ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΕΣ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΕΣ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΘΕΜΑ: "Ανάλυση Συνολοκλήρωσης και Μοντέλα Αποκατάστασης Ισορροπίας : εφαρμογή στις διεθνείς χρηματιστηριακές αγορές." 1 ος ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ : ΜΙΧΑΗΛ ΜΙΧΑΛΟΠΟΥΛΟΣ 2 ος ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ : ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΔΟΥΝΙΑΣ ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ : ΒΑΣΙΛΕΙΟΣ ΒΑΣΙΛΕΙΑΔΗΣ ΑΡΙΘΜΟΣ ΜΗΤΡΩΟΥ : 23100045 ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ 4 Νοεμβρίου 2005

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. Σκοπός και διάρθρωση της εργασίας 3 2. Εισαγωγή 5 3. Αναφορά στην υπάρχουσα βιβλιογραφία (Ανάλυση Συνολοκλήρωσης και Μοντέλα Αποκατάστασης Ισορροπίας- Cointegration Analysis and Error Correction Models) 7 4. Μεθοδολογία 10 4.1 Χρονολογικές σειρές και η έννοια της στασιμότητας 10 4.2 Στασιμότητα 12 4.3 Έλεγχοι μοναδιαίας ρίζας (Unit Root tests) 17 4.4 Η έννοια της συνολοκλήρωσης 19 4.5 Έλεγχοι συνολοκλήρωσης (Cointegration tests) 21 4.6 Αυτοπαλίνδρομα Υποδείγματα(Vector Autoregressive Models ) και Μοντέλα Αποκατάστασης Ισορροπίας(Error Correction Models) 23 5. Εφαρμογή 25 5.1 Περιγραφή των δεδομένων 26 5.2 Στατιστική Ανάλυση των δεδομένων 27 5.3 Εφαρμογή των ελέγχων μοναδιαίας ρίζας 39 5.4 Εφαρμογή των ελέγχων συνολοκλήρωσης 51 5.5 Αυτοπαλίνδρομα Υποδείγματα και Μοντέλα Αποκατάστασης Ισορροπίας 70 6. Συμπεράσματα και προοπτικές για περαιτέρω έρευνα 90 7. Βιβλιογραφία 97 8. Παράρτημα 99 2

1. Σκοπός και διάρθρωση της εργασίας Η παρούσα εργασία έχει σαν στόχο να μελετήσει και να αναλύσει τη σχέση, αν υπάρχει, μεταξύ πέντε διεθνών χρηματιστηριακών δεικτών : του Αυστραλιανού ASX, του Γερμανικού DAX, του Ιαπωνικού NKY, του Αμερικάνικου SPX και του Αγγλικού UKX. Οι πέντε αυτοί δείκτες παίζουν σημαντικό ρόλο στη διαμόρφωση των συνθηκών πολλών εγχώριων αγορών, ενώ ταυτόχρονα επηρεάζονται από γεγονότα που συμβαίνουν στο παγκόσμιο στερέωμα. Με την έρευνα που θα πραγματοποιήσουμε, θα προσπαθήσουμε να βρούμε την μακροχρόνια σχέση ισορροπίας, αν υπάρχει, και να την αποτυπώσουμε σε ένα υπόδειγμα Διόρθωσης Λαθών (Error Correction Model), το οποίο μπορεί να είναι είτε διμεταβλητό είτε πολυμεταβλητό. Πρακτικά αυτό σημαίνει ότι αν δε βρούμε κάποια σχέση ανάμεσα σε όλους τους δείκτες μαζί, θα περιοριστούμε σε επιμέρους ομάδες δυο, όπου μπορεί να υπάρχει κάποια συσχέτιση. Εφόσον προκύψει κάποια σχέση ισορροπίας, οφείλουμε να εξηγήσουμε αναλυτικά τους πιθανούς λόγους για την ύπαρξη της. Δηλαδή, θα αναφέρουμε τυχόν γεγονότα και αποφάσεις, υπαίτια για αυτή τη σχέση. Τέτοια γεγονότα μπορεί να είναι η οικονομική ενοποίηση που συνέβη στην Ευρώπη και τα μεγάλα χρηματιστηριακά κραχ. Εάν δε βρεθεί κάποια σχέση ισορροπίας, τότε θα περιοριστούμε σε Αυτοπαλίνδρομα υποδείγματα (Vector Autoregressive Models), τα οποία αποτυπώνουν τις σχέσεις αιτιότητας μεταξύ των μεταβλητών (δεικτών στην προκειμένη περίπτωση), δηλαδή η μεταβολή ποιου δείκτη προκαλεί μεταβολή στην πορεία του άλλου. Η εργασία θα έχει την παρακάτω δομή : Στο πρώτο κεφάλαιο αποτυπώνεται ο σκοπός της παρούσης μελέτης, καθώς επίσης και η διάρθρωσης της εργασίας. Στο δεύτερο κεφάλαιο κάναμε μια εισαγωγή στο θέμα της Συνολοκλήρωσης, το οποίο θα αναλυθεί και θα εφαρμοστεί σε επόμενα κεφάλαια. Στο τρίτο κεφάλαιο θα γίνει μια εκτενής βιβλιογραφική αναφορά σχετικά με την έρευνα που έχει γίνει μέχρι τώρα στον τομέα αυτό Στο τέταρτο κεφάλαιο θα περιγράψουμε τη θεωρία και τη μεθοδολογία, η οποία κρύβεται πίσω από την πράξη. Αναφερόμαστε στην έννοια της χρονολογικής σειράς και της στασιμότητας (stationarity), στους διάφορους ελέγχους στασιμότητας (Augmented Dickey Fuller, Phillips Perron), στους ελέγχους ύπαρξης σχέσης 3

συνολοκλήρωσης ανάμεσα στους δείκτες (Engle-Granger cointegration tests και Johansen-Juselius cointegration tests), στην θεωρία των Υποδειγμάτων Διόρθωσης Λαθών (Error Correction Models) και Αυτοπαλίνδρομων Υποδειγμάτων (Vector Autoregressive Models). Τα πρώτα θα αποτυπώνουν τη μακροχρόνια σχέση ισορροπίας μεταξύ των δεικτών, καθώς επίσης και τις αιτιότητες ανάμεσα στους δείκτες, ενώ τα δεύτερα μόνο τις αιτιότητες. Στο πέμπτο κεφάλαιο θα παραθέσουμε την εφαρμογή της μεθοδολογίας με αληθινά δεδομένα. Για την εξαγωγή των δεδομένων χρησιμοποιήσαμε το πρόγραμμα Matlab 1. Επιπλέον θα γίνει ανάλυση των αποτελεσμάτων. Στο έκτο κεφάλαιο θα εξαχθούν τα όποια συμπεράσματα από τα αποτελέσματα του προηγούμενου κεφαλαίου. Είναι σημαντικό να συσχετίσουμε τα ευρήματα από τη μελέτη μας με γεγονότα που σημάδεψαν την παγκόσμια οικονομία όλο αυτό το διάστημα. Στο όγδοο κεφάλαιο υπάρχει το παράρτημα, όπου κανείς θα βρει πίνακες με αποτελέσματα και γραφήματα. Η παρούσα εργασία κρίνεται σημαντική όσον αφορά την πρωτογενή (στατιστική) περιγραφή των δεδομένων, διότι γίνεται μια αναλυτική περιγραφή της κατανομής των δεδομένων, γίνεται ανάλυση συσχέτισης και αυτοσυσχέτισης (correlation and autocorrelation analysis), μελετάται η επίδραση των παρελθουσών τιμών της μεταβλητότητας στην παρούσα. Το παραπάνω φαινόμενο υποδεικνύει ότι η διακύμανση μιας χρονολογικής σειράς την τωρινή περίοδο εξαρτάται από τη διακύμανση των προηγούμενων περιόδων της. Κάτι τέτοιο μπορεί όμως να αλλοιώσει σημαντικά τα αποτελέσματα και τις εκτιμήσεις μας. Επιπλέον δεν έχουν πραγματοποιηθεί αρκετές παρόμοιες έρευνες, τόσο όσον αφορά το είδος και τη σημαντικότητα των δεικτών, όσο και το χρονικό διάστημα (21 χρόνια!!). Τα αποτελέσματα, που μπορεί να εξάγει κάποιος χρησιμοποιώντας τέτοιο μεγάλο χρονικό ορίζοντα, έχουν μεγάλη πιθανότητα να είναι αρκετά εύρωστα. 1 Τα δεδομένα πήραμε από το Bloomberg με τη βοήθεια του κ. Νικόλαου Κοντάκη, τον οποίο και ευχαριστούμε θερμά για την πολύτιμη συμβολή του στην εργασία. 4

