ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 Ο : ΑΝΑΛΥΣΗ ΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ 1
Γενικεύοντας τη μέθοδο των ελαχίστων βρόχων έχουμε: Α)Μετατρέπουμε τις πηγές ρεύματος του κυκλώματος σε πηγές τάσης. Β) Ορίζουμε και αριθμούμε τους βρόχους. Γ) Σε κάθε βρόχο ορίζουμε ένα ρεύμα βρόχου με δεξιόστροφη φορά Δ) Γράφουμε τις εξισώσεις για κάθε βρόχο. Το αριστερό μέρος κάθε εξίσωσης είναι το διανυσματικό άθροισμα όλων των πηγών τάσης του βρόχου που μελετάμε. Το δεξιό μέρος των εξισώσεων είναι το διανυσματικό άθροισμα όλων των πτώσεων τάσης πάνω στις αντιστάσεις του βρόχου που μελετάμε.
Ε) Γράφουμε τις εξισώσεις με βάση το πιο πάνω: E I Z I Z I Z... I Z S1 1 11 1 3 13 n 1n E I Z I Z I Z... I Z S 1 1 3 3 n n E I Z I Z I Z... I Z S 3 1 31 3 3 33 n 3n................ ESn I Zn I Zn I Z n... In Z 1 1 3 3 nn E Si Όπου, το διανυσματικό άθροισμα όλων των πηγών τάσης του βρόχου i Z ij i j η σύνθετη μιγαδική αυτοαντίσταση που είναι διανυσματικό άθροισμα όλων των Ζ του βρόχου i Z ij i j η σύνθετη μιγαδική κοινή αντίσταση που είναι το διανυσματικό άθροισμα όλων των Ζ των βρόχων i και j. 3
Στη μέθοδο των κόμβων ακολουθούμε τα πιο κάτω βήματα: Α) Μετατρέπουμε όλες τις πηγές τάσης σε πηγές ρεύματος. Β) Μετατρέπουμε όλες τις σύνθετες μιγαδικές αντιστάσεις σε σύνθετες μιγαδικές αγωγιμότητες Y. Γ) Ορίζουμε τους κόμβους του κυκλώματος και τους απαριθμούμε. Ένας από όλους τους κόμβους ορίζεται ως κόμβος αναφοράς και συμβολίζεται με 0 (συνήθως ο κόμβος στον οποίο καταλήγουν οι περισσότεροι κλάδοι). Δ) Στη συνέχεια δίνουμε σε κάθε κόμβο μια τάση ως προς τον κόμβο αναφοράς και έχουμε τις τάσεις U 1, U, U 3.U m. Οι τάσεις έχουν θετικοί πολικότητα στον κόμβο που εξετάζουμε και αρνητική στον κόμβο αναφοράς. Ε) Γράφουμε τις εξισώσεις των κόμβων I U Y U Y U Y... U Y 1 1 11 1 3 13 n 1n I U Y U Y U Y... U Y 1 1 3 3 n n................ In U Yn U Yn U Y n... Un Y 1 1 3 3 nn Z 4
Όπου, I Si το διανυσματικό άθροισμα όλων των πηγών ρεύματος που καταλήγουν στον i κόμβο. Y ij i j η σύνθετη μιγαδική αγωγιμότητα που είναι διανυσματικό άθροισμα όλων των Υ που καταλήγουν άμεσα με τον κόμβο i Y ij i j η σύνθετη μιγαδική κοινή αγωγιμότητα που είναι το διανυσματικό άθροισμα όλων των Υ που συνδέουν απ ευθείας τους κόμβους i και j. 5
