ΤΟ ΟΜΟΓΕΝΕΣ MΑΡΚΟΒΙΑΝΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΔΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ ΜΕ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΗ ΧΩΡΗΤΙΚΟΤΗΤΑ ΣΕ ΜΙΑ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗ

Ελληνικό Στατιστικό Ινστιτούτο Πρακτικά 2 ου Πανελληνίου Συνεδρίου Στατιστικής (27) σελ 3- ΤΟ ΟΜΟΓΕΝΕΣ MΑΡΚΟΒΙΑΝΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΔΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ ΜΕ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΗ ΧΩΡΗΤΙΚΟΤΗΤΑ ΣΕ ΜΙΑ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗ Γ Βασιλειάδης Γ Τσακλίδης 2 Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ gval@mathauthg 2 Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ tald@mathauthg ΠΕΡΙΛΗΨΗ Στην παρούσα εργασία μελετάμε το ομογενές Μαρκοβιανό σύστημα (ΟΜΣ) διακριτού χρόνου το οποίο παρουσιάζει πεπερασμένη χωρητικότητα c σε μία από τις καταστάσεις του Εξετάζουμε τη συμπεριφορά ενός τέτοιου συστήματος στην εξέλιξη του χρόνου με τη βοήθεια των παραγοντικών ροπών των μεγεθών των καταστάσεων Για το σκοπό αυτό δίνεται επαναληπτική σχέση με παράμετρο το χρόνο για τις παραγοντικές ροπές των μεγεθών των καταστάσεων του συστήματος συναρτήσει των παραγοντικών ροπών του μεγέθους υπερχείλισης Με τη βοήθεια των ροπών προσδιορίζεται στη συνέχεια η κατανομή των μεγεθών των καταστάσεων του συστήματος ΤΟ ΚΛΕΙΣΤΟ ΟΜΟΓΕΝΕΣ ΜΑΡΚΟΒΙΑΝΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΔΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ Θεωρούμε ότι έχουμε ένα σύστημα τα μέλη του οποίου είναι ταξινομημένα σε καταστάσεις σύμφωνα με κάποιο χαρακτηριστικό τους Οι καταστάσεις του συστήματος ορίζονται με τέτοιο τρόπο ώστε κάθε μέλος να ανήκει σε μία μόνο κατάσταση Όλα τα μέλη του συστήματος έχουν τη δυνατότητα να μετακινούνται από κατάσταση σε κατάσταση Θεωρούμε ότι οι μετακινήσεις αυτές γίνονται σε χρόνο διακριτό Επίσης ο αριθμός των μελών του συστήματος είναι σταθερός Δεν υπάρχει η δυνατότητα εισόδου νέων μελών ούτε επιτρέπεται η έξοδος στους ήδη υπάρχοντες Για ένα ομογενές Μαρκοβιανό Σύστημα (ΟΜΣ) χρησιμοποιούμε τους παρακάτω συμβολισμούς t = 2 η παράμετρος του χρόνου (βήματα ή χρονικές στιγμές) S = { 2 } ο χώρος καταστάσεων N το πλήθος των μελών του συστήματος - 3 -

Θεωρούμε ότι τα Ν σε πλήθος μέλη του συστήματος είναι κατανεμημένα στις σε πλήθος καταστάσεις και πραγματοποιούν μετακινήσεις μέσα στο σύστημα καθώς ο χρόνος ρέει διακριτά Συμβολίζουμε με p ( = 2 ) την πιθανότητα μετάβασης από την κατάσταση στη σ ένα βήμα Οι πιθανότητες αυτές είναι σταθερές ανεξάρτητες του χρόνου και δίνονται ως στοιχεία ενός πίνακα P = p = 2 ο οποίος ονομάζεται πίνακας μετάβασης Επίσης συμβολίζουμε με n () t = 2 το πλήθος των μελών του συστήματος που μετακινούνται από την κατάσταση στη ανάμεσα στις χρονικές στιγμές t και t + και με n () t = 2 το πλήθος των μελών που βρίσκονται στην κατάσταση τη χρονική στιγμή t Η πληθυσμιακή δομή του συστήματος σε κάθε χρονική στιγμή t δίνεται από το διάνυσμα n () t = n () t n () t n () t T ( ) 2 το οποίο ονομάζεται διάνυσμα κατάστασης του συστήματος για τη χρονική στιγμή t t = 2 Για τις βασικές έννοιες στις μαρκοβιανές αλυσίδες και τη θεμελίωση του ΟΜΣ αναφέρουμε ενδεικτικά τα Batholomew (982) Iaacon and Maden (976) Valou (997) ενώ σχετικά με εφαρμογές των ΟΜΣ αναφέρουμε τις εργασίες Gan (963) Kpoud and Tald (2) McClean McAlea and Mllad (998) Tald and Soldato (23) 2 ΤΟ ΟΜΣ ΜΕ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΗ ΧΩΡΗΤΙΚΟΤΗΤΑ ΣΕ ΜΙΑ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗ Στο σύνηθες κλειστό ΟΜΣ που περιγράψαμε θεωρούμε ότι οι μετακινήσεις των μελών του συστήματος γίνονται χωρίς να υπάρχει κάποιος περιορισμός όσον αφορά τη χωρητικότητα των καταστάσεων Δεχόμαστε δηλαδή ότι όλα τα μέλη του συστήματος που μετακινούνται προς μία κατάσταση κατά το χρονικό διάστημα [ t t) εισέρχονται σ αυτήν και αποτελούν το μέγεθός της για τη χρονική στιγμή t Στο ομογενές Μαρκοβιανό σύστημα με πεπερασμένη χωρητικότητα σε μία κατάσταση το οποίο θα συμβολίζουμε με ΟΜΣ/ c { 2 } θεωρούμε ότι υπάρχει περιορισμός στη χωρητικότητα της κατάστασης Το μέγεθος αυτής δεν μπορεί να υπερβεί μία τιμή c c N δηλαδή n () t c για κάθε χρονική στιγμή t = 2 Έτσι η εξέλιξη του συστήματος επηρεάζεται από το πλήθος των μελών που μετακινούνται προς τη συγκεκριμένη κατάσταση σε κάθε χρονική στιγμή t Αν το πλήθος αυτό δεν υπερβαίνει τη χωρητικότητα c τότε όλα τα μέλη που μετακινούνται - 4 -