2. Εισαγωγή Σε μια εποχή όπου η εξέλιξη σε όλους τους τομείς επιτυγχάνεται με ταχύτατους ρυθμούς, η συσχέτιση και η αλληλεπίδραση των διαφόρων γεγονότων γίνεται εμφανής. Είναι γεγονός ότι τομείς όπως η παγκόσμια ή εγχώρια οικονομία και πολιτική συνδέονται άρρηκτα μεταξύ τους, έχοντας σαν φυσικό επακόλουθο ότι αποφάσεις και πράξεις στον ένα έχουν αντίκτυπο στον άλλο. Θα μπορούσε να ισχυριστεί κάποιος ότι ο συνδετικός κρίκος σε όλα αυτά είναι η τεχνολογία, η οποία αναπτύσσεται με ραγδαίους ρυθμούς. Με την ανάπτυξη νέων τεχνολογικών συστημάτων και προτύπων αυτοματοποιούνται οι περισσότερες διαδικασίες. Σε αυτό το αναδυόμενο πλαίσιο θα είχε ενδιαφέρον κανείς να μελετήσει τις συσχετίσεις σε έναν από όλους τους πιθανούς τομείς,την παγκόσμια οικονομία. Ένα από τα χαρακτηριστικά της οικονομίας, που παίζει σημαντικό ρόλο στη λήψη αποφάσεων είναι τα χρηματιστήρια. Τα εθνικά χρηματιστήρια αποτελούν ένα χώρο, μέσα στον οποίο πραγματοποιούνται καθημερινώς πάρα πολλές συναλλαγές και διακινούνται υπέρογκα ποσά. Οι περισσότερες ιδιωτικές εταιρίες είναι εισηγμένες σε αυτά. Μεγάλο ποσοστό του πληθυσμού επενδύει στις μετοχές και στα υπόλοιπα χρηματοοικονομικά προϊόντα. Οι εθνικοί χρηματιστηριακοί δείκτες αποτελούν ένα σταθμισμένο άθροισμα των επιμέρους εταιρικών μετοχών. Είναι και αυτοί στοιχεία, στα οποία μπορεί κανείς να επενδύσει. Επομένως θα ήταν ενδιαφέρον να μελετήσει κάποιος τους παράγοντες εκείνους που επηρεάζουν τόσο την διαχρονική πορεία αυτών καθώς επίσης και τη σχέση μεταξύ τους. Κάποιοι από αυτούς τους σημαντικούς παράγοντες είναι οι εξής : Κρίσεις στις σχέσεις μεταξύ των κρατών (πόλεμοι, διπλωματία, τρομοκρατία κτλ.). Από τα πιο χαρακτηριστικά παραδείγματα είναι ο πόλεμος του Περσικού κόλπου, στο Αφγανιστάν, η επίθεση στους Δίδυμους Πύργους. Κρίσεις στο εσωτερικό μιας χώρας. Είναι σημαντικό να κατανοήσουμε ότι η πολιτική και κατ επέκταση οικονομική αστάθεια στο εσωτερικό μιας χώρας μπορεί να επηρεάσει την σχέση και πορεία των διαφόρων χρηματιστηριακών δεικτών. Και αυτό γιατί η εξάρτηση μεταξύ των χωρών είναι μεγάλη. Τέτοιες κρίσεις μπορεί να είναι το στρατιωτικό ή βασιλικό καθεστώς μιας χώρας, οι πιθανές ανταρσίες και επαναστάσεις σε χώρες του Τρίτου Κόσμου (Νότιος Αφρική και Λατινική Αμερική, Κούβα). 5

Αποφάσεις των κυβερνήσεων σχετικά με τη δημοσιονομική πολιτική καθώς επίσης και τις επενδύσεις που θα πρέπει να πραγματοποιήσουν, τόσο στο εσωτερικό όσο και σε χώρες του εξωτερικού. Αποφάσεις των ιδιωτικών εταιριών. Οι ιδιωτικές εταιρίες, σαν βασικά μέλη του χρηματιστηρίου, παίζουν καθοριστικό ρόλο στη διαμόρφωση των τιμών των επιμέρους μετοχών. Γεγονότα όπως στρατηγικές συμμαχίες, εξαγορές και συγχωνεύσεις, επενδυτικά σχέδια και γενικότερη στρατηγική της εταιρίας μπορούν να επηρεάσουν την πορεία των δεικτών. Κρίσεις στις τιμές των αγαθών αλλά και στις πρώτες ύλες. Στη συγκεκριμένη περίπτωση θα πρέπει να αναφερθεί η πετρελαϊκή κρίση και οι επιπτώσεις στο παγκόσμιο στερέωμα. Μεγάλα χρηματιστηριακά κραχ και φαινόμενα μετοχών-φυσαλίδων έχουν σηματοδοτήσει την γενικότερη πορεία των εθνικών χρηματιστηρίων. Συγκεκριμένα, παρατηρείται μια ταυτόχρονη πτώση σε μεγάλα χρηματιστηριακά κέντρα, όπως S&P s 500 και NIKKEΙ. Απελευθέρωση των αγορών. Εδώ αναφερόμαστε στο φαινόμενο της παγκοσμιοποίησης, γιατί είναι ένα γεγονός που ουσιαστικά άνοιξε το δρόμο για την ύπαρξη συσχετίσεων μεταξύ των μεγάλων αγορών. Στην παρούσα κατηγορία ανήκει και η Ευρωπαϊκή Νομισματική Ενοποίηση, η οποία θα αναφερθεί εκτενέστερα παρακάτω. Ο παραπάνω κατάλογος θα πρέπει να θεωρηθεί μερικός, καθώς οι λόγοι που μπορούν επηρεάσουν την πορεία των δεικτών μεμονωμένα και σαν σύνολο βέβαια είναι ακόμα πιο πολλοί, και ίσως κάποιοι από αυτούς να μην έχουν μελετηθεί σε βάθος. Πάντως αυτό που θα πρέπει να συμπεράνουμε είναι ότι υπάρχει κάποια σχέση στη διαχρονική πορεία των μεγάλων εθνικών χρηματιστηριακών δεικτών, πράγμα που επιβεβαιώνεται από την ολοένα και ταχύτερη σύγκλιση στην παγκοσμιοποίηση. Κάτι τέτοιο όμως καθιστά απαραίτητη τη μελέτη αυτού του φαινομένου της μακροπρόθεσμης συσχέτισης των δεικτών και την καταγραφή των γεγονότων που έπαιξαν καθοριστικό ρόλο στη διαμόρφωση αυτής της σχέσης. Για παράδειγμα, θα είχε μεγάλο ενδιαφέρον να μελετήθει η σχέση του γερμανικού δείκτη με τον βρετανικό (DAX UKX) και να καταγραφούν οι περίοδοι όπου παρατηρήθηκε παρόμοια πορεία, ποιος ακολουθούσε ποιόν ή αν υπάρχει κάποιου είδους σχέση μεταξύ τους. Και βέβαια είναι επιτακτική ανάγκη να συνδεθεί η παραπάνω μελέτη με τα γεγονότα που σηματοδότησαν 6

εκείνη την περίοδο και τι ρόλο έπαιξαν στη διαμόρφωση της σχέσης αυτής. Για τη μελέτη και ανάλυση της σχέσης ανάμεσα στους χρηματιστηριακούς δείκτες έχουν αναπτυχθεί διάφοροι μέθοδοι, που κατηγοριοποιούνται σε δυο μεγάλες κατηγορίες : τις γραμμικές και τις μη γραμμικές. Στην παρούσα εργασία θα χρησιμοποιήσουμε γραμμική στατιστική μέθοδο, η οποία αναφέρεται στη βιβλιογραφία ως Ανάλυση Συνολοκλήρωσης. Σκοπός αυτής της μεθόδου είναι η εύρεση κάποιας μακροχρόνιας σχέσης ισορροπίας που να συνδέει τους δείκτες μεταξύ τους. Εφόσον αποδειχθεί ότι υπάρχει μια ή περισσότερες σχέσεις ισορροπίας, μπορούμε να αποτυπώσουμε αυτή σε υποδείγματα Αποκατάστασης Ισορροπίας ή αν δεν υπάρχει, σε Αυτό-Παλίνδρομα υποδείγματα. Τέλος, θα πρέπει να αναφέρουμε ότι η παραπάνω μέθοδος έχει χρησιμοποιηθεί εκτενώς σε παρόμοιες μελέτες, και η εγκυρότητας της έχει επαληθευτεί. 3. Αναφορά στην υπάρχουσα βιβλιογραφία (Ανάλυση Συνολοκλήρωσης και Μοντέλα Αποκατάστασης Ισορροπίας- Cointegration Analysis and Error Correction Models) Σε αυτό το σημείο κρίνεται απαραίτητη η αναφορά στην μέχρι τώρα έρευνα και βιβλιογραφία πάνω στο θέμα της συσχέτισης και μακροχρόνιας ισορροπίας των διεθνών χρηματιστηριακών αγορών. Βέβαια, θα περιοριστούμε σε επιστημονικά άρθρα, τα οποία έχουν δημοσιευθεί σε ηλεκτρονικά περιοδικά, όπως το www.sciencedirect.com και το www.emerald-library.com από το 1997 έως και το 2005. Κοιτώντας συνοπτικά την υπάρχουσα αρθρογραφία, μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι έχουν μελετηθεί διάφορες αγορές από όλο τον κόσμο, όπως η αμερικάνικη με την ασιατική, οι αναδυόμενες οικονομίες της Ευρώπης (Τσεχία, Ουγγαρία) με τις αναπτυγμένες χώρες (Αμερική, Γερμανία, Μ. Βρετανία) και πολλές άλλες. Οι αναλύσεις που έχουν γίνει είναι είτε διμεταβλητές (bivariate) είτε πολυμεταβλητές (multivariate). Για παράδειγμα, μπορεί να μελετάται η μακροχρόνια σχέση ισορροπίας μεταξύ του αμερικάνικου δείκτη και του ασιατικού ή η σχέση μεταξύ των δεικτών των αναδυόμενων ευρωπαϊκών αγορών και αυτών της Γερμανίας και της Μ. Βρετανίας. 7

