Λ υ σ α ρ ι Μ α θ η μ α τ ι κ α B Γ υ μ ν α σ ι ο υ Α λ γ ε β ρ α Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς
1 E ν ν ο ι α Μ ε τ α β λ η τ η ς Α λ γ. Π α ρ α σ τ α σ ε ι ς Ε ρ ω τ η σ ε ι ς Κ α τ α ν ο η σ η ς 1. 1 1. Να αντιστοιχισετε καθε στοιχειο της στηλης Α του παρακατω πινακα με ενα στοιχειο της στηλης Β. Ειναι + 5-3 = ( + 5-3) = 4-3 + 4 = (1-3 + 4) = - + 3-6 = (- 1 + 3-6) = - 4 - + 4-7 = (- + 4-7) = - 5. Για καθε αλγεβρικη παρασταση της 1 η ς στηλης του παρακατω πινακα δινονται τρεις απαντησεις Α, Β και Γ, απο τις οποιες μια μονο ειναι σωστη. Να επιλεξετε την σωστη απαντηση. Ειναι - 4 + 6 = (- 4 + 6 ) = 4 3y - 3y + 4y = ( 3-3 + 4) y = 4y - 5α +3α - α = (- 5 + 3-1)α = - 3α 3α - 4β + 4β 5α = (3-5)α + (- 4 + 4)β = - α ΣΤΗΛΗ Α ΣΤΗΛΗ Β + 5 3 i) 4 3 + 4 ii) 5 γ) + 3 6 iii) 4 δ) + 4 7 iv) ΣΤΗΛΗ Α Α Β Γ 4 + 6 = 1 4 3y 3y + 4y = 4y 10y 5y γ) 5α + 3α α = 3α - 3α 9α δ) 3α 4β + 4β 5α = 8α + 8β α α ΣΤΗΛΗ Β (iii) (iv) γ) (i) δ) (ii) ΣΤΗΛΗ Α ΣΤΗΛΗ Β a Γ β Α γ Β δ Γ 3. Να αντιστοιχισετε καθε παρασταση της στηλης Α με την ιση της παρασταση που βρισκεται στην στηλη Β. ΣΤΗΛΗ Α ΣΤΗΛΗ Β (3 + 5) + ( - 6 ) i) 4 + 11 (- 3 + 5) - ( - 6) ii) 4 + 1 γ) (- 3 + 5) - ( + 6) iii) - 4-1 δ) - (3 + 5) - ( - 6) iv) 4-1
E ν ν ο ι α Μ ε τ α β λ η τ η ς Α λ γ. Π α ρ α σ τ α σ ε ι ς Ε ρ ω τ η σ ε ι ς Κ α τ α ν ο η σ η ς 1. 1 Ειναι (3 + 5) + ( - 6 ) = 3 + 5 + - 6 = 4-1 (- 3 + 5) - ( - 6) = - 3 + 5 - + 6 = - 4 + 11 (- 3 + 5) - ( + 6) = - 3 + 5 - - 6 = - 4-1 - (3 + 5) - ( - 6) = - 3-5 - + 6 = - 4 + 1 ΣΤΗΛΗ Α ΣΤΗΛΗ Β (iv) (i) γ) (iii) δ) (ii)
3 E ν ν ο ι α Μ ε τ α β λ η τ η ς Α λ γ. Π α ρ α σ τ α σ ε ι ς Α σ κ η σ ε ι ς 1. 1 1. Να χρησιμοποιησετε μεταβλητες για να εκφρασετε με μια αλγεβρικη παρασταση τις παρακατω φρασεις Το τριπλασιο ενος αριθμου αυξημενο κατα 1 Το αθροισμα δυο αριθμων πολλαπλασιασμενο επι 9 γ) Την περιμετρο ενος ορθογωνιου που το μηκος του ειναι m μεγαλυτερο απο το πλατος του. Εστω ο αριθμος. Τοτε «το τριπλασιο» : 3 «αυξημενο κατα 1» : + 1 «το τριπλασιο του αυξημενο κατα 1» : 3 + 1 Αν, y ειναι οι δυο αριθμοι Τοτε «το αθροισμα τους πολλαπλασιασμενο επι 9» : 9( + y) γ) Αν ειναι το πλατος του ορθογωνιου, τοτε το μηκος ειναι +. Τοτε «η περιμετρος του ορθογωνιου» : + ( + ) + + (+ ) = + + + + + = 4 + 4. Να χρησιμοποιησετε μια μεταβλητη για να εκφρασετε με μια αλγεβρικη παρασταση τις παρακατω φρασεις. Το συνολικο ποσο που θα πληρωσουμε για να αγορασουμε 5kg πατατες, αν γνωριζουμε την τιμη του 1kg. Την τελικη τιμη ενος προϊοντος, αν γνωριζουμε οτι αυτη ειναι η αναγραφομενη τιμη συν 19% ΦΠΑ. Εστω η τιμη του 1kg. Τοτε κοστος των 5 κιλων δινεται απο την παρασταση : 5. Εστω η αναγραφομενη τιμη. Τοτε ο ΦΠΑ ειναι 19 100 = 0,19. Ετσι, η τιμη που θα πληρωσουμε δινεται απο την παρασταση : + 0,19 = 1,19
Π ρ α ξ ε ι ς μ ε Π ρ α γ μ α τ ι κ ο υ ς Α ρ ι θ μ ο υ ς 4 Α σ κ η σ ε ι ς 1. 1 3. Να απλοποιησετε τις παραστασεις 0-4 + - 7α - 8α - α γ) 14y + 1y + y δ) 14ω - 1ω - ω + 3ω ε) - 6 + 3 + 4 - στ) β - β + 3β - 4β 0-4 + = (0 4 + 1) = 17 γ) δ) 14y + 1y + y = (14 + 1 + 1)y = 7y ε) στ) - 7α - 8α - α = (- 7 8 1)a = - 16α 14ω - 1ω - ω + 3ω = (14-1 1 + 3)ω = 4ω - 6 + 3 + 4 - = (- 6 + 4) + 1 = - + 1 β - β + 3β - 4β = (1 + 3 4)β = - β 4. Να απλοποιησετε τις παραστασεις - 4y + 3 + 3y 6ω - ω + 4α + 3ω + α γ) + y - 3-4y δ) - 8 + ω + 3ω + - - 4y + 3 + 3y = ( + 3) + (- 4 + 3)y = 5 - y 6ω - ω + 4α + 3ω + α = (6 + 3)ω + (4 + 1)α = 7ω + 5α γ) + y - 3-4y = (1 3) + ( 4)y = - - y δ) - 8 + ω + 3ω + - = (- 8 + 1) + (1 + 3)ω = - 7 + 4ω 5. Να απλοποιησετε τις παραστασεις Α και Β και στη συνεχεια να υπολογισετε την τιμη τους Α = 3( + y) - ( + y), οταν = 1 και y = - Β = 5(α - 3 + 3(4β -, οταν α = - 3 και β = 5 Α = 3( + y) - ( + y) = 3 + 6y - 4 - y = (3 4) + (6 )y = - + 4y Για = 1 και y = - τοτε Α = - 1 + 4(- ) = - 1-8 = - 9
5 Π ρ α ξ ε ι ς μ ε Π ρ α γ μ α τ ι κ ο υ ς Α ρ ι θ μ ο υ ς Α σ κ η σ ε ι ς 1. 1 Β = 5(α - 3 + 3(4β - = 10α - 15β + 1 β - 3α = (10-3)α + (- 15 + 1)β = 7α - 3β Για α = - 3 και β = 5 τοτε Β = 7(- 3) 3 5 = - 1-15 = - 36 6. Να υπολογιστει η τιμη των παραστασεων Α = (α - 3 + 3(α + οταν α = 0,0 και β = 005 Β = 3( + y) + ( 3 + y) + y οταν + y = 1 9 Α = (α - 3 + 3(α + = α - 6β + 3α + 6β = ( + 3)α + (- 6 + 6)β = 5α Για α = 0,0 τοτε Α = 5 0,0 = 0,1 Β = 3( + y) + ( 3 + y) + y = 3 + 6y + 6 + y + y = (3 + 6) + (6 + + 1)y = 9 + 9y = = 9( + y) Για + y = 1 9 τοτε Β = 9 1 9 = 9 9 = 1 7. Οι διαιτολογοι για να εξετασουν αν ενα ατομο ειναι αδυνατο η Β παχυ χρησιμοποιουν τον αριθμο (δεικτης σωματικου βα- υ ρους η body mass inde, δηλαδη ΒΙΜ), οπου Β το βαρος του ατομου και υ το υψος του σε μετρα. Αναλογα με το αποτελεσμα αυτο το ατομο κατατασσεται σε κατηγορια συμφωνα με τον παρακατω πινακα ΓΥΝΑΙΚΕΣ ΑΝΔΡΕΣ Κανονικο βαρος 18,5 3,5 19,5 4,9 1ος βαθμος παχυσαρκιας 3,6 8,6 5 9,9 ος βαθμος παχυσαρκιας 8,7 40 30 40 3ος βαθμος παχυσαρκιας πανω απο 40 πανω απο 40 Να χαρακτηρισετε : τον Γιωργο με βαρος 87 κιλα και υψος 1,75 μετρα. την Αλεκα με βαρος 64 κιλα και υψος 1,4 μετρα. γ) τον εαυτο σας.
Π ρ α ξ ε ι ς μ ε Π ρ α γ μ α τ ι κ ο υ ς Α ρ ι θ μ ο υ ς 6 Α σ κ η σ ε ι ς 1. 1 Ειναι Β 87 87 = = 8, 4 υ 1,75 3,065 επομενως ο Γιωργος εχει 1 ο βαθμο παχυσαρκιας Β 64 64 = = 31,7 υ 1,4,0164 επομενως η Αλεκα εχει ο βαθμο παχυσαρκιας γ) Να λυθει απο τον αναγνωστη
7 Ε ξ ι σ ω σ ε ι ς 1 ο υ Β α θ μ ο υ Ε ρ ω τ η σ ε ι ς Κ α τ α ν ο η σ η ς 1. 1. Στις παρακατω ισοτητες να συμπληρωσετε τον αριθμο που λειπει 5 +... = 35 5... = 35 γ) 17 -... = 103 δ) 3 -... = 35 ε) 14 +... = 5 στ)... + 3 = 17 Αν ειναι ο ζητουμενος αριθμος, τοτε γ) 5 + = 35 5 = 35 17 - = 103 = 35-5 = 35 5 = 30 = 7 = 4 δ) ε) στ) = 17-103 3 - = 35 14 + = 5 + 3 = 17 = 3-35 = 5-14 = 17-3 = - 3 = - 9 = 14 Οποτε = 14 = 7 5 + 30 = 35 5 7 = 35 γ) 17-4 = 103 δ) 3 (- 3) = 35 ε) 14 + (- 9) = 5 στ) 7 + 3 = 17. Να εξετασετε αν οι παρακατω ισοτητες ειναι σωστες (Σ) η λανθασμενες (Λ) Η εξισωση = 6 εχει λυση τον αριθμο 3. Η εξισωση + = ειναι ταυτοτητα. γ) Οι εξισωσεις + 1 = 5 και + 5 = 1 εχουν λυση τον ιδιο αριθμο. δ) Η εξισωση 3 = 0 ειναι ταυτοτητα. ε) Η εξισωση 0 = 0 ειναι αδυνατη. (Σ) αφου : 3 = 6, ο αριθμος 3 ειναι λυση της εξισωσης. (Λ) αφου : + = η = 0 η = 0 (η εξισωση εχει λυση μονο τον αριθμο 0). γ) (Σ) αφου : +1=5 =5-1 =4 =4 η η η αρα κοινη λυση - +5 =1 - =1-5 - =- 4 =4
Ε ξ ι σ ω σ ε ι ς 1 ο υ Β α θ μ ο υ 8 Α σ κ η σ ε ι ς Π ρ ο β λ η μ α τ α 1. 1 Α δ) (Λ) αφου : 3 = 0 η = 0 3 η = 0 (η εξισωση εχει λυση μονο τον αριθμο 0). ε) (Λ) αφου : η εξισωση επαληθευεται για οποιαδηποτε τιμη του, δηλαδη ειναι ταυτοτητα. 3. Να αντιστοιχισετε καθε εξισωση της στηλης Α με την λυση της στην στηλη Β. = 4 η = 4-3 = 9 η = - 9 3 γ) ΣΤΗΛΗ Α ΣΤΗΛΗ Β - = 4 i) - 8 3 = - 9 ii) 3 γ) 1 = - 4 iii) - δ) = 3 + iv) - 3 η = η = 3 1 = 4 η = 4 η = 8 δ) = 3 + η = 3 η = 3 ΣΤΗΛΗ Α ΣΤΗΛΗ Β iii) iv) γ) i) δ) ii)
9 Ε ξ ι σ ω σ ε ι ς 1 ο υ Β α θ μ ο υ Α σ κ η σ ε ι ς 1. 1. Να εξετασετε αν ο αριθμος που δινεται ειναι λυση της εξισωσης + 3 = 1 = 7 3 + 5 = 7,5 = 0,5 γ) 3 + 4 = 7 6 = 1 Με αντικατασταση του απο το 7 : ( 7) + 3 = 1 14 + 3 = 1 17 = 1 ψευδες, οποτε ο 7 δεν ειναι λυση της εξισωσης Με αντικατασταση του απο το 0,5 : 3 0,5 + 5 = 7,5 1,5 + 5 = 7,5 6,5 = 7,5 ψευδες, οποτε ο 0,5 δεν ειναι λυση της εξισωσης γ) Με αντικατασταση του απο το 1 : 3 1 + 4 = 7 1 6 3 + 4 = 7 6 1 = 1 αληθες, οποτε ο 1 ειναι λυση της εξισωσης. Να λυσετε τις εξισωσεις + 1 = 4 + 5 9 + 7y + y = 1 y γ) 3t 3( t + 1) = t + ( t + 1) + 1 + 1 = 4 + 5 η - = 4 5-1 η = - 9 + 7y + y = 1 y η 7y + y + y = 1 + 9 η 10y = 10 η y = 10 10 η y = 1 γ) 3t 3(t + 1) = t + (t + 1) + 1 η 3t - 3t - 3 = t + t + + 1 η 3t - 3t t - t = + 1 + 3 η - 3t = 6 η t = 6-3 η t = -
Ε ξ ι σ ω σ ε ι ς 1 ο υ Β α θ μ ο υ 10 Α σ κ η σ ε ι ς 1. 3. Να λυσετε τις εξισωσεις 4( + 1) 6( 1) = 3( + ) 3(y + 1) + (y 4) = y (y 6) γ) 6(ω + ) + 3 = 3 (ω 4) 4( + 1) 6( 1) = 3( + ) η 8 + 4 6 + 6 = 3 + 6 η 8 6-3 = 6-6 - 4 η - = - 4 η = 4 3(y + 1) + (y 4) = y (y 6) η 3y + 3 + y - 8 = y - y + 6 η 3y + y - y + y = 6 + 8-3 η 4y = 11 η y = 11 4 γ) 6(ω + ) + 3 = 3 (ω 4) η 6ω + 1 + 3 = 3 - ω + 8 η 6ω + ω = 3 + 8 1-3 η 8ω = - 4 η ω = + 3 3-5 = 4 4-8 η ω = 4. Να λυσετε τις εξισωσεις + 3 3-5 = 4 4-3 = - 5-6 η = - 11 7-6 5 + = 3 4 η η 1 - + 3 3-5 4 =4 η ( + 3) = 1(3-5) η 4 + 6 = 3-5 η 4 7-6 5 + 1 =1 η 4(7-6) = 3(5 + ) η 8-4 = 15 + 6 η 3 4 8-15 = 6 + 4 η 13 = 30 η = 30 13 7-6 5 + = 3 4 γ ) ( -1)- 1-3 = 4 γ ) (-1)- 1-3 = 4 η (-1)- 1-3 4 =4 η [( - 1) - ] = 1 (1-3) η 4 ( - ) = 1-3 η 4 4-4 = 1-3 η 4 + 3 = 1 + 4 + 4 η 7 = 9 η = 9 7
11 Ε ξ ι σ ω σ ε ι ς 1 ο υ Β α θ μ ο υ Α σ κ η σ ε ι ς 1. 5. Να λυσετε τις εξισωσεις + 4-4 1-3 - = - 5 3 15 y - 1 y +7 1-3y - = y + 3 6 1 γ) 4 (ω + 4) 7 = (1 ω) 1 7 + ω-3 4 + 4-4 1-3 - = - 5 3 15 η + 4-4 1-3 15-15 =15-15 η 5 3 15 3( + 4) - 5( - 4) = 1(1-3) - 30 η 3 + 1-5 + 0 = 1-3 - 30 η 3-5 + 3 = 1 30 1-0 η = - 61 y - 1 y +7 1-3y - =y+ 3 6 η y - 1 y +7 1-3y 6-6 =6 y+6 η 3 6 (y - 1) - 1(y + 7) = 6y + 3(1-3y) η y - y - 7 = 6y + 3-9y η y - y + 9y - 6y = 3 + + 7 η 3y = 1 η y = 1 3 γ ) 1 4 (ω + 4) 7 = (1 ω) 1 7 + ω-3 4 8 ω 4 + 8 1 8 7 = 8 1 7-8 ω 7 η η y = 4 ω 4 + 1-7 = 1 7 - ω 7 + ω-3 4 + 8 ω-3 4 7ω + 8 196 = 4-4ω + 7( ω - 3) η 7ω + 8-196 = 4-4ω + 7ω - 161 η 7ω + 4ω - 7ω = 4-161 - 8 + 196 η 4ω = 11 η ω = 11 4 6. Να λυσετε τις εξισωσεις 3-5 3 = 6-3 5 η t + 1 1+ t + 3 η = 1 t + 5 t - 6 3-5 3 = 6-3 η 3-3 + 5 = 6-3 + η 3 3 3 3 + 3 5 = 3 6 3 3 + 3 η 9 - + 15 = 18 + 6 η
Ε ξ ι σ ω σ ε ι ς 1 ο υ Β α θ μ ο υ 1 Α σ κ η σ ε ι ς 1. 9 - + = 18 + 6-15 η 8 = 9 η = 9 8 5 t + 1 1+t + 3 = 1 6 5 6 t + 1-6 1 + t 3 t + 5 t- 6 η 5 - t + 1-1 + t 3 = 6 1 6t + 6 t + 5 6 30-3( t + 1) - ( 1 + t) = 7-6t + 1( t + 5) η η = 1 t + t + 5 6 30-3t - 3-4t = 7-6t + t + 5 η - 3t - 4t + 6t - t = 7 + 5-30 + 3 + η - t = 5 η t = 5 - η t = - 6 7. Να λυσετε τις εξισωσεις 1 + 1 = 1 3 1 + 4 1 + 1 = η 3 1 + 1 3 = 1 1 1+ 4 1 + 4 η 3 + 3 = 1 + 1 4 η 4 3 + 3 (3 + 3) = 4 + 1 η 6 + 6 = 5 η 6 = 5-6 η 6 = - 1 η = 1 t t- 1-3 = 1 1 + - η 3t - 1 = 5-5t 4 1 t t- 1-3 = 4 1 4 1 + - η 1 t t- 1-3 = 5 3 η 4 3t 4 1 = 4 5-4 5t 4 1t + 5t = 10 + η 17t = η t = 1 17 1 t t - 1-3 = 1 1 + - η 1-6 3 1 5 t t- = 1-3 η η 1t - = 10-5t η = 4 1 + 4 1 4 η η
13 Ε ξ ι σ ω σ ε ι ς 1 ο υ Β α θ μ ο υ Α σ κ η σ ε ι ς 1. 8. Για ποια τιμη του ειναι Α = Β Α = 5 3, B = 1 A = ( 1) + 3, B = 6 + 3 Α = Β η 5 3 = 1 η 5 + = 1 + 3 η 7 = 15 η = 15 7 Α = Β η ( 1) + 3 = 6 + 3 η 6 ( 1) + 6 3 = 6 6 + 6 3 1 - = 36 + 1-9 η 10 = 39 η = 39 10 9. Δινεται η εξισωση μ( + 6) = ( μ 1) + Αν μ =, να αποδειξετε οτι η εξισωση εχει λυση = 8. Αν η εξισωση εχει λυση = 7, να αποδειξετε οτι μ = 3. γ) Αν μ = 1, να λυσετε την εξισωση. Για μ = η εξισωση δινει : η 1( - 1) + 9 = 36 + η 1-1 + 9 = 36 + η ( + 6) - = ( - 1) + η + 1 - = 4 - + η - 4 + = - 1 + η - = - 8 η = 8 Για = 7 η εξισωση δινει : μ(7 + 6) - = (μ - 1) 7 + η 13μ - = 14μ - 7 + η 13μ - 14μ = - 7 + + η - μ = - 3 η μ = 3 γ) Για μ = 1 η εξισωση δινει : 1 ( + 6) - = ( 1-1) + η + 6 - = + η - = - 6 + η 0 = - η εξισωση ειναι αδυνατη.
