Ομοιογενείς Κοσμολογίες

Ομοιογενείς Κοσμολογίες Δημήτρης Π. Μάγγος Διπλωματική Εργασία Υπεύθυνος: Ιωάννης - Σωτήριος Μπάκας

Abstract In this thesis a description of formalism Hamiltonian, ADM, for gravitational systems. Also a classification of three-dimensional homogeneous cosmological models in Bianchi and which has been applied the Hamiltonian formalism in one of the cosmological models, namely the model Bianchi IX, showing the chaotic behavior of this model, which is a relativistic effect. There was also a brief reference to generalized theories for gravity which give interesting results, such as a renormalizable theory, and the application of a specific model in Bianchi IX.

ii

Περίληψη Σε αυτήν την μεταπτυχιακή εργασία γίνεται περιγραφή του φορμαλισμού Hamiltonian, ADM, για τα βαρυτικά συστήματα. Επίσης έγινε ταξινόμηση των τριδιάστατων ομογενών κοσμολογικών μοντέλων κατά Bianchi όπου και έγινε εφαρμογή του Hamiltonian φορμαλισμού σε ένα από τα κοσμολογικά μοντέλα, συγκεκριμένα στο μοντέλο Bianchi IX, όπου εμφανίζεται η χαοτική συμπεριφορά αυτού του μοντέλου, η οποία αποτελεί ένα σχετικιστικό φαινόμενο. Επίσης έγινε μία σύντομη αναφορά σε γενικευμένες θεωρίες για την βαρύτητα οι οποίες δίνουν ενδιαφέροντα αποτελέσματα, όπως μία επανακανονικοποιησιμή θεωρία, καθώς και η εφαρμογή ενός συγκεκριμένου μοντέλου στην Bianchi IX.

iv

Ευχαριστίες Πρώτα από όλους πρέπει να ευχαριστίσω τους γονείς μου που με στήριζαν όλα αυτά τα χρόνια αλλά κυρίως κατά την εκπόνηση της εν λόγω εργασίας. Δεύτερον τον καθηγητή και υπεύθυνο μου, Ιωάννη Μπάκα, όπως επίσης και τους μεταδιδακτορικούς ερευνητές Ιωάννη Νταλιάνη και Φώτη Φαράκο για τις πολύτιμες συμβουλές τους. Τέλος ευχαριστώ τους φίλους μου για την υποστήριξή τους.

vi Στους φίλους μου!!!

Περιεχόμενα Τίτλος Abstract Περίληψη Ευχαριστίες Περιεχόμενα i i iii v viii Πρόλογος 1 1 Φορμαλισμός Μηχανικών συστημάτων 3 1.1 Φορμαλισμός Lagrange..................................... 3 1.1.1 Μηχανικό σύστημα μεμονωμένων σωματιδίων................... 3 1.1. Μηχανικό σύστημα Πεδίων.............................. 4 1. Κανονικές εξισώσεις του Hamilton.............................. 5 1..1 Poisson & Dirac Brackets................................ 5 Εξισώσεις Κίνησης σε καμπυλωμένος χωρόχρονο 7.1 Μεταβολή Δράσης Hilbert Einstein.............................. 7. Δράση σε όρους εξωτερικής γεωμετρίας........................... 9.3 Φορμαλισμός Hamilton..................................... 10 3 9 Bianchi s Cosmologies 17 3.1 Εξίσωση Killing και ισομετρίες................................ 18 3.1.1 Χώροι με ομάδα μετασχηματισμών G 1....................... 19 3.1. Επιφάνειες με ομάδα μετασχηματισμών G.................... 19 3.1.3 Επιφάνειες με ομάδα μετασχηματισμών G 3.................... 0 3.1.4 Χώροι με ομάδα μετασχηματισμών G....................... 0 3.1.5 Χώροι με μια αμετάβατη ομάδα μετασχηματισμών G r, r 3........... 3.1.6 Χώροι με μια μεταβατική ομάδα μετασχηματισμών G 3.............. 9 3. Ταξινόμηση διαφόρων τύπων για ομάδα G 3........................ 3 3..1 Συγκεντρωτικός πίνακας μετρικών με πλήρεις ομάδες μετασχηματισμών... 36

