Μετρικές σχέσεις σε τυχαίο τρίγωνο

5 Μετρικές σχέσεις σε τυχί τρίγων Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Θεώρηµ I (Γενίκευση τυ Πυθγρείυ θεωρήµτς γι πλευρά πυ βρίσκετι πένντι πό ξεί γωνί) Τ τετράγων πλευράς τριγώνυ, πυ βρίσκετι πένντι πό ξεί γωνί, είνι ίσ µε τ άθρισµ των τετργώνων των δύ άλλων πλευρών τυ, ελττωµέν κτά τ διπλάσι γινόµεν της µις πό υτές, επί την πρβλή της άλλης επάνω σε υτήν γι πράδειγµ = β + γ β Α Θεώρηµ II (Γενίκευση τυ Πυθγόρειυ θεωρήµτς γι πλευρά πυ βρίσκετι πένντι πό µβλεί γωνί) Τ τετράγων πλευράς τριγώνυ πυ βρίσκετι πένντι πό µβλεί γωνί είνι ίσ µε τ άθρισµ των τετργώνων των δύ άλλων πλευρών, υξηµέν κτά τ διπλάσι γινόµεν της µις πό υτές, επί την πρβλή της άλλης πάνω σ υτήν γι πράδειγµ = β + γ + β Α Πόρισµ L i. > β + γ Αˆ > ii. ˆ L = β + γ Α= iii. < β + γ Αˆ < L Νόµς Συνηµιτόνων Σε κάθε τρίγων ΑΒΓ ισχύει: = β + γ βγσυνα, β = + γ γσυνβ, γ = + β βσυνγ

58. Μετρικές σχέσεις σε τυχί τρίγων Θεώρηµ III ( θεώρηµ διµέσων) Τ άθρισµ των τετργώνων δύ πλευρών τριγώνυ, ισύτι µε τ διπλάσι τυ τετργώνυ της διµέσυ, πυ περιέχετι µετξύ των πλευρών υτών, υξηµέν κτά τ µισό τυ τετργώνυ της τρίτης πλευράς γι πράδειγµ β + γ = µ + Θεώρηµ IV ( θεώρηµ διµέσων) Η διφρά των τετργώνων των δύ πλευρών ενός τριγώνυ, ισύτι µε τ διπλάσι γινόµεν της τρίτης πλευράς, επί την πρβλή της ντίστιχης διµέσυ στην πλευρά υτή. Γι πράδειγµ: β - γ = Μ (β > γ) Τύπι διµέσων: µ β + γ = 4 µ β + γ β = 4 µ γ + β γ = 4 Βσική εφρµγή Τ ύψς υ, τριγώνυ ΑΒΓ, δίνετι πό τη σχέση υ = τ(τ )(τ β)(τ γ) όπυ + β+ γ τ = Β. ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Κτηγρί - Mέθδς Χρησιµπιύµε τις µετρικές σχέσεις πυ µάθµε σ υτήν λλά κι στην πρηγύ- µενη πράγρφ, νάλγ µε την περίπτωση. π.χ. ότν στ πρόβληµ εµπλέκετι διάµεσς χρησιµπιύµε τν τύπ της ντίστιχης διµέσυ. Γι τν υπλγισµό γωνιών χρησιµπιύµε τις πρτάσεις πυ µάθµε γι τις σχέσεις κθέτων πλευρών κι γωνιών σε ρθγώνι τρίγων ή π ευθείς τ νόµ των συνηµιτόνων όπυ µι γωνί πρσδιρίζετι πό τ συνηµίτνό της. Γ. ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση 7 Ι. Σε τρίγων ΑΒΓ είνι β = 7, γ = 6 κι µ =. Ν υπλγίσετε:. την πλευρά β. την πρβλή της διµέσυ µ πάνω στην ΒΓ.

