SCHEDULE RISK ANALYSIS

Κλεάνθης Συρακούλης Το κείμενο που ακολουθεί αποτελεί μια περίληψη της απόδοσης στην ελληνική γλώσσα του κεφαλαίου 5 του βιβλίου Vanhoucke, M. (2012). Project Management with Dynamic Scheduling: Baseline Scheduling, Risk Analysis and Project Control, Springer. Δεκέμβρης 2015

SCHEDULE RISK ANALYSIS Το ενδιαφέρον σχετικά με την ευαισθησία της κάθε δραστηριότητας τόσο από ακαδημαϊκούς όσο και από ανθρώπους που δουλεύουν στο πεδίο έγκειται στην ανάγκη που έχει ο διαχειριστής του έργου να επικεντρώσει την προσοχή του σε παράγοντες που επηρεάζουν τη συμπεριφορά του έργου. Η τεχνική που θα περιγραφεί είναι γνωστή ως Schedule Risk Analysis (SRA) και συνδέει την πληροφορία για τον κίνδυνο των δραστηριοτήτων του έργου με το χρονοδιάγραμμα βάσης ενώ ταυτόχρονα δίνει πληροφορίες για την ευαισθησία της κάθε δραστηριότητας για να εκτιμηθεί η δυναμική επίδρασης της αβεβαιότητας στην τελική διάρκεια και το τελικό κόστος του έργου. 1 Εισαγωγή Η αβεβαιότητα σε συνδυασμό με τις παραδοχές λειτουργίας της μεθόδου PERT/CPM συχνά οδηγεί σε υποεκτίμηση της διάρκεια του έργου. Αυτό μπορεί να αποδοθεί στα παρακάτω αίτια: (α) Η critical path method χρησιμοποιεί για τη διάρκεια των δραστηριοτήτων σημειακές εκτιμήσεις, ενώ η PERT που το επεκτείνει σε εκτίμηση τριών σημείων δεν μπορούν να καλύψουν με επάρκεια την πληροφορία για τη διάρκεια των δραστηριοτήτων. (β) Οι εκτιμήσεις για τη διάρκεια και το κόστος δεν είναι παρά προβλέψεις για το μέλλον και πολλές φορές ο άνθρωπος τείνει να είναι αρκετά αισιόδοξος για αυτές, ή εναλλακτικά από την άλλη πλευρά να γίνεται απαισιόδοξος με στόχο να προφυλαχθεί από μη αναμενόμενα γεγονότα. (γ) Η τοπολογική δομή του δικτύου συχνά δείχνει την αναγκαιότητα επιπλέον κινδύνου εκεί όπου εκτελούνται παράλληλα κάποιες δραστηριότητες και με την ολοκλήρωσή τους αρχίζει μια άμεσα επόμενη δραστηριότητα. Στο τμήμα 2 παρουσιάζονται τα 4 βασικά βήματα για την ανάλυση κινδύνου του χρονοδιαγράμματος και τονίζεται η σημαντικότητα του χρονοδιαγράμματος βάσης. Στο 3, γίνεται η παρουσίαση και η συζήτηση των διαφορετικών μετρικών που μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να μετρήσουμε κατά πόσο η ευαισθησία της διάρκειας κάθε μεμονωμένης δραστηριότητας επηρεάζει την ευαισθησία της διάρκειας του έργου. Τέλος, στο τμήμα 4 παρατίθενται ένα αναλυτικό παράδειγμα καθώς και κάποιες περιπτώσεις στις οποίες η χρήση των μετρικών μπορεί να οδηγήσει σε παράξενα συμπεράσματα.