Ε ξ ι σ ω σ ε ι ς 1 ο υ Β α θ μ ο υ 14 Α σ κ η σ ε ι ς 1. 10. Δινεται το διπλανο τριγωνο. Να βρειτε την τιμη του ωστε να ειναι ισοσκελες με βαση την ΒΓ. Ποιο ειναι σε αυτη την περιπτωση το μηκος της καθε πλευρας ; Να βρειτε την τιμη του ωστε να ειναι ισοσκελες με βαση την ΑΒ. Ποιο ειναι σε αυτη την περιπτωση το μηκος της καθε πλευρας ; γ) Να αποδειξετε οτι δεν υπαρχει τιμη του ωστε να ειναι ισοσκελες με πλευρα την ΑΓ. Το τριγωνο ισοσκελες με βαση ΒΓ, οποτε ΑΒ = ΑΓ η + 3 = + 5 η - = 5-3 η = Ετσι ΑΒ = + 3 = 4 + 3 = 7 ΑΓ = + 5 = 7 ΒΓ = + 1 = 4 + 1 = 5 Το τριγωνο ισοσκελες με βαση ΑΒ, οποτε ΑΓ = ΒΓ η + 5 = + 1 η - = 1-5 η - = - 4 η = 4 Ετσι ΑΒ = 4 + 3 = 8 + 3 = 11 ΑΓ = 4 + 5 = 9 ΒΓ = 4 + 1 = 9 γ) Το τριγωνο ισοσκελες με βαση ΑΓ, οποτε ΑΒ = ΒΓ η + 3 = + 1 η - = 1-3 η 0 = - η εξισωση ειναι αδυνατη. 11. Δινεται το ορθογωνιο του διπλανου σχηματος. Να βρειτε τους αριθμους, y και ω (το ω παριστανει μοιρες) Aπ το ορθογωνιο: M at h Com poser 1. 1. 5 ht t p: / / www. m at hcom poser. c om 3-1 + 3 B A + 1 y + 3 ω 40 0 + 5 Γ 11 3-1 = 11 η 3 = 11 + 1 η 3 = 1 η = 1 3 η = 4 y + 3 = 15 - y η y + y = 15-3 η 4y = 1 η y = 1 4 ω - 40 ο = 90 ο η ω = 90 ο + 40 ο η ω = 130 ο η ω = 130 η y = 3 η ω = 65 ο
15 Ε ξ ι σ ω σ ε ι ς 1 ο υ Β α θ μ ο υ Γ ι α Δ ι α σ κ ε δ α σ η 1. Μπορειτε να συμπληρωσετε τα κενα στα παρακατω αριθμητικα σταυρολεξα ; + 5 = 11 + = + + + + + 4 = = = = = 13 17 + 39 = 3 + 5 = 11 3 5 + 7 = + + + + 7 + 4 = 18 = = = = 13 17 + 39 = 60 + - = -11-3 + = -7 + + + + -3 + -9 = = = = = -14-6 + -1 = 3-3 + - = -11-3 1 + -4 = -7 + + + + -5-3 + -9 = 6 = = = = -14-6 + -1 = 83
Ε π ι λ υ σ η Τ υ π ω ν 16 Ε ρ ω τ η σ ε ι ς Κ α τ α ν ο η σ η ς 1. 3 1. 1.. 3. 4. Η σχεση 3α = βγ, αν λυθει ως προς α, γινεται : Η σχεση α = β + γδ, αν λυθει ως προς β, γινεται : Η σχεση α = β + γδ, αν λυθει ως προς γ, γινεται : γ Η σχεση α = β(1+ ) δ, αν λυθει ως προς γ, γινεται : 3α = βγ η α = β + γδ η β = α - γδ α = β + γδ η βγ α= 3 1 Γ α-β γ = δ γ βγ (α-δ α =β(1+ ) η α =β+ η γ = δ δ β Α Β Γ Δ α = βγ - 3 α = 3βγ βγ α = 3 4 β = γδ - α γ = α β - δ (α - δ γ = β β = α - γδ α γ = -δ β γ = (α δ Β 3 Γ 4 Α α β = γδ α-β γ = δ γδ β = α αβ γ = δ αδ γ = β γ = (α β 1)δ
17 Ε π ι λ υ σ η Τ υ π ω ν Α σ κ η σ ε ι ς 1. 3 Να επιλυσετε τους παρακατω τυπους των μαθηματικων και της φυσικης ως προς την μεταβλητη που ζητειται 1. Μηκος κυκλου L = πρ ως προς ρ. Περιμετρος ορθογωνιου Ρ = + y ως προς y 3. Εμβαδον παραπλευρης επιφανειας κυλινδρου Ε = πρυ ως προς ρ 4. Εξισωση ευθειας α + βy + γ = 0 ως προς y με β 0 5. Εμβαδον παραλληλεπιπεδου Ε = ( y + y ω + ω) ως προς ω 6. Ταχυτητα στην ευθυγραμμη ομαλη κινηση υ = S t 7. Εμβαδον τραπεζιου Ε = 8. α S = ως προς λ 1- λ 9. Ρ = Ρο + εh, ως προς h 10. Q = mcθ, ως προς c 11. q q F = Kc 1 r 1. 1. ως προς q 1 β + B S = υοt + 1 gt ως προς υο L = πρ η πρ = L η ρ = L π. υ ως προς β ως προς t Ρ = + y η Ρ - = y η y = Ρ - η y = Ρ - 3. E Ε = πρυ η πρυ = E η ρ = πυ
Ε π ι λ υ σ η Τ υ π ω ν 18 Α σ κ η σ ε ι ς 1. 3 4. α + βy + γ = 0 η βy = - α γ η y = - α -γ β 5. Ε = ( y + y ω + ω) η Ε = y + yω + ω η E - y = yω + ω η E - y = ω(y + ) η ω(y + ) = Ε - y η ω = Ε -y y + 6. υ = S t η υt = S η t = S υ 7. Ε = β + B υ βυ = Ε - Βυ η β = 8. S = α 1-λ λ = S -α S 9. η Ε = (β + Β)υ η Ε = βυ + Βυ η Ε Βυ = βυ η Ε - βυ υ η (1 - λ) S = (1 - λ) Ρ - Ρο = εh η εh = P - Po η h = 10. mcθ = Q η c = Q mθ 11. q q F = Kc r 1 α 1-λ η r F = r q q Kc r P - Po ε 1 η S Sλ = α η - Sλ = α - S η Sλ = S - α η η r F = Kcq 1 q η Kcq 1 q = r F η q = 1 r F q K c 1. S = υοt + 1 gt η S = υοt + 1 gt η S = υοt + gt η S - gt = υοt η υοt = S - gt η υο = S - gt t
19 Ε π ι λ υ σ η Τ υ π ω ν Α σ κ η σ ε ι ς 1. 3 13. Για ενα ιδεωδες αεριο σε κανονικη πιεση ο ογκος του σε θερμοκρασια θ ο C δινεται απο τον θ τυπο V = Vο 1+, οπου Vο ο ογκος σε θερμοκρασια 0 ο C. 73,15 Να λυσετε τον τυπο ως προς θ Στους 0 ο C ενα ιδεωδες αεριο εχει ογκο Vo = 5cm 3. Σε ποια θερμοκρασια εχει ογκο 30 cm 3 ; θ V = Vο 1+ 73,15 η V = Vο + Vo θ 73,15 η 73,15 V = 73,15Vo + 73,15 θ Vo 73,15 η 73,15 V = 73,15Vo + Voθ η 73,15 V - 73,15Vo = Voθ η Voθ = 73,15 V - 73,15Vo η θ = θ = 73,15V - 73,15V V o 73,15 30-73,15 5 5 o = 54,63 o C 14. Εμπειρικες μελετες για την χιονοπτωση στη Βρετανια κατεληξαν στο εξης συμπερασμα : Ο αριθμος D των ημερων ενος ετους στη διαρκεια των ο- ποιων πεφτει χιονι δινεται κατα προσεγγιση απο τον τυπο D = 0,155 h + 11, οπου h ειναι το υψομετρο ενος τοπου σε μετρα. Συμφωνα με τον τυπο αυτο, ποσες μερες χιονιζει σε εναν τοπο που ειναι παραθαλασσιος (h = 0) ; Σε ποιο υψομετρο χιονιζει 6 μηνες το χρονο (180 ημερες; ) και σε ποιο υψομετρο χιονιζει καθε μερα. Για h = 0 τοτε D = 11, οποτε σε εναν παραθαλασσιο τοπο χιονιζει 11 ημερες το χρονο. Για D = 180 τοτε 180 = 0,155h + 11 η 180-11 = 0,155h η 169 = 0,155h η h = Για D = 360 τοτε 169 0,155 = 1090,3 360 = 0,155h + 11 η 360-11 = 0,155h η 349 = 0,155h η h = 349 0,155 = 51,6
Ε π ι λ υ σ η Τ υ π ω ν 0 Γ ι α Δ ι α σ κ ε δ α σ η 1. 3 Στην διπλανη πυραμιδα καθε αριθμος ειναι ισος με το αθροισμα των δυο αριθμων που βρισκονται ακριβως απο κατω του, οπως φαινεται στο παραδειγμα. Μπορειτε να βρειτε τον αριθμο στις παρακατω πυραμιδες ; 18-5 7-5 3 18-5 + 7 + 7 1 5 + 7 + 9 + 7 Eιναι 5 + + 7 = 18 = 18 + 5 7 = 16 = 8 7 Ειναι + 7 + + 9 = 1 3 = - 15 = - 15 3 = - 5 5 1 3 7 Oποτε 3 Oποτε 11 8 3 3 5-18 3 15-5 8 7 1-1 5-3 - 5 7
1 Ε π ι λ υ σ η Π ρ ο β λ η μ α τ ω ν Ε ρ ω τ η σ ε ι ς Κ α τ α ν ο η σ η ς 1. 4 1. Το διπλασιο ενος αριθμου αυξημενου κατα 4 ειναι ισο με 3. Ποια απο τις παρακατω εξισωσεις επιλυει το προβλημα αυτο; Α 4 = 3 Β + 3 = 4 Γ 4 = 3 Δ + 4 = 3 Αν ο αριθμος, τοτε η εξισωση που περιγραφει το προβλημα ειναι η + 4 = 3 Ετσι, σωστη απαντηση ειναι το Δ.. Ο Κωστας εχει 38 και ο Γιαννης 14. Αγορασαν απο ενα σουβλακι ο καθενας οποτε τα χρηματα που εχει τωρα ο Κωστας ειναι τριπλασια απο τα χρηματα που εχει ο Γιαννης. Ποσο κοστιζει το καθε σουβλακι ; Ποια απο τις παρακατω εξισωσεις επιλυει το προβλημα αυτο ; Α 38 + = 3 + 14 Β 38 - = 3(14 - ) Γ 14 - = 3(38 - ) Δ Αν κοστιζει το σουβλακι, τοτε μετα την αγορα, στον Κωστα εμειναν : (38 ) στον Γιαννη εμειναν : (14 ). Τοτε, συμφωνα με το προβλημα : 38 - = 3(14 - ). Ετσι, σωστη απαντηση ειναι το Β. 38 - = 3(14 - ) 38 - = 4-3 = 4 = Συνεπως το σουβλακι κοστιζει. 38 = 3 14 +
Ε π ι λ υ σ η Π ρ ο β λ η μ α τ ω ν Α σ κ η σ ε ι ς 1. 4 1. Να βρεθουν οι οξειες γωνιες ορθογωνιου τριγωνου ΑΒΓ αν η μια ειναι διπλασια της αλλης. Αν ειναι η μικροτερη γωνια τοτε η μεγαλυτερη ειναι. Αφου το αθροισμα τους ειναι 90 ο τοτε : + = 90 η 3 = 90 η = 30 Oποτε η μια γωνια ειναι 30 ο και η αλλη 60 ο.. Στα παρακατω σχηματα, το ορθογωνιο και το τριγωνο εχουν ισες περιμετρους. Να βρειτε τις διαστασεις του ορθογωνιου. Η περιμετρος του ορθογωνιου ειναι ιση με + ( - 7) και του τριγωνου 3. Αφου οι περιμετροι ειναι ισες, τοτε + ( - 7) = 3 + - 14 = 3 + - 3 = 14 = 14 Συνεπως η μια διασταση του ορθογωνιου ειναι 14 και η αλλη 14-7 = 7. Εστω οτι μετα απο χρονια η ηλικια του πατερα θα ειναι τριπλασια απ την ηλικια του γιου. Τοτε ο πατερας θα ειναι 44 + ετων ο γιος 8 + ετων Συμφωνα με το προβλημα : 44 + = 3(8 + ) 44 + = 4 + 3-3 = 4-44 - = - 0 = 10 7 3. Ενας πατερας ειναι 44 ετων και ο γιος του ειναι 8 ετων. Μετα απο ποσα χρονια η ηλικια του πατερα θα ειναι τριπλασια απο την ηλικια του γιου ;
3 Ε π ι λ υ σ η Π ρ ο β λ η μ α τ ω ν Α σ κ η σ ε ι ς 1. 4 4. Τρεις φιλοι μοιραστηκαν ενα χρηματικο ποσο. Ο πρωτος πηρε το 1 4 του ποσου, ο δευτερος πηρε το 1 3 του ποσου και ο τριτος πηρε το 1 του ποσου και 100 ακομη. Να βρειτε το 3 αρχικο χρηματικο ποσο που μοιραστηκαν και το μεριδιο του καθενος. Αν το αρχικο ποσο, τοτε ο πρωτος πηρε μεριδιο το 1 του χρηματικου ποσου 4 o δευτερος πηρε μεριδιο το 1 του χρηματικου ποσου 3 o τριτος πηρε μεριδιο το 1 + 100 του χρηματικου ποσου 3 Απ τα δοσμενα του προβληματος προκυπτει 1 4 + 1 3 + 1 3 + 100 = 1 1 4 + 1 1 3 + 1 1 + 1 100 = 1 3 3 + 4 + 4 + 100 = 1 = 100 Το αρχικο ποσο ειναι 100. Ο πρωτος φιλος πηρε : 1 4 Ο δευτερος φιλος πηρε : 1 3 Ο τριτος φιλος πηρε : 1 3 100 = 300 100 = 400 100 + 100 = 400 + 100 = 500 5. Το ρεζερβουαρ ενος αυτοκινητου περιεχει διπλασια ποσοτητα βενζινης απο το ρεζερβουαρ ε- νος αλλου αυτοκινητου. Αν το πρωτο αυτοκινητο καταναλωσει 34 λιτρα και το δευτερο 7 λιτρα, θα μεινει ιδια ποσοτητα στα δυο αυτοκινητα. Ποσα λιτρα βενζινης περιεχει καθε αυτοκινητο ; Αν ειναι η ποσοτητα της βενζινης στο δευτερο αυτοκινητο πριν την καταναλωση, τοτε στο πρωτο θα ειναι. Μετα την καταναλωση, η βενζινη θα ειναι στο δευτερο - 7 ενω στο πρωτο 34. Συμφωνα με το προβλημα - 34 = 7 η = 7 Αρα το ενα αυτοκινητο θα εχει 7 λιτρα βενζινη και το αλλο 7 = 54 λιτρα.
Ε π ι λ υ σ η Π ρ ο β λ η μ α τ ω ν 4 Α σ κ η σ ε ι ς 1. 4 6. Δωδεκα μικρα λεωφορεια των 8 και των 14 ατομων μεταφερουν συνολικα 16 επιβατες. Ποσα λεωφορεια ειναι των 8 και ποσα των 14 θεσεων ; Αν ειναι το πληθος των λεωφορειων με 8 θεσεις, τοτε το πληθος των λεωφορειων με 14 θεσεις ειναι 1. Τα 8 - θεσια λεωφορεια μεταφερουν 8 επιβατες και τα 14 - θεσια 14(1 - ). Αφου το συνολο των επιβατων ειναι 16, τοτε 8 + 14(1 - ) = 16 8 + 168-14 = 16-6 = - 4 = 7 Οποτε ειναι 7 λεωφορεια των 8 θεσεων και 5 των 14 θεσεων. 7. Οι διαστασεις ενος ορθογωνιου ειναι 8 m και 1m. Για να διπλασιασουμε το εμβαδον του, αυξανουμε την μεγαλυτερη διασταση κατα 4 m. Ποσο πρεπει να αυξησουμε την μικροτερη διασταση ; Το εμβαδον του ορθογωνιου με διαστασεις 8 m και 1m ειναι Ε = 8 1 = 96m και το διπλασιο αυτου ειναι 96 = 19 m. Αν αυξησουμε την μικροτερη διασταση κατα μετρα και την μεγαλυτερη κατα 4 μετρα, οι διαστασεις θα γινουν 8 + και 16 μετρα. Ετσι 16( + 8) = 19 16 + 18 = 19 16 = 19-18 16 = 64 = 4 8. Ο Πετρος και ο Σακης αμειβονται για την εργασια τους με την ωρα. Ο Πετρος κερδιζει την ωρα περισσοτερα απο το Σακη. Οταν ο Πετρος εργαζεται 7 ωρες και ο Σακης 5 ωρες, ο Σακης κερδιζει 6 λιγοτερα απο τον Πετρο. Να βρεθει το ωρομισθιο καθενος Αν ειναι το ωρομισθιο του Σακη, τοτε το ωρομισθιο του Πετρου ειναι +. Για 7 ωρες ο Πετρος θα εισπραξει 7( + ) ενω ο Σακης για 5 ωρες θα εισπραξει 5. Συμφωνα με το προβλημα : 7( + ) = 5 + 6 η 7 + 14 = 5 + 6 η 7-5 = 6 14 η = 1 η = 6 Δηλαδη το ωρομισθιο του Σακη ειναι 6 και του Πετρου ειναι 8.
5 Ε π ι λ υ σ η Π ρ ο β λ η μ α τ ω ν Α σ κ η σ ε ι ς 1. 4 9. Ολα μου τα στυλο εκτος απο 3 ειναι μπλε, ολα μου τα στυλο εκτος απο 4 ειναι κοκκινα, ολα μου τα στυλο εκτος απο 5 ειναι μαυρα. Ποσα στυλο εχω ; Εστω οτι εχω στυλο. Τοτε τα μπλε στυλο ειναι - 3 τα κοκκινα ειναι - 4 τα μαυρα - 5 Συμφωνα με το προβλημα - 3 + - 4 + - 5 = η = 1 η = 6 Επομενως εχω 6 στυλο. 10. Το τριαθλο ειναι ενα αγωνισμα που περιλαμβανει εναν αγωνα κολυμβησης εναν αγωνα ποδηλασιας και εναν αγωνα δρομου. Η συνολικη αποσταση που διανυει ενας αθλητης και στα τρια αγωνισματα ειναι 51,5 km. Ο αγωνας δρομου γινεται σε μια αποσταση που ειναι κατα 8,5 km μεγαλυτερη απο την αποσταση στην οποια γινεται ο αγωνας κολυμβησης. Ο αγωνας ποδηλασιας γινεται σε μια αποσταση τετραπλασια απο αυτην του αγωνα δρομου. Υποθετοντας οτι στο παρακατω σχημα το ευθυγραμμο τμημα παριστανει την αποσταση στην οποια γινεται ο αγωνας δρομου, να αντιγραψετε και να συμπληρωσετε το σχημα με τις πληροφοριες της υποθεσης. Ποια αποσταση διανυει ενας αθλητης σε καθε αγωνισμα ; Αγωνας κολυμβησης Αγωνας κολυμβησης : km Αγωνας ποδηλασιας : 4( + 8,5) km Αγωνας δρομου : + 8,5 km Συνολικη αποσταση = αγωνας κολυμβησης + αγωνας ποδηλασιας + αγωνας δρομου η 51,5 = + 4( + 8,5) + + 8,5 Συνολικη διαδρομη ; Αγωνας ποδηλασιας Αγωνας δρομου 51,5 = + 4( + 8,5) + + 8,5 η 51,5 = + 4 + 34 + + 8,5 η 9 = 6 η = 1,5 Ο αθλητης κολυμπαει 1,5 km, κανει ποδηλατο 4 10 = 40km, διανυει 1,5 + 8,5 = 10 km δρομου.
Α ν ι σ ω σ ε ι ς 1 ο υ Β α θ μ ο υ 6 Ε ρ ω τ η σ ε ι ς Κ α τ α ν ο η σ η ς 1. 5 1. Να συμπληρωσετε τα κενα : Αν < 3 τοτε + 3... ε) Αν - τοτε... Αν < - 3 τοτε... στ) Αν < 4 τοτε 3... γ) Αν > 5 τοτε 3... ζ) Αν < 7 τοτε - 3... δ) Αν 6 τοτε Αν < 3 τοτε + 3 < 6 ε) Αν - τοτε - 4 Αν < - 3 τοτε < 3 - στ) Αν < 4 τοτε 3 < 6 γ) Αν > 5 τοτε 3 > ζ) Αν < 7 τοτε - 3 > - 1 δ) Αν 6 τοτε Σ Λ γ) Σ δ) Λ ε) Σ στ) Λ ζ) Σ η) Λ θ) Λ - 3... η) Αν 1 - τοτε - 4... - 3 - η) Αν 1 - τοτε - 4. Να χαρακτηρισετε τις παρακατω προτασεις ως Σ (σωστες) η Λ (λανθασμενες). Αν α < β τοτε α - 16 < β - 16. Αν α < β τοτε - α < - β. γ) Αν α < 0 τοτε α < α. 1 δ) Αν α > 1 τοτε α > 1. ε) Αν α < 5 τοτε α < 8. στ) Η ανισωση 3-5 > 7 εχει λυση τον αριθμο = 4. ζ) Η ανισωση + 500 > + 499 αληθευει για καθε αριθμο. η) Η ανισωση + 500 > + 501 αληθευει για καθε αριθμο. θ) Η ανισωση - 3 < 3 - εχει λυσεις τους αριθμους < 1.