Μετρικές σχέσεις σε τυχί τρίγων 59.. Στ τρίγων ΑΒΓ εφρµόζυµε τ πρώτ θεώρηµ των διµέσων β+ γ = µ + κι λύνυµε ως πρς : 49 = β + γ 4µ = 49 + 36 4 = = 4 β. Στ ΑΒΓ η πρβλή της διµέσυ στην πλευρά είνι η Μ. Εφρµόζυµε τ δεύτερ θεώρηµ των δι- µέσων στ ΑΒΓ, µε β > γ κι έχυµε: β γ = Μ Άρ β γ 49 36 3 Μ = = = Άσκηση ίνετι τρίγων ΑΒΓ µε ΑΒ = 3, ΒΓ = 5 κι ΓΑ = 7. Ν υπλγίσετε τη γωνί ˆΒ. τρόπς Εφρµόζυµε τ νόµ των συνηµιτόνων γι τη γωνί Βˆ κι είνι β = + γ γσυνβˆ. Λύνυµε ως πρς συν Βˆ κι έχυµε: γ β 5 9 49 5 συνβˆ + + = = = = γ 53 30 πότε ˆΒ= 0. β τρόπς Έχυµε β = 49 κι Από τ Θεώρηµ II, έχυµε: + γ = 5 + 9 = 34. Πρτηρύµε ότι > + L πότε ˆΒ> β γ 3 β = + γ + Β 49= 5+ 9 5 Β Β = ΑΒ Επµένως Β =. Επειδή στ ρθγώνι τρίγων ΑΒ η κάθετη πλευρά Β είνι τ µισό της υπτείνυσς η πένντι ξεί γωνί είνι: ˆΑ = 30 πότε Β ˆ = 60 κι Β ˆ = 0. Άσκηση 3 Ν βρείτε τ είδς της γωνίς πυ βρίσκετι πένντι στη µεγλύτερη πλευρά τριγώνυ ΑΒΓ ότν:. = 5, β=, γ = 3 β. = 4, β = 5, γ = 6 γ. = 4, β = 5, γ = 7

60. Μετρικές σχέσεις σε τυχί τρίγων Σύµφων µε θεώρηµ πυ µάθµε στην ύλη της Α Λυκείυ σ έν τρίγων πένντι πό τη µεγλύτερη πλευρά, βρίσκετι η µεγλύτερη γωνί. Έτσι, έχυµε:. Η µεγλύτερη πλευρά είνι η γ µε L Είνι γ = β + πότε ˆΓ= β. Η µεγλύτερη πλευρά η γ µε γ = 36 κι Είνι γ < + β πότε Γ< ˆ L γ. Η µεγλύτερη πλευρά η γ µε Είνι γ > + β πότε Γ> ˆ L γ = 69 κι + β = 5 + 44 = 69. + β = 6 + 5 = 4. γ = 49 κι + β = 6 + 5 = 4. Άσκηση 4 Ν εξετάσετε ν υπάρχει τρίγων µε πλευρές: 3 7 κ κ i. γ =, β =, ii. γ =, β =, iii. = κ, β =, γ =, κ > 0 3 5 5 3 3 Στην περίπτωση πυ υπάρχει ν βρείτε τ είδς τυ τριγώνυ ως πρς τις γωνίες τυ. 3 3 4 i. Αν υπήρχε τρίγων µε πλευρές γ = κι β = τότε θ είχµε β+ γ = + = <. 3 5 5 3 5 Άτπ γιτί πρέπει λόγω τριγωνικής νισότητς β + γ >. 7 ii. Αν υπήρχε τρίγων µε πλευρές γ =, β = τότε θ είχµε 5 3 Άτπ διότι πρέπει λόγω τριγωνικής νισότητς γ β<. 7 6 γ β = = >. 5 3 5 iii. Η µεγλύτερη πλευρά είνι η. Αφύ ισχύει κ κ κ κ κ 7κ = < = κ < + = υπάρ- 6 3 3 6 χει τρίγων µε υτές τις πλευρές. Έχυµε = κ κ 4κ 5κ κι β + γ = + = < κ. 4 9 36 Άρ > β + γ ˆΑ 90 >, πότε ˆΒ 90 < κι ˆΓ 90 <. Άσκηση 5 ίνετι ισσκελές τρίγων ΑΒΓ (ΑΒ = ΒΓ) κι Ν σηµεί της βάσης τυ ΒΓ. Αν ΒΝ = 3, ΝΓ = 7 κι ΑΒ = ΑΓ = ν υπλγιστεί τ ΑΝ.

