D + = D R m = {x = i=1

Διατεταγμένοι Γραμμικοί Χώροι και Martingales 26 Ιανουαρίου 2015 1 Μαθηματικό και Χρηματοοικονομικό Υπόβαθρο 11 Διατεταγμένοι Γραμμικοί Χώροι Θα δώσουμε κάποιες ουσιαστικές έννοιες και αποτελέσματα από την θεωρία της μερικής διάταξης γραμμικών χώρων Για αυτές τις έννοιες και τους ορισμούς βλέπε ( [17], Ch1, Ch 2, Ch3) Εστω E ένας γραμμικός χώρος Το σύνολο C E ικανοποιείται από C + C C και λc C για κάθε λ R + λέγεται σφήνα Μια σφήνα για την οποία ισχύει C ( C) = {0} λέγεται κώνος Το ζεύγος (E, ) όπου E είναι ένας γραμμικός χώρος και είναι μια διμελής σχέση στον E ικανοποιώντας τις ακόλουθες ιδιότητες: 1 x x, x E 2 Αν x y, y z, τότε x z, όπου x, y, z E 3 Αν x y, τότε λx λy για κάθε λ R + και x + z y + z, για κάθε z E και x, y E ονομάζεται μερικά διατεταγμένος χώρος Η διμελής σχέση στην περίπτωση αυτή είναι μερική διάταξη στον E Το σύνολο P = {x E x 0} λέγεται (θετική) σφήνα της μερικής διάταξης του E Αν δοθεί η σφήνα C στον E, η διμελής σχέση c ορίζεται ως εξής: x c y x y C, ονομάζεται μερική διάταξη που επάγεται από τον C στον E Αν η μερική διάταξη του χώρου E είναι αντισυμμετρική δηλαδή αν x y, y x συνεπάγεται ότι x = y, όπου x, y E, τότε ο P είναι κώνος P = {x E x 0} 1

Ο E είναι ο γραμμικός χώρος όλων των γραμμικών συναρτήσεων του E και ονομαζεται αλγεβρικό δϋικό (algebraic dual), ενώ ο E είναι δϋικός χώρος (normed dual) του E, στην περίπτωση όπου ο E είναι normed γραμμικός χώρος Υποθέτουμε ότι C είναι μια σφήνα του E Ενα συναρτησιακό f E λέγεται θετικό συναρτησιακό του C αν f(x) 0 για κάθε x C Η f E είναι ένα αυστηρά θετικό συναρτησιακό του C αν f(x) > 0 για κάθε x C \ {0} Ενα γραμμικό συναρτησιακό f E, όπου E είναι ένας normed γραμμικός χώρος που ονομάζεται ομοιόμορφα μονότονο συναρτησιακό του C αν υπάρχει κάποιος πραγματικός αριθμός α > 0 τέτοιος ώστε f(x) α x για κάθε x C Στην περίπτωση όπου το ομοιόμορφα μονότονο συναρτησιακό του C υπάρχει, τότε ο C είναι κώνος Ο C 0 = {f E f(x) 0 για κάθε x C} είναι μια δϋική σφήνα του C στο E Επίσης, από το C 00 δηλώνουμε το σύνολο (C 0 ) 0 του E Αυτό μπορεί εύκολα να αποδειχτεί αν ο C είναι μια κλειστή σφήνα ενός αυτοπαθούς χώρου, τότε C 00 = C Αν C είναι μια σφήνα του E, τότε το σύνολο C 0 = {f E x(f) 0 για κάθε x C} είναι η δϋική σφήνα του C στον E, όπου E E δίνεται από την φυσική ενσωμάττωση από E στον δεύτερο δϋικό χωρο E του E Αν C είναι ένας κώνος, τότε το σύνολο B C καλείται βάση του C αν για κάθε x C \ {0} υπάρχει ένα μονοδικό λ x > 0 τέτοιο ώστε λ x, x B Το σύνολο B f = {x C f(x) = 1} όπου f είναι ένα αυστηρά θετικό συναρτησιακό του C είναι η βάση του C και ορίζεται από το f Η B f είναι φραγμένη αν και μόνο αν η f είναι ομοιόμορφα μονότονη Αν η B είναι μια φραγμένη βάση του C τέτοιο ώστε 0 / B τότε ο C καλείται well-based Αν ο C είναι well-based, τότε η φραγμένη βάση του C ορίζεται από την ύπαρξη ενός g E Αν E = C C τότε η σφήνα C ονομάζεται παράγον ενώ αν E = C C ονομάζεται σχεδόν παράγον Αν C είναι παράγον, τότε C 0 είναι ένας κώνος του E στην περίπτωση όπου ο E είναι normed γραμμικός χώρος Επιπλέον, f E είναι ένα ομοιόμορφα μονότονο συναρτησιακό του C αν και μόνο αν f intc 0, όπου intc 0 δίνεται από το εσωτερικό σγμείο ως προς την νόρμα norm-interior του C 0 Αν ο E είναι μερικά διατεταγμένος από το C, τότε κάθε σύνολο της μορφής f [x, y] = {r E y C r C x}, όπου x, y C καλείται διατεταγμένο διάστημα (order-interval) του E Αν ο E είναι μερικά διατεταγμένος από το C και για κάποιο e E, E = n=1 [ ne, ne], τότε το e λέγεται διατακτική μονάδα (order-unit) του E Αν E είναι ένας normed γραμμικός χώρος, τότε αν κάθε εσωτερικό σημείο του C είναι ένα διατακτική μονάδα (order-unit) του E Αν E είναι επιπλέον ένας Banach χώρος και το C είναι κλειστό, τότε κάθε διατακτική μονάδα (order-unit) του E είναι ένα εσωτερικό σημείο του C Ο μερικά διατεταγμένος διανυσματικός χώρος E είναι ένα διάνυσμα σύνδεσμος αν για κάθε x, y E το supremum και το infimum του {x, y} ως προς την μερική διάταξη ορίζεται από την ύπαρξη του P στο E 2

Στην περίπτωση που το sup{x, y} και το inf{x, y} δίνονται από τα x y, x y αντίστοιχα Ετσι, x = osup{x, x} είναι η απόλυτη τιμή του x και αν επίσης E είναι ένας normed χώρος τέτοιος ώστε x = x για κάθε x E, τότε E καλείται normed σύνδεσμος Αν ένας normed σύνδεσμος είναι ένας Banach χώρος τότε αυτός λέγεται Banach σύνδεσμος Ενας Banach σύνδεσμος του οποίου η νόρμα έχει την ιδιότητα x+y = x + y, x, y E + καλείται ALχώρος Το σύνολο S σε ένα διάνυσμα σύνδεσμο E ονομάζεται solid αν y x και x S συνεπάγεται ότι y S Ενας solid υπόχωρος ενός διανυσματικού συνδέσμου λέγεται ιδεώδες Ενα ιδεώδες I είναι ένας υποσύνδεσμος του E, δηλαδή ένας υπόχωρος του E τέτοιος ώστε x y I x, y I αν x, y I αντίστοιχα Το δίκτυο {x α } α A σε ένα δίανυσμα σύνδεσμος E συγκλίνει κατα διάταξη στο x αν υπάρχει ένα δίκτυο {y α } α A στο E με y α 0, τέτοιο ώστε x α x y α για κάθε α A Αυτή η σύγκλιση συμβολίζεται με x α 0 x 0 Το σύνολο D στο E είναι κλειστό διατακτικά αν {x α } α A D και x α x, συνεπάγεται ότι x D Αν D είναι επίσης και ιδεώδες, τότε ο D λέγεται ζώνη (band) Ενας Banach σύνδεσμος E έχει συνεχή διατάξημη νόρμα, αν για κάθε δίκτυο {x α } α A E με x α 0, x α 0 Ενας Banach σύνδεσμος E που είναι band στο δεύτερο dual λέγεται Kantorovich-Banach χώρος Αν S είναι ένα υποσύνολο του διανύσματος συνδέσμου E, τότε το διατακτικό συμπλήρωμα (disjoint complement) είναι το σύνολο S d = {x E : x y για κάθε y S} Αν για τον διανυσματικό σύνδεσμο E η ζώνη (Band) B ικανοποιεί την ιδιότητα E = B B d, τότε το B λέγεται ζώνη προβολής (Projection Band) Τέλος, αν ο E είναι ένας μερικά διατεταγμένος Banach χώρος του οποίου ο θετικός κώνος είναι ο E +, αν E έχει μια Schauder βάση (e n ) n N, αυτή η βάση λέγεται θετική βάση αν και μόνο αν E + = {x = n=1 λ ne n λ n 0, n N} Για γραμμικούς συνδέσμους και θετικές βάσεις βλέπε ([20], Ch 8), και [11], αντίστοιχα 12 Διατεταγμένοι Γραμμικοί Χώροι Πεπερασμένης Διάστασης Εστω Ε: Ευκλείδειος χώρος κάθε σύνολο του C E που ικανοποιεί τις σχέσεις C +C C και λ C C, για κάθε λ R + λέγεται σφήνα (wedge) Κάθε σφήνα για την οποία C ( C) = {0} ονομάζεται κώνος Εστω ο E εφοδιασμένος με μία διμελή σχέση, η οποία ικανοποιεί τις ακόλουθες ιδιότητες: 1 x x, x E, 2 Αν x y, y z, τότε x z, όπου x, y, z E, 3