7 Α ν ι σ ω σ ε ι ς 1 ο υ Β α θ μ ο υ Α σ κ η σ ε ι ς 1. 5 1. Να λυσετε τις ανισωσεις και να παραστησετε στην ευθεια των αριθμων τις λυσεις τους 8 + 4 16 + 5 + 3 > - γ) (1 - ) > 1 δ) - 7 + 3 4-8 + 4 16 + 5 αρα 8 5 16-4 3 1-3 - -1 0 1 3 4 5 4 + 3 > - αρα > - 5-5 -4-3 - -1 0 1 γ) (1 - ) > - 1-1 + > - 1 - > 0-7 -6-5 -4-3 - -1 0 1 - > 0 < 0 δ) - 7 + 3 4 - - 7 + 4-3 - 6 1 6-1 1-6 1-6 0 1. Να λυσετε τις ανισωσεις και να παραστησετε στην ευθεια των αριθμων τις λυσεις τους. 3(ω - 1) > ω - + ( - ) 4 - γ) 3y 1 - (y + ) < (y + ) + 1 δ) 4(t + 5) < t - 4 3(ω - 1) > ω - 3ω - 3 > ω - 3ω ω > - + 3 0 1 1 3 4 ω > 1 η ω > 1
Α ν ι σ ω σ ε ι ς 1 ο υ Β α θ μ ο υ 8 Α σ κ η σ ε ι ς 1. 5 + ( - ) 4 - + + 4 - - + 4-1 0 1 3 4 5 6 7 0 0 γ) 3y 1 - (y +) < (y + ) + 1 3y 1 y - < y + 4 + 1 3y y - y < 4 + 1 + 1 + -1 0 1 3 4 5 6 7 0y < 8 ανισωση που αληθευει για καθε αριθμο y δ) 4(t + 5) < t - 4 4t + 0 < t - 4 4t - t < - 4 0-10 -9-8 3t < - 4 t < - 8 3. Να λυσετε τις ανισωσεις και να παραστησετε στην ευθεια των αριθμων τις λυσεις τους. 3-4 - - > 1 ( + 1) - 3 4 3 ( + 1) > γ) + 3 + + ε) ω - ω - 3-4 - - 4 3 > 1 3-4 - 1-1 >1 1 4 3 3(3-4) - 4( - ) > 1 9-1 - 8 + 4 > 1 9 + 4 > 1 + 1 + 8 13 > 3 > 3 13 < ω - 1 + 1 3 > 0 δ) 1 +1 +1 + 7 + - 3 6 - ω - 3 4 στ) t + t +1 4 3 13 > t - 1 7 3 4 5 6 + 7t 8 >
9 Α ν ι σ ω σ ε ι ς 1 ο υ Β α θ μ ο υ Α σ κ η σ ε ι ς 1. 5 ( + 1) - 3 ( + 1) > ( + 1) - 3 ( + 1) > 4( + 1) - 3( + 1) > 4 + 4-3 - 3 > -4-3 - -1 0 1 3 4 4-3 - > - 4 + 3 0 > - 1 ανισωση που αληθευει για καθε αριθμο γ) + 3 + + + 1 3 > 0 6 + 6 3 + 6 + 6 + 1 3 > 0 6 + 18 + 3( + ) - ( + 1) > 0 6 + 18 + 3 + 6 - - > 0 6 + 3 > - 18-6 + 7 > - > δ) - 7 1 +1 +1 + 7 + - > 3 6 + 1 + 1 + 7 + - > 4 6 6 + 1 + 1 + 7 1 +1-1 >1 4 6 6 3( + 1) + ( + 1) - ( + 7) > 4 3 + 3 + + - 14 > 4 11 1 13 14 3 > 4 3 - + 14 3 > 33 > 11-4 - 7-3 - -1 0 1 3 ε) ω - ω - < ω - 1 4 ω 4 ω - - ω - 3 4 < 4 ω - 1-4 ω - 3 4
Α ν ι σ ω σ ε ι ς 1 ο υ Β α θ μ ο υ 30 Α σ κ η σ ε ι ς 1. 5 4ω - (ω - ) < (ω - 1) 1(ω - 3) 4ω - ω + 4 < ω - ω + 3 4ω - ω - ω + ω < - + 3 4-5 -4-3 ω < - 3 στ) t + t+1 4 > t - 1 7 8 t + 8 t+1 4 + 7t 8 > 8 t - 1 7 8t + 7(t + 1) > 4(t - 1) + 7t + 8 7t 8 8t + 7t + 7 > 8t - 4 + 7t -4-3 - -1 0 1 3 4 8t + 7t - 8t - 7t > - 4 7 0 t > - 11 ανισωση που αληθευει για καθε αριθμο t. 4. Να βρειτε τις κοινες λυσεις των ανισωσεων - 4 < 1 και - < 3 ( + 1) + > 6 - και 7-8 > 3( + 3) + 7 γ) 3-1 > (1 - ) + 7 και 3(1 - ) 6 δ) 3y - 15 > 5 (y + ) και 3 y - 5 1 < y - 5 ε) - 1 < 7 και 3( - 1) > - 6 και 3( - ) 3-1 + 1 στ) > και (3-1) + > - ( + 5) - 1 και 3 + < ( - 3) 3-4 < 1 η < 5 < 3 η - < 3 η - < 1 η > - 1-1 0 5 Κοινη λυση : - 1 < < 5 ( + 1) + > 6 - η + + > 6-7 - 8 > 3( + 3) + 7 η 7-8 > 3 + 9 + 7 + + > 6 η 5 > 4 η > 4 5 7-3 > 9 + 7 + 8 η 4 > 4 η > 6 Κοινη λυση : > 6 4 5 6
31 Α ν ι σ ω σ ε ι ς 1 ο υ Β α θ μ ο υ Α σ κ η σ ε ι ς 1. 5 γ) 3-1 > (1 - ) + 7 η 3-1 > - + 7 3(1 - ) 6 η 3-3 6 3 + > + 7 + 1 η 5 > 10 η > - 3 6 3 η - 3 3 η - 1 δ) 3y - 15 > 5 (y + ) 3 y - 5 1 < y - 5 ε) 5 3y 5 15 >5 5 (y + ) 1 3 y 1 5 1 15y - 75 > (y + ) 7 y - 5 < 1y 105 15y - 75 > y + 4 14y - 5 < 1y - 105 15y - y > 4 + 75 14y - 1y < - 105 + 5 13y > 79-7y < - 100 y > 79 13-1 6 14 79 13 y > 100 7 Κοινη λυση : δεν υπαρχει < 1 y 1 5 Κοινη λυση : y > 100 7-1 < 7 3( - 1) > - 6 3( - ) < 7 +1 3-3 > - 6 3-6 < 8 3 > - 6 + 3-3 - 6 < 4 3 > - 3 - - 6-1 0 1 3 4 100 7 > - 1 3 Κοινη λυση : - 1 < 3 στ) 3-1 + 1 > 3 η 9-4 > 3 + η 5 > 5 η > 1 3-1 + 1 6 > 6 η 3(3-1) > ( + 1) η 9-3 > 4 + η 3
Α ν ι σ ω σ ε ι ς 1 ο υ Β α θ μ ο υ 3 Α σ κ η σ ε ι ς 1. 5 (3-1) + > - ( + 5) - 1 η 6 - + > - - 10-1 η 6 + + > - 10-1 + η 9 > - 9 η > - 1 3 + < ( - 3) η 3 + < - 6 η - < - 6-3 η - < - 9 η > 9-7 < + 1 19-7 1 < 19-1 - 8 < 18-4 < 9 1 < 1 - < 3-1 - 1 < - < 3-1 - < - < > > - - 1 < < 1 γ) 3 5 + 1 8 3-1 5 8-1 5 7 5 7 5-1 1 3 5 7 9 Κοινη λυση : > 6 5. Να λυσετε τις ανισωσεις και να παραστησετε στην ευθεια των αριθμων τις λυσεις τους. - 7 < + 1 19 1 < 1 - < 3 γ) 3 5 + 1 8-4 9-1 0 1 5 3 5 4 5 1 6 5 7 5 6. Για ποιες τιμες του θετικου ακεραιου αριθμου μ, εχουμε οτι ο Α = (μ - 3) - 4 ειναι αρνητικος; Πρεπει Α < 0 (μ - 3) - 4 < 0
33 Α ν ι σ ω σ ε ι ς 1 ο υ Β α θ μ ο υ Α σ κ η σ ε ι ς 1. 5 μ 6-4 < 0 μ < 4 + 6 μ < 10 μ < 5 Επειδη ο μ ειναι θετικος ακεραιος, δεκτες τιμες ειναι οι : 1,, 3, 4. 7. Για ποιες τιμες του αριθμου α η ανισωση 3α + 1 > α( - 1) εχει λυση τον αριθμο = ; Πρεπει 3α + 1 > α( - 1) 4-3α + 1 > α - 3α - α > - 1-4 - 4α > - 5 4α < 5 α < 5 4 8. Η Αννα ειχε τριπλασια χρηματα απο τη Μαρια, αλλα δαπανησε 14 και τωρα εχει λιγοτερα α- πο τη Μαρια. Να αποδειξετε οτι η Μαρια εχει λιγοτερα απο 7. Aν ειναι τα χρηματα της Μαριας, τοτε πριν την δαπανη η Αννα εχει 3 και μετα την δαπανη 3-14. Συμφωνα με το προβλημα : 3-14 < 3 - < 14 < 14 < 7 Δηλαδη, η Μαρια εχει λιγοτερα απο 7. 9. Ο Γιωργος εχει γραψει δυο διαγωνισματα με βαθμους 1 και 14. Τι βαθμο πρεπει να γραψει στο επομενο διαγωνισμα για να εχει μεσον ορο πανω απο 14 ; Αν ειναι ο βαθμος του τριτου διαγωνισματος, τοτε 1+14+ 3 > 14 3 1+14+ 3 > 3 14
Α ν ι σ ω σ ε ι ς 1 ο υ Β α θ μ ο υ 34 Α σ κ η σ ε ι ς 1. 5 1 + 14 + > 4 > 4-1 - 14 > 16 Επειδη ο μεγαλυτερος βαθμος στο Λυκειο ειναι το 0, θα πρεπει 16 < 0. 10. Μια εταιρεια κινητης τηλεφωνιας «Parlanet» προτεινει στους πελατης της δυο πακετα συνδρομης : 1ο : Παγια 7,50 το μηνα και χρεωση 0,54 το λεπτο. ο : Παγιο 15 το μηνα και χρεωση 0,04 το λεπτο. Απο ποσο χρονο ομιλιας και πανω συμφερει το ο πακετο ; Αν λεπτα ειναι ο χρονος ομιλιας το μηνα, για να συμφερει το ο πακετο πρεπει 15 + 0,04 < 7,50 + 0,54 η 0,04 0,54 < 7,50 15 η - 0,05 < - 7,5 η 0,05 > 7,5 η > 7,5 0,05 η > 150 Ετσι, το ο πακετο συμφερει αν ο χρονος ομιλιας να ειναι μεγαλυτερος απο 150 λεπτα. 11. Ενα οικοπεδο σχηματος ορθογωνιου παραλληλογραμμου εχει μηκος 80m, περιμετρο μικροτερη απο 40 m και εμβαδον μεγαλυτερο απο 3000m. Ποσα μετρα μπορει να ειναι το πλατος του ; Αν μετρα ειναι το πλατος, τοτε η περιμετρος ειναι : Π = 80 + = 160 + το εμβαδον ειναι : Ε = 80 Συμφωνα με το προβλημα : 3000 < Ε και Π < 40 3000 < 80 και 160 + < 40 3000 80 < και < 40-160 37,5 < και < 80 37,5 < και < 40 37,5 < < 40 Ετσι, το πλατος μπορει να ειναι μεγαλυτερο απο 37,5 μετρα και μικροτερο απο 40 μετρα.
35 Τ ε τ ρ α γ ω ν ι κ η Ρ ι ζ α Θ ε τ ι κ ο υ Α ρ ι θ μ ο υ Ε ρ ω τ η σ ε ι ς Κ α τ α ν ο η σ η ς. 1 1. Για τους, y ισχυει : y =. Στις παρακατω ερωτησεις επιλεξτε την σωστη απαντηση Α Α γ) Β. Η εξισωση = 16 εχει λυσεις Α. μονο το 4 Β. μονο το - 4 Γ. το 4 και το - 4 Το Γ 3. Στον διπλανο πινακα να αντιστοιχισετε σε καθε αριθμο της στηλης Α την τετραγωνικη του ριζα που βρισκεται στη στηλη Β. - 3 5 = - 15 3 9 3, 16 4, 4, 5 5, 36 6 Α Β Γ Ο ειναι : θετικος η μηδεν αρνητικος η μηδεν οποιοσδηποτε αριθμος Ο y ειναι : θετικος η μηδεν αρνητικος η μηδεν οποιοσδηποτε αριθμος γ) Ισχυει η σχεση : = y y = = y 4. Να εξετασετε αν αληθευουν οι παρακατω προτασεις ΣΤΗΛΗ Α 9 16 4 5 36 ΣΤΗΛΗ Β 16 = 8 4 = 16 γ) 9 = 3 δ) 0,4 = 0, ε) - 9 = - 3 στ) η 0 δεν υπαρχει ζ) 4 = - η) 16 + 9 = 5 θ) 5-9 = 5-3 = ι) 100 = 50 16 3 8 5 18 6 4 α ψευδης, β ψευδης, γ αληθης, δ ψευδης, ε ψευδης, στ ψευδης, ζ ψευδης, η αληθης θ ψευδης ι ψευδης
Τ ε τ ρ α γ ω ν ι κ η Ρ ι ζ α Θ ε τ ι κ ο υ Α ρ ι θ μ ο υ 36 Ε ρ ω τ η σ ε ι ς Κ α τ α ν ο η σ η ς. 1 5. Αν ειναι ενας θετικος αριθμος, στις παρακατω ερωτησεις να επιλεξτε τη σωστη απαντηση. Α Β Γ Δ Ε 1) Αν = 5 τοτε = 10 = 5 = - 5 =,5 η σχεση ειναι αδυνατη ) Αν = 9 τοτε = 3 = 81 = 4,5 = ± 81 η σχεση ειναι αδυνατη 3) Αν = 16 τοτε = 4 = - 4 = 56 = - 8 η σχεση ειναι αδυνατη 4) Αν 100 = τοτε = 10 = 50 = 100 = ± 10 η σχεση ειναι αδυνατη 1) Β, Β, 3 Ε, 4 Α
37 Τ ε τ ρ α γ ω ν ι κ η Ρ ι ζ α Θ ε τ ι κ ο υ Α ρ ι θ μ ο υ Α σ κ η σ ε ι ς. 1 1. Να υπολογισετε τις παρακατω τετραγωνικες ριζες γ) δ) γ) 81, 0,81, 8100 4, 0,04, 400, 40000 γ) 11, 1,1, 1100, 0,011 δ) 9 4, 144 5, 400 49, 36 11 81 = 9, 0,81 = 0,9, 8100 = 90 4 =, 0,04 = 0,, 400 = 0, 40000 = 00 11= 11, 1,1 = 1,1, 1100 = 110, 0,011 = 0,11 9 3 = 4, 144 1 = 5 5, 400 0 = 49 7, 36 6 = 11 11. Να υπολογισετε τους αριθμους 36 = 18 + 18 = γ) 18 18 = δ) 36 = 6 18 + 18 = 36= 6 18 18 = 18 = 18 ( 18 ) = δ) ( 18) = 18
Τ ε τ ρ α γ ω ν ι κ η Ρ ι ζ α Θ ε τ ι κ ο υ Α ρ ι θ μ ο υ 38 Α σ κ η σ ε ι ς. 1 3. Να τοποθετησετε σε καθε τετραγωνο εναν καταλληλο αριθμο ωστε να ισχυει η αντιστοιχη ισοτητα 4 9 = 3 = ( 5) = 5 γ) δ) ε) 33+3 = 6 81+ = 11-4 = 0 στ) ( 0) + 36= 6 4 = 3 ( 4) + 4 = 6 4 + 9 = +3 = 1+3 4 = ( ) = 5 γ) + 3 = 6 δ) + = 11 ε) - = 0 στ) 4. Να αποδειξετε οτι 4 + 9 = ( 1) + 5= 6 ( 5) + 1= 6 ( ) + = 6 ( ) + 16= 6 ( 6) + 0 = 6 ( 3) + 9= 6 + + 4 = γ) 7 + + 1 + 9 = 3 + + 4 = + + = + 4 = + 4 = γ) 7 + + 1 + 9 = 7 + + 1 + 3 = 7 + + 4 = 7 + + = 7 + 4 = 7 + = 9 =3
39 Τ ε τ ρ α γ ω ν ι κ η Ρ ι ζ α Θ ε τ ι κ ο υ Α ρ ι θ μ ο υ Α σ κ η σ ε ι ς. 1 5. Να υπολογισετε την αγνωστη πλευρα των παρακατω ορθογωνιων τριγωνων : 6 1 8 0 = 6 + 8 η = 36 + 64 η = 100 η = 100 η = 10 13 = y + 1 η 169 = y + 144 η y = 169 144 η y = 5 η y = 5 η y = 5 5 = 3 + β η 5 = 9 + β η β = 5 9 η β = 16 η β = 16 η β = 4 α = 1 + 0 η α = 441 + 400 η α = 841 η α = 841 η α = 9 37 = γ + 1 η 1369 = γ + 144 η γ = 1369-144 η γ = 15 η γ = 15 η γ = 35 85 = 36 + ω η 75 = 196 + ω η ω = 75-1196 η ω = 599 η ω = 599 η ω = 77 6. Να βρειτε τους θετικους αριθμους που ικανοποιουν τις εξισωσεις = 9 = 5 γ) = 64 δ) = 100 81 = 9 = 3 = 5 = 5 y 13 1 α 37 γ 36 1 3 ω 85 5 β γ) δ) = 64= 8 = 100 81 = 10 9
Τ ε τ ρ α γ ω ν ι κ η Ρ ι ζ α Θ ε τ ι κ ο υ Α ρ ι θ μ ο υ 40 Α σ κ η σ ε ι ς. 1 7. Να υπολογισετε το υψος του ισοσκελους τριγωνου ΑΒΓ του διπλανου σχηματος. Το υψος που αντιστοιχει στη βαση ισοσκελους τριγωνου διερχεται απο το μεσο της βασης. Ετσι ΒΔ =,4 = 1, Πυθαγορειο θεωρημα στο τριγωνο ΑΒΔ : ΑΒ = ΑΔ + ΒΔ η 3,7 = ΑΔ + 1, η 13,69 = ΑΔ + 1,44 η ΑΔ = 13,69-1,44 η ΑΔ = 1,5 η ΑΔ = 1,5 η ΑΔ = 3,5 8. Να υπολογισετε την διαγωνιο ενος ορθογωνιου γηπεδου που εχει διαστασεις 65 m και 7 m. Εστω ΑΒΓΔ το ορθογωνιο γηπεδο με ΑΒ = 7m και ΒΓ = 65m. Πυθαγορειο θεωρημα στο τριγωνο ΑΒΓ ΑΓ = ΑΒ + ΒΓ η ΑΓ = 7 + 65 η ΑΓ = 5184 + 45 η ΑΓ = 9409 η ΑΓ = 9409 η ΑΓ = 97 m Εστω ο ζητουμενος αριθμος. Συμφωνα με το προβλημα : + 8 = 3 = 8 = 4 = 4 = Β 3,7 Α,4 7m 3,7 Γ 65m 9. Το τετραγωνο ενος θετικου αριθμου, αν αυξηθει κατα 8, γινεται ισο με το τριπλασιο του τετραγωνου του αριθμου αυτου. Ποιος ειναι ο αριθμος αυτος ; A Δ B Γ
41 Τ ε τ ρ α γ ω ν ι κ η Ρ ι ζ α Θ ε τ ι κ ο υ Α ρ ι θ μ ο υ Α σ κ η σ ε ι ς. 1 10. Στο διπλανο σχημα να βρειτε το μηκος. Πυθαγορειο θεωρημα διαδοχικα στα ορθογωνια τριγωνα, ξεκινωντας απ το τριγωνο με πλευρες α, 4, 3. α = 4 + 3 η α = 16 + 9 η α = 5 η α = 5 η α = 5 13 = α + β η 13 = 5 + β η 169 = 5 + β η β = 144 η β = 144 η β = 1 γ = 9 + β η γ = 9 + 1 η γ = 81 + 144 η γ =5 η γ = 5 η γ = 15 17 = + γ η 89 = + 15 η 89 = + 5 η = 64 η = 64 η = 8 11. Να συγκρινετε τους αριθμους α, α, α στις παρακατω δυο περιπτωσεις Αν α > 1 π.χ α = 4, α = 9, α = 16 Αν 0 < α < 1 πχ α = 1 4, α = 1 9, α = 1 16 Τι παρατηρειτε ; Αν α = 4 : α = 4= και α = 4 = 16 Aφου < 4 < 16 τοτε α < α < α Ομοια, αν α = 9 η α = 16 τοτε παλι : α < α < α Αν α = 1 4 : α = 1 4 = 1 και α = Αφου 1 16 < 1 4 < 1 τοτε α < α < α 1 4 = 1 16 Ομοια, αν α = 1 9 η α = 1 16 τοτε παλι : α < α < α Παρατηρουμε οτι : αν α > 1 τοτε α < α < α 17 αν 0 < α < 1 τοτε α < α < α 4 3 γ α β 9 13
Τ ε τ ρ α γ ω ν ι κ η Ρ ι ζ α Θ ε τ ι κ ο υ Α ρ ι θ μ ο υ 4 Α σ κ η σ ε ι ς. 1 1. Να συμπληρωσετε τον παρακατω πινακα α β α β α β αβ 9 4 36 49 Τι συμπεραινετε; α β α β α β αβ 9 4 3 3 = 6 6 36 49 6 7 13. Να συμπληρωσετε τον παρακατω πινακα α β α β 4 16 4 5 36 5 6 6 7 = 4 α β α β 4 16 5 36 Τι συμπεραινετε; 14. Να συμπληρωσετε τον παρακατω πινακα α β 1 5 6 α β α β α + β α + β 9 16 64 36 Τι συμπεραινετε; 4 α β 1 5 6 α Συμπεραινουμε οτι: β α β Συμπεραινουμε οτι: α β = α β α β = αβ α β α β α + β α+β 9 16 3 4 7 5 64 36 8 6 14 10 Συμπεραινουμε οτι: α + β α+β
43 Τ ε τ ρ α γ ω ν ι κ η Ρ ι ζ α Θ ε τ ι κ ο υ Α ρ ι θ μ ο υ Γ ι α Δ ι α σ κ ε δ α σ η. 1 1. Ρωτησαν εναν μαθηματικο του 0 ου αιωνα ποσων ετων ειναι. Αυτος απαντησε ως εξης : Η τετραγωνικη ριζα του ετους που γεννηθηκα ειναι ακριβως ιση με την σημερινη μου ηλικια. Ποσων ετων ηταν, ποτε γεννηθηκε και ποια χρονολογια εγινε η ερωτηση ; Ειναι 43 = 1849 < 1900 44 = 1936 > 1900 45 = 05 > 000 Αφου ο μαθηματικος γεννηθηκε μεσα στον 0 ου αιωνα, σημερα ειναι 44 ετων και γεννηθηκε το 1936. Η ερωτηση εγινε το ετος 1936 + 44 = 1980. Μπορειτε να αλλαξετε την θεση ενος μονο σπιρτου ωστε να προκυψει ισοτητα ; 1 =1
Α ρ ρ η τ ο ι - Π ρ α γ μ α τ ι κ ο ι Α ρ ι θ μ ο ι 44 Ε ρ ω τ η σ ε ι ς Κ α τ α ν ο η σ η ς. 1. Αν τοποθετησουμε τους αριθμους στην ευθεια των πραγματικων αριθμων, να εξετασετε ποιες απο τις παρακατω ανισοτητες ειναι σωστες και ποιες ειναι λανθασμενες. ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ 4 < 4,5 < 5 1,4 < < 1,5 γ) 7 < 15 < 8 δ) 10 < 1 < 11 ε) 1,7 < 3 < 1,8 στ) < 7 < 3. Στον αξονα των πραγματικων αριθμων εχουμε τοποθετησει τα σημεια Α, Β, Γ, Δ, Ε και Ζ. Στις παρακατω προτασεις να βαλετε σε κυκλο τη σωστη απαντηση. Α Α Β Β Γ Γ Δ Δ Ε Ε Ζ Ζ -4 M at h Com poser 1. 1. 5 ht t p: / / www. m at hc om pos er. com -3 M at h Com poser 1. 1. 5 ht t p: / / www. m at hc om pos er. com - M at h Com poser 1. 1. 5 ht t p: / / www. m at hc om pos er. com -1 M at h Com poser 1. 1. 5 ht t p: / / www. m at hc om pos er. com ΟM at h Com poser 1. 1. 5 ht t p: / / www. m at hcom poser. com 1M at h Com poser 1. 1. 5 ht t p: / / www. m at hcom poser. com M at h Com poser 1. 1. 5 ht t p: / / www. m at hcom poser. com Ο αριθμoς 3 πρεπει να τοποθετηθει κοντα στο σημειο Α Ε Γ Δ Ο αριθμoς 6 πρεπει να τοποθετηθει κοντα στο σημειο Γ Δ Ε Ζ γ) Ο αριθμoς - 3 πρεπει να τοποθετηθει κοντα στο σημειο Γ Β Δ Α δ) Ο αριθμoς - 5 πρεπει να τοποθετηθει κοντα στο σημειο Γ Δ Β Α 3M at h Com poser 1. 1. 5 ht t p: / / www. m at hcom poser. com 4M at h Com poser 1. 1. 5 ht t p: / / www. m at hcom poser. com 5M at h Com poser 1. 1. ht t p: / / www. m at hcom poser. com 6M at h Com poser 1. 1. 5 ht t p: / / www. m at hcom poser. com