2 Schedule Risk Analysis Περιγράφονται εδώ τα 4 βασικά βήματα για την πραγματοποίηση της SRA. Το πρώτο βήμα απαιτεί ένα χρονοδιάγραμμα βάσης το οποίο είναι και το σημείο αναφοράς για τα επόμενα βήματα. Στο δεύτερο βήμα υπάρχει η αναγκαιότητα ορισμού της αβεβαιότητας ως αποτέλεσμα του εύρους των εκτιμήσεών μας. Το τρίτο βήμα απαιτεί μια εκτεταμένη προσομοίωση Monte-Carlo της προόδου του έργου βασισμένης στις εκτιμήσεις της αβεβαιότητας. Στο τελικό βήμα δίνεται η αναφορά των αποτελεσμάτων της προσομοίωσης μέσα από μέτρα ευαισθησίας, τα οποία απαιτούν γνώση και κατανόηση του νοήματος που έχουν αλλά και της σημασίας τους στο συγκεκριμένο έργο. 2.1 Βήμα 1. Χρονοδιάγραμμα βάσης - Baseline Scheduling Παρά το γεγονός ότι η PERT/CPM παρουσιάζει αδυναμίες όπως για παράδειγμα στην εξέλιξη του έργου κάποιες κρίσιμες (μη κρίσιμες) δραστηριότητες μπορεί να γίνουν μη κρίσιμες (κρίσιμες) το project baseline schedule μας εξυπηρετεί ως σημείο αναφοράς με το οποίο θα συγκρίνουμε τα αποτελέσματα της προσομοίωσης της πραγματικής προόδου του έργου. 2.2 Βήμα 2. Κίνδυνος και αβεβαιότητα Η κατανόηση βασικών εννοιών στις πιθανότητες και τις συναρτήσεις κατανομής των πιθανοτήτων διευκολύνει το διαχειριστή του έργου στην καλύτερη εκτίμηση του αποτελέσματος που θα επιφέρουν στη διάρκεια του έργου διάφορα απρόσμενα γεγονότα. Το βάθος της ανάλυσης στην SRA προφανώς ποικίλει ανάλογα με το βαθμό γνώσης μαθηματικών και στατιστικής, σε τρία επίπεδα: (α) Καλή γνώση στατιστικής: σημαίνει γνώση και κατανόηση των τύπων που δίνουν τις στατιστικές κατανομές των πιθανοτήτων. (β) Βασική γνώση στατιστικής: σημαίνει κατανόηση της βασικής στατιστικής ορολογίας και δυνατότητα χρήσης εργαλείων όπως το Microsoft Excel για την απεικόνιση της SRA. (γ) Άγνοια στατιστικής: σημαίνει αναγκαστικά κατηγοριοποίηση των δραστηριοτήτων κατά τρόπο εύκολο για τον ορισμό των τάξεων του κινδύνου στην SRA.

Ως καλή γνώση στατιστικής θεωρούμε για παράδειγμα το γεγονός ότι κάποιος γνωρίζει ότι αν η τυχαία μεταβλητή X ακολουθεί την εκθετική κατανομή τότε η συνάρτηση πιθανότητας δίνεται από τη σχέση P(X <x) = 1- e -λx όπου 1/λ η μέση τιμή της εκθετικής κατανομής. Όταν το u θα χρησιμοποιηθεί ως παράμετρος για την εκτίμηση της πιθανότητας P(X <x), η οποία προφανώς λαμβάνει τιμές μεταξύ 0 και 1, τότε θα έχουμε: u=1-e -λx, e -λx =1-u, -λx= ln(1-u), x=-[ln(1-u)]/λ οπότε το u μπορεί να αντικατασταθεί με έναν τυχαίο αριθμό από το διάστημα [0,1], πχ με τη βοήθεια της συνάρτησης RAND() του Microsoft Excel, και να οδηγήσει σε έναν τυχαίο αριθμό ο οποίος προκύπτει από την εκθετική κατανομή της οποίας η μέση τιμή είναι ίση με 1/λ (δες 2.3). 2.3 Βήμα 3. Monte-Carlo Simulation Στο σχήμα που ακολουθεί απεικονίζεται οι βασικές αρχές της προσομοίωσης Monte-Carlo την οποία εφαρμόζουμε για την SRA. Σε κάθε κύκλο (σενάριο) της προσομοίωσης δημιουργούμε μια διάρκεια για την κάθε δραστηριότητα με δεδομένο το προφίλ της αβεβαιότητας της ως εξής: 1. Δημιουργία ενός συνεχούς τυχαίου αριθμού ο οποίος κατανέμεται ομοιόμορφα στο διάστημα [0,1]. 2. Προσθήκη του αριθμού αυτού ως την παράμετρο u της αθροιστικής συνάρτησης πιθανότητας και δημιουργία της αντίστοιχης πραγματικής διάρκειας της δραστηριότητας. 3. Αντικατάσταση της διάρκειας που είχε η δραστηριότητα στο χρονοδιάγραμμα βάσης με την τυχαία διάρκεια την οποία υπολογίσαμε στο προηγούμενο βήμα και υπολογισμός από την αρχή της κρίσιμης διαδρομής.

Η προσέγγιση με την Monte-Carlo χρησιμοποιείται για την παραγωγή διαρκειών των δραστηριοτήτων οι οποίες μπορεί να διαφέρουν από τη διάρκεια κάθε δραστηριότητας στο χρονοδιάγραμμα βάσης, οπότε μπορούν να οδηγήσουν στην αλλαγή του συνόλου των κρισίμων δραστηριοτήτων και της συνολική διάρκειας του έργου, όπως αυτή είχε υπολογιστεί στο χρονοδιάγραμμα βάσης. Τα αποτελέσματα αυτών των αλλαγών μετρώνται και αποτιμούνται στο επόμενο και τελευταίο βήμα της SRA. 2.4 Βήμα 4. Αποτελέσματα Ο στόχος της SRA είναι η παραγωγή ενός συνόλου μετρικών οι οποίες θα ορίζουν το βαθμό κρισιμότητας και ευαισθησίας της κάθε δραστηριότητας. Οι μετρικές αυτές είναι: Δείκτης Κρισιμότητας - Criticality Index (CI): ο οποίος μετρά την πιθανότητα μια δραστηριότητα να βρεθεί στην κρίσιμη διαδρομή. Δείκτης Σημαντικότητας - Significance Index (SI): ο οποίος μετρά τη σχετική σημαντικότητα της διάρκειας κάθε δραστηριότητας σε σχέση με τη διάρκεια του έργου. Δείκτης Ευαισθησίας Χρονοδιαγράμματος - Schedule Sensitivity Index (SSI): ο οποίος μετρά τη σχετική σημαντικότητα της διάρκειας της κάθε δραστηριότητας λαμβάνοντας υπόψη όμως και την πιθανότητά της να βρεθεί στην κρίσιμη διαδρομή, δηλαδή λαμβάνοντας υπόψη και το δείκτη CI.