3 Αν x y, τότε για κάθε λ R +, και x + z y + z, για κάθε z E και x, y E Τότε το ζεύγος (E, ) καλείται μερικά διατεταγμένος γραμμικός χώρος Αν E = R m, τότε το σύνολο R m + = {x R m x(i) 0, i = 1, 2,, m} είναι ένας κώνος του E και η αντίστοιχη διμελής σχέση x y x(i) y(i), i = 1, 2m, ονομάζεται κατά συντεταγμένη μερική διάταξη-κσυνμδ Το ζεύγος (R m, ), όπου είναι ένας μερικά διατεταγμένος γραμμικός χώρος Το σύνολο R = {x E x 0} ονομάζεται (θετικό) κωνοειδές της μερικής διάταξης του E Δοθέντος ενός κωνοειδούς C στο E, η διμελής σχέση C ορίζεται ως: x C y x y C, το οποίο ονομάζεται μερική διάταξη που ορίζει το C στο E Αν η μερική διάταξη του χώρου E είναι αντισυμμετρική δηλαδή αν x y και y x συνεπάγεται ότι x = y, όπου x, y E τότε το R = {x E x 0} είναι ένας κώνος Η συνήθης γραμμική διάταξη του R m + είναι αντισυμμετρική δηλαδή ο θετικός κώνος της είναι ο R m + στο R m Ο μερικώς διατεταγμένος χώρος διανυσμάτων (R m, ) είναι ένας σύνδεσμος κάτω από την συνήθη μερική διάταξη δηλαδή x, y R m + υπάρχουν τα x y, x y ως προς αυτήν Αν F είναι ένας υπόχωρος του E και η μερική διάταξη του F ορίζεται από τον κώνο F + = F E + κάνει τον F σύνδεσμο, τότε ο F ονομάζεται σύνδεσμος -υπόχωρος Τότε για κάθε x, y F, υπάρχουν sup F {x, y} = x F y, inf F {x, y} = x F y στον υπόχωρο F Η σχέση x y, x y E με τα x F y, x F y υποδεικνύεται παρακάτω: x F y x y x y x F y Αν D ένας υποσύνδεσμος του R m που έχει μια βάση b(i), i = 1, 2,, k, αυτή η βάση ονομάζεται θετική βάση αν και μόνο αν D + = D R m = {x = κ λ(i)b(i) λ(i) 0, i = 1, 2,, k} i=1 Το Θεώρημα Choquet-Kendall αναφέρει την σύνδεση ανάμεσα στους πεπερασμένης διάστασης συνδέσμους και την ύπαρξη θετικής βάσης Ειδικότερα, ένας πεπερασμένης διάστασης διατεταγμένος διανυσματικός χώρος E με κλειστό και παράγων κώνο E +, έιναι σύνδεσμος αν και μόνο αν έχει θετική βάση Ενα διάνυσμα f R m είναι θετικό συναρτησιακό ενός κώνου C στο R m αν και μόνο αν f(x) 0, x C, ενώ είναι αυστηρά θετικό συναρτησιακό του C αν και μόνο αν f(x) > 0, x C \ {0} Αν ο D είναι υπόχωρος του R m και g 4

αυστηρά θετικό συναρτησιακό του D C, δηλαδή ένα αυστηρά συναρτησιακό του X, ως προς την μερική διάταξη που επάγει στον D ο κώνος C, τότε λέμε ότι το f είναι αυστηρά θετική επέκταση του g αν και μόνο αν το f είναι αυστηρά θετικό συναρτησιακό του C και f(x) = g(x), x D Μια θετική προβολή στον R m, μερικά διατεταγμένο από τον κώνο C στον υπόχωρο D, μερικά διατεταγμένο από τον κώνο D C, είναι μια προβολή P : R m D, για την οποία ισχύει P (x) D C για κάθε x C Μια αυστηρά θετική προβολή του R m, είναι μια θετική προβολή με την επιπλέον ιδιότητα P (x) = 0, x C x = 0 Αν το E είναι μερικώς διατεταγμένο από το C και για κάποιο e E, το e καλείται διατεταγμένη μονάδα του E αν και μόνο αν E = n=1 Αν E είναι μια νόρμα γραμμικού χώρου, τότε αν κάθε εσωτερικό σημείο του C είναι μια διατεταγμέμη μονάδα του E Αν E είναι επιπλέον ένας Banach χώρος και το C είναι κλειστό, τότε κάθε διατεταγμένη μονάδα του E είναι ένα εσωτερικό σημείο του C Αν το E = R m, μερικώς διατεταγμένο από τον R m +, τότε κάθε e R m +, έτσι ώστε min i=1,2,m e i > 0 είναι μια διατακτική μονάδα 13 Χρηματοοικονομική Πεπερασμένων Διαστάσεων Υποθέτουμε δυο περιόδους οικονομικής δραστηριότητας και S το πλήθος του συνόλου των καταστάσεωντην χρονική περίοδο t = 0 υπάρχει αβεβαιότητα σχετικά με την πραγματική κατάσταση, ενώ στην χρονική περίοδο t = 1 η κατάσταση αυτή αποκαλύπτεταιυποθέτουμε ότι υπάρχουν n αρχικά αξιόγραφα στην αγορά τα οποία είναι μη-περιττά δηλαδή τα διανύσματα πληρωμών x 1, x 2,, x n R S στην χρονική περίοδο t = 1, είναι γραμμικά ανεξάρτητα Ενα χαρτοφυλάκιο σε αυτή την αγορά είναι ένα διάνυσμα θ = (θ 1, θ 2,, θ n ) του R n, στο οποίο θ i, i = 1, 2,, n υποδηλώνει τις μονάδες που επενδύθηκαν στο αξιόγραφο i Αν θ i < 0 τότε η επένδυση των θ i μονάδων του αξιογράφων i υποδηλώνουν μια short θέση σε θ i του i αξιογράφου, ενώ αν θ i 0 τότε η επένδυση αντιστοιχεί στην long θέση σε θ i του i αξιογράφου Η πληρωμή ενός χαρτοφυλακίου θ, αν τα διανύσματα πληρωμών x 1, x 2,, x n R S εκφράζονται σε όρους ενός διανύσματος T (θ) = n i=1 θ ix i Το σύνολο τιμών του T : R n R S ονομάζεται υπόχωρος αγοράς παραγόμενος από x 1, x 2,, x n συγκυριακό συμβόλαιο Στην περίπτωση όπου n < S τότε η αγορά καλείται μη-πλήρης Ενα c R S είναι παράγωγο αν οι πληρωμές συνδέονται μέσω μια συναρτησιακής φόρμας με κάποια πληρωμή χαρτοφυλακίου για κάποιο στοιχείο X υπόχωρο αγοράς X Αν για κάποιο συγκυριακό συμβόλαιο του c υπάρχει κάποιο χαρτοφυλάκιο θ τέτοιο ώστε T (θ) = c τότε το c καλέιται αντισταθμίσιμο Κάθε χαρτοφυλάκιο θ R S τέτοιο ώστε T (θ) = c ονομάζεται αντισταθμιστικό χαρτοφυλάκιο του c 5

Κλασικά παραδείγματα παραγώγων είναι τα Ευρωπαικού τύπου δικαιώματα (Europian options) τα οποία περιλαμβάνουν αντίστοιχα τα δικαιώματα αγοράς (call options) και τα δικαιώματα πώλησης (put options)τα δικαιώματα αγοράς και πώλησης εν γένει γράφονται σε κάποιο αξιόγραφο c κάτω από κάποιο αξιόγραφο εξάσκησης u διαφορετικό από το 1 Στην περίπτωση όπου ένα δικαίωμα αγοράς που εγγράφεται στο c με τιμή εξάσκησης a, ως προς το u που είναι ένα συγκυριακό συμβόλαιο του οποίου το διάνυσμα απόδοσης είναι (c au) + Ομοίως στο αντίσοιχο δικαίωμα πώλησης είναι (au c) + Στο τελευταίο δικαίωμα αγοράς υποδηλώνεται από c u (c, a) ενώ το δικαίωμα αγοράς υποδηλώνεται απο p u (c, a) τα οποία ονομάζονται μη-τετριμμένα (non-trivial) αν c u (c, a) > 0, p u (c, a) > 0, αντίστοιχα Αυτός ο ορισμός συνεπάγεται ότι και τα δυο από αυτά τα διανύσματα είναι θετικά και τουλάχιστον ένα από αυτά μη-μηδενικό Είναι γνωστό ότι η πλήρωση της αγοράς X = [x 1, x 2,, x n ] ως προς το 1 είναι ένας υπόχωρος του R S ο οποίος περιέχει όλα τα παράγωγα τα εγγραμμένα στα στοιχεία της αγοράς X Επίσης είναι γνωστό ότι η πλήρωση της αγοράς του X απο τα δικαιώματα είναι ο υποσύνδεσμος S(Y ) ο οποίος παράγεται από τον Y = [X {1}] Ο F 1 (X) είναι σύνδεσμος -υπόχωρος, άρα έχει θετική βάση b i, i = 1, 2,, µ, dimf 1 (X) = µ Αυτή η θετική βάση είναι διάσπαση της μονάδαςαυτά τα στοιχεία είναι δυαδικά διανύσματα και ο προσδιορισμός αυτής της θετικής βάσης βασίζεται σε αυτό Το διάνυσμα e F u (X) είναι ένα F u (X) αποτελεσματικό κεφάλαιο αν ο F u (X) είναι ο γραμμικός υπόχωρος του R S ο οποίος παράγεται από το σύνολο των μη-τετρημένων δικαιωμάτων αγοράς και το σύνολο των μη-τετρημένων δικαιωμάτων πώλησης του e, ως προς u Υποθέτουμε ότι b 1, b 2, b µ είναι μια θετική βάση του F u(x), u = λ i b i και λ i > 0 για κάθε i Τότε το διάνυσμα e = k i b i του F u (X) είναι ένα αποτελεσματικό κεφάλαιο αν και μόνο αν k i /λ i k j /λ j i j Κάθε μη-αποτελεσματικός υπόχωρος F u (X) είναι ένας γνήσιος υποσύνδεσμος του F u (X) Υποθέτουμε ότι b 1, b 2, b µ είναι μια θετική βάση του F u(x) και ότι u = µ i=1 λ ib i για λ i > 0 για κάθε i Τότε: 1 Το μη-κενό σύνολο D = Y \ (Y Z), όπου {Z i I} είναι το σύνολο των μη-αποτελεσματικών υποχώρων του F u (X) δηλαδή είναι το σύνολο των F u (X) αποτελεσματικών κεφάλαιων του Y και το Lebesgue μέτρο του U υποστηρίζεται στο D 2 F u (X) είναι υπόχωρος του R S το οποίο παράγεται από το σύνολο των δικαιωμάτων αγοράς [c u (x, α) x Y ], a R,εγγεγραμμένο στα στοιχεία του Y Αν το u X, F u (X) είναι υπόχωρος του X 1 του R S που παράγεται απο το σύνολο των δικαιωμάτων αγοράς O 1 = {c u (x, α) x X, a R} εγγεγραμμένα στα στοιχεία του X 6