viii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 3.. 9 η Κοσμολογία του Bianchi.............................. 40 3.3 Hamiltonian Φορμαλισμός ομογενών κοσμολογιών...................... 43 3.3.1 Χαοτική συμπεριφορά Mixmaster μοντέλων.................... 49 4 Επεκταμένες θεωρίες βαρύτητας 55 4.1 Θεωρία Brans Dicke...................................... 55 4.1.1 δράση Brans Dicke................................... 56 4. fr θεωρίες βαρύτητας.................................... 57 4..1 Κίνητρα επέκτασης της γενικής θεωρίας της σχετικότητας............ 57 4.. Generalized Einstein Hilbert action.......................... 59 4.3 Ένα παράδειγμα της R θεωρίας βαρύτητας σε Mixmaster κοσμολογικό μοντέλο.... 6 Επίλογος 65 Appendix A 67 Appendix B 71 Βιβλιογραφία 73

Πρόλογος Η μελέτη των φυσικών φαινομένων αποτελεί ένα σημαντικό κλάδο ο οποίος έχει απασχολήσει την ανθρωπότητα για αιώνες τώρα π.χ. σε διάφορους πολιτισμούς, όπως ο Ελληνικός, είχε γίνει η μελέτη της κίνησης των πλανητών και προσπαθούσαν να βρουν τους νόμους που τους διέπουν.. Συνεπώς η φυσική επιστήμη εξελισσόταν συνεχώς μαζί με αυτήν και τα μαθηματικά ύστερα από την εποχή του Newton, ο οποίος εισήγαγε έναν ενιαίο φορμαλισμό για τα φυσικά συστήματα, όπου και επήλθε η τεράστια ανάπτυξη της φυσικής επιστήμης μέχρι την εποχή μας που αναπτύχθηκε η κβαντομηχανική. Ύστερα από την σημαντική συνεισφορά του Newton ήρθαν διάφοροι επιστήμονες μεταξύ αυτών και οι Lagrange, Hamilton και επινόησαν τους αντίστοιχους φορμαλισμούς, Lagrangian & Hamiltonian, οι οποίοι γενικεύουν την ανάλυση κατά Newton, κι έχουν εφαρμογή σε όλα τα φυσικά συστήματα, καθώς μπορούν να περιγράψουν γενικότερα συστήματα, όπως αυτά τις ειδικής θεωρίας της σχετικότητας. Μαζί με την ανάπτυξη των φορμαλισμών εξελίχθηκαν και οι φυσικές θεωρίες από την Newtonian θεωρία για την βαρύτητα περάσαμε στην εποχή της σχετικότητας, ειδικής και γενικής, καθώς και από την κλασική στην κβαντική μηχανική. Καθώς η γενική θεωρία της σχετικότητας μελετάει την δυναμική του ίδιου του χωρόχρονου ως οι παραμορφώσεις της γεωμετρίας του. Από την ανάλυση κατά Lagrange της γενικής θεωρίας της σχετικότητας εξάγονται οι εξισώσεις πεδίου του Einstein ο αντίστοιχος Hamiltonian φορμαλισμός ήταν επινόηση των Arnowitt, Desser, Misner ο οποίος εισαχθεί με σκοπό την κβαντική περιγραφή της βαρυτικής αλληλεπίδρασης. Η ανάπτυξη των διαφόρων φυσικών θεωριών έχει σκοπό την εξήγηση των διαφόρων φαινομένων που λαμβάνουν χώρα καθώς και την εξήγηση της εξέλιξης του σύμπαντος. Οι διάφοροι φορμαλισμοί που έχουν αναπτυχθεί, ανά τους αιώνες, έχουν σκοπό την ευκολότερη εξήγηση των φαινομένων καθώς και την εξήγηση νέων θεωριών. Η κβαντική εξήγηση των φαινομένων αποτελεί μία από της πιο επιτυχείς θεωρίες και είναι βασισμένη στους προηγούμενους φορμαλισμούς, τηρώντας βέβαια τους διάφορους κβαντικούς περιορισμούς που εισέρχονται στα συστήματά, μέσω της οποίας είναι επιθυμητή η ενοποίηση όλων των αλληλεπιδράσεων. Η βαρύτητα είναι μία από τις τέσσερις βασικές αλληλεπιδράσεις, οι άλλες τρεις είναι η ηλεκτρομαγνητική και οι ασθενής και ισχυρή πυρηνική, η οποία έχει τα περισσότερα προβλήματα όσων αφορά την κβαντική της περιγραφή και δεν υπάρχει, μέχρι στιγμής, κάποιος φορμαλισμός ο οποίος να είναι ικανός να την εξηγήσει Ο κλάδος της φυσικής ο οποίος ασχολείται με την εξέλιξη του σύμπαντος είναι αυτός της κοσμολογίας και επειδή η κυρίαρχη αλληλεπίδραση στο σύμπαν φαίνεται να είναι η βαρυτική έτσι μέσω αυτής της μακροσκοπικής προσέγγισης τείνουμε να εξηγήσουμε την κβαντική φύση αυτής της αλληλεπίδρασης. Τέλος το μοντέλο για την βαρύτητα το οποίο αναπτύχθηκε από τον Einstein είναι βασισμένο στην εξέλιξη της γεωμετρίας του χωρόχρονου. Αυτό το μοντέλο είναι βασισμένο όπως είπαμε στην γεωμετρία, και η γεωμετρική ποσότητα η οποία μας δίνει τις εξισώσεις πεδίου είναι ο τανυστής Riemann και παράγωγα του. Η θεωρία του Einstein παρ όλες τις επιτυχίες, θεωρητικές και πειραματικές, δεν είναι δυνατή η κβαντική περιγραφή της βαρύτητας μέσω αυτής και ήδη από τα πρώτα χρόνια που εισήχθη έγινε προσπάθεια γενίκευσης της.