45 Α ρ ρ η τ ο ι - Π ρ α γ μ α τ ι κ ο ι Α ρ ι θ μ ο ι Α σ κ η σ ε ι ς. 1. Ποιοι απο τους επομενους αριθμους ειναι ρητοι και ποιοι αρρητοι; = αρρητος, ( ) = = ρητος 4 - =- 9 3 = ρητος, 4 5 = αρρητος γ) 18= αρρητος, 18 = 9 = 3 = ρητος, 18 = 18 = ρητος Χρησιμοποιωντας υπολογιστη τσεπης βρισκουμε οτι 5,3, 7,64, 3 1,73, 1,41, 1+ 1,55 Ετσι 1 < < 3< 5 < 7 γ) δ), < < 5 < 7 3 < 1 + 3 ( ) - 4 9, 4 5 γ) 18, 18, 18. Τοποθετησε σε μια σειρα απο τον μικροτερο στον μεγαλυτερο τους παρακατω αριθμους 5, 7, 3, 1, 5, 7,, γ) 1 + 3, 3 δ), 1+ < 1+ 3. Να βρειτε τις ρητες προσεγγισεις εως και δυο δεκαδικα ψηφια των αριθμων 3, 5, γ) 7, δ) 8
Α ρ ρ η τ ο ι - Π ρ α γ μ α τ ι κ ο ι Α ρ ι θ μ ο ι 46 Α σ κ η σ ε ι ς. Ειναι 1 = 1, = 4, ( 3) = 3, ομως 1 < 3 < 4 οποτε 1 < 3 < 1,7 =,89 και 1,8 = 3,4, ομως,89 < 3 < 3,4 οποτε 1,7 < 3 < 1,8 1,73 =,999 και 1,74 = 3,076, ομως,999 < 3 < 3,076 οποτε 1,73 < 3 < 1,74 Ετσι, μια προσεγγιση του 3 με δυο δεκαδικα ψηφια ειναι η 1,73. Ειναι = 4, 3 = 9, ( 5) = 5, ομως < 5 < 9 οποτε < 5 < 3, = 4,84 και,3 = 5,9, ομως 4,84 < 5 < 5,9 οποτε, < 5 <,3,3 = 4,979 και,4 = 5,0176, ομως 4,979 < 5 < 5,0176 οποτε,3 < 5 <,4 Ετσι, μια προσεγγιση του 5 με δυο δεκαδικα ψηφια ειναι η,3. γ) Ειναι = 4, 3 = 9, ( 7) = 5, ομως < 7 < 9 οποτε < 7 < 3,6 = 6,76 και,7 = 7,9, ομως 6,76 < 7 < 7,9 οποτε,6 < 7 <,7,64 = 6,9696 και,65 = 7,05, ομως 6,9696 < 7 < 7,05 οποτε,64 < 7 <,65 Ετσι, μια προσεγγιση του 7 με δυο δεκαδικα ψηφια ειναι η,64. δ) = 4, 3 = 9, ( 8) = 5, ομως < 8 < 9 οποτε < 8 < 3,8 = 7,84 και,9 = 8,41, ομως 7,84 < 8 < 8,41 οποτε,8 < 8 <,9,8 = 7,954 και,83 = 8,0089, ομως 7,954 < 8 < 8,0089 οποτε,8 < 8 <,83 Ετσι, μια προσεγγιση του 8 με δυο δεκαδικα ψηφια ειναι η,8. 4. Να λυθουν οι εξισωσεις = 0 = 5, γ) = - 3, δ) = 17 = 0 τοτε = 0 = 0 = 5 τοτε = 5 η = - 5 γ) = - 3 εξισωση αδυνατη δ) = 17 τοτε = 17 η = - 17
39 47 Α ρ ρ η τ ο ι - Π ρ α γ μ α τ ι κ ο ι Α ρ ι θ μ ο ι Α σ κ η σ ε ι ς. 5. Ενα τετραγωνο εχει εμβαδον 1 cm. Να βρειτε με προσεγγιση εκατοστου το μηκος της πλευρας του. Αν ειναι το μηκος της πλευρας και Ε το εμβαδον του τετραγωνου τοτε = Ε = 1 = 1= 3,46 cm 6. Ενα τετραγωνο εχει διαγωνιο 1cm. Να βρειτε Το μηκος της πλευρας του με προσεγγιση δυο δεκαδικων ψηφιων. Την ακριβη τιμη του εμβαδου του. Εστω το μηκος της πλευρας του τετραγωνου. Απ το Πυθαγορειο θεωρημα : δ = + 1 = 144 = 7 = = 7= 8,48 cm Το εμβαδον Ε ειναι ισο με : Ε = = 7 cm δ
Π ρ ο β λ η μ α τ α 48 40 Α σ κ η σ ε ι ς. 3 1. Να υπολογισετε το εμβαδον του σταυρου του διπλανου σχηματος Απ το πρασινο ορθογωνιο τριγωνο (με καθετες πλευρες, ) Πυθαγορειο θεωρημα :ΑΓ = ΑΒ + ΒΓ αρα + () = 400 + 4 = 400 5 = 400 Ε = 400cm Γιατι ο σταυρος αποτελειται απο 5 τετραγωνα πλευρας, οποτε το εμβαδον του Ε ειναι ισο με : Ε = 5. Το αναπτυγμα σε χαρτονι μιας πυραμιδας αποτελειται απο το τετραγωνο ΑΒΓΔ,που η διαγωνιος του ειναι 10 cm, και τεσσερα ισοσκελη τριγωνα, που οι ισες πλευρες τους ειναι 8cm. Να βρειτε το εμβαδον της επιφανειας της πυραμιδας Εστω η πλευρα του τετραγωνου ΑΒΓΔ, οποτε και η βαση των ισοσκελων τριγωνων. Πυθαγορειο θεωρημα στο τριγωνο ΑΒΓ : ΑΓ = ΑΒ + ΒΓ η 10 = + η 100 = η = 50 η = 50cm Το εμβαδον του τετραγωνου ειναι ισο με 50 cm και η πλευρα του = 50cm. Ενα απ τα τεσσερα ισοσκελη τριγωνα με υψος ΚΛ φαινεται στο διπλανο σχημα. Πυθαγορειο θεωρημα στο τριγωνο ΑΚΛ : ΑΚ = ΚΛ + ΑΛ η 8 = ΚΛ + 50 η 64 = ΚΛ + 50 4 ΚΛ = 64-50 η ΚΛ = 06 οποτε ΚΛ = 06 4 4 4 = 7,17 Το εμβαδον του ισοσκελους τριγωνου ειναι ισο με η 8 Δ 8 8 Α Β 8 8 10 8 8 Γ Κ 8 8 8 Α Λ Β 50 Ε = 1 β υ = 1 50 7,17 5,5 cm
49 Π ρ ο β λ η μ α τ α Α σ κ η σ ε ι ς. 3 Οποτε το ζητουμενο εμβαδον Ε της επιφανειας της πυραμιδας ειναι : Ε = 50 + 4 5,5 = 15 cm 3. Οι συντεταγμενες των κορυφων του τριγωνου ΚΛΜ ειναι Κ(0, ), Λ(, 3) και Μ( 1, 0). Να εξετασετε αν το τριγωνο ειναι ορθογωνιο. Απ τα ορθογωνια τριγωνα ΚΜΟ, ΜΑΛ και ΒΚΛ Πυθαγορειο θεωρημα : ΚΜ = ΚΟ + ΟΜ ΚΜ = + 1 = 5 Β ΛΜ = ΜΑ + ΑΛ ΛΜ = 1 + 3 = 10 ΚΛ = ΚΒ + ΒΛ ΚΛ = 1 + = 5 Ειναι: ΚΛ + ΚΜ = 5 + 5 = 10 = ΛΜ Οποτε το τριγωνο ειναι ορθογωνιο με υποτεινουσα ΛΜ. Η διαμεσος στο ισοπλευρο ειναι και υψος, το τριγωνο ΒΑΔ ειναι ορθογωνιο. Πυθαγορειο θεωρημα στο ΒΑΔ : ΒΑ = ΑΔ + ΒΔ η 1 = ΑΔ + 6 η 144 = ΑΔ + 36 η ΑΔ = 108 αρα ΑΔ = 108 108 οποτε ΕΔ = Πυθαγορειο θεωρημα στο τριγωνο ΒΕΔ : ΒΕ = ΒΔ + ΕΔ η ΒΕ = 6 + οποτε ΒΕ = 5 4 = 7,94 m 108 3 1 Κ 0 1 Μ 1 Κ 0 1 Μ 4. Δινεται ισοπλευρο τριγωνο ΑΒΓ με πλευρα 1 cm. Αν Ε ειναι το μεσο της διαμεσου ΑΔ, να υπολογιστει το μηκος της ΒΕ. 3 Λ η ΒΕ = 36 + 108 4 = 5 4 Λ 3 Α 3 Α Ε Β Δ Γ
M at h Com poser 1. 1. 5 ht t p: / / www. m at hcom poser. com Π ρ ο β λ η μ α τ α 50 Α σ κ η σ ε ι ς. 3 5. Δυο πλευρες ενος τριγωνου εχουν μηκος 10cm και 8cm αντιστοιχα. Να βρεθει η τριτη πλευρα του τριγωνου ωστε το τριγωνο να ειναι ορθογωνιο (να διακρινετε δυο περιπτωσεις). Οταν οι δοσμενες πλευρες ειναι οι καθετες. Αν η υποτεινουσα, τοτε = 10 + 8 η = 164 η = 164 Οταν οι δοσμενες πλευρες ειναι μια καθετη (8cm), και η υποτεινουσα (10cm) Αν y η αλλη καθετη, τοτε 10 = 8 + y η 100 = 64 + y η y = 36 η y = 6 6. Οι κουκκιδες του παρακατω σχηματος απεχουν 1cm οριζοντια και κατακορυφα Να ενωσετε δυο κουκκιδες ωστε το μηκος του ευθυγραμμου τμηματος που σχηματιζεται να ειναι i) cm, ii) 5 cm, iii) 13 cm Να ενωσετε τεσσερις κουκκιδες ωστε να σχηματιστει τετραγωνο με εμβαδον i) cm, ii) 5cm, iii) 13 cm i) Το τμημα ΒΓ εχει μηκος ΒΓ = cm. Προκυπτει απο υποτεινουσα ορθογωνιου τριγωνου με καθετες πλευρες μηκους 1cm, 1cm. Πραγματι ΒΓ = 1 + 1 η ΒΓ = η ΒΓ = cm ii) Το τμημα ΔZ εχει μηκος ΔZ = 5 cm Προκυπτει απο υποτεινουσα ορθογωνιου τριγωνου με καθετες πλευρες μηκους cm, 1cm. Πραγματι ΔΖ = + 1 η ΔΖ = 5 η ΔΖ = 5 cm iii) Το τμημα ΙΘ εχει μηκος ΙΘ = 13cm. Προκυπτει απο υποτεινουσα ορθογωνιου τριγωνου με καθετες πλευρες μηκους cm, 3cm. Πραγματι 1 cm ΙΘ = + 3 η ΙΘ = 4 + 9 η ΙΘ = 13 η ΙΘ = 13cm Β 1 cm M at h Com poser 1. 1. 5 ht t p: / / www. m at hcom poser. com Γ Δ Ι Ζ Θ i) Το τετραγωνο με πλευρα το τμημα ΒΓ του i) ερωτηματος εχει εμβαδον Ε = ΒΓ = ( ) = cm
1c m 51 Π ρ ο β λ η μ α τ α Α σ κ η σ ε ι ς. 3 ii) Το τετραγωνο με πλευρα το τμημα ΔΖ του ii) ερωτηματος εχει εμβαδον Ε = ΔΖ = ( 5) = 5cm iii) Το τετραγωνο με πλευρα το τμημα ΙΘ του iii) ( 5) ερωτηματος εχει εμβαδον Ε = ΙΘ = ( 13) = 13cm 7. Το σημα της φωτογραφιας εχει σχημα ισοπλευρου τριγωνου με πλευρα 60 cm και στηριζεται σε κολονα υψους m. Να βρειτε την αποσταση της κορυφης Κ της πινακιδας απο το εδαφος. Εστω ΑΒΓ το ισοπλευρο τριγωνο του σηματος και ΑΔ υψος του, που ειναι και διαμεσος. Στο ορθογωνιο τριγωνο ΑΒΔ απ το Πυθαγορειο θεωρημα : ΑΔ = ΑΒ - ΒΔ η ΑΔ = 60-30 η ΑΔ = 3600 900 η ΑΔ = 700 η ΑΔ = 700 = 51,9 cm Ετσι, η αποσταση της κορυφης Κ απο το εδαφος ειναι : m + 51,9 cm = 00 cm + 51,9c m = 51,9 cm Το εμβαδον του ορθογωνιου τμηματος του βελους ειναι ισο με Εορθ = 0 cm,3m = 0,0,3 m = 0,46 m Αν ΑΒΓ ειναι το ισοσκελες τριγωνο και ΑΔ το υψος του, που ειναι και διαμεσος, τοτε στο τριγωνο ΑΒΔ απ το Πυθαγορειο θεωρημα : ΑΔ = ΑΒ - ΒΔ η ΑΔ =,1-0,30 η ΑΔ = 4,41-0,09 η ΑΔ = 4,3 η ΑΔ = 4,3=,07 m Ετσι το εμβαδον του τριγωνου ΑΒΓ ειναι : 1 cm M at h Com poser 1. 1. 5 ht t p: / / www. m at hcom poser. com Mat h Composer 1. 1. 5 ht t p : / / www. m a t hcom pose r. com K 60 cm M at h Composer 1. 1. 5 ht t p: // www. m at hc om poser. com Mat h Composer 1. 1. 5 ht t p : / / www. m at hcom poser. com m Α Β Δ Γ 8. Τα βελη στην ασφαλτο αποτελουνται απο ενα κιτρινο ορθογωνιο και ενα κιτρινο ισοσκελες τριγωνο. Οι διαστασεις του ορθογωνιου ειναι 0cm και,3 m Το τριγωνο εχει βαση 60cm και ισες πλευρες,1 m. Ποσα περιπου τετοια βελη μπορουμε να βαψουμε με 1 κιλο κιτρινο χρωμα, το οποιο μπορει να καλυψει επιφανεια 540 dm ; Α Β Δ Γ
M at h Com poser 1. 1. 5 ht t p: / / www. m at hcom poser. com M at h Com poser 1. 1. 5 ht t p: / / www. m at hcom poser. com Π ρ ο β λ η μ α τ α 5 Α σ κ η σ ε ι ς. 3 ΕΑΒΓ = ΒΓ ΑΔ = 0,60,07 = 0,6 m Δηλαδη το εμβαδον του βελους ειναι : Εβελους = 0,46 + 0,6 = 1,08 m = 1, 08 100 dm = 108dm Με ενα κιλο χρωμα μπορουμε να βαψουμε : 540 : 108 = 5 βελη 9. Οι μπαρες που ειναι τοποθετημενες στις δυο ακρες ενος δρομου απεχουν μεταξυ τους 8m. Ενα φορτηγο εχει περιγραμμα ορθογωνιου με μηκος 7,5 m και πλατος,4 m. Ειναι δυνατον ο οδηγος να κανει ελιγμους ωστε να κανει αναστροφη ; 8 m 8 m Για να μπορει ο οδηγος να κανει αναστροφη θα πρεπει η διαγωνιος δ να εχει μηκος μικροτερο απο τα 8 m. Eτσι, απ το Πυθαγορειο θεωρημα : δ = 7,5 +,4 = οποτε = 56,5 + 5,76 = = 6,01,4 m,4 m, M at h Com poser 1. 1. 5 ht t p: / / www. m athcomposer. com 7,5 m 7,5 m δ = ; δ = 6,01 = 7,87 m (μικροτερο απο τα 8 m). Δηλαδη, μπορει ο οδηγος να κανει αναστροφη. Dr Maths 58
53 Ε ν ν ο ι α τ η ς Σ υ ν α ρ τ η σ η ς Ε ρ ω τ η σ ε ι ς Κ α τ α ν ο η σ η ς 3. 1 1. Οι μισθοι των υπαλληλων μιας εταιριας αυξανονται κατα 0 ο καθε ενας. Η σχεση που εκφραζει τον νεο μισθο y συναρτησει του παλαιου μισθου ειναι η y = 0 y = 0 + γ) y = δ) y = 0, 0 Σωστο το γ, γιατι αν ειναι ο παλιος μισθος, η αυξηση ειναι 0. Ο νεος μισθος ειναι : y = + 0. Οι μισθοι των υπαλληλων μιας εταιριας αυξανονται κατα 15%. Η σχεση που εκφραζει τον νεο μισθο y συναρτησει του παλαιου μισθου ειναι η y = + 15 y = + 15 γ) y = 1,15 δ) y = 0,15 100 Σωστο το γ, γιατι αν ειναι ο παλιος μισθος, η αυξηση ειναι Ο νεος μισθος ειναι : y = + 0,15 = 1,15 15 100 = 0,15. 3. Το εμβαδον ενος ορθογωνιου με πλευρες και y ειναι 100cm. Η σχεση που εκφραζει το μηκος του y συναρτησει του πλατους ειναι y = 100 y = 100 + γ) y = 100 δ) y = 100 - Σωστο το γ, γιατι το εμβαδον Ε του ορθογωνιου με πλευρες και y ειναι Ε = y η 100 = y η y = 100 4. Δινεται τετραγωνο πλευρας. Η σχεση που εκφραζει το εμβαδον Ε του τετραγωνου συναρτησει του ειναι Ε = Ε = γ) Ε = δ) Ε = 4 Σωστο το β.
Ε ν ν ο ι α τ η ς Σ υ ν α ρ τ η σ η ς 54 Ε ρ ω τ η σ ε ι ς Κ α τ α ν ο η σ η ς 3. 1 5. Να αντιστοιχισετε τις συναρτησεις της στηλης Α του παρακατω πινακα με τον πινακα τιμων της στηλης Β. (στη στηλη Β ενας πινακας τιμων περισσευει.) Ευκολα βρισκουμε οτι ( ii) ( i) (γ) iii) ΣΤΗΛΗ Α ( y = + 1 ( y = + 1 (γ) y = 1 - i) ii) iii) iv) ΣΤΗΛΗ Β -3-1 0 1 y 10 1 5-3 -1 0 1 y -5-1 1 3 5-3 -1 0 1 y 4 1 0-1 -3-1 0 1 y 4 1 0
55 Ε ν ν ο ι α τ η ς Σ υ ν α ρ τ η σ η ς Α σ κ η σ ε ι ς 3. 1 1. Να συμπληρωσετε τον πινακα τιμων των παρακατω συναρτησεων - 3 : y =3(-3)-=- 9-=- 11 - : y =3(-)-=- 6-=- 8 Για = - 1 : y =3(-1)-=- 3-=- 5 0 : y =3 0-=0-=- : y =3 -=6-=4-1-1 - - 1 : y = = =- 1 0-1 1 0 : y = =- -1 1 Για = : y = = 4-1 3 4 : y = = 5-1 4 5 : y = = = - 3 : y =(- 3) +1= 9+1= 10-1 : y =(- 1) +1=1+1= Για = 0 : y =0 +1=0+1=1 Ετσι y = 3 - y = -1-3 - - 1 0 y - 1 0 4 5 y : y = +1=4+1=5 5 : y =5 +1=5+1=6 Ετσι. Να συμπληρωσετε τον πινακα τιμων των παρακατω συναρτησεων y = + 1 y = + 3 - - 3-1 0 5 y - 3-0 1 3 y y = 3 - y = -1-3 - - 1 0 y - 11-8 - 5-4 - 1 0 4 5 y - 1-3 : y =(- 3) +3(- 3)-= 9-9-= - - : y =(- ) +3(- )-=4-6-=- 4 Για = 0 : y =0 +3 0-=- 1 : y =1 +3 1-=1+3-= 3 : y =3 +3 3-=9+9-=16 1 1-3
Ε ν ν ο ι α τ η ς Σ υ ν α ρ τ η σ η ς 56 Α σ κ η σ ε ι ς 3. 1 y = + 1 y = + 3 - - 3-1 0 5 y 10 1 5 6-3 - 0 1 3 y - - 4-16 3. Οι τιμες ενος καταστηματος ηλεκτρονικων επιβαρυνονται με φορο 8%. Να εκφρασετε τις τιμες y με φορο ως συναρτηση των τιμων χωρις φορο. Αν ειναι η τιμη χωρις φορο, τοτε : 8 ο φορος στην τιμη ειναι : = 0, 08. 100 Επομενως η νεα τιμη y θα ειναι : y = + 0,08 = 1,08 4. Ενας πωλητης παιρνει μισθο 600 το μηνα και ποσοστο 7 % επι των πωλησεων που πραγματοποιει. Να εκφρασετε το συνολικο ποσο y που κερδιζει τον μηνα, συναρτησει του ποσου των πωλησεων που πραγματοποιει. Αν ειναι η αξια των πωλησεων, τοτε : 7 το ποσοστο του στην αξια των πωλησεων ειναι : 100 Επομενως ο μισθος του y θα ειναι : y = 600 + 0,07 Η περιμετρος Π ειναι Π = + y Οποτε 60 = + y η y = 60 - η y = 30 - = 0, 07. 5. Ενα ορθογωνιο εχει πλευρες με μηκη και y (σε cm ) Αν η περιμετρος του ορθογωνιου ειναι 60 cm, να εκφρασετε την πλευρα y ως συναρτηση της πλευρας. Αν το εμβαδον του ορθογωνιου ειναι 100 cm, να εκφρασετε την πλευρα y ως συναρτηση της πλευρας. Το εμβαδον Ε ειναι Ε = y Οποτε 100 = y η y = 100
57 Ε ν ν ο ι α τ η ς Σ υ ν α ρ τ η σ η ς Α σ κ η σ ε ι ς 3. 1 6. Ενα τετραγωνο εχει πλευρα με μηκος (σε cm). Να εκφρασετε την περιμετρο Π και το εμβαδον Ε του τετραγωνου ως συναρτηση της πλευρας. Στη συνεχεια να συμπληρωσετε τον πινακα τιμων. Π = 4 και Ε = Ο πινακας συμπληρωμενος ειναι 1,5 5 0,3 Ε 1 4 6,5 5 0,09 Π 4 8 10 0 1, : y = 3-5 = 6-5 = 1 i Για = - 3 : y =3 (- 3)-5 =- 9-5 = - 14 7 : 7 = 3-5 η 3 =1 η = 4 i Για y = - :-=3-5 η 3 = 3 η = 1 Ετσι 1,5 5 0,3 Ε Π 7. Να συμπληρωσετε τον παρακατω πινακα τιμων της συναρτησης y = 3 5. - 3 y 7-1 - 3-14 y 4 7 1-8. Ενα αυτοκινητο κινειται με ταχυτητα 70 χιλιομετρα την ωρα. Ποση αποσταση θα διανυσει σε ωρες και ποση σε 5 ημερες ; Να εκφρασετε την αποσταση S (σε χιλιομετρ που θα εχει διανυσει το αυτοκινητο ως συναρτηση του χρονου t (σε ωρες). Η αποσταση S που θα διανυσει το αυτοκινητο σε ωρες (απ τη Φυσικη) δινεται απο τον τυπο : S = 70 = 140 km Η αποσταση που θα διανυσει σε 5 ημερες η 5 4 = 10 ωρες ειναι : S = 70 10 = 8400 km Αν t ειναι ο χρονος κινησης του αυτοκινητου, τοτε η αποσταση S που θα διανυσει το αυτοκινητο ειναι S = 70t.
M at h Com poser 1. 1. 5 ht t p: / / www. m at hcom poser. com Γ ρ α φ ι κ η Π α ρ α σ τ α σ η Σ υ ν α ρ τ η σ η ς 58 Ε ρ ω τ η σ ε ι ς Κ α τ α ν ο η σ η ς 3. 1. Να αντιστοιχισετε σε καθε σημειο τις συντεταγμενες του Α (, 3), Β (-, 3), Γ (-, - 3) Δ (, - 3). Σημειο Συντεταγμενες Α Β Γ Δ Σημειο Α (,3) (3,) (-,3) (-3,) (-,-3) (-3,-) (,-3) (3,-) 4 Β 3 Α 1 Ο -4-3 - -1-1 1 3 4 - Γ -3 Δ -4 Να συμπληρωσετε τον πινακα οπως φαινεται στο παραδειγμα της 1 ης γραμμης Σημειο Α Συμμετρικο του Α ως προς τον Συμμετρικο του Α ως προς τον Συμμετρικο του Α ως προς τον y y Συμμετρικο του Α ως προς τον y y Συμμετρικο του Α ως προς το O (-, 3) (-, -3) (, 3) (, -3) (3, 5) (-3, 5) (-3, -5) (3, -5) Συμμετρικο του Α ως προς το O (-, 3) (-, -3) (, 3) (, -3) (3, 5) (3, - 5) (- 3, 5) (- 3, - 5) (-3, 5) (- 3, - 5) (3, 5) (3, - 5) (-3, -5) (- 3, 5) (3, - 5) (3, 5) (3, -5) (3, 5) (- 3, - 5) (- 3, 5) Π α ρ α τ η ρ η σ η Δυο σημεια : Συμμετρικα ως προς τον αξονα των εχουν την ιδια τετμημενη και αντιθετες τεταγμενες. Συμμετρικα ως προς τον αξονα των y εχουν την ιδια τεταγμενη και αντιθετες τετμημενες. Συμμετρικα ως προς το Ο(0,0) εχουν αντιθετες συντεταγμενες.
