r s s s t t
P t s st t t t t2 t s st t t rt t t tt s t t ä ör tt r t r 2ö r t ts t t t t t t st t t t s r s s s t är ä t t t 2ö r t ts rt t t 2 r äärä t r s Pr r t t s st ä r t str t st t tt2 t s s t st tt t st ttä äär tö äärä s st äs tt ä s st s s tt s st äärää st tt ä äär ttä ää s st ää t s s t tää s tä ä t s t s s t tää tässä t2össä 2 2 st r ä r 2tää t r r st s s ä s s äs t ää s s tt tt st t ö ä ä ä t st t t ä t 2 s äs tt s22s s ttä äär tö äärä sä s äär t ää s r 2 t t ä 2 t tt s ä r ss t st t t r ss tt2 ä s t r ss äs tt 2 ä s t ää t st t ää ös s äs tt äär tt 2 ä t t st t r s t st t s 2 s rt s t ä ä sä s s t ää s t äs tt ät r t tt s t t t t tt t äärät2 r ss äärää ästä s rr2tää t st rt s s t2östä äs tt t s s tt2 ää s tt s ä s ssä t st t 2 är s st s st äärä t ät tt s r ä ä s ssä s ss t st t s st ää t s s s s t 2 r 2 r s s r s ä 2t2s ör r sstä r s t t r st t t t Ö r t r t r t
sä tö t st s st t r r st t r ss st ää ös s r s r s äärät2 r ss t t tt s äärästä rt s s s t s st äärä s st ää t s s s
t P r s t ss t r tt s t t t s t t s t s 2 s s s s s sä ö s äs t s t s s tä tää tär ä ä ttä s 2ös t t s t t tt s s t s t tää tä t t är 2 stää tt t t rä tä t t s r 2s t r ä st t s t t t s ä tä ä ä ä ä ss s r rt s t st 2ös s ttä st t tä ät tä ä2ttä ät st sä s 2ö t s t s r s P s r ss s t s t ä ä r täs ä tt s ä stä s st ää 2 2 ä ä st s ä ä r 2ös tt ss t s ss s ä ä r s ss s tt tt t t P2t r s r st t tt s 2st s r t2s t t t2 s ts ä s s t t s s r t t s ä t t tää 2t r st ä2ttöö tt 2ös s t ä2tössä t tt t t 2t r st r räs ä stä tt 2 st tt2 t ä stä ä2t tt t2 s ä r t s s ä ts ttä äär tö äärä t s t ä t r ttä ä äs t tä t t t t P rr r t t s tt 2stä ä st str t n m t ö s m n t ö s r t tt s t tt2 ä ä ttä ä t s t t st tt s t s s ä stä ä ttä stä 2 2 s rt s s ttää r t s t ää s t t st tt s ä tt stä s tt t äär s t t s t s r t t t t t r r ss r t ä tä ä ä ä ä t t t t t t ss s t t tt2ä s t s s ss s s t ts stä s r ö2tä s s ä2 ssä 2 2ää s r t tt 2 578856 rs s ö2 tt2 ss ä ä t ä t t s P 2 t r t s ä s ssä s ss t t tt rä ä st ä ä s t r s t s ss s ss
2r tää t r t s ä s s t s t r s t 2 r s t r 2 r t tt äs t t s s r t2 t t s st 2 2ää st t tää ä tä s t s ttää s ä ts ä s ss r ss s r ä täs ä s äs t 2 s tä ä t2ö s s ä t r ä 2ö t r r st st s ä s s äär t ää tä s s t t r tt t s t ää s t ä tt2 ä äs tt tä t t r t 2ö t2ö t ssä ästä s rr2tää r ss s ää ös s s äs tt äär tt 2 ä s r ss ss s t ää r s t r ä2 tä ö rs s s s st tt s st r s st ss s r t tt tässä t2össä äs t ää st s 2 s rt s t t ä ä sä s ss s t ää s t äs tt ät r t t s r st t t2 r ss t t tt s äärää s s t st t rt s t t r t t2ö s ssä ss s ssä ss äs t ää t s s tt2 ää s tt s ä s ssä s ss t t t s st s st äärää t ät t t s r ä ä s ssä s ss t st t s st ää t s s s
st s st P s t s s ss st 2 s s t t s s t s s ä tää s s ä t s 2 s s ä ts ää s täs ä s s t st ts t s s r s t ts s ä 2 s t ä ä t s s ä s s äs t ää s s tt s ä tt st t ö ä ä sä s r st t ä t ss t st t s 2 s äs tt s22s r t t r s s st 2ös ttä äär tö äärä ä sä s s t t s t2 st 2 r s r 2 t t ä 2 t tt r ss s ä t r ss tt2 ä s t t r t 2ö t t ss s t2 s t st s s ä t st t ää ös s s t ää s tt2 ä s r ä ää s s ä t ä t tsä 2 ä r tt äätäs t s r s ä t s t s t r2 r r2 ts t s t r r st t äär t ä s s s a b t s s t ttä b 0 s t ttä s a s b s ss s c a = bc s 2ös ttä t ä a b rt ästä ä2t tää r tää b a st st s b a rt a b r tää tätä b a s s äär t ä t ä t p > ä s ä t s t s t ö tä p ts t 2ös tt s s t s n > t tää 2 st t2 s s st t2t t tt t ö s ttää ss n = n n 2, < n < n, < n 2 < n, n,n 2 N. t ö n n 2 tt st t t ä tä ä st s s n t ä t n = p p 2 p s (p,...,p s ).