Σαν πρώτο άρθρο αξίζει να αναφέρουμε την εργασία των Tsangyao Chang και Steven B. Caudill (2004), οι οποίοι χρησιμοποιώντας ως δεδομένα τις ημερήσιες τιμές κλεισίματος των χρηματιστηριακών δεικτών της Αμερικής (Dow Jones industrial Average Index) και της Taiwan (Weighted Index), απέδειξαν ότι δεν υπάρχει σχέση συνολοκλήρωσης μεταξύ τους. Επιπρόσθετα, σημαντική είναι και η σύγχρονη δουλειά των Xuan Vinh Vo και Kevin James Daly (2005), οι οποίοι με τη σειρά τους ερεύνησαν αν υπάρχει σχέση συνολοκλήρωσης ανάμεσα στους ευρωπαϊκούς χρηματιστηριακούς δείκτες (Γαλλία, Γερμανία, Ελλάδα, Ιρλανδία, Ολλανδία, Ισπανία, Αγγλία) και τον αμερικάνικο. Σαν σημαντικό αποτέλεσμα αξίζει να αναφέρουμε ότι δεν υπάρχει δυνατή μακροχρόνια σχέση ισορροπίας, αλλά μπορούμε να εντοπίσουμε βραχυχρόνιες σχέσεις, εφαρμόζοντας ένα κατάλληλο είδος ελέγχου, τα Granger Causality tests. Αντίθετα με την παραπάνω έρευνα, οι Orawan Ratanapakorn και Subhash C. Sharma (2002) χρησιμοποιώντας τους ίδιους δείκτες, εμπλουτισμένους και με άλλους ευρωπαϊκούς (Δανία, Φιλανδία κτλ.) και με ανατολικούς (Μαλαισία, Αυστραλία κτλ.) κατάφεραν να αποδείξουν ότι υπάρχει μια σχέση συνολοκλήρωσης, κατά τη δεύτερη περίοδο μελέτης ( 1995-2000). Έχουν γίνει επίσης μελέτες για να εντοπισθούν τυχόν σχέσεις ισορροπίας μεταξύ των αναδυόμενων ευρωπαϊκών (Ουγγαρία, Πολωνία, Τσεχία) και των διεθνών μεγάλων χρηματιστηριακών αγορών (Αγγλία, Γερμανία, Αμερική κτλ.). Σε αυτό το πλαίσιο κυμαίνεται και η εργασία των E. Dockery και F. Vergari (2001), οι οποίοι βρήκαν ότι υπάρχει σχέση συνολοκλήρωσης μεταξύ των χρηματιστηρίων της Ανατολικής Ευρώπης και εκείνων της Γερμανίας και Αγγλίας. Οι Claire G. Gilmore και Ginette M. McManus (2002) βρήκαν ότι οι προαναφερθείσες αναδυόμενες αγορές δεν είναι συνολοκληρωμένες με την αμερικάνικη. Τέλος μια εργασία που πρέπει να αναφερθεί είναι αυτή του Nikiforos T. Laopodis (2004) ο οποίος μελέτησε τη σχέση ισορροπίας των ευρωπαϊκών αγορών με την αμερικάνικη, αλλά δεν κατέληξε σε κάποια συσχέτιση. Βέβαια αυτό που κατάφερε να αποδείξει είναι ότι μπορεί να υπάρχουν μακροχρόνιες σχέσεις συνολοκλήρωσης μεταξύ των επιμέρων δεικτών (αγγλικού με γερμανικό και ελληνικό κ.ο.κ.). Τέλος, δυο ακόμη άρθρα που οφείλουμε να αναφέρουμε είναι αυτό του David G. McMillan (2005) ο οποίος μελετάει το θέμα της συνολοκλήρωσης διεθνών χρηματιστηριακών δεικτών, χρησιμοποιώντας μη γραμμικές μεθόδους (αντίθετα από τις παραπάνω μελέτες που κάνουν χρήση γραμμικών μεθόδων) και των Ming-Shiun Pan, Y. Angela Liu και Herbert J. Roth (1999), οι οποίοι μελετούν με τη σειρά τους την ύπαρξη μακροχρόνιας σχέσης ισορροπίας σε επίπεδο μεταβλητότητας (volatility spillovers). Το 8

αποτέλεσμα της έρευνας των τελευταίων είναι ότι οι υπό μελέτη χρηματιστηριακές αγορές παρουσιάζονται να έχουν την ίδια διαδικασία μεταβλητότητας (same volatility process). Θέτοντας το πιο επιστημονικά κάποιος θα μπορούσε να πει ότι οι χρηματιστηριακοί δείκτες είναι συνολοκληρωμένοι στις δεύτερες ροπές των αποδόσεων( second moments of returns). Συνοψίζοντας την μέχρι τώρα έρευνα, μπορούμε να σταθούμε σε κάποια βασικά σημεία των αναλύσεων που έχουν γίνει : Οι υπό μελέτες περίοδοι δεν καλύπτουν μεγάλα χρονικά διαστήματα (έως και δεκαετία). Δεν δίνεται μεγάλη βαρύτητα στις στατιστικές ιδιότητες των δεδομένων. Το μόνο που γίνεται είναι ο υπολογισμός των βασικών στατιστικών μέτρων (μέσος, διακύμανση). Οι έλεγχοι στασιμότητας των χρονολογικών σειρών που χρησιμοποιούνται είναι : Dickey-Fuller, Augmented Dickey-Fuller, Phillips-Perron και σε μικρότερο βαθμό ο έλεγχος KPSS, Variance Ratio. Ο έλεγχος συνολοκλήρωσης που χρησιμοποιείται ως επί το πλείστον είναι αυτό που προτείνουν οι Johansen-Juselius. Σε μικρότερο βαθμό γίνεται η χρήση του παραδοσιακού ελέγχου που προτείνεται από τους Engle-Granger. Η πρώτη μέθοδος μπορεί να αποκαλύψει πολλαπλές σχέσεις συνολοκλήρωσης ανάμεσα από πολλούς δείκτες, ενώ η δεύτερη μελετάει ζευγάρια δεικτών. Στα περισσότερα,αν όχι σε όλα, άρθρα υπολογίζεται ένα υπόδειγμα Διόρθωσης Λαθών (Error Correction Model) ή ένα Αυτοπαλίνδρομο Υπόδειγμα (VAR). Μέσα από αυτά τα μοντέλα μπορεί κανείς να παρατηρήσει αν υπάρχουν σχέσεις αιτιότητας από κάποιους δείκτες προς κάποιους άλλους (Granger Causalities). Τέλος τα περισσότερα άρθρα λαμβάνουν υπόψη τους τα οικονομικά και πολιτικά γεγονότα που σημάδεψαν τις υπό μελέτη χρονικές περιόδους και προσπαθούν να εξηγήσουν τα στατιστικά αποτελέσματα μέσω αυτών. Η περιγραφή και η ανάλυση των προαναφερθέντων μεθόδων θα πραγματοποιηθεί εκτενέστερα σε επόμενο κεφάλαιο. 9

4. Μεθοδολογία 4.1 Χρονολογικές σειρές και η έννοια της στασιμότητας Μια επιτακτική ανάγκη, η οποία επιβάλλεται από τη σύγχρονη εποχή, είναι η μελέτη για την ύπαρξη σχέσης μεταξύ διαφόρων μεταβλητών ή μιας μεταβλητής και των προηγούμενων τιμών του. Η οποιαδήποτε σχέση μεταξύ των μεταβλητών αποτυπώνεται σε ένα υπόδειγμα. Για παράδειγμα, ένα τέτοιο υπόδειγμα μπορεί να συσχετίζει το επίπεδο αποταμίευσης ενός νοικοκυριού με το εισόδημα και τις δαπάνες του νοικοκυριού. Στην προκειμένη περίπτωση, το επίπεδο της αποταμίευσης αποτελεί την εξαρτημένη μεταβλητή, ενώ οι άλλες δυο τις ανεξάρτητες. Τέτοιου είδους υποδείγματα, στα οποία μελετάται στατιστικά και οικονομικά η σχέση που συνδέει την εξαρτημένη μεταβλητή με άλλες ανεξάρτητες, ονομάζονται αιτιατά(δημελή,2002,σελ. 18). Εκείνα τα υποδείγματα τα οποία θα μας απασχολήσουν στην παρούσα εργασία είναι κυρίως τα μη αιτιατά, στα οποία οι ανεξάρτητες μεταβλητές αποτελούν παρελθούσες τιμές της εξαρτημένης μεταβλητής(δημελή,2002,σελ.19). Τέτοιου είδος υποδείγματα είναι οι χρονολογικές σειρές. Τέλος, θα πρέπει να αναφέρουμε ότι απώτερος στόχος της κατασκευής κάποιου υποδείγματος είναι η διενέργεια προβλέψεων των μελλοντικών τιμών της εξαρτημένης μεταβλητής. Οι χρονολογικές σειρές (time series) αποτελούν μια μεγάλη κατηγορία μη αιτιατών υποδειγμάτων. Μερικά παραδείγματα είναι η δημιουργία χρονολογικών σειρών για την πρόβλεψη της τιμής μιας μετοχής, ενός χρηματιστηριακού δείκτη, του δείκτη πληθωρισμού κτλ. Ένας ορισμός της χρονολογικής σειράς είναι ο ακόλουθος : Χρονολογική σειρά (time series) είναι ένα δείγμα y 1, y 2,, y T, όπου ο δείκτης παριστάνει ισαπέχοντα χρονικά σημεία (π.χ. έτη ) ή χρονικά διαστήματα (π.χ. 10 έτη). Υποθέτουμε ότι οι παρατηρήσεις y 1, y 2,, y T αποτελούν συγκεκριμένες τιμές των τυχαίων μεταβλητών Y 1, Y 2,, Y T και ότι οι Y 1, Y 2,, Y T είναι μέρος μιας άπειρης ακολουθίας τυχαίων μεταβλητών. Η άπειρη αυτή ακολουθία των τυχαίων μεταβλητών ονομάζεται στοχαστική διαδικασία (stochastic process)(χρήστου,2004β,σελ.736). Οι χρονολογικές σειρές μοντελοποιούνται με μια πληθώρα τρόπων. Θα παρουσιάσουμε μερικούς από αυτούς παρακάτω, συνοπτικά επειδή δεν 10

