MRRZKET TEKNIKO atxilegoa 1 Rafael Ciiza Robeto Galaaga Mª ngeles Gacía José ntonio Oiozabala eein
Eusko Jaulaitzako Hezkuntza, Unibetsitate eta Ikeketa sailak onetsia (2003-09-25) zalaen diseinua: Itui Diseinua eta maketazioa: IPR Maazkiak: Rafael Ciiza, Robeto Galaaga, Mª ngeles Gacia, Jose ntonio Oiozabala gazkiak: Juan Calos Ruiz, Jesus Mª Peman Testua: Rafael Ciiza, Robeto Galaaga, Mª ngeles Gacia, Jose ntonio Oiozabala EREIN 2003. Tolosa Etobidea 107-20018 Donostia ISN: 978-84-9746-120-7 L.G.: SS-746/2012 Impimategia: Getu. Zubillaga industialdea, 9. 20560 Oñati
Maazketa teknikoa atxilegoko 1. maila Rafael Ciiza Robeto Galaaga Mª ngeles Gacía José ntonio Oiozabala EREIN
1. Maazkiako mateialak eta haien eabilea URKIIDE 1. Maazketaako mateialak eta hoien eabilea... 9 Maazketaako mateialak... 9 2. Planoan egiten dien oinaizko maazkiak... 19 Elementu geometikoak. Definizioak... 19 Zuzenak planoan... 21 ngeluak... 23 Leku geometikoa... 28 Zikunfeentzia-leoak eta zuzenkiak... 29 3. Tiangeluak, laukiak eta poligono eegulaak... 33 Poligono definizioa... 33 Tiangelua... 33 Laukia... 37 Poligono eegulaak... 38 4. Popotzionaltasuna eta eskalak... 46 Popotzionaltasuna... 46 Eskalak... 49 5.edintasuna, baliokidetasuna, antzekotasuna eta simetia... 54 edintasuna... 54 aliokidetasuna... 55 ntzekotasuna... 57 Simetia... 59 6. Ukitzaileak. Oinaiak eta ebazpen pozeduak... 61 Ukitzaileak. Oinaiak... 61 Ukitzaileen poblemak... 64 7. Kuba teknikoak... 77 Obaloa... 77 Oboidea... 79 Kiibila... 79 oluta... 80 Helize zilindikoa... 81 8. Kuba konikoak... 83 Saea... 83 Elipsea... 84 Paabola... 86 Hipebola... 87 5
1. Maazkiako mateialak eta haien eabilea 9. Geometia deskibatzaileaen oinaiak... 94 Oinaizko kontzeptuak... 94 Poiekzio motak... 95 Iudikapen sistemak... 95 10. Sistema diedikoa: puntua, zuzena eta planoa... 102 Saea... 102 Puntuaen iudikapena... 104 Zuzenaen iudikapena... 105 Planoaen iudikapena... 107 Puntuaen, zuzenaen eta planoaen ateko banekotasun elazioa... 111 11. Nomalizazioa... 121 Oinaizko kontzeptuak... 121 Maazketa teknikoako aau ookoak... 122 12. istak... 128 Oinaizko kontzeptuak... 128 isten izenak, aauaen aabea... 130 isten aukea... 134 13.Ebakiduak eta epaiak... 138 Ebakidua... 138 Ebakidua-motak... 139 Ebakiduaen eta epaiaen ateko beeizkuntza 14. kotazioa... 146 Oinaizko kontzeptuak... 146 Kota leoak... 147 Leo lagungaiak... 148 Geziak eta kota-maak... 148 Kota-zifak... 149 kotazio-sinboloak... 151 15. Finkagaiak. Toloju-haiaen akokotazioa eta iudikapena... 156 Definizioak... 156 Haiak nomalizatzeko saea... 157 Toloju-haien sailkapena... 157 Toloju-haiaen konbentziozko iudikapena... 158 Toloju-haiaen iudikapen motak... 159 Toloju-haiaen beste iudikapen batzuk... 161 Toloju-haien akotazioa... 163 Toloju-hai ohikoenen pofilak eta neuiak... 166 6
1. Maazkiako mateialak eta haien eabilea 16. Multzoak... 173 Mekanismoen adibide bat... 173 Ohiko plano-motak... 174 Multzoko planoaen osagaiak... 175 talkatzea... 177 17. Kokisen pestaea... 181 Oinaizko kontzeptuak... 181 Neutzeko tesnak... 182 Kokis bat egiteko egin behaeko uatsak... 183 18. Pespektiba axonometikoa eta Cavalieien pespektiba... 186 Pespektiba axonometikoa... 186 Iudi lauak pespektiba axonometikoan iudikatzeko modua... 190 Goputz tinkoak pespektiba axonometikoan iudikatzeko modua... 195 Cavaliei pespektiba... 198 Iudi lauak Cavaliei pespektibaen aabea iudikatzen... 201 Goputz tinkoak Cavaliei pespektibaen aabea iudikatzen... 201 7
