Στατιστική Ι. Ενότητα 9: Κατανομή t-έλεγχος Υποθέσεων. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών

Στατιστική Ι Ενότητα 9: Κατανομή t-έλεγχος Υποθέσεων Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. 2

Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Δυτικής Μακεδονίας» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3

Σκοποί ενότητας 9 Να κατανοήσουν οι φοιτητές έννοιες όπως η Κατανομή t, ο Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων καθώς και οι διαδικασίες Στατιστικού Ελέγχου. 4

Περιεχόμενα ενότητας 9 Κατανομή t. Έλεγχοι Στατιστικών Υποθέσεων. Διαδικασία Ελέγχου μιας Στατιστικής Υποθέσεως. Ασκήσεις. Έλεγχος της διαφοράς δυο μέσων. Ασκήσεις. 5

Κατανομή t Student (1/12) Σε πολλές εφαρμογές που οι δειγματικοί μέσοι χρησιμοποιούνται για την εκτίμηση των αντίστοιχων πληθυσμιακών μέσων, η τιμή της πληθυσμιακής διακυμάνσεως δεν είναι γνωστή. Μπορούμε, όμως, να πάρουμε μια εκτίμηση S2 της σ2 από τα δεδομένα του δείγματος που μας δίνουν την τιμήν του δειγματικού μέσου Χ. Εάν το δείγμα είναι μεγέθους <n>, η εκτίμηση S2 βασίζεται επί (n-1) βαθμών ελευθερίας. H κατανομή που θα μας βοηθήσει στην εκτίμηση του πληθυσμιακού μέσου είναι η t. 6

Κατανομή t Student (2/12) Διάγραμμα 1. Κατανομή t Student (2/12) (Πηγή: Συγγραφείς: Νίκος Σαριαννίδης, Γιώργος Κοντέος. Έκδοση: 1η/2012.ISBN: 978-960-93-3977-3 Διαθέτης (Εκδότης): ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΚΟΝΤΕΟΣ). 7

Κατανομή t Student (3/12) Σχήμα 1. (Προηγούμενη Διαφάνεια). Κατανομή t. Η μεταβλητή t δίνεται από την εξίσωση: t = X μ S/ n. Δηλαδή, η t είναι η απόκλιση του δειγματικού μέσου από τον αντίστοιχο πληθυσμιακό μέσο, μετρούμενη σε όρους S/ n. 8

Κατανομή t Student (5/12) Σχήμα 1. (Προηγούμενη Διαφάνεια). Κατανομή t. Ο παρανομαστής S/ n είναι μία χρήσιμη ποσότητα που εκτιμά το τυπικό σφάλμα σ/ n του δειγματικού μέσου. Η κατανομή t είναι συμμετρική περί τον μέσο. Για μεγάλα δείγματα, πρακτικά, ταυτίζεται με την κανονική με μ = Ο και σ = 1. 10

Κατανομή t Student (7/12) Σχήμα 1. (Προηγούμενη Διαφάνεια). Κατανομή t. Για μικρά δείγματα κάτω των 30 μονάδων η διάκρισης γίνεται προφανής. Ειδικότερα, ενώ υπάρχει μία μόνο τυπική κανονική κατανομή, υπάρχει μία οικογένεια κατανομών t, όπως φαίνεται στο σχήμα. Εκ της μελέτης του σχήματος προκύπτει ότι για δείγμα μικρού μεγέθους η κατανομή t διαφέρει σημαντικά από την κανονική, αλλά καθώς το δείγμα αυξάνει, αυτή προσεγγίζει την κανονική. 12

Κατανομή t Student (8/12) Διάγραμμα 4. Κατανομή t Student (8/12)(Πηγή: Συγγραφείς: Νίκος Σαριαννίδης, Γιώργος Κοντέος. Έκδοση: 1η/2012.ISBN: 978-960-93-3977-3 Διαθέτης (Εκδότης): ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΚΟΝΤΕΟΣ). 13

Κατανομή t Student (9/12) Πίνακας 1. (Προηγούμενη Διαφάνεια). Κριτική τιμή t. Η κατανομή t είναι πινακοποιημένη όχι σύμφωνα με το μέγεθος του δείγματος n αλλά βάσει του παρανομαστή της δειγματικής διακυμάνσεως S2, που ονομάζεται βαθμοί ελευθερίας. Για παράδειγμα, για ένα δείγμα μεγέθους η = 5 οι βαθμοί ελευθερίας είναι, β. ε. = n 1 = 5 1 = 4. Από τον Πίνακα βρίσκουμε ότι η κριτική τιμή t που αφήνει πιθανότητα 2,5% στην άνω (δεξιά) ουρά είναι t0,025 = 2,78.και λόγω της συμμετρίας: Ρ [ 2,78 < t < 2,78] = 0,95. 14