περιλαμβάνεται το συγκεκριμένο θέμα στους στόχους της παρούσης εργασίας : 1) Αυτοπαλίνδρομα Υποδείγματα (Autoregressive Models) : Y t = a 0 + a 1 Y t-1 + a 2 Y t-2 +. + a p Y t-p + e t, όπου το e t είναι λευκός θόρυβος (white noise process). Κρίνεται σε αυτό το σημείο απαραίτητο να παραθέσουμε τις ιδιότητες του λευκού θορύβου, καθώς αυτός αποτελεί ένα βασικό τμήμα της διαδικασίας μοντελοποίησης : a. E(e t ) = 0 b. Var(e t ) = σ 2 c. Cov(e t,e t-1 ) = 0 για κάθε s 0 Μια σημαντική παρατήρηση που μπορούμε να κάνουμε για τη διαδικασία του λευκού θορύβου είναι ότι δεν παρουσιάζει κάποια συσχέτιση με τις παρελθούσες τιμές του. Η σημαντικότητα αυτής της επισήμανσης θα γίνει πιο αντιληπτή στα επόμενα κεφάλαια. 2) Υποδείγματα κινητού μέσου (Moving Average Models) : Y t = μ + e t + θ 1 e t-1 + θ 2 e t-2 +. + θ q e t-q Δηλαδή, η εξαρτημένη μεταβλητή είναι απεικονίζεται σαν το σταθμισμένο άθροισμα των παρελθουσών τιμών του λευκού θορύβου. 3) Τέλος, υπάρχει και ο συνδυασμός των δυο παραπάνω τύπων υποδειγμάτων τα λεγόμενα Αυτοπαλίνδρομα Υποδείγματα Κινητού Μέσου (Autoregressive Moving Average Models) : Y t = a 0 + a 1 Y t-1 + a 2 Y t-2 +. + a p Y t-p + e t + θ 1 e t-1 + θ 2 e t-2 +. + θ q e t-q Υπάρχει μια ολόκληρη θεωρία που υπαγορεύει αυτά τα μοντέλα, αλλά η αναφορά της ξεφεύγει από τους σκοπούς μας. Ένα τελευταίο πράγμα, στο οποίο θα πρέπει να σταθούμε είναι η έννοια της συνάρτησης αυτοσυσχέτισης (autocorrelation function) και μερικής αυτοσυσχέτισης (partial autocorrelation function). Η αυτοσυσχέτιση αποτελεί ένα στατιστικό μέτρο του πόσο οι παρελθούσες τιμές μιας μεταβλητής επιδρούν στην σημερινή τιμής της. Είναι σημαντικό να το 11

γνωρίζουμε αυτό διότι αν παρατηρούμε μεγάλη αυτοσυσχέτιση τότε τα αποτελέσματα της παλινδρόμησης ανάμεσα στην εξαρτημένη μεταβλητή και των παρελθουσών τιμών της θα είναι νόθα (spurious regression). Η διαφορά του συντελεστή αυτοσυσχέτισης με τον συντελεστή μερικής αυτοσυσχέτισης είναι ότι ο δεύτερος απεικονίζει τη συσχέτιση του y t με το y t+k όταν έχουν ληφθεί υπόψη οι συσχετίσεις όλων των ενδιάμεσων τιμών y t+1, y t+2,, y t+k-1.ο συντελεστής αυτοσυσχέτισης ορίζεται ως : o Ρ s = Cov(Y t, Y t+s )/[Var(Y t )*Var(Y t+s )] 1/2 4.2 Στασιμότητα (Stationarity) Αν απεικονίσουμε τις περισσότερες χρονολογικές σειρές διαγραμματικά, θα παρατηρήσουμε ότι παρουσιάζουν μια τάση (trend) είτε καθοδική είτε ανοδική. Σε μια τέτοια περίπτωση λέμε ότι η υπό μελέτη σειρά είναι μη-στάσιμη (non-stationary) και στην αντίθετη περίπτωση στάσιμη (stationary). Στην πρώτη περίπτωση οι στατιστικές ιδιότητες της σειράς (μέσος, διακύμανση) αλλοιώνονται με μια αλλαγή στην αρχή μετρήσεως του χρόνου. Δηλαδή, αν υπολογίσουμε για παράδειγμα τη διακύμανση σε διάφορες υπο-περιόδους θα βρούμε διαφορετικά αποτελέσματα, κάτι που υποδηλώνει ότι δεν είναι σταθερή. Ένας ορισμός για τη στασιμότητα (stationarity), ο οποίος χρησιμοποιείται περισσότερο στην ανάλυση χρονολογικών σειρών είναι ο ακόλουθος. Μια στοχαστική διαδικασία (π.χ. χρονολογική σειρά) είναι δευτέρας τάξεως ή ασθενώς στάσιμη ή κατά διακύμανση στάσιμη όταν ισχύουν οι ακόλουθες ιδιότητες (Χρήστου,2004β,σελ. 738) : o E(Y t ) = μ, ανεξάρτητη από το t o Var(Y t ) = σ 2, ανεξάρτητη από το t o Cov(Y t, Y t+s ) = Cov(Y t+m, Y t+m+s ) = γ s,ανεξάρτητη από το t Ένα παράδειγμα μη στάσιμης χρονολογικής σειράς παρουσιάζεται στο παρακάτω γράφημα, όπου απεικονίζουμε τον Αυστραλιανό χρηματιστηριακό δείκτη (ASX). Στον οριζόντιο άξονα έχουμε τις ημερομηνίες, ενώ στον κάθετο τις τιμές του δείκτη για αυτή την περίοδο. 12

Διάγραμμα 1 3500 3000 2500 Επίπεδα τιμών 2000 1500 1000 500 0 Mar82 Dec84 Sep87 Jun90 Mar93 Dec95 Sep98 May01 Feb04 Nov06 Ημερομηνίες Διάγραμμα του Αυστραλιανού χρηματιστηριακού δείκτη σε επίπεδα Όπως παρατηρούμε, υπάρχει μια γενική ανοδική τάση στο δείκτη, η οποία διακόπτεται από μικρές περιόδους καθοδικής πορείας. Είναι ολοφάνερο ότι τόσο ο μέσος όσο και η διακύμανση δεν παραμένουν σταθερά. Ένας τρόπος για να αντιμετωπίσουμε το πρόβλημα της μη στασιμότητας, ή όπως αναφέρεται εκτενώς στη βιβλιογραφία "ύπαρξη μοναδιαίας ρίζας (unit root process)", είναι να πάρουμε τις πρώτες, δεύτερες κ.ο.κ. διαφορές ανάμεσα στις τιμές του δείκτη (ΔΥ t ). Αν για παράδειγμα χρησιμοποιήσουμε τις πρώτες διαφορές τότε η νέα στάσιμη πλέον σειρά 13

είναι ολοκληρωμένη πρώτης τάξεως (Integrated of order 1 I(1)). Σε επίπεδο αποδόσεων (returns (Y t Y t-1 )/Y t-1 ) η χρονολογική σειρά είναι στάσιμη, όπως φαίνεται και στο παρακάτω γράφημα αποδόσεων του Αυστραλιανού δείκτη. 0.1 Διάγραμμα 2 0.05 0 Αποδόσεις -0.05-0.1-0.15 Mar82 Dec84 Sep87 Jun90 Mar93 Dec95 Sep98 May01 Feb04 Nov06 Ημερομηνίες Διάγραμμα του Αυστραλιανού Χρηματιστηριακού δείκτη (αποδόσεις) Όπως παρατηρούμε στο παραπάνω διάγραμμα, δεν υπάρχει κάποια τάση ενώ η χρονολογική σειρά φαίνεται να είναι mean-reverting. Δηλαδή κινείται γύρω από μια γραμμή, στην οποία επανέρχεται κάθε στιγμή, χωρίς 14

να ξεφεύγει πολύ δημιουργώντας έτσι κάποιου είδους τάση. Αυτό το γεγονός μας υπαγορεύει άλλη μια ιδιότητα των στάσιμων χρονολογικών σειρών, ότι δηλαδή περιπλανώνται γύρω από έναν σταθερό μακροχρόνιο μέσο. Τέλος, αξίζει να αναφέρουμε τη συμβολή της συνάρτησης αυτοσυσχέτισης και μερικής αυτοσυσχέτισης στον έλεγχο για στασιμότητα. Όταν παρατηρούμε ότι οι αυτοσυσχετίσεις είναι στατιστικά σημαντικές για παρελθούσες περιόδους, αυτό σημαίνει ότι η σειρά έχει μνήμη (επηρεάζεται δηλαδή από τις παρελθούσες τιμές της). Επομένως οι στατιστικές της ιδιότητες δεν παραμένουν σταθερές, αλλά εξαρτώνται από αυτές των προηγούμενων χρονικών μεθόδων. Όταν όμως οι αυτοσυσχετίσεις "εξαφανίζονται " μετά από μερικές περιόδους, τότε αυτό είναι χαρακτηριστικό στασιμότητας. Τα παραπάνω μπορεί κανείς να τα δει στα διαγράμματα αυτοσυσχέτισης, τα οποία έχουν την παρακάτω μορφή (Αυστραλιανός δείκτης). 0.06 Διάγραμμα 3 0.04 Τιμές 0.02 0-0.02-0.04-0.06 0 5 10 15 20 25 Υστερήσεις Διάγραμμα αυτοσυσχετίσεων του Αυστραλιανού δείκτη (επίπεδα) 15

0.45 Διάγραμμα 4 0.4 0.35 0.3 Τιμές 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0-0.05 0 5 10 15 20 25 Υστερήσεις Διάγραμμα αυτοσυσχετίσεων του Αυστραλιανού δείκτη (λογάριθμοι αποδόσεων) Στον οριζόντιο άξονα απεικονίζονται οι περίοδοι, ενώ στον κάθετο οι τιμές της αυτοσυσχέτισης. Παρατηρούμε ότι σε επίπεδο τιμών (levels of series) υπάρχει μια επιμονή (persistence) όσον αφορά την αυτοσυσχέτιση, καθώς και μακρινές περιόδους υπάρχουν στατιστικά σημαντικά αποτελέσματα (αυτό υποδηλώνεται από την κόκκινη γραμμή, η οποία παριστάνει 95% επίπεδο σημαντικότητας). Αντίθετα το διάγραμμα των λογαρίθμων της απόδοσης παρουσιάζεται φθίνει, αν και με βραδύ ρυθμό καθώς οι αριθμοί των περιόδων αυξάνονται. Στη συγκεκριμένη περίπτωση, θα μπορούσε κάποιος να ισχυριστεί ότι ο Αυστραλιανός χρηματιστηριακός δείκτης έχει μεγάλη μνήμη. Παρόμοια κατάσταση παρατηρούμε και αν χρησιμοποιήσουμε τις μερικές αυτοσυσχετίσεις. Αναλυτικότερα αποτελέσματα και για τους άλλους δείκτες θα παρουσιαστούν σε επόμενο κεφάλαιο. Στην επόμενη παράγραφο θα αναφερθούμε σε πιο επιστημονικές μεθόδους για τον εντοπισμό μοναδιαίας ρίζας (έλεγχοι μοναδιαίας ρίζας). 16