Δείκτης Ζωτικότητας - Cruciality Index (CRI): ο οποίος μετρά τη συσχέτιση που υπάρχει μεταξύ της διάρκειας κάθε δραστηριότητας και της συνολικής διάρκειας του έργου και ο οποίος μπορεί να υπολογιστεί με τρεις διαφορετικούς τρόπους: CRI(r): με την υπόθεση της γραμμικής συσχέτισης και χρήση του συντελεστή Pearson. CRI(ρ): με την υπόθεση της μη γραμμικής συσχέτισης και χρήση του συντελεστή ρ του Spearman. CRI(τ): με την υπόθεση της μη γραμμικής συσχέτισης και χρήση του συντελεστή τ του Kendall. Οι αναλυτικοί υπολογισμοί για την εκτίμηση των μετρικών δίνονται στη συνέχεια. 3 Μετρικές Ευαισθησίας Οι τρεις πρώτες μετρικές προτάθηκαν αρχικά από τον Williams (1992), ενώ η τελευταία δόθηκε από το PMBOK (2004). Περισσότερη ανάλυση για τις μετρικές μπορούμε να δούμε στον Vanhoucke (2010). Για την παρουσίαση και τον υπολογισμό των μετρικών χρησιμοποιούνται οι παρακάτω συμβολισμοί: nrs: Ο αριθμός των κύκλων (σεναρίων) της προσομοίωσης Monte-Carlo (δείκτης k) d i : Η διάρκεια της δραστηριότητας i (το k ως εκθέτης αναφέρεται στη διάρκεια d i στον κύκλο (σενάριο) προσομοίωσης k) tf i : Το συνολικό περιθώριο της δραστηριότητας i (ο εκθέτης k αναφέρεται στο συνολικό περιθώριο tf i στον κύκλο (σενάριο) προσομοίωσης k) RD : Η συνολική πραγματική διάρκεια ως αποτέλεσμα ενός κύκλου (σεναρίου) προσομοίωσης (ο εκθέτης k αναφέρεται στην πραγματική διάρκεια RD του κύκλου προσομοίωσης (σεναρίου) k) 3.1 Δείκτης Κρισιμότητας -Criticality Index CI Ο δείκτης κρισιμότητας μετρά την πιθανότητα (άρα λαμβάνει τιμές από 0 έως 1) μια δραστηριότητα να ανήκει στην κρίσιμη διαδρομή. Είναι μια απλή μετρική και προκύπτει άμεσα από την προσομοίωση της διάρκειας του έργου. Ο δείκτης CI για κάθε δραστηριότητα i ορίζεται ως εξής: CI = Prob (tf i = 0) (1) Παρά το γεγονός ότι ο συγκεκριμένος δείκτης έχει χρησιμοποιηθεί σε πολλές μελέτες, αποδεικνύεται στην πράξη όχι και ως ο περισσότερο κατάλληλος για τη μέτρηση του

κινδύνου που σχετίζεται με τη διάρκεια του έργου. Το βασικό μειονέκτημα του CI είναι ότι εστιάζει στη μέτρηση της πιθανότητας, γεγονός που δεν σημαίνει αναγκαία ότι δραστηριότητες με υψηλή τιμή του CI έχουν πάντα και υψηλή επίδραση στη διάρκεια του έργου. Για παράδειγμα, το πιο πιθανό είναι μια δραστηριότητα με μικρή διάρκεια να βρίσκεται συνέχεια στην κρίσιμη διαδρομή (δηλαδή να έχει CI=100%), παρόλα αυτά όμως ελάχιστα επηρεάζει τη διάρκεια του έργου λόγω της μικρής της διάρκειας. Μια εκτίμηση του δείκτη CI, την οποία συμβολίζουμε, μπορεί να υπολογιστεί εύκολα από τη συχνότητα με την οποία η δραστηριότητα i γίνεται κρίσιμη στο σύνολο όλων των κύκλων (σεναρίων) της προσομοίωσης k = 1; ; nrs, ως εξής: όπου η συνάρτηση δείκτης 1(.) ορίζεται ως εξής 3.2 Δείκτης Σημαντικότητας - Significance Index SI Ο δείκτης ευαισθησίας της δραστηριότητας i μπορεί να δώσει τη σχετική σημαντικότητα κάπως καλύτερα να σχηματιστεί ως εξής: με E(x) να συμβολίζει την αναμενόμενη τιμή του x. Ο δείκτης SI ορίσθηκε ως μερική απάντηση της κριτικής που δέχθηκε ο CI. Αντί για τη χρήση πιθανοτήτων στην έκφραση της κρισιμότητας κάθε δραστηριότητας, ο SI στοχεύει στην έκθεση της σημαντικότητας κάθε μεμονωμένης δραστηριότητας για τη συνολική διάρκεια του έργου. Σε μερικά παραδείγματα, ο SI δείχνει να παράγει περισσότερο ρεαλιστική πληροφορία αναφορικά με τη σχετική σημαντικότητα της κάθε δραστηριότητας. Μια εκτίμηση μέσω προσομοίωσης του SI είναι