προς την κατάσταση εισέρχονται σ αυτή Αν όμως σε κάποια χρονική στιγμή t το πλήθος αυτό υπερβαίνει τη χωρητικότητα τότε στην κατάσταση εισέρχονται μόνο c από αυτά και λέμε ότι τη δεδομένη χρονική στιγμή το σύστημα παρουσιάζει υπερχείλιση Τα μέλη του συστήματος που μετακινούνται προς την κατάσταση αλλά δεν εισέρχονται σ αυτή λόγω του περιορισμού της χωρητικότητας ονομάζονται υπερχειλίζοντα μέλη Στην περίπτωση υπερχείλισης θεωρούμε ότι τα υπερχειλίζοντα μέλη αποβάλλονται από το σύστημα και δεν υπάρχει η δυνατότητα επανεισόδου Επομένως το συνολικό μέγεθος του συστήματος δεν είναι σταθερό για κάθε χρονική στιγμή t αλλά εξαρτάται από το πλήθος των μελών που έχουν εγκαταλείψει το σύστημα λόγω του φαινομένου της υπερχείλισης Για την ανάλυση ενός τέτοιου συστήματος εκτός από τους συμβολισμούς που χρησιμοποιούνται στο σύνηθες ΟΜΣ θα χρειαστούμε και τους παρακάτω συμβολισμούς: N το μέγεθος του συστήματος τη χρονική στιγμή t t et () ο αριθμός των μελών του συστήματος που υπερχειλίζουν τη χρονική στιγμή t (μέγεθος υπερχείλισης) e οι συνολικές απώλειες του συστήματος μέχρι τη χρονική στιγμή t λόγω t του περιορισμού της χωρητικότητας m () t = 2 το πλήθος των μελών του συστήματος που μετακινούνται προς την κατάσταση κατά το χρονικό διάστημα [ t t) (όπου οι μετακινούμενοι προς την δεν εισέρχονται απαραίτητα όλοι στην λόγω της χωρητικότητας) 3 ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΕΣ ΡΟΠΕΣ ΣΤΟ ΟΜΣ/ c Έστω ένα ΟΜΣ/ c { 2 } και n() t = ( n() t n2() t n ()) T t το διάνυσμα κατάστασης τη χρονική στιγμή t Για να μελετήσουμε την εξέλιξη του ΟΜΣ/ c μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τις παραγοντικές ροπές -τάξης των τμ n () t = 2 Είναι προφανές ότι για κάθε χρονική στιγμή t η τμ m () t που εκφράζει το πλήθος των μελών του συστήματος που μετακινούνται προς την κατάσταση κατά το χρονικό διάστημα [ t t) ταυτίζεται για με το μέγεθος της κατάστασης τη χρονική στιγμή t δηλαδή n () t = m ()αν t = 2 Το μέγεθος της κατάστασης για κάθε χρονική στιγμή t λόγω του περιορισμού της χωρητικότητας θα είναι - 5 -