4.3 Έλεγχοι μοναδιαίας ρίζας (Unit Root tests) Πέρα από τον έλεγχο που κάνουμε σχετικά με την ύπαρξη μοναδιαίας ρίζας, χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση αυτοσυσχέτισης, υπάρχει μια πληθώρα στατιστικών ελέγχων που περατώνουν αυτή τη διαδικασία. Δυο από τα περισσότερο χρησιμοποιούμενα είναι οι έλεγχοι των Dickey-Fuller και Phillips-Perron. Στις περισσότερες έρευνες στηρίζονται πολύ στα αποτελέσματα των παραπάνω τεστ. Άλλα τεστ τα οποία μπορεί κανείς να συναντήσει στη βιβλιογραφία είναι : Variance Ratio test, KPSS, Normalized Rescaled Range. Δεν θα επεκταθούμε περισσότερο στην περιγραφή των τριών τελευταίων γιατί κάτι τέτοιο ξεφεύγει από τους σκοπούς της εργασίας. Αντίθετα θα αναλύσουμε όσο πιο αναλυτικά γίνεται τους δυο βασικούς τύπους ελέγχων. Οι Dickey και Fuller προσέγγισαν το ζήτημα της μοναδιαίας ρίζας ως εξής : Υπόθεση : έστω ότι η χρονολογική σειρά ερμηνεύεται με το ακόλουθο μοντέλο Y t = a 1 Y t-1 + e t, όπου το e t είναι i.i.d ~ (0,1) Τότε ελέγχουμε την υπόθεση Η 0 : a 1 = 1 vs a 1 1 Επειδή όμως το υπόδειγμα δεν είναι κατάλληλο, λόγω της πιθανότητας ύπαρξης μοναδιαίας ρίζας χρησιμοποιούμε αντίστοιχα το ακόλουθο : ΔY t = (a 1 1)Y t-1 + e t ΔY t = γy t-1 + e t και ελέγχουμε την υπόθεση H 0 γ = 0 vs γ 0. Ο έλεγχος των παραπάνω υποθέσεων γίνεται χρησιμοποιώντας την t- statistics. Τα αποτελέσματα της υπολογιζόμενης t-statistics συγκρίνονται με τις αντίστοιχες τιμές (όσον αφορά τα επίπεδα εμπιστοσύνης) των πινάκων. Αν η υπολογιζόμενη τιμή είναι μεγαλύτερη από αυτή του πίνακα απορρίπτουμε την Η 0 υπόθεση, η οποία υποδηλώνει την ύπαρξη μοναδιαίας ρίζας. Επομένως σε αυτή την περίπτωση δεν υπάρχει μοναδιαία ρίζα. Αντίθετα, αν η υπολογιζόμενη τιμή είναι μικρότερη από αυτή των πινάκων τότε δε μπορούμε να απορρίψουμε τη μηδενική υπόθεση και η σειρά έχει μοναδιαία ρίζα (μη στάσιμη). Ένα πρώτο πρόβλημα στον έλεγχο είναι η καταλληλότητα του μοντέλου. Δηλαδή αν έχουν συμπεριληφθεί επαρκείς περίοδοι (υστερήσεις lags) και αν θα πρέπει να συμπεριληφθεί χρονική τάση (time trend) και σταθερός όρος (constant term-drift). Και εδώ οι Dickey και Fuller 17

επινόησαν μια μεθοδολογία για τον εντοπισμό του κατάλληλου μοντέλου για τον έλεγχο της μοναδιαίας ρίζας. Τα βασικά υποδείγματα που χρησιμοποιούνται είναι τα ακόλουθα : o ΔY t = γy t-1 + e t τυχαίος περίπατος (random walk) o ΔY t = a 0 + γy t-1 + e t τυχαίος περίπατος με σταθερό όρο ( random walk with a drift) o ΔY t = a 0 + a 2 t + γy t-1 + e t τυχαίος περίπατος με σταθερό όρο και χρονική τάση (random walk with a drift plus time trend). Η διαδικασία που προτείνουν οι Dickey και Fuller επιλέγει έναν από τους παραπάνω τύπος υποδειγμάτων, διενεργώντας ελέγχους σημαντικότητας των παραμέτρων. Για αυτό το λόγο χρησιμοποιούν και F-statistics η οποία ειδικεύεται σε από κοινού ελέγχους μεταβλητών (π.χ. για το τρίτο υπόδειγμα a 0 = a 2 = 0). Για να αντιμετωπίσουμε το πρόβλημα του αν θα συμπεριλάβουμε πολλές υστερήσεις ή όχι εφαρμόζουμε τον Επαυξημένο έλεγχο των Dickey και Fuller (Augmented Dickey Fuller test), ο οποίος δεν είναι τίποτα άλλο από μια επέκταση του βασικού ελέγχου μοναδιαίας ρίζας. Το υπόδειγμα που χρησιμοποιείται για έλεγχο είναι της μορφής : Y t = a 0 + a 1 Y t-1 + a 2 Y t-2 + + a p Y t-p + e t, το οποίο με τη σειρά του μετατρέπεται στο ΔY t = a 0 + γy t-1 + a * 1 ΔY t-1 + a * 2 ΔY t-2 + a * p-1 ΔY t-p-1 + e t όπου ΔY t-1 = Y t-1 Y t-2 και γ = (a 1 + a 2 + a 3 + + a p -1). Ένα από τα σημαντικότερα όμως μειονεκτήματα του ελέγχου στασιμότητας Dickey-Fuller αποτελεί το γεγονός ότι είναι μεροληπτικός όσον αφορά την απόρριψη της μηδενικής υπόθεσης. Στις περισσότερες περιπτώσεις δεν απορρίπτουν, εσφαλμένα, τη μηδενική υπόθεση. Επομένως δέχονται ότι υπάρχει μοναδιαία ρίζα στην χρονολογική σειρά. Αυτό το αποτέλεσμα όμως είναι νόθο (spurious). Επιπλέον η μεθοδολογία των Dickey-Fuller υστερεί στο γεγονός ότι υποθέτει ότι οι όροι λάθους (errors) είναι i.i.d (στατιστικά ανεξάρτητοι και έχουν σταθερή διακύμανση. Επομένως για να εφαρμόσει κάποιος τα παραπάνω θα έπρεπε να εξασφαλίσει με κάποιο τρόπο ότι τα λάθη είναι ασυσχέτιστα μεταξύ τους χρονικά. Μια λύση στο πρόβλημα αυτό είναι ο έλεγχος που πρότειναν οι Phillips και Perron, ο οποίος δεν είναι τίποτα άλλο από μια γενίκευση της μεθοδολογίας που προτείνουν οι Dickey-Fuller. Συγκεκριμένα, υποθέτουν τα ακόλουθα : 18

Τα υποδείγματα παλινδρόμησης είναι : y t = a * 0 + a * 1 y t-1 + μ t και y t = a 0 + a 1 y t-1 + a 2 (t-t/2) + μ t όπου για τον διαταρακτικό όρο μ t ισχύει Ε(μ t ) = 0. Οι Phillips-Perron επιτρέπουν στο διαταρακτικό όρο να είναι ελαφρώς συσχετισμένος με τις παρελθούσες τιμές του και να είναι κατανεμημένος με ομοιογένεια. Η στατιστική που χρησιμοποιούν οι Phillips-Perron είναι ελαφρώς τροποποιημένη από αυτή των Dickey-Fuller. Επειδή οι τύποι είναι αρκετά πολύπλοκοι, θα αποφύγουμε να τους παραθέσουμε. Οι πιο συχνά χρησιμοποιούμενοι έλεγχοι είναι οι ακόλουθοι (Enders,1995,pp.239): o Ζ(ta 1 * ) : για τον έλεγχο της υπόθεσης a 1 * = 1 o Ζ(ta 1 ) : για τον έλεγχο της υπόθεσης a 1 = 1 o Ζ(ta 2 ) : για τον έλεγχο της υπόθεσης a 2 = 0 o Ζ(φ 3 ) : για τον έλεγχο της από κοινού υπόθεσης a 1 = 1 και a 2 = 0. 4.4 Η έννοια της συνολοκλήρωσης (Cointegration) Στο πιθανό ενδεχόμενο, όπου δυο ή περισσότερες χρονολογικές σειρές παρουσιάζουν μοναδιαία ρίζα (μη στάσιμες), οφείλουμε να κάνουμε τους απαραίτητους ελέγχους έτσι ώστε να διαπιστώσουμε αν υπάρχει σχέση συνολοκλήρωσης ανάμεσα τους. Ένας ορισμός της συνολοκλήρωσης μεταξύ δυο ή περισσότερων σειρών είναι ο ακόλουθος(χρήστου,2004β,σελ. 867) : Έστω ότι δυο χρονολογικές σειρές Υ και Χ είναι μη στάσιμες πρώτου βαθμού (Ι(1)). Τότε, αν συνδέονται,μακροχρόνια με μια σχέση ισορροπίας αναμένουμε ότι ο γραμμικός συνδυασμός τους θα είναι στάσιμος (Ι(0)). Τότε λέμε ότι οι παραπάνω σειρές είναι συνολοκληρωμένες. Οι συνθήκες που πρέπει να ισχύουν για να είναι δυο ή περισσότερες χρονολογικές σειρές συνολοκληρωμένες βαθμού d, b είναι οι ακόλουθες(χρήστου,2004β,σελ. 867): o Όλες οι σειρές πρέπει να είναι ολοκληρωμένες στον ίδιο βαθμό (Ι(d)). o Να υπάρχει γραμμικός συνδυασμός των σειρών που να είναι ολοκληρωμένος βαθμού (d-b). Για παράδειγμα, αν και οι δυο σειρές 19