Μετρικές σχέσεις σε τυχί τρίγων 6. Έστω ΑΜ η διάµεσς άρ κι ύψς τυ τριγώνυ ΑΒΓ. Αφύ ΒΝ < ΝΓ είνι ΑΝΒ ˆ > 90. Εφρµόζντς τ γενικευµέν πυθγόρει θεώρηµ στ τρίγων ΑΒΝ έχυµε: ΑΒ = ΒΝ + ΝΑ + ΒΝ ΝΜ ή = 3 + ΝΑ + 3(7 5) = 9 + ΝΑ + ΝΑ = 00 ΝΑ = 0 Άσκηση 6 Με κέντρ τ σηµεί τµής των διγωνίων ενός πρλληλγράµµυ ΑΒΓ, γράφυµε κύκλ. Αν Μ είνι τυχί σηµεί τυ κύκλυ, ν πδείξετε ότι τ άθρισµ ΜΑ + ΜΒ + ΜΓ + Μ είνι στθερό. Οι διγώνιι τυ πρλληλγράµµυ διχτµύντι. Άρ στ τρίγων ΜΒ κι ΜΑΓ η ΜΟ είνι διάµεσς. Από τ θεώρηµ των διµέσων στ τρίγων υτά έχυµε: Β ΜΒ + Μ = ΜΟ + () ΑΓ ΜΑ + ΜΓ = ΜΟ + () Πρσθέτυµε κτά µέλη τις () κι () κι έχυµε Β ΑΓ ΜΑ + ΜΒ + ΜΓ + Μ = 4ΜΟ + + πυ είνι στθερό. Άσκηση 7 Αν µετξύ των πλευρών, β, γ ενός τριγώνυ ΑΒΓ ισχύει γ = + β + β ν υπλγιστεί η γωνί Γˆ. Έχυµε γ = + β + β () πότε γ > + β άρ ˆΓ > 90. Εφρµόζντς τ γενικευµέν πυθγόρει θεώρηµ γι την µβλεί γωνί Γ στ τρίγων ΑΒΓ έχυµε γ = + β + Γ (). Από (), () έχυµε: β β = Γ Γ =. Άρ ˆΑ = 30 φύ τ ΑΓ τρίγων είνι ρθγώνι θ είνι Γ ˆ = 60 κι Γ ˆ = 0.

6. Μετρικές σχέσεις σε τυχί τρίγων Πρτήρηση: Τ πρόβληµ θ µπρύσε ν λυθεί κι µε τν νόµ των συνηµιτόνων: γ = + β βσυνγˆ. Άσκηση 8 3 3 3 ίνετι τρίγων ΑΒΓ µε = β + γ. Ν πδείξετε ότι τ τρίγων είνι ξυγώνι. 3 3 3 3 3 Επειδή = β + γ (), είνι > β, κι 3 > γ 3 δηλδή > β κι > γ. Άρ η µεγλύτερη 3 > β β > β πλευρά είνι η, πότε:. µε πρόσθεση κτά µέλη πίρνυµε: 3 > γ γ > γ ( ) 3 3 3 3 β + γ > β + γ β + γ > β + γ κι λόγω της () έχυµε: ( ) 3 β + γ > β + γ >. Άρ Α< 90. Άσκηση 9 ίνετι ισσκελές τρίγων ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ) κι ευθεί πράλληλη πρς την ΒΓ πυ τέµνει τις πλευρές ΑΒ, ΑΓ στ σηµεί, Ε ντίστιχ. Ν δείξετε ότι ΒΕ = ΕΓ + ΒΓ Ε. Είνι ˆΓ< 90, ως γωνί βάσης τυ ισσκελύς τριγώνυ ΑΒΓ. Έστω Λ, Κ ι πρβλές των, Ε ντίστιχ στην πλευρά ΒΓ. Από τ γενικευµέν πυθγόρει θεώρηµ γι ξεί γωνί στ τρίγων ΒΓΕ έχυµε: ( ) BE = EΓ + BΓ BΓ ΓK = EΓ + BΓ ΒΓ ΓΚ = ( ) ΕΓ ΒΓ ΒΓ ΚΓ ΒΛ ΕΓ ΒΓ ΛΚ ΕΓ ΒΓ Ε = + = + = + (* Είνι ΒΛ = ΚΓ διότι τ τρίγων ΒΛ, ΕΓΚ είνι ίσ) Άσκηση 0 ίνετι κύκλς διµέτρυ ΑΒ κι µι χρδή τυ Γ //ΑΒ. Αν Κ είνι έν σηµεί της ΑΒ ν δειχτεί ότι ΚΓ + Κ = ΚΑ + ΚΒ. Έστω Λ τ µέσν τυ Γ. Τότε ΟΛ Γ κι Γ = ΓΛ. Εφρµόζυµε τ θεώρηµ διµέσων στ τρίγων ΚΓ : Γ Κ + ΚΓ = ΚΛ +.