Λήμμα 1 Υπάρχει ένα αποτελεσματικό κεφάλαιο e X +, e > 0 ως προς το διάνυσμα εξάσκησης 1 Απόδειξη: Συνεπάγεται απο [12] Πρόταση 2 Αν υποθέσουμε ότι τα διανύσματα μιας περιόδου πληρωμών αρχικών κεφαλαίων x 1, x 2,, x n είναι γραμμικά ανεξάρτητα και 1 X, τότε F u (X) = R S, όπου X = span[x 1, x 2,, x n ] εκτός από το σύνολο των διανυσμάτων x 1, x 2,, x n του μηδενικού μέτρου Lebesgue στο (R S ) n Απόδειξη: Θα κάνουμε μια σύντομη απόδειξη σχετικά με το γεγονός ότι οι αναλυόμενες αγορές έχουν την ιδιότητα F 1 (X) = R S Είναι γνωστό ό- τι οι αναλυόμενοι πίνακες είναι στην γενική θέση,δηλαδή το συμπλήρωμα του συνόλου αυτών είναι ένα σύνολο μηδενικού μέτρου του διανυσματικού των πινάκων S n με στοιχεία πραγματικούς αριθμούς Ωστόσο το υπερσύνολο όλων των S n -πινάκων (αγορών), τέτοιο ώστε 1 X = span[x 1, x 2,, x n ] όπου x 1, x 2,, x n έιναι γραμμικά ανεξάρτητα και έχουν την ιδιότητα ότι F 1 (X) = R S έιναι επίσης στην γενική θέση Αν F έιναι ένας υπόχωρος του διανυσματικού συνδέσμου E, τότε και ο μερικά διατεταγμένος υπόχωρος F που παράγεται από τον κώνο F + = F E + κάνει τον F διανυσματικό σύνδεσμο, τότε ο F καλείται σύνδεσμος -υπόχωρος Τότε για κάθε x, y F, sup F {x, y} = x F y, inf F {x, y} = x F y υπάρχουν στον F Η σχέση αυτών με τα x y, x y E είναι η ακόλουθη: x F x y x y x F y Θεώρημα 3 Ο υπόχωρος L = [e, 1] που παράγεται από ένα εν γένει υπαρκτό e X + και το ακίνδυνο κεφάλαιο 1 είναι ένας σύνδεδμος -υπόχωρος του R S Απόδειξη: Σύμφωνα με το Choquet-Kendall Θεώρημα, πρέπει να αποδείξουμε ότι L + = L R S + είναι κλειστός και παράγων Ο L + είναι παράγων κώνος επειδή περιέχει το 1 και αυτό περιέχεται στο L και στο L + Το L είναι ένας κλειστός υπόχωρος του R S καθώς επίσης και ένας πλήρης χώρος Το 1 είναι επίσης εσωτερικό σημείο του L + και αυτό συνεπάγεται ότι ο L + είναι παράγων κώνος Πόρισμα 4 Το L έχει θετική βάση Απόδειξη: Συνεπάγεται απο [13] και 23 7

14 Χρήσιμες και Εισαγωγικές Εννοιες Θεωρούμε δυο χρονικές περιόδους (0 και 1) και ένα μη κενό σύνολο Ω Η πραγματική κατάσταση του ω Ω σε κάποιο A F όπου F είναι κάποια σ algebra των υποσυνόλων του Ω, το οποίο δίνει την πληροφορία για την κατάσταση που μπορεί να συμβαίνει στην χρονική περίοδο 1 Η χρηματοοικονομική θέση είναι μια F -μετρήσημη τυχαία μεταβλητή x : Ω R Αυτή η τυχαία μεταβλήτη είναι το προφίλ αυτής της θέσης στην χρονική περίοδο 1 Η πιθανότητα να συμβαίνει η κάθε κατάσταση δίνεται από το μέτρο πιθανότητας µ : F [0, 1] Οι χρηματοοικονομικές θέσεις βρίσκονται σε κάποιο υπόχωρο E του L 0 (Ω, F, µ) που είναι ένας σύνδεσμος -Banach Ορισμός 5 Μια μη-πλήρης αγορά στο E είναι κάποιος υποσύνδεσμος M του E Μια πλήρης αγορά στο E είναι κάποιος υποσύνδεσμος M του E, τέτοιο ώστε M = E Είναι γνωστό ότι ορίζουμε τον θετικό κώνο F + του υποχώρου F του διατεταγμένου διανυσματικού χώρου να είναι το σύνολο F + = F E +, όπου E + είναι θετικός κώνος του E Ορισμός 6 Μια θετική προβολή P : E F είναι μια προβολή για την οποία ισχύει P (E + ) F + Η θετική προβολή καλείται αυστηρά θετική αν P (x) F +, P (x) = 0 x E +, x = 0 Ορισμός 7 Τυχαίο πεδίο είναι μια απεικόνιση X : T Ω E, όπου E έιναι ένας Σύνδεσμος -Banach, T ένας τοπολογικός χώρος και X t (ω) E, για κάθε t T Ετσι το τυχαίο πεδίο X καλείται συνδεδεμένο με το ζεύγος (T, E) Ορισμός 8 Η διήθηση που συνδέεται με το ζεύγος (T, E) είναι ένα δίκτυο προβολών (P α ) α A, όπου P α : E E α, με E α να είναι ένας υποσύνδεσμος του E και αν b a, P a P b = P a Το A είναι ένα κατευθυνόμενο σύνολο, ορισμένο από την διμελή σχέση που λέγεται κατεύθυνση Ορισμός 9 Η διμελής σχέση στο A καλείται κατεύθυνση στο A, αν αυτή είναι αυτοπαθής και μεταβατική στο A, όταν για κάθε a, b A τέτοιο ώστε c a, b Ορισμός 10 Αν b a και b a, αυτό υποδηλώνεται από το b a, a, b A Ορισμός 11 Η διήθηση (P α ) α A λέγεται αυστηρά θετική αν (P α ) = 0, x E +, x = 0, a A Ορισμός 12 Το τυχαίο πεδίο X : A Ω E, όπου A T καλείται προσαρμένο στη διήθηση (P α ) α A που είναι συνδεδεμένο με το ζεύγος (T, E) αν X α E α για κάθε α A και A είναι ένα κατευθυνόμενο υποσύνολο του T για κάποια διμελή σχέση η οποία είναι αυτοπαθής,μεταβατική και κάθε ζεύγος έχει ένα άνω όριο 8

Ορισμός 13 Ενα τυχαίο πεδίο X : A Ω E, όπου A T καλείται Martigale αν η προσαρμοσμένη διήθηση (P α ) α A που συνδέεται με το ζεύγος (T, E), όταν P α X b = X α, b α Ορισμός 14 Ενα τυχαίο πεδίο X : A Ω E, όπου A T είναι αυστηρά θετικό Martigale αν η προσαρμοσμένη διήθηση (P α ) α A που συνδέεται με το ζεύγος (T, E) είναι Martigale, όταν η διήθηση (P α ) α A παρέχεται από αυστηρά θετικές προβολές Ας δούμε κάποια παραδείγματα για τους παραπάνω ορισμούς Παράδειγμα 15 Αν A είναι μια υπο-άλγεβρα της σ-άλγεβρας F του Ω, τότε L p (Ω, A, µ) είναι ένας υποσύνδεσμος του L p (Ω, F, µ), 1 p, τότε το L p (Ω, A, µ) είναι μια μη-πλήρης αγορά των χρηματοοικονομικών θέσεων στο L p (Ω, F, µ), 1 p Παράδειγμα 16 Ο υπόχωρος των τμηματικά γραμμικών συναρτήσεων M στον χώρο C[0, 1] είναι μια πλήρης αγορά στο C[0, 1], λόγω του Stone- Weierstrass Θεωρήματος Οι τμηματικά γραμμικές συναρτήσεις που ορίζονται στο [0, 1] είναι στην πραγματικότητα ο υπόχωρος που παράγεται από το δι-σύνολο των συναρτήσεων ϕ 1, ϕ 2, όπου ϕ 1 (t) = 1, t [0, 1], ϕ 2 = t, t [0, 1] Στην περίπτωση όπου ο υπόχωρος του δι-συνόλου είναι ένας σύνδεσμος -υπόχωρος του C[0, 1] Παράδειγμα 17 Ενας υποσύνδεσμος M πεπερασμένης διάστασης του C[0, 1] είναι μια μη-πλήρης αγορά στο C[0, 1] Ως ένας σύνδεσμος -υπόχωρος έχει μια θετική βάση με κόμβους,που ισοδυναμεί με την θετική προβολή P M : C[0, 1] M και ορίζεται ως εξής: P M (X)(t) = n i=1 x(t i ) b(t i ) b i(t), t [0, 1], όπου n = dimm και t 1, t 2,, t n [0, 1] είναι οι κόμβοι της θετικής βάσης M Παράδειγμα 18 Η ακολουθία των υποσυνδέσμων (M n ) n N του C[0, 1] χαρακτηρίζεται απο τα αυξανόμενα μη-τερματικά μέρη της ακολουθίας [t 1, t 2, t n, t n+1, ] [0, 1], στο οποίο οι όροι διαφέρουν με την έννοια ότι t n t m, n m είναι μια διήθηση του C[0, 1], αν t 1 είναι ο κόμβος για τον μονοδιάστατο υποσύνδεσμο M 1, [t 1, t 2 ] είναι το σύνολο των κόμβων της θετικής βάσης του υποσυνδέσμου M 2 κοκ 9