H μέθοδος αυτή είναι γνωστή και ως μέθοδος των κλαδικών ρευμάτων και βασίζεται στους δυο νόμους του Kirchhoff και στο νόμο του Ohm. Ακολουθούμε τα πιο κάτω βήματα: Α) Ορίζουμε σε κάθε κλάδο ένα ρεύμα με αυθαίρετη φορά. Β) Με βάση τα ρεύματα αυτά ορίζουμε την πτώση τάσης και την πολικότητα σε κάθε αντίσταση του κυκλώματος. Γ) Μετράμε τους βρόχους (οφθαλμούς) και γράφουμε με βάση το δεύτερο νόμο του Kirchhoff τόσες εξισώσεις όσοι είναι και οι βρόχοι. Δ) Μετράμε τους κόμβους του κυκλώματος. Αν έχουμε n κόμβους τότε γράφουμε n-1 εξισώσεις σύμφωνα με τον πρώτο νόμο του Kirchhoff. 6
Συμμετρικό κύκλωμα είναι εκείνο το κύκλωμα στο οποίο υπάρχει άξονας συμμετρίας γύρω από τον οποίο υπάρχουν δύο όμοια δικτυώματα του κυκλώματος. Η ομοιότητα αναφέρεται μόνο στα παθητικά στοιχεία RLC και όχι στις πηγές που μπορεί να υπάρχουν. Ως προς τις διεγέρσεις (πηγές) διακρίνουμε τις παρακάτω περιπτώσεις: Α. Συμμετρική διέγερση όταν Ε 1 = Ε B. Αντισυμμετρική διέγερση όταν Ε 1 = -Ε Γ. Αυθαίρετη διέγερση όταν Ε 1 Ε 7
Στην περίπτωση της συμμετρικής διέγερσης διαιρούμε το κύκλωμα σε δύο τμήματα συμμετρικά ως προς τον άξονα συμμετρίας και επιλύουμε μόνο το ένα τμήμα του κυκλώματος. Γενικά στα συμμετρικά κυκλώματα με συμμετρική διέγερση δεν κυκλοφορεί κανένα ρεύμα στους αγωγούς που τέμνονται από τον νοητό άξονα συμμετρίας. Έτσι εξετάζεται μόνο το ένα τμήμα στο οποίο έχουμε τα σημεία τομής του με τον άξονα συμμετρίας ως ανοιχτό κύκλωμα. 8
Στο συμμετρικό κύκλωμα με αντισυμμετρική διέγερση κάθε τάση ή ρεύμα που υπολογίζεται για το Ν 1 θα είναι ίση και αντίθετη με την αντίστοιχη του Ν. Έτσι U αβ = - U α β = 0, γενικά όλα τα σημεία πάνω στο άξονα συμμετρίας χχ έχουν τάσεις ίσες με μηδέν. Για να αναλυθεί ένα συμμετρικό κύκλωμα με αντισυμμετρική διέγερση αρκεί να αναλύσουμε το μισό κύκλωμα π.χ. το Ν 1 βραχυκυκλώνοντας όλα τα σημεία τομής με τον άξονα συμμετρίας. Οι αποκρίσεις στο άλλο μισό θα είναι ίσες και αντίθετες. 9
Στο συμμετρικό κύκλωμα με αυθαίρετη διέγερση π.χ. Ε 1 Ε μπορούμε τις δυο πηγές να τις εκφράσουμε ως εξής: 1 1 1 και Κάθε πηγή μπορεί να θεωρηθεί ως επαλληλία δυο άλλων πηγών: Μιας συμμετρικής Και μιας αντισυμμετρικής 1 1 1 a 1 Οι αποκρίσεις στα διάφορα στοιχεία του κυκλώματος θα είναι η επαλληλία των αποκρίσεων που οφείλονται στις δύο αυτές πηγές. 10
Σε ορισμένα κυκλώματα εμφανίζεται συμμετρία ως προς δύο άξονες τον οριζόντιο χχ και τον κατακόρυφο yy. Έστω ότι οι πηγές Ε 1 και Ε έχουν αυθαίρετη τιμή Ε 1 Ε 11
Το πρόβλημα μπορεί να λυθεί με επαλληλία δύο πηγών: Μιας συμμετρικής 1 Και μιας αντισυμμετρικής a 1 1