Κατανομή t Student (10/12) Διάγραμμα 5. Κατανομή t Student (10/12)(Πηγή: Συγγραφείς: Νίκος Σαριαννίδης, Γιώργος Κοντέος. Έκδοση: 1η/2012.ISBN: 978-960-93-3977-3 Διαθέτης (Εκδότης): ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΚΟΝΤΕΟΣ). 15

Κατανομή t Student (11/12) Πίνακας 2. (Προηγούμενη Διαφάνεια). Κριτική τιμή t. Όταν η διακύμανση σ2 είναι γνωστή, τα όρια του διαστήματος εμπιστοσύνης με πιθανότητα 95%, είναι: x 1,96 σ n μ x + 1,96 σ n Όταν αντί της σ2 χρησιμοποιήσουμε την S2, η μόνη αλλαγή που επιβάλλεται είναι η αντικατάσταση του αριθμού 1,96 με έναν άλλο αριθμό που συμβολίζουμε t0,025. 16

Κατανομή t Student (12/12) Πίνακας 2. (Προηγούμενη Διαφάνεια). Κριτική τιμή t. (συνέχεια). x t 0,025 S n μ x + t 0,025 S n. Όταν έχουμε β.ε =, t0,025= 1,96. Με β.ε = 40, t0,025 αυξάνεται σε 2,021, με 20 β.ε γίνεται 2,086 και συνεχίζει να αυξάνει σταθερά καθώς ο αριθμός των β.ε. μειώνεται. 17

Έλεγχος Υποθέσεων (1/2) Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στη διαδικασία αποδοχής ή απόρριψης μιας στατιστικής υπόθεσης. Κατά την εκτέλεση ενός στατιστικού ελέγχου, ορίζονται δυο υποθέσεις: Η μηδενική υπόθεση Ηο και η εναλλακτική Η 1. 18

Έλεγχος Υποθέσεων (2/2) Η εκλογή της Ηο και της Η 1 γίνεται σύμφωνα με τον παρακάτω ισχυρισμό: Όταν κάνουμε μια έρευνα και προσπαθούμε να αποδείξουμε κάποιον ισχυρισμό στηριζόμενοι σε κάποιες παρατηρήσεις, τότε την άρνηση αυτού του ισχυρισμού λαμβάνουμε σαν Ηο και τον ίδιο ισχυρισμό σαν Η 1. 19

Έλεγχοι Στατιστικών Υποθέσεων (1/8) Η πιο συνηθισμένη στατιστική υπόθεση είναι η λεγόμενη Υπόθεση Μηδέν H 0. Υποθέτουμε ότι η εμφανιζόμενη διαφορά μεταξύ μιας παραμέτρου ενός δείγματος και της αντίστοιχης του πληθυσμού είναι : Στατιστικά ασήμαντη. Οφείλεται στα τυχαία σφάλματα της δειγματοληψίας. 20

Έλεγχοι Στατιστικών Υποθέσεων (2/8) Υποθέτουμε ότι η εμφανιζόμενη διαφορά μεταξύ μιας παραμέτρου ενός δείγματος και της αντίστοιχης του πληθυσμού είναι (συνέχεια) : Aν δεν υπήρχαν τα σφάλματα της δειγματοληψίας, οι δύο παράμετροι θα ήταν ίσες και η διαφορά τους θα ήταν μηδέν. Π.x. : Η0 μ = μ0. 21

Έλεγχοι Στατιστικών Υποθέσεων (3/8) Η άλλη υπόθεση ονομάζεται Εναλλακτική Υπόθεση και συμβολίζεται με το Η 1. Υποθέτουμε ότι η παράμετρος του πληθυσμού έχει διαφορετική τιμή από την υποθετική τιμή. Η εμφανιζόμενη διαφορά είναι στατιστικά σημαντική και δεν οφείλεται στα τυχαία σφάλματα της δειγματοληψίας. Π.χ. Η1: μ μ0. 22

Έλεγχοι Στατιστικών Υποθέσεων (4/8) Η αποδοχή ή η απόρριψη μιας στατιστικής υποθέσεως -και ειδικά της υποθέσεως Η 0 -γίνεται με μια ορισμένη πιθανότητα να διαπράξουμε σφάλμα. Κατά τον έλεγχο μιας στατιστικής υποθέσεως είναι ενδεχόμενο να διαπράξουμε δύο βασικά σφάλματα: Σφάλμα Τύπου Ι. Αν η ελεγχόμενη υπόθεση Η0 είναι σωστή και το κριτήριο ελέγχου την απορρίψει σαν λανθασμένη. 23