2ö t st t ttä t ä t 2 s äs tt t ö är st2stä tt tt s s s s äär ttö ä t st s st t s st t s äär äärä {p,p 2,...,p r } ssä r st t s r s n = (p p r )+. 2t n t s äär t ä s st t ö p i t ö stä p i n i r n t k p i k N 2t r tt k p i = (p p r )+ k p i (p p r ) = p i (k (p p i p i+ p r )) =. s 2 tä ö s p i t tä2t22 2ös p i t s s p i s st p i s t ä tää tä ä r st r t s äär tö äärä s t tt2 s t tt tt ttä äär tö äärä tt st t tt 2 s t r t t st t r st s äär ttää tt ää rä s s t t st tt st 2 tt s s s ä t t tt t t t s ä s t r s t ä ts s s ää ss rt s s r t ät s 2 sää ö s st s t2 st 2s r s r s ä ä ä t t s s t s t s ss s t2 st 2 r s st tt ss s t rä ä s ä r t s st s P r 2 tä s äärää 2ö s s
s p a,b s s p ab p a t p b s s s p a a k p st a i ssä i {,...,k} s t st s ö2t22 t s st r s s r t t r s s s t s n > s ttää t n = p p 2 p s, ( ssä p i i =,...,s ; s N) t ö p i är st2stä tt tt 2 s äs tt s st st s r st t t ä t ss st t s r s 2 s äs tt s22s t t 2t ttä n s ttää t ss r ss n = p p 2 p s n = q q 2 q r. s p n s p q q 2 q r p st q j tt ttä q j = q s 2s ssä t tä2t22 p = q ä ö t r st t s t 2 tä ö p 2 p 3 p s = q 2 q 3 q r. t s t äästää t s ss p i = q i i =,...,s s = r s s t2 s t t s t ästä ä ää 2ös s 2 sä 2 ä s2tä s ttä s s s r t t r s s ät s 2 s äs tt s22s s ä s r s t s s ttää ss 2 5 t 2 5 s s s a b st t st ä tää 2 s 2 t s t t ä r st 2 t s stä t ästä ä2 t tää r tää s2t(a, b) ä s r 2 t t ä t t tä ö s ää tt s t s s
r 2 t t ä a b s r 2 t t ä s2t(a, b) {xa+yb x,y Z} s t st s tä ä 2s ssä d = ua+vb ä2t tää ttä a d d a r t s x y 0 ss 2 s äs tt s t s t q r s t ttä x = qy+r 0 r < y ä r t ä2ttä ä ä s a = qd+r ssä 0 r < d ä ä t r = a qd = a q(ua+vb) = a qua qvb = ( qu)a+( qv)b. ä ö r ss tt s r > 0 tä ä r st r ss d s ss ä r = 0 d a 2 tr r st 2ös d b s s d a b 2 t t ä s 2ös c ä 2 t t ä c (ua+vb) c d s d > 0 tästä s r ttä c d d = s2t(a,b) s s r 2 t s t t ät t ±,±2,±3,±6 ä ö s r 2 t t ä s2t(24,42) = 6 s r s s r 2 t t ä s2t(2,25) = t s ää tt s t s äär t ä P 2 t tt s t s s a b 2 t tt s s t s st a b P ästä 2 t s stä tt st t ä2ttä ää r tää 2 (a, b) s r tä s r t t ä t ä t t t t 5 = 3 5 2 = 3 7 t ä t ss t t rt ä ä s ää s s ss t ö ä t ä t ss s t2 ät t s s 2 t tt 2 (5,2) = 05 s
s r s t t 2ö t s ä 2 t ä t 2 2t s s t tt t s t t t s t t t ä ät t ss tt tt st t s ss ss s s t t ä 2 tä tässä ss t s s s s tä2t22 ts ä s s ä ttä rt m n s t s s s t ttä m n ä ö s 7m = 3n, 3 7m 3 m. P ts st st 7 3n 7 n. P s t ts s s m = 3 n = 7 7 3 = 3 7 = 22 r rr s t s t2 ät 2 ssä 900+22 = 22 s
