ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Λέξεις-Κλειδιά: Γραμμικά συστήματα, εξισώσεις, ορίζουσα, άνωστοι, επίλυση, διερεύνηση
0 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Α. ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ Όπως νωρίζουμε από το υμνάσιο κάθε εξίσωση της μορφής αx + βy =, με α 0 ή β 0 (να μην είναι και τα δύο ταυτόχρονα 0) και R ονομάζεται ραμμική εξίσωση με δύο ανώστους. Κάθε διατεταμένο ζεύος (x y ) που την επαληθεύει λέεται λύση της 0, 0 αx + βy =. Δηλαδή θα ισχύει αx + βy =. Μία ραμμική εξίσωση με δύο 0 0 ανώστους έχει προφανώς άπειρες λύσεις της μορφής (x y ) αφού άπειρα ζευάρια 0, 0 αριθμών την επαληθεύουν. π.χ Έστω η ραμμική εξίσωση x + y = 4. Παρατηρήστε ότι όλα τα ζευάρια αριθμών που φαίνονται στον παρακάτω πίνακα επαληθεύουν την εξίσωσή της. x 1-1 - 3-3 κ.τ.λ y 0 7 8 4 3 4+ 3 κ.τ.λ Αν απεικονίσουμε όλα τα ζεύη λύσεων (x y ) μιας ραμμικής εξίσωσης σ ένα 0, 0 ορθοώνιο σύστημα συντεταμένων, τότε προκύπτει μια ευθεία ραμμή (ι αυτό και λέεται ραμμική εξίσωση). Απόδειξη Για να αποδείξουμε ότι, κάθε ραμμική εξίσωση της μορφής αx + βy =, με α 0 ή β 0, παριστάνει ευθεία, αρκεί να δείξουμε ότι μπορεί να ραφεί στη μορφή yλx = β+ ή xκ= που ξέρουμε (Άλεβρα Α Λυκείου) ότι παριστάνει ευθεία ραμμή. Διακρίνουμε τις περιπτώσεις: Αν β 0, τότε η εξίσωση ράφεται :
αx + βy = βy = αx + α y = x+ β β Οπότε η εξίσωση αυτή παριστάνει ευθεία που έχει συντελεστή διεύθυνσης α λ =. β Αν β = 0 ( οπότε α 0), τότε η εξίσωση ράφεται : αx = x = (κ= α α ) Επομένως η εξίσωση αυτή παριστάνει ευθεία που είναι κάθετη στον άξονα x x και τον τέμνει στο σημείο α. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ Αν α 0 και β 0 και R, τότε η ευθεία τέμνει και τους δύο άξονες. Αν β 0 και α=0 η εξίσωση παίρνει την μορφή κάθετη στον y y και τον τέμνει στο σημείο β. Αν α 0 και β=0 η εξίσωση παίρνει την μορφή κάθετη στον χ χ και τον τέμνει στο σημείο α. y = και είναι ευθεία β χ = και είναι ευθεία α Λύση της εξίσωσης αx + βy = Αν α 0 ή β 0 Αν α=0 και β=0 η εξίσωση αx + βy = έχει μοναδική λύση: της μορφής (x, αx ) αν β 0, ( βy,y) αν α 0 ή β α τις συντεταμένες κάθε σημείου της ευθείας αx + βy = ια 0 είναι αδύνατη ια =0 αληθεύει, ια κάθε χ,ψ πραματικό
Δυο ραμμικές εξισώσεις είναι ισοδύναμες, όταν: έχουν τις ίδιες λύσεις ή παριστάνουν την ίδια ευθεία. Σύστημα δύο ραμμικών εξισώσεων (χ) με δύο ανώστους είναι η σύζευξη δύο ραμμικών εξισώσεων με δύο ανώστους. Δηλαδή είναι της μορφής : ( 1 ) ( ) αx + βy = ε α'x + β'y = ε (Σ), aβ 0 και a'β' 0. Κάθε ζεύος της μορφής (x y ) που επαληθεύει και τις δύο εξισώσειςτου συστήματος 0, 0 (Σ), λέεται λύση του συστήματος,ενώ ισοδύναμα συστήματα λέονται αυτά που έχουν τις ίδιες ακριβώς λύσεις. ( 1 ) ( ) αx + βy = ε Αν οι εξισώσεις του συστήματος α'x + β'y = ε (δηλαδή είναι ραμμικές), τότε έχουμε τις παρακάτω ισοδύναμες προτάσεις: 1. (οι ε 1, ε τέμνονται ) (το σύστημα (Σ) έχει μοναδική λύση) (σχ.1). (οι ε 1, ε είναι παράλληλες) (το σύστημα (Σ) είναι αδύνατο ) πρακτικά δηλαδή όταν πρόκειται ια την ίδια εξίσωση παριστάνουν ευθείες ε 1, ε (σχ.) 3. (οι ε 1, ε ταυτίζονται) (το σύστημα (Σ) έχει άπειρες λύσεις) (σχ.3) πρακτικά δηλαδή όταν θα διαφέρουν μόνο ως προς τον σταθερό όρο Οι κυριότεροι τρόποι επίλυσης ενός ραμμικού συστήματος με δύο ανώστους είναι: 1. Η ραφική επίλυση.. Η μέθοδος της αντικατάστασης. 3. Η μέθοδος των αντίθετων συντελεστών. 4. Η μέθοδος των οριζουσών.