Παράδειγμα 19 Ενα αυξανόμενο δίκτυο από υπο-σ-άλγεβρες (F α ) α A του Ω που είναι το μη-κενό σύνολο και το A είναι μη-κενό ορισμένο σύνολο που οπως είναι γνωστό περιλαμβάνει την ύπαρξη της διήθησης στο L 1 (Ω, F, µ) όπου (Ω, F, µ) είναι η πιθανότητα ο χώρος να συνδέεται με τον μετρήσιμο χώρο (Ω, F) Το σχετικό δίκτυο των υποσυνδέσμων είναι: (L 1 (Ω, F, µ)) α A Αν υποθέσουμε έναν πληθάριθμο α τότε το πλήθος των στοιχείων της σ- άλγεβρας F α θα είναι το πολύ ίσο με 2 α και σίγουρα μεγαλύτερο από α + 1 βάσει της Γενικευμένης Υπόθεσης του Συνεχούς Παράδειγμα 20 Η διήθηση του παραδείγματος 14 δεν είναι αυστηρά θετική Αυτό συμβαίνει επειδή αν επιλέξουμε έναν υποσύνδεσμο M n1 που έχει θετική βάση, οι κόμβοι της θετικής του βάσης είναι το σύνολο: [t 1, t 2,, t n1 ] [0, 1] Αν x(t i ) = 0, i = 1, 2,, n 1 αυτό δεν συνεπάγεται ότι x = 0 αν x 0 Για παράδειγμα, x(t) = n 1 i=1 (t t i) 2 0, αλλά x(t i ) = 0, i = 1, 2,, n 1 Παράδειγμα 21 Αν E είναι ένας σύνδεσμος Banach με διατεταγμένη συνεχή νόρμα και B είναι η ζώνη προβολής, δηλαδή E = B B d, και τότε το B είναι κλειστό ως προς την νόρμα Η προβολή P B : E B είναι αυστηρά θετική αφού ισχύει ότι P B (x) = 0, x E + δηλαδή x = x 1 + x 2 όπου x 1 B και x 2 B d, x 1 = 0 x 2 0 = 0 και x 2 0 και για αυτό τον λόγο x 2 = 0 και τελικά x = 0 Η ίδια κατάσταση ισχύει για τους Kantorovich-Banach χώρους (ή αλλιώσς τους ΚΒ-χώρους) στους οποίους E = E E d Τέτοια παραδείγματα αυτών των χώρων είναι οι αυτοπαθείς Banach σύνδεσμοι όπως L p (Ω, F, µ), 1 < p < και οι AL-χώροι Παράδειγμα 22 Εστω E ένας σύνδεσμος Banach που έχει μια Schauder βάση: {e 1, e 2,, e n, }, n N, η οποία είναι και θετική βάση Επίσης έστω ότι: M n = P n E = [e 1, e 2,, e n ], n N, είναι πεπερασμένης διάστασης υποσύνδεσμοι του E Τότε, (P n ) n N είναι μια διήθηση, επειδή P n P m = P n, m n και P n x = 0 x = 0, x E όταν e 1, e 2,, e n είναι η θετική βάση του M n Αυτό ισχύει για την περίπτωση E = c 0, l 1, l p, 1 < p < 10

2 Τα Θεμελιώδη Θεωρήματα Αποτίμησης Των Αξιογράφων Σε Πεπερασμένη Διάσταση 21 Πεπερασμένη διάσταση στην περίπτωση της μιας περιόδου Ας υποθέσουμε ένα μοντέλο δυο περιόδων της αγοράς στο οποίο το πλήθος των καταστάσεων υποδηλώνεται απο το S και οι χρονικές περίοδοι υποδηλώνονται απο το 0 και το 1 αντίστοιχα Επίσης θεωρούμε μια μη-πλήρη αγορά που αποτελείται από αξιόγραφα, των οποίων και την χρονική στιγμή 1 οι πληρωμές είναι θετικές και ίσες με τα γραμμικά ανεξάρτητα διανύσματα y 1 = x 1, y 2 = x 2,, y j = x j του R S Επιπλέον υποθέτουμε ότι ο υπόχωρος που παράγουν τα x 1, x 2, x J και θα συμβολίζεται στο εξής με X περιέχει το ακίνδυνο αξιόγραφο 1, ενώ J < S το οποίο συνεπάγεται ότι είναι όντως μη-πλήρη αγορά Εστω ότι την χρονική στιγμή 0 η non-arbitrage τιμή q = (q 1, q 2,, q J ) για τα αρχικά αξιόγραφα Οπως είναι γνωστό η F 1 (X) προσδιορίζεται από τον υποσύνδεσμο (sublattice) S(X) του R S παραγόμενο από το X Θεώρημα 23 Εστω X ένας J-διάστατος υπόχωρος του R S με J < S παράγεται από τα θετικά στοιχεία y 1, y 2,, y J στο οποίο η ακίνδυνη επένδυση 1 είναι ένα αξιόγραφο αγοράς (1 X) Υποτίθεται ότι το σύνολο τιμών του R(β) της βασικής συνάρτησης β των στοιχείων y 1, y 2,, y J είναι ένα πεπερασμένο σύνολο P 1, P 2,, P µ του J 1 του R J, m J Τα πρώτα J διανύσματα απο αυτό το σύνολο είναι γραμμικά ανεξάρτητααν υποθέσουμε ότι τα διανύσματα y J+i, i = 1, 2, µ J είναι τέτοια ώστε y J+i (s) = y(s), s I J+i και y J+i (S) = 0 / I J+i, όπου y(s) = y 1 (s) + y 2 (s) + + y J (s), s Ω και I J+i = [s Ω β(s) = P J+i ], i = 1, 2,, µ J Τότε: 1 S(X) = X [y J+1, y J+2, y J+µ ] 2 b i = 2y i, i = J + 1, J + 2, J + µ 3 Αν b i = b i + b i, 1, 2,, J με b i X και b i [y j+1, y j+2,, y µ ] τότε τα διανύσματα b i ορίζονται από: ( b 1, b 2,, b J ) T = A 1 (y 1, y 2,, y J ) T όπου A είναι ένας S J πίνακας του οποίου οι στήλες είναι τα διανύσματα P i, i, 2,, J είναι η βάση του X που ονομάζεται βάση προβολής Αυτή η βάση έχει την ιδιότητα: Οι J πρώτες συντεταγμένες ενός στοιχείου x X σε μια θετική βάση του S(X) συμπίτουν με τις συντεταγμένες τις επέκτασης του X στην βάση b i, i = 1, 2, µ Επίσης συμφωνα με το 11

τι αναφέτεται στο [7] σχετικά με την πλήρωση μιας μη-πλήρους αγοράς X από τα δικαιώματα εισάγουμε y = y 1 + y 2 + + y J + y J+1 + + y µ όπου µ = dimf 1 (X) και y 1, y 2,, y µ είναι το μέγιστο σύνολο της γραμμικής ανεξαρτησίας θετικών διανυσμάτων του F 1 (x) Σύμφωνα με το ([7], Ch21), τα y 1, y 2,, y µ είναι χαρτοφυλάκια δικαιωμάτων αγοράς και πώλησης εγγεγραμμένα σε στοιχεία του X Για τους υποχώρους W, W ισχύει η σχέση: W W = R S+1 όπου W υποδηλώνει τον υπόχωρο του R S+1 παράγεται από τον πίνακα των πληρωμών W (q, X) των αρχικών τίτλων, ενώ W υποδηλώνει τον ορθογώνιο υπόχωρο του Σύμφωνα με το χαρακτηρισμό της μη ύπαρξης του arbitrage στην αρχική αγορά, υπάρχει τουλάχιστον ένα π R S+1 ++ τέτοιο ώστε π W (q, X) = 0 όπου το 0 R J Αυτό συνεπάγεται ότι W 0 σε αυτή την περίπτωση ενώ q = π 1 X αν υποδηλώσουμε ότι ο πίνακας S J του οποίου οι στήλες είναι τα διανύσματα x 1, x 2,, x J Η τελευταία σχέση προκύπτει από π W (q, X) = 0 αν υποθέσουμε ότι π = (π 0, π 1 ) Τότε π 0 q = π 1 X αν 1 π 0 π 1 = π 1 και έτσι αποκτούμε την τελευταία σχέσηαυτό συνεπάγεται ότι η F 1 (X) είναι καθορισμένη από την θετική βάση b 1, b 2,, b µ Θεώρημα 24 Κάθε π R S + τέτοιο ώστε q = π 1 X για την τιμή q(π 1 )(λ) = q(π 1 )(λ) του χαρτοφυλακίου λ R µ ή αλλιώς την τιμή του χαρτοφυλακίου µ i=1 λ iy i που βρίσκεται στην πλήρωση F 1 (X) να είναι ίδιο με την τιμή του ίδιο χαρτοφυλακίου κάτω από q R J αν µ i=1 λ iy i X όπου y i, i = 1, 2,, µ είναι διανύσματα που υποδεικνύονται από το Θεώρημα Βάσης Προβολής Απόδειξη: Το διάνυσμα q(π 1 ) = π 1 D (b 1, b 2, b µ ) T ακόλουθη ισότητα: π 1 y 1 π 1 y 2 π 1 y µ T = π 1 y 1 y 2 y µ T = q π 1 y J+1 π 1 y J+2 π 1 y µ T ικανοποιεί την Ο ορισμός του διανύσματος q(π 1 ) μας επιτρεπει να αποδείξουμε ότι είναι μια non-arbitrage τιμή του υποχώρου που παράγεται από τα διανύσματα 12