r ss st r r r ss tt äs tt r ss s t t2 ä r ttä 2ö 2 t r ss tt r ss t s t s 2ös ä ä s ssä ä ässä s r s t t s ä t s ä2ttä ästä t r st ö2t22 ä s r ss s 2 täs r s 2ö 2 stä t st t s r s r ss äär t ää s ä s t r ss st 2 täs r s äär t ä r ss m s t s a, b Z a b m ä ö s t ttä a r tt b ss m ätä r tää a b ( m). ä 2 tä ö ät r s s22s s2 tr s22s s ä tr s t s s äär t ä 2ös s s a b ( m) a = b+mq, q Z. s s a b t s a b (mod m) s s ss s s k a = b+km st s s a b (mod m) r ss äär t ä m (a b) ä ö ss s k km = a b st a = b+km ää t s st s ss s k a = b + km km = a b ät m (a b) st r ss äär t ä s a b (mod m) s äär t ä r ss äär t ää st st s m (a b) a b (mod m) s ttä a b t ä r tt sä s r ss m tt s st r s t t t [a] m := {a+mk k Z}, ssä [a] m t tää a ää ös s m t m s ää ös t t t t s ää ö s s s
s r r tt ss 22 4 (mod 9) s ä 9 (22 4) = 8 s t t ä r tt 3 (mod 7) s 7 (3 ) = 2 s s r t s t 9 2 9 2 (mod 7) m = 7 k = 3 s 9 = 2+3 7 s r s ä2ttää t a b r t m,m 2,... st 2 stää s s a b (mod m ) a b (mod m 2 ) a b (mod m k ) ssä a,b,m, m 2,...,m k t s st m,m 2,...,m k t s t s a b (mod [m,m 2,...,m k ]), ssä [m,m 2,...,m k ] m,m 2,...,m k 2 t tt st s s t s a b (mod m ), a b (mod m 2 ),..., a b (mod m k ), t tää r ss äär t ä ttä m (a b), m 2 (a b),..., m k (a b). s r ä ää ttä [m,m 2,...,m k ] (a b). ät r ss äär t ä a b (mod [m,m 2,...,m k ]). s
t ttä t t2 2 tä ö r t s t s st 2 s ssä t s 2 tä ö t s r ss ä 2t r t t r tt 2 ä t s st 2 tä ö stä r ttä t ax+by = c 2 tä ö tä ssä a,b c t s ts t tt r s s t s 2 tä ö s s t ax b (mod m) r ss ssä x t t t s t s t 2 tt r s s r ss s s rt 2 tt r s r ss r t s ä r t s s rt 2ös täs ä s äärä ä r t r t s m s s t a b s s2t(a,b) = d tä ö ä ax+by = c ss s r t s s d c s d c ss äär ttö ä t s r t s ä ä sä s s x = x 0 y = y 0 t tt2 r t s 2 tä ö r t s t s 2 tä ö stä ssä n s x = x 0 + ( b d) n, y = y 0 ( ) a n, d s t st s ö2t22 t s t s st t r2 r r2 t s t s s s r t s 2 tä ö 5x+6y = 7 ss s r t s s ä s2t(5,6) = 3 tt 3 7 s s s a,b,c m t s s t ttä m > 0 s2t(c,m) = d ac bc (mod m) a b (mod m d ) st s s ac bc (mod m) t tää ttä m (ac bc) = c(a b) ä ö ss s k c(a b) = km 2 tä ö t t d s ( c ( m ) (a b) = k. d) d s 2 st2 s t tää ttä s a, b c t s s t ttä s2t(a,b) = a bc a c s s ( m s2t d d), c =,
2 ä st s r ttä m d (a b). ä ö a b (mod m d ). s s t a, b m s s t ttä m > 0 s2t(a, m) = d s d b r s ax b (mod m) r t s s d b r s ax b (mod m) ss täs ä d ä r tt r t s m st s s r r ss ax b (mod m) tt r s t s 2 tä ö s r t s t s tt ss s tt ax my = b s x r t s r ss ax b (mod m) s s ss s y ät ax my = b s t tää ttä s d b ss r t s d b ax my = b ss äär ttö ä t r t s t s 2 tä ö stä x = x 0 + ( m ) ( a t, y = y 0 + t, d d) ssä x = x 0 y = y 0 t tt2 r t s 2 tä ö ä t x r t x = x 0 + ( m d ) t, t r t s r s r ss ä tä äär ttö ä t ä r tt r t s äärä äär ttä s s ts tää sää tö t tt ss s r t s st x = x 0 + ( m d ) t x 2 = x 0 + ( m d ) t 2 t r tt m s ä ä s r t s t r tt x 0 + ( m ) ( m ) t x 0 + t 2 d d (mod m).
