ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΘΗΜΤΙΚΗ ΕΤΙΡΕΙ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 06 79 ΘΗΝ Τηλ. 665-677 - Fax: 605 e-mail : info@hms.gr www.hms.gr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY, Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou) Street GR. 06 79 - Athens - HELLAS Tel. 665-677 - Fax: 605 e-mail : info@hms.gr www.hms.gr ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΓΩΝΙΣΜΩΝ 9 η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα "Ο ρχιμήδης" Μαρτίου 0 Θέματα μικρών τάξεων ΠΡΟΒΛΗΜ Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο ΒΓ (με Β<Γ<ΒΓ), εγγεγραμμένο σε κύκλο c(o, R ) (με κέντρο το σημείο O και ακτίνα R ). Ο κύκλος c (, ) Β (με κέντρο το σημείο και ακτίνα Β ) τέμνει την πλευρά ΒΓ στο σημείο Δ και τον περιγεγραμμένο κύκλο c(o, R ) στο σημείο Ε. Να αποδείξετε ότι η πλευρά Γ διχοτομεί τη γωνία ΔΕ ˆ. Λύση ( ος τρόπος) Οι γωνίες ΓΕ ˆ και ΓΒΕ ˆ είναι εγγεγραμμένες στον κύκλο c(o, R ) (σχήμα ) και βαίνουν στο ίδιο τόξο ΓΕ, οπότε είναι ίσες, δηλαδή έχουμε ˆ ˆ ˆ =ΓΕ=ΓΒΕ. () Επίσης, η γωνία ΔΒΕ ˆ που είναι ίση με τη γωνία ΓΒΕ ˆ είναι εγγεγραμμένη στον κύκλο c ( Β, ) και βάνει στο τόξο ΔΕ, ενώ η γωνία ΔΕ ˆ είναι η αντίστοιχη επίκεντρη της γωνίας ΔΒΕ ˆ. Επομένως έχουμε ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ΔΕ + ΓΒΕ=ΔΒΕ= =. () Σχήμα πό τις σχέσεις () και () λαμβάνουμε
ˆ ˆ ˆ + =, () από την οποία προκύπτει ότι ˆ ˆ =, δηλαδή η Γ είναι διχοτόμος της γωνίας ΔΕ ˆ. ος τρόπος Οι χορδές Β και Ε του κύκλου ( c ) είναι ίσες μεταξύ τους, ως ακτίνες του κύκλου ( c ), οπότε το τρίγωνο ΒΕ είναι ισοσκελές με Β ˆ ˆ ˆ =ΒΕ=ΕΒ. () Όμως οι γωνίες ΕΒ ˆ και Γ ˆ είναι εγγεγραμμένες στον κύκλο c( O, R ) και βαίνουν στο ίδιο τόξο, οπότε θα είναι ίσες, δηλαδή ΕΒ ˆ = Γ ˆ. () πό τις () και (), έχουμε Β ˆ ˆ ˆ =ΒΕ=Γ (5) και επομένως προκύπτει ότι Β ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ =Β Β =Β Γ. (6) πό το ισοσκελές τρίγωνο ΒΔ, έχουμε: Δ ˆ ˆ ˆ =ΔΒ=Β και επειδή η ˆΔ είναι εξωτερική γωνία του τριγώνου ΔΓ, συμπεραίνουμε ότι: Β=Δ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ =ΔΓ+Γ= +Γ ˆ ˆ ˆ ˆ =ΔΓ=Β Γ. (7) πό τις σχέσεις (6) και (7) λαμβάνουμε την ισότητα: ˆ ˆ =Β. () Επιπλέον, οι γωνίες Βˆ ˆ ˆ και ΓΕ=είναι εγγεγραμμένες στον κύκλο c( O, R ) και βαίνουν στο ίδιο τόξο ΓΕ, οπότε είναι ίσες, δηλαδή ˆ ˆ ˆ ˆ =ΓΕ=ΓΒΕ=Β. (9) πό τις σχέσεις (7), () και (9) λαμβάνουμε την ισότητα ˆ ˆ ˆ ˆ = =Β Γ, από την οποία προκύπτει ότι η πλευρά Γ διχοτομεί τη γωνία ΔΕ ˆ. ΠΡΟΒΛΗΜ Για τις διάφορες τιμές της παραμέτρου a, να λύσετε την εξίσωση x x+ = ax+. Λύση Με σκοπό την απαλλαγή από την απόλυτη τιμή του x, θεωρούμε τις περιπτώσεις: Ι. x. Τότε έχουμε x = x και η εξίσωση γίνεται: x x + = ax + x = ax + x = ax + x = ax+ a x=, οπότε διακρίνουμε τις περιπτώσεις: Για a = η εξίσωση γίνεται: 0 x = και είναι αδύνατη.