y 1, y 2,, y µ που αποτελείται από τα δικαιώματα και είναι ο F 1 (X) Αν για ένα χαρτοφυλάκιο λ R µ οι πληρωμές µ i=1 λ iy i βρίσκονται στον θετικό κώνο R S + εκτός από το {0}, τότε: q(π 1 )(λ) = q(π 1 ) λ = µ µ λ i (π 1 y i ) = π 1 ( λ i ν i ) > 0 i=1 i=1 Επίσης από το Θεώρημα Βάσης Προβολής, αν µ i=1 λ iy i X αυτό σημαίνει ότι: µ J λ i y i = λ i y i i=1 Ωστόσο, q(π 1 )(λ) = J i=1 λ iπ 1 y i σε αυτή την περίπτωση ισούται με την αποτίμηση του χαρτοφυλακίου (λ 1, λ 2,, λ J ) του αρχικού χαρτοφυλακίου κάτω από το qυπενθυμίζουμε ότι ο R µ είναι ο χώρος των οικονομικών θέσεων, όταν το F 1 (X) ισούται με αυτόν τον χώρο σύμφωνα με το ([7], pr6) Θεώρημα 25 Για κάθε υπόχωρο X = span[x 1, x 2,, x J ] του R S +, όπου µ = dim = F 1 (X) και 1 X και x i, i = 1, 2,, J είναι γραμμικά ανεξάρτητα, κάθε θετικά γραμμική συνάρτηση του X έχει μια αυστηρά θετική επέκταση στο F 1 (X) = R µ Απόδειξη: Κάθε αυστηρά θετική συνάρτηση f : X R ορίζει μια nonarbitrage τιμή q(f) στο X ως εξής: q i (f) = f(x i ), i = 1, 2,, J Σύμφωνα με το προηγούμενο Θεώρημα, p 1 για κάποιο π 1 R S ++ τέτοιο ώστε q = π1 X είναι μια αυστηρά θετική επέκταση του f στον R µ, όπου p 1 (i) = π 1 (i), i supp(b j ), j = 1, 2,, µ και supp(b j ) είναι ο φορέας του διανύσματος b j της θετικής βάσης του F 1 (X) Πρόταση 26 Αν υποθέσουμε ότι τα διανύσματα x 1, x 2,, x J είναι γραμμικά ανεξάρτητα και 1 X και F 1 (X) = R S, όπου X = span[x 1, x 2,, x J ], τότε αυτές οι ιδιότητες ισχύουν εκτός από το σύνολο του Lebsgue μέτρου στον (R S ) J Απόδειξη: Στο τελευταίο μέρος του [7], μια σύντομη απόδειξη δίνεται σχεττικά με το γεγονός ότι οι αναλυόμενες αγορές έχουν την ιδιότητα F 1 (X) = R S Οπως είναι γνωστό οι αναλυόμενοι πίνακες είναι στην γενική θέση Δηλαδή το συμπλήρωμα του συνόλου αυτών είναι ένα σύνολο μηδενικού μέτρου στον διανυσματικό χώρο των πινάκων S J του οποίου τα στοιχεία είναι πραγματικοί αριθμοί Ωστόσο, το υπερσύνολο όλων των S J-πινάκων (αγορών), τέτοιο ώστε 1 X = span[x 1, x 2,, x J ], όπου x 1, x 2,, x J είναι γραμμικά ανεξάρτητα καο έχουν την ιδιότητα F 1 (X) = R S όπως και στην γενική θέση i=1 13

Θεώρημα 27 Σχεδόν για κάθε υπόχωρο X = span[x 1, x 2,, x J ] του R S, όπου S = dimf 1 (X) και 1 X και x i, i = 1, 2,, J είναι γραμμικά ανεξάρτητα και κάθε αυστηρά θετικό γραμμικό συναρτησιακό του X έχει μια μοναδική αυστηρά θετική επέκταση στο F 1 (X) = R S Απόδειξη: Κάθε αυστηρά θετική συνάρτηση f : X R ορίζει μια nonarbitrage τιμή q(f) στο X ως εξής: q i (f) = f(x i ), i = 1, 2,, J Σύμφωνα με το 3o Θεώρημα, q(f) = π 1 X για ένα μονοδικό π 1 R S ++ 22 Μοντέλο Πεπερασμένων Περιόδων Θεωρούμε το μοντέλο όπως παρουσιάζεται στο [15], σύμφωνα με το οποίο υπάρχει ένας πεπερασμένος χρονικός -οριζοντας T = {0, 1, 2,, T }, μια οικογένεια διαμερίσεων F του Ω έτσι ώστε F 0 = {Ω}, F T = {{ω}, ω = 1, 2,, S} και F t+1 είναι λεπτότερη από F t για κάθε t = 0, 1, 2,, T 1 με την έννοια σ t+1 F t+1, υπάρχει ένα σ t F t τέτοιο ώστε σ t+1 σ t Τότε το σύνολο D = {ξ = (t, σ) σ t inf t, t T} ονομάζεται δέντρο πληροφόρησης συναρτημένο με την F Κάθε μοντέλο πεπερασμένης περιόδου είναι ένα μοντέλο πληροφόρησης αποκαλύπτοντας τις χρονικές περιόδους του Τ Επίσης θεωρούμε τα J αξιόγραφα των οποίων τα βαθμιαία διανύσματα πληρωμών είναι V 1, V 2,, V J R D Ακόμη υποθέτουμε ότι τα διανύσματα τιμών των αξιογράφων είναι q 1, q 2, q J, όπου q j (ξ) = 0 αν ξ D T, j = 1, 2,, J όπου το σύνολο D T υποδηλώνει το σύνολο των κόμβων του D που αντιστοιχούν στην χρονική περίοδο T Αν υποθέσουμε ότι αυτά τα διανύσματα τιμών δεν παρέχουν arbitrage και η αγορά είναι μη-πλήρης υπάρχει τουλάχιστον ένα διάνυσμα τιμών π R n ++, έτσι ώστε π W (q, V ) = 0 όπου W (q, V ) είναι ο πίνακας πληρωμών αυτής της αγοράς όπως αποδεικνύεται στο ([15], Ch4) Αν απλοποιήσουμε τα πράγματα, πρέπει να υποθέσουμε ότι π(ξ 0 ) = 1, όπου ξ 0 = (0, Ω) Επίσης υποθέτουμε ότι ένα από τα αξιόγραφα x της αγοράς είναι ακίνδυνο, ή αλλιώς για κάθε ξ D να είναι x(ξ ) = x(ξ ) για κάθε ξ, ξ ξ + Ο υποπίνακας [V (ξ + ) + q(ξ + )] για κάθε ξ D είναι ο b(ξ) J -πίνακας του οποίου οι στήλες είναι τα διανύσματα [V (ξ ) + q(ξ )] του R J, υποδεικνύοντας τις πληρωμές και την τιμή του J τίτλου στον κόμβο ξ ξ + Η πληθικότητα του ξ +, ξ D υποδηλώνεται από b(ξ) Η αγορά των τίτλων είναι πλήρης ή οπως συνηθίζεται δυναμικά πλήρης, αν κάθε συγκιριακό συμβόλαιο c = (c(ξ), ξ D + ) μπορεί να αντισταθμιστεί από ένα χαρτοφυλάκιο z = (z(ξ), ξ D ), z(ξ) R J Ορισμός 28 Το προθεσμιακό συμβόλαιο με δικαίωμα αγοράς c = (c(ξ), ξ D + ) με τιμή εξάσκησης α όταν 1 b(ξ) X(ξ) ισούται με: (c(ξ) α1 b(ξ) ) + 14

Ορισμός 29 Το προθεσμιακό συμβόλαιο με δικαίωμα πώλησης c = (c(ξ), ξ D + ) με τιμή εξάσκησης α όταν 1 b(ξ) X(ξ) ισούται με: (α1 b(ξ) c(ξ)) + Η αγορά είναι (δυναμικά) πλήρης αν και μόνο αν είναι μιας περιόδου πλήρης για κάθε μη-τερματικό κόμβο ξ D, δηλαδή αν rank[v (ξ) + + q(ξ) + ] = b(ξ) Διαφορετικά ονομάζεται μη-πλήρης Για κάθε π R n ++ έτσι ώστε π W (q, V ) = 0 και επίσης υπάρχει μη-τερματικός κόμβος ξ D τέτοιος ώστε για τον αντίστοιχο υποπίνακα [V (ξ + ) + q(ξ + )] του W (q, V ),θα πρέπει να προσθέσουμε το προθεσμιακό δικαίωμα αγοράς (x α1 b(ξ) ) +, (α1 b(ξ) x) +, όπου x span[v (ξ) + + q(ξ) + ] για να είναι η αγορά πλήρης Με τον ίδιο τρόπο θα μιλήσουμε για πλήρωση των δικαιωμάτων του X(ξ) = [V (ξ + ) + q(ξ + )] ως προς το αξιόγραφο 1 b(ξ), η οποία δηλώνεται από F 1b(ξ) (X(ξ)) για κάθε ξ D Το 1 b(ξ) είναι ένα διάνυσμα του Ευκλείδιου χώρου R b(ξ) τέτοιο ώστε 1 b(ξ) (ξ ) = 1, ξ ξ +, ξ D Ομοια, η διάσταση της πλήρωσης F 1b(ξ) (X(ξ)) υποδηλώνεται από µ(ξ)είναι προφανές ότι μπορούμε να επιτύχουμε μια πλήρη αγορά αν και μονο αν µ(ξ) = b(ξ) για κάθε ξ D Θεώρημα 30 Για κάθε υποαγορά X(ξ 1 ), ξ 1 D και κάθε π R n ++ όπου πw (q, V ) = 0, το q = (q 1, q 2,, q J ) είναι ένα non-arbitrage διάνυσμα τιμών για το αξιόγραφο i = 1, 2,, J Το q(π)(ξ) R µ(ξ 1) είναι ένα διάνυσμα τιμών στο οποίο η τιμή του χατοφυλακίου λ R µ(ξ 1) είναι q(π)(ξ) λ Ειδικότερα, η τιμή του µ(ξ 1 ) i=1 λ(i)y(i) ισούται με την τιμή με την τιμή του ίδιου αξιογράφου κάτω από q R J αν µ(ξ 1 ) i=1 λ(i)y(i) X(ξ 1), όπου y(i) = 1, 2,, µ(ξ 1 ) είναι τα διανύσματα που αποδεικνύονται από το Θεώρημα Βάσης Προβολής Απόδειξη: Θεωρούμαι το διάνυσμα q(π)(ξ 1 ) = π(ξ 1 ) D (b 1, b 2,, b µ(ξ1 )) όπου π(ξ + 1 ) Rb(ξ 1) Το παραπάνω διάνυσμα ικανοποιεί τις ακόλουθες ισότητες: π(ξ + 1 ) y 1 π(ξ + 1 ) y 2 π(ξ + 1 ) y µ(ξ 1 ) T = π(ξ 1 + ) y 1 y 2 y µ(ξ1 ) T = q(ξ 1 ) π(ξ + 1 ) y J+1 π(ξ + 1 ) y J+2 π(ξ + 1 ) y µ(ξ 1 ) Ο ορισμός του διανύσματος q(π)(ξ 1 ) μας επιτρέπει να αποδείξουμε ότι αυτό είναι μια non-arbitrage τιμή του υποχώρου που παράγεται από τα διανύσματα T 15