ä ttä ssä x 0 t t r ss s ( m ) ( m ) t t 2 d d (mod m). 2t s2t(m, m d ) = m d s m d m t s s t t 2 (mod d). ästä ä ää ttä ä r tt r t s s tt x = x 0 +( m )t ssä t ä2 ä ää ö s t d s tä s d 2 tä östä x = x 0 +( m )t ssä t = 0,,2,...,d s d s r ts tää r ss 9x 2 (mod 5) r t s t s s2t(9, 5) = 3 3 2 ss täs ä ä r tt r t s ä ä r t s t ö2 t2 ät s ö2 tää t tt2 r t s sätää s s t rr t 5/3 = 5 t s ö2tä s s t t t r st t s 2 tä öä 9x 5y = 2 s r t s 5 = 9 +6 9 = 6 +3 6 = 3 2. 2t 3 = 9 6 = 9 (5 9 ) = 9 2 5 ä ö 9 8 5 4 = 2 t 2 tä ö 9x 5y = 2 t tt2 r t s s st x 0 = 8 y 0 = 4 s t st s st ä ää ttä ä r tt r t s s 2 tä ö stä x = x 0 8 (mod 5) x = x 0 +5 3 (mod 5) x = x 0 +5 2 8 3 (mod 5) s s s a,b c t s s2t(a,b) = s2t(a,c) = s2t(a,bc) = sä s ä2ttää ttä s a,a 2,...,a n t s b t s s t ttä s2t(a,b) = s2t(a 2,b) = = s2t(a n,b) = s2t(a a 2 a n,b) = s
ää ös s s ss ss s 2 t 2 ssä s s s st r ss s2st stä ss 2 s tt tt r t s r s t s ö2tää t tt2 tt t ää ö s 2 s tt s t ää ö s s tt s ts ä t ää ö s ä ä r t st s r ssä s r s s t ttä ä s ää ös s äär ttää n tt t ättää ä t t ää ö s t s s ää ös s m,m 2,,m r s t s s t t r tt s t s 2 t st ättö ä ä ö r s s 2 tä ör2 ä ä x a (mod m ) x a 2 (mod m 2 ) x a r (mod m r ) 2 s äs tt r t s M = m m 2 m r st s t r ss s2st 2 tä r t s r tää M k = M m k = m m 2 m k m k+ m r. s t tää ttä s2t(m k,m k ) = s s2t(m j,m k ) = j k ä ö s ö2 tää M k ää t s y k m k s t ttä st t s r s s M k y k (mod m k ). x = a M y +a 2 M 2 y 2 + +a r M r y r.
s x r t s r r ss ä ä s tt s s tä2t22 ä2ttää ttä x a k (mod m k ) k =,2,...,r s m k M j j k s M j 0 (mod m k ). ä ä t r tt ttä x s ss t t r t ts s t r t r tt ss m k ä ö x a k M k y k a k (mod m k ), s M k y k (mod m k ). 2t ä2t tää ttä t ä t s s r t s t r tt M t x 0 x r ss 2 tä ör2 ä r t s s k x 0 x a k (mod m k ), s t ttä m k (x 0 x ). ä2ttä ä ä s tt ä ää ttä M (x 0 x ) ä ö x 0 x (mod M). s r t s r r ss 2 tä ör2 ä 2 s äs tt M s s r 2st x (mod 3) x 2 (mod 5) x 3 (mod 7) r t s s s t r t M = 3 5 7 = 05 M = 05/3 = 35, M 2 = 05/5 = 2, M 3 = 05/7 = 5.
tt t s äär ttää y r t st 35y (mod 3) t st st 2y (mod 3) ästä s y 2 (mod 3) r s y 2 ö2 tää r t s 2y 2 (mod 5) ästä s y 2 (mod 5) s s y 3 r t s 5y 3 (mod 7) s y 3 (mod 7) ä ö x 35 2+2 2 +3 5 57 52 (mod 05). r st t ä ttä x t t tt r ss s2st x 52 (mod 05) t ttä 52 (mod 3) 52 2 (mod 5) 52 3 (mod 7) s r t s ät 2 tä s st r ss s2st s
r s ts ä s r t räs 2 s rt s st r t st s ss r tt äärä s t s s t t t s ä ä ä t st 2 2rö ää s ä s ä ä s t t 2 t r t 2 tt 2rö ää tä ä 2 t s t ä t t s t t ä2t2 ä 2rö 2t t t 2 t t t t 2 st tt2 ä s r tt r t st s r s t r s t s st s st st s t t t tt r ss st sää tö s s r s ss s ssä tö ssää r s s t tt ttä ss äär tö äärä s n s t ttä n n + 2 s sä tä ät r t t ää r s tt 2ös ttä r ttä ä s r t r s t s t t s s s s ttä 2 t s tt r t t ää r st 2ös äätt ää ttä s st ää t s s s ä ä t2ö s ssä ss t st t 2s s s s s ässä ss ä2 ää ä t r ä2 tä ö rs s s s st tt s st 2 s rt s t r s st sä s t t st t r t s t s s t t r t s st ää rää äär t ttä ss s st ää t s s s s s tt s ss ää s s ä t ä ä2t tt2 t s t r r2 t r2 r r2 t s t s r s r t r t r s ä2t ttä ssä s l 0 m < l m ( ) l ( ) k k k=0 ( ) l = ( ) m. m
st s t t t st s r s r tää är st ä ä s äs ä m ( ) l ( ) k k k=0 = m ( ) ( ) l l ( ) k +( ) m. k m k=0 ä2ttä ä ä s tt s st t t t t r tt ( ) ( ) l l = ( ) m +( ) m m m ( ) ( ) l l = ( ) m ( ) +( ) m m m ( ) ( ) l l = ( ) m ( ) +( ) m m m (( ) ( )) l l = ( ) m, m m (( ) ( )) = ( ) m l! (l )! m!(l m)! (m )!((l ) (m ))! (( ) ( )) l (l ) (l m+) (l ) (l 2) (l m+) = ( ) m, m! (m )! t t 2 t t ä (( ) ( )) (l ) (l 2) (l m+) l = ( ) m (m )! m. s m m = s s stä t r stä (( ) (l ) (l 2) (l m+) = ( ) m (m )! = ( ) m ( (l ) (l 2) (l m+) (l m) m! ( )) l m m ).
