Αλεξάνδρειο Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ιδρυμα Θεσσαλονίκης Τμήμα Μηχανικών Αυτοματισμού Μαθηματική Μοντελοποίηση Αναγνώριση Συστημάτων Μαάιτα Τζαμάλ-Οδυσσέας 6 Μαρτίου 2017 1 Εισαγωγή Κάθε φυσικό σύστημα μπορεί να περιγραφεί μαθηματικά με βάση τις θεμελιώδεις αρχές της φυσικής. Ιδιαίτερα τα συστήματα τα οποία εξελίσσονται στο χρόνο και τα οποία ονομάζονται δυναμικά συστήματα μπορούν να περιγραφούν μέσω των σύνηθων Διαφορικών Εξισώσεων. Τα μαθηματικά μοντέλα μας βοηθάνε στην όσο πιο λεπτομερή μελέτη της συμπεριφοράς των φυσικών συστημάτων, στον εντοπισμό των παραμέτρων που επιδρούν στη δυναμική τους, τον τρόπο ελέγχου της συμπεριφοράς τους. Με λίγα λόγια, τα μαθηματικά μοντέλα μας επιτρέπουν να κατανοήσουμε και να ελέγξουμε τα διάφορα συστήματα και υπό αυτήν την έννοια μπορούμε να πούμε ότι παίζουν σημαντικό ρόλο στην ανάλυση και σχεδίαση συστημάτων αυτόματου ελέγχου. Η διαδικασία μοντελοποίησης ενός συστήματος ακολουθεί τα παρακάτω βήματα: 1. Ορισμός του συστήματος και των συνιστωσών του. email:jmaay@physics.auth.gr, website: http://jomaaita.wordpress.com 1
2. Μαθηματική περιγραφή του συστήματος και των βασικών και αναγκαίων υποθέσεων που απορρέουν από θεμελιώδεις αρχές της φυσικής. 3. Η εξαγωγή του μαθηματικού μοντέλου και των διαφορικών εξισώσεων που περιγράφουν το σύστημα. 4. Η επίλυση των παραπάνω εξισώσεων. 5. Η εξέταση των λύσεων σε σχέση με τις υποθέσεις μας. Στην παρούσα διάλεξη γίνεται μια πρώτη παρουσίαση της παραπάνω διαδικασίας με ένα απλό παράδειγμα από το οποίο θα εξάγουμε τις Διαφορικές Εξισώσεις που περιγράφουν τη δυναμική εξέλιξη του συστήματος και θα συζητήσουμε βασικές εννοιες της θεωρίας των Διαφορικών Εξισώσεων. Στην συνέχεια θα παρουσιάσουμε δύο βασικά εργαλεία αναγκαία για την μελέτη των φυσικών συστημάτων: τη μέθοδο της γραμμικοποίησης για την μελέτη μη γραμμικών συστημάτων και τον μετασχηματισμό του Laplace για την επίλυση Διαφορικών Εξισώσεων και τον ορισμό της συνάρτησης μεταφοράς. Για την καλύτερη κατανόηση αλλά και την πρακτική εφαρμογή των παραπάνω μεθόδων θα κλείσουμε τη διάλεξη με ένα σύνολο ασκήσεων προς λύση. 2 Μαθηματική παράσταση συστημάτων στο πεδίο του χρόνου- Διαφορικές Εξισώσεις Εστω σύστημα ταλαντωτή που αποτελείται από ένα ελατήριο, μήκους l, στερεωμένο από την μία σε τοίχο και μάζα (m) συνδεδεμένη με την άλλη πλευρά του ελατηρίου όπως βλέπουμε στο σχήμα 1. Σχήμα 1: ελατήριο συνδεδεμένο με μάζα (m). 2
