b. η ταλάντωση του σώματος παρουσιάζει διακρότημα.

ΘΕΜΑ 1 Ο 1) Το σώμα μάζας m του σχήματος εκτελεί εξαναγκασμένη ταλάντωση μέσα σε ρευστό από το οποίο δέχεται δύναμη της μορφής με =σταθ. Ο τροχός περιστρέφεται με συχνότητα f. Αν η σταθερά του ελατηρίου είναι k: a. το σώμα εκτελεί ταλάντωση με συχνότητα. b. η ταλάντωση του σώματος παρουσιάζει διακρότημα. c. το σώμα εκτελεί ταλάντωση με συχνότητα. d. το πλάτος της ταλάντωσης του σώματος μειώνεται σε σχέση με το χρόνο. 2) Σε ένα ιδανικό κύκλωμα LC, αν διπλασιάσουμε το συντελεστή αυτεπαγωγής του πηνίου και ταυτόχρονα υποδιπλασιάσουμε τη χωρητικότητα του πυκνωτή, η περίοδος ταλάντωσης θα: a. διπλασιαστεί. b. μείνει ίδια. c. υποδιπλασιαστεί. d. υποτετραπλασιαστεί. 3) Να επιλέξετε τη σωστή ή τις σωστές από τις παρακάτω απαντήσεις a. Η περίοδος μιας απλής αρμονικής ταλάντωσης είναι ανεξάρτητη από το πλάτος ταλάντωσης. b. Ο χρόνος ανάμεσα σε δύο διαδοχικούς μηδενισμούς (ή δύο διαδοχικές 1

μεγιστοποιήσεις) της απομάκρυνσης από τη θέση ισορροπίας ονομάζεται περίοδος των διακροτημάτων. c. Η σχέση μεταξύ του φορτίου και της έντασης ρεύματος σε ένα κύκλωμα LC είναι. d. Σε μια εξαναγκασμένη ταλάντωση, κατά το συντονισμό το ταλαντούμενο σύστημα δε χάνει ενέργεια. e. Η σταθερά απόσβεσης εξαρτάται από τις ιδιότητες του μέσου καθώς και από το σχήμα και το μέγεθος του αντικειμένου που κινείται. (Μονάδες 5) 4) Το σώμα μάζας m του σχήματος εκτελεί εξαναγκασμένη ταλάντωση μέσα σε δοχείο που περιέχει αέρα υπό πίεση, από τον οποίο δέχεται δύναμη της μορφής με =σταθ. Αν αυξηθεί η πίεση του αέρα στο δοχείο, με αποτέλεσμα να υπάρξει μια μικρή αύξηση της σταθεράς b, το σώμα θα εκτελέσει: α. φθίνουσα ταλάντωση. β. αμείωτη ταλάντωση μικρότερου πλάτους. γ. απεριοδική κίνηση. 5) Αν η συχνότητα ενός αρμονικού κύματος που διαδίδεται σ ένα ελαστικό μέσο διπλασιαστεί, τότε: α. θα διπλασιαστεί το πλάτος του κύματος. β. θα διπλασιαστεί η περίοδος του κύματος. γ. θα υποδιπλασιαστεί το μήκος κύματος του κύματος. δ. θα υποδιπλασιαστεί η ταχύτητα διάδοσης του κύματος. 6) Σ ένα γραμμικό ομογενές ελαστικό μέσο και κατά μήκος του άξονα χ χ 2

διαδίδεται αρμονικό κύμα. Αν οι φάσεις των ταλαντώσεων δυο σημείων του μέσου είναι (2π/3) rad και (π/6) rad και η μεταξύ τους απόσταση είναι Δχ = 0,25 m όπου Δχ<λ, τότε το μήκος κύματος του κύματος είναι: α. 0,5 m β. 1 m γ. 1,5 m δ. 2 m ΘΕΜΑ 2 Ο 1) Τα δύο σώματα Σ 1 και Σ 2 έχουν μάζες m και 2m αντίστοιχα, είναι δεμένα στα άκρα δύο ελατηρίων με σταθερές k και, όπως φαίνεται στο σχήμα. Τα δύο σώματα εκτελούν απλές αρμονικές ταλαντώσεις με ίσες μέγιστες επιταχύνσεις. Για τις ολικές ενέργειες των ταλαντώσεων Ε 1 και Ε 2 ισχύει : α. Ε 2 = Ε 1 β. Ε 2 = 4 Ε 1 γ. Ε 2 = 8 Ε 1 (Μονάδες 5) 2) Απλός αρμονικός ταλαντωτής εκτελεί ταλάντωση πλάτους Α, μηδενικής αρχικής φάσης. Η κινητική ενέργεια του ταλαντωτή είναι τριπλάσια της δυναμικής ενέργειας της ταλάντωσής του για πρώτη φορά, όταν η φάση της ταλάντωσης είναι: α. φ = rad. β. φ = 5 6 rad. γ. φ = 6 rad. (Μονάδες 5) 3) Κύκλωμα RLC εκτελεί φθίνουσες ηλεκτρικές ταλαντώσεις. Το μέγιστο φορτίο του πυκνωτή ελαττώνεται σύμφωνα με τη σχέση Q = Q 0 e -Λt, όπου Λ μια θετική σταθερά. 3