Έλεγχοι Στατιστικών Υποθέσεων (5/8) Κατά τον έλεγχο μιας στατιστικής υποθέσεως είναι ενδεχόμενο να διαπράξουμε δύο βασικά σφάλματα (συνέχεια): Η πιθανότητα διαπράξεως Σφάλματος Τύπου Ι: Ονομάζεται Επίπεδο Σημαντικότητας και συμβολίζεται διεθνώς με το γράμμα α. Δηλ. η πιθανότητα απορρίψεως μιας σωστής υποθέσεως Η 0. 24

Έλεγχοι Στατιστικών Υποθέσεων Σφάλμα Τύπου II. (6/8) Αν η ελεγχόμενη υπόθεση Η 0 είναι λανθασμένη και το κριτήριο ελέγχου την δεχθεί σαν σωστή, τότε διαπράττουμε Σφάλμα Τύπου II. Η πιθανότητα διαπράξεως Σφάλματος Τύπου II συμβολίζεται με το β. Στην πράξη, τα εφαρμοζόμενα κριτήρια ελέγχου πρέπει να ελαχιστοποιούν τις πιθανότητες εμφανίσεως σφαλμάτων και των δύο τύπων. 25

Έλεγχοι Στατιστικών Υποθέσεων (7/8) Συνήθως, προσπαθούμε να αποφύγουμε Σφάλμα Τύπου Ι, δηλαδή να απορρίψουμε σωστή υπόθεση Ηo. Για να το επιτύχουμε: Προκαθορίζουμε την πιθανότητα να διαπράξουμε Σφάλμα Τύπου Ι σε ορισμένο Επίπεδο Σημαντικότητας α. Συνήθως είναι το α = 0, 05 (5%) ή α = 0, 01 (1%). 26

Έλεγχοι Στατιστικών Υποθέσεων (8/8) Αν π.χ. προκαθορίσουμε α = 0,05 και απορρίψουμε την Η0 με βεβαιότητα 95%: Τότε σε 100 όμοιες περιπτώσεις μόνο σε 5 είναι δυνατόν να κάνουμε λάθος. Δηλαδή να είναι σωστή η υπόθεση και εμείς να την απορρίψουμε. 27

Διαδικασία ελέγχου Στατιστικής Υποθέσεως (1/13) Συνήθως σ έναν έλεγχο υπόθεσης σαν Ηo θέτουμε την ισότητα της παραμέτρου με κάποια γνωστή τιμή και σαν εναλλακτική Q. Tην αύξηση της τιμής αν ισχυριζόμαστε ότι αυξάνει η τιμή της παραμέτρου ή. Τη μείωση της τιμής αν ισχυριζόμαστε ότι ελαττώνεται η τιμή της παραμέτρου ελαττώνεται ή. Απλώς την διαφοροποίηση της τιμής αν ισχυριζόμαστε ότι η τιμή της παραμέτρου άλλαξε. 28

Διαδικασία ελέγχου Στατιστικής Υποθέσεως (2/13) Έστω ότι θέλουμε να ελέγξουμε την υπόθεση ότι ο μέσος μ ενός πληθυσμού είναι ίσος με μ0. Παίρνουμε τυχαίο δείγμα n μονάδων και υπολογίζουμε το μέσο (x) του δείγματος. Η διαδικασία για τον έλεγχο μιας στατιστικής υποθέσεως ακολουθεί τα εξής στάδια : 29

Διαδικασία ελέγχου Στατιστικής Υποθέσεως (3/13) Η διαδικασία για τον έλεγχο μιας στατιστικής υποθέσεως ακολουθεί τα εξής στάδια (συνέχεια): Θέτουμε τις υποθέσεις Η0 και Η1: o Η0 :μ = μ0, Η1:μ μ0. o Καθορίζουμε το επίπεδο σημαντικότητας α = 0, 01 ή α = 0, 05 ή α = 0, 10. o Δίπλευρο κριτήριο ελέγχου. 30