M at h Com poser 1. 1. 5 ht t p: / / www. m at hcom poser. com M at h Com poser 1. 1. 5 ht t p: / / www. m at hcom poser. com M at h Com poser 1. 1. 5 ht t p: / / www. m at hcom poser. com 59 Γ ρ α φ ι κ η Π α ρ α σ τ α σ η Σ υ ν α ρ τ η σ η ς Ε ρ ω τ η σ ε ι ς Κ α τ α ν ο η σ η ς 3. 3. Στο διπλανο σχημα ειναι ΑΒ < ΑΓ, ΑΒ > ΑΓ, γ) ΑΒ = ΑΓ Να επιλεξτε την σωστη απαντηση Οι συντεταγμενες των σημειων Α, Β, Γ ειναι Α(, 6), Β(3, 1) και Γ(- 3, ) αντιστοιχα. Ετσι ΑΒ = ΑΓ = (3-) +(1-6) = 1+5 = 6 (- 3-) +(-6) = 5+16 = 41 6 < 41 οποτε ΑΒ < ΑΓ, δηλαδη σωστη απαντηση η ( 4. Στο διπλανο σχημα ειναι Α : A < 90 ο, Β : A= 90 ο, Γ : A > 90 ο Α : εφθ = 5 Β : εφθ = 7 5, Γ : εφθ = 5 7, Δ: εφθ = 1 γ) Α : ΑΒ < ΑΓ, Β : ΑΒ = ΑΓ, Γ : ΑΒ > ΑΓ δ) Α : εφφ = 3, Β : εφφ = 5, Γ : εφφ = 1, Δ : εφφ = Επιλεξτε την σωστη απαντηση Φερνοντας την ΑΔ, το σημειο Δ εχει συντεταγμενες Δ(, 0) και ειναι ΑΔ = 5, ΒΔ = 5 και ΔΓ = 5. Δηλαδη τα ορθογωνια τριγωνα ΑΒΔ, ΑΔΓ ειναι και ισοσκελη, οποτε ˆφ = ˆθ = A 1 = A = 45 ο. Ετσι A = 90 ο και σωστη απαντηση ειναι η Β. Ειναι εφθ = ΑΔ ΔΓ = 5 5 = 1. Σωστη απαντηση ειναι η Δ. Β Γ 7 y 6 5 4 3 1 Α Β Ο -4-3 - -1 1 3 4-1 7 6 5 4 3 1 y Α(,5) -4-3 - -1 1 3 4 5 6 7 8-1 Β φ φ 7 6 5 4 3 1 Ο y Ο Δ 1 Α(,5) -4-3 - -1 1 3 4 5 6 7 8-1 θ θ Γ Γ
M at h Com pos er 1. 1. 5 ht t p: / / www. m at hcom poser. c om Γ ρ α φ ι κ η Π α ρ α σ τ α σ η Σ υ ν α ρ τ η σ η ς 60 Ε ρ ω τ η σ ε ι ς Κ α τ α ν ο η σ η ς 3. γ) Αφου ˆφ = ˆθ = 45 ο, το τριγωνο ΑΒΓ ειναι ισοσκελες και ΑΒ = ΑΓ. Σωστη απαντηση ειναι η Β. δ) Ειναι εφφ = ΑΔ ΒΔ = 5 5 = 1. Σωστη απαντηση ειναι η Γ. 5. Στο παρακατω σχημα δινεται η γραφικη παρασταση μιας συναρτησης για = 1 ειναι y =... A: - 1 B: Γ: 3 Δ: 5 για = 3 ειναι y =... A: - 1 B: Γ: 3 Δ: 5 γ) για y = 6 ειναι =... A: - 1 B: Γ: 3 Δ: 5 δ) για y = ειναι =... A: - 1 B: Γ: 3 Δ: 5 Επιλεξτε την σωστη απαντηση Απο την γραφικη παρασταση προκυπτει : για = 1 τοτε y = 3 για = 3 τοτε y = 5 για y = 6 τοτε = 5 για y = τοτε = - 1 Ετσι, οι σωστες αντιστοιχισεις ειναι α Γ, β Δ, γ Δ, δ Α 1 3 4 5 6 7 y Ο -3 - -1 1 3 4 5 6 7-1
Mat h Composer 1. 1. 5 htt p: / / www. m at hcom poser. com 61 Γ ρ α φ ι κ η Π α ρ α σ τ α σ η Σ υ ν α ρ τ η σ η ς Α σ κ η σ ε ι ς 3. 1. Στο παρακατω σχημα να βρειτε τις συντεταγμενες των σημειων Α, Β, Γ, Δ, Ε, Ζ, Η, Θ και Ι. Θ Ε Γ Η 6 5 4 3 1 Ο Α(, 3), Β(4, 0), Γ(- 3, 3), Δ(0, - 4), Ε(- 4, - ), Ζ(5, - 3), Η(-, 1), Θ(- 5, 0), Ι(0, 5) y Ι Δ Α Β Ζ. Σε ενα τετραγωνισμενο χαρτι να σχεδιασετε ενα συστημα αξονων και να σημειωσετε τα σημεια : 5 Α(- 3, ), Β(- 0,5, 1), Γ(0, - ), Δ 9 1 (-,- ), Ε (-, 0), Ζ(,4, - 3,) Δ Α Ε y Β Ο Γ Ζ 3. 7 Δινονται τα σημεια Α(- 3, 4) και Β(, - ). Σε τετραγωνισμενο χαρτι να βρειτε τις συντεταγμενες των συμμετρικων τους σημειων ως προς τον αξονα, τον αξονα y y και την αρχη των αξονων.
M at h Com poser 1. 1. 5 ht t p: / / www. m at hcom poser. com Γ ρ α φ ι κ η Π α ρ α σ τ α σ η Σ υ ν α ρ τ η σ η ς 6 Α σ κ η σ ε ι ς 3. Συμμετρικο του Α ως προς τον αξονα ειναι το Α1(- 3, - 4) Συμμετρικο του Α ως προς τον αξονα y y ειναι το Α(3, 4) Συμμετρικο του Α ως προς την αρχη O ειναι το Α3(3, - 4) Συμμετρικο του Β ως προς τον αξονα ειναι 7 το Β1, Συμμετρικο του Β ως προς τον αξονα y y ειναι 7 το Β -, - 7 Συμμετρικο του Β ως προς την αρχη ειναι το Β3 -, 4. Στο παρακατω σχημα να βρειτε τις συντεταγμενες των σημειων Α, Β και Γ. Να επιλεξετε την σωστη απαντηση i) Το μηκος ΒΓ ισουται με Α : 1 + 3 = 4 Β : - = 0 Γ : 3-1 = Δ: - 1-3 = - 4 ii) Το μηκος AΓ ισουται με Α : 3-3 = 0 Β : 1 + = 3 Γ : 1 - = - 1 Δ : - 1 = 1 γ) Αφου παρατηρησετε οτι το τριγωνο ΑΒΓ ειναι ορθογωνιο στο Γ, να επαληθευσετε με τη βοηθεια του Πυθαγορειου Θεωρηματος οτι η αποσταση ΑΒ ειναι ιση με 5. Α(1, 3), Β(-, - 1), Γ(-, 3) i) A, ii) B A A1 B3 B Β y Γ Ο Ο y A B1 B A3 y Α γ) Tα σημεια Α και Γ εχουν την ιδια τεταγμενη. Eτσι ΑΓ //. Tα σημεια Β και Γ εχουν την ιδια τετμημενη. Eτσι ΒΓ // y y. Ομως y y, οποτε και ΒΓ ΓΑ. Απ το Πυθαγορειο θεωρημα στο τριγωνο ΑΒΓ : ΑΒ = ΒΓ + ΑΓ η ΑΒ = 4 + 3 η ΑΒ = 5 η ΑΒ = 5 = 5
M at h Com poser 1. 1. 5 ht t p: / / www. m at hc om poser. com 63 Γ ρ α φ ι κ η Π α ρ α σ τ α σ η Σ υ ν α ρ τ η σ η ς Α σ κ η σ ε ι ς 3. 5. Να βρειτε τις αποστασεις των παρακατω σημειων απο τους αξονες και y y Α(3, 5) Β(- 3, ) γ) Γ( 0, - 4) Η αποσταση του Α απ τον αξονα : 5 = 5 Α απ τον αξονα y y : 3 = 3 B απ τον αξονα : = B απ τον αξονα y y : - 3 = 3 γ) Γ απ τον αξονα : - 4 = 4 Γ απ τον αξονα y y : 0 = 0 6. Να βρειτε τις αποστασεις των σημειων Α(3, 5) και Β(5, 1) Α(-, 1) και Β(, - 3) γ) Α(3, - 5) και Β(-, - 5) δ) Α(- 5, - 7) και Β(- 5, ) ΑΒ = ΑΒ = γ) ΑΒ = δ) ΑΒ = (5-3) +(1-5) = +(- 4) = 4+16 = 0 (+) +(- 3-1) = 4 +(- 4) = 16+16 = 3 (- -3) +(- 5+5) = (- 5) +0 = 5 =5 (- 5+5) +(+7) = 0+9 = 81 =9 Β y y O Γ Α 7. Ενα πλοιο Π κινειται με ταχυτητα 8 μιλια την ωρα και κατευθυνεται προς το λιμανι Λ, οπως φαινεται και στο διπλανο σχημα. Η θεση του πλοιου ως προς ενα συστημα συντεταγμενων με αρχη το Λ και μοναδα μετρησης το ενα μιλι ειναι (- 8, 15). Σε ποση ωρα θα φτασει στο λιμανι ; Π -8 15 Λ
Γ ρ α φ ι κ η Π α ρ α σ τ α σ η Σ υ ν α ρ τ η σ η ς 64 Α σ κ η σ ε ι ς 3. Η αποσταση του πλοιου Π(- 8, 15) απο το λιμανι Λ(0, 0) ειναι ΠΛ= (- 8-0) +(15-0) = 64+5 = 89 =17 Δηλαδη το πλοιο απεχει απο το λιμανι 17 μιλια και θα φτασει στο λιμανι σε 17 : 8 =,15 ωρες η ωρες 7 λεπτα και 30 δευτερολεπτα. 8. H πιεση Ρ (σε cm Hg) του αερα ως συναρτηση του υψους h απο το εδαφος φαινεται στον παρακατω πινακα : Υψος h σε χιλιομετρα 0 1 3 Πιεση Ρ σε cm Hg 76 68 60 5 Να κατασκευασετε σε ορθογωνιο συστημα συντεταγμενων τη γραφικη παρασταση της συναρτησης αυτης. Ποια ειναι η πιεση σε υψος 1,5 km απο το εδαφος ; γ) Σε ποιο υψος η πιεση ειναι περιπου ιση με 70 cm Hg ; Eνωνοντας τα σημεια (0, 76), (1, 68), (, 60) και (3, 5) σχεδιαζουμε τη γραφικη παρασταση. Απο το σημειο A(1,5, 0) φερνουμε καθετh στον αξονα h, η οποια τεμνει τη γραφικη παρασταση σε σημειο M. Η τεταγμενη του M (64) ειναι η ζητουμενη πιεση. Ετσι, σε υψος 1,5 km η πιεση ειναι 64 cm Hg. γ) Απο το σημειο B(0, 70) φερνουμε καθετο στον αξονα Ρ, που τεμνει τη γραφικη παρασταση σε σημειο N. Η τετμημενη του N (0,75) ειναι το ζητουμενο υψος (0,75 km). 9. H θερμοκρασια Τ (σε cm Hg) του αερα ως συναρτηση του υψους h απο το εδαφος φαινεται στον παρακατω πινακα : Υψος h σε χιλιομετρα 0 1 3 Θερμοκρασια Τ σε o C 16 10 4 Να κατασκευασετε σε ορθογωνιο συστημα συντεταγμενων τη γραφικη παρασταση της συναρτησης αυτης. Ποια ειναι η θερμοκρασια του αερα σε υψος 500 m απο το εδαφος ; γ) Σε ποιο υψος η θερμοκρασια του αερα ειναι περιπου ιση με 1 o C ; P B N A M h
65 Γ ρ α φ ι κ η Π α ρ α σ τ α σ η Σ υ ν α ρ τ η σ η ς Α σ κ η σ ε ι ς 3. Eνωνοντας τα σημεια (0, ), (1, 16), (, 10) και (3, 4) σχεδιαζουμε τη γραφικη παρασταση. C 0 A Απ το σημειο (0,5, 0) φερνουμε καθετο στον αξονα h, που τεμνει τη γραφικη παρασταση σε σημειο Α (500m = 0,5 km). Η τεταγμενη του Α (19) ειναι η ζητουμενη θερμοκρασια. Δηλαδη σε υψος 0,5 km η θερμοκρασια ειναι 19 ο C. γ) Απ το σημειο (0, 1) φερνουμε καθετο στον αξονα C που τεμνει τη γραφικη παρασταση σε σημειο Β. Η τετμημενη του Β (1,6) ειναι το ζητουμενο υψος. Δηλαδη η θερμοκρασια ειναι 1 ο C σε υψος 1,6 km. 10. Οταν ενα σωμα (πχ μια μπαλ πεφτει απο ενα ψηλο σημειο (πχ τον τελευταιο οροφο ενος ουρανοξυστη υψους 100 m) δεν κινειται ομαλα (σταθερη ταχυτητ, αλλα εκτελει επιταχυνομενη κινηση. Στον παρακατω πινακα φαινεται η αποσταση που διανυει το σωμα ως συναρτηση του χρονου t. t(s) 0 1 3 4 (m) 0 5 0 45 80 0 1 3 h Να κατασκευασετε σε ορθογωνιο συστημα συντεταγμενων τη γραφικη παρασταση της συναρτησης αυτης. 0 80 60 40 16 1 8 4 M B 0 0 1 3 4 t
Mat h Composer 1. 1. 5 ht t p: / / www. m at hcom poser. com M at h Com poser 1. 1. 5 ht t p: / / www. m at hcom poser. com M at h Com poser 1. 1. 5 ht t p: / / www. m at hcom poser. com M at h Com poser 1. 1. 5 ht t p: / / www. m at hcom poser. com H Σ υ ν α ρ τ η σ η y = a 66 Ε ρ ω τ η σ ε ι ς Κ α τ α ν ο η σ η ς 3. 3 1. Τα ποσα και y ειναι αναλογα. Να συμπληρωσετε τον διπλανο πινακα τιμων Ποιος απο τους παρακατω τυπους εκφραζει το y ως συναρτηση του ; Α: y = 5 Β: y = 5 Γ: y = 5 Επιλεξτε την σωστη απαντηση. Επειδη τα ποσα ειναι αναλογα, εχουν σταθερο λογο και οταν πολλαπλασιαζεται το ενα με καποιον αριθμο πολλαπλασιαζεται και το αλλο με τον ιδιο αριθμο. Ετσι 4 = 3 = 6 y 5 5 = 10 15 = 5 3 Απο την πρωτη στηλη του πινακα : y = 5 η y = 5. Ετσι, σωστη απαντηση ειναι η Γ.. Ποια απο τις παρακατω ευθειες ειναι η y = 3 ; 3 1 y O 1 1 y Η εξισωση y = 3, για = 1 δινει y = 3. Οποτε η γραφικη της παρασταση διερχεται απο το σημειο (1, 3). Η ζητουμενη ευθεια ειναι του πρωτου σχηματος. 3 1 y O -1 1 y Δ: y = 0,4 4 y 5 15 y 1-4 -3 - -1 1 3 4-1 - y 1-4 -3 - -1 1 3 4-1 -
67 H Σ υ ν α ρ τ η σ η y = a Ε ρ ω τ η σ ε ι ς Κ α τ α ν ο η σ η ς 3. 3 3. Ποια απο τις παρακατω ευθειες εχει κλιση 1-3. y = 3 y = - 3 γ) y = 1 3 δ) y = 1 1 - ε) y = - 3 3 Να επιλεξετε την σωστη απαντηση Η ζητουμενη ευθεια ειναι η y = Σωστη απαντηση ειναι η (δ). 1-3.
H Σ υ ν α ρ τ η σ η y = a 68 Α σ κ η σ ε ι ς 3. 3 1. Γνωριζοντας οτι τα ποσα και y ειναι αναλογα. να συμπληρωσετε τον διπλανο πινακα τιμων Ειναι = = 1 y 6 3 και ο πινακας γινεται (κατω γραμμη τριπλασια της πανω) Αφου 1 5 y 6 1 30 να εκφρασετε το y ως συναρτηση του ; γ) Να παραστησετε γραφικα την συναρτηση αυτη. 1 5 7 10 y 3 6 15 1 30 1 =, τοτε y = 3 y 3 γ) Για = 1 ειναι y = 3 Η ευθεια διερχεται απο τα σημεια Α(1, 3) και Ο(0, 0), αρα ειναι η ευθεια ΑΟ.. Να σχεδιασετε στο ιδιο συστημα ορθογωνιων αξονων τις ευθειες : y =, y = 3, y = 5. Για = 1 η y = δινει y =. Δηλαδη διερχεται απ το σημειο Α(1, ). Για = 1 η y = 3 δινει y = 3. Δηλαδη διερχεται απ το σημειο Β(1, 3). Για = 1 η y = 5 δινει y = 5. y 4 y 3 A 1 O 1 Γ 3 Β Δηλαδη διερχεται απ το σημειο Γ(1, 5). Και οι τρεις ευθειες ειναι της μορφης y = α, οποτε διερχονται απ την αρχη των αξονων Ο(0, 0). Α 1 O 1
69 H Σ υ ν α ρ τ η σ η y = a Α σ κ η σ ε ι ς 3. 3 3. Να σχεδιασετε στο ιδιο συστημα ορθογωνιων αξονων τις ευθειες y = 1, y = - 1 Για = η y = 1 δινει y = 1. Δηλαδη διερχεται απ το σημειο Α(, 1). Για = η y = - 1 δινει y = - 1. Δηλαδη διερχεται απ το σημειο Α(, - 1). Και οι δυο ευθειες ειναι της μορφης y = α, οποτε διερχονται απ την αρχη των αξονων Ο(0, 0). Απ τη Φυσικη γνωριζουμε, οτι αν ενα κινητο κινειται με σταθερη ταχυτητα υ, τοτε σε χρονο t διανυει αποσταση S που δινεται απο τον τυπο S = υt. Ετσι, η ζητουμενη συναρτηση ειναι η S = 5t. Για t = 1 τοτε S = 5. Επομενως η γραφικη παρασταση ειναι η ευθεια που διερχεται απο το σημειο Α(1, 5) και απο την αρχη των αξονων. y 1 Α Ο 1-1 B 4. Ενα κινητο κινειται με σταθερη ταχυτητα υ = 5 m/s. Να εκφρασετε το διαστημα S που διανυει ως συναρτηση του χρονου t. Να παραστησετε γραφικα την συναρτηση αυτη. y 5 Α Ο 1 5. Να βρειτε την εξισωση της ευθειας η οποια διερχεται απο την αρχη των αξονων και το σημειο Α(, 6). Η ευθεια διερχεται απο το σημειο Α(, 6), οποτε θα εχει κλιση α = y = 6 = 3 Ετσι η ζητουμενη εξισωση ειναι : y = 3
H Σ υ ν α ρ τ η σ η y = a 70 Α σ κ η σ ε ι ς 3. 3 6. Να σχεδιασετε σε ορθογωνιο συστημα αξονων μια ευθεια η οποια να διερχεται απο την αρχη των αξονων και να εχει κλιση 3. Η ζητουμενη ευθεια εχει κλιση α = 3. Η εξισωση της ευθειας ειναι : y = 3. Για = εχουμε y = 3. Αρα η ζητουμενη ευθεια διερχεται απο το σημειο Α(, 3) και την αρχη των αξονων. Η ευθεια διερχεται απο το σημειο Α(- 1, 3), οποτε εχει κλιση : α = y = 3-1 = - 3 0 Αν ειναι η τιμη πριν την αυξηση, τοτε η αυξηση σε αυτη ειναι: 100 = 0,. Ετσι, μετα την αυξηση η νεα αντιστοιχη τιμη y ειναι: y = + 0, η y = 1, Για = 1 ειναι y = 1, και η ευθεια διερχεται απο το σημειο Α(1, 1,) και την αρχη των αξονων (διπλανο σχημ. γ) i) Για = 7 ειναι y = 1, 7 = 8,4 Δηλαδη ενα προϊον που κοστιζε περυσι 7 φετος κοστιζει 8,4. ii) Για y = 7 εχουμε 7 = 1, αρα = 7 1, = 5,83 Δηλαδη ενα προϊον που κοστιζει φετος 7 περυσι κοστιζε 5,83. y 3 Α Ο 7. Να βρειτε την κλιση μιας ευθειας η οποια διερχεται απο την αρχη των αξονων Ο και απο το σημειο Α(- 1, 3). 8. Οι τιμες των αγροτικων προϊοντων σε μια χωρα αυξηθηκαν κατα 0% σε ενα χρονο. Να βρειτε τη σχεση που εκφραζει τις νεες τιμες y των προϊοντων ως συναρτηση των παλαιων τους τιμων. Να σχεδιασετε την συναρτηση γ) Με την βοηθεια της παραπανω συναρτησης να βρειτε i) Τη σημερινη τιμη ενος προϊοντος που ειχε περυσι 7 ii) Την περσινη τιμη ενος προϊοντος που εχει σημερα 7 y 1 Α Ο 1
71 H Σ υ ν α ρ τ η σ η y = a Α σ κ η σ ε ι ς 3. 3 9. Η ισοτιμια του Ευρω εναντι του δολαριου την 1/7/03 ηταν 11 $ για 100 Να βρειτε τη σχεση που εκφραζει την τιμη y σε δολαρια ενος προϊοντος ως συναρτηση της τιμης του προϊοντος σε ευρω. Απο τη γραφικη παρασταση της συναρτησης να βρειτε κατα προσεγγιση την τιμη σε δολαρια ενος αεροπορικου εισιτηριου που κοστιζει 50. γ) Απο την γραφικη παρασταση της συναρτησης να βρειτε κατα προσεγγιση την τιμη σε Ευρω ενος αεροπορικου εισιτηριου που κοστιζει 50 $. κλιση : y = 11 100 Για = 100 ειναι y = 11 = 1,1 οποτε y = 1,1 Η γραφικη παρασταση θα ειναι η ευθεια που διερχεται απο το σημειο Μ(100, 11) και την αρχη των αξονων. Η καθετος στον αξονα των (ευρω) απο το σημειο Α(50, 0) τεμνει την γραφικη παρα- σταση στο Β. Η τεταγμενη του Β ειναι περιπου 80 (δολαρι, και μας δειχνει, κατα προσεγγιση, το κοστος του εισιτηριου των 50 ευρω σε δολαρια. γ) Η καθετη στον αξονα των y (δολαρι στο σημειο Κ(0, 50) τεμνει τη γραφικη παρασταση στο Λ. Η τετμημενη του Λ, ειναι περιπου 3 (ευρω) και μας δειχνει κατα προσεγγιση το κοστος του εισιτηριου των 50 δολαριων σε ευρω. Κ y(δολαρι 100 Μ Ο 100 Λ Β (ευρω)
M at h Com poser 1. 1. 5 ht t p: / / www. m at hcom pos er. com M at h Com poser 1. 1. 5 ht t p: / / www. m at hcom poser. com H Σ υ ν α ρ τ η σ η y = a + β 7 Ε ρ ω τ η σ ε ι ς Κ α τ α ν ο η σ η ς 3. 4 1. Η ευθεια y = 3 ειναι παραλληλη προς την : Α y = + 3 Β y = 3 Γ y = 3 7 Δ y = 3 + 5 Nα επιλεξετε τη σωστη απαντηση. Σωστη απαντηση το Γ.. Στο διπλανο σχημα εχουμε σχεδιασει τρεις παραλληλες ευθειες της στηλης Β. Να αντιστοιχισετε καθε μια στην εξισωση της. Στηλη Α ε1 Στηλη Β y = ε y = 1 ε3 y = + 8 + 16 = 8( + ) H ε1 τεμνει τον αξονα των y στο σημειο (0, ), αρα εξισωση της ειναι η : y = + Η ε διερχεται απ την αρχη των αξονων, αρα εξισωση της ειναι η : y = H ε3 τεμνει τον αξονα των y στο σημειο (0, - 1), αρα εξισωση της ειναι η : y = - 1 Ετσι ε1 y = +, ε y =, ε3 y = 1 3. Στο διπλανο σχημα το ορθογωνιο ΑΒΓΔ εχει κεντρο το Ο και οι πλευρες του ειναι παραλληλες προς τους αξονες και y y. Να αντιστοιχισετε καθε πλευρα με την εξισωση της ευθειας στην οποια ανηκει. Πλευρες Ευθειες ΑΒ y = ΑΓ = 3 ΓΔ y = - ΒΔ = -3 ε1 ε ε3 4 3 1-3 - -1-1 1 3 - -3y y 3 y Α Β 1 Ο -4-3 - -1-1 1 3 4 - Γ -3 Δ Πλευρες Ευθειες ΑΒ y = ΑΓ = -3 ΓΔ y = - ΒΔ = 3