Γραφική Επίλυση Συστήματος Για να λύσουμε ραφικά ένα ραμμικό σύστημα χ σχεδιάζουμε τις ευθείες που έχουν εξισώσεις, τις εξισώσεις του συστήματος στο ίδιο σύστημα αναφοράς Οxy. Αν οι δύο ευθείες τέμνονται, τότε το σημείο τομής των ευθειών είναι και η λύση του συστήματος. Αν οι ευθείες είναι παράλληλες τότε το σύστημα είναι αδύνατο. Αν οι ευθείες ταυτίζονται τότε το σύστημα είναι αόριστο. Αλεβρική Επίλυση Συστήματος Επειδή η ραφική επίλυση ενός ραμμικού συστήματος απαιτεί κόπο, χρόνο και κυρίως ακρίβεια, επινοήθηκαν οι αλεβρικοί τρόποι επίλυσης ραμμικών συστημάτων. Μέθοδος Αντικατάστασης Πρώτα λύνουμε την μία από τις δύο εξισώσεις ως προς ένα άνωστο (π.χ. ως προς x). Αντικαθιστούμε στη δεύτερη εξίσωση το x με την παράσταση που βρήκαμε και λύνουμε την εξίσωση που προκύπτει με την αντικατάσταση, ως προς τον άλλο άνωστο y. Αντικαθιστούμε την τιμή του y στην πρώτη εξίσωση και υπολοίζουμε τον άλλο άνωστο x. Μέθοδος Αντίθετων Συντελεστών Πρώτα πολλαπλασιάζουμε τα μέλη των δύο εξισώσεων με κατάλληλους αριθμούς ώστε οι συντελεστές του ενός ανώστου στις εξισώσεις που θα προκύψουν να είναι αντίθετοι. Προσθέτουμε κατά μέλη τις εξισώσεις που βρήκαμε οπότε προκύπτει εξίσωση με έναν άνωστο, την οποία και επιλύουμε. Αντικαθιστούμε την τιμή του ανώστου που βρήκαμε σε μία από τις αρχικές εξισώσεις και βρίσκουμε την τιμή του άλλου.
Επίλυση-Διερεύνυση Γραμμικού Συστήματος χ Έστω το σύστημα αx+ βy= 1 1 1 αx+ βy= (Σ) Ορίζουσα (D) ενός συστήματος, ονομάζουμε μια παράσταση της μορφής α β = =. 1 1 α β 1 1 Dα β β α Επιπλέον, έχουμε: 1 1 D= β β =, η οποία προκύπτει από την D αν στην στήλη των x 1 1 β συντελεστών του x θέσουμε τους σταθερούς όρους. α 1 1 Dα= α=, η οποία προκύπτει από την D αν στην στήλη των y 1 1 α συντελεστών του y θέσουμε τους σταθερούς όρους. Για το σύστημα (Σ) ισχύουν: Αν D 0, το σύστημα έχει μοναδική λύση την Αν D 0 Ειδικότερα: Αν D= 0, και D 0 ή D 0 x y D x, y D D D = x = y. =, το σύστημα είναι αδύνατο ή έχει άπειρες λύσεις., το σύστημα είναι αδύνατο. Αν D= D = D = 0, το σύστημα είναι αόριστο, εκτός αν x y α = α = β = β = 0 και 0 ή 0,οπότε είναι αδύνατο. 1 1 1
Αν το σύστημα (Σ) έχει τους σταθερούς όρους μηδέν, δηλαδή έχει τη μορφή αx+ βy= 0 1 1 αx+ βy= 0 (Σ ) λέεται ομοενές. Ένα ομοενές σύστημα έχει πάντα λύση το ζεύος (0, 0),οπότε ποτέ δεν είναι αδύνατο. ΠΡΟΣΟΧΗ D 0 ( Το ( Σ ) έχει μόνο τη μηδενική λύση (0, 0)). D= 0 ( Το ( Σ ) έχει και μη μηδενικές λύσεις). ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΜΕ ΠΕΡΙΣΣΟΤΕΡΟΥΣ ΑΠΟ ΔΥΟ ΑΓΝΩΣΤΟΥΣ. Ονομάζουμε ραμμική εξίσωση με τρεις ανώστους κάθε εξίσωση της μορφής αx + βy + z = δ με α 0ή β 0 ή 0 κάθε τριάδα αριθμών που την επαληθεύει.. Λύση μιας ραμμικής εξίσωσης λέμε Σύστημα τριών ραμμικών εξισώσεων (3χ3) με τρεις ανώστους είναι η σύζευξη τριών ραμμικών εξισώσεων με τρεις ανώστους και αυτό που ψάχνουμε είναι η κοινές λύσεις τους. Για να λύσουμε ένα σύστημα (3χ3) προσπαθούμε, κυρίως με αντικαταστάσεις, να το μετασχηματίσουμε σε ένα σύστημα δύο ραμμικών εξισώσεων. Το πλήθος των λύσεων αυτού του συστήματος καθορίζει και τις λύσεις του αρχικού (3χ3).