Στο διάγραμμα του παραπάνω σχήματος απεικονίζεται η χρονική μεταβολή του φορτίου του πυκνωτή. Α) Η τιμή της σταθεράς Λ είναι: α. 125 ln2 s-1 β. 250 ln2 s-1 γ.500 ln2 s-1 Β) Ο αριθμός των ταλαντώσεων που εκτελεί το κύκλωμα από τη χρονική στιγμή κατά την οποία το πλάτος του φορτίου του πυκνωτή είναι 20 μέχρι τη χρονική στιγμή 0 κατά την οποία το πλάτος του φορτίου του πυκνωτή γίνεται α. 6 ταλαντώσεις β. 24 ταλαντώσεις είναι: γ. 32 ταλαντώσεις (Μονάδες 5) 4) Σε γραμμικό ελάχιστο μέσο, που έχει τη διεύθυνση του άξονα χ Οχ, διαδίδεται προς τη θετική κατεύθυνση του άξονα εγκάρσιο αρμονικό κύμα μήκους κύματος λ= 0,2 m. Στο S.I. η εξίσωση της ταλάντωσης του υλικού σημείου που βρίσκεται στην αρχή Ο(χ=0) του άξονα είναι της μορφής y= 0,4 ημ(5πt). Στο ακόλουθο διάγραμμα απεικονίζονται οι γραφικές παραστάσεις των φάσεων της ταλάντωσης δυο υλικών σημείων Σ1 και Σ2 του ελαστικού μέσου σε συνάρτηση με τον χρόνο. Α/ Η απόσταση Δx των θέσεων των σημείων Σ1 και Σ2 είναι: α. d= 0,2 m. β. d= 0,4 m. γ. d= 0,6 m. Β/ Τη χρονική στιγμή κατά την οποία η απομάκρυνση του υλικού σημείου Σ2 από τη θέση ισορροπίας του είναι y= + 0,2 m, η επιτάχυνση του υλικού σημείου Σ1 είναι: 4

α. α 1 = -10π 2 m/s 2 β. α 1 = 0 γ. α 1 = -5π 2 m/s 2 Γ/ Αφού βρεθούν οι στιγμές t 1,t 2 με χρήση του παραπάνω διαγράμματος (φ-t), τη χρονική στιγμή (t 1 + t 2) το κύμα έχει διαδοθεί σε απόσταση από την αρχική Ο του άξονα: α. 3,6 m. β. 4 m. γ. 4,4 m. (Μονάδες 6) 5) Η κινητική ενέργεια Κ ενός σώματος που εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση σε συνάρτηση με την απομάκρυνση x από τη θέση ισορροπίας του δίνεται από τη σχέση Κ=10-40x 2 (S.I). Το πλάτος της ταλάντωσης του σώματος είναι: α. Α= 0,25 m. β. Α= 0,5 m. γ. Α= 1 m. ΘΕΜΑ 3 Ο Κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου και κατά τη θετική κατεύθυνση του άξονα x'0x διαδίδεται αρμονικό κύμα με εξίσωση: (S.I.). Κάποια χρονική στιγμή t οι φάσεις δυο σημείων (Μ) και (Ν) του μέσου, τα οποία βρίσκονται δεξιά της πηγής (Ο), είναι και αντίστοιχα. α) Να βρείτε το μέτρο της ταχύτητας διάδοσης του κύματος και να σχεδιάσετε το διάγραμμα φάσης θέσης (φ-x), για τη χρονική στιγμή. β) Να βρείτε ποιο από τα δυο σημεία (Μ), (Ν) είναι πιο κοντά στην πηγή (Ο), καθώς και την απόσταση μεταξύ των δύο σημείων. γ) Να σχεδιάσετε το στιγμιότυπο του κύματος τη χρονική στιγμή. δ) Να βρείτε την απομάκρυνση του σημείου (Ν) από τη θέση ισορροπίας του, κάθε φορά που το σημείο (Μ) αποκτά τη μέγιστη θετική απομάκρυνση. (Μονάδες 25) 5