Διαδικασία ελέγχου Στατιστικής Υποθέσεως (4/13) Εφαρμόζουμε το κατάλληλο στατιστικό κριτήριο ελέγχου, από το οποίο προκύπτει μια συγκεκριμένη τιμή. Αν το δείγμα είναι πολυπληθές (n 30), τότε χρησιμοποιούμε το εξής κριτήριο: z = x μ 0 σ x, σ x = σ n. Με βάση το επίπεδο σημαντικότητας βρίσκουμε τις κριτικές τιμές της τυποποιημένης μεταβλητής Ζ πάνω στην Τυποποιημένη Κανονική Καμπύλη και καθορίζουμε τις περιοχές αποδοχής και απορρίψεως της υποθέσεως Η 0. 31

Διαδικασία ελέγχου Στατιστικής Υποθέσεως (5/13) Διάγραμμα 6. Διαδικασία ελέγχου Στατιστικής Υποθέσεως (5/13) (Πηγή: Συγγραφείς: Νίκος Σαριαννίδης, Γιώργος Κοντέος. Έκδοση: 1η/2012.ISBN: 978-960-93-3977-3 Διαθέτης (Εκδότης): ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΚΟΝΤΕΟΣ). 32

Διαδικασία ελέγχου Στατιστικής Υποθέσεως (6/13) Σχήμα 2. (Προηγούμενη Διαφάνεια). Έλεγχος στατιστικής υπόθεσης. Συγκρίνουμε την τιμή της Ζ που βρέθηκε από το κριτήριο ελέγχου με τις κριτικές τιμές Ζα/2. Αν η τιμή Ζ του κριτηρίου ικανοποιεί τις ανισότητες: Z < Ζα/2 ή Z > Ζα/2 τότε απορρίπτουμε την υπόθεση. 33

Διαδικασία ελέγχου Στατιστικής Υποθέσεως (7/13) Σχήμα 2. (Προηγούμενη Διαφάνεια). Έλεγχος στατιστικής υπόθεσης. Αν όμως η τιμή Ζ του κριτηρίου ικανοποιεί τη διπλή ανισότητα: Ζα/2 < Z < Ζα/2. τότε αποδεχόμαστε την υπόθεση Η 0. Βιβλιογραφία: Statistics for business and economics, Anderson Sweeney Williams. 34

Διαδικασία ελέγχου Στατιστικής Υποθέσεως (9/13) Σχήμα 3. (Προηγούμενη Διαφάνεια). Έλεγχος στατιστικής υπόθεσης- Μονόπλευρο test. Στο δίπλευρο κριτήριο ελέγχου, το επίπεδο σημαντικότητας ανισοκατανέμεται. Μονόπλευρο test: Σε ορισμένες περιπτώσεις ενδιαφερόμαστε αν μια στατιστική παράμετρος (π.χ. ο μέσος) είναι μικρότερη ή μεγαλύτερη από μια συγκεκριμένη τιμή (έστω μ0). 36

Διαδικασία ελέγχου Στατιστικής Υποθέσεως (10/13) Σχήμα 3. (Προηγούμενη Διαφάνεια). Έλεγχος στατιστικής υπόθεσης- Μονόπλευρο test (συνέχεια). Στις περιπτώσεις αυτές, οι ελεγχόμενες υποθέσεις είναι: Ηο: μ = μ0. Η1: μ < μ0 ή. Ηο: μ = μ0. Η1: μ > μ0. 37

Διαδικασία ελέγχου Στατιστικής Υποθέσεως (12/13) Σχήμα 4. (Προηγούμενη Διαφάνεια). Οι δειγματικοί μέσοι. Οι δειγματικοί μέσοι ακολουθούν την κανονική κατανομή. Ο μέσος τους είναι ο μέσος του πληθυσμού - ζητούμενο. 39

Διαδικασία ελέγχου Στατιστικής Υποθέσεως (13/13) Η απόσταση των δειγματικών μέσων από το μέσο τους εξαρτάται από τυπική απόκλιση που έχουν δηλαδή S x = S n. Άρα αν ο δειγματικός μέσος που έχουμε διαφέρει σημαντικά από αυτόν που υποθέτουμε ως πραγματικός μέσος του πληθυσμού τότε απορρίπτουμε την υπόθεση. 40

Παράδειγμα 1 (1/6) Από έναν πληθυσμό πήραμε ένα δείγμα n = 100, το οποίο έδωσε μέσο όρο 56 και διακύμανση 62. Μπορούμε να υποστηρίζουμε ότι ο μέσος όρος του πληθυσμού απ όπου προήλθε το δείγμα είναι ίσος με 60 με α = 0,05. Λύση: n = 100 > 30. H0 :μ = 60. Η1 :μ 60. 41