73 H Σ υ ν α ρ τ η σ η y = a + β Ε ρ ω τ η σ ε ι ς Κ α τ α ν ο η σ η ς 3. 4 4. Η ευθεια με εξισωση 4 + y = 4 Η δοσμενη εξισωση γραφεται y = - 4 + 4, οποτε η κλιση της ειναι - 4 Σωστη απαντηση ειναι η Β. Για y = 0 βρισκουμε = 1, επομενως η ευθεια τεμνει τον αξονα στο σημειο (1, 0). Σωστη απαντηση ειναι η Δ. γ) Για = 0 βρισκουμε y = 4, επομενως η ευθεια τεμνει τον αξονα y y στο σημειο (0, 4) Σωστη απαντηση ειναι η B. 3 + 4y = 9 : (3, 0) : 3 3 + 4 0 = 9 η 9 = 9 (0, 4) : 3 0 + 4 4 = 9 η 16 = 9 δεν ισχυει, οποτε η ευθεια δεν διερχεται απ το σημειο (0, 4) και δεν ειναι η ζητουμενη. 3 + 4y = 16 : (3, 0) : 3 3 + 4 0 = 16 η 9 = 16 δεν ισχυει, οποτε η ευθεια δεν διερχεται απ το σημειο (3, 0) και δεν ειναι η ζητουμενη. 4 + 3y = 1 : (3, 0) : 4 3 + 3 0 = 1 η 1 = 1 (0, 4) : 4 0 + 3 4 = 1 η 1 = 1 η ευθεια διερχεται απ τα σημεια (3, 0) (0, 4) και ειναι η ζητουμενη. Σωστη απαντηση το Γ. Α Β Γ Δ Ε εχει κλιση: 4-4 1-1 τεμνει τον αξονα στο σημειο: (4,1) (4,0) (-4,0) (1,0) (0,4) γ) τεμνει τον αξονα y y στο σημειο: (0,1) (0,4) (4,4) (0,-4) (0,-1) Να επιλεξετε την σωστη απαντηση. 5. Μια ευθεια τεμνει τους αξονες στα σημεια (3, 0) και (0, 4). Η εξισωση της ειναι : Α 3 + 4y = 9 Β 3 + 4y = 16 Γ 4 + 3y = 1 Να επιλεξετε την σωστη απαντηση. 1 4
H Σ υ ν α ρ τ η σ η y = a + β 74 Α σ κ η σ ε ι ς 3. 4 1. Στο ιδιο συστημα αξονων να παραστησετε γραφικα τις ευθειες με εξισωσεις y = 1, y = 1 +, y = 1-3 Η εξισωση y = 1 για = δινει y = 1. Επομενως η γραφικη της παρασταση ειναι ευθεια που διερχεται απο το σημειο (, 1) και την αρχη των αξονων. Οι ευθειες με εξισωσεις: y = 1 +, y = 1 3 ειναι παραλληλες στην ευθεια με εξισωση y = 1 που τεμνουν τον αξονα y y στα σημεια (0, ) και (0, -3) αντιστοιχα.. Να παραστησετε γραφικα την συναρτηση y = - 3 + οταν : Ο ειναι πραγματικος αριθμος 0 γ) - 5 Για = 0, ειναι y =. Το Α(0, ) ειναι σημειο της ευθειας. Για y = 0 ειναι = 3. Το Β, 0 ειναι σημειο της ευθειας. 3 Η γραφικη παρασταση της συναρτησης ειναι ολοκληρη η ευθεια ΑΒ Η γραφικη παρασταση της συναρτησης ειναι το κομματι της ευθειας του (, του οποιου τα σημεια εχουν τετμημενη 0. Δηλαδη ειναι η ημιευθεια ΑΒ. γ) ( y Α Ο Β 1 y Ο (γ) y = 1 + y = 1 y = 1-3 ( y Α Ο Β 1 Κ y Ο Για = - ειναι y = 8, αρα το σημειο Κ(-, 8) Για = 5 ειναι y = - 13, αρα το σημειο Λ(5, - 13) Η γραφικη παρασταση της συναρτησης ειναι το κομματι της ευθειας του (, που τα σημεια εχουν τετμημενη με - 5. Δηλαδη ειναι το ευθυγραμμο τμημα ΚΛ. Λ
M at h Com poser 1. 1. 5 ht t p: / / www. m at hcom poser. com 75 H Σ υ ν α ρ τ η σ η y = a + β Α σ κ η σ ε ι ς 3. 4 3. Να βρειτε την εξισωση της ευθειας που εχει κλιση και τεμνει τον αξονα των y y στο σημειο με τεταγμενη - 3. Η ζητουμενη εξισωση ειναι της μορφης y = α + β με α = και β = - 3. Επομενως ειναι η : y = - 3 4. Στο διπλανο σχημα δινονται τα σημεια Α(1, 1) και Β(, 3) Να αποδειξετε οτι η αποσταση ΑΒ ειναι ιση με 5 Να αποδειξετε οτι η ευθεια με εξισωση y = - 1 διερχεται απο τα Α και Β. Η αποσταση ΑΒ δινεται απο τον τυπο : ΑΒ = (-1) +(3-1) = 1 + = 1+4 = 5 Η εξισωση y = - 1, για = 1 δινει y = 1, αρα η ευθεια διερχεται απο το Α. Η εξισωση y = - 1, για = δινει y = 3, αρα η ευθεια διερχεται απο το Β. 5. Οταν χρησιμοποιουμε ταξι πληρωνουμε 0,5 για τη σημαια και 0, για καθε χιλιομετρο διαδρομης. Να βρειτε τη συναρτηση που μας δινει το ποσο y που θα πληρωσουμε για μια διαδρομη χιλιομετρων. Η αξια της διαδρομης των χιλιομετρων ειναι 0,. Ετσι, η εξισωση της συναρτησης ειναι : y = 0, + 0,5 4 y Β 3 Α 1 Ο -3 - -1 1 3-1 - 6. Δινεται η ευθεια - 3y = 6. Να βρειτε τα σημεια στα οποια τεμνει τους αξονες. Για = 0 η εξισωση - 3y = 6 δινει : y = -. Επομενως η ευθεια τεμνει τον αξονα των y y στο σημειο (0, - ). Για y = 0 η εξισωση - 3y = 6 δινει : = 3. Επομενως η ευθεια τεμνει τον αξονα των στο σημειο (3, 0).
H Σ υ ν α ρ τ η σ η y = a + β 76 Α σ κ η σ ε ι ς 3. 4 7. Να σχεδιασετε την γραφικη παρασταση της ευθειας + y =. Για = 0 η εξισωση + y = δινει : y =. Επομενως η ευθεια τεμνει τον αξονα y y στο σημειο Α(0, ). Για y = 0 η εξισωση + y = δινει : =. Επομενως η ευθεια τεμνει τον αξονα στο σημειο Β(, 0). Η γραφικη παρασταση της ευθειας με εξισωση + y = ειναι η ευθεια ΑΒ. Σχεδιαζουμε τις ευθειες με εξισωσεις y =, y = 3, = 1 και = Αυτες τεμνομενες οριζουν το ορθογωνιο ΑΒΓΔ. Οι συντεταγμενες των κορυφων ειναι : Α(-, 3), Β(1, 3), Γ(1, ), Δ(-, ) Απ το σχημα : ΑΒ = 3 και ΑΔ = 1 Ετσι, το εμβαδον Ε του ΑΒΓΔ ειναι : Ε = 3 1 = 3 τετρ. μοναδες y Α Ο 8. Να σχεδιασετε στο ιδιο συστημα ορθογωνιων αξονων το ορθογωνιου ΑΒΓΔ, του οποιου οι πλευρες ανηκουν στις ευθειες y =, y = 3, = 1 και = -. Ποιες ειναι οι συντεταγμενες των κορυφων Α, Β, Γ και Δ ; Ποιο ειναι το εμβαδον του ορθογωνιου ΑΒΓΔ ; Β Α 3 Β Δ Γ y - Ο 1 9. Ενα εργοστασιο κατασκευαζει ηλεκτρονικους υπολογιστες με κοστος 00 το τεμαχιο. Επισης πληρωνει 100 την ημερα για την ενοικιαση μιας αποθηκης, για να αποθηκευσει τους υπολογιστες. Να εκφρασετε το συνολικο ημερησιο κοστος y του εργοστασιου ως συναρτηση του αριθμου των υπολογιστων που κατασκευαζει ημερησιως. Να σχεδιασετε σε συστημα ορθογωνιων αξονων την συναρτηση αυτη. Αν το εργοστασιο κατασκευαζει υπολογιστες, το κοστος γι αυτους ειναι 00.
77 H Σ υ ν α ρ τ η σ η y = a + β Α σ κ η σ ε ι ς 3. 4 Τ Λαμβανοντας υποψη και το ενοικιο της αποθηκης βρισκουμε οτι το συνολικο ημερησιο κοστος y ειναι : y = 00 + 100 με 0 (1) Απο την (1) προκυπτει οτι η γραφικη παρασταση της συναρτησης ειναι κομματι της ευθειας y y = 00 + 100 y = 00 + 100. Για = 1 ειναι y = 300 Για = ειναι y = 500 Επομενως δυο σημεια απ τα οποια διερχεται η ευθεια ειναι τα A(1, 300) και B(, 500) Και αφου 0, η γραφικη παρασταση της συναρτησης ειναι το κομματι της ευθειας, τα σημεια του οποιου εχουν τετμημενη 0. Δηλαδη ειναι η ημιευθεια δεξια του αξονα y y. 500 300 100 Ο B A 1 10. Σε ενα τηλεοπτικο παιχνιδι καθε παιχτης ξεκιναει εχοντας απο την εταιρεια παραγωγης ως δωρο 1000. Στη συνεχεια πρεπει να απαντησει σε 0 ερωτησεις. Σε καθε σωστη απαντηση κερδιζει 100 ενω για καθε λανθασμενη χανει 50. Συμβολιζουμε με το πληθος των σωστων απαντησεων. Να εκφρασετε ως συναρτηση του το πληθος ω των λανθασμενων απαντησεων. Να εκφρασετε ως συναρτηση του το συνολικο κερδος y του παιχτη. γ) Να παραστησετε γραφικα την συναρτηση y. Αφου ειναι το πληθος των σωστων απαντησεων, το πληθος ω των λανθασμενων ειναι ω = 0 - Το κερδος απο τις σωστες απαντησεις ειναι 100 Το χασιμο απο τις λανθασμενες απαντησεις ειναι 50(0 - ) Το συνολικο κερδος y ειναι y = 1000 + 100-50(0 - ) y = 1000 + 100-1000 + 50 y = 150 με 0 0 γ) Η γραφικη παρασταση ειναι ευθυγραμμο τμημα με ακρα τα σημεια (0, 0) και (0, 3000) (σχημ y 3500 500 1500 500 Ο 5 10 y = 150 0
H Σ υ ν α ρ τ η σ η y = α - H Y π ε ρ β ο λ η 78 Ε ρ ω τ η σ ε ι ς Κ α τ α ν ο η σ η ς 3. 5 1. Σε ποιες απο τις παρακατω περιπτωσεις τα ποσα και y ειναι αντιστροφως αναλογα; γ) Τα ποσα ειναι αντιστροφως αναλογα γιατι το γινομενο των αντιστοιχων τιμων ειναι σταθερο ισο με 1. Δεν ειναι αφου 0, = 0,4 0,9 = 3 0,3 γ) Τα ποσα ειναι αντιστροφως αναλογα γιατι το γινομενο των αντιστοιχων τιμων ειναι σταθερο ισο με 1. 3 5 y 1 1 3 δ) Δεν ειναι αφου (- ) = - 4-9 = 3 (- 3) 1 5 3 5 y 0, 0,3 0,5 3 5 3 5 δ) y 6 4,4 y - -3-5. Να χαρακτηρισετε σωστη (Σ) η λανθασμενη (Λ) καθε μια απο τις παρακατω προτασεις : Η γραφικη παρασταση της συναρτησης y = Η γραφικη παρασταση της συναρτησης y = 5 εχει αξονα συμμετριας την ευθεια =. διερχεται απο την αρχη Ο των αξονων. γ) Η γραφικη παρασταση της συναρτησης y = 10 βρισκεται στο 1 ο και στο 3 ο τεταρτημοριο. δ) Η γραφικη παρασταση της συναρτησης y = - 5 ξονων. εχει κεντρο συμμετριας την αρχη Ο των α- Λ Λ γ) Σ δ) Σ
M at h Com poser 1. 1. 5 ht t p: / / www. m at hcom poser. com 79 H Σ υ ν α ρ τ η σ η y = α - H Y π ε ρ β ο λ η Ε ρ ω τ η σ ε ι ς Κ α τ α ν ο η σ η ς 3. 5 3. Στο παρακατω σχημα δινονται οι γραφικες παραστασεις (, ( και (γ) τριων υπερβολων. Να αντιστοιχισετε σε καθε μια την εξισωση της. Α y = 1 Β y = Γ y = 3 Η εξισωση y = 1 Η εξισωση y = Η εξισωση y = 3 για = 1 δινει y = 1, ετσι Α γ για = 1 δινει y =, ετσι Β β για = 1 δινει y = 3, ετσι Γ α -3-3 1-1 Ο y -1 - -3 β γ α 1 3
H Σ υ ν α ρ τ η σ η y = α - H Y π ε ρ β ο λ η 80 Α σ κ η σ ε ι ς 3. 5 1. Τα ποσα και y ειναι αντιστροφως αναλογα να συμπληρωσετε τον πινακα 1 3 4 6 1 y 4 Tα ποσα ειναι αντιστροφως αναλογα, oποτε το γινομενο των αντιστοιχων τιμων θα ειναι σταθερο. Αφου 3 4 = 1, το σταθερο γινομενο θα ειναι 1 και ο πινακας γινεται : 1 3 4 6 1 y 1 6 4 3 1. Να σχεδιασετε στο ιδιο συστημα ορθογωνιων αξονων τις γραφικες παραστασεις των συναρτησεων : y = 3 y = 3 y = 5 y = 0 y = 5 γ) y = 0-3 - -1 1 3 y -1-1,5-3 3 1,5 1-5 - -1 1 5 y -1 -,5-5 5,5 1-5 - -1 1 5 y -4-10 -0 0 10 4 y 8 y = 5 y = 0 y = 3 4 0-8 -6-4 - 4 6 8-6 -4-6 -8 3. Να σχεδιασετε στο ιδιο συστημα ορθογωνιων αξονων τις γραφικες παραστασεις των συναρτησεων :y = 1 και y = - 1 y = 1-1 -3-1 1 3 1 y -1-4 -1 1 4 1 y = 1-1 -3-1 1 3 1 - y 1 4 1-1 -4-1
81 H Σ υ ν α ρ τ η σ η y = α - H Y π ε ρ β ο λ η Α σ κ η σ ε ι ς 3. 5 y = 1 - y 10 6 500 4-10 -5 0 5 10-5 -10 y = 1 4. Η αποσταση Γης Σεληνης ειναι περιπου ΓΣ = 380.000 χιλιομετρα Ποια ειναι η ταχυτητα σε km / h ενος πυραυλου που διανυει την αποσταση σε 3 ημερες; Να εκφρασετε τη ταχυτητα υ ενος πυραυλου ως συναρτηση του χρονου t που χρειαζεται να διανυσει την αποσταση ΓΣ. Να σχεδιασετε την γραφικη παρασταση της συναρτησης αυτης. Η ταχυτητα υ του πυραυλου ειναι : υ = 380000 = 577,8 km / h (3 ημερες = 7 ωρες). 7 Αν ο πυραυλος χρειαζεται χρονο t ωρες για να διανυσει την αποσταση ΓΣ = 380000 km. Τοτε η ταχυτητα υ ειναι : υ = 380000. t υ Ο υ = 380000 t 5. Θεωρουμε ολα τα ορθογωνια με εμβαδον 36 cm. Ονομαζουμε και y τις διαστασεις ενος τετοιου ορθογωνιου να συμπληρωσετε τον πινακα : 1 3 4 6 1 18 36 y Τι εχετε να παρατηρησετε για τα μεγεθη και y; Να εκφρασετε το πλατος y ενος τετοιου ορθογωνιου ως συναρτηση του μηκους. γ) Να σχεδιασετε σε συστημα ορθογωνιων αξονων τη γραφικη παρασταση της συναρτησης αυτης. t
H Σ υ ν α ρ τ η σ η y = α - H Y π ε ρ β ο λ η 8 Α σ κ η σ ε ι ς 3. 5 Ε = 36 η y = 36 η y = 36. Συμπληρωνουμε τον πινακα συμφωνα με την y = 36. 1 3 4 6 1 18 36 y 36 18 1 9 6 3 1 Παρατηρουμε οτι y = σταθερο, δηλαδη τα μεγεθη, y ειναι αντιστροφως αναλογα. Απ το ( ερωτημα : y = 36. γ) y y = 36 Ο
83 Π λ η θ υ σ μ ο ς - Δ ε ι γ μ α Ε ρ ω τ η σ ε ι ς Κ α τ α ν ο η σ η ς 4. 1 1. Ενα εργοστασιο που κατασκευαζει απορρυπαντικα, για να προωθησει ενα νεο προϊον εκανε πρωτα μια ερευνα της Ελληνικης αγορας. Απευθυνθηκε σε μια εταιρεια δημοσκοπησεων και ζητησε να μαθει ποσες φορες οι Ελληνιδες νοικοκυρες αγοραζουν απορρυπαντικο καθε μηνα. Η εταιρεια δημοσκοπησεων επελεξε να ρωτησει 000 νοικοκυρες και εδωσε τα αποτελεσματα στον εργοστασιαρχη. Στις παρακατω ερωτησεις να επιλεξετε την σωστη απαντηση. i. Ο πληθυσμος της ερευνας ειναι : Ολοι οι ελληνες πολιτες. 000 νοικοκυρες. γ) Ολες οι ελληνιδες νοικοκυρες. δ) Ολοι οι πελατες των σουπερ μαρκετ. ii. Η μεταβλητη της ερευνας ειναι Οι Ελληνιδες νοικοκυρες. Τα απορρυπαντικα που κυκλοφορουν στην Ελλαδα. γ) Τα απορρυπαντικα που χρησιμοποιουν οι ελληνιδες νοικοκυρες. δ) Ποσες φορες αγοραζουν απορρυπαντικο οι ελληνιδες νοικοκυρες. iii. Το μεγεθος του δειγματος ειναι Περιπου 5.000.000 ελληνιδες νοικοκυρες. Οι 000 ελληνιδες νοικοκυρες. γ) Το πληθος των απορρυπαντικων που αγοραζονται καθε μηνα. δ) Ολες οι μαρκες απορρυπαντικων που κυκλοφορουν στην ελληνικη αγορα. i γ ii δ iii β
Π λ η θ υ σ μ ο ς - Δ ε ι γ μ α 84 Α σ κ η σ ε ι ς 4. 1 1. Να υπολογισετε χωρις μολυβι και χαρτι : το 100% του 7 το 50% του 60 γ) το 5% του 80 δ) το 10% του 70 ε) το 0% του 80 στ) το 7% του 100 7 30 γ) 0 δ) 7 ε) 16 στ) 7. Να υπολογισετε : το 15% του 80 το 40% του 60 γ) το 35% του 10 δ) το 75% του 80 ε) το 30% του 30 στ) το 5% του 1000 15 100 δ) 75 100 80 = 1, 40 100 60 =4, γ) 35 100 80 = 60, ε) 30 100 30 = 9, στ) 5 100 3. Το 15 ειναι το 5 % του αριθμου : 5 60 γ) 100 δ) 40 Σωστη απαντηση η β, αφου 5 100 60 = 15. 4. Το 15% του αριθμου 00 ειναι : 30 7 γ) 1 δ) 4 10 = 4 1000 = 50 Σωστη απαντηση η α, αφου 15 100 00 = 30.
85 Π λ η θ υ σ μ ο ς - Δ ε ι γ μ α Α σ κ η σ ε ι ς 4. 1 5. Σε μια ερευνα που εγινε σε 000 ατομα, οι 300 ηταν νεοι κατω των 5 ετων. Τι ποσοστο του δειγματος αντιπροσωπευει ο αριθμος αυτος ; Εστω % το ζητουμενο ποσοστο. Τοτε 100 000 = 300 η 0 = 300 η = 15 Δηλαδη το ζητουμενο ποσοστο ειναι το 15% 6. Σε μια δημοσκοπηση που εγινε για τις προεδρικες εκλογες, 360 ατομα απαντησαν οτι προτιμουν τον υποψηφιο «Α», 80 ατομα τον υποψηφιο «Β» και 160 ατομα τον υποψηφιο «Γ». Ποια ειναι τα ποσοστα καθε υποψηφιου στην δημοσκοπηση αυτη ; Συνολικα τα ατομα που ρωτηθηκαν ειναι 360 + 80 + 160 = 800 360 Το ποσοστο που προτιμα τον υποψηφιο Α ειναι 100 = 45 % 800 80 Το ποσοστο που προτιμα τον υποψηφιο Β ειναι 100 = 35 % 800 160 Το ποσοστο που προτιμα τον υποψηφιο Γ ειναι 100 = 0 % 800 (αλλιως : 100% - 45% - 35% = 0% ) 7. Σε ενα σχολειο φοιτουν 10 αγορια και 180 κοριτσια, ενω στη Β Γυμνασιου φοιτουν συνολικα 90 ατομα. Ποιο ειναι το ποσοστο των κοριτσιων στο σχολειο; Ποιο ειναι το ποσοστο των μαθητων της Β Γυμνασιου; Το πληθος των παιδιων που φοιτουν στο σχολειο ειναι 10 + 180 = 300 Το ποσοστο των κοριτσιων ειναι: 180 100 = 60 % 300 Το ποσοστο των μαθητων της Β Γυμνασιου ειναι: 90 100 = 30 % 300
Π λ η θ υ σ μ ο ς - Δ ε ι γ μ α 86 Α σ κ η σ ε ι ς 4. 1 8. Για να βρουμε τα ποσοστα των οπαδων των ομαδων ποδοσφαιρου, ρωτησαμε 1000 ατομα στον Πειραια ποια ομαδα υποστηριζουν. Ποιος ειναι ο πληθυσμος της ερευνας και ποιο το δειγμα ; Ειναι το δειγμα αξιοπιστο ; Ο πληθυσμος ειναι το συνολο των οπαδων, το δειγμα ειναι τα 1000 ατομα που ρωτηθηκαν. Προφανως το δειγμα δ ε ν ειναι αξιοπιστο. 9. Η Κατερινα, για να βρει το δημοφιλεστερο τραγουδι αυτη την περιοδο σκοπευει να ρωτησει τους μαθητες ενος σχολειου. Μπορειτε να εξηγησετε γιατι το αποτελεσμα δεν θα ειναι αντικειμενικο ; Τι πρεπει να κανει η Κατερινα για να καταληξει σε ενα αξιοπιστο συμπερασμα ; Το αποτελεσμα δεν θα ειναι αντικειμενικο δεδομενου οτι το δειγμα που θα χρησιμοποιηθει δεν ειναι αξιοπιστο. (Οι μαθητες του σχολειου που θα ρωτηθουν ειναι ολοι νεοι και μαλλον εχουν κοινες μουσικες προτιμησεις). Για να ειναι το συμπερασμα αξιοπιστο θα πρεπει να ρωτηθουν ατομα διαφορων ηλικιων απο ολη την περιοχη.
