Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Ενδεικτικές Λύσεις Ασκήσεων Κεφάλαιο Κοκολάκης Γεώργιος
Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άδεια χρήσης άλλου τύπου, αυτή πρέπει να αναφέρεται ρητώς.
ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΩΝ ΑΝΕΛΙΞΕΩΝ Άσκ..5. Από τον ορισµό της ροπογεννήτριας έχουµε sy ( +... + Y ) sx g X(s) = E e = E e και από την γνωστή σχέση Ε[Χ] = Ε[Ε[Χ Υ]] λαµβάνουµε s( Y +... + Y ) sy = = syi = E E e = E g(s) = E { g(s) } = π( g(s) ), i= i= i g X (s) E E e E E e i= αφού εξ ορισµού έχουµε π ( s) = E[s ]. Άσκ..6. Με βάση το αποτέλεσµα της προηγούµενης άσκησης θα έχουµε: g X (s) = π( g(s) ) () µε π( s) τη γεννήτρια πιθανοτήτων της Γεωµετρικής κατανοµής παραµέτρου p και gs ( ) τη ροπογεννήτρια της Εκθετικής κατανοµής παραµέτρου λ. Έχουµε συνεπώς ( ) n n n ( ) n ps π s = E s = s P[ = n] = s pq = ps qs =, για s </q, qs n= n= n= 0 και sy sy λy (λ s)y λ g( s) = E e = e λe dy= λ e dy =, για s < λ. λ s 0 0 Εισάγοντας τα παραπάνω δύο αποτελέσµατα στην () παίρνουµε: λp pg(s) λp g X (s) = π( g(s) ) = = λ s =, για s<λp. qg(s) λq λp s λ s Συνεπώς, η τ.µ. Χ ακολουθεί Εκθετική κατανοµή µε παράµετρο λp. Σηµείωση: Η απαίτηση s < λp προκύπτει από τις συνθήκες: (α) s < λ, για να ορίζεται η g( s) = λ / ( λ s, ) και (β) g(s) < /q, για να ορίζεται η π( g( s )).
Άσκ..8. (α) Από την γνωστή σχέση Cov(U,V + W) = Cov(U,V) + Cov(U, W) έχουµε για n m: n m n n m i Cov(X,X ) = Cov( Y, Y ) = Cov( Y, Y + Y ) αφού τα αθροίσµατα n m i i i i i= i= i= i= i= n+ n n n m n n = Cov( Y, Y ) + Cov( Y, Y ) = Cov( Y, Y ) + 0, i i i i i i i= i= i= i= n+ i= i= n Y m i και Y n+ i αφορούν ανεξάρτητες τ.µ. Συνεπώς Cov(X,X ) = Cov(X,X ) = Var[X ] = Var[ Y ] = nσ, n m. n m n n n i i= n (β) Κάνοντας χρήση της παραπάνω σχέσης λαµβάνουµε για n m: Cov(X n, X m) nσ n n m Corr(X n,x m) = = =. Var[X ]Var[X ] (nσ )(mσ ) m Άσκ..9. Από τον ορισµό της κίνησης Brown, η σ.α. {Χ(t): t 0} είναι ανεξάρτητων και στάσιµων προσαυξήσεων µε Χ(0) = 0 και Χ(t) (0, c t) για t > 0. Τούτο σηµαίνει ότι για κάθε n και t < t < < t n, η από κοινού κατανοµή των τ.µ. X(t ),...,X(t n) είναι η n-διάστατη Κανονική κατανοµή, αφού το τυχαίο T διάνυσµα ( X(t ),...,X(t n) ) αποτελεί γραµµικό µετασχηµατισµό (ποιος είναι ακριβώς;) του τυχαίου διανύσµατος ( Y(t ) T ),...,Y(t n), µε Y(t i) = X(t i) X(t i ), i=,...,n, (t = 0), ανεξάρτητες και Κανονικά κατανεµηµένες προσαυξήσεις. (Από 0 την Θεωρία Πιθανοτήτων είναι γνωστό ότι κάθε γραµµικός µετασχ. Κανονικών τ.µ. ακολουθεί Κανονική Κατανοµή µε µέση τιµή τη µέση τιµή του γραµµικού µετασχ. και διασπορά (πίνακα διασποράς) την διασπορά (πίνακα διασποράς) του γραµμικού µετασχ. βλ. Εισαγωγή στις Πιθανότητες: Γ. Κοκολάκης και Ι. Σπηλιώτης, αποτέλ.(4.3) σελ. 74). Συνεπώς η οποιαδήποτε διαφορά X(t) X(s) (E[X(t) X(s)], Var[X(t) X(s)]) µε και, για s t, E[X(t) X(s)] = E[X(t)] E[X(s)] = 0 Var[X(t) X(s)] = Cov[ X(t) X(s),X(t) X(s) ] = Cov[ X(t), X(t) ] Cov[ X(t), X(s) ] + Cov[ X(s), X(s) ] = Var[X(t)] Cov[ X(t),X(s) ] + Var[X(s)] = c t c s + c s = c (t s), αφού λόγω ανεξάρτητων προσαυξήσεων έχουµε, (βλ. Σηµειώσεις Στοχαστικών Ανελίξεων: Γ. Κοκολάκης, αποτέλεσµα (.4), σελ. 0),
[ ] g(s, t) Cov X(s), X(t) = Var[X( min{t,s})] = Var[X(s)] = c s, για s t. Άρα X(t) X(s) (0, c (t s)). Άσκ..0. Για να βρούµε την δεσµευµένη κατανοµή του X(s) µε δεδοµένο X(t) (s t), µας χρειάζεται η από κοινού κατανοµή των X(s), X(t). Επειδή έχουµε κίνηση Brown, η από κοινού κατανοµή των X(s), X(t) είναι η διµεταβλητή Κανονική κατανοµή, βλ. προηγούµενα συµπεράσµατα, µε µέση τιµή το διάνυσµα και πίνακα διασποράς τον αφού έχουµε c = και E[X(s)] 0 = E[X(t)] 0 g(s,s) g(s,t) s s s s Σ= Σ = g(t,s) g(t,t) = = s t s t [ ] (s, t) c, g(s, t) Cov X(s), X(t) = Var[X( min{t,s})] = Var[X(s)] = s, για κάθε s, t µε s t. Εύκολα τώρα προκύπτει ότι ο συντελεστής συσχέτισης µεταξύ X(s) και X(t), για s < t είναι: [ ] s ρ = Corr X(s),X(t) = g(s,t) / g(s,s)g(t,t) =. t Το παραπάνω αποτέλεσµα αποτελεί το συνεχές ανάλογο του αποτελέσµατος (β) της Άσκ..8. Θέτοντας Χ=X(t) και Υ=X(s), η δεσµευµένη κατανοµή του Υ για δεδοµένο Χ θα είναι Κανονική µε (δεσµευµένη) µέση τιµή, βλ. Εισαγωγή στις Πιθανότητες: Γ. Κοκολάκης και Ι Σπηλιώτης, αποτέλ. (5.5), σελ. 79, και αποτέλ. (6.4), σελ. 8, σy E[Y X] = E[Y] + ρ { X E[X] } σx και (δεσµευµένη) διασπορά Συνεπώς έχουµε αντίστοιχα Var[Y X] = σ ( ρ ). Y και g(s,s) s E[X(s) X(t)] = E[X(s)] + ρ { X(t) E[X(t)] } = X(t) g(t,t) t s(t s) Var[X(s) X(t)] = Var[X(s)]{ ρ } =. t 3
Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα» του ΕΜΠ έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.