Οπως είναι γνωστό το ελατήριο έχει την ιδιότητα να ασκεί δύναμη που το επαναφέρει στο φυσικό του μήκος. Η δύναμη αυτή ονομάζεται δύναμη επαναφοράς και δίνεται από το νόμο του Hooke F osc = kx, (1) όπου k είναι η σταθερά του ελατηρίου και εξαρτάται από τις φυσικές ιδιότητες του ελατηρίου και x η επιμήκυνση του ελατηρίου από το φυσικό του μήκος. Σε μία τυχαία θέση Α όπου το ελατήριο έχει επιμηκυνθεί κατά x 1 από το φυσικό μήκος του ελατηρίου και αφήνεται ελεύθερο να κινηθεί, το σώμα μάζας m θα ταλαντώνεται κάτω από την επίδραση της δύναμης επαναφοράς του ελατηρίου. Να παρατηρήσουμε στο σημείο αυτό ότι θεωρούμε την ιδανική περίπτωση της κίνησης του σώματος χωρίς την ύπαρξη τριβών όπως επίσης ότι λόγω της οριζόντιας κίνησης, η θέση ισορροπίας 1 βρίσκεται στη θέση όπου το ελατήριο έχει το φυσικό του μήκος. Από το νόμο του Νεύτωνα γνωρίζουμε ότι F = Fosc = m d2 x 2, (2) και άρα η κίνηση του σώματος μάζας (m) που είναι συνδεδεμένο στην άκρη του ελατηρίου περιγράφεται από τη γραμμική Διαφορική Εξίσωση δεύτερης τάξης: m d2 x = kx. (3) 2 Οι συνθήκες με τις οποίες ξεκινά η κίνηση ονομάζονται αρχικές συνθήκες της κίνησης. Για το συγκεκριμένο παράδειγμα έχουμε ότι το σώμα ξεκινά την κίνηση του με μηδενική αρχική ταχύτητα ενώ βρίσκεται σε απόσταση x 1 από τη θέση που το ελατήριο βρίσκεται στο φυσικό του μήκος. Τα παραπάνω μπορούμε να τα διατυπώσουμε μαθηματικά ως εξής: x(0) = x 1, dx (0) = 0. Γραμμικές Διαφορικές Εξισώσεις ονομάζονται οι Διαφορικές Εξι- 1 Θέση ισορροπίας ονομάζεται η θέση στην οποία η συνισταμένη δύναμη ισούται με μηδέν, F = 0 3
σώσεις που έχουν την μορφή dx n d n t + f n 1(t) dxn 1 d n 1 t +... + f 1(t) dx + f 0(t)x(t) = f(t). (4) Αναλυτική λύση (η γενικότερα λύση) της Διαφορικής Εξίσωσης ονομάζουμε την συνάρτηση x = f(t) η οποία ικανοποιεί την Διαφορική Ε- ξίσωση. Λέμε ότι μία Διαφορική Εξίσωση επιλύεται αναλυτικά όταν υπάρχει αναλυτική λύση. Στο παράδειγμα μας η αναλυτική λύση της Διαφορικής Εξίσωσης (3) είναι x = x 0 sin(ωt + φ), (5) όπου το x 0 είναι το πλάτος της ταλάντωσης, το φ είναι η αρχική φάση που καθορίζονται από τις αρχικές συνθήκες του προβλήματος και το ω είναι η γωνιακή συχνότητα που καθορίζεται από τις παραμέτρους k, m του προβλήματος. Εχουμε λοιπόν x(0) = x 1 x 1 = x 0 sin φ, dx (0) = 0 0 = ωx 0 cos φ (6) και τελικά φ = π, x 2 0 = x 1. Τα περισσότερα φυσικά συστήματα περιγράφονται από Μη-γραμμικές Διαφορικές Εξισώσεις και δεν επιλύονται αναλυτικά αλλά χρησιμοποιώντας αριθμητικές μεθόδους επίλυσης. 3 Γραμμική προσέγγιση φυσικών συστημάτων Γραμμικά συστήματα ονομάζονται τα συστήματα στα οποία ισχύουν οι αρχές της επαλληλίας και της ομογένειας. Δηλαδή, να ισχύει ότι, αν για ένα σήμα x 1 (t) ενός συστηματος έχουμε απόκριση y 1 (t) και για ένα σήμα x 2 (t) έχουμε 4
απόκριση y 2 (t) τότε για το άθροισμα των σημάτων x 1 (t)+x 2 (t) έχουμε απόκριση y 1 (t) + y 2 (t) (αρχή της επαλληλίας) ενώ για το σήμα βx 1 (t) έχουμε απόκριση βy 1 (t) (αρχή της ομογένειας). Στην περίπτωση που δεν ισχύουν οι παραπάνω αρχές το φυσικό σύστημα έχει μη γραμμική συμπεριφορά. Τα περισσότερα φυσικά συστήματα έχουν γραμμική συμπεριφορά μέσα στα όρια κάποιας συγκεκριμένης περιοχής των τιμών των μεταβλητών τους. Πολλά ηλεκτρικά και μηχανικά