rr t s ä ttä ttä ä (l m)! t s ( ) (l ) (l 2) (l m+) (l m) (l m )! = ( ) m m!(l m )! ( ) = ( ) m (l )! m!(l m)! ( ) l = ( ) m, m ä t st ä tt s s r s X ät2 ä äär ss N t P,,P r r tt r s s s t X r tää N 0 äärää ss X 2 tää ä s tä s s st {,2,,r} s I = {i,,i k } r tää N(I) = N(i,,i k ) äärää ss X s t P i,p i2,,p ik N( ) = X = N s m s t r s : N 0 m ( ) k N(I) k=0 I =k s m s t r t s : N 0 m ( ) k N(I) k=0 I =k st s ä2 tä öt tt t X t s s s s t X tr ä2 tä ö r x ss X t t ttä x täs ä l tt s s P i s l = 0 x 2 tää s tt P i s x s t rr ss N 0 ss 2 tää s tt s ä rr ss N( ) = X = N s l x 2 s s s P i s tä s t N 0 2 tää s tt P i s ä tää 2 s s s s t r tt ttä x s t P,P 2,,P l I {,2,,l,,r,r} ssä r rt s s äärä
s i I i > l ss s s t x ä ö t x s t ss r tt s s t x s t ss N(I) s I {, 2,, l} x s I t s t P i,p i2,,p il s tr 2 ä N(I) s k = 0,,,l ( l ss täs ä k) tt s s s I = k s m l x tr ä2 tä ö l ( ) l ( ) k = 0. k k=0 s m < l x tr ä2 tä ö m ( ) l ( ) k k k=0 ( ) l = ( ) m, m tr t s t s m r t s m r t s r t s s r ä st t r s ä2ttä stä s r X = {,2,3,...,30} s t X t t ät s s s r tt r tää tt s s s r st P = s t t P 2 = s t t P 3 = ä s t t N 0 äärä ss t ät s äärää 2 tää s s st P,P 2,P 3 r st s X
P st t s t t st t t s s P s s t = I 2t X \I P st t s t t st t t s s P 2 s t = I 2 2t (X \I )\I 2 P st t s t t st t t s s P 3 s s t = I 3 ((X \I )\I 2 )\I 3 = N 0 =,7,,3,7,9,23,29 2t ö2 tt2 X t 2 tää s s st P,P 2,P 3 s r s ssä s r ssä s tt t ä t t N 0 X = {,2,3,...,30} P = s t t P 2 = s t t P 3 = ä s t t t t t s t P r r 2t N 0 äärää r s X äärä t s s P tt ä tää ä ä t st X ä ää t ä ä ä st t t s s P 2 ä tä tt ää ä t s s st t ä t s s P 3 ä tä tt t s ss ((X \ I ) \ I 2 ) \ I 3 2t tt t st st tt s rt s s t s 2 s ts t2 stä s s st r s sätää t t s s st P P 2 ä s t tt ss 2t t ä ä ä sätää t s t P P 3 t tt s ä t s t P 2 P 3 s tt 2t s t t s s st t ä s s t t s t P,P 2 P 3 ä s t 2 s ä ö s N 0 äärä s ä täs ää s r ssä s t s ss
äärät2 r ss t t tt s äärästä s ä äs tt s äärää t t r t t a m s ä t r t t x s r s 2ös t s äs tt s t st s äärää tt t r r ss s ä stä t r t t s t st s ä ä stä t r t s r ss ss s st äärää t t tt ss x s r ss a (mod m) s st s t st s t ät s r x t t r tt a ss m äärä x +θ ssä θ < m st s s x m = q s {,...,qm} s sä tää täs ä x m t s ss r ss ss m t t s r s ttä x Z r tää x s s [x] m x rt s {x} = x [x] r tää [x] = qm+r ssä 0 r < m ä ö qm < x = qm+r+{x} qm+(m )+θ < qm+m = (q +)m, s s qm < x x < (q +)m stä s q < x m < q +. x st s t st s q + st 2 ä ää 2 tää 2 t stä t t st ss t t s s r s ä ä stä st q tt s s2st ä ää ö s m ä ää 2t s s s2st ää ö s ä m ästä s r ttä ss q t q + s r ss ss a (mod m) s r ä2 tä östä s s r x = 20 ä t 2 täs r s t s t t (mod 6) 5 (mod 6) 2t s s x = 20 r ss a (mod 6) ssä a = (,2,3,4,5,6) s t s s t ät s r 20 t