με τη μέση τιμή των τιμών του RD στο σύνολο των κύκλων προσομοίωσης, δηλαδή 3.3 Δείκτης Ζωτικότητας - Cruciality Index CRI Ένα τρίτο μέτρο που δείχνει την ευαισθησία της διάρκειας κάθε δραστηριότητας πάνω στη συνολική διάρκεια του έργου δίνεται από τη συσχέτιση (correlation) μεταξύ της διάρκειας κάθε δραστηριότητας και της συνολικής διάρκειας. Η μετρική αυτή αντανακλά τη σχετική σημασία μιας δραστηριότητας με ένα πιο φυσικό τρόπο και μετρά το ποσοστό της συνολικής διάρκειας που ερμηνεύεται από την αβεβαιότητα της κάθε δραστηριότητας. Η μετρική μπορεί να υπολογιστεί με τη χρήση του γινομένου ροπών του Pearson, τη συσχέτιση των τάξεων του Spearman ή με την t συσχέτιση τάξεων του Kendall, όπως περιγράφεται παρακάτω. (a) Μια εκτίμηση με βάση την προσομοίωση του γινομένου ροπών του Pearson για κάθε δραστηριότητα i υπολογίζεται ως εξής: όπου και είναι οι τυπικές αποκλίσεις στον πληθυσμό των μεταβλητών d i και RD, και υπολογίζονται ως εξής: Η μετρική αυτής της συσχέτισης είναι μέτρο της γραμμικής σχέσης των δύο μεταβλητών. Όμως, πολύ συχνά, η σχέση της διάρκειας της δραστηριότητας και της διάρκειας του έργου δε είναι γραμμική. Έτσι οι Cho και Yum (1997) προτείνουν τη χρήση μετρικών μη γραμμικής συσχέτισης όπως τη συσχέτιση τάξεων του Spearman και το t του Kendall. Ο υπολογισμός των μέτρων αυτών μπορεί να γίνει όπως περιγράφεται παρακάτω. (b) Για τη συσχέτιση τάξεων του Spearman μετατρέπουμε τις τιμές των μεταβλητών σε τάξεις και υπολογίζουμε τις διαφορές των τάξεων για κάθε παρατήρηση. Μέσα από τις τιμές που βασίζονται στην προσομοίωση ο υπολογισμός γίνεται ως εξής

όπου δ k είναι η διαφορά τάξεων των d i και RD σε κάθε κύκλο (σενάριο) προσομοίωσης k, δηλαδή για k = 1; ; nrs. (c) Ο συντελεστής συσχέτισης τάξεων τ του Kendall μετρά το βαθμό συσχέτισης μεταξύ δύο τάξεων ως εξής: όπου το P χρησιμοποιείται για να αναπαραστήσει το πλήθος των αρμονικών ζευγών των μεταβλητών d i και RD. Μια εκτίμηση της μετρικής μπορεί να γίνει ως εξής: 3.4 Δείκτης Ευαισθησίας Χρονοδιαγράμματος - Schedule Sensitivity Index SSI Το Project Management Body Of Knowledge (PMBOK 2004) αναφέρει την ποσοτική ανάλυση κινδύνου ως μια από τις πολλές μεθόδους προσδιορισμού της αβεβαιότητας και προτείνει το συνδυασμό των τυπικών αποκλίσεων των διαρκειών δραστηριότητας και έργου ( ) με το δείκτη κρισιμότητας. Ο νέος δείκτης αναφέρεται ως Δείκτης Ευαισθησίας Χρονοδιαγράμματος - Schedule Sensitivity Index (SSI) και είναι ίσος με και η εκτίμησή του από την προσομοίωση γίνεται ως εξής: 4 Παραδείγματα Ευαισθησίας 4.1 Ένα εικονικό παράδειγμα Στο τμήμα αυτό διαπραγματευόμαστε τη χρήση των μετρικών ευαισθησίας με βάση το παράδειγμα που παρουσιάζεται στο γράφημα που ακολουθεί. Οι αριθμοί πάνω από κάθε

