 = 1 q =,µε λ = 1 m m Τ j Τ j j j j λ j j λ j= 0 j= 0 = 1 j= 0 = 1 p(, sq) = ( a q+ b) s = a qs + bs = psq (, ) Άρα: P = cov{ p( s, q )}

26 Σύνολο Τιµών - Το θεώρηµα των Ακµών Θεώρηµα: Αν P = cov{ p( s, q )} και z τοτε το συνολο τιµων: V ( z, q) = { p( z, q): q cov{ q }} ειναι ενα πολυγωνο στο και µαλιστα V ( z, q) = cov{ p( z, q )} Θεώρηµα (Edge Theorem): Τα µελη µιας πολυτοπικης οικογενειας πολυωνυµων P = cov{ p( s, q )}, q Q j ειναι ευσταθη αν-ν για καθε ζευγος κορυφων q, q που αντιστοιχουν σε ακµες του Q, καθε πολυωνυµο στο ευθυγραµµο τµηµα πολυωνυµων: j j [ ps (, q), psq (, )] = λpsq (, ) + (1 λ) psq (, ) ειναι ευσταθες για καθε λ [0,1]

27 Εφαρµογή στο ανάστροφο εκκρεµές 15 M Χώρος Παραµέτρων p 4 Χώρος Συντελεστών (p 2, p 4 ) Q P m p 2 Εφαρµογή της Αρχής Εξαίρεσης του Μηδενός Σύνολο τιµών p( jω, Q)

Σχετικά έγγραφα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2013 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2013 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 3 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α A Έστω f µια συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστηµα [α, β] Αν G είναι µια παράγουσα της f στο [α, β], τότε να αποδείξετε ότι: β f () t dt = G ( β) G ( α) a Μονάδες