Μετρικές σχέσεις σε τυχί τρίγων 63. Άρ 4ΓΛ Κ + ΚΓ = ΚΛ + = ΚΛ + ΓΛ = ( ) ( = ΚΟ + ΛΟ + ΓΟ ΟΛ ) = ΚΟ ΛΟ ΓΟ ΟΛ ( ΚΟ R ) Επίσης ΚΑ ΚΒ ( R ΟΚ) ( R OK) ( R ΟΚ ) + + = + () + = + + = + () Από (), () έχυµε ΚΓ + Κ = ΚΑ + ΚΒ Άσκηση Σε ρθγώνι τρίγων ΑΒΓ ( o  = 90 ) είνι B ˆ = 3Γ. ˆ Ν πδείξετε ότι β γ = βγ. Επειδή Bˆ = 3Γˆ κι B ˆ +Γ= ˆ 90 έχυµε ˆΓ =,5 κι ˆB= 67,5. Φέρνυµε τ ύψς Α κι τη διάµεσ ΑΟ. Από τ δεύτερ θεώρηµ των διµέσων έχυµε β γ = Ο. Τ τρίγων ΑΟΓ είνι ισσκελές () ΒΓ ΑΟ = = ΟΓ. Άρ Αˆ ˆ = Γ=,5 άρ ˆΟ 45 =. Τ τρίγων ΑΟ είνι ισσκελές ( Α ˆ ˆ =Ο = 45 ), επµένως Ο = Α. β γ = Α. Έτσι η σχέση () γράφετι: ( ) Όµως σε κάθε ρθγώνι τρίγων ΑΒΓ ισχύει β γ = υ. Τότε η σχέση () γράφετι: β γ = βγ. Άσκηση (Θεώρηµ Euler) Ν δειχτεί ότι τ άθρισµ των τετργώνων των πλευρών ενός τετρπλεύρυ είνι ίσ µε τ άθρισµ των τετργώνων των διγωνίων τυ υξηµέν κτά τ τετρπλάσι τετράγων τυ τµήµτς πυ συνδέει τ µέσ των διγωνίων τυ. Εφρµόζντς τ Θεώρηµ των διµέσων στ τρίγων ΑΒ, ΓΒ, έχυµε: Β ΑΒ + Α = ΑΝ + (), Β Γ + ΓΒ = ΝΓ + () Από (), () έχυµε: ΑΒ + Α + Γ + ΓΒ = ΑΝ + ΝΓ + Β ( )