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

1 Φορμαλισμός Μηχανικών συστημάτων Για την περιγραφή διαφόρων δυναμικών συστημάτων στην φυσική κάνουμε χρήση των εξισώσεων Lagrange και των εξισώσεων Hamilton. Οι εξισώσεις αυτές μας δίνουν έναν φορμαλισμό για την περιγραφή κλασικών και κβαντικών συστημάτων. Για τον προσδιορισμό αυτών των εξισώσεων χρησιμοποιείται η έννοια της μεταβολής που μαθηματικώς ορίζεται μέσω του διαφορικού. Η κύριες ποσότητες που μας ενδιαφέρουν για την ανάπτυξη αυτού του φορμαλισμού είναι αυτές της δράσης και την Lagrangian. Αυτός ο φορμαλισμός μας δίνει την ευχέρεια να υπολογίσουμε τις δυναμικές ποσότητες όπως π.χ. για την φυσική θέση, ταχύτητες, ορμές κ.α. αλλά και διατηρήσιμες ποσότητες όπως π.χ. για την φυσική η ενέργεια, η ορμή η στροφορμή κ.α. γι αυτό τον λόγο χρησιμοποιείται ευρέως σε διάφορα πεδία των επιστημών φυσική, οικονομία, βιολογία κ.α.. Τέλος θα αναπτύξουμε την μέθοδο Hamilton για καμπυλωμένο χώρο όπου θα χρησιμοποιήσουμε και στις εφαρμογές μας στην Γενική θεωρία της Σχετικότητας. 1.1 Φορμαλισμός Lagrange Για αρχή θα δούμε την Lagrangian, L L q, q; t η οποία είναι μία φυσική ποσότητα η οποία εξαρτάται από της μεταβλητές qt, qt dqt dt οι οποίες είναι οι δυναμικές μεταβλητές του συστήματος για την φυσική αυτές αναπαριστούν είτε τις θέσεις και τις ταχύτητες είτε πεδία και τις χρονικές παραγώγους αυτών, στην βιολογία π.χ. ο πληθυσμός ενός οργανισμού και η μεταβολή αυτού ως προς τον χρόνο. Για τον προσδιορισμό της Lagrangian θα κάνουμε χρήση της έννοιας της δράσης και των μεταβολών. Η δράση είναι ένα συναρτησιοειδες, συναρτησιοειδές είναι μία συνάρτηση της οποίας η μεταβλητή είναι συνάρτηση π.χ. το ολοκλήρωμα. Ο φορμαλισμός αυτός γενικεύει την Newtonian εξισώσεις κίνησης των σωματιδίων αλλά αποτελεί και γενικότερο φορμαλισμό για άλλα πεδία. 1.1.1 Μηχανικό σύστημα μεμονωμένων σωματιδίων Για την περιγραφή ενός συστήματος το οποίο αποτελείται από μεμονωμένα σωματίδια, τα οποία έχουν θέσεις q i και ταχύτητες q i, μέσω της δράσης, S[q] η οποία αποτελεί ένα συναρτησιοειδές το ολοκλήρωμα της Lagrangian, L L q, q; t θα εξαγάγουμε τις εξισώσεις κίνησης αυτών [9].