M at h Com poser 1. 1. 5 ht t p: / / www. mat hcom pos er. com 87 Γ ρ α φ ι κ ε ς Π α ρ α σ τ α σ ε ι ς Ε ρ ω τ η σ ε ι ς Κ α τ α ν ο η σ η ς 4. 1. Ρωτησαμε μερικους μαθητες ενος γυμνασιου ποσες φορες πηγαν στον κινηματογραφο τον τελευταιο μηνα. Οι απαντησεις τους φαινονται στο παρακατω διαγραμμα. Επισκεψεις Επισκέψεις στον στο κινηματογραφο κινηματογράφο M at h Com pos er 1. 1. 5 ht t p: / / www. m at hcom poser. c om Μαθητές Μαθητες Στις παρακατω προτασεις να επιλεξετε την σωστη απαντηση : Απ το διαγραμμα προκυπτει οτι: 1 Γ Β 3 Β Α Β Γ Δ 1. Το πληθος των μαθητων που ρωτηθηκαν ηταν 8 5 5 100. 3. 4. 5. 6. Ποσοι μαθητες πηγαν 3 φορες σε κινηματογραφο τον τελευταιο μηνα; Ποσοι μαθητες πηγαν 5 φορες σε κινηματογραφο τον τελευταιο μηνα; Ποσοι μαθητες πηγαν τουλαχιστον φορες σε κινηματογραφο τον τελευταιο μηνα; Ποσοι μαθητες πηγαν το πολυ φορες σε κινηματογραφο τον τελευταιο μηνα; Οι μαθητες που δεν πηγαν ουτε μια φορα σε κινηματογραφο τον τελευταιο μηνα αποτελουν ποσοστο 6 5 8 0 3 0 8 5 10 8 18 15 10 8 18 15 3% 1% 10% 30% 4 Δ 5 Γ 6 Β
Γ ρ α φ ι κ ε ς Π α ρ α σ τ α σ ε ι ς 88 Ε ρ ω τ η σ ε ι ς Κ α τ α ν ο η σ η ς 4.. Σε μια ερευνα ρωτηθηκαν 400 φιλαθλοι μιας πολης ποια απο τις τρεις ομαδες ποδοσφαιρου της πολης τους ειναι η καλυτερη. Οι απαντησεις τους φαινονται στο διπλανο κυκλικο διαγραμμα. Στις παρακατω προτασεις να επιλεξετε την σωστη απαντηση : 1. Σωστη απαντηση η Α, αφου ο κυκλικος τομεας που αντιστοιχει στους οπαδους της «κιτρινης καταιγιδας» ειναι το 1 4. Σωστη απαντηση η Β, αφου 160 400 3. του κυκλικου δισκου, δηλαδη το 5%. 100 = 40%. Σωστη απαντηση η Β, αφου 100% - 5% - 40% = 35% (αλλιως το υπολοιπο 35%). 4. 1.. 3. 4. 5. Τι ποσοστο αποτελουν οι οπαδοι της «κιτρινης καταιγιδας» ; Τι ποσοστο αποτελουν οι οπαδοι της «πρασινης λαιλαπας»; Τι ποσοστο αποτελουν οι οπαδοι της «κοκκινης θυελλας» ; Ποσα ατομα υποστηριζουν την «κιτρινη καταιγιδα» ; Η επικεντρη γωνια που αντιστοιχει στην «κοκκινη θυελλα» ειναι : Σωστη απαντηση η Γ, αφου 1 4 400 = 100. Κοκκινη Θυελλα Α Β Γ Δ 5% 90% 30% 50% 35% 40% 90% 30% 160% 35% 80% 5% 90 00 100 5 16 ο 150 ο 160 ο 144 ο Κιτρινη Καταιγιδα 90 Πρασινη Λαιλαπα 160 οπαδοι 5. Σωστη απαντηση η Α, αφου 35 100 360ο = 16 ο.
89 Γ ρ α φ ι κ ε ς Π α ρ α σ τ α σ ε ι ς Α σ κ η σ ε ι ς 4. 1. Το παρακατω εικονογραμμα μας πληροφορει για τον αριθμο των βιβλιων που πουλησε ενας εκδοτικος οικος τα ετη 000, 001, 00 και 003. ( = 0000 βιβλια ) Το 000 πουληθηκαν 80.000 βιβλια Το 001 πουληθηκαν 110.000 βιβλια Το 00 πουληθηκαν 160.000 βιβλια Το 003 πουληθηκαν 130.000 βιβλια Συνολικα πουληθηκαν 480.000 βιβλια Το ποσοστο των συνολικων πωλησεων που αντιπροσωπευουν οι πωλησεις που πραγματοποιηθηκαν το ετος 00 ειναι : 160000 100 = 33,3 % 480000 γ) Ετος 000 Ετος 001 Ετος 00 Ετος 003 Να βρειτε ποσα βιβλια πουληθηκαν καθε ετος και ποσα συνολικα και τα τεσσερα ετη. Να υπολογισετε το ποσοστο των συνολικων πωλησεων που αντιπροσωπευουν οι πωλησεις που πραγματοποιηθηκαν το ετος 00. γ) Να μετατρεψετε το παραπανω εικονογραμμα σε χρονογραμμα. Δεξια το ζητουμενο χρονογραμμα. Χιλιαδες βιβλια 160 150 140 130 10 110 100 90 80 000 001 00 003 Ετος
Γ ρ α φ ι κ ε ς Π α ρ α σ τ α σ ε ι ς 90 Α σ κ η σ ε ι ς 4.. Η μετακινηση των μαθητων ενος Γυμνασιου φαινεται στο παρακατω εικονογραμμα. Με τη βοηθεια του παρακατω εικονογραμματος ( = 1 μαθητες) : Να βρειτε ποσους μαθητες εχει συνολικα το γυμνασιο αυτο. Να βρειτε το ποσοστο των μαθητων που προτιμουν το λεωφορειο. γ) Να παραστησετε τα δεδομενα με ραβδογραμμα. Λεωφορειο: Αυτοκινητο: Ποδηλατο: Παπακι: Με τα ποδια: Με λεωφορειο μετακινουνται 6 1 = 7 μαθητες Με αυτοκινητο μετακινουνται 1 = 4 μαθητες Με ποδηλατο μετακινουνται 3 1 = 36 μαθητες Με παπακι μετακινουνται 4 1 = 48 μαθητες Με τα ποδια μετακινουνται 10 1 = 10 μαθητες Το γυμνασιο συνολικα εχει : 7 + 4 + 36 + 48 + 10 = 300 μαθητες Το ποσοστο των μαθητων που προτιμουν το λεωφορειο ειναι : 7 300 100 = 4% γ) Το ζητουμενο ραβδογραμμα δεξια. Μαθητες 10 108 96 84 7 60 48 36 4 1 Λεω Αυτ Πδλ Παπ Ποδ
91 Γ ρ α φ ι κ ε ς Π α ρ α σ τ α σ ε ι ς Α σ κ η σ ε ι ς 4. 3. Σε μια αποθηκη υπαρχουν τεσσερις τυποι κινητων τηλεφωνων Α, Β, Γ και Δ σε ποσοστα αντιστοιχα 10%, 30%, 40% και 0%. Να παραστησετε τα δεδομενα με κυκλικο διαγραμμα. Βρειτε ποσα τηλεφωνα υπαρχουν απο καθε τυπο, αν ο συνολικος αριθμος τους ειναι 400. Βρισκουμε την γωνια του κυκλικου τομεα που αντιστοιχει σε καθε τυπο τηλεφωνου. 10 Τυπος Α : 360 o 100 = 36ο Τυπος Β : Τυπος Γ : Τυπος Δ : Τυπος Α : Τυπος Β : Τυπος Γ : Τυπος Δ : 30 360 o 100 = 108ο 40 360 o 100 = 144ο 0 360 o 100 = 7ο 10 400 = 40 τηλεφωνα 100 30 400 = 10 τηλεφωνα 100 40 400 = 160 τηλεφωνα 100 0 400 = 80 τηλεφωνα 100 7 144 36 108 Tυπος Α Tυπος Β Tυπος Γ Tυπος Δ 4. Ρωτησαμε τους μαθητες ενος γυμνασιου ποσες μερες απουσιασαν απο το σχολειο τον τελευταιο μηνα. Οι απαντησεις φαινονται στον παρακατω πινακα. Αριθμος ημερων Αριθμος μαθητων 0 35 1 1 8 3 4 Συνολο 60 Ποσοι μαθητες απουσιασαν 4 ημερες ; Τι ποσοστο αποτελουν αυτοι οι μαθητες ; Να παραστησετε τα δεδομενα του πινακα με ραβδογραμμα και κυκλικο διαγραμμα.
Γ ρ α φ ι κ ε ς Π α ρ α σ τ α σ ε ι ς 9 Α σ κ η σ ε ι ς 4. 60 - (35 + 1 + 8 + ) = 60-57 = 3 μαθητες απουσιασαν 4 ημερες. Το ποσοστο τους ειναι : Το ραβδογραμμα δεξια. Για το κυκλικο διαγραμμα, βρισκουμε τη γωνια του κυκλικου τομεα που αντιστοιχει σε καθε αριθμο ημερων 35 0 ημερες 360 0 60 = 10ο 1 1 ημερα 360 0 60 = 7ο 8 ημερες 360 0 60 = 48ο 3 ημερες 360 0 60 = 1ο 3 4 ημερες 360 0 60 = 18ο 3 100 60 = 5 % 5. Δινεται το διπλανο κυκλικο διαγραμμα Να βρειτε τη γωνια ω Να το μετατρεψετε σε εικονογραμμα Μαθητες 35 Τα γραμματα της Ελληνικης αλφαβητου ειναι 4 και τα φωνηεντα ειναι 7. 7 Επομενως η γωνια ω ειναι ιση με ˆω = 360 0 4 = 105ο Τα γραμματα της Ελληνικης αλφαβητου φαινονται στο παρακατω εικονογραμμα 1 8 1 3 7 18 48 0 1 3 4 μερες 55 10 ω 105 0 μερες 1 μερα μερες 3 μερες 4 μερες Φωνηεντα Συμφωνα ( ) δυο γραμματα της αλφαβητα. Φωνηεντα : Συμφωνα :
93 Γ ρ α φ ι κ ε ς Π α ρ α σ τ α σ ε ι ς Α σ κ η σ ε ι ς 4. 6. Ο παρακατω πινακας δειχνει τον αριθμο των λεπτων που μελετουν κατα μεσο ορο ημερησιως οι μαθητες της Γ Γυμνασιου ενος σχολειου. Αριθμος λεπτων % Αγοριων % Κοριτσιων Ποσοστο % αγορια 30 6% 4% 60 14% 1% 90 33% 7% 10 30% 33% 150 1% 16% 180 5% 8% κοριτσια Να παραστησετε τα δεδομενα του πινακα με ενα ραβδογραμμα Να βρειτε το ποσοστο (%) των μαθητων που μελετουν τουλαχιστον 90 και το ποσοστο των μαθητων που μελετουν το πολυ 10. Τουλαχιστον 90 λεπτα μελετα το 33 + 30 + 1 + 5 = 80 % των αγοριων 7 + 33 + 16 + 8 = 84% των κοριτσιων Το πολυ 10 λεπτα μελετα το 6 + 14 + 33 + 30 = 83 % των αγοριων 4 + 1 + 7 + 33 = 76 % των κοριτσιων 30 60 90 10 150 180 Χρονος μελετης
Κ α τ α ν ο μ η Σ υ χ ν ο τ η τ ω ν Σ χ. Σ υ χ ν ο τ η τ ω ν 94 Ε ρ ω τ η σ ε ι ς Κ α τ α ν ο η σ η ς 4. 3 1. Στον διπλανο πινακα εχουμε συγκεντρωσει Παιδια 0 1 3 4 5 τα αποτελεσματα μιας ερευνας που εγινε Αριθμος σε μια κωμοπολη σχετικα με τον αριθμο 11 1 7 5 3 οικογενειων των παιδιων που εχει καθε οικογενεια. Στις παρακατω ερωτησεις να επιλεξετε την σωστη απαντηση 1. Σωστη απαντηση ειναι η Γ αφου το πληθος οικογενειων = 11 + 1 + 7 + 5 + 3 + = 40.. Σωστη απαντηση ειναι η Α αφου 4 παιδια εχουν 3 οικογενειες, οποτε η συχνοτητα της τιμης 4 ειναι το 3. 3. 1. Το συνολικο πληθος οικογενειων που ρωτηθηκαν ειναι Α Β Γ Δ 5 6 40 1. Η συχνοτητα της τιμη 4 ειναι 3 6 40 3. 4. 5. Η σχετικη συχνοτητα των οικογ. που δεν εχουν παιδια ειναι Η σχετικη συχνοτητα των οικογ. που εχουν 3 παιδια ως ποσοστο επι τοις εκατο ειναι Αν κατασκευασουμε κυκλικο Διαγραμμα, η επικεντρη γωνια που αντιστοιχει στις οικογενειες που εχουν 1 παιδι ειναι Σωστη απαντηση ειναι η Β αφου η σχετικη συχνοτητα της τιμης 0 ειναι 4. Σωστη απαντηση ειναι η Δ αφου η σχετικη συχνοτητα της τιμης 3 σε ποσοστο επι τοις εκατο 11 100 11 40 40 11 5 40 100 100 40 5 5 100 11 40. 100 11 5 100 40 1 360 ο 40 40 360 ο 1 40 1 ο 360 1 ο 360 1 ειναι 5 100 40. 5. Σωστη απαντηση ειναι η Α αφου η επικεντρη γωνια που αντιστοιχει στην τιμη 1 στο κυκλικο διαγραμμα ειναι 1 360 ο 40.
95 Κ α τ α ν ο μ η Σ υ χ ν ο τ η τ ω ν Σ χ. Σ υ χ ν ο τ η τ ω ν Ε ρ ω τ η σ ε ι ς Κ α τ α ν ο η σ η ς 4. 3. Μια ερευνα που εγινε μεταξυ μαθητων ενος Γυμνασιου της Κρητης, σχετικα με τις ποδοσφαιρικες προτιμησεις τους, κατεληξε σε εντονη διαφωνια με αποτελεσμα να χαθουν μερικα στοιχεια. Μπορειτε να βρειτε τα στοιχεια που λειπουν; Ομαδες Συχνοτητες Σχετικες συχνοτητες (%) ΑΕΚ ΠΑΟΚ 5 ΟΛΥΜΠΙΑΚΟΣ 30 ΠΑΝΑΘΗΝΑΙΚΟΣ 10 ΟΦΗ 70 35 ΕΡΓΟΤΕΛΗΣ 30 Συνολο Η σχετικη συχνοτητα της τιμης ΟΦΗ ειναι 35 100 = 0,35 Αν ν ειναι το μεγεθος του δειγματος τοτε 0,35 = 70 ν. Ετσι ν = 70 0,35 = 00 30 Η σχετικη συχνοτητα της τιμης ΟΛΥΜΠΙΑΚΟΣ ειναι ιση με 100 = 15 % 00 Η σχετικη συχνοτητα της τιμης ΕΡΓΟΤΕΛΗΣ ειναι ιση επισης με 30 100 = 15 % 00 Αν ειναι η συχνοτητα της τιμης ΠΑΟΚ τοτε 00 = 5. Ετσι = 10 100 y Αν y ειναι η συχνοτητα της τιμης ΠΑΝΑΘΗΝΑΙΚΟΣ τοτε 00 = 10. Ετσι y = 0 100 Οι οπαδοι ολων των ομαδων πλην της ΑΕΚ ειναι 10 + 30 + 0 + 70+ 30 = 160. Οποτε οι οπαδοι της ΑΕΚ ειναι 00-160 = 40 40 Η σχετικη συχνοτητα της τιμης ΑΕΚ ειναι 100 = 0 % 00 Ομαδες Συχνοτητες Σχετικες συχνοτητες (%) ΑΕΚ 40 0 ΠΑΟΚ 10 5 ΟΛΥΜΠΙΑΚΟΣ 30 15 ΠΑΝΑΘΗΝΑΙΚΟΣ 0 10 ΟΦΗ 70 35 ΕΡΓΟΤΕΛΗΣ 30 15 Συνολο 00 100
Κ α τ α ν ο μ η Σ υ χ ν ο τ η τ ω ν Σ χ. Σ υ χ ν ο τ η τ ω ν 96 Α σ κ η σ ε ι ς 4. 3 1. Να συμπληρωσετε τους παρακατω πινακες : Αριθμος παιδιων των οικογενειων Αριθμος απουσιων των μαθητων μιας ενος χωριου ταξης κατα τον μηνα Νοεμβριο Αριθμος παιδιων Αριθμος παιδιων Συχνοτητα Συχνοτητα Σχετικη Συχνοτητα % Σχετικη Συχνοτητα % Αριθμος απουσιων Αριθμος απουσιων Συχνοτητα 0 4 0 3 1 10 1 8 14 1 3 8 3 6 4 4 4 6 Συνολο 5 Συχνοτητα Σχετικη Συχνοτητα% Σχετικη Συχνοτητα% 0 4 10 0 3 7,5 1 10 5 1 8 0 14 35 1 30 3 8 0 3 6 15 4 4 10 4 6 15 Συνολο 40 100 5 4 10 Το μεγεθος του δειγματος ειναι ισο με το αθροισμα ολων των συχνοτητων δηλαδη ν = 4 + 10 + 14 + 8 + 4 = 40 Σχετικη συχνοτητα % = συχνoτητα συνολο παρατηρησεων 100 6 1 Συνολο 40 6 1,5 Συνολο 40 100 Η συχνοτητα της τιμης 5 προκυπτει αν απ το συνολο ν = 40 των παρατηρησεων αφαιρεσουμε ολες τις αλλες συχνοτητες. Δηλαδη : 40-36 = 4
97 Κ α τ α ν ο μ η Σ υ χ ν ο τ η τ ω ν Σ χ. Σ υ χ ν ο τ η τ ω ν Α σ κ η σ ε ι ς 4. 3. Ο αριθμος των γεννησεων σε ενα μαιευτηριο τα ετη 000 εως 004 φαινεται στο παρακατω ραβδογραμμα : M at h Com poser 1. 1. 5 ht t p: / / www. m at hcom poser. com Γεννήσεις Να κατασκευασετε τον πινακα συχνοτητων και σχετικων συχνοτητων. Να μετατρεψετε το ραβδογραμμα σε χρονογραμμα. γ) Ποια ετη οι γεννησεις παρουσιαζουν αυξηση και ποια μειωση. Ετος Συχνοτητα Σχετικη συχνοτητα % 000 400 0 001 50 1,5 00 450,5 003 500 5 004 400 0 M at h Com poser 1. 1. 5 ht t p: / / www. m at hcom poser. com Έτος Συνολο 000 100 Συχνοτητα 500 450 400 350 300 γ) Οι γεννησεις παρουσιασαν αυξηση τα ετη 00 και 003 και πτωση τα 001 και 004. 50 000 001 00 003 004 3. Ο αριθμος των ελαττωματικων προϊοντων μιας βιοτεχνιας το πρωτο δεκαημερο του Μαρτιου ειναι : 0. 0, 1,, 1,,, 1, 0, 1 Να γινει πινακας συχνοτητων και σχετικων συχνοτητων. Να παρασταθουν τα δεδομενα με κυκλικο διαγραμμα. γ) Να παρασταθει η κατανομη σχετικων συχνοτητων με ραβδογραμμα. Αριθμος ελαττωματικων προιοντων Συχνοτητα Σχετικη συχνοτητα % 0 3 30 1 4 40 3 30 Συνολο 10 100
Κ α τ α ν ο μ η Σ υ χ ν ο τ η τ ω ν Σ χ. Σ υ χ ν ο τ η τ ω ν 98 Α σ κ η σ ε ι ς 4. 3 Οι γωνιες των τομεων αντιστοιχουν στις τιμες 0, 1,. Στην τιμη 0 και, η γωνια που αντιστοιχει ειναι : 3 10 360ο = 108 ο Στην τιμη 1, η γωνια που αντιστοιχει ειναι : 4 10 360ο = 144 ο γ) Σχετικη Συχνοτητα 40 30 4. Τα αποτελεσματα που πετυχε μια ομαδα ποδοσφαιρου σε 34 αγωνες ηταν : Η, Η, Ι, Ν, Ι, Ι, Ι, Ι, Ν, Η, Ι, Η, Η, Ι, Ν, Ι, Η Ν, Ι, Ι, Ι, Ν, Η, Η, Ι, Ι, Ι, Ι, Ι, Ι, Ν, Ι, Ν, Ν. ( Ν = νικη, Η = ηττα, Ι = ισοπαλια ) Να γινει πινακας συχνοτητων και σχετικων συχνοτητων. Να παρασταθει η κατανομη σχετικων συχνοτητων με ραβδογραμμα και κυκλικο διαγραμμα. Αποτελεσματα Συχνοτητα Σχετικη συχνοτητα % Η 8 3,53 Ι 18 5,94 Ν 8 3,53 Συνολο 34 100 Σχετικη Συχνοτητα 0 1 ελαττωματικα 108 144 108 0 ελαττωματικα 1 ελαττωματικο ελαττωματικα 5,94 85 85 Hττα 3,53 Ισοπαλια Η Ι Ν αποτελεσμα 190 Νικη
99 Κ α τ α ν ο μ η Σ υ χ ν ο τ η τ ω ν Σ χ. Σ υ χ ν ο τ η τ ω ν Α σ κ η σ ε ι ς 4. 3 5. Ο αριθμος των μηνυματων που εστειλε ανα ημερα τον μηνα Ιουλιο ο Τακης ειναι ; 4, 5,, 1, 5, 4, 0, 4, 7, 3, 5,,, 6, 5, 3,, 3, 1, 7, 6, 4, 5, 3, 3,,, 4,, 5, Να γινει πινακας συχνοτητων και σχετικων συχνοτητων. Να βρειτε ποσες ημερες τα μηνυματα ηταν περισσοτερα απο 3. γ) Να βρειτε το ποσοστο των ημερων στις οποιες τα μηνυματα ηταν το πολυ 3. δ) Να παραστησετε την κατανομη των σχετικων συχνοτητων με ραβδογραμμα. δ) Μηνυματα Συχνοτητα Σχετικη % συχνοτητα 0 1 3,3 1 6,45 8 5,81 3 5 16,13 4 5 16,13 5 6 19,35 6 6,45 7 6,45 Συνολο 31 100 Σχετικη Συχνοτητα 5,81 19,35 16,13 Περισσοτερα απο 3 μηνυματα (4, 5, 6, 7) : 5 + 6 + + = 15 ημερες γ) Το πολυ 3 μηνυματα (0, 1,, 3) σε ποσοστο ημερων : 3,3 + 6,45 + 5,81 + 16,13 = 51,6 % 6,45 3,3 0 1 3 4 5 6 7 μηνυματα