είναι I(1) τότε ο γραμμικός συνδυασμός τους πρέπει να είναι I(0), έτσι ώστε οι σειρές να είναι συνολοκληρωμένες. Συνοψίζοντας για την έννοια της συνολοκλήρωσης μπορούμε να παρατηρήσουμε τα ακόλουθα. Πρώτον, οι χρονολογικές σειρές οφείλουν να είναι μη στάσιμες και ολοκληρωμένες στον ίδιο βαθμό και να διέπονται από μια μακροχρόνια σχέση ισορροπίας. Δεύτερον, οι αποκλίσεις από τη μακροχρόνια σχέση ισορροπίας (σφάλμα ανισορροπίας- disequilibrium error) επηρεάζει μόνο τη βραχυχρόνια δυναμική της σχέσης ισορροπίας και αποτελεί έναν γραμμικό συνδυασμό των μη στάσιμων σειρών. Αν αυτός ο συνδυασμός είναι και στάσιμος, τότε έχουμε συνολοκλήρωση ανάμεσα στις χρονολογικές σειρές. Μαθηματικά, τα παραπάνω μπορούν να αποτυπωθούν ως εξής : Έστω οι ακόλουθες μη στάσιμες χρονολογικές σειρές, στον ίδιο βαθμό ολοκλήρωσης X 1t, X 2t, X 3t,, X nt. Για τις σειρές αυτές μπορεί να ισχύει μακροχρόνια η εξής ισορροπία : β 1 X 1t + β 2 X 2t + β 3 X 3t + + β n X nt = 0. Βραχυχρόνια όμως μπορεί να έχουμε αποκλίσεις από την παραπάνω σχέση ισορροπίας, της μορφής : β 1 X 1t + β 2 X 2t + β 3 X 3t + + β n X nt + e t = 0 ή καλύτερα β 1 X 1t + β 2 X 2t + β 3 X 3t + + β n X nt = e t (το πρόσημο δεν παίζει ιδιαίτερη σημασία). Το e t είναι το σφάλμα ανισορροπίας (disequilibrium error) και αποτελεί έναν γραμμικό συνδυασμό των ανωτέρω χρονολογικών σειρών. Αν το e t είναι μια στάσιμη στοχαστική διαδικασία, τότε οι σειρές είναι συνολοκληρωμένες και το διάνυσμα των παραμέτρων (β 1, β 2, β 3,, β n ) είναι το διάνυσμα συνολοκλήρωσης (cointegrating vector). Υπάρχουν διάφορα είδη ελέγχου, τα οποία μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να δούμε αν υφίσταται σχέση συνολοκλήρωσης ανάμεσα σε δυο ή περισσότερες χρονολογικές σειρές. Δυο από τα ευρέως χρησιμοποιούμενα είναι η μεθοδολογία που προτείνουν οι Engle και Granger και αυτή των Johansen και Juselius. Και οι δυο θα αναλυθούν στην επόμενη ενότητα. 20

4.5 Έλεγχοι Συνολοκλήρωσης (Cointegration tests) Οι Engle και Granger προτείνουν την ακόλουθη διαδικασία για τον εντοπισμό μακροχρόνιας σχέσης ισορροπίας ανάμεσα σε δυο χρονολογικές σειρές (Enders,1995,pp. 373-377) : 1. Έστω ότι έχουμε δυο χρονολογικές σειρές Χ t και Υ t. Εφαρμόζουμε τους ελέγχους στασιμότητας, που παραθέσαμε σε προηγούμενη ενότητα για να διαπιστώσουμε αν οι σειρές έχουν μοναδιαία ρίζα, καθώς επίσης και το βαθμό της ολοκλήρωσης τους. Αν οι σειρές είναι ολοκληρωμένες στον ίδιο βαθμό, τότε προχωράμε στο επόμενο βήμα. 2. Εκτιμούμε τη μακροχρόνια σχέση ισορροπίας, κάνοντας την εξής παλινδρόμηση : Υ t = β 0 + β 1 Χ t + e t. Αν οι μεταβλητές είναι συνολοκληρωμένες τότε οι εκτιμήτριες β 0 και β 1 είναι υπερσυνεπείς (super consistent). 3. Εξετάζουμε αν τα κατάλοιπα από την παλινδρόμηση e t είναι στάσιμη στοχαστική διαδικασία (Ι(0)), εφαρμόζοντας τον έλεγχο Dickey- Fuller στη σειρά : Δe t = a 1 e t-1 + ε t. Αν αποδειχθεί ότι τα κατάλοιπα είναι στάσιμη σειρά τότε οι μεταβλητές Χ t και Υ t είναι συνολοκληρωμένες. Επιπλέον αν το ε t δεν είναι λευκός θόρυβος, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τον Επαυξημένο έλεγχο των Dickey- Fuller. Η μεθοδολογία που προτείνουν οι Engle και Granger έχει ορισμένα ελαττώματα : Πρέπει να ορίσουμε ποια μεταβλητή θα είναι ανεξάρτητη και ποια εξαρτημένη στην παλινδρόμηση, που κάνουμε όταν ψάχνουμε να βρούμε τη σχέση ισορροπίας ανάμεσα στις δυο χρονολογικές σειρές. Όταν υπάρχουν περισσότερες από δυο σειρές, η διαδικασία αδυνατεί να εντοπίσει το πολλαπλό διάνυσμα συνολοκλήρωσης. Τέλος η παραπάνω διαδικασία αποτελείται από δυο βήματα. Πρώτα κάνουμε την παλινδρόμηση ανάμεσα στις σειρές και μετά ελέγχουμε τα κατάλοιπα για τη στασιμότητα τους. Με λίγα λόγια, στο δεύτερο βήμα χρησιμοποιούμε τα κατάλοιπα από την πρώτη παλινδρόμηση. Επομένως, όποιο λάθος υπάρχει στο πρώτο βήμα, μοιραία θα μεταφερθεί και στο δεύτερο, γεγονός το οποίο θα οδηγήσει σε νόθα αποτελέσματα (spurious results). 21

Αυτά τα μειονεκτήματα ήρθαν να τα λύσουν οι Johansen και Juselius, προτείνοντας μια μεθοδολογία, η οποία στηρίζεται στη μέθοδο της μεγίστης πιθανοφάνειας. Εδώ θα πρέπει να τονίσουμε ότι η μεθοδολογία των Johansen-Juselius δεν είναι τίποτα παραπάνω από μια πολυμεταβλητή γενίκευση του ελέγχου Dickey-Fuller. Αναλυτικά, η μέθοδος είναι η ακόλουθη(enders,1995,pp.385-391): Έστω ένα διάνυσμα (n x 1) μη στάσιμων μεταβλητών Χ t = (X 1t, X 2t,X 3t,, X nt ) για το οποίο ισχύει η ακόλουθη πιθανή σχέση ισορροπίας : Χ t = A 1 X t-1 + A 2 X t-2 + A 3 X t-3 + + A p X t-p + e t, το οποίο με κατάλληλη επεξεργασία μπορεί να γραφτεί στη μορφή : (p-1) ΔX t = (i=1) π i ΔX t-i + πx t-p +e t (1),όπου (p) π = -[ Ι - (i=1) Α i ] και (i) π i = -[ Ι - (j=1) Α j ] Ο πίνακας Α είναι ο πίνακας των συντελεστών της παλινδρόμησης. Το σημαντικό σημείο στη μεθοδολογία των Johansen-Juselius είναι ο βαθμός του πίνακα π, ο οποίος αντιστοιχεί στον αριθμό των ανεξάρτητων διανυσμάτων (σχέσεων) συνολοκλήρωσης. Εδώ διακρίνουμε τρεις περιπτώσεις : a. Αν ο βαθμός του πίνακα είναι 0, τότε η σχέση (1) αποτελεί ένα Αυτοπαλίνδρομο υπόδειγμα στις πρώτες διαφορές (VAR(1)). b. Αν ο βαθμός του πίνακα είναι n (πλήρης), τότε όλες οι επιμέρους χρονολογικές σειρές είναι στάσιμες. c. Σε ενδιάμεσες περιπτώσεις, όταν ο βαθμός του πίνακα π είναι 1 υπάρχει μια σχέση συνολοκλήρωσης, ενώ όταν ισχύει 1 < βαθμός του πίνακα π < n τότε υπάρχουν περισσότερες από μια σχέσεις συνολοκλήρωσης. Τέλος, οι Johansen και Juselius έχουν επινοήσει δυο ελέγχους, οι οποίοι προσδιορίζουν τον αριθμό των σχέσεων συνολοκλήρωσης και στηρίζονται στις χαρακτηριστικές ρίζες του πίνακα π (characteristic roots). 22

n 1. trace statistic : λ trace (r) = -T i=r+1 ln(1-λ i ) 2. maximum eigenvalue statistic : λ max (r,r+1) = -T ln(1-λ r+1 ) όπου, λ i είναι οι εκτιμώμενες τιμές των χαρακτηριστικών ριζών (ιδιοτιμές) του πίνακα π και Τ είναι ο αριθμός των χρησιμοποιούμενων μεταβλητών Ο πρώτος έλεγχος εξετάζει τις υποθέσεις Η 0 : αριθμός διανυσμάτων συνολοκλήρωσης r H 1 : αριθμός διανυσμάτων συνολοκλήρωσης r (μια πιο γενική εναλλακτική υπόθεση) Ο δεύτερος έλεγχος εξετάζει τις υποθέσεις Η 0 : αριθμός διανυσμάτων συνολοκλήρωσης = r Η 1 : αριθμός διανυσμάτων συνολοκλήρωσης = r+1 Όπως εύλογα παρατηρεί κανείς η μέθοδος που προτείνουν οι Johansen-Juselius έχει πιο εκτεταμένη εφαρμογή από αυτή των Engle- Granger. 4.6 Αυτοπαλίνδρομα Υποδείγματα (Vector Autoregressive Models) - Υποδείγματα Αποκατάστασης Ισορροπίας (Error Correction Models) Βασισμένοι στην παραπάνω διαδικασία εύρεσης σχέσης συνολοκλήρωσης, αν βρεθεί ότι υπάρχει μια τέτοια σχέση τότε μπορούμε να υπολογίσουμε ένα Υπόδειγμα Διόρθωσης Λαθών (Αποκατάστασης Ισορροπίας) (Granger Representation Theorem). Ονομάζεται έτσι γιατί ενσωματώνει το σφάλμα ανισορροπίας (disequilibrium error), το οποίο επαναφέρει τις συνολοκληρωμένες σειρές στην μακροχρόνια ισορροπία, 23