t r tt a ss 6 20 +θ tt θ < t t 6 20 s t ttä t t s ss är st2 s ssä s ss ss 2 s st 6 ää ös [,2,3,4,5,6],[7,8,9,0,,2],[3,4,5,6,7,8], [9,20]. 2t t tt q + ä 2 ä ää ä stä st 2 t s ä t ss ä stä st q 3 tt s s2s t ä ää ö s 6 s s st s2st stä ää ö s 6 s q < x m < q + 3 < x m < 4, ä tää s t s 20 6 ss s st s tä s tä s x p i,,p ik r s ä r tt r tää N(i,,i k ) s t st s äärää n x n(n+2) 0 (mod p i p ik ). ä ö N(i,,i k ) = 2 k x p i p ik +2 k θ, ssä θ < st s s p r t n(n+2) 0 (mod p) t n 0 (mod p) n 2 (mod p).
t 0 2 (mod p) s p 3 s s n t t tt r ss ss s t u,...,u k {0, 2} n u (mod p ) n u 2 (mod p 2 ) n u k (mod p k ). s ää ös s s s u,...,u k ss 2 s äs tt ää ös a (mod p p k ) s t ttä n r t s r ss r2 ä s s n a (mod p p 2 p k ). tä ä r ss x p p 2 p k +θ(a) r t s s t st s ss r x ssä θ(a) < s s u i s t t i {,,k} t t 2 t sä 2 k ä ö ssä θ < s N(i,,i k ) = 2 k x p i p ik +2 k θ,
rt s t b b 2 s t s t äär t t2 s r st b = loglog2+ 2 g(t) t(logt) 2dt, ssä g(t) = O() b 2 = p ( ( log ) ) = p p p k=2 kp k. ä ö b +b 2 = γ, ssä γ r t st s ö2t22 2 t s t s st t r r2 ss s s s r γ 2 äär t t2 r ä ä s r r γ = 0,57725... rt s ss ä2t tää 2ö r tt2 s e γ,78072 äär t ä s f ä t s r t s r t g r t s t t t t f g t t t r r x t r t tt s t t t äär t t2 st s ss r tää t f = O(g) f g,
s ss s c > 0 f(x) cg(x), x t s sä t2 ät t f äär tt 2 s s rt s s x 2 p x ssä γ r ( p) = e γ logx+o(), st s t t s ä s s k=2kp k > p(p ), p>x p>x k=2 < kp k p>x p(p ) < n(n ) n>x = n n+ n(n ) n>x = ( n n(n ) n ) n(n ) n>x = ( n ) n n>x s t 2 ä n är stä ä ä t r t s 2 är ( 2 + 3 + ) ( + 3 4 + ) ( + 4 5 + ) + +0 5
ä n>x ( n ) n ( ) = O x ( ) = O. logx s s s exp(t) = +O(t) t ä t s r t t ä ä O(/ log x) r t tt s ä x 2 s x 2 O(t) s s r ä stä logx log2 tässä t s ss r t tt ä [0, log2 ä ö ] ästä s r ttä ( ( )) ( ) exp O = +O. logx logx log p x ä t s s p x p + p x k=2 s b +b 2 = γ 2t ( ) = ( log ) p p p x = kp k p x = p x k= p + p x k=2 kp k. ( ) = loglogx+b kp k +O +b 2 logx p>x ( ) = loglogx+γ +O, logx k=2 kp k
( ( ( )) = e p) γ logxexp O logx p x ( ( )) = e γ logx +O logx = e γ logx+o(). s
s s t P rä ä st ä ä t t ät 2 tä t ä s s ä r ttä t ä tt t s t t t s ä ä t s t rä ä s t t t t r äs ä t s r ss s s rä ä s ä r t r t t s st st ä s r ä täs ä s ts t s s s s r s t s ä t s s tt t ät s s s ä ä äs tt t s s tt2 ää s tt s ä s ssä s s s t t t s st s st äärää t ät tt x s r ä ä s ssä t st t s st ää t s s s ää s s ä t ä ä2t tt2 2 t s t st t r r2 ss s s s st äärä s r r tää π 2 (x) p äärää t ät s r x p+2 2ös ä ö π 2 (x) x(loglogx)2 (logx) 2. st s 5 y < x r tää r = r(y) r tt äärää t ät s r y r tää ä tä p,...,p r r tää π 2 (y,x) p äärää y < p x p+2 2ös s y < n x n s ä n+2 t n > p i i =,...,r n(n+2) 0 (mod p i ) i r tää N 0 (y,x) s t st s n x äärää i =,...,r ä ö n(n+2) 0 (mod p i )