1. Maazkiako mateialak eta haien eabilea 1. Maazketaako mateialak eta haien eabilea Maazketa teknikoa Helbuuak Lan teknikoaen munduan eabiltzen dien espesio gafikoaen hainbat molde desbedinak eta spesio gafikoaen tekniketan maizenik eabiltzen dien tesnak eta osagaiak ezagutzea. Maazketaako mateialak Funtsezkoak dia doitasuna eta zehaztasuna fomen eta objektuen aukezpen teknikoa bideatzeakoan. Maazteko tesnak beha bezala ezagututa eta kalitatezko tesnak eabilita baino ez diegu ateako gafikoei pobetxu handiena. Hona hemen maazki teknikoan eabiltzen dien oinaizko mateialak: Maazki-pape egokia Maazki-lapitzak oagomak Eegela milimetatua Eskuaia eta kataboia Lapitz-zoozkailu ngelu-gaaiagailua Konpas-sota Estilogafoa Eotulatzeko txantiloiak Kuba-txantiloiak Txantiloi beeziak ilbeak Odenagailu 9
1. Maazkiako mateialak eta haien eabilea Papea Maazki-papea eoilutan edo plegutan mekatuatzen da, aautuiko neui jakin batzuetan eta lodiea desbedinetan, gamaiaen aabea, hau da, meto kaatuko duen gamo-kopuuaen aabea, moztua. Zimutsua, matea edo satinatuxea izan daiteke haen azala. Pape-mota asko dago. Hona hemen maazki teknikoan maizenik eabiltzen dienak: Pape zui opakoa; guztiz eabilia, ziibooak eta lehen maazkiak egiteko apoposa. Landae-pape gadena; planoak kalkatu eta tintaz maazteko eabiltzen da nagusiki. Pape opako satinatua; tintaz maazteko eabiltzen da, ez odea auekoak bezainbestetan. Pape milimetatua; inpimatuik ditu koadikulak eta gadena edo opakoa izan daiteke. Oso baliagaia da gafikoak eta diagamak maazteakoan. Pape gaden plastifikatua; landae-papeaen antzekoa, baina iaunkotasun handiagokoa. eeziki apoposa da maizetan eabiliko dien planoak egiteko. Lapitza Eskuaki, maazkiak lapitzez egiten dia lehenik, eta ondoen tintaz kalkatu. Maazkia lanaen ezaugaiei begia beha bezain agia bada, baliteke tintaz kalkatzeko behaik ez izatea. Komeni da lapitzen gogotasun-maila desbedinak ezagutzea, egokio aplikatu eta maazkian beha dien lodiea eta akabea desbedinak edietsi ahal izateko. 10
1. Maazkiako mateialak eta haien eabilea Lapitz mina-egozleak abantaila handi bat du ohiko lapitzen aldea, haen mina ez baita zooztu beha nahi den lodiea lotzeko. Lodiea egokia edukiko du beti mina hoek. Gaduazioak zenbakien bidez zehaztuta Gaduazioak siglen bidez zehaztuta Idazteko eta maazteko Maazketa teknikoako Maazkiak, kokisak eta itzalduak egiteko Topogafia-planoak maazteko zalea lakaeko maazki-oietaako Maazkiak azalea gogoen gainean egiteko ukezpen heliogafikoetaako balio dutenak igunak Edibidekoak Gogoak Guztiz gogoak 00 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 8 7 6 5 4 3 2 H F H 2H 3H 4H 5H 6H 7H 8H 9H 10H Taulako zati gisek gogotasun batzuen eta besteen eabilea-eemuak adieazten dituzte. Lapitzaen mutua zoozteko edozein labana-aho edo, eazago, zoozkailu bat eabil dezakegu. Lapitz mina-egozleaen mina lodia bada, mina-zoozkailu batez zooztuko dugu. Zenbakiz edo letaz eta zenbakiz osatuiko sigla batzuen bidez adieazten da minen gogotasuna. Mina biguna kokisak egiteko eabiltzen da. Mina gogoago bat eabiltzen da pape zuiaen gaineko lapitz-maazkietan, eta gogoagoa landae-papeaen gainean maazteko. 11