συστήματα μπορούν να θεωρηθούν γραμμικά για ένα αρκετά μεγάλο εύρος τιμών των μεταβλητών τους. Τα υδραυλικά και θερμοδυναμικά συστήματα παρουσιάζουν γενικά μη γραμμική συμπεριφορά. Μπορούμε να μελετήσουμε τη συμπεριφορά μη γραμμικών συστημάτων παίρνοντας τη γραμμική προσέγγιση του συστήματος γύρω από το σημείο ισορροπίας του (το σημείο κανονικής λειτουργίας του). Βασικό εργαλείο που μας επιτρέπει τη γραμμικοποίηση των μη γραμμικών συστημάτων είναι οι σειρές Taylor. Εστω η σχέση y(t) = g(x(t)) (7) που μας δίνει την απόκριση του συστήματος. Αναπτύσουμε το δεξί μέλος της (7) σε σειρά taylor γύρω από το σημείο κανονικής λειτουργίας (x 0, y 0 ) και έχουμε: y = g(x) = g(x 0 ) + dg dx (x x 0 ) x=x0 + d2 g 1! dx (x x 0 ) 2 2 x=x0 +..., (8) 2! από όπου κρατώντας το πρώτο όρο (τον γραμμικό όρο) έχουμε y = g(x) = g(x 0 ) + dg dx x=x0(x x 0 ) = y 0 + dg dx x=x0(x x 0 ) (y y 0 ) = dg dx x=x0(x x 0 ), (9) που μας δίνει τη γραμμική προσέγγιση της λύσης του προβλήματος. Να τονίσουμε εδώ ότι η γραμμική προσέγγιση είναι ακριβής μόνο αν ευσταθεί η υπόθεση ότι η λειτουργική κατάσταση μικρών σημάτων είναι εφαρμόσιμη. Ας δούμε ένα παράδειγμα. Οπως είναι γνωστό σε ένα εκκρεμές, μηκους l, (σχήμα 2) η ροπή που 5
ενεργεί σε μάζα (m) δίνεται από τη σχέση T = mgl sin θ. (10) Σχήμα 2: Εκκρεμές μήκους l Οπως παρατηρούμε για γωνία θ 1 έχουμε ροπή ίση με T 1 = mgl sin θ 1 ενώ για γωνία θ 2 έχουμε ροπή ίση με T 2 = mgl sin θ 2. Για τη γωνία θ 1 + θ 2 η ροπή ισούται T 1+2 = mgl sin(θ 1 + θ 2 ) (11) = mgl(sin θ 1 cos θ 2 + sin θ 2 cos θ 1 ) (12) T 1 + T 2, και άρα η σχέση είναι μη γραμμική. Παίρνουμε τώρα τη γραμμική προσέγγιση της ροπής με τη βοήθεια της (9): T lin T 0 = mgl d sin θ dθ θ=θ 0 (θ θ 0 ) (13) T lin T 0 = mgl cos(θ 0 )(θ θ 0 ). Το σημείο ισορροπίας του εκκρεμούς είναι θ 0 = 0 o, από όπου έχουμε ότι η ροπή ισούται με T 0 = 0 και άρα η γραμμική προσεγγιση της ροπής δίνεται από σχέση: T lin = mglθ. (14) Από το διάγραμμα της ροπής που ενεργεί σε μάζα m = 1kg με μήκος l = 1m (σχήμα 3) παρατηρούμε ότι η προσέγγιση είναι αρκετά ικανοποιητική στο 6
διάστημα π 4 θ π 4. Σχήμα 3: Η ροπή που ενεργεί σε μάζα m = 1kg με μήκος l = 1m. Γκρι γραμμή: Η ροπή. Μαύρη διακεκομένη γραμμη: γραμμική προσέγγιση της ροπής. 4 Ο μετασχηματισμός Laplace Ο μετασχηματισμός Laplace είναι ένα ισχυρό μαθηματικό εργαλείο με τη βοήθεια του οποίου μπορούμε να λύσουμε γραμμικές Διαφορικές Εξισώσεις. Ε- πίσης με τη βοήθεια του μετασχηματισμού Laplace μπορούμε να μετατρέψουμε μια σειρά από συναρτήσεις σε αλγεβρικές συναρτήσεις μιγαδικής μεταβλητής. Ο μετασχηματισμός Laplace μιας χρονικής συνάρτησης f(t) ορίζεται από τη σχέση L {f(t)} = F (s) = 0 f(t)e st, (15) 7