64. Μετρικές σχέσεις σε τυχί τρίγων Εφρµόζυµε τ θεώρηµ των διµέσων στ τρίγων ΑΓ Α Ν Γ ΝΑ + ΝΓ = ΝΜ + (3) ΑΓ Από (3), (4) πρκύπτει: ΝΜ + + Β = 4ΝΜ + ΑΓ + Β κι έχυµε: Πρτήρηση Αν τ τετράπλευρ ΑΒΓ είνι πρλληλόγρµµ τ µέσ των ΑΓ κι Β συµπίπτυν. Άρ (ΜΝ = 0) κι η πρπάνω πρότση διτυπώνετι ως εξής: Τ άθρισµ των τετργώνων των πλευρών ενός πρλληλγράµµυ είνι ίσ µε τ ά- θρισµ των τετργώνων των διγωνίων τυ. Άσκηση 3 3 Ν δειχτεί ότι σε κάθε ρθγώνι τρίγων ΑΒΓ ( Α = 90 ) ισχύει µ + µ + µ = β γ Αφύ ˆΑ = 90 ισχύει = β + γ () Έχυµε β + γ + γ β + β γ µ + µ β + µ γ = + + = 4 4 4 ( + + ) () ( ) 3 β γ 3 3 = = = 4 4 Άσκηση 4 Έστω τ τετράπλευρ ΑΒΓ. Ν δείξετε ότι ΑΓ Β ν κι µόν ν ΑΒ + Γ = ΓΒ + Α. Έστω Ο τ σηµεί τµής των διγωνίων κι Μ τ µέσ τυ Β. Ευθύ: Αν ΑΓ Β πό τ θεώρηµ διµέσων στ τρίγων ΑΒ κι ΒΓ έχυµε: Α ΑΒ = Β ΜΟ () κι Από (), (): Γ ΒΓ = Β ΜΟ () Α ΑΒ = Γ ΒΓ Α + ΒΓ = Γ + ΑΒ Αντίστρφ: Έστω ΑΒ + Γ = ΓΒ + Α. Υπθέτυµε ότι Α > ΑΒ. Έχυµε:

Μετρικές σχέσεις σε τυχί τρίγων 65. ΑΒ + Γ = ΓΒ + Α Γ ΓΒ = Α ΑΒ () Πρέπει Γ ΓΒ > 0 Γ > ΓΒ Γ > ΓΒ. Αν ΑΑ Β κι ΓΓ Β στ τρίγων ΑΒ κι ΒΓ πό τ δεύτερ θεώρηµ των διµέσων έχυµε: Α ΑΒ = Β ΜΑ, Γ ΓΒ = Β ΜΓ Τότε πό την () έχυµε: Β ΜΑ = Β ΜΓ ή ΜΑ = ΜΓ. Άρ Α Γ φύ τ Α, Γ βρίσκντι πό τ ίδι µέρς της µεσκθέτυ της Β. Επµένως τ Α, Γ συµπίπτυν στ Ο κι ΑΓ Β. Άσκηση 5 Εκτέρωθεν της πλευράς ΒΓ τριγώνυ ΑΒΓ κτσκευάζυµε ισόπλευρ τρίγων ΒΓ κι ΒΓΕ. Ν πδείξετε ότι Α + ΑΕ = + β + γ. Στ τρίγων ΑΒΓ κι Α Ε, η ΑΜ είνι διάµεσς, διότι τ Β ΓΕ είνι ρόµβς ( Β = Γ = ΓΕ = ΒΕ = ΒΓ) άρ ι διγώνιι διχτµύντι κι τέµνντι κάθετ. Εφρµόζυµε τ θεώρηµ των διµέσων στ Α Ε τρίγων. Ε Α + ΑΕ = ΑΜ + () β + γ 4 Τ τρίγων Β Μ είνι ρθγώνι πότε Στ τρίγων ΑΒΓ ισχύει: ΑΜ = ( ) Β = Μ + ΒΜ 3 Μ = = 4 3 Επµένως Ε = ( Μ) = 4 Μ = 4 = 3 () 3. 4 Η σχέση () µε τη βήθει των () κι (3) γράφετι: β + γ 3 β + γ + 3 Α + ΑΕ = + = = + β + γ. 4 Άρ Α + ΑΕ = + β + γ. Άσκηση 6 ίνετι τ ξυγώνι τρίγων ΑΒΓ στ πί ισχύει: β + γ = (). Ν πδειχθεί ότι µ β = γ (µε µ β είνι η διάµεσς πρς την πλευρά β). β. Ν υπλγισθεί η πρβλή της µ β επί της πλευράς β..