1. Maazkiako mateialak eta haien eabilea oagomak oagomak maazki batean sobean dauden aldeak zuzentzeko eabiltzen dia. Lapitza ezabatzen dute batzuek, eta tinta, beste batzuek. Lapitza ezabatzeko gomak biguna izan beha du. Gogoagoa izango da goma hoi, maazkian eabilitako mina ee gogoagoa den neuian. Tinta ezabatzeko gomak uatzaile batez honitua gogoa izan beha du, tinta ezabatu eta pape-geuza oso fin bat, eta haekin batean tinta, ua dezan. Landae-papeean eabiltzen denean, tinta ezabatzeko, boagomaz gainea, eabil daitezke biza-xaflak, kontu handiz, papea ez zulatzeko, eabiltzen badia. Tazu beia auez ezabatu den eemuaen gainetik tintaz pasatu beha denean, komeni izaten da eemu hoi lapitz bigun batez satinatzea tazu beiaen tinta lea ez dadin. Eegela, eskuaia eta kataboia Ezinbestekoak dia hiu elementu hauek edozein maazki tekniko egiteakoan. Eegela: neuiak eamateko eta zuzenkiak neutu eta tazatzeko eabiltzen da. Haien luzea 30 eta 100 cm bitatekoa izaten da, eta milimetotan gaduatzen dia eskuaki. Eegela gaduatuaz gainea, eskalimetoa ee eabil daiteke. Eegelamota beezi honek sei eskala ditu gabatuik. Plano bat eskala jakin batean zuzenean maazteko, matematika-eagiketen behaik gabe, eta plano baten gainean objektuen benetako neuiak intepetatzeko eabiltzen da eskalimetoa. Eskuaia: Tiangelu angeluzuzen isoszele baten itxua du. Halatan, luzea beekoak dia haen bi katetuak eta 45 -ko angelua eatzen dute hipotenusaekin. Kataboia: Tiangelu angeluzuzen eskaleno baten itxua du. Katetuek hipotenusaekin eatzen dituzten angeluak 30 eta 60 -koak dia. Kataboiaen katetu nagusiak eskuaiaen hipotenusaen luzea bea izan beha du. 12
1. Maazkiako mateialak eta haien eabilea Eskuaia eta kataboi bidezko tazatuak Gaantzitsua da eskuaia eta kataboia beha bezala eabiltzea. Leun eta aise bideatu beha dia, txantiloien gainean gehiegizko pesioik eagin gabe, baina egoki eutsiik, halee, nahi ez den mugimeduik sueta ez dadin. Eskuaia eta kataboi-jokoa beha bezala egokituz lotu ahal izango ditugu maa paaleloak hoizontalean eta betikalean, baita angelu desbedinak ee. Geoago ikusiko dugu hau, Oinaizko Tazatuen gaian. Konpasa Konpasa akuak eta zikunfeentziak tazatzeko eabiltzen den maazkitesna da. Konpas-mota asko daude. Hona hemen eabilienak: Konpas bakuna. kuak eta zikunfeentziak tazatzeko eabiltzen da, baita neuiak maazkia gaaiatzeko ee. Konpas-mota honi tintaako elementu edo osagai batzuk eants dakizkioke, baita luzagai bat ee. Kalostadun konpasa. Eadio txikiko zikunfeentziak egiteko eabiltzen da. Kalostadun konpas eoa. Kalostadun konpasak bideatzen dituen baino eadio oaindik txikiagoko zikunfeentziak egiteko eabiltzen da. Doitasun-konpasa. akunen eta kalostadunen ezaugaiak ditu konpas-mota honek. tikulatua da eta besoak doitu eta gaduatzeko mekanismo bat du. 13