π 2 (x) y +π 2 (y,x) y +N 0 (y,x). ä2t tää r s tt ö2 ttä s N 0 (y,x) 2 är X s t s s t ät s r x st r t t p i y P i s s s ttä n(n+2) p i p i n(n+2), ssä n s t s. s s I = {i,...,i k } s sä t22 {,...,r} N(I) s s n X äärä n(n + 2) s p i,...,p ik t st N(I) s s n X äärä n(n+2) p i p ik s N(I) = N(i,...,i k ) = 2 k x p i p ik +2 k θ, ssä θ <. m r s s t ttä m r ä2 tä ö s N 0 (y,x) m ( ) k N(I) k=0 m ( ) k k=0 I =k {i,...,i k } {,...,r} ( ) 2 k x +O(2 k ). p i p ik äs ää ä ä s s t r t r tää s tt 2 t s s t s ä t t s ä s stä s t st 2 t t ä x x m ( ) k k=0 {i,...,i k } {,...,r} 2 k p i p ik + m ( ) k O(2 k ) k=0 {i,...,i k } {,...,r} s ä s stä s t st ( ) k 2 k t s tää t ( 2) k ä sä s r ä ä stä s t
x m k=0 {i,...,i k } {,...,r} ( 2) k p i p ik + m ( ) r ( ) k O(2 k ) k k=0 r t t s t s st m r st t tästä r t s st m r ä ää ät sä s s tää t r 2 s s O s s 2 ä s x r k=0 {i,...,i k } {,...,r} ( 2) k x p i p ik } {{ } A r k=m+ {i,...,i k } {,...,r} } {{ } B ( ( 2) k m ( ) r +O )2 k. p i p ik k k=0 }{{} C r st s r s ä tä t r ä A, B C r s t t t r s t t r ä A r A = x k=0 {i,...,i k } {,...,r} ( 2) k p i p ik = x 2<p y ( 2 ) p sää ä ä s t t r t s 2 är s sö t s x 2<p y = x ( x p y < x p y ( = x 2<p y ( 2p + p 2 ) ( ) 2 p ( ) 2 )( ) 2 p 2 ( p p y ) 2 ( p ) ) 2,
s t ( x e γ logy +O() P tä ä ä s s r t 2 ös ä ) 2 ( x e γ logy ( ) 2 x logy x = (logy) 2. ) 2 t t s s A x (logy) 2. ä2t tää r tää s k (x,...,x r ) s s st t r s st s2 tr s stä 2 s t ss r tt tt st k st t st r x,...,x r s ä i {,...,r} t t s s s k (x,...,x r ) = {i,...,i k } {,...,r} x i x ik. s (x + +x r ) k s sä tää k! rt 2 ä s t r t tä ä sä s 2ös t t r ä r tt (x + +x r ) k k! = (s (x,...,x r )) k k! ( e ) ks < (x,...,x r ) k, k s ( k e )k < k! ä ä r ä ää t r st k! ( k e) k 2πk r s r s t r ä B
B = x = x r x k=m+ {i,...,i k } {,...,r} r k=m+ {i,...,i k } {,...,r} r k=m+ {i,...,i k } {,...,r} ( 2) k p i p ik p i 2 k p i p ik ( ) 2 ä2ttä ä ä 2 r tää s ä stä r t s 2 ä t x < x = x < x r k=m+ r k=m+ r k=m+ r k=m+ s s r s < x s k ( 2 p i,..., 2 p r ) ( e k) ks ( 2 p i,..., 2 p r ) k ( e k) k ( 2 p + + 2 p r ) k ( ) k ( 2e ) k m p p y r k=m+ ( ) k cloglogy, m ssä c s tt s t s s m t s t ttä ( 2 p ik ) s s m > 2cloglogy, B x r k=m+ ( ) k cloglogy x m r k=m+ 2 < x k 2 m.