όταν αυτές αποκλίνουν βραχυχρόνια από αυτή. (short-term deviation). Τα υποδείγματα αυτά έχουν τη μορφή (Enders,1995,pp.375-376): Για δυο διανύσματα μεταβλητών Χ και Υ, ΔΥ t = a 1 + a Y e t-1 + i=1 a 11 ΔΥ t-i + i=1 a 12 ΔX t-i + ε Υt (2) ΔΧ t = a 2 + a X e t-1 + i=1 a 21 ΔΥ t-i + i=1 a 22 ΔX t-i + ε Xt (3) Παρατηρούμε ότι το παραπάνω έχει μορφή Αυτοπαλίνδρομου Υποδείγματος (όπως θα δούμε και παρακάτω), ενσωματώνοντας και το σφάλμα ανισορροπίας της προηγούμενης περιόδου e t-1. Οι μεταβλητές a Y και a X απεικονίζουν την ταχύτητα προσαρμογής στη σχέση ισορροπίας, για τις μεταβλητές Υ και Χ αντίστοιχα. Αν κάποια από τις δυο είναι μηδέν, τότε συμπεραίνουμε ότι και η αλλαγή στην αντίστοιχη μεταβλητή δεν ανταποκρίνεται καθόλου στην απόκλιση από τη σχέση ισορροπίας. Σε αυτή την περίπτωση θα έβλεπε κανείς ότι η συγκεκριμένη μεταβλητή δε θα ακολουθούσε την άλλη (δεν θα υπήρχε δηλαδή σχέση συνολοκλήρωσης). Παρουσιάζει ενδιαφέρον να μελετήσει κανείς τις μεταβλητές a 12 και a 21. Αυτές απεικονίζουν την κατά Granger αιτιότητα από τη μια μεταβλητή στην άλλη (Granger Causality). Παρουσιάζουν δηλαδή το κατά πόσο μεταβολές στη μια μεταβλητή προηγούνται, και επομένως επηρεάζουν, των μεταβολών στην άλλη. Το φαινόμενο της αιτιότητας κατά Granger μελετάται καλύτερα στα Αυτοπαλίνδρομα Υποδείγματα (VAR), στα οποία καταλήγουμε όταν δεν υπάρχει μακροχρόνια σχέση ισορροπίας (οι συντελεστές που αναπαριστούν την ταχύτητα προσαρμογής είναι μηδέν). Ένα γενικευμένο υπόδειγμα VAR είναι της μορφής(δημελή,2002,σελ. 202-204) : ΔΥ t = δ + ΠY t-1 + Γ 1 ΔΥ t-1 + + Γ p-1 ΔΥ t-p+1 + e t. Όπου Π = Α 1 + + Α p I και p Γ i = - j=i+1 A j και ο πίνακας Α είναι ο πίνακας των συντελεστών. Στην περίπτωση των δυο μεταβλητών μπορούμε να γράψουμε: m ΔΥ t = i=1 α i ΔY t-1 + i=1 β i ΔΧ t-1 + e 1t (4) m ΔX t = i=1 γ i ΔY t-1 + i=1 δ i ΔΧ t-1 + e 2t (5) m m 24

Συμπερασματικά, πρέπει να αναφέρουμε ότι είναι επιτακτική ανάγκη να γίνουν όλοι οι προαναφερθέντες έλεγχοι (στασιμότητας, συνολοκλήρωσης, αιτιότητας κατά Granger), με απώτερο στόχο να διαπιστωθεί με ευκρίνεια η πραγματική σχέση που διέπει τις εκάστοτε υπό μελέτη μεταβλητές, στη συγκεκριμένη δική μας περίπτωση τους διεθνείς χρηματιστηριακούς δείκτες. Για τον υπολογισμό των παραπάνω τεστ χρησιμοποιείται η t-statistics και η F-statistics, σε κάθε περίπτωση. Στις μέρες μας, όμως, έχουν κατασκευαστεί αρκετά πακέτα εφαρμογών (Matlab, SPSS, EVIEWS), τα οποία απλοποιούν κατά πολύ τη διαδικασία. Στην παρούσα εργασία χρησιμοποιήθηκε το προγραμματιστικό πακέτο Matlab. 5. Εφαρμογή Στο παρόν κεφάλαιο θα εφαρμόσουμε τη μεθοδολογία που περιγράψαμε θεωρητικά προηγουμένως. Τα δεδομένα που θα χρησιμοποιήσουμε είναι πραγματικά.πριν όμως προχωρήσουμε στην οικονομετρική ανάλυση των χρηματιστηριακών δεικτών, κρίνεται σκόπιμο να αναφέρουμε κάποια πράγματα σχετικά με τη στατιστική και τη φύση τους. Στη συλλογή τους, πολύτιμη ήταν η βοήθεια του κ. Νικόλαου Κοντάκη, ο οποίος μας τα παρείχε μέσω του Bloomberg. Επίσης κατά την πρωτογενή επεξεργασία των δεδομένων βοήθησε ο κ. Νικόλαος Θωμαϊδης, τον οποίο ευχαριστούμε. 25

5.1 Περιγραφή των δεδομένων Τα δεδομένα αποτελούνται από ημερήσιες τιμές κλεισίματος (closing prices) των εξής πέντε διεθνών χρηματιστηριακών δεικτών : ALL ORDINARIES (Αυστραλιανός δείκτης), DAX (Γερμανικός δείκτης), NIKKEI (Ιαπωνικός δείκτης), S&P s 500 (Αμερικάνικος δείκτης) και FTSE (Αγγλικός δείκτης). Η υπό μελέτη χρονική περίοδος εκτείνεται από τις 31 Ιανουαρίου 1984 έως και τις 22 Μαρτίου 2005. Βέβαια τα δεδομένα έπρεπε να επεξεργαστούν σε πρώτη φάση, εξαιτίας των διάφορων εθνικών διακοπών και αργιών, των Σαββατοκύριακων, καθώς επίσης κρίθηκε απαραίτητο να συγχρονίσουμε τις πέντε χρονολογικές σειρές, με απώτερο στόχο να έχουν όλες την ίδια χρονική βάση και να αναφέρονται στην ίδια περίοδο. Σε αντίθετη περίπτωση τα αποτελέσματα δε θα ήταν αντιπροσωπευτικά. Έτσι, χρησιμοποιώντας το προγραμματιστικό πακέτο Matlab, "καθαρίσαμε" τα δεδομένα από τις διάφορες εθνικές αργίες και τα συγχρονίσαμε. Οι ρουτίνες που δημιουργήσαμε, δε θα παρατεθούν στην παρούσα εργασία **.Ο αριθμός των τιμών των χρηματιστηριακών δεικτών, που χρησιμοποιήσαμε ήταν 4685, το οποίο αποτελεί ένα μεγάλο και αρκετά αντιπροσωπευτικό δείγμα για τη μελέτη μας. Τέλος, για να επιτύχουμε πιο εύρωστα αποτελέσματα (robust results), χωρίσαμε το υπό μελέτη χρονικό διάστημα σε πέντε μικρότερες χρονικές περιόδους, βασιζόμενοι σε γεγονότα που σημάδεψαν τις διεθνείς αγορές χρήματος : o Πρώτη περίοδος, 31 Ιανουαρίου 1984 30 Ιουνίου 1987 με αριθμό δεδομένων 580. Χαρακτηρίζεται ως η περίοδος προ του μεγάλου χρηματιστηριακού κραχ των μεγαλύτερων διεθνών χρηματιστηρίων. o Δεύτερη περίοδος, 01 Ιουλίου 1987 29 Δεκεμβρίου 1995 με αριθμό δεδομένων 1972. Χαρακτηρίζεται ως η περίοδος προ της Ευρωπαϊκής Νομισματικής Ενοποίησης ( Οικονομική Ενοποίηση των χωρώνμελών της Ευρωπαϊκής Ένωσης, συνθήκη του Μάαστριχ). o Τρίτη περίοδος, 04 Ιανουαρίου 1996 30 Δεκεμβρίου 1998 με αριθμό δεδομένων 691. Χαρακτηρίζεται ως η προ του μεγάλου χρηματιστηριακού κραχ, που αφορούσε τις εταιρίες πληροφορικής (Internet bubble). o Τέταρτη περίοδος, 04 Ιανουαρίου 1999 28 Δεκεμβρίου 2001 με αριθμό δεδομένων 695. Ήταν η περίοδος του μεγάλου ** Στη δημιουργία των ρουτινών αυτών, σημαντική ήταν η συμβολή του κ. Νικόλαου Θωμαϊδη 26

χρηματιστηριακού κραχ, κάτι το οποίο προκάλεσε αρκετές ανακατατάξεις στην παγκόσμια οικονομία. o Πέμπτη περίοδος, 04 Ιανουαρίου 2002 22 Μαρτίου 2003 με αριθμό δεδομένων 747. Το τελευταίο αυτό χρονικό διάστημα χαρακτηρίζεται από σημαντικά γεγονότα, όπως η εισαγωγή του Euro στα περισσότερα Ευρωπαϊκά κράτη. Είναι η περίοδος, που ακολουθεί την Ευρωπαϊκή Οικονομική Ενοποίηση. Εδώ θα παρατηρηθούν οι επιπτώσεις των αποφάσεων των μεγάλων κρατών για οικονομική σύγκλιση, τόσο στην ισοτιμία μεταξύ διεθνών νομισμάτων, όσο και σε άλλους τομείς (επενδυτικές αποφάσεις κτλ. ) Οι προαναφερόμενες χρονικές περίοδοι θα μελετηθούν με περισσότερη λεπτομέρεια στο κεφάλαιο, στο οποίο θα παρατεθούν τα συμπεράσματα της μελέτης μας. Έτσι θα μπορέσουμε να συνδέσουμε τα αποτελέσματα με γεγονότα που σημάδεψαν την πορεία των δεικτών. 5.2 Στατιστική ανάλυση των δεδομένων Καθίσταται επιτακτική ανάγκη πριν από κάθε επεξεργασία δεδομένων, να μελετήσει κανείς τις στατιστικές ιδιότητες τους. Για παράδειγμα, να υπολογίσει τον μέσο, τη διακύμανση, να ελέγξει αν ακολουθούν την κανονική κατανομή (ιστογράμματα και έλεγχοι κανονικότητας), καθώς επίσης να κατασκευάσει και τον πίνακα συσχέτισης μεταξύ των υπό μελέτη μεταβλητών. Αυτά είναι ορισμένα από τα εργαλεία επεξεργασίας των δεδομένων, τα οποία υπαγορεύει η θεωρία της κλασικής στατιστικής. Στους παρακάτω πίνακες παραθέτουμε κάποια στατιστικά αποτελέσματα των δεδομένων. 27