1. Maazkiako mateialak eta haien eabilea Konpasa egoki eabiltzeak beebiziko gaantzia du maazketa teknikoan, haen aabeakoa izango baita, neui handi batean tazuen kalitatea eta zehaztasuna. Honako aau hauek hatu beha dia kontuan beti: Mina alakan edo biselean eta konpasaen banealdeantz zooztu beha da beti. Konpasai eusteakoan, hatz eakusleaen eta lodiaen atean hatu beha da goialdeko zilindoa, eta beste eskuaz lagundu behaa dago oatza beha den lekuan ipintzeko. Papeaen pependikulaean zehaztuko dia mina inpimatzen duen besoa eta konpasaen oatza. Estilogafoa Maazketa-luma tadizionalaen odez, egun tintazko delineazioan eabiltzen den tesna da estilogafoa. bantaila handiak ditu maazketalumaen aldean, oso gabia eta eabiltzen guztiz eaza delako. 14
1. Maazkiako mateialak eta haien eabilea Estilogafoa papeaen azaleaen pependikulaean eabili beha da beti. Estilogafoa egokigailu batez molda daiteke konpasean, akuak eta zikunfeentziak tintaz maatzeko. Egokigailua bane edo kanpoaldean eza daiteke, zikunfeentzien eadio handietaa eta txikietaa moldatzeko. Txantiloiak Kuba-txantiloiak. Lagungai gisa eabiltzen dia, kubak tazatzeakoan. Kubako puntu ezagunetaa hobekien moldatzen den txantiloi-zatia aukitu behaa dago. 15
1. Maazkiako mateialak eta haien eabilea Txantiloi beeziak. Ugai eta oso molde askotakoak dia. Eotulatzeko txantiloiak. Idazketaen homogeneotasuna lotzeko eabiltzen dia. 16
1. Maazkiako mateialak eta haien eabilea ilbeak Maazkietaa eaman daitezkeen elementuz honituiko oiak dia. Molde askotakoak daude mekatuan. Zuzenean itsatsita edo elementu bakoitza maazki-papeaen gainean igutzita aplikatzen dia gehienetan. Odenagailua Espesio Gafikoalantzeko tebakuntza honetan ezin dugu aipatu gabe utzi odenagailua bezalako tesna gaantzitsua. Pofesionalek poduktibitate-maila eta eginiko lanaen kalitatea etengabe hobetzeko aukea ematen dien tesneia beha dute. 17
1. Maazkiako mateialak eta haien eabilea Odenagailu on baten eta mekatuan dauden CD / OD (Compute sisted Design / Odenagailu idezko Diseinua) pogama desbedinen bidez lo daiteke hoi. Gau egun guztiz eabiltzen da odenagailu bidezko maazkia diseinubulegoetan, eta oso nomala da, halabe, bezeoei eman edo haiekin tukatu behaeko infomazio gafikoa disketeen bitatez bideatzea. Neui handian muiztu da, hoenbestez, hasieatik papeean eginiko planoen kopuua. 18
2. Funtsezko tazatuak planoan 2. Funtsezko tazatuak planoan Maazketa teknikoa Helbuuak Maazketa geometikoaen oinaiak ezagutzea, ea hoetaa ikasgaiaen gaineako edukiez eosoago jabetuahal izateko. Soluzio gafikoak agi eta zehatz adieazteko gai izatea. Elementu geometikoak. zalpenak. C Puntua: Puntuak ez du neuiik, kokaleku bat baizik ez da. Leta lai batez edo zenbaki batez izendatzen da. (1. iud.) 1. iud. 2. iud. Leo zuzena: Noabide beean doazen puntuen sekuentzia bat da. Leta txiki batez izendatzen da. (2. iud.) s Zuzenen ateko posizioak: i zuzenek elka ebakitzen dute puntu bat elkaekin badute. (3. iud.) 3. iud. a b 4. iud. i zuzen paaleloak dia elkaen ateko elkaguneik inoiz ez badute. Haien elkaekiko puntua infinituan dagoela esaten da oduan. Puntu inpopioa dela esaten da elkagune hoetaz. (4. iud.) P Q s i zuzenek elka guutzatzen dute espazioan elkaekikon puntuik ez badute. (5. iud.) P 1 - Q 1 s 1 1 π 5. iud. 19