ή m() t m() t < c n () t = c m () t c n () t = m () t e() t όπου et () ο αριθμός των μελών του συστήματος που υπερχειλίζουν τη χρονική στιγμή t Χρησιμοποιώντας τα αποτελέσματα για τις παραγοντικές ροπές των μεγεθών των καταστάσεων σ ένα ΟΜΣ διακριτού χρόνου (Valad and Tald (δεκτό προς δημοσ)) προκύπτουν εύκολα οι Προτάσεις 3 και 32 όπου δίνονται επαναληπτικές σχέσεις με τη βοήθεια των οποίων μπορούμε να υπολογίσουμε για κάθε χρονική στιγμή t τις παραγοντικές καθώς επίσης και τις μεικτές παραγοντικές ροπές των τμ m () t = 2 Πρόταση 3 Σ ένα ΟΜΣ/ c με πίνακα μετάβασης ( ) [ ( ) P = p η -τάξης ( N ) παραγοντική ροπή Em t + ] της τμ m ( t+ ) = 2 δίνεται από τη σχέση! x E[ m ( t+ )] = En [ () tn () t n ()] t p p p ( ) ( x) ( x2) ( x) x x2 2 2 x + + x = xx x! 2!! Πρόταση 32 Σ ένα ΟΜΣ/ c με πίνακα μετάβασης παραγοντικές ροπές των τμ m ( t+ ) δίνονται από τη σχέση όπου N = 2 ( )! E m ( t+ ) = = x++ x= x + + x= = x! x! x x = E n () t p = = = P = p οι μεικτές Για τον υπολογισμό των παραγοντικών ροπών των μεγεθών n() t = 2 του ΟΜΣ/ c που εξετάζουμε μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τα παραπάνω αποτελέσματα για όλες τις καταστάσεις του συστήματος αντικαθιστώντας n () t = m () t εκτός από την περίπτωση = διότι η κατάσταση παρουσιάζει χωρητικότητα c οπότε n() t m() t Η -τάξης παραγοντική ροπή της τμ n () t μπορεί να υπολογιστεί για κάθε χρονική στιγμή t με τη βοήθεια της επαναληπτικής σχέσης που δίνεται στην επόμενη πρόταση - 6 -

Πρόταση 33 Σ ένα ΟΜΣ/ c με πίνακα μετάβασης παραγοντική ροπή ( ) [ ( )] P = p η -τάξης E n t της τμ n () t { 2 } δίνεται από την επαναληπτική σχέση E n t! E n t p Απόδειξη Για την c ( l) E e ( l) t [ ( )] l ( ) ( x) x [ ( )] = ( ) x x xx x + + =! 2!! = = -τάξης παραγοντική ροπή της τμ n () t έχουμε c ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = x + c+ + c+ 2 + + N t x= En [ ( t)] x p c p c p c p όπου p = Pm ( ( t) = ) = Nt Τότε N t ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = x + c+ + c+ 2 x= En [ ( t)] x p ( c ) c p ( c 2) c p N c p () ( ) ( ) t Nt Μπορεί να δειχθεί ότι για = 2 N t c ισχύει ( c+ ) c = c + c + + c 2 ( ) ( ) ( ) (2) ( 2) ( ) ( ) Έτσι από την () έχουμε 2 2 En [ ( t)] Em [ ( t)] c p c c p ή ( ) ( ) ( ) ( ) (2) ( 2) = c+ + c+ 2 2 3 ( ) 3 (2) ( 2) 3 (3) ( 3) c c c p + + c+ 3 2 3 N + + Nt c c ( ) t N t c ( Ntc) ( Ntc) c p t c N c - 7 -

En [ ( t)] Em [ ( t)] [ c p c p Ntc Nt c (3) ( 3) ( ) ( ) + c p c+ + + c pc+ ] = 3 3 = Ntc Ntc ( ) ( ) ( ) (2) ( 2) = c+ + c+ = = 2 2 Εύκολα μπορούμε να δούμε ότι για κάθε N ισχύει ( ) ( ) = Επομένως από την προηγούμενη σχέση προκύπτει ότι Ntc Nt c ( ) ( ) ( ) (2) ( 2) En [ ( t)] = Em [ ( t)] [ c p + c p = = 2 2 Ntc Nt c (3) ( 3) ( ) () + c p c+ + + c pc+ ] = 3 3 = + c+ c+ (2) Όσον αφορά την τάξης παραγοντική ροπή της τμ et () που εκφράζει το πλήθος των μελών του συστήματος που υπερχείλισαν τη χρονική στιγμή t έχουμε Ntc Ntc ( ) ( ) ( ) E[ e ( t)] = x P( e( t) = x) = x P( m ( t) = c+ x) x= x= Nt c ( ) = x pc+ x x= (3) Τότε από τις (2) και (3) προκύπτει ότι ( ) ( ) ( ) ( 2) (2) En [ ()] t = Em [ ()] t [ c Eet [()] + c Ee [ ()] t + 2 ( 3) (3) ( ) + c E[ e ( t )] + + E[ e ( t)]] 3 ( ) ( l) ( l) = Em [ ( t)] c Ee [ ( t)] l Άρα χρησιμοποιώντας την Πρόταση 3 που μας δίνει τις παραγοντικές ροπές της τμ m () t παίρνουμε + - 8 -