κόμβο συμβολίζουν την εκτίμηση της διάρκειας για κάθε δραστηριότητα. Αρχικά, στον πίνακα παρουσιάζονται πέντε εικονικά σενάρια για το δίκτυο. Κάθε σενάριο χαρακτηρίζεται από ένα σύνολο διαρκειών των δραστηριοτήτων και από τη συνολική πραγματική διάρκεια του έργου RD. Ο επόμενος πίνακας 2 εμφανίζει τις τιμές των μετρικών ευαισθησίας και ο μεθεπόμενος τους ενδιάμεσους υπολογισμούς για την εκτίμηση των τιμών αυτών. Σε ένα φύλλο του Excel γράφουμε σε μια σειρά το σύνολο των δραστηριοτήτων από 2 έως 11 καθώς οι 1 και 12 είναι πλασματικές. Στο επόμενο κελί και στην ίδια πάντα σειρά γράφουμε την πραγματική διάρκεια RD και ακριβώς δίπλα κατά σειρά απαριθμούμε τις διαδρομές του δικτύου (για το παράδειγμα έχουμε 2-5-9, 3-10, 4-6-7-8, 4-6-7-11). Ακριβώς πάνω από κάθε δραστηριότητα γράφουμε την εκτίμηση της διάρκειας κάθε δραστηριότητας και υπολογίζουμε τη διάρκεια της κάθε διαδρομής Για τον υπολογισμό της ελάχιστης διάρκειας του έργου πάνω από τα κελί RD υπολογίζουμε τη διάρκεια με τη χρήση της συνάρτησης ΜΑΧ και όρισμα τις τιμές των διαδρομών. Στη συνέχεια και με τη βοήθεια γεννήτριας τυχαίων αριθμών υπολογίζουμε 5 διάρκειες για κάθε δραστηριότητα, μια για το κάθε σενάριο. Ο υπολογισμός γίνεται με χρήση της ακολουθίας εντολών [RAND() η οποία γεννά έναν τυχαίο αριθμό από 0 έως 1 (κελί C7) και στη συνέχεια 1-RAND (κελί D7), μετά υπολογίζουμε την ποσότητα -LN(1-RAND) (κελί E7) την οποία πολλαπλασιάζουμε με την εκτίμηση διάρκειας της κάθε δραστηριότητας (κελί F7) και

στην ποσότητα αυτή ζητάμε το ακέραιο μέρος του αριθμού που παρήχθη από τη συνάρτηση INT()+1 (κελί G7)]. Την προσομοίωση την οποία κατασκευάσαμε τη μεταφέρουμε με Αντιγραφή και Επικόλληση ως Τιμή στο αντίστοιχο σενάριο. Οπότε για το σύνολο των τιμών που προσομοιώθηκαν υπολογίζουμε σε κάθε δραστηριότητα αλλά και στην πραγματική διάρκεια RD τη μέση τιμή και την τυπική απόκλιση. Ο πίνακας θα είναι 4 9 1 4 5 1 7 8 3 3 16 16 12 14 10 Scenario 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 RD 259 310 4678 46711 1 2 14 1 2 8 1 15 7 5 5 25 11 19 25 15 2 5 5 1 2 5 2 2 3 3 7 15 10 8 10 15 3 1 7 2 3 4 2 31 4 3 2 39 8 10 39 10 4 1 21 1 2 1 1 2 1 2 8 23 4 23 5 11 5 4 4 1 2 3 1 5 11 4 7 17 17 8 10 12 ΜΟ 2,6 10,2 1,2 2,2 4,2 1,4 11 5,2 3,4 5,8 23,8 ΤΑ 1,82 7,19 0,45 0,45 2,59 0,55 12,39 3,90 1,14 2,39 9,44 Εκτίμηση δείκτη CI Στον πίνακα που ακολουθεί και για κάθε σενάριο υπολογίζουμε το συνολικό περιθώριο (TF) για κάθε δραστηριότητα. Στην τελευταία γραμμή με χρήση της COUNTIF, με εύρος τις τιμές του TF για κάθε δραστηριότητα και κριτήριο την τιμή 0, υπολογίζουμε τη συχνότητα με την οποία η κάθε δραστηριότητα καθίσταται κρίσιμη στο σύνολο των κύκλων της προσομοίωσης. Scenario/TF 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 14 6 0 14 0 0 0 14 6 10 2 5 7 5 5 5 5 5 5 7 0 3 31 29 0 31 0 0 0 31 29 29 4 19 0 18 19 18 18 18 19 0 12 5 0 9 7 0 7 7 7 0 9 5 SUM 1 1 2 1 2 2 2 1 1 1 Στο συγκεκριμένο παράδειγμα η δραστηριότητα 2 γίνεται κρίσιμη μόνο στο σενάριο 5, επομένως το SUM είναι ίσο με 1. Αν η τιμή αυτή διαιρεθεί με το nrs=5 τότε ο CI της 2 θα είναι ίσος με 0.2 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 CI 0,2 0,2 0,4 0,2 0,4 0,4 0,4 0,2 0,2 0,2