2. Funtsezko tazatuak planoan a Leo kubatua: Noabide beean ez dauden puntuen sekuentzia bat da. Leta txiki batez izendatzen da. (6. iud.) 6. iud. P 7. iud. Zuzenedia: Etz batean mugatuiko leo zuzena da. Etzeko puntuaen eta zuzenaen izenen bitatez izendatzen da: zuzenedia. i zuzeneditan banatzen du leo zuzena haen gainean zehaztuiko puntu batek. (7. iud.) 8. iud. Zuzenkia: i etzetatik mugatuiko zuzen baten zatia da: zuzenkia (8. iud.) π d 9. iud. Planoa: Leo zuzen batek noabide jakin batean mugitu den unean sotuiko puntu-multzoa da planoa. Leta geko baten bitatez izendatzen da: π planoa (9. iud.) Honako elementu hauek zehaztu dezakete plano bat: π C 10. iud. Leo banatan dauden hiu puntu. (10. iud.). Hoexegatik bilatzen dugu hiu puntutan oinaituiko euskai bat, eemu iegula batean euskai egokia lotu nahi dugunean. Honen eakusgai ditugu agazkimakinetaako tipodea edo hiu hankako aulkia. P Elka ebakitzen duten bi leo zuzen. (11. iud. s π 11. iud. i zuzen paalelo. (12. iud.) s π 12. iud. P Leo zuzen bat eta hatatik kanpo dagoen puntu bat. (13. iud.) π 13. iud. 20
2. Funtsezko tazatuak planoan π Planoedia Planoedia 14. iud. Zuzen bat planoaen banekotzat hatzen da, haen puntu guztiak planoaen banean badaude. Zuzenak beeizten dituen plano zatiei planoedi deitzen zaie. (14. iud.) Zuzenak planoen banean 2 2 M 1 m 1 N 15. iud. Zuzenki baten edibitzailea: Zuzenkiaen pependikulaean, ediko puntuan, tazatuiko zuzena da. (15. iud.) Honela tazatuko dugu: zuzenkian, eta puntuak beeiziko ditugu zento gisa eta, eadioa zuzenkiaen edia baino luzeagoa hatuik, M eta N puntuetan elka ebakiko duten 1. eta 2. akuak tazatuko ditugu. M eta N puntuak elkatu ondoen lotuko dugu zuzenkiaen m edibitzailea. t M P 2 1 m zuzenaen elkazuta M kanpoko puntu batetik. (16. iud.) M zento gisa beeizi eta, nahi bezalako eadioa hatuik, zuzena eta puntuetan ebakitzen duen akua tazatuko dugu. zuzenkiaen m edibitzailea da poposatutakoaen soluzioa. 2 1 Q 16. iud. 2 P M 1 m zuzenaen elkazuta P baneko puntu batean. (17. iud.) P zento gisa beeizi eta, nahi bezalako eadioa hatu ondoen, zuzena ebakitzeakoan eta puntuak zehaztuko dituen akua tazatuko dugu. zuzenkiaen m edibitzailea da bilatzen ai gaen soluzioa. 2 N 1 17. iud. 21
2. Funtsezko tazatuak planoan C M m P P zuzenediaen elkazuta P etzeko puntuan. (18. iud.) P zento gisa beeizi eta, P eadio abitaioa duen akua tazatuko dugu. zento gisa beeizi eta beste aku bat tazatuko dugu, eadio bedinean, aueko akua puntuan ebaki dezan. zento gisa beeizi eta eadio bedineko akuaz ebakiko dugu lehen akua C puntuan. C zuzenkiaen m edibitzailea da bilatzen ai gaen soluzioa. M s 18. iud. 19. iud. P s zuzenaen zuzen paaleloa P puntutik. (19. iud.) s zuzenaen edozein puntu, puntua, zento gisa beeizi eta P puntutik igaotzen den akua, P akua, tazatuko dugu. P zento gisa beeizi eta puntutik igaoko den akua maaztuko dugu, aueko eadio bedinean. P zuzenkia eadio bihutu eta zento gisa hatu ondoen zehaztuko dugu M puntua. M eta P puntuek zehaztuiko zuzena da soluzioa. Zuzen paaleloak eta elkazutak eskuaiaz eta kataboiz tazatzen Kataboiai finko eutsi eta haen hipotenusaen luzean leatuko dugu eskuaiaen katetuetako bat, zuzen paaleloak,, s, t, eta aba, lotzeko. (20. iud.) Eskuaia s Kataboia Eskuaia t 20. iud. estian tazatuiko zuzen paaleloen elkazutak lotzeko, aski da eskuaiak kataboiaen hipotenusaen luzean mugitzea. (21. iud.) p Kataboi finkoa etikalak egiteko eskuaia t Hoizontalak egiteko eskuaia 21. iud. 22