Για a η εξίσωση έχει μοναδική λύση x =, a μόνον όταν + a 0 ( a+ )( a ) 0, a a<. a a a Για a< ή a η εξίσωση δεν έχει λύση μεγαλύτερη ή ίση του. ΙΙ. x <. Τότε έχουμε x = x+ και η εξίσωση γίνεται: x + x+ = ax+ x = ax+ x = ax+ x+ = ax+ a+ x=, οπότε διακρίνουμε τις περιπτώσεις: Για a = η εξίσωση γίνεται: 0 x = και είναι αδύνατη. x = a +, μόνον όταν a < < < 0 a+ a+ a+ a+ a+ > 0, a a< ή a >. Για a η εξίσωση έχει μοναδική λύση Για < a η εξίσωση δεν έχει λύση μικρότερη του. Συνοψίζοντας, όλα τα παραπάνω έχουμε ότι: Για a <, η εξίσωση έχει μία μόνο λύση x = a +. Για a <, η εξίσωση δεν έχει λύση. Για a =, η εξίσωση έχει μία μόνο λύση x =. a Για < a <, η εξίσωση έχει δύο λύσεις x = a και Για a, η εξίσωση έχει μία μόνο λύση x = a +. x = a +. ΠΡΟΒΛΗΜ Οι θετικοί ακέραιοι m, n, με m> n, ικανοποιούν την εξίσωση {, } {, } ΕΚΠ mn + ΜΚΔ mn = m+ n. (*) (α) Να αποδείξετε ότι ο n είναι διαιρέτης του m. (β) ν επιπλέον ισχύει ότι m n 0 Λύση που είναι λύσεις της εξίσωσης (*). (α) Έστω ότι { mn, } =, να προσδιορίσετε όλα τα ζευγάρια ( mn, ) ΜΚΔ = d. Τότε υπάρχουν θετικοί ακέραιοι ab, τέτοιοι ώστε: Τότε θα ισχύει ότι { m, n} { } m= ad, n= bd και ΜΚΔ a, b =. ΕΚΠ = mn adbd abd d = d = και η εξίσωση (*) γίνεται: abd + d = ad + bd d ab + a b = 0, από την οποία, αφού d, προκύπτει ότι:
ab + a b = 0 a b = 0 a = ή b =. ν είναι a =, τότε m= d και n= bd d = m, άτοπο. ν είναι b =, τότε n= d και m= ad, οπότε προκύπτει ότι nm. (β) Σύμφωνα με το ερώτημα (α), έχουμε n= d και m= ad, με a >, αφού m> n, οπότε m n= 0 ad d = 0 a d = 0. Επειδή οι αριθμοί a, d είναι θετικοί ακέραιοι, έπεται ότι { } { } a, d,0,,5, 5,, 0, a, d,0,, 5, 6,,,, οπότε λαμβάνουμε τα ζευγάρια mn, = 0,0 ή 5,5 ή, ή,. ΠΡΟΒΛΗΜ Πάνω σε επίπεδο Π δίνεται ευθεία ε και πάνω στην ε δίνονται δύο σημεία,, διαφορετικά μεταξύ τους. Θεωρούμε ακόμη και δύο διαφορετικά μεταξύ τους σημεία, του επιπέδου Π που δεν ανήκουν στην ευθεία ε. Να εξετάσετε, αν είναι δυνατόν να τοποθετηθούν τα σημεία και σε τέτοιες θέσεις, ώστε να σχηματίζεται ο μεγαλύτερος δυνατός αριθμός ισοσκελών τριγώνων με κορυφές τρία από τα τέσσερα σημεία,,, : (α) όταν τα σημεία, ανήκουν σε διαφορετικά ημιεπίπεδα ως προς την ευθείαε, (β) όταν τα σημεία, ανήκουν στο ίδιο ημιεπίπεδο