ΘΕΜΑ 4 Ο Το σώμα Σ 1 του διπλανού σχήματος, μάζας m 1 =1 kg, βρίσκεται σε οριζόντιο επίπεδο και είναι προσδεδεμένο σε ελατήριο σταθεράς K=100 N/m. Το σώμα Σ 2, μάζας m 2 =3 kg, βρίσκεται δίπλα στο Σ 1, χωρίς να είναι δεμένο. Σπρώχνουμε τα σώματα προς τα αριστερά κατά d=20 cm και τα αφήνουμε ελεύθερα τη χρονική στιγμή t=0. Οι τριβές είναι αμελητέες. Να υπολογίσετε: α. Την ενέργεια την οποία καταναλώνουμε, για να θέσουμε το σύστημα σε ταλάντωση. β. Τη χρονική στιγμή κατά την οποία τα σώματα επανέρχονται στην αρχική τους θέση, οπότε το σώμα Σ 2 αποχωρίζεται από το σώμα Σ 1. γ. Την ταχύτητα του σώματος Σ 2 μετά την απομάκρυνσή του από το σώμα Σ 1. δ. Την ενέργεια της ταλάντωσης για το σώμα Σ 1, μετά τον αποχωρισμό του σώματος Σ 2. Να συγκρίνεται τη νέα ενέργεια με την ενέργεια που βρήκατε στο ερώτημα α. Να αιτιολογήσετε τη διαφορά που διαπιστώνετε. ε. Το πλάτος της ταλάντωσης του σώματος Σ 1 μετά την απομάκρυνση του σώματος Σ 2. στ. Τη χρονική στιγμή κατά την οποία το σώμα Σ 1 βρίσκεται στην ακρότατη δεξιά θέση για πρώτη φορά μετά την απομάκρυνση του σώματος Σ 2. Πόσο απέχουν τότε τα δύο σώματα; (Μονάδες 25) 6

ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1 Ο 1) c. 2) b. 3) a. e. 4) β. 5) γ. 6) β. ΘΕΜΑ 2 Ο 1) γ. α max1 =α max2 => ω 1 2 Α 1 = ω 2 2 Α 2 => A 1= A 2 => A 2 =4A 1 E 2 = A 2 2 = 8.E 1 2) γ. Ε=4U=> x= για πρώτη φορά, =Αημφ => φ=rad 3) A) α. 11ms=2T+ => T=4ms =Q 0.e =>Λ= =125ln2 s B) α. Q 0 σε 2 ταλαντώσεις άρα σε 6 ταλαντώσεις. 4) f= = Hz, υ=λf=0,5m/s A/ β. Δφ=2π => Δχ=0,4m B/ γ. Δφ=4π, άρα y 1 =y 2 =0,2m (συμφωνία φάσης) α 1= -ω 2 y 1 = -5π 2 m/s 2 Γ/ α. Δφ 1 =ωδt 1 => 6π=5π(4,4-t 1 )=> t 1 =3,2s όμοια Δφ 2 =ωδt 2 => 2π=5π(4,4-t 2 )=> t 2 =4s άρα t= t 1 +t 2 =7,2s και χ=υ.t=3,6m. 5) α. Ε=10j και D=80N/m E= DA2 => A=0,5m. ΘΕΜΑ 3 Ο α) Η ταχύτητα διάδοσης του κύματος θα βρεθεί από τη θεμελιώδη εξίσωση της κυματικής. Συγκρίνοντας την εξίσωση με τη γενική εξίσωση των κυμάτων, έχουμε ότι: Συνεπώς 7

t=1s τότε φ=4π-πχ/2 φ(rad) 4π 8 χ(m) β) Όπως φαίνεται από τη σχέση που δίνει τη φάση του κύματος, όσο πιο μακριά είναι ένα σημείο από την πηγή τόσο μικρότερη είναι η φάση του. H φάση του σημείου Μ,, είναι μεγαλύτερη από τη φάση του σημείου Ν,. Συνεπώς πιο κοντά στην πηγή είναι το σημείο Μ. Ο υπολογισμός της απόστασης μεταξύ των σημείων Μ και Ν γίνεται με αφαίρεση των δύο φάσεων. γ) Υπολογίζουμε σε πόση απόσταση θα έχει διαδοθεί το κύμα σε χρονικό διάστημα 1s. Σε χρόνο, το κύμα θα έχει διαδοθεί απόσταση ίση με δύο μήκη κύματος Βρίσκουμε την κίνηση χαρακτηριστικών υλικών σημείων. Τα υλικά σημεία στις θέσεις χ=0, χ=λ και, θα βρίσκονται σε απομάκρυνση y=0 και είναι έτοιμα να κινηθούν κατά τη θετική φορά. δ) Επειδή τα σημεία Μ, Ν, απέχουν μεταξύ τους 1m=, παρουσιάζουν διαφορά 8

φάσης, με το σημείο Μ να προηγείται. Έτσι, όταν το Μ είναι στη θέση μέγιστης θετικής απομάκρυνσης, τότε το Ν περνά από τη θέση ισορροπίας του με θετική ταχύτητα. ΘΕΜΑ 4 Ο α. A=0,2m, U= kα2 =2j β. Τ=2π =0,4πs, t=t/4=0,1πs. γ. Το Σ 2 βρίσκεται στη Θ.Ι., άρα υ max =ωα=1m/s. δ. Ε=Κ max = m 1υ max 2 =0,5j. ε. U max =K max => A =0,1m. στ. Το Σ 1 έχει διανύσει A =0,1m και το Σ 2 κάνοντας Ε.Ο.Κ. χ=υ max.t 1 t 1 =T /4 με Τ =2π =0,2πs. Άρα t 1=0,05π s και χ=0,157m και ΔS=χ-Α =0,057m. 9