2. Funtsezko tazatuak planoan ngeluak Jatoi bea duten bi zuzenedien atean eatuiko eemu-zatia da angelua. Zuzenediak dia angeluaen aldeak eta haien jatoizko puntua da angeluaen epina. (22. iud.) Negatiboa da angelua elojuaen oatzen noanzkoan neutzen denean, eta positiboa kontako noanzkoan neutzen dugunean. Leta geko batez izendatzen dia angeluak. Honela sailkatzen dia angeluak, balioen aabea: ngelu hutsa ( = 0 ) ngelu zootza ( < 90 ) ngelu zuzena ( = 90 ) ngelu kamutsa ( > 90 ) ngelu laua ( = 180 ) 22. iud. ngelu betea ( = 360 ) Lau angelu soaazten dituzte elka ebakitzen duten bi zuzenek: binaka hatuik, elkaen konta daudenak epinez aukakoak dia, eta elkaen alboan daudenak, beiz, auzokideak. alio beekoak dia epinez aukako angeluak, eta elkaen betegaiak dia, hau da, bien atean 180 -ko balioa dute, auzokideak. (23. iud.) s β β 23. iud. Ondoz ondokoak dia bi angelu alde bat elkaekin dutenean. Elkaen osagaiak dia bien atean 90 -ko balioa badute. (24. iud.) 38 63 27 Ondoz ondokoak 24. iud. 27 Osagaiak 23
2. Funtsezko tazatuak planoan Zotzi angelu sotzen ditu bi zuzen paalelo ebakitzen duen zuzen batek. (25. iud.) s β β β Koespondentzia-angeluak dia zuzen ebakitzaileaen alde beean dauden angeluak; zuzen paaleloen banealdean dago hoietako bat eta kanpoaldean bestea. Koespondentzia-angeluek balio bea dute biak. Txandakako baneangeluak edo txandakako kanpoangeluak dia ebakitzaileaen alde banatan dauden angeluak, eta zuzen paaleloen baneangeluak edo kanpoangeluak dia huenez huen. ngelu hauek ee balio bea dute. t β 25. iud. ngelu eagiketak ngelu baten angelu bedina egiten (26. iud.) Emaniko angeluaen V epina zento gisa hatu eta aku bat maaztuko dugu, nahi bezalako eadioaz, aldeetan eta puntuak zehaztu ditzan. a zuzenean V puntua beeiziko dugu angelu beiaen epin gisa. V puntua zentotzat hatu eta aueko eadioan maaztuko dugu aku bat, a zuzenean puntua zehaztu dezan. zentotzat hatu eta eadioko akua maaztuko dugu. puntua zehaztuko du bi akuen ateko elkaguneak. eta V puntuak elkatuta lotuko dugu bilatzen ai ginen angelua. b b' ' V ngeluen batua (27. iud.) a 26. iud. ueko metodoai jaaituz, V epineko angeluaen angelu bedina egingo dugu a zuzenean. Ob aldean eta noabide beean, V epineko angeluaen angelu bedina maaztuko dugu. a Od angelua da soluzioa. V' d' ' a' β = γ V 2 1 b a V' β 4 d c 3 27. iud. O 4' β γ 2' 3' 1' c' b' a' 24
2. Funtsezko tazatuak planoan b ngeluen kendua (28. iud.) Lehenengo angelua maaztu ondoen, haen gainean baina kontako noabidean maaztuko dugu bigaen angelua. a Oc angelua da soluzioa. β = γ d' c' 2 d 2' 4' 3' 4 b' V 1 a V' β 3 c β γ O 1' a' 28. iud. ngelu baten edikaia ngelua bi atal bedinetan zatitzen duen zuzena da. (29. iud.) b P b a 29. iud. Edikaia lotzeko, V zentotzat hatu eta, nahi bezalako eadioko akua tazatu ondoen, eta ebaki-puntuak zehaztuko ditugu. Puntu hauek zentotzat hatu eta eadio bedineko aku bana egingo dugu; P puntua zehaztuko dute elka ebakitzen duten gunean. V eta P puntuen ateko zuzena da bilatzen ai ginen edikaia. 30. iudian ikusten den bezala, bada edikaia lotzeko beste metodo bat. V puntua zentotzat hatu eta, nahi bezalako eadioko bi aku maaztu ondoen,,, C eta D ebaki-puntuak zehazten dia. D eta C zuzenek P puntua zehazten dute elka guutzatzean, eta P eta V puntuak elkatzen dituen zuzena da angeluaen edikaia. V D b P C = = V 30. iud. 25