ως προς την ευθεία ε. Να δώσετε όλες τις δυνατές περιπτώσεις και σε κάθε περίπτωση να εξηγήσετε πως μπορούν να προσδιοριστούν γεωμετρικά τα σημεία και. Λύση Πρώτα παρατηρούμε ότι από τέσσερα σημεία που ανά τρία είναι μη συνευθειακά,! ορίζονται συνολικά = = διαφορετικά τρίγωνα. Επομένως, ο μέγιστος!! δυνατός αριθμός ισοσκελών τριγώνων που μπορεί να οριστούν με κορυφές τρία από τα από τα τέσσερα σημεία είναι. Στη συνέχεια, για τις περιπτώσεις (α) και (β), θα προσπαθήσουμε να τοποθετήσουμε τα σημεία και σε τέτοιες θέσεις, έτσι ώστε να ορίζονται τέσσερα ισοσκελή τρίγωνα από τα σημεία,, και. Για τον ορισμό ισοσκελούς τριγώνου με δύο κορυφές και υπάρχουν δύο δυνατές περιπτώσεις σε σχέση με τη βάση και τις ίσες πλευρές. Στη πρώτη περίπτωση η είναι βάση, ενώ στη δεύτερη περίπτωση η είναι μία από τις ίσες πλευρές. Έχοντας στο νου μας αυτές τις δύο δυνατότητες, προσπαθούμε στη συνέχεια να κατασκευάσουμε ισοσκελή τρίγωνα με κορυφές τρία από τα τέσσερα σημεία,, και. (α) Τα σημεία, ανήκουν σε διαφορετικά ημιεπίπεδα ως προς την ευθεία ε. Για τον ορισμό ισοσκελούς τριγώνου με δύο κορυφές και υπάρχουν οι παρακάτω δυνατές περιπτώσεις:
5 Η πρώτη περίπτωση είναι τα σημεία και να ανήκουν στη μεσοκάθετη δ του ευθύγραμμου τμήματος και σε διαφορετικά ημιεπίπεδα ως προς την ευθεία ε. Τότε ορίζονται τα ισοσκελή τρίγωνα και. ν επιπλέον το σημείο είναι η τομή της μεσοκάθετης δ με τον κύκλο c(, ), τότε θα είναι =, αλλά και = (λόγω συμμετρίας), οπότε και τα τρίγωνα και είναι ισοσκελή, σχήμα. Σχήμα Η δεύτερη περίπτωση είναι γενίκευση της πρώτης. Τα σημεία και λαμβάνονται συμμετρικά ως προς την ευθεία ε, πάνω σε τυχούσα ευθεία ζ κάθετη προς την ευθεία ε, όχι στα σημεία,, αλλά και πάνω στον κύκλο c(, ), ώστε να εξασφαλίζονται οι ισότητες = = και =, =, αφού η ευθεία ε είναι μεσοκάθετη της χορδής, σχήμα. Σχήμα Στη περίπτωση αυτή υποθέτουμε ότι η είναι βάση στο τρίγωνο και μία από τις ίσες πλευρές στο τρίγωνο, σχήμα. Τα ισοσκελή τρίγωνα και, αλλά και τα και είναι ίσα, γιατί έχουν τις τρεις πλευρές τους ίσες μία προς μία, = = και = =. Άρα έχουμε και τις ισότητες των γωνιών: θ = ω και ϕ = x. ()