66. Μετρικές σχέσεις σε τυχί τρίγων. Σύµφων µε τ θεώρηµ των διµέσων έχυµε: β + γ = µβ + + γ = 4µβ + β () β + γ + γ = 4µβ + β 4γ = 4µβ µβ = γ β. Σύµφων µε τ ερώτηµ τ τρίγων ABM είνι ισσκελές µε Α ύψς, πότε Α ΑΜ ΑΓ β είνι κι διάµεσς. Άρ Μ = = =. 4 4 Άσκηση 7 Στην υπτείνυσ ΒΓ ενός ρθγωνίυ τριγώνυ ΑΒΓ, θεωρύµε τ σηµεί κι Ε 5 τέτι ώστε Β = Ε = ΕΓ. Ν πδείξετε ότι Α + ΑΕ = ΒΓ 9 Φέρνυµε τη διάµεσ ΑΜ τυ τριγώνυ ΑΒΓ. Τότε επειδή ΒΜ = ΓΜ κι Β = ΓΕ έχυµε: Μ = ΒΜ Β = ΓΜ ΓΕ = ΕΜ. Άρ η ΑΜ είνι διάµεσς στ τρίγων ΑΕ, επµένως Ε Α + ΑΕ = ΑΜ + () ΒΓ ΒΓ Επειδή ΑΜ = κι ΓΕ = Ε = Β = ντικθιστώντς στη σχέση () 3 έχυµε: ΒΓ Α + ΑΕ = + = + = ΒΓ 4 8 9 ΒΓ 3 ΒΓ ΒΓ 5. ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ. Στ τρίγων ΑΒΓ είνι ΑΒ = 6cm, ΑΓ = 8cm κι ΒΓ = 7cm. Η ΑΜ είνι διάµεσς κι τ Α είνι ύψς. Τ Μ ισύτι µε 3 cm.

Μετρικές σχέσεις σε τυχί τρίγων 67.. Στ διπλνό σχήµ είνι AB = 4cm, BΓ= 5cm κι τ Α ύψς κι η γωνί BA = 30. Τ µήκς της πλευράς ΑΓ σε cm ισύτι µε: i. 3 ii. 4 iii. 0 iv. v. 0 3. Σε ισσκελές τρίγων ΑΒΓ ( ΑΒ = ΑΓ ) είνι ˆΑ 90 >. Φέρνυµε τ ύψς Β. Ν πδείξετε ότι ΒΓ = ΑΓ Γ. 4. Σε τρίγων ΑΒΓ ι πλευρές τυ είνι: i. = 4 β = 6 γ = 7 ii. = 3 β = 8 γ = 6 Ν βρεθεί τ είδς των γωνιών τυ τριγώνυ σε κάθε περίπτωση. 5. Αν σε έν τρίγων ΑΒΓ ΑΒ =, ΒΓ = + 3, ΑΓ = 6 ν υπλγίσετε τη γωνί Β. ( Β= 60 ) 6. Ν βρεθεί τ είδς τυ τριγώνυ ως πρς τις γωνίες τυ ν ι πλευρές τυ είνι = 3κ, β = 4κ, γ = 6κ. 7. ίνετι έν τρίγων µε ˆΑ = 50. ν δείξετε ότι + β + γ = βγ 3. 8. Σε ισσκελές τρίγων ΑΒΓ ( ΑΒ ΑΓ) Ν πδειχθεί ότι Α = ΑΓ + ΒΓ. 9. Σε ισσκελές τρίγων ΑΒΓ ( ΑΒ ΑΓ) πδειχθεί ότι ΑΒ Α = ΒΓ Γ. = πρεκτείνυµε την ΒΓ κτά τµήµ Γ = ΒΓ. = πίρνυµε τυχί σηµεί επί της ΒΓ. Ν 0. Σε κάθε τρπέζι ΑΒΓ (ΑΒ // Γ ) ν δείξετε ότι ισχύει: ΑΓ + Β = Α + ΒΓ + ΑΒ Γ.. ίνντι ι κύκλι (Κ, ) κι (Λ, 4) πυ εφάπτντι εξωτερικά. Ν υπλγίσετε τ κινό εφπτόµεν τµήµ υτών. (Απ: 4). Αν στ τρίγων ΑΒΓ είνι 4µ = β + ν δείξετε ότι τ τρίγων ΑΒΓ είνι ισσκελές. β