Παράδειγμα 1 (2/6) Γνωρίζουμε ότι η μεταβλητή Z = Χ μ Ν(0,1). Η διαφορά του δειγματικού μέσου από τον υποστηριζόμενο πληθυσμιακό μέσο είναι ικανή για να μας πείσει ότι τελικά ο πληθυσμιακός μέσος δεν είναι 60. α=0,05 είναι η πιθανότητα ο δειγματικός μέσος να βρεθεί στην περιοχή αυτή της τυποποιημένης κανονικής κατανομής ή αλλιώς είναι η πιθανότητα να απορρίψουμε την βασική υπόθεση ενώ αυτή είναι σωστή. S 42

Παράδειγμα 1 (3/6) Διάγραμμα 9. Παράδειγμα 1 (3/6)(Πηγή: Συγγραφείς: Νίκος Σαριαννίδης, Γιώργος Κοντέος. Έκδοση: 1η/2012.ISBN: 978-960- 93-3977-3 Διαθέτης (Εκδότης): ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΚΟΝΤΕΟΣ). 43

Παράδειγμα 1 (4/6) Πίνακας 3 (Προηγούμενη Διαφάνεια). Ζ τιμές. α = 0,05 α 2 = 0,025 0,5 0,025 = 0,475. S X = S = 62 = 7,87 n 100 10 = 0, 787. Z = Χ μ S X = 56 60 0,787 = 5, 08. 44

Παράδειγμα 1 (5/6) Διάγραμμα 10. Παράδειγμα 1 (5/6)(Πηγή: Συγγραφείς: Νίκος Σαριαννίδης, Γιώργος Κοντέος. Έκδοση: 1η/2012.ISBN: 978-960-93-3977-3 Διαθέτης (Εκδότης): ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΚΟΝΤΕΟΣ). 45

Παράδειγμα 1 (6/6) Σχήμα 4 (Προηγούμενη διαφάνεια). Οι δειγματικοί μέσοι. Ζ < Ζ α 2 < 1,96. = 5,08. Απορρίπτεται η βασική υπόθεση. μ = 60. 46

Παράδειγμα 2 (1/3) Ένας τύπος καλωδίου έχει όριο αντοχής με μέση τιμή 700 κιλά και τυπική απόκλιση 50 κιλά. Η κατασκευαστική εταιρία του καλωδίου ισχυρίζεται ότι αύξησε το όριο αντοχής που έχει το καλώδιο βελτιώνοντας τη μέθοδο κατασκευής του. Για να το ελέγξουμε, δοκιμάζουμε 80 νέα καλώδια. Εάν το μέσο όριο αντοχής τους βρέθηκε 720 κιλά, είναι σωστός ο ισχυρισμός της εταιρίας σε επίπεδο σημαντικότητας 0,01; 47

Παράδειγμα 2 (3/3) Πίνακας 4 (Προηγούμενη Διαφάνεια). Ζ τιμές. n = 80 > 30. Μονόπλευρο test. H0 :μ = 700, Η1 :μ > 700. S X = S n = 50 80 = 5, 59, Z = Χ μ S X = 720 700 5,59 = 3, 58. α=0,01 0,5-0,01 =0,49 Ζα=2,33. Ζ*>Ζα=3,58>2,33. Απορρίπτεται η βασική υπόθεση μ=700. 49

Παράδειγμα 3 (1/5) Ένας τοπικός ραδιοφωνικός σταθμός αποφάσισε να κάνει έρευνα για την ποιότητα των προϊόντων των καταστημάτων της Κοζάνης. Η άριστη ποιότητα βαθμολογείται με 10 ενώ ποιοτικά θεωρούνται τα καταστήματα με βαθμολογία πάνω από 7. Ένα δείγμα 20 φοιτητών επιλέχθηκε να ρωτηθεί για κάποιο κατάστημα Χ και έδωσαν τις εξής απαντήσεις. 50

Παράδειγμα 3 (2/5) 6,7,8,8,10,9,8,7,6,9,10,6,7,7,8,9,8,6,8,7. Ο δειγματικός μέσος είναι 7,7 και η τυπική απόκλιση 1,261. Εάν υποθέσουμε ότι η κατανομή του πληθυσμού ακολουθεί προσεγγιστικά την κανονική κατανομή, μπορούμε να θεωρήσουμε ότι το κατάστημα Χ παρέχει ποιοτικά προϊόντα. α=0,05. 51

Παράδειγμα 3 (4/5) Πίνακας 5 (Προηγούμενη Διαφάνεια). Κριτικές τιμές t. n = 20 < 30 Κατανομή t εφόσον ο πληθυσμός ακολουθεί την κανονική κατανομή. Μονόπλευρο test. H0 :μ 7, Η1 :μ > 7. α = 0,05 t n 1 = t 20 1 = t19, t19,05 = 1,729. t > tα = 2,483 > 1,729. 53