6 πό το τρίγωνο προκύπτει η ισότητα: 0 0 ϕ+ ω+ θ = 0 ή ϕ+ θ = 0, () ενώ από το τρίγωνο προκύπτει η ισότητα 0 0 ( ϕ θ) + x + ω = 0 ϕ θ = 0. () 0 0 πό τις () και () λαμβάνουμε: ϕ = 7 και θ = 6. Σχήμα (β) Τα σημεία, ανήκουν στο ίδιο ημιεπίπεδο ως προς την ευθεία ε. Έχουμε τρεις δυνατές περιπτώσεις: Το σημείο ανήκει στη μεσοκάθετη δ του ευθύγραμμου τμήματος και το σημείο λαμβάνεται ως η τομή των μεσοκάθετων δ και ζ των ευθύγραμμων τμημάτων και, αντίστοιχα. Τότε και τα τέσσερα τρίγωνα που ορίζονται από τα σημεία,, και είναι ισοσκελή. Σχήμα 5 Για να ανήκει το σημείο στο ίδιο ημιεπίπεδο με το σημείο θα πρέπει το τρίγωνο να είναι οξυγώνιο, σχήμα 5. Τα σημεία και λαμβάνονται έτσι ώστε το τετράπλευρο να είναι ρόμβος (ή τετράγωνο), δηλαδή πρέπει για το τετράγωνο να ισχύουν = = και,, σχήμα 6, ενώ για το ρόμβο πρέπει να ισχύουν = = =, σχήμα 7. Στην περίπτωση αυτή ορίζουμε πρώτα το σημείο πάνω στο κύκλο c(, ) έτσι ώστε =και στη συνέχεια θεωρούμε το σημείο συμμετρικό του ως προς την ευθεία.
7 Με τον ίδιο τρόπο μπορούν να θεωρηθούν τα σημεία και στο άλλο ημιεπίπεδο ως προς την ευθεία ε. Σχήμα 6 Σχήμα 7 Στην περίπτωση αυτή υποθέτουμε ότι έχουμε ορίσει τα σημεία και σε ένα από τα δύο ημιεπίπεδα, έτσι ώστε να σχηματίζονται από αυτά τέσσερα ισοσκελή τρίγωνα, σχήμα και 9. Εργαζόμενοι όπως στην τρίτη 0 0 υποπερίπτωση του (α), λαμβάνουμε τις ισότητες ω = θ = 6 και ϕ = x = 7. Σχήμα Σχήμα 9 Παρατηρήσεις. Σε καθεμία από τις δύο περιπτώσεις έχουμε ισοσκελές τραπέζιο του οποίου οι δύο ίσες πλευρές ισούνται με τη μικρή βάση του. Οι τρεις ίσες πλευρές του ισοσκελούς τραπεζίου αντιστοιχούν σε πλευρές κανονικού πενταγώνου εγγεγραμμένου σε κύκλο που περνάει από τρεις κορυφές του, σχήματα 9 και 0. ντίστοιχη παρατήρηση μπορεί να γίνει για την τρίτη υποπερίπτωση του (α), σχήμα.. Στην περίπτωση (α) θα μπορούσαμε να θεωρήσουμε το σημείο σε τέτοια θέση, ώστε να ισχύουν: = και, οπότε το τρίγωνο είναι ισοσκελές και ορθογώνιο, σχήμα 0. Στη συνέχεια το σημείο πρέπει να τοποθετηθεί σε διαφορετικό ημιεπίπεδο σε σχέση με το. Οι πιθανές θέσεις του φαίνονται στο σχήμα 0, αλλά στις τρεις περιπτώσεις ορίζονται τρία ακριβώς ισοσκελή τρίγωνα και στην τέταρτη με Δ μόνο δύο. Επομένως σε αυτή την περίπτωση δεν επιτυγχάνεται ο ορισμός του μέγιστου δυνατού αριθμού ισοσκελών τριγώνων.
Σχήμα 0