4 Φορμαλισμός Μηχανικών συστημάτων t S[q] L q, q; tdt 1.1 t 1 t t δs[q] δ L q, q; tdt δl q, q; tdt t 1 t 1 t L q, q; t L q, q; t δq i + δ q i dt t 1 q i q i t L q, q; t L q, q; t dδq i δq i + dt t 1 q i q i dt t L q, q; t δq i + d { } { } L q, q; t d L q, q; t δq i δq i dt t 1 q i dt q i dt q i t δq i t j 0 L q, q; t d { } t L q, q; t δq i dt + j1, t 1 q i dt q i 0 L q, q; t δq i t q i 0 t 1 L q, q; t d { } L q, q; t 0 1. q i dt q i Οι εξισώσεις που προέκυψαν είναι οι εξισώσεις κίνησης Euler Lagrange και αναφέρονται σε κάθε σωματίδιο i του συστήματος. 1.1. Μηχανικό σύστημα Πεδίων Για την περιγραφή των πεδίων έχουμε την Lagrangian πυκνότητα η οποία ορίζει την Lagrangian ολοκληρώνοντας την στον χώρο. Τα πεδία είναι συνεχείς ποσότητες εν αντιθέση με τα σωματίδια τα οποία είναι διακριτά και ορίζονται μέσω των συναρτήσεων q. Για την περιγραφή των πεδίων έχουμε τις μεταβλητές q, α q, όπου τα q μπορεί να είναι Βαθμωτά, διανυσματικά, Spinor ακόμα και Τανυστικά πεδία, στην ανάλυση μας θα χρησιμοποιήσουμε βαθμωτά αλλά ανάλογα γενικεύεται και στα άλλα πεδία. S[q] V δs[q] δ V V Lq, α q; t gd 4 x L q, α q; td 3 xdt, V V T 1.3 V T Lq, α q; t gd 4 x δlq, α q; t gd 4 x V V Lq, α q; t δq + Lq, αq; t gd δ α q 4 x α q V q Lq, α q; t q Lq, α q; t q δq V 0 Lq, α q; t V q Lq, αq; t q δq + Lq, αq; t α q { Lq, α q; t δq + α δq α q gd α δq 4 x } δq α { Lq, α q; t α q } gd 4 x 0 { } Lq, α q; t α δq gd 4 Lq, α q; t x + δqt α q V α q gdσ α } 0 1.4 α { Lq, α q; t α q Οι εξισώσεις που προέκυψαν είναι οι εξισώσεις κίνησης Euler Lagrange και αναφέρονται στα πεδία του συστήματος. Τα πεδία αυτά q μπορούν να είναι είτε βαθμωτά είτε διανυσματικά είτε Spinor είτε τανυστικά.