Παράδειγμα 3 (5/5) S X = S n = 1,261 20 = 0, 282. Z = Χ μ S X = 7,7 7 0,282 = 2, 483. Απορρίπτεται η βασική υπόθεση μ=7. Μικρά δείγματα κατανομή t. 54

Έλεγχος της διαφοράς δυο μέσων (1/3) Όταν τα δείγματα είναι μεγάλα και ανεξάρτητα. Γνωστές οι διακυμάνσεις σ12 και σ22. Υποθέτουμε ότι επιλέγουμε τυχαία δυο δείγματα με μεγέθη n1, n2 >30 αντίστοιχα, από δυο πληθυσμούς. Αν τα μεγέθη των δειγμάτων είναι αρκετά μεγάλα (n1, n2 > 30), τότε η κατανομή δειγματοληψίας της x 1 x 2 θα είναι κανονική. 55

Έλεγχος της διαφοράς δυο μέσων (2/3) Ο έλεγχος στην περίπτωση αυτή γίνεται με : Z = x 1 x 2 μ 1 μ 2 σ 1 2 n 1 + σ 2 2 n 2. 56

Έλεγχος της διαφοράς δυο μέσων (3/3) Έστω ότι επιθυμούμε να ελέγξουμε την υπόθεση ότι τα δυο δείγματα προέρχονται από πληθυσμούς με ίσους μέσους. Ο έλεγχος γίνεται με: Η0: μ1 = μ2, Η1: μ1 μ2 είναι ισοδύναμος με. Η0: μ1 μ2 = 0, Η1: μ1 μ2 0. Z = x 1 x 2 σ x1 x 2. σ x1 x 2 = σ 1 2 + σ 2 2. n 1 n 2 57

Παράδειγμα 4 (1/8) Από δυο πληθυσμούς επιλέξαμε τυχαία δυο ανεξάρτητα δείγματα μεγέθους n1=40 και n2=40 αντίστοιχα. Αν οι διακυμάνσεις των δυο πληθυσμών είναι σ12=50 και σ22=100 και οι δειγματικοί μέσοι 62 και 74 αντίστοιχα. Να ελεγχθεί αν οι δυο πληθυσμοί έχουν ίσες μέσες τιμές με α=0,05. Η0: μ1 = μ2, Η1:μ1 μ2. σ12 = 50, σ22 = 100 και x 1 = 62, x 2 = 74. 58

Παράδειγμα 4 (2/8) Η τυχαία μεταβλητή, Z = x 1 x 2 σ x1 x 2 Ν(0, 1). ακολουθεί την Η τυπική απόκλιση είναι ίση σ x1 x 2 = σ 1 2 + σ 2 2 = n 1 n 2 50 + 100 40 40 = 1. 94. 59

Παράδειγμα 4 (4/8) Πίνακας 6 (Προηγούμενη Διαφάνεια). Τιμές Z. Η0: μ1 = μ2. Η1: μ1 μ2. σ12 = 50 σ22 = 100. α = 0,05 α/2 = 0,025 0,5 0,025 = 0,475 Za 1,96. 2 = 61

Παράδειγμα 4 (5/8) Διάστημα αποδοχής: Ζα/2 < Ζ < Ζα/2 1,96 < Ζ < 1,96. x 1 = 62, x 2 = 74. σ x1 x 2 = σ 1 2 + σ 2 2 = 50 + 100 n 1 n 2 40 40 = 1. 94. z= (x 1 x 2 ) σ x1 x 2 = 62 74 1,94 =-6,16. Απορρίπτεται η Η 0. 62

Παράδειγμα 4 (7/8) Πίνακας 7 (Προηγούμενη Διαφάνεια). Τιμές Z. Αν το τεστ ήταν μονόπλευρο δηλαδή: Η0: μ1 μ2 ή μ1 μ2 0. Η1:μ1 < μ2 ή μ1 μ2 < 0. σ12 = 400. σ22 = 900. α = 0,05 0,5 0,05 = 0,45 Ζα = 1,645. 64

Παράδειγμα 4 (8/8) Πίνακας 7 (Προηγούμενη Διαφάνεια) (συνέχεια). Τιμές Z. Διάστημα αποδοχής -Ζα < Ζ 1,645 < Ζ. x 1 = 62, x 2 = 74 σ x1 x 2 = 3,61. Z = x 1 x 2 σ x1 x 2 = 62 74 1,94 = 6,16 Απορρίπτεται η Η 0. 65