2. Funtsezko tazatuak planoan Epina maazki-papeetik kanpoa duen angeluaen edikaia (31. iud.) i aldeetako baten V puntutik, beste aldeaen s zuzen paaleloa maaztuko dugu. Vs angeluaen b edikaia tazatuko dugu. Edikaiaen elkazut bat maaztu eta MN zuzenkiaen P ediko puntutik tazatuko dugu b zuzenaen paaleloa. b zuzena da bilatzen ai ginen edikaia. s M b P V s' C N b' 31. iud. ngeluak egiten ngeluen ateko eagiketetan, hau da, angeluen batuketan, kenketan eta edikaien tazaketan, oinaituko gaa ondoen angeluak egiteakoan. V 60 32. iud. 60 -ko angelua: (32. iud.) V zuzenedia tazatuko dugu. V zentotzat hatu eta aku bat maaztuko dugu, nahi bezalako eadioan, zuzenedia puntuan ebaki dezan. zentotzat hatu eta beste aku bat tazatuko dugu, eadio beean, aueko akua puntuan ebaki dezan. 60 -koa da V angelua. 90 -ko angelua: ski da zuzenedi baten mutuean zuzenediaekiko elkazuta tazatzea. Dagoeneko azaldu dugu elkazut hau nola zehaztu. 45 33. iud. 45 -ko angelua: 90 -ko angelua edibituta lotuko dugu. (33. iud.) 30º 30 -ko angelua: 60 -ko angelua edibituta lotuko dugu. (34. iud.) 34. iud. 15 15 -ko angelua: 30 -ko angelua edibituta lotuko dugu. (35. iud.) 35. iud. 26
2. Funtsezko tazatuak planoan 75 -ko angelua: 45 eta 30 dituzten angeluak batuta lotuko dugu. (36. iud.) 75 36. iud. 105 -ko angelua: 60 eta 45 dituzten angeluak batuta lotuko dugu. (37. iud.) 105 37. iud. 120 120 -ko angelua: 60 dituzten bi angeluak batuta lotuko dugu. (38. iud.) 38. iud. 135 -ko angelua: 90 eta 45 dituzten angeluak batuta lotuko dugu. (39. iud.) 135 39. iud. 150 -ko angelua: 90 eta 60 dituzten angeluak batuta lotuko dugu. (40. iud.) 150 40. iud. alio hauek been ediekin, betegaiekin, bikoitzekin eta abaekin konbinatu ondoen beste angelu-balio ugai lotuko dugu, angelugaaiagailua eabili beha izan gabe. ngeluak maazteko eskuaia eta kataboia nola eabili (41. iud.) een geometiai eske agei dituzten 30, 60, 45 eta 90 -ko angeluez gainea, 15, 75, 120, 135 eta 150 -ko angeluak lo ditzakegu txantiloi hauen bidez, 41. iudian adieazten den bezala. 41. iud. 27
2. Funtsezko tazatuak planoan Leku geometikoa Ezaugai geometiko bat bedina duten puntuen multzoa da. Esate bateako: Zikunfeentzia: Plano batean, zento izeneko O puntutik distantzia beea dauden puntuen leku geometikoa da. Zikulu esaten zaio zikunfeentziaen baneko azaleai. (42. iud.) O Zuzenki baten edibitzailea: Plano batean, zuzenki baten bi mutuetatik distantzia beea dauden puntuen leku geometikoa da. ngelu baten edikaia: Plano batean, emandako bi zuzenetatik distantzia beea dauden puntuen leku geometikoa da. Ikusi ditugu dagoeneko nola zehazten dien edibitzaileak eta edikaiak. Zuzenki baten aku kapaza angelu jakin baten aabea: Plano batean, zuzenki jakin bat angelu jakin baten aabea ikusteko aukea ematen duten puntuen leku geometikoa da (43. iud.). Iudian bedinak dia, eta C epinak dituzten angeluak. eaz, PCQ zikunfeentzia-akua PQ zuzenkiaen aku kapaza da angelu eman baten aabea. Esate bateako, 90 -ko angelu baten aabea