όπου f(t) = 0, t 0, = 0, t < 0, και s = σ + jω μιγαδική μεταβλητή. Για να υπάρχει ο μετασχηματισμός μιας συνάρτησης θα πρέπει το ολοκλήρωμα της (15) να συγκλίνει. Ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace μιας συνάρτησης f(t) ορίζεται από τη σχέση L 1 {F (s)} = f(t) = 1 2πj c+j c j F (s)e st ds, (16) όπου μία πραγματική σταθερά μεγαλύτερη από τα πραγματικά μέρη όλων των πόλων της F (s). Τόσο ο μετασχηματισμός Laplace όσο και ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace δίνονται από πίνακες. 4.1 Επίλυση Διαφορικών Εξισώσεων Για την επίλυση Διαφορικών Εξισώσεων με τη χρήση των μετασχηματισμών Laplace ακολουθούμε τα παρακάτω βήματα: 1. Εφαρμόζουμε τον μετασχηματισμό Laplace σε κάθε όρο της Διαφορικής Εξίσωσης μετατρέποντας την σε αλγεβρική εξίσωση ως προς τη μιγαδική μεταβλητή s. 2. Βρίσκουμε την έκφραση του μετασχηματισμού Laplace της εξαρτημένης μεταβλητής. 3. Με τη βοήθεια του αντίστροφου μετασχηματισμού Laplace παίρνουμε την χρονική συνάρτηση της εξαρτημένης μεταβλητής. 4.1.1 Παράδειγμα 1: πραγματικοί πόλοι Να λυθεί η Διαφορική Εξίσωση d2 x(t) 2 συνθήκες x(0) = 1, dx(0) = 0. 8 + 3 dx(t) + 2x(t) = 0 για αρχικές
Με τη βοήθεια των πινάκων βρίσκουμε τον μετασχηματισμό Laplace της Διαφορικής Εξίσωσης L { d2 x(t) 2 } + 3L { dx(t) } + 2L {x(t)} = 0 s 2 X(s) sx(0) dx(0) + 3sX(s) 3x(0) + 2X(s) = 0. Αντικαθιστώντας τις αρχικές συνθηκες έχουμε s 2 X(s) s + 3sX(s) 3 + 2X(s) = 0, (17) που μας δίνει τον μετασχηματισμό Laplace της Διαφορικής Εξίσωσης. Από την (17) βρίσκουμε την έκφραση του μετασχηματισμού Laplace της εξαρτημένης μεταβλητής X(s) = s + 3 (s 2 + 3s + 2). (18) Χαρακτηριστική εξίσωση του συστήματος ονομάζουμε το πολυώνυμο του παρανομαστή το οποίο είναι ίσο με το μηδέν. Οι ρίζες της χαρακτηριστικής μας δίνουν τους πόλους του συστήματος. Οι ρίζες του αριθμητή ονομάζονται μηδενικά του συστήματος. Για να χρησιμοποιήσουμε τον αντίστροφο μετασχηματισμό Laplace θα πρέπει να απλοποιήσουμε την εξαρτημένη μεταβλητή (18). Αναλύουμε λοιπόν το κλάσμα μας σε μερικά κλάσματα και έχουμε X(s) = s + 3 (s + 1)(s + 2) = k 1 s + 1 + k 2 (s + 2), από όπου με απλές αλγεβρικές πράξεις βρίσκουμε ότι k 1 = 2, k 2 = 1, και η εξαρτημένη μεταβλητή γίνεται X(s) = 2 s + 1 1 s + 2. Ετσι, με τη βοήθεια του αντίστροφου μετασχηματισμού Laplace έχουμε τη 9
λύση της Διαφορικής Εξίσωσης x(t) = 2e t e 2t, t 0. (19) 4.1.2 Παράδειγμα ΙΙ: μιγαδικοί πόλοι Να λυθεί η Διαφορική Εξίσωση d2 x(t) 2 + 2 dx(t) + 5x(t) = 3 για αρχικές συνθήκες x(0) = 0, dx(0) = 0. Με τη βοήθεια των πινάκων βρίσκουμε τον μετασχηματισμό Laplace της Διαφορικής Εξίσωσης L { d2 x(t) 2 } + 2L { dx(t) } + L {5x(t)} = L {3} s 2 X(s) sx(0) dx(0) + 2sX(s) 2x(0) + 5X(s) = 3 s. Αντικαθιστώντας τις αρχικές συνθηκες έχουμε s 2 X(s) + 2sX(s) + 5X(s) = 3 s, (20) που μας δίνει τον μετασχηματισμό Laplace της Διαφορικής Εξίσωσης. Από την (20) βρίσκουμε την έκφραση του μετασχηματισμού Laplace της εξαρτημένης μεταβλητής X(s) = 3 s(s 2 + 2s + 5), (21) και