1.Έλεγχος της διαφοράς δυο μέσων Αν οι διακυμάνσεις σ12 και σ22 είναι άγνωστες τότε τις εκτιμούμε από το δείγμα: 2 S x1 x 2 = S 1 2 + S 2 2. n 1 n 2 Ο έλεγχος γίνεται από την παρακάτω συνάρτηση: Z = x 1 x 2 (μ 1 μ 2 ) S x1 x 2. 66

Παράδειγμα 5 (1/5) Ελήφθησαν δυο ανεξάρτητα δείγματα n1 = 120 και n2 = 80 με διακυμάνσεις S12 = 100, S22 = 85 και μέσους x 1 = 9, x 2 = 7. Ποια η πιθανότητα η διαφορά των μέσων του πληθυσμού να είναι μεγαλύτερη ή ίση με 3; 67

Παράδειγμα 5 (2/5) Θα ελέγξουμε την υπόθεση Η0: μ1 μ2 3. Η1: μ1 < μ2. 2 S x1 x 2 = S 1 2 + S 2 2 = 100 + 85 n 1 n 2 120 80 = 1,896. 2 S x1 x 2 = S x1 x 2 = 1,896 = 1,377. 68

Παράδειγμα 5 (3/5) Ανεξάρτητα δείγματα n1 = 120 και n2 = 80 με διακυμάνσεις S12 = 100, S22 = 85 και μέσους x 1 = 9, x 2 = 7. Ποια η πιθανότητα η διαφορά των μέσων του πληθυσμού να είναι μεγαλύτερη ή ίση με 3; Θα ελέγξουμε την υπόθεση Η0: μ1 μ2 3. Η1: μ1 < μ2. 69

Παράδειγμα 5 (4/5) Ποια η πιθανότητα η διαφορά των μέσων του πληθυσμού να είναι μεγαλύτερη ή ίση με 3 (συνέχεια); 2 S x1 x 2 = S x1 x 2 = 1,896 = 1,377. Z = x 1 x 2 (μ 1 μ 2 ) S x1 x 2 = 9 7 3 1,377 = 0, 73. 70

Παράδειγμα 5 (5/5) Ποια η πιθανότητα η διαφορά των μέσων του πληθυσμού να είναι μεγαλύτερη ή ίση με 3 (συνέχεια); P(μ 1 μ 2 3)=P(Z 0,73)=1 P(Z 0,73) =. = 1 (0,5 + 0,2673) = 0,2327. Αν επιθυμούμε βεβαιότητα πάνω από 23,27 % τότε θα πρέπει να απορρίψουμε την βασική υπόθεση. Υπενθυμίζουμε ότι συνήθως επιζητούμε βεβαιότητα πάνω από 90 % γεγονός που συνεπάγεται την απόρριψη της Η 0. 71

2.Έλεγχος της διαφοράς δυο μέσων (1/3) Όταν τα δείγματα είναι μικρά και ανεξάρτητα. Με την υπόθεση ότι οι πληθυσμοί είναι κανονικοί και οι διακυμάνσεις των πληθυσμών ίσες σ12 = σ22. Εκτιμούμε την κοινή διακύμανση από τον τύπο: S 2 = (n 1 1)S 2 2 1 +(n 2 1)S 2. n 1 +n 2 2 Επομένως η διακύμανση της διαφοράς των μέσων θα είναι ίση: 2 S x1 x 2 = S2 n 1 + S2 n 2 S x1 x 2 = s 2 ( 1 n 1 + 1 n 2 ). 72

2.Έλεγχος της διαφοράς δυο μέσων (2/3) Όταν τα δείγματα είναι μικρά και ανεξάρτητα: Με την υπόθεση ότι οι οι πληθυσμοί είναι κανονικοί και οι διακυμάνσεις των πληθυσμών ίσες σ12 = σ2.2 S 2 = (n 1 1)S 2 2 1 +(n 2 1)S 2. n 1 +n 2 2 S x1 x 2 = s 2 ( 1 n 1 + 1 n 2 ). 73

3.Έλεγχος της διαφοράς δυο μέσων (3/3) Ο έλεγχος γίνεται με τo στατιστικό μέτρο t. t = x 1 x 2 (μ 1 μ 2 ) S x1 x 2. β. ε. = n 1 + n 2 2. 74