Εκτίμηση SI Στον πίνακα που ακολουθεί υπολογίζουμε για κάθε δραστηριότητα την ποσότητα (d k i/d k i+tf k i), δηλαδή για κάθε κύκλο της προσομοίωσης το πηλίκο της διάρκειας προς τη διάρκεια προσαυξημένη κατά το συνολικό περιθώριο της δραστηριότητας (ο αριθμός που θα προκύψει στην περίπτωση που η δραστηριότητα είναι κρίσιμη σε όλους τους κύκλους θα είναι ίσος με 5) και στην τελευταία στήλη το πηλίκο της πραγματικής διάρκειας κάθε κύκλου προς τη μέση τιμή των πραγματικών διαρκειών που υπολογίσαμε σε όλους του κύκλους. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 RD 0,13 0,70 1,00 0,13 1,00 1,00 1,00 0,33 0,45 0,33 1,05 0,50 0,42 0,17 0,29 0,50 0,29 0,29 0,38 0,30 1,00 0,63 0,03 0,19 1,00 0,09 1,00 1,00 1,00 0,11 0,09 0,06 1,64 0,05 1,00 0,05 0,10 0,05 0,05 0,10 0,05 1,00 0,40 0,97 1,00 0,31 0,13 1,00 0,30 0,13 0,42 1,00 0,31 0,58 0,71 Στη συνέχεια με τη χρήση της εντολής SUMPRODUCT το άθροισμα των στοιχείων γινομένων κάθε στήλης επί τα αντίστοιχα στοιχεία της τελευταίας στήλης και τα αποτέλεσμα το διαιρούμε με τον αριθμό των κύκλων (στο παράδειγμα 5), οπότε προκύπτει ο SI. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 SUMPRODUCT 1,26 2,50 2,93 1,26 3,27 3,01 3,26 1,54 2,01 1,89 SI 0,25 0,50 0,59 0,25 0,65 0,60 0,65 0,31 0,40 0,38 Εκτίμηση του CRI(r) Στον πίνακα που ακολουθεί υπολογίζουμε για κάθε δραστηριότητα την ποσότητα για κάθε δραστηριότητα καθώς και τη διαφορά σε κάθε σενάριο Scenario 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 RD 1-0,6 3,8-0,2-0,2 3,8-0,4 4 1,8 1,6-0,8 1,2 2 2,4-5,2-0,2-0,2 0,8 0,6-9 -2,2-0,4 1,2-8,8 3-1,6-3,2 0,8 0,8-0,2 0,6 20-1,2-0,4-3,8 15,2 4-1,6 10,8-0,2-0,2-3,2-0,4-9 -4,2-1,4 2,2-0,8 5 1,4-6,2-0,2-0,2-1,2-0,4-6 5,8 0,6 1,2-6,8 TA 1,82 7,19 0,45 0,45 2,59 0,55 12,39 3,90 1,14 2,39 9,44 CRI(r) -0,63 0,10 0,72 0,72 0,04 0,25 0,75-0,18-0,07-0,70

Στην προτελευταία γραμμή βάζουμε τις τυπικές αποκλίσεις για κάθε δραστηριότητα, οι οποίες ήδη έχουν υπολογιστεί παραπάνω και στην τελευταία γραμμή υπολογίζουμε το δείκτη με χρήση της εντολής SUMPRODUCT της κάθε στήλης με την τελευταία, διαιρώντας με το γινόμενο 5 επί την τυπική απόκλιση της κάθε δραστηριότητας επί την τυπική απόκλιση της RD. Για τη δραστηριότητα 2 ο υπολογισμός είναι: [(-0,6)Χ1,2 +2,4Χ(-8,8) +(- 1,6)Χ15,2 +(-1,6)Χ(-0,8) +1,4Χ(-6,8)]/[5Χ1,82Χ9,44]=-0,63 Εκτίμηση του CRI(ρ) Για τον υπολογισμό του δείκτη παίρνουμε τις αρχικές τιμές των διαρκειών όπως αυτές προέκυψαν σε κάθε κύκλο της προσομοίωσης Scenario 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 RD 1 2 14 1 2 8 1 15 7 5 5 25 2 5 5 1 2 5 2 2 3 3 7 15 3 1 7 2 3 4 2 31 4 3 2 39 4 1 21 1 2 1 1 2 1 2 8 23 5 4 4 1 2 3 1 5 11 4 7 17 και τις τοποθετούμε κατά αύξουσα σειρά (μπορούμε να κάνουμε στο Excel ταξινόμηση στην κάθε στήλη από το μικρότερο προς το μεγαλύτερο). Θα προκύψει ο πίνακας που ακολουθεί. RANKINGS 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 RD 1 1 4 1 2 1 1 2 1 2 2 15 2 1 5 1 2 3 1 2 3 3 5 17 3 2 7 1 2 4 1 5 4 3 7 23 4 4 14 1 2 5 2 15 7 4 7 25 5 5 21 2 3 8 2 31 11 5 8 39 Στην περίπτωση της δραστηριότητας 2 για παράδειγμα έχουμε: τάξη 1 την τιμή 1, τάξη 2 την τιμή 1, τάξη 3 την τιμή 2, τάξη 4 την τιμή 4 και τάξη 5 την τιμή 5. Εκεί όπου δύο (ή και περισσότερες όπως πχ στη δραστηριότητα 4) τιμές εμφανίζονται σε περισσότερες από μία τάξεις αντιστοιχίζουμε τις τιμές αυτές σε μια νέα τάξη η οποία υπολογίζεται από τον μέσο όρο των τάξεων. Για παράδειγμα στη δραστηριότητα 2 έχουμε την τιμή 1 να αντιστοιχεί στις τάξεις 1 και 2 επομένως στη θέση των τάξεων 1 και 2 θα θέσουμε ως τάξη την (1+2)/2=1,5. Στην περίπτωση της δραστηριότητας 4 όπου η τιμή 1 αντιστοιχεί στις τάξεις 1,2,3 και 4 θα θέσουμε στη θέση των τάξεων την τάξη (1+2+3+4)/4=2,5 κοκ οπότε αν πάμε στον αρχικό πίνακα και στη θέση των τιμών βάλουμε τις τάξεις θα έχουμε