ikusiko den zuzenkiaen aku kapaza diametotzat zuzenki hoi duen zikunfeentziedia da. (44. iud.) 42. iud. C P 43. iud. Q P 44. iud. Q Ikus dezagun nola aukitu, MN zuzenkiaen aku kapaza; esate bateako, 60 -ko angelu baten aabea. (45. iud.) MN zuzenkiaen edibitzailea tazatuko dugu lehenik. M puntua epintzat hatu eta 60 -ko angeluaen angelu osagaia, hau da 30 -ko angelua, maaztuko dugu. ngelu honen aldeak O puntuan ebakiko du zuzenkiaen edibitzailea. O zentotzat hatu eta OM eadioko aku kapaza maaztuko dugu. 60 O M 30 ku honetako edozein puntutatik ikusiko dugu MN zuzenkia, 60 -ko angeluaen aabea. m 45. iud. N 28
2. Funtsezko tazatuak planoan Zikunfeentzialeoak eta zuzenkiak Eadioa: Mutu bata zikunfeentziaen zentoan eta bestea haen gainean dituen zuzenki oo da eadioa. Diametoa: Zentoaekiko leoan dauden bi zikunfeentzia-puntu elkatzen dituen d zuzenkia da. Koda: Kuba bateko bi puntu haen zentotik igao gabe elkatzen dituen c zuzenkia da. Koda baten gezia: Zikunfeentziaen eta kodaen ateko f eadiozuzenkia da, kodaen elkazuta denean. Ebakitzailea: Zikunfeentzia bi puntutan ebakitzen duen s zuzena da. Ukitzailea: Zikunfeentziaekin puntu komun bakaa duen t zuzena da. Eadioaen elkazuta da puntu hoetan. d s O O E c D f C F 46. iud. T t RIKET EGINK 1. Maaz ezazu, eta C puntu jakinetatik igaotzen den zikunfeentzia. Soluzioa: O zentoak eta puntuetatik distantzia beea egon beha du eta beaz, zuzenkiaen edibitzailean egongo da. Distantzia beea egongo da halabe eta C puntuetatik, C zuzenkiaen edibitzailean alegia. Edibitzaile bien elkagunea izango da bilatzen genuen zikunfeentziaen zentoa. C O 29
2. Funtsezko tazatuak planoan 2. Iudiko mapan, auki ezazu ontzia itsaso zabalean dagoen P puntua, jakinik ontziko mainel batek itsasbazteeko, eta C itsasagi ezagunak ikusten dituela P = 30 eta PC = 45 -eko angeluetatik. Soluzioa: Maaz ezazu zuzenkiaen aku kapaza 30 -ko angelu baten aabea. Ondoen, maaz ezazu C zuzenkiaen aku kapaza 45 -ko angelu baten aabea. i akuen ateko elkaguneak adieaziko dizu ontzia dagoen puntua. P 60 m 1 O 1 O 2 m 2 45 C 3. Piata batek uhate txiki bateko leku ezkutu batean lupeatu zuen bee altxoa, uats hauek emanez: palmondo batetik abiatu (P puntua) eta, leo zuzenean 20 m (20 mm mapan) ibili ondoen, eta hakaitz handiak 60 -ko angelu-zabaleaz ikusten zituen puntua iitsi zen. Leku hau -tik -tik baino hubilago zegoela egiaztatu zuen. Mapan hakaitzen eta palmondoaen kokalekuak adieaziik daudela, zehazta ezazu altxoa dagoen T tokia. Soluzioa: Taza ezazu zuzenkiaen aku kapaza 60 -ko angeluaen aabea. Ondoen, maaz ezazu P zentoko aku bat, 20 milimetoko eadioaz. i akuen ateko elkaguneak adieaziko dizu altxoaen T kokalekua. P T O 30 30
2. Funtsezko tazatuak planoan RIKETK 1. Maaz ezazu zuzenkiaen edibitzailea. 2. Maaz ezazu emandako zikunfeentziaen ukitzailea T puntuan. T O 3. Zati ezazu iudiko angelua lau atal bedinetan. V 4. Egin itzazu honako angelu hauek: 75, 105, 135 eta 150. V V V V 31
2. Funtsezko tazatuak planoan 5. Eskuaia, kataboia eta gaduatuiko eegela eabilita, maaz ezazu iudiko poligonoa. D C 120 150 135 E 90 165 75 F G 6. Maaz itzazu iudian jokalai bat 30 -ko angelutik atea jautitzeko moduan egongo den futbol-zelaiko posizio guztiak. 32