r st s r s t r ä C s r r tt äärä t t r t y 2r y 2t t r stä C t ä r C m k=0 ( ) r 2 k < k m (2r) k (2r) m y m. k=0 st tää s r s t r A, B C r t s x π 2 (x) y + (logy) + x 2 2 m +ym x + x m + y (logy) }{{ 2 2 }}{{} m }{{} A B C, ssä t r st t ää m s t s tt s tt y ä t s r t t tt m ä t s s s t ttä 5 y < x, m > 2cloglogy. t ä2tä össä t ts ttä m s r s ä ät tt s r m r t tt t ää t r r s m r c = max{2c,(log2) } ( ) logx y = exp 3c loglogx = x 3c loglogx m = 2[c loglogx]. y tä2ttää t x r ttä ä s r t t s r s r t r ä A,B C ä ä y m r t t t r A t r st s
logy = logx 3c loglogx, s A = r s s c (log2) x (logy) 2 x(loglogx)2 (logx) 2. s t r stä B m = 2[c loglogx] > 2c loglogx 2, s ä t r stä C B = x 2 m < 4x 2 2c loglogx = 4x (logx) 2c log2 4x (logx) 2. ( ) 2c C = y m y 2c loglogx loglogxlogx = exp = x 2 3c 3. loglogx stä ä ä ä ä r t A,B C s s π 2 (x) x(loglogx)2 (logx) 2.
s st ää t s s s ss t r s ttä s s äär tö äärä t r t s t ä t st tt s tä ä s s tä t t tt t t t s s tt2 st tt t st ttä ää t s st st s r s s t tää s r s tä ä t st s s s p,p 2,... s r s s p p + 2 2ös ä ö ( + ) p n= n p n +2 ( = 3 + ) ( + 5 5 + ) + 7 <. ( + ) ( + 3 7 + ) + 9 st s s ss t st t ttä x 2 ät π 2 (x) x(loglogx)2 (logx) 2. r 2 ös ä s st p äärää t ät s r n p+2 2ös s n(loglogn) 2 (logn) 2 n (logn) 3 2 (loglogn) 2 (logn) 2. r tää y = log n 2 ä s t (logy) 2 y 2 logy y 4. sätää ä2 tä ö s r rt s c 8 s t s
logy cy 4. t t s r s 2 ä r t st y r s t t r tt s r f(y) = cy 4 logy f (y) = c 4 y 3 4 y. s y 0 tä2t22 c y 4 4 y = 0. stä s y r c 4 y 4 = 0, ( 4 ) 4 256 y = = c c. 4 2t t tää ttä t f t s r tässä st ssä t t s r s t f ä2ttä2t2 stä r t s r s rt t s s t ( 4 ) 4 2 = 52 c ( 4 ) 4 256 : 2 = c 2c 4. c 4 t s r s c = 8 f ( ) > 0 8 f ( ) < 0 s t f s 32 äär är t ä s äär är t s r y r r s t t ä t c r s tt t f äär r ss
( (4 ) ) 4 f c ( 4 ( 4 4 4 = c log c)4 c) = c 4 ( 4 ) c 4log c ( 4 = 4 4log. c) s 4 c < log( 4 c) < 0 4 4log ( 4 c) 4 c 8 r f(y) 0 logy cy 4 ät r n(loglogn) 2 (logn) 2 n (logn) 3 2 ät s s n s st äärää äär t tää 2 ä p n st p n s t p n n ä ö n = π 2 (p n ) p n (logp n ) 3 2 p n (logn) 3 2 n 2 s n p n, (logn) 3 2 st p n n(logn) 3 2. t t s r s s r n= p n. tt s ä t r s s rtä ä ä t s t n = 2 s
p n 3 + n= r s p n=2 n n= p n 3 + n=2. n(logn) 3 2 ä s ä t r t s r s s äärät2 t r t st s st t t t s r s 2 ä s r r t r ä t r s ässä t s 2 = lim N dx x(logx) 3 2 N 2 dx x(logx) 3 2 ( ) d = d 3 dx logx dx (logx) 2 = 2 (logx) 2 x = 2, x(logx) 3 2 N 2 x(logx) 3 2 ( dx = 2 ) = 2, logn log2 log2 logn 0, N s r s s s st ää t s s r s s
tt t st tr t t 2t r r2 r r r r r r r r rt2 tr t t t s r t s t t t2 r rs t2 Pr ss r 2s r ss rr t 2 s t t P t ä r t t r t rs Pr r tt rs r r s r ss tt t tt t t st r t t st s 2 st ät tsä 2 ä äätä r tt r st r tt s t s 2 t r r2 ss s s r t ts t t s r r r r r r t s t s P r s t s t ss t r st t tt s tt P 2 t t r s t 2 r s t r 2 r tt t rr2t r r ss 2 t t r s t 2 r s t r 2 r tt s t t r2 r r2 ts t s r t s s 2 P s 2 ss s tts r r r s t r st r 2 2 r 2 r P r s t 2 r s t r 2st r s rt st t t r s r t tt t r r t r s r t t tt Pr t r tt t r r Pr t r t tt
sst r r s r st t t r r s r tt t r r r s r st t t tt