Australian Index German Index Japanese Index American Index English Index Πίνακας 1 Μέσος Διάμεσος Μέγιστη τιμή Ελάχιστη τιμή Trimmed mean 3.4168*e-004 6.9337*e-004 0.0857-0.1212 4.3010*e-004 3.5816*e-004 8.7122*e-004 0.0875-0.1371 5.8195*e-004 3.1948*e-005 3.6301*e-004 0.1243-0.1614 4.8015*e-005 4.2057*e-004 6.2856*e-004 0.1011-0.2290 5.4311*e-004 3.2787*e-004 5.9593*e-004 0.0888-0.1303 3.9199*e-004 Μέτρα Κεντρικής Τάσης Australian Index German Index Japanese Index American Index English Index Interquartile Range Πίνακας 2 Διακύμανση Εύρος Τυπική Απόκλιση Μέση Απόλυτη Απόκλιση 0.0105 1.0557e-004 0.2069 0.0103 0.0071 0.0156 2.2942e-004 0.2246 0.0151 0.0106 0.0146 2.1091e-004 0.2857 0.0145 0.0102 0.0106 1.2763e-004 0.3300 0.0113 0.0076 0.0120 1.2350e-004 0.2191 0.0111 0.0079 Μέτρα Διασποράς 28

Australian Index German Index Japanese Index American Index English Index Πίνακας 3α Skewness Kurtosis -0.6854 15.4535-0.4972 8.9821-0.0942 10.1280-1.8126 44.3785-0.5692 13.6162 Μέτρα Κανονικότητας Australian Index German Index Japanese Index American Index English Index Jarque-Bera Test Jarque- Critical Bera value Statistic 3.0603* (e+004) 7.1679* (e+003) 9.9110* (e+003) 3.3642* (e+005) 2.2225* (e+004) Πίνακας 3β Null Hypothe sis p- value Kolmogorov-Smirnoff Test Kolmogorov Critical Null -Smirnoff value Hypothesis Statistic 5.9915 Rejected 0 0.4814 0.0198 Rejected 0 5.9915 Rejected 0 0.4750 0.0198 Rejected 0 5.9915 Rejected 0 0.4773 0.0198 Rejected 0 5.9915 Rejected 0 0.4811 0.0198 Rejected 0 5.9915 Rejected 0 0.4815 0.0198 Rejected 0 Έλεγχοι κανονικότητας (Normality tests) p- value 29

Πίνακας 4 Australian Index German Index Japanese Index American Index English Index Australian 1.0000 0.6029 0.3251 0.4366 0.9662 Index German 0.6029 1.0000 0.2816 0.4285 0.6029 Index Japanese 0.3251 0.2816 1.0000 0.1551 0.3115 Index American 0.4366 0.4285 0.1551 1.0000 0.4540 Index English Index 0.9662 0.6029 0.3115 0.4540 1.0000 Συσχετίσεις μεταξύ των λογαρίθμων των αποδόσεων των δεικτών Ο πίνακας 1 περιέχει κάποια μέτρα κεντρικής τάσης (measures of central tendency), μέσω των οποίων μπορεί κάποιος να παρατηρήσει τη συμπεριφορά της σειράς ως προς το μέσο. Κατά μέσο όρο, ο S&P s 500 παρουσιάζει τις υψηλότερες τιμές κλεισίματος (4.2057*e-004 μονάδες). Αυτό είναι μια ένδειξη των υψηλών αποδόσεων που παρουσιάζει ο αμερικάνικος δείκτης έναντι των άλλων χρηματιστηριακών αγορών. Τον μικρότερο μέσο όρο φαίνεται να έχει ο NIKKEI (3.1948*e-005). Εδώ θα πρέπει να σημειώσουμε ότι χρησιμοποιήθηκαν οι λογάριθμοι των αποδόσεων των δεικτών για τον υπολογισμό των στατιστικών μέτρων. Συνεχίζοντας τη μελέτη μας, βλέπουμε ότι τη μεγαλύτερη μέγιστη τιμή την έχει ο NIKKEI (0.1243) και την μικρότερη ελάχιστη ο S&P s 500 (-0.2290). Ενδεικτικό των ακραίων μέγιστων και ελάχιστων τιμών, καθώς επίσης και των μεγάλων κατά μέσο όρο αποδόσεων, είναι και η μεγάλη διασπορά των δεδομένων γύρω από το μέσο, το οποίο στα οικονομικά ερμηνεύεται ως κίνδυνος. Τέλος, ένα μέτρο το οποίο δίνει πιο εύρωστα αποτελέσματα από τον μέσο είναι ο trimmed mean, γιατί δε λαμβάνει υπόψη του ακραίες τιμές (outliers) που μπορεί να υπάρχουν στα δεδομένα. Εφαρμόζοντας το μέτρο αυτό παρατηρούμε ότι τις μεγαλύτερες κατά μέσο όρο αποδόσεις παρουσιάζει ο Γερμανικός δείκτης (5.8195*e-004), ενώ τις μικρότερες ο FTSE (3.9199*e-004). Μπορούμε να βγάλουμε το συμπέρασμα ότι τόσο ο αμερικάνικος όσο και ο ιαπωνικός δείκτης περιέχουν αρκετές ακραίες τιμές, 30

κάτι που παραποιεί το μέσο. Επίσης, κάτι τέτοιο δείχνει και την μεγάλη αστάθεια των δυο αυτών αγορών. Ο πίνακας 2 παρουσιάζει κάποια μέτρα διασποράς (measures of dispersion). Στις επενδυτικές αποφάσεις, πέρα από τις αποδόσεις (κατά μέσο όρο) που μπορεί να έχει ένα χρεόγραφο, ένα εξίσου σημαντικό του στοιχείο είναι και η διακύμανση των τιμών του γύρω από τον μέσο. Αν η διακύμανση είναι μεγάλη, τότε αυτό σημαίνει μεγαλύτερο κίνδυνο. Βλέπουμε λοιπόν ότι τη μεγαλύτερη διακύμανση (και κατ επέκταση τυπική απόκλιση) έχει ο Γερμανικός δείκτης (2.2942e-004, 0.0151) ενώ τη μικρότερη ο ALL ORDINARIES (1.0557e-004, 0.0103). Όσον αφορά το εύρος των τιμών των χρηματιστηριακών δεικτών, το μεγαλύτερο το έχει ο Αμερικάνικος δείκτης και το μικρότερο ο Αυστραλιανός. Αν δεν λάβουμε υπόψη μας τις ακραίες τιμές, τότε υπολογίζουμε το Interquartile Range, το οποίο αντιστοιχεί στη διασπορά των τιμών γύρω από τον trimmed mean. Εδώ παρατηρούμε ότι τη μεγαλύτερη διασπορά έχει ο Γερμανικός δείκτης, χαρακτηριστικό μιας γενικά ασταθούς αγοράς. Ο πίνακας 3α παρουσιάζει κάποια μέτρα κανονικότητας, ο στόχος των οποίων είναι να δείξουν το κατά πόσο η κατανομή του συνόλου των δεδομένων προσεγγίζει την κανονική. Το πρώτο μέτρο είναι το skewness και μετράει την ασσυμετρία των δεδομένων γύρω απο το μέσο. Αν το skewness είναι αρνητικό, τότε τα δεδομένα συγκεντρώνονται περισσότερο στα αριστερά σε σχέση με το μέσο, όταν κοιτάμε το ιστόγραμμα. Το αντίθετο συμβαίνει όταν είναι θετικό. Στην κανονική κατανομή, το skewness είναι μηδέν. Όπως παρατηρούμε και στον πίνακα, οι τιμές του skewness για όλους τους χρηματιστηριακούς δείκτες είναι αρνητικές, πράγμα που σημαίνει οτι δεν ακολουθείται η κανονική κατανομή. Το άλλο μέτρο είναι το kurtosis (κυρτότητα). Αυτό μας δείχνει πόσο ακραίες τιμές υπάρχουν στα δεδομένα.. Η κυρτότητα της κανονικής κατανομής είναι 3. Τιμές μεγαλύτερες του 3 παρουσιάζουν ιστόγραμμα με υψηλή κορυφή και σχετικά παχιές ουρές, ενω μικρότερες του 3 έχουν μια πιο επίπεδη κορυφή. Όλες οι τιμές της κυρτότητας των δεδομένων του πίνακα 3α ειναι πολύ μεγαλύτερες του 3, γεγονός που τα εντάσσει στη δεύτερη κατηγορία (υψηλή κορυφή παχιές ουρές). Τα παραπάνω αποτυπώνονται ευκρινέστερα σε ένα ιστόγραμμα συχνοτήτων, τα οποία θα παρουσιάσουμε στο παράρτημα. Στα γραφήματα αυτά έχουμε λάβει υπόψη μας τους λογάριθμους των αποδόσεων. Επιπλέον, η κόκκινη καμπύλη παριστάνει την κανονική κατανομή. Έτσι συγκρίνουμε την κατανομή των δεδομένων μας με την τυποποιημένη κανονική. Απο τα ιστογράμματα βλέπουμε οτι όλες οι κατανομές έχουν υψηλή κορυφή και πλατιές ουρές (fat tails). Τα 31