y 1, y 2, y µ(ξ1 ) το οποίο είναι η πληρωμή των δικαιωμάτων F 1b (ξ 1 )(X(ξ 1 )), X(ξ 1 ) = span[v (ξ + 1 ) + q(ξ+ 1 )] Αν για ένα χαρτοφυλάκιο λ R µ(ξ1) η πληρωμή µ(ξ 1 ) i=1 λ iy i βρίσκεται στον θετικό κώνο R ξ 1 + εκτός του {0}, τότε: q(π)(ξ 1 ) λ = µ(ξ 1 ) i=1 µ(ξ 1 ) λ i (π 1 (ξ 1 + ) y i) = π 1 (ξ 1 + ) ( i=1 λ i y i ) > 0, επειδή π 1 (ξ 1 + ) Rb (ξ 1 ) ++ Επίσης, από το Θεώρημα της Βάσης Προβολής, αν µ(ξ1 ) i=1 λ iy i X(ξ 1 ), αυτό σημαίνει ότι µ(ξ 1 ) i=1 λ iy i = J i=1 λ iy i Ωστόσο στην περίπτωση q(π)(ξ 1 ) λ = J i=1 λ iπ 1 y i ισούται με την αποτίμηση του χαρτοφυλακίου (λ 1, λ 2,, λ J ) του αρχικού κεφαλαίου κάτω από το q(ξ 1 ) Απόδειξη: Αν f(ξ 1 ) : X(ξ 1 ) R είναι ένα αυστηρά θετικό συναρτησιακό του X(ξ 1 ),ξ 1 D, τότε αυτό συνεπάγεται μια non-arbitrage τιμή q f (ξ 1 ) R J και το q δίνεται από το q(ξ 1 ) = q f (ξ 1 ) Η επέκταση του f(ξ 1 ) είναι p 1 (ξ 1 ) για κάποιο π 1 R b(ξ1) τέτοιο ώστε π 1 (ξ 1 )q f (ξ 1 ) = π 1 (ξ 1 + ) X(ξ 1) είναι μια αυστηρά θετική επέκταση του f στο R µ(ξ1), όπου p 1 (k ) = π 1 (k ), k supp(b j ), k = 1, 2,, µ(ξ 1 ) και supp(b j ) είναι ο φορέας του διανύσματος b j της θετικής βάσης του F (X(ξ 1b(ξ1 ) 1)) Θεώρημα 31 Αν η αγορά είναι πλήρης,τότε για κάθε υποαγορά X(ξ),ξ 1 D, με rank[v (ξ + 1 ) + q(ξ+ 1 )] < b(ξ+ 1 ) και κάθε π Rn ++ με π W (q, V ) = 0, κάθε αυστηρά θετικό γραμμικό συναρτησιακό του X(ξ),ξ 1 D έχουμε μια μοναδική αυστηρά θετική επέκταση στο F 1b( ξ 1 ) (X(ξ 1)) = R b(ξ 1) Απόδειξη: Οταν η αγορά είναι πλήρης ισχύει ότι [V (ξ 1 + ) + q(ξ+ 1 )] = b(ξ 1), ξ 1 D και υπάρχει μοναδικό π R n ++ με π W (q, V ) = 0 Αν f(ξ 1 ) : X(ξ 1 ) R είναι ένα αυστηρά θετικό συναρτησιακό του X(ξ), ξ 1 D, τότε αυτό συνεπάγεται ότι η non-arbitrage τιμή q f (ξ 1 ) R J δεδομένου του q δίνεται από το q(ξ 1 ) = q f (ξ 1 ) Η μοναδική επέκταση του f(ξ 1 ) είναι p 1 (ξ 1 ) για κάποιο π 1 R b(ξ 1) ++ τέτοιο ώστε π 1(ξ 1 )q f (ξ 1 ) = π 1 (ξ + ) X(ξ 1 ) είναι αυστηρά θετική επέκταση του f στο R b(ξ1), όπου p 1 (k ) = π 1 (k ), k supp(b j ), k = 1, 2,, b(ξ j ) και supp(b j ) είναι ο φορέας του διανύσματος b j της θετικής βάσης του F (X(ξ 1b(ξ1 ) 1)), όταν το π 1 είναι μοναδικό 23 Επαναδιατύπωση των Θεμελιωδών Θεωρημάτων της Αποτίμησης των Αξιογράφων Μια non-arbitrage τιμή στον υπόχωρο αγοράς X είναι ένα αυστηρά θετικό συναρτησιακό του X Δηλαδή, αν f είναι μια τέτοια τιμή, αυτό είναι ένα γραμμικό 16

συναρτησιακό f : X R έτσι ώστε f(x) > 0 για κάθε x X + \ {0}, όπου X + = X R S + Η f μπορεί να επάγει ως μια τιμή χαρτοφυλακίου q R n ως εξής: f(x) = f(t (θ x )) = q θ x, όπου θ x είναι ένα αντισταθμιστικό χαρτοφυλακίου του x Θεώρημα 32 Αν για μια μη-πλήρη αγορά X,τέτοια ώστε 1 X και e X + αποτελεσματικό αξιόγραφο, τότε κάθε non-arbitrage τιμή f της αγοράς που πάραγεται από τα e, 1 επεκτείνεται σε μια non-argitrage τιμή στην πλήρη αγορά R S Επιπλέον, αν υποθέσουμε ότι οι πιθανότητες δίνονται από ένα διάνυσμα: µ = (µ 1, µ 2,, µ s ), µ s > 0, s = 1, 2,, S το f επάγει ένα διάνυσμα από µ- συνεχείς risk-neutral πιθανότητες Απόδειξη: Δεδομένου ότι L = [e, 1] είναι ένας σύνδεσμος -υπόχωρος, αρκεί να ορίσουμε την αυστηρά θετική προβολή P (x) = 1 2 (x 1(x)b 1 + x 2 (x)b 2 ) όπου {b 1, b 2 } είναι κανονικοποιημένη θετική βάση του L και x i (x), i = 1, 2 είναι τα συναρτησιακά συντεταγμένων αυτής Η επέκταση του f είναι π(x) = f(p (x)), x R S Το σχετικό διάνυσμα της risk-neutral πιθανότητας είναι α- κριβώς ίσο με Q π = 1 2 (x 1 + x 2 ) Η αντίστοιχη Radon-Nikodym παράγωγος είναι dqπ dµ = ( 1 2µ(s) (x 1(s) + x 2 (s)), s = 1, 2,, S) Θεώρημα 33 Αν μια αγορά X είναι πλήρης και 1 X, και έστω να βρούμε χαρτοφυλάκιο e X +, το οποίο διαχωρίζει τις καταστάσεις του κόσμου, τότε η non-argitrage τιμή f της αγοράς που παράγεται από {e, 1} επεκτήνεται σε μια μοναδική non-argitrage τιμή στην πλήρη αγορά X = R S Επιπλέον, αν υποθέσουμε ότι οι πιθανότητες δίνονται από ένα διάνυσμα µ = (µ 1, µ 2,, µ s ) το διάνυσμα των risk-neutral πιθανοτήτων είναι μοναδικό Απόδειξη: Κατάλληλοι γραμμικοί συνδιασμοί ανάμεσα στην τιμή του χαρτοφυλακίου την χρονική στιγμή 0 και στην τιμή της ακίνδυνης επένδυσης την χρονική περίοδο 0 παρέχουν τις τιμές των αξιογράφων e 1, e 2,, e s (αφού η αγορά X είναι πλήρης) Αυτές οι τιμές είναι ίδιες για διαφορετικά χαρτοφυλάκια που διακρίνουν τις καταστάσεις του κόσμου Επιπλέον οι τιμές του είναι θετικές για τον ίδιο λόγο Παρόλα αυτά μπορούμε να υποθέσουμε ότι το μοναδικό διάνυσμα τιμών για τα αξιόγραφα του Arrow δίνεται από το διάνυσμα π = (π1, π 2,, π s) Αν αυτό το διάνυσμα κανονικοποιηθεί τότε το μοναδικό risk-neutral μετρο πιθανότητας είναι Q π = παράγωγος είναι: π π dq π dµ = ( 1 π(s), s = 1, 2,, S) π 1 µ(s) Η αντίστοιχη Radon-Nikodym 17

3 Τα Θεμελιώδη Θεωρήματα Αποτίμησης Των Αξιογράφων Σε Άπειρη Διάσταση 31 Χρήσιμες και Εισαγωγικές Εννοιες Θεωρούμε δυο χρονικές περιόδους (0 και 1) και ένα μη κενό σύνολο Ω Η πραγματική κατάσταση του ω Ω σε κάποιο A F όπου F είναι κάποια σ algebra των υποσυνόλων του Ω, το οποίο δίνει την πληροφορία για την κατάσταση που μπορεί να συμβαίνει στην χρονική περίοδο 1 Η χρηματοοικονομική θέση είναι μια F -μετρήσημη τυχαία μεταβλητή x : Ω R Αυτή η τυχαία μεταβλήτη είναι το προφίλ αυτής της θέσης στην χρονική περίοδο 1 Η πιθανότητα να συμβαίνει η κάθε κατάσταση δίνεται από το μέτρο πιθανότητας µ : F [0, 1] Οι χρηματοοικονομικές θέσεις βρίσκονται σε κάποιο υπόχωρο E του L 0 (Ω, F, µ) που είναι ένας σύνδεσμος -Banach Ορισμός 34 Μια μη-πλήρης αγορά στο E είναι κάποιος υποσύνδεσμος M του E Μια πλήρης αγορά στο E είναι κάποιος υποσύνδεσμος M του E, τέτοιο ώστε M = E Είναι γνωστό ότι ορίζουμε τον θετικό κώνο F + του υποχώρου F του διατεταγμένου διανυσματικού χώρου να είναι το σύνολο F + = F E +, όπου E + είναι θετικός κώνος του E Ορισμός 35 Μια θετική προβολή P : E F είναι μια προβολή για την οποία ισχύει P (E + ) F + Η θετική προβολή καλείται αυστηρά θετική αν P (x) F +, P (x) = 0 x E +, x = 0 Ορισμός 36 Τυχαίο πεδίο είναι μια απεικόνιση X : T Ω E, όπου E έιναι ένας Σύνδεσμος -Banach, T ένας τοπολογικός χώρος και X t (ω) E, για κάθε t T Ετσι το τυχαίο πεδίο X καλείται συνδεδεμένο με το ζεύγος (T, E) Ορισμός 37 Η διήθηση που συνδέεται με το ζεύγος (T, E) είναι ένα δίκτυο προβολών (P α ) α A, όπου P α : E E α, με E α να είναι ένας υποσύνδεσμος του E και αν b a, P a P b = P a Το A είναι ένα κατευθυνόμενο σύνολο, ορισμένο από την διμελή σχέση που λέγεται κατεύθυνση Ορισμός 38 Η διμελής σχέση στο A καλείται κατεύθυνση στο A, αν αυτή είναι αυτοπαθής και μεταβατική στο A, όταν για κάθε a, b A τέτοιο ώστε c a, b Ορισμός 39 Αν b a και b a, αυτό υποδηλώνεται από το b a, a, b A Ορισμός 40 Η διήθηση (P α ) α A λέγεται αυστηρά θετική αν (P α ) = 0, x E +, x = 0, a A 18