παρατηρούμε ότι η χαρακτηριστική της έχει μία πραγματική ρίζα s 1 = 0 και δύο μιγαδικές ρίζες s 2,3 = 1 ± 2j. Για να χρησιμοποιήσουμε τον αντίστροφο μετασχηματισμό Laplace θα πρέπει να απλοποιήσουμε την εξαρτημένη μεταβλητή (21). Αναλύουμε λοιπόν το κλάσμα μας σε μερικά κλάσματα και έχουμε X(s) = 3 s(s 2 + 2s + 5) = k 1 s + k 2s + k 3 (s 2 + 2s + 5), από όπου με απλές αλγεβρικές πράξεις βρίσκουμε ότι k 1 = 3 5, k 2 = 3 5, k 3 = 6 5, 10
και η εξαρτημένη μεταβλητή γίνεται X(s) = 3 5s 3s + 6 5(s 2 + 2s + 5). Τέλος, με τη βοήθεια του αντίστροφου μετασχηματισμού Laplace έχουμε τη λύση της Διαφορικής Εξίσωσης x(t) = 3 5 (1 e t cos 2t 1 2 e t sin t), t 0. (22) 4.2 Η συνάρτηση μεταφοράς γραμμικού συστήματος Ως συνάρτηση μεταφοράς ενός γραμμικού συστήματος με σταθερούς παραμέτρους ονομάζουμε τον λόγο του μετασχηματισμού Laplace της μεταβλητής εξόδου ως προς τον μετασχηματισμό Laplace της μεταβλητής εισόδου του συστήματος όταν το σύστημα θεωρηθεί αρχικά σε ηρεμία (όλες οι αρχικές συνθήκες θεωρούνται ίσες με το μηδέν). Η συνάρτηση μεταφοράς εκφράζει πλήρως τη δυναμική συμπεριφορά του συστήματος στο οποίο αναφέρεται. Το μειονέκτημα της είναι ότι δεν περιέχει πληροφορίες σχετικές με την εσωτερική δομή του συστήματος και τις διάφορες εσωτερικές μεταβλητές (δηλαδή τις επιμέρους συνιστώσες και τον τρόπο αλληλεπίδρασης τους). Το κύριο πλεονέκτημα της ανάλυσης στο πεδίο της μιγαδικής συχνότητας (με τη βοήθεια του μετασχηματισμού Laplace) είναι η ταχύτητα και η ευκολία ανάλυσης της δυναμικής απόκρισης και η απάντηση σε ζητήματα που σχετίζονται άμεσα με την απόλυτη και σχετική ευστάθεια του συστήματος. 11
4.2.1 Παράδειγμα: Να βρείτε την συνάρτηση μεταφοράς X(s) R(s) της Διαφορικής Εξίσωσης d2 x(t) + 3 dx(t) + 2x(t) = R(t) για 2 αρχικές συνθήκες x(0) = 0, dx(0) = 0 Με τη βοήθεια των πινάκων βρίσκουμε τον μετασχηματισμό Laplace της Διαφορικής Εξίσωσης L { d2 x(t) 2 } + 3L { dx(t) } + 2L {x(t)} = 0 s 2 X(s) sx(0) dx(0) + 3sX(s) 3x(0) + 2X(s) = R(s). Αντικαθιστώντας τις αρχικές συνθηκες έχουμε s 2 X(s) + 3sX(s) + 2X(s) = R(s), (23) από όπου έχουμε 5 Ασκήσεις X(s) R(s) = 1 s 2 + 3s + 2 (24) 1. Να γραμμικοποιήσετε τα παρακάτω συστήματα γύρω από το σημείο t = 0 και να κάνετε την σύγκριση μεταξύ του συστήματος και της γραμμικοποίησης του: (αʹ) x(t) = A sin(t). (βʹ) x(t) = t 3. (γʹ) x(t) = (t 1) 2 sin(t). 2. Να λύσετε τις παρακάτω Διαφορικές Εξισώσεις με τη βοήθεια του μετασχηματισμού Laplace: (αʹ) ẍ(t) 5ẋ(t) + 6x(t) = 0, x(0) = 1, ẋ(0) = 5. (βʹ) ẍ(t) 6ẋ(t) + 8x(t) = t 2 1, x(0) = 1, ẋ(0) = 2 (γʹ) ẍ(t) + 4x(t) = t sin(2t) + (t 2 1) cos(2t), x(0) = 0, ẋ(0) = 0. 12
3. Να βρείτε την συνάρτηση μεταφοράς X(s) R(s) (αʹ) ẍ(t) 5ẋ(t) + 6x(t) = R(t), x(0) = 0, ẋ(0) = 0 (βʹ) ẍ(t) 6ẋ(t) + 8x(t) = R(t), x(0) = 0, ẋ(0) = 0 (γʹ) ẍ(t) + 4x(t) = R(t), x(0) = 0, ẋ(0) = 0. των παρακάτω Εξισώσεων: 13