! E n t E n t p ( ) ( x) x [ ( )] = ( ) x x xx x + + =! 2!! = = c ( l) E e ( l) t [ ( )] l Γενίκευση της Πρότασης 33 αποτελεί η πρόταση που διατυπώνεται στη συνέχεια με τη βοήθεια της οποίας μπορούμε να υπολογίσουμε οποιασδήποτε τάξης μεικτή παραγοντική ροπή των τμ () Πρόταση 34 n t = 2 Σ ένα ΟΜΣ/ c με πίνακα μετάβασης παραγοντικές ροπές των τμ n () t = 2 ικανοποιούν τη σχέση όπου N = 2 ( )! E n () t = = x++ x= x + + x= = x! x! x x = E n ( t) p = = = c E[ e ( t) n ( t)] ( l) () l ( ) l = P = p οι μεικτές Απόδειξη Η ζητούμενη σχέση προκύπτει ακολουθώντας τα βήματα της απόδειξης της Πρότασης 33 και χρησιμοποιώντας την Πρόταση 32 4 ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΤΩΝ ΜΕΓΕΘΩΝ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ Λαμβάνοντας υπόψη τα αποτελέσματα για τις κατανομές των μεγεθών των καταστάσεων του κλασικού ΟΜΣ (Valad and Tald (δεκτό προς δημοσ)) εύκολα προκύπτει η επόμενη πρόταση όπου δίνεται η κατανομή των τμ m () t = 2 για κάθε χρονική στιγμή t συναρτήσει των παραγοντικών ροπών Πρόταση 4 Η κατανομή των τμ m() t = 2 για κάθε χρονική στιγμή t t = 2 σ ένα ΟΜΣ/ c δίνεται από τη σχέση ( ) Pmt [ n] Em t Pe l Nc Nln ( n+ ) () = = [ ()] ( t = ) n! =! Απόδειξη Για την κατανομή των τμ m() t / et = 2 έχουμε (Valad and Tald (δεκτό προς δημοσ)) - 9 -

Άρα Net n ( ) ( n+ ) = / t = n! =! Pm () t ne Em [ ()] t (4) N c [ ] [ ] Pmt () = n= Pmt () = ne / = Pe ( = l) t t Nc Nln ( ) ( n+ ) = E[ m ( t)] P( et = l) n! =! Από την Πρόταση 4 προκύπτουν άμεσα και οι κατανομές των μεγεθών των καταστάσεων ενός ΟΜΣ/ c Όπως προαναφέραμε το μέγεθος κάθε κατάστασης εκτός από την κατάσταση που παρουσιάζει χωρητικότητα ταυτίζεται με το πλήθος των μελών του συστήματος που μετακινούνται προς την κατάσταση αυτή δηλαδή n () t = m() t για για κάθε t και = 2 Επομένως είναι και [ () ] [ () ] 2 P n t = n = P m t = n = n = N Ειδικά για την κατάσταση η οποία παρουσιάζει χωρητικότητα c έχουμε P n () t = n = P m () t = n για n< c [ ] [ ] [ ] [ c Pn() t = c= Pn() t = = ] ABSTRACT In th pape we conde a dcete-tme Homogeneou Maov Sytem (HMS) wth fnte capacty c at ome gven tate We examne the evoluton of the ytem ung the moment of t tate ze Recuve fomulae ae deved n ode to compute the moment of the tate ze fo any tme pont The pdf of the tate ze follow dectly by mean of the moment ΑΝΑΦΟΡΕΣ Batholomew DJ (982) Stochatc Model fo Socal Pocee 3 d edn John Wley New Yo Gan J (963) Fomulae fo poectng enolment and degee awaded n unvete J R Statt Soc A 26 4-49 Iaacon DL and Maden RW (976) Maov Chan Theoy and applcaton John Wley New Yo Kotz S and Johnon NL (969) Dcete dtbuton Hougnton Mffln - -

Kpoud I and Tald G (2) The ze ode of the tate vecto of a contnuou-tme homogeneou Maov ytem wth fxed ze J Appl Pob 38 635-646 McClean SI McAlea B and Mllad P (998) Ung a Maov ewad model to etmate pend-down cot fo a geatc depatment J Opeat Re Soc 2-25 Tald G and Soldato KP (23) Modellng of contnuou tme homogeneou Maov ytem wth fxed ze a elatc old Appl Math Modell 27 877-887 Valad G and Tald G (δεκτό προς δημοσίευση) On the dtbuton of the tate ze of dcete tme Homogeneou Maov Sytem Valou P-CG (997) The evoluton of the theoy of non-homogeneou Maov ytem Appl Stochatc Model Data Anal 3 no 3-4 59-76 - -