Ορισμός 41 Το τυχαίο πεδίο X : A Ω E, όπου A T καλείται προσαρμένο στη διήθηση (P α ) α A που είναι συνδεδεμένο με το ζεύγος (T, E) αν X α E α για κάθε α A και A είναι ένα κατευθυνόμενο υποσύνολο του T για κάποια διμελή σχέση η οποία είναι αυτοπαθής,μεταβατική και κάθε ζεύγος έχει ένα άνω όριο Ορισμός 42 Ενα τυχαίο πεδίο X : A Ω E, όπου A T καλείται Martigale αν η προσαρμοσμένη διήθηση (P α ) α A που συνδέεται με το ζεύγος (T, E), όταν P α X b = X α, b α Ορισμός 43 Ενα τυχαίο πεδίο X : A Ω E, όπου A T είναι αυστηρά θετικό Martigale αν η προσαρμοσμένη διήθηση (P α ) α A που συνδέεται με το ζεύγος (T, E) είναι Martigale, όταν η διήθηση (P α ) α A παρέχεται από αυστηρά θετικές προβολές Ας δούμε κάποια παραδείγματα για τους παραπάνω ορισμούς Παράδειγμα 44 Αν A είναι μια υπο-άλγεβρα της σ-άλγεβρας F του Ω, τότε L p (Ω, A, µ) είναι ένας υποσύνδεσμος του L p (Ω, F, µ), 1 p, τότε το L p (Ω, A, µ) είναι μια μη-πλήρης αγορά των χρηματοοικονομικών θέσεων στο L p (Ω, F, µ), 1 p Παράδειγμα 45 Ο υπόχωρος των τμηματικά γραμμικών συναρτήσεων M στον χώρο C[0, 1] είναι μια πλήρης αγορά στο C[0, 1], λόγω του Stone- Weierstrass Θεωρήματος Οι τμηματικά γραμμικές συναρτήσεις που ορίζονται στο [0, 1] είναι στην πραγματικότητα ο υπόχωρος που παράγεται από το δι-σύνολο των συναρτήσεων ϕ 1, ϕ 2, όπου ϕ 1 (t) = 1, t [0, 1], ϕ 2 = t, t [0, 1] Στην περίπτωση όπου ο υπόχωρος του δι-συνόλου είναι ένας σύνδεσμος -υπόχωρος του C[0, 1] Παράδειγμα 46 Ενας υποσύνδεσμος M πεπερασμένης διάστασης του C[0, 1] είναι μια μη-πλήρης αγορά στο C[0, 1] Ως ένας σύνδεσμος -υπόχωρος έχει μια θετική βάση με κόμβους,που ισοδυναμεί με την θετική προβολή P M : C[0, 1] M και ορίζεται ως εξής: P M (X)(t) = n i=1 x(t i ) b(t i ) b i(t), t [0, 1], όπου n = dimm και t 1, t 2,, t n [0, 1] είναι οι κόμβοι της θετικής βάσης M Παράδειγμα 47 Η ακολουθία των υποσυνδέσμων (M n ) n N του C[0, 1] χαρακτηρίζεται απο τα αυξανόμενα μη-τερματικά μέρη της ακολουθίας [t 1, t 2, t n, t n+1, ] [0, 1], 19

στο οποίο οι όροι διαφέρουν με την έννοια ότι t n t m, n m είναι μια διήθηση του C[0, 1], αν t 1 είναι ο κόμβος για τον μονοδιάστατο υποσύνδεσμο M 1, [t 1, t 2 ] είναι το σύνολο των κόμβων της θετικής βάσης του υποσυνδέσμου M 2 κοκ Παράδειγμα 48 Ενα αυξανόμενο δίκτυο από υπο-σ-άλγεβρες (F α ) α A του Ω που είναι το μη-κενό σύνολο και το A είναι μη-κενό ορισμένο σύνολο που οπως είναι γνωστό περιλαμβάνει την ύπαρξη της διήθησης στο L 1 (Ω, F, µ) όπου (Ω, F, µ) είναι η πιθανότητα ο χώρος να συνδέεται με τον μετρήσιμο χώρο (Ω, F) Το σχετικό δίκτυο των υποσυνδέσμων είναι: (L 1 (Ω, F, µ)) α A Αν υποθέσουμε έναν πληθάριθμο α τότε το πλήθος των στοιχείων της σ- άλγεβρας F α θα είναι το πολύ ίσο με 2 α και σίγουρα μεγαλύτερο από α + 1 βάσει της Γενικευμένης Υπόθεσης του Συνεχούς Παράδειγμα 49 Η διήθηση του παραδείγματος 14 δεν είναι αυστηρά θετική Αυτό συμβαίνει επειδή αν επιλέξουμε έναν υποσύνδεσμο M n1 που έχει θετική βάση, οι κόμβοι της θετικής του βάσης είναι το σύνολο: [t 1, t 2,, t n1 ] [0, 1] Αν x(t i ) = 0, i = 1, 2,, n 1 αυτό δεν συνεπάγεται ότι x = 0 αν x 0 Για παράδειγμα, x(t) = n 1 i=1 (t t i) 2 0, αλλά x(t i ) = 0, i = 1, 2,, n 1 Παράδειγμα 50 Αν E είναι ένας σύνδεσμος Banach με διατεταγμένη συνεχή νόρμα και B είναι η ζώνη προβολής, δηλαδή E = B B d, και τότε το B είναι κλειστό ως προς την νόρμα Η προβολή P B : E B είναι αυστηρά θετική αφού ισχύει ότι P B (x) = 0, x E + δηλαδή x = x 1 + x 2 όπου x 1 B και x 2 B d, x 1 = 0 x 2 0 = 0 και x 2 0 και για αυτό τον λόγο x 2 = 0 και τελικά x = 0 Η ίδια κατάσταση ισχύει για τους Kantorovich-Banach χώρους (ή αλλιώσς τους ΚΒ-χώρους) στους οποίους E = E E d Τέτοια παραδείγματα αυτών των χώρων είναι οι αυτοπαθείς Banach σύνδεσμοι όπως L p (Ω, F, µ), 1 < p < και οι AL-χώροι Παράδειγμα 51 Εστω E ένας σύνδεσμος Banach που έχει μια Schauder βάση: {e 1, e 2,, e n, }, n N, η οποία είναι και θετική βάση Επίσης έστω ότι: M n = P n E = [e 1, e 2,, e n ], n N, 20

είναι πεπερασμένης διάστασης υποσύνδεσμοι του E Τότε, (P n ) n N είναι μια διήθηση, επειδή P n P m = P n, m n και P n x = 0 x = 0, x E όταν e 1, e 2,, e n είναι η θετική βάση του M n Αυτό ισχύει για την περίπτωση E = c 0, l 1, l p, 1 < p < 32 Διατακτικές Εκδόχες για τα Θεμελιώδη Θεωρήματα Τιμολόγησης Αξιογράφων Λήμμα 52 Η θετική προβολή P : E M είναι συνεχής τελεστής, όπου E είναι ένας συνδεσμος Banach και M είναι ένας θετικός υποσύνδεσμος αυτού Απόδειξη: Επεται ότι κάθε θετικός τελεστής από έναν σύνδεσμο Banach σε ένα τοπικό στερεό χώρο Riesz, είναι συνεχής Θεώρημα 53 Εστω E είναι ένας σύνδεσμος Banach και M ένας υπόχωρος του E Αν ο M δέχεται μια αυστηρά θετική προβολή, τότε κάθε θετικό και συνεχές συναρτησιακό f : M R δέχεται μια αυστηρά θετική συνεχής επέκταση στο E Επίσης, αν E είναι ένας σύνδεσμος Banach και M ένας υπόχωρος του E έτσι ώστε κάθε θετικό και συνεχές συναρτησιακό f : M R δέχεται μια αυστηρά θετική επέκταση στο E, τότε ο M δέχεται αυστηρά θετική προβολή Απόδειξη: Ο ανάστροφος τελεστής της αυστηρά θετικής προβολής P : E M είναι απεικόνιση εντός Το P : E R είναι ένα συνεχές και αυστηρά θετικό συναρτησιακό του E Αυτό οφείλεται στην ισότητα: x, P (f) = P (x), f, x E Απόδειξη του αντιστρόφου: Ορίζουμε την προβολή P M : E M ως εξής: P M (x) = x, x M P M (x) = 0, x / M Ο P M είναι θετικός τελεστής από έναν συνεχή σύνδεσμο Banach σε έναν τοπικό στερεό χώρο Riesz Άρα από την δυϊκότητα, για κάποιο αυστηρά θετικό συναρτησιακό f ισχύει: x, P M(f) = P M (x), f, x E Άρα υποθέτουμε ότι υπάρχει κάποιο x 0 E + \ {0} τέτοιο ώστε g(x 0 ) = P M (f)(x 0) = 1, ενώ P M (x 0 ) = 0 Αυτό όμως είναι άτοπο 21