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 RD 3 4 2,5 2,5 5 2 4 4 5 2 4 3 2 2,5 2,5 4 4,5 1,5 2 2,5 3,5 1 1,5 3 5 5 3 4,5 5 3 2,5 1 5 1,5 5 2,5 2,5 1 2 1,5 1 1 5 3 4 1 2,5 2,5 2 2 3 5 4 3,5 2 Θα χρειαστούμε τώρα για την εκτίμηση να υπολογίσουμε για κάθε σενάριο και κάθε δραστηριότητα τη ποσότητα, όπου 2 δ 1 2 δ 2 2 δ 3 2 δ 4 2 δ 5 A=6Σδ i 2 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 0 2,25 2,25 1 4 0 0 1 4 4 1 2,25 2,25 9 12,25 0,25 1 2,25 6,25 12,25 4 0 0 4 0,25 0 4 6,25 16 2,25 4 0,25 0,25 4 1 2,25 4 4 4 4 1 0,25 0,25 0 0 1 9 4 2,25 141 60 30 30 108 105 21 108 105 195 B=A/(5*24) 1,18 0,50 0,25 0,25 0,90 0,88 0,18 0,90 0,88 1,63 CRI(ρ)=1-Β -0,18 0,50 0,75 0,75 0,10 0,13 0,83 0,10 0,13-0,63 Εκτίμηση του CRI(τ) Παίρνουμε τον πίνακα με τις τάξεις των τιμών και τον ταξινομούμε έτσι ώστε το RD να είναι σε αύξουσα σειρά. Θα έχουμε: Scenario 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 RD 2 3 2 2,5 2,5 4 4,5 1,5 2 2,5 3,5 1 5 4 1 2,5 2,5 2 2 3 5 4 3,5 2 4 1,5 5 2,5 2,5 1 2 1,5 1 1 5 3 1 3 4 2,5 2,5 5 2 4 4 5 2 4 3 1,5 3 5 5 3 4,5 5 3 2,5 1 5 P 2 6 4 4 5 3 8 5 5 2 CRI(τ) -0,60 0,20-0,20-0,20 0,00-0,40 0,60 0,00 0,00-0,60 Για κάθε δραστηριότητα υπολογίζουμε την τιμή P ως εξής: για παράδειγμα στη δραστηριότητα 2 πάμε πρώτα στο πρώτο στοιχείο της στήλης (το 3) και μετράμε το πλήθος των τιμών κάτω από το στοιχείο οι οποίες είναι μεγαλύτερές του (στην περίπτωση μας μόνο το 4, δηλαδή θα μετρήσουμε 1 αριθμό), στη συνέχεια πάμε στο αμέσως πιο κάτω στοιχείο της στήλης (δηλαδή στο 4) και μετράμε πόσα στοιχεία κάτω από αυτό είναι μεγαλύτερά του (κανένα, δηλαδή μετράμε 0 αριθμούς), στη συνέχεια ένα πιο κάτω (δηλαδή στο 1,5) οπότε θα μετρήσουμε μόνο την τιμή 3 που είναι μεγαλύτερη (δηλαδή μετράμε 1 αριθμό),