68. Μετρικές σχέσεις σε τυχί τρίγων 3. ίνετι τρίγων ΑΒΓ, η διάµεσς τυ Α κι σηµεί Ε στην πρέκτση της ΒΓ ώστε ΓΕ ΒΓ =. Ν πδείξετε ότι: ΑΕ ΑΒ 3( ΑΓ Α ) =. 4. Σε τρίγων ΑΒΓ φέρνυµε τη διάµεσ ΑΜ. Από τ Μ φέρνυµε κάθετη στην ΑΜ πυ τέµνει την ΑΓ στ Ε. Αν ισχύει ΒΕ + ΕΓ = ΕΑ ν δείξετε ότι Α= ˆ 90. 5. ίνετι κύκλς (Ο, κ) κι δύ διάµετρί τυ ΑΒ κι Γ. Έστω Μ σηµεί τυ επιπέδυ τέτι ώστε: ΑΜ = 5, ΒΜ = 0, ΓΜ = 4. Ν βρεθεί τ µήκς τυ Μ. (Απ: Μ = 7) 6. Αν µ = 3, µ β = 4, µ γ = 5 ν πρσδιρίσετε τ είδς τυ τριγώνυ. (Υπ: Χρησιµπιείστε τυς τύπυς µ, µ β, µ γ κι λύστε τ σύστηµ µ = 9 µ = 6 β ) µ = 5 γ 7. Αν τ σηµεί, Ε τριχτµύν την υπτείνυσ ΒΓ ρθγωνίυ τριγώνυ ΑΒΓ, ν δειχτεί ότι Α + Ε + ΕΑ =. 3 8. Αν σε τρίγων ισχύει υ = (τ β)(τ γ) τότε ν δείξετε ότι τ =. (Υπ: Χρησιµπιείστε τν τύπ υ = τ(τ )(τ β)(τ γ) ) 9. ίνετι ισσκελές τρίγων ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ) κι έστω έν σηµεί της ΒΓ. Ν δειχτεί ότι ΑΒ Α = Β Γ. 0. ίνετι ισσκελές τρπέζι (ΑΒ//Γ ). Ν δειχτεί ότι ΑΓ ΒΓ = ΑΒ Γ.. Αν γι τις βάσεις ΑΒ, Γ τρπεζίυ έχυµε: Γ = ΑΒ ν δειχτεί ότι: ΑΓ + Β = ΒΓ + Γ + Α (Υπ: Απδείξτε την πι πάνω σχέση χωριστά ν ι γωνίες µις βάσης είνι ξείες κι χωριστά ν είνι µβλείες). Στ τρίγων ΑΒΓ κτσκευάζυµε εκτέρωθεν της ΒΓ ισόπλευρ τρίγων ΒΓ κι ΒΓΕ. Αν ισχύει ΒΓ = ΑΒ + ΑΓ ν δείξετε ότι ΑΕ ˆ = 90.

Μετρικές σχέσεις σε τυχί τρίγων 69. Ε. ΤΟ ΞΕΧΩΡΙΣΤΟ ΘΕΜΑ. Ν δείξετε ότι σε κάθε ξυγώνι τρίγων ΑΒΓ ισχύει κτίν τυ περιγεγγρµµένυ κύκλυ τυ τριγώνυ. + β + γ > 8R, όπυ R η. Σε κύκλ (Ο, R), θεωρύµε Α τυχί λλά στθερό σηµεί στ εσωτερικό τυ κι κτσκευάζυµε τ ρθγώνι τρίγων ΑΒΓ, µε την υπτείνυσ ΒΓ ν είνι χρδή τυ κύκλυ. Αν Μ είνι τ µέσν της µετβλητής υπτείνυσς ΒΓ κι τ µέσν τυ ευθύγρµµυ τµήµτς ΟΑ, ν δείξετε ότι: i. ΑΜ + ΟΜ = R ii. τ µήκς Μ είνι στθερό 3. ίνετι ισόπλευρ τρίγων ΑΒΓ, πλευράς. Αν Μ είνι τυχί σηµεί τυ εγεγγρµέ- νυ κύκλυ τυ τριγώνυ, ν δείξετε ότι τ άθρισµ ΜΑ + ΜΒ + ΜΓ είνι στθερό.