Πόρισμα 54 Αν E ένας σύνδεσμος Banach ο οποίος έχει αυστηρά θετική Martigale ιδιότητα ως προς κάποια διήθηση (P α ) α A,όπου A ένα κατευθυνόμενο σύνολο Αν α A έτσι ώστε P α E = M α, τότε κάθε αυστηρά θετικό και συνεχής συναρτησιακό f : M α R δέχεται μια αυστηρά θετική, συνεχή επέκταση στο E Πόρισμα 55 Εστω E ένας σύνδεσμος Banach των χρηματοοικονομικών θέσεων και M μια μη-πλήρης αγορά τέτοια ώστε (M, f) ένα μοντέλο αγοράς Αν M είναι το πεδίο τιμών μιας αυστηρά θετικής προβολής, τότε για κάθε σύστημα τιμών f : M R, το μοντέλο αγοράς είναι βιώσιμο (viable) Θεώρημα 56 Εστω E ένας σύνδεσμος Banach και M ένας πυκνός υποσύνδεσμος του E Αν M είναι μια αυστηρά θετική προβολή, τότε κάθε αυστηρά θετικό και συνεχές συναρτησιακό f : M R δέχεται μια μοναδική αυστηρά θετική, συνεχή επέκταση στο E Επίσης, έστω E ένας σύνδεσμος Banach και M ένας υποσύνδεσμος του E, έτσι ώστε M να είναι το πεδίο τιμών μιας αυστηρά θετική προβολής Επιπλέον, κάθε αυστηρά θετικό και συνεχές συναρτησιακό f : M α R δέχεται μια μοναδική θετική, συνεχή επέκταση στον E Τότε ο M είναι πυκνός στο E Απόδειξη: Οταν ο M είναι πυκνός υποσύνδεσμος του E, ο ανάστροφος τελεστής P : M E της αυστηρά θετικής προβολής P : E M είναι απεικόνηση επί Για κάθε g E υπάρχει κάποιο h M, τέτοιο ώστε g = P (h g ), ή αλλίως από την σχέση: x, P (h g ) = x, g = P (x), h g, x E Πόρισμα 57 Αν E είναι ένας σύνδεσμος Banach με Αυστηρά Θετική Martigale Ιδιότητα ως προς στην διήθηση (P α ) α A, όπου A ένα κατευθυνόμενο σύνολο Αν α 0 είναι ένα στοιχείο του A έτσι ώστε P α0 E = M α0 είναι ένας πυκνός υπόχωρος του E, τότε κάθε αυστηρά θετικό συναρτησιακό f : M α0 R δέχεται μια μοναδική αυστηρά θετική και συνεχή επέκταση στον E Πόρισμα 58 Εστω E είναι ένας σύνδεσμος Banach με οικονομικές θέσεις και M μια πλήρης αγορά, τέτοια ώστε (M, f) είναι ένα μοντέλο αγοράς Αν το M είναι σύνολο τιμών μιας αυστηρά θετικής προβολής, τότε για κάθε σύστημα τιμών f : M R, το μοντέλο αγοράς (M, f) είναι βιώσιμο (viable) Παράδειγμα 59 Εστω (Ω, F, µ) ένας χώρος πιθανότητας με μια m-διάστατη Brown κίνηση B = (B(t)), t [0, T ](m N όπου T > 0 Η διήθηση F = F t1, t [0, T ] είναι η διήθηση της κίνησης Brown δηλαδή F t = σ(b(u), u 22

[0, t]) Υποθέτουμε ότι μια χρηματοοικονομική αγορά αποτελείται απο n + 1 αξιόγραφα, των οποίων οι τιμές μοντελοποιούνται από μια F-προσαρμοσμένη, n + 1-διάσταστη και διαδικάσια X = X(t), t [0, T ](n N) της μορφής X( ) = (X 0 ( ),, X n ( )), όπου: dx 0 (t) = r(t)x 0 (t)dt, dx i (t) = m i (t, X t )dt + σ i (t, X t )db(t), X 0 (0) = 1, µ σβ X i (0) = θ i, µ σβ, όπου σ i ( ) είναι η i-οστή γραμμή (i = 1, 2,, n) του αντίστοιχου n m- πίνακα-διαδικασίας σ i ( ) Η διαδικασία X 0 ( ) εκφράζει την τιμή του ακίνδυνου αξιογράφου ενώ η i-οστή συνηστώσα X i ( ) εκφράζει την εξέλιξη της τιμής του i-οστού αξιογράφου (stock) Η τιμή του ακίνδυνου αξιογράφου είναι η εξίσωση που ανιστοιχεί στο 0- αξιόγραφο Εστω ότι W L 2 (Ω, F)T, µ) Αν (Z t ), t [0, T ] είναι ένα στοχαστικό εκθετικό, τότε ισχυεί η παρακάτω σχέση: E Q (W F) = 1 Z t E(Z T W F t ), µ, Q, σβ, t < T όπου Q είναι το μέτρο πιθανότητας που ορίζεται από F T ως εξής: Q(A) = A Z T dµ, A F T, σύμφωνα με στο Θεώρημα Girsanov-Cameron-Martin Παίρνοντας τι μέσες τιμές πάνω στο µ έχουμε: E µ (W Z T ) = E µ ( 1 Z t E µ (Z T W F t )), όπου η αντίστοιχη δυϊκότητα των τιμών ερμηνεύεται ως εξής: XZ T, 1 = (E µ (Z T X F t )), 1Zt Η δυϊκότητα Riesz σε ζεύγη είναι: L 2 (Ω, F t, µ), L 2 (Ω, F t, µ), L 2 (Ω, F T, µ), L 2 (Ω, F T, µ), όπου η αυστηρά θετική προβολή του P : L 1 (Ω, F T, µ) L 1 (Ω, F t, µ) είναι P (W ) = E µ (W F t ), το θετικά γραμμικό συναρτησιακιακό f : L 1 (Ω, F t, µ) R είναι f(w ) = W, 1 και αυτό δέχεται αυστηρά θετική επέκταση P (f) : Zt L 2 (Ω, F t, µ) R που είναι η P (f)(w ) = W, 1 23

Παράδειγμα 60 Η σχέση: E Q (X F t ) = 1 Z t E µ (Z T X F t ), µ, Q, σβ, t < T, για την μοναδική πιθανή αλλαγή του μέτρου Q, αν η αγορά είναι πλήρης για παράδειγμα στο Black-Scholes μοντέλο και αυτό προκύπτει ανεξάρτητα από την μοναδική λύση της market-price-of-risk ισότητας Παράδειγμα 61 Το παράδειγμα βρίσκεται στο άρθρο [4] Η πραγματική φόρμα για τα στοιχεία του υποχώρου M του l περιγράφεται από την ακόλουθη αυστηρά θετική προβολή: P : l M, (x 1, x 2, x 3, x 4, ) (x 1, x 2, x 1, x 2, x 3, x 4, x 3, x 4, ) Το M είναι ένας υποσύνδεσμος του l κάτω από το συνήθη μερική διάταξη Επίσης, π = ( 1 2 ), n N, ενώ η αυστηρά θετική επέκταση στο π πάνω στο l n υπάρχει μέσα από την διμελή σχέση f(x) = π(p (x)), x l 24

Αναφορές [1] F Delbaen, W Schachermayer, A General Version of the Fundamental Theorem of Asset Pricing, Mathematische Annalen 300 (1994) 463-520 [2] F Delbaen, W Schachermayer, The Fundamental Theorem of Asset Pricing for Unbounded Stochastic Processes, Mathematische Annalen 312 (1998) 215-250 [3] DM Kreps, Arbitrage and Equilirium in Economies with Infinitely Many Commodities, Journal of Mathematical Economics 8 (1981) 15-35 [4] W Schachermayer, No Arbitrage: On the Work of David Kreps, Positivity 6 (2002) 359-368 [5] B Acciaio, M Beiglböck, F Penkner and W Schachermayer, A Model- Free Version of the Fundamental Theorem of Asset Pricing and the Super- Replication Theorem, Mathematical Finance (to appear) [6] V G Troitsky, Martingales in Banach lattices, Positivity 9 (2005) 437-456 [7] C Kountzakis, I A Polyrakis, The Completion of Security Markets, Decisions in Economics and Finance 29 (2006) 1-21 [8] E Casini, E Miglierina, IA Polyrakis, F Xanthos, Reflexive Cones, Positivity 17 2013) 911-933 [9] DB Rokhlin, The Kreps-Yan Theorem for l, International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences, 17 (2005) 2749-2756 [10] DB Rokhlin, The Kreps-Yan Theorem for Ideal Banach Spaces, Siberian Mathematical Journal, 50 (2009) 162-166 [11] I A Polyrakis, Finite -Dimensional Lattice-Subspaces of C(Ω) and Curves of R n, Transactions of the American Mathematical Society, 348 (1996) 2793-2810 [12] W Schachermayer, A Hilbert Space Proof of the Fundamental Theorem of Asset Pricing in Finite Discrete Time, Insurance: Mathematics and Economics 11 (1992) 249-257 25

[13] I A Polyrakis, Minimal Lattice Subspaces, Transactions of the American Mathematical Society 351 (1999) 4183-4203 [14] I A Polyrakis, Linear Optimization in C(Ω) and Portfolio Insurance, Optimization 52 (20003) 221-239 [15] M Magill, M Quinzii, Theory of Incomplete Markets MIT Press, 1996 [16] M Musiela, M Rutkowski, Martingale Methods in Financial Modelling Applications of Mathematics- Mathematical Modelling and Applied Probability 36, Springer, 1997 [17] G Jameson, Ordered Linear Spaces, Lecture Notes in Mathematics, Vol141, Springer-Verlag, 1970 [18] R E Megginson, An Introduction to Banach Spaces, Springer, New York, 1998 [19] C Bessaga, A Pelczynński, On bases and unconditional convergence of series in Banach spaces, Studia Mathematica 17 (1958) 151-164 [20] CD Aliprantis, KC Border, Infinite Dimensional Analysis, A Hitchhiker s Guide, (third edition), Springer, 2005 26