Παράδειγμα 6 (1/8) Τα δεδομένα δυο ανεξάρτητων δειγμάτων που έχουν επιλεγεί από δυο πληθυσμών που κατανέμονται κανονικά ως προς την μεταβλητή Χ είναι: n1 = 13 και n2 = 9. S12 = 5, 7 S22 = 8, 3. Να ελεγχθεί σε επίπεδο σημαντικότητας α=0,05 η ισότητα των μέσων των δυο πληθυσμών. Η0: μ1 = μ2. Η1: μ1 μ2. 75

Παράδειγμα 6 (2/8) x 1 = 50,4, x 2 = 48,2. S 2 = (n 1 1)S 1 2 +(n 2 1)S 2 2 n 1 +n 2 2 = 12 5,7+8 8,3 13+9 2 = 6,8. 76

Παράδειγμα 6 (3/8) n1 = 13 και n2 = 9. S12 = 5, 7, S22 = 8, 3. Να ελεγχθεί σε επίπεδο σημαντικότητας α=0,05 η ισότητα των μέσων των δυο πληθυσμών: Η0: μ1 = μ2 ή μ1 μ2 = 0. Η1: μ1 μ2. 77

Παράδειγμα 6 (4/8) Να ελεγχθεί σε επίπεδο σημαντικότητας α=0,05 η ισότητα των μέσων των δυο πληθυσμών (συνέχεια): x 1 = 50,4, x 2 = 48,2. S 2 = 6,8. S x1 x 2 = s 2 ( 1 n 1 + 1 n 2 ) = 6,8( 1 13 + 1 9 ) =1,13. t = x 1 x 2 (μ 1 μ 2 ) S x 1 x2 = 50,4 48,2 1,13 = 1,95. β. ε. = n 1 + n 2 2 = 13 + 9 2 = 20. 78

Παράδειγμα 6 (5/8) Διάγραμμα 16. Παράδειγμα 6 (5/8)(Πηγή: Συγγραφείς: Νίκος Σαριαννίδης, Γιώργος Κοντέος. Έκδοση: 1η/2012.ISBN: 978-960- 93-3977-3 Διαθέτης (Εκδότης): ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΚΟΝΤΕΟΣ). 79

Παράδειγμα 6 (6/8) Πίνακας 9 (Προηγούμενη Διαφάνεια). Κριτικές τιμές t. n1 = 13 και n2 = 9. S12 = 5, 7, S22 = 8, 3. Να ελεγχθεί σε επίπεδο σημαντικότητας α=0,05 η ισότητα των μέσων των δυο πληθυσμών. Η0: μ1 = μ2 ή μ1 μ2 = 0. Η1: μ1 μ2. 80

Παράδειγμα 6 (7/8) Πίνακας 9 (Προηγούμενη Διαφάνεια). Κριτικές τιμές t. Να ελεγχθεί σε επίπεδο σημαντικότητας α=0,05 η ισότητα των μέσων των δυο πληθυσμών (συνέχεια). α = 0,05 => α/2 = 0,025. t n 1 = t 13 1+9 1 = t20, t20,025=2,086. x 1 = 50,4, x 2 = 48,2. 81

Παράδειγμα 6 (8/8) t = x 1 x 2 (μ 1 μ 2 ) S x 1 x2 = 50,4 48,2 1,13 = 1,95. β. ε. = n 1 + n 2 2 = 13 + 9 2 = 20. t < t α/2 1,95 < 2,086. Η Η 0 δεν μπορεί να απορριφθεί. 82

Άλλες Περιπτώσεις (1/2) Δεν εξετάζονται οι κάτωθι περιπτώσεις (Εκτός ύλης). Τα δείγματα να προέρχονται από τον ίδιο πληθυσμό. Τα δείγματα να προέρχονται από πληθυσμούς μικρούς όμως κανονικούς και με άνισες διακυμάνσεις. Στην περίπτωση αυτή πάλι χρησιμοποιείται το στατιστικό μέτρο t όμως με βαθμούς ελευθερίας: 83

Άλλες Περιπτώσεις (2/2) Τα δείγματα να προέρχονται από πληθυσμούς μικρούς όμως κανονικούς και με άνισες διακυμάνσεις. Στην περίπτωση αυτή πάλι χρησιμοποιείται το στατιστικό μέτρο t όμως με βαθμούς ελευθερίας (συνέχεια): β. ε. = ( 1 / s12 +s22 n1 n2 [ 1 n12 n 1 1 ]+ ) 2 (s22 /s12)2 n22(n2 1). Αν τα δείγματα είναι μικρά και δεν γνωρίζουμε την κατανομή τότε ο έλεγχος μπορεί να γίνει με μη παραμετρικές μεθόδους (Anderson: Statistics for business and economics). 84

Τέλος Ενότητας