μετά πάμε στο πιο κάτω (δηλαδή στο 3) οπότε μετράμε κανέναν αριθμό. Επομένως, το P στην περίπτωσή μας θα είναι ίσο με 1+0+1+0=2. Ο δείκτης υπολογίζεται αμέσως από κάτω από την πράξη (4*P/20)-1. Εκτίμηση του SSI Ο δείκτης υπολογίζεται εύκολα αν σε κάθε δραστηριότητα πολλαπλασιάσουμε το δείκτη CI που ήδη εκτιμήσαμε επί την τυπική απόκλιση της διάρκειας της δραστηριότητας και στη συνέχεια διαιρέσουμε με την τυπική απόκλιση της πραγματικής διάρκειας RD. Θα είναι: 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 SSI 0,04 0,15 0,02 0,01 0,11 0,02 0,52 0,08 0,02 0,05 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 CI 0,2 0,2 0,4 0,2 0,4 0,4 0,4 0,2 0,2 0,2 SI 0,25 0,50 0,59 0,25 0,65 0,60 0,65 0,31 0,40 0,38 CRI( r ) -0,63 0,10 0,72 0,72 0,04 0,25 0,75-0,18-0,07-0,70 CRI(ρ) -0,18 0,50 0,75 0,75 0,10 0,13 0,83 0,10 0,13-0,63 CRI(τ) -0,60 0,20-0,20-0,20 0,00-0,40 0,60 0,00 0,00-0,60 SSI 0,04 0,15 0,02 0,01 0,11 0,02 0,52 0,08 0,02 0,05 4.2 Παράξενα συμπεράσματα Στο τμήμα αυτό θα εξετάσουμε τα τρία μέτρα ευαισθησίας CI, SI και CRI τα οποία παρουσιάζουν τις αδυναμίες τους, αδυναμίες οι οποίες μπορούν να οδηγήσουν σε περίεργα αποτελέσματα. Η χρήση του δείκτη CI έχει δεχθεί αρκετή κριτική στη βιβλιογραφία καθώς βασίζεται αποκλειστικά σε υποθέσεις πιθανοτήτων, οι οποίες εκ των πραγμάτων είναι αρκετά μακριά από την οπτική του management για το έργο. Επιπλέον, η μετρική στηρίζεται μόνο σε πιθανότητες, όταν είναι γενικά γνωστό ότι ο κίνδυνος που αφορά σε μια δραστηριότητα είναι συνδυασμός πιθανότητας να συμβεί και επίδρασης που μπορεί να έχει εφόσον συμβεί. Στο επόμενο σχήμα παρουσιάζεται ένα παράλληλο δίκτυο έργου με τις πιθανές διάρκειες και τις αντίστοιχες πιθανότητες πάνω από κάθε κόμβο.

Προφανώς η δραστηριότητα 1 έχει μεγαλύτερη επίδραση στη διάρκεια του έργου καθώς μπορεί να οδηγήσει το έργο σε διάρκεια 100 χρονικών μονάδων. Όμως ο CI της δραστηριότητας 1 είναι 1%, πολύ μικρότερος δηλαδή από τον CI 99% της δραστηριότητας 2. Επομένως, οι τιμές των μετρικών ευαισθησίας δεν είναι πάντα τόσο ξεκάθαρες και μπορεί να οδηγήσουν σε περίεργα συμπεράσματα. Αν και οι μετρικές SI και CRI προτάθηκαν για να αναπαριστούν καλύτερα τη σχετική σημαντικότητα μιας δραστηριότητας σε σχέση με τον CI, επίσης μπορούν να οδηγήσουν σε περίεργα συμπεράσματα αν δούμε αναλυτικά το παράδειγμα με το σειριακό δίκτυο. Είναι ξεκάθαρο ότι η δραστηριότητα 1 έχει μεγαλύτερη επίδραση στη διάρκεια του έργου και E(RD)=115. Όμως, οι τιμές του SI είναι ίσες και για τις δύο δραστηριότητες επομένως δεν υπάρχει διαχωρισμός σε σχέση με την ευαισθησία που παρουσιάζουν. Συγκεκριμένα ο SI είναι ίσος με 100%*(100/100)*(115/115)=1 για τη δραστηριότητα 1 και 50%*(10/10)*(110/115)+50%*(20/20)*(120/115)= 1 για τη δραστηριότητα 2. Ακόμα χειρότερα, οι τιμές του CRI δείχνουν ένα εντελώς αντίθετο προφίλ κινδύνου και για τις δύο δραστηριότητες. Η μετρική CRI δείχνει μόνον την επίδραση στον κίνδυνο του συνολικού έργου, και κατ επέκταση, αν η διάρκεια μιας δραστηριότητας είναι σαφώς προσδιορισμένη (ή και στοχαστική αλλά με μικρή διακύμανση), τότε ο αντίστοιχος CRI είναι μηδέν (ή πολύ κοντά στο μηδέν) ακόμα και αν η δραστηριότητα βρίσκεται πάντα στην κρίσιμη διαδρομή. Η τιμή του CRI για τη δραστηριότητας 1 είναι 0% (καθόλου διακύμανση) ενώ είναι ίση με [(10-15)/(110-115)+(20-15)/(120-115)]/2*5*5 = 1 για η δραστηριότητα 2.