Κ α τ α ν ο μ η Σ υ χ ν ο τ η τ ω ν Σ χ. Σ υ χ ν ο τ η τ ω ν 100 Α σ κ η σ ε ι ς 4. 3 6. Σε μια ερευνα που εγινε σε 5 μαθητες ως προς την ομαδα αιματος, εγινα οι παρατηρησεις ; Ο, Α, Α, Α, Ο, ΑΒ, Α, Β, Α, ΑΒ, Β, Ο, Α, Ο, Β, Β, Β, Α, Α, ΑΒ, Β, Ο, Α, Α, Α. Να γινει ο πινακας συχνοτητων και σχετικων συχνοτητων επι τοις εκατο Ποιο ειναι το ποσοστο των μαθητων που εχουν ομαδα αιματος Α η Β ; γ) Ποια ομαδα αιματος εμφανιζεται λιγοτερο στο δειγμα; Ομαδα αιματος Συχνοτητα Σχετικη συχνοτητα % Ο 5 0 Α 11 44 Β 6 4 ΑΒ 3 1 Συνολο 5 100 7. Σε ενα διαγωνισμα με τεσσερις ερωτησεις ο αριθμος των σωστων απαντησεων φαινεται στο κυκλικο διαγραμμα. Να γινει ο πινακας σχετικων συχνοτητων. Αν καθε σωστη ερωτηση βαθμολογειται με 5 μοναδες, να βρεθει το ποσοστο των μαθητων που εχουν βαθμολογια μικροτερη η ιση του 10. Σχετικη συχνοτητα 0 ερωτησεων = 30 100 = 8,3 % 360 Σχετικη συχνοτητα 1 ερωτησης = 90 100 = 5% 360 Σχετικη συχνοτητα ερωτησεων = 150 100 = 41,7% 360 Σχετικη συχνοτητα 3 ε ερωτησεων = 60 100 = 16,7 % 360 Σχετικη συχνοτητα 4 ερωτησεων = 8,3 % Ενας μαθητης για να εχει βαθμολογια μικροτερη η ιση του 10, αφου καθε σωστη απαντηση βαθμολογειται με 5 μοναδες, θα πρεπει να εχει απαντησει σε δυο το πολυ ερωτησεις. Ετσι, το ζητουμενο ποσοστο ειναι : 8,3 + 5 + 41,7 = 75% Απ το διπλανο πινακα, το ποσοστο των μαθητων που εχουν ομαδα αιματος Α η Β ειναι ισο με : 44 + 4 = 68% γ) Η ομαδα ΑΒ εμφανιζεται λιγοτερο στο δειγμα με συχνοτητα 3. 30 30 1 ερωτηση 60 150 90 Πληθος Ερωτησεων ερωτησεις 3 ερωτησεις 4 ερωτησεις 0 ερωτησεις Σχετικη συχνοτητα % 0 8,3 1 5 41,7 3 16,7 4 8,3 συνολο 100
101 Κ α τ α ν ο μ η Σ υ χ ν ο τ η τ ω ν Σ χ. Σ υ χ ν ο τ η τ ω ν Α σ κ η σ ε ι ς 4. 3 8. Στο εικονογραμμα δινεται ο αριθμος των υπολογιστων που πουλησε μια εταιρεια το ετος 003 για τεσσερις μαρκες Α, Β, Γ και Δ. Ποσους υπολογιστες πουλησε συνολικα η εταιρεια ; Να γινει ο πινακας συχνοτητων. γ) Ποιο ειναι το ποσοστο των υπολογιστων που δεν ειναι μαρκας Α η Β ; Μαρκα Α : 4 1000 = 4000 Μαρκα Β : 7 1000 = 7000 Μαρκα Γ : 4 1000 = 4000 Μαρκα Δ : 5 1000 = 5000 Το συνολο των πωλησεων ειναι : 4000 + 7000 + 4000 + 5000 = 0000 υπολογιστες Μαρκα Α Β Γ Δ = 1000 υπολογιστες Μαρκα Συχνοτητα Α 4000 Β 7000 Γ 4000 Δ 5000 Συνολο 0000 γ) Το πληθος των υπολογιστων που δεν ειναι μαρκας Α η Β ειναι : 4000 + 5000 = 9000 9000 Ετσι, το ποσοστο των υπολογιστων που δεν ειναι μαρκας Α η Β ειναι : 100 = 45% 0000
Ο μ α δ ο π ο ι η σ η Π α ρ α τ η ρ η σ ε ω ν 10 Ε ρ ω τ η σ ε ι ς Κ α τ α ν ο η σ η ς 4. 4 1. Δινονται τα ομαδοποιημενα δεδομενα του παρακατω πινακα Κλασεις 0-5 5-10 10-15 15-0 Συχνοτητες 3 5 8 4 Στις παρακατω ερωτησεις να επιλεξετε την σωστη απαντηση 1. Το πλατος της καθε κλασης ειναι: Α Β Γ Δ 4 5 0. Το κεντρο της κλασης 5-10 ειναι: Α Β Γ Δ 5 15 7,5 10 3. Η συχνοτητα της κλασης 5-10 ειναι: Α Β Γ Δ 8 5 1. Σωστη απαντηση ειναι η Β, αφου το πλατος ισουται με την διαφορα των ακρων καθε κλασης δηλαδη 5.. Σωστη απαντηση ειναι η Γ, αφου το κεντρο της κλασης 5-10 ειναι ισο με 5+10 = 7,5. 3. Σωστη απαντηση ειναι η Δ, αφου η συχνοτητα της κλασης 5-10 ειναι 5. Απο διαλογη : στην κλαση 0-4 : 1 παρατηρηση στην κλαση 4-8 : 4 παρατηρησεις στην κλαση 8-1 : 5 παρατηρησεις στην κλαση 1-16 : 6 παρατηρησεις στην κλαση 16-0 : 4 παρατηρησεις σχετικη συχνοτητα κλασης = 8 συχνoτητα κλασης πληθος παρατηρησεων 8 0. Δινονται οι βαθμοι που πηραν 0 μαθητες σ ενα διαγωνισμα 18 16 1 6 10 11 7 13 4 18 1 15 3 10 8 18 7 14 14 11 Να συμπληρωσετε τον πινακα Κλασεις 0-4 4-8 8-1 1-16 16-0 Συχνοτητες Σχετικες συχνοτητες Κλασεις 0-4 4-8 8-1 1-16 16-0 Συχνοτητες 1 4 5 6 4 Σχετικες συχνοτητες 0,05 0, 0,5 0,3 0, οι συχνοτητες των κλασεων ειναι : 1, 4, 5, 6, 4 5
M at h Com pos er 1. 1. 5 ht t p: / / www. m at hc om pos er. c om M at h Com pos er 1. 1. 5 ht t p: / / www. m at hc om pos er. c om 103 Ο μ α δ ο π ο ι η σ η Π α ρ α τ η ρ η σ ε ω ν Α σ κ η σ ε ι ς 4. 4 1. Στο παρακατω ιστογραμμα δινονται οι ηλικιες 10 ατομων που εργαζονται σε ενα υπουργειο. Τα δεδομενα ειναι ομαδοποιημενα σε τεσσερις κλασεις ισου πλατους. Το ορθογωνιο της κλασης 40-50 δεν ειναι συμπληρωμενο. Αριθμος Να βρειτε τις συχνοτητες των κλασεων Αριθμός εργαζομένων εργαζομενων Να συμπληρωσετε το ιστογραμμα 48 36 1 0 30 40 50 60 Ηλικίες σε έτη Η συχνοτητα της κλασης 0-30 ειναι ιση με το υψος του σχετικου ορθογωνιου, δηλαδη 1. Ομοια Η συχνοτητα της κλασης 30-40 ειναι 36. Η συχνοτητα της κλασης 50-60 ειναι 48. Επειδη το συνολο των παρατηρησεων ειναι 10, η συχνοτητα που λειπει ειναι : 10 (1 + 36 + 48) = 10 96 = 4 Αριθμος εργαζομενων 48 36 4 1 Ηλικιες σε ετη 0 30 40 50 60 ηλικιες σε ετη. Σε μια ερευνα ρωτηθηκαν 50 ατομα για τον αριθμο των ημερων που ξεκουραστηκαν τον τελευταιο μηνα. Προεκυψαν οι παρατηρησεις, 3, 1,, 6, 1, 1,, 0, 5, 4, 7,, 4, 7, 1,,5,, 0, 1, 4, 6, 0, 3, 6,, 4, 6, 9, 4, 4, 3, 4 8, 5, 6,, 4, 4, 3, 8, 4, 3, 8, 3, 3, 5, 6, 4 Να ομαδοποιησετε τα δεδομενα σε πεντε κλασεις ισου πλατους. Να γινει το ιστογραμμα συχνοτητων.
Ο μ α δ ο π ο ι η σ η Π α ρ α τ η ρ η σ ε ω ν 104 Α σ κ η σ ε ι ς 4. 4 Η μικροτερη παρατηρηση ειναι 0 και η μεγαλυτερη 9. Δημιουργουμε 5 κλασεις πλατους. Ετσι προκυπτει μετα απο διαλογη ο παρακατω πινακας συχνοτητων : Κλασεις Συχνοτητες 0-8 - 4 15 4-6 15 6-8 8 8-10 4 Συνολο 50 Συχνοτητες 15 1 8 4 Η μικροτερη παρατηρηση ειναι 1 και η μεγαλυτερη 19. 0 4 6 8 10 αριθμος ατομων 3. Η βαθμολογια 30 μαθητων σ ενα διαγωνισμα στο κεφαλαιο της στατιστικης ειναι 18, 10, 19, 4, 1, 1, 14, 10, 4, 10, 19, 1, 6, 1, 14 14, 1, 14, 4, 14, 1, 14, 19, 8, 16, 18, 6, 16, 18, 18 Να ομαδοποιησετε τα δεδομενα σε πεντε κλασεις ισου πλατους. Να γινει το ιστογραμμα συχνοτητων. Δημιουργουμε 5 κλασεις πλατους 4. Ετσι προκυπτει μετα απο διαλογη ο δι- πλανος πινακας συχνοτητων : Κλασεις Συχνοτητες 0-4 1 4-8 5 8-1 4 1-16 11 16-0 9 Συνολο 50
105 Ο μ α δ ο π ο ι η σ η Π α ρ α τ η ρ η σ ε ω ν Α σ κ η σ ε ι ς 4. 4 Συχνοτητες 11 9 5 4 1 4. Ο αριθμος των τροχαιων παραβασεων στην Εθνικη οδο, που εγιναν κατα τη διαρκεια ενος μηνα ανα ημερα, ηταν 61, 11, 3, 8, 7, 11 33, 67, 47, 43, 07, 1 94, 01, 49, 14, 4, 11 6, 85, 98, 7, 14, 3 15, 7, 45, 41, 63, 4 Να ομαδοποιησετε τα δεδομενα σε πεντε κλασεις ισου πλατους. Να γινει το ιστογραμμα συχνοτητων. Η μικροτερη παρατηρηση ειναι 01 και η μεγαλυτερη 98. 0 4 8 1 16 0 αριθμος μαθητων Δημιουργουμε 5 κλασεις πλατους 0 (00-0, 0-40,...). Ετσι προκυπτει μετα απο διαλογη ο δι- πλανος πινακας συχνοτητων : Κλασεις Συχνοτητες 00-0 8 0-40 4 40-60 7 60-80 7 80-300 4 Συνολο 30
Ο μ α δ ο π ο ι η σ η Π α ρ α τ η ρ η σ ε ω ν 106 Α σ κ η σ ε ι ς 4. 4 Συχνοτητες Απ τον τυπο : σχετικη % συχνοτητα = 35 = ης συχνοτητα 1 80 συχνοτητα 1 ης κλασης = 40 = ης συχνοτητα 80 συχνοτητα ης κλασης = 15 = ης συχνοτητα 3 80 συχνοτητα 3 ης κλασης = 10 = 8 7 4 00 0 40 60 80 300 αριθμος ατυχηματων 5. Απο μια ερευνα, που εγινε σε 80 εργαζομενος μιας επιχειρησης για το ποσες μερες ηταν αρρωστοι τον περασμενο χρονο, βρεθηκαν τα αποτελεσματα που φαινονται παρακατω πινακα Ημερες ασθενειας 0-10 10-0 0-30 30-40 Ποσοστο 35% 40% 15% 10% Να κατασκευασετε το ιστογραμμα συχνοτητων. ης συχνοτητα 4 80 συχνοτητα 4 ης κλασης = 100 οποτε 80 35 100 100 οποτε 80 40 100 100 οποτε 80 15 100 100 οποτε 80 10 100 = 8 = 3 = 1 = 8 συχνοτητα κλασης 100 διαδοχικα ειναι : συνολο παρατηρησεων Συχνοτητες 3 8 1 8 0 10 0 30 40 μερες ασθενειας
107 Μ ε σ η Τ ι μ η - Δ ι α μ ε σ ο ς Ε ρ ω τ η σ ε ι ς Κ α τ α ν ο η σ η ς 4. 5 1. Στις παρακατω ερωτησεις να κυκλωστε τις σωστες απαντησεις. Το αθροισμα 50 παρατηρησεων ειναι 100. Η μεση τιμη ειναι Α: 500 Β: 5 Γ: 1 Σωστη απαντηση ειναι η Δ, αφου : Μεση τιμη = Σωστη απαντηση ειναι η Γ, αφου : αθροισμα παρατηρησεων Μεση τιμη = πληθος παρατηρησεων αθροισμα παρατηρησεων = 80 Σωστη απαντηση ειναι η Β, αφου : αθροισμα παρατηρησεων Μεση τιμη = πληθος παρατηρησεων πληθος παρατηρησεων = 0 Δ: η 8, = η 3 = αθροισμα παρατηρησεων πληθος παρατηρησεων αθροισμα παρατηρησεων 100 60 πληθος παρατηρησεων η = 100 50 =. Η μεση τιμη 100 παρατηρησεων ειναι 8,. Το αθροισμα των παρατηρησεων ειναι Α:,8 Β: 8 Γ: 80 Δ: 0,8 3. Η μεση τιμη μιας κατανομης ειναι 3 και το αθροισμα των παρατηρησεων ειναι 60. Το πληθος των παρατηρησεων ειναι Α: 5 Β: 0 Γ: 180 Δ: 3 60 4. Απο τις παρακατω παρατηρησεις που ειναι τοποθετημενες σε αυξουσα σειρα μεγεθους λειπει η 5η κατα σειρα παρατηρηση 3 5 7... 14 14 15 Αν η διαμεσος ειναι 7, η παρατηρηση που λειπει ειναι Α: 7 Β: 8 Γ: 9 Δ: 10 Αν η διαμεσος ειναι 8, η παρατηρηση που λειπει ειναι Α: 7 Β: 8 Γ: 9 Δ: 10 γ) Αν η διαμεσος ειναι 8,5, η παρατηρηση που λειπει ειναι Α: 7 Β: 8 Γ: 9 Δ: 10 η Εστω η παρατηρηση που λειπει. Τοτε η σειρα των παρατηρησεων γινεται 3 5 7 14 14 15
Μ ε σ η Τ ι μ η - Δ ι α μ ε σ ο ς 108 Ε ρ ω τ η σ ε ι ς Κ α τ α ν ο η σ η ς 4. 5 Επειδη οι παρατηρησεις ειναι 8, η διαμεσος ειναι ιση με το ημιαθροισμα των δυο μεσαιων παρατηρησεων. Ετσι: διαμεσος = 7+ Σωστη απαντηση ειναι η Α αφου, 7 = 7+ η 14 = + 7 η = 7. Σωστη απαντηση ειναι η Γ αφου, 8 = 7+ η 16 = 7 + η = 9 γ) Σωστη απαντηση ειναι η Δ αφου, 8,5 = 7+ η 17 = 7 + η = 10. 5. Δινεται η κατανομη συχνοτητων του διπλανου πινακα Η μεση τιμη ειναι ιση με 10 + 0 +30 10 + 0 3 +30 4 Α: Β: 3 3 Γ: 10 + 0 +30 9 Σωστη απαντηση ειναι η Δ αφου : Αθροισμα παρατηρησεων : 10 + 0 3 + 30 4 Πληθος παρατηρησεων : + 3 + 4 = 9 10 +0 3+30 4 Μεση τιμη = 9 Δ: 10 + 0 3 +30 4 9 Τιμες Συχνοτητες 10 0 3 30 4
109 Μ ε σ η Τ ι μ η - Δ ι α μ ε σ ο ς Α σ κ η σ ε ι ς 4. 5 1. Να υπολογιστει η μεση τιμη των παρατηρησεων 7, 7, 7, 7, 7, 7 1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 γ) - 3, -, -, 0, 1, 1, 1 1 1 1 1 1 1 δ),,,,, 3 4 5 3 Αθροισμα παρατηρησεων : 6 7 = 4 Πληθος παρατηρησεων 6. Μεση τιμη = 4 6 = 7 Αθροισμα παρατηρησεων : 1 + + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 55 Πληθος παρατηρησεων : 10 Μεση τιμη = 55 10 = 5,5 γ) Αθροισμα παρατηρησεων : - 3 + (- ) + 0 + 3 1 = - 3-4 + 3 = - 4 Πληθος παρατηρησεων : 7 4 Μεση τιμη = - 7 δ) Αθροισμα παρατηρησεων : 1 + 1 3 + 1 4 + 1 5 =17 60 Πληθος παρατηρησεων : 6 17 Μεση τιμη = 60 6 = 17 360. Να βρειτε την διαμεσο των παρατηρησεων καθε γραμμης 4, 3,, 1, - 1, -,, 4,, 3, 3, 1 γ) 100, 101, 99, 98, 101, 10, 103 δ) - 5, -, 0, 1, 3, - 4 Τοποθετουμε τις παρατηρησεις σε αυξουσα σειρα : -, - 1, 1,, 3, 4 διαμεσος = 1+ = 3 = 1,5
Μ ε σ η Τ ι μ η - Δ ι α μ ε σ ο ς 110 Α σ κ η σ ε ι ς 4. 5 Τοποθετουμε τις παρατηρησεις σε αυξουσα σειρα : 1 3 3 4 διαμεσος = γ) Τοποθετουμε τις παρατηρησεις σε αυξουσα σειρα : 98 99 100 101 101 10 103 διαμεσος = 101 δ) Τοποθετουμε τις παρατηρησεις σε αυξουσα σειρα : - 5, - 4, -, 0, 1, 3 διαμεσος = - +0 =- 1 3. Η βαθμολογια σε 14 μαθηματα του πρωτου τετραμηνου δυο μαθητων της Β Γυμνασιου ειναι Α Μαθητης : αθροισμα παρατηρησεων 18 4 + 17 3 + 16 + 19 4 + 0 51 μεσος ορος = = = = 17,9 πληθος παρατηρησεων 14 14 Β Μαθητης : μεσος ορος = αθροισμα παρατηρησεων 17 1 + 18 5 + 19 6 + 0 61 = = πληθος παρατηρησεων 14 14 Ο Β μαθητης εχει καλυτερη επιδοση. γ) Για τον Α μαθητη, η βαθμολογια σε αυξουσα σειρα : 16 16 17 17 17 18 18 18 18 19 19 19 19 0 διαμεσος = 18 + 18 = 18 Για τον Β μαθητη, η βαθμολογια σε αυξουσα σειρα : 17 18 18 18 18 18 19 19 19 19 19 19 0 0 διαμεσος = 19 + 19 Α μαθητης = 19 Β μαθητης 18 17 16 19 0 16 17 19 19 18 18 19 0 18 19 18 18 19 18 19 17 17 19 19 18 19 18 0 Να βρειτε τον μεσο ορο της βαθμολογιας καθε μαθητη Να εκτιμησετε ποιος μαθητης εχει καλυτερη επιδοση γ) Να βρειτε την διαμεσο της βαθμολογιας καθε μαθητη = 18,6
111 Μ ε σ η Τ ι μ η - Δ ι α μ ε σ ο ς Α σ κ η σ ε ι ς 4. 5 4. Το υψος των 1 παικτων της ομαδας μπασκετ της ΑΕΚ σε cm ειναι : 19, 197, 197, 198, 198, 00, 00, 01, 01, 04, 05, 06 Να βρειτε το μεσο υψος της ομαδας. Να βρειτε την διαμεσο των υψων της ομαδας. γ) Αν ο παιχτης με υψος 19 cm αντικατασταθει με αλλον υψους 00cm, ποιο ειναι το νεο μεσο υψος της ομαδας ; 19+ 197 + 198+ 00+ 01+04+05+06 399 Μεσο υψος = = = 199,9 cm 1 1 Τοποθετωντας τα υψη σε αυξουσα σειρα εχουμε 19 197 197 198 198 00 00 01 01 04 05 06 διαμεσος = 00+00 = 00 γ ) 197 + 198+3 00+ 01+04+05+06 407 Νεο μεσο υψος = = = 00, 58 cm 1 1 5. Η θερμοκρασια το μεσημερι καθε ημερας του Νοεμβριου στον Αλιμο ειναι 10, 14, 1, 16, 10, 14, 18, 16, 17, 14 16, 1, 17, 10, 1, 14, 14, 16, 1, 14 18, 14, 10, 14, 16, 10, 18, 1, 16, 14 Να κατασκευασετε πινακα συχνοτητων και σχετικων συχνοτητων. Να βρειτε την μεση θερμοκρασια και την διαμεσο των θερμοκρασιων. Θερμοκρασια Συχνοτητα Σχετικη Συχνοτητα 10 5 0,17 1 5 0,17 14 9 0,30 16 6 0,0 17 0,06 18 3 0,10 Συνολο 30 1 Η μεση θερμοκρασια ειναι : 5 10+5 1+9 14+6 16+ 17 +3 18 40 = 30 30 Απ το πινακα συχνοτητων προκυπτει : 15η +16η 14+14 διαμεσος = = = 14 Η 15η και 16η βρισκονται σε αυτες τις 9 που εχουν τιμη 14. = 14
Μ ε σ η Τ ι μ η - Δ ι α μ ε σ ο ς 11 Α σ κ η σ ε ι ς 4. 5 6. Σε μια πολη 00 παιδια παρουσιαζουν αλλεργικη αντιδραση σ ενα φαρμακο συμφωνα με τον παρακατω πινακα : Ηλικια παιδιων Συχνοτητα Ηλικια παιδιων 0-50 - 4 40 4-6 60 6-8 30 8-10 10 10-1 10 Κεντρο κλασης Συχνοτητα Σχετικη συχνοτητα (κεντρο κλασης ) (συχνοτητ 0-1 50 0,5 50-4 3 40 0,0 10 4-6 5 60 0,30 300 6-8 7 30 0,15 10 8-10 9 10 0,05 90 10-1 11 10 0,05 110 Συνολο 00 1 880 Μεση ηλικια = 880 00 = 4, 4 ετη 7. Οι ηλικιες ενος δειγματος 00 φιλαθλων που παρακολουθουν εναν αγωνα τενις ειναι : Ηλικια Συχνοτητα 9-15 4 15-1 48 1-7 56 7-33 36 33-39 4 39-45 1 Να γινει ο πινακας συχνοτητων και σχετικων συχνοτητων της κατανομης. Να βρειτε την μεση ηλικια των παιδιων. Να βρειτε την μεση ηλικια των φιλαθλων