1. Κανονικές εξισώσεις του Hamilton 5 1. Κανονικές εξισώσεις του Hamilton Οι κανονικές εξισώσεις προκύπτουν από τον Langrangian φορμαλισμό κάνοντας έναν μετασχηματισμό Legendre. Έχουμε από τον ορισμό των συζυγών ορμών p β Lq, q; t q β d Lq, q; t Lq, q; t Lq, q; t ṗ β dt q β q β q β Θέτουμε μία νέα Langrangian η οποία εξαρτάται από τις μεταβλητές q, p; t : ˆLq, p; t Lq, qq, p; t; t ˆLq, p; t Lq, q; t + q α q α L q α Lq, q; t q β ˆLq, p; t pβ q β ṗ α q α ˆLq, p; t Lq, qq, p; t; t p α p α q β L + p β q β q α q α q α Lq, qq, p; t; t q β q β q β p β p α p α ˆLq, p; t p α pβ q β p α q α p α ˆLq, p; t pβ q β q α Θέτουμε την συνάρτηση p β q β ˆLq, p; t Hq, p; t. Από όπου προκύπτουν οι κανονικές εξισώσεις εξισώσεις του Hamilton. 1..1 Poisson & Dirac Brackets dfq, p; t dt dfq, p; t dt q α + Hq,p;t p α ṗ α Hq,p;t q α 1.5 Στον Hamiltonian φορμαλισμό μπορούμε να ορίσουμε τις αγκύλες Poisson οι οποίες προκύπτουν από τις κανονικές εξισώσεις του Hamilton. Από τον ορισμό της ολικής παραγώγου έχουμε. Hq, p; t q α + f t f dq α q α dt + f dp α p α dt + f t f Hq, p; t q α p α + f p α {f, H} + f t {f, g} f g q α p α f p α {f, g + h} {f, g} + {f, h} {f, gh} {f, g} h + g {f, h} g q α 0 {{f, g}, h} + {{h, f}, g} + {{g, h}, f} Αν η θεωρία μας περιέχει και συνδέσμους, 1ης τάξης με εξίσωση ϕ m 0, m 1,..., M, μπορούμε να ορίσουμε την Hamiltonian λαμβάνοντας τους υπόψιν ορίζοντας κατάλληλους πολλαπλασιαστές Langrange [10]. H D H + u β ϕ β 1.6 q α H 0 p α + uβ p α ϕ β + u β ϕ β p α H p α + ϕ uβ β p α 1.7 ṗ α H 0 q α uβ q α ϕ β u β ϕ β q α H q α ϕ uβ β q α ġ {g, H D } { g, H + u β } { ϕ β {g, H} + g, u β } 0 ϕ β + u β {g, ϕ β } {g, H} + u β {g, ϕ β }

6 Φορμαλισμός Μηχανικών συστημάτων Για συνδέσμους ης τάξης έχουμε χ s, s 1,..., S ορίζουμε τον πίνακα c ss {χ s, χ s } c s s : c ss {χ s, χ s } δ ss {f, g} {f, g} {f, χ s } c ss {χ s, g} {f, χ s } {f, χ s } {f, χ s } c ss {χ s, χ s } {f, χ s } {f, χ s } δ ss 0 {f, g + h} {f, g} + {f, h} {f, gh} {f, g} h + g {f, h} Παράδειγμα 1..1. 0 { {f, g}, h } + { {h, f}, g } + { {g, h}, f } Lq, α q; t 1 g µν µ Ψ ν Ψ + m Ψ 1.8 LΨ, α Ψ; t m Ψ & LΨ, αψ; t 1 Ψ α Ψ gµν δ µα ν Ψ 1 gµν δ να µ Ψ g µα µ Ψ g µα α µ Ψ m Ψ 0 m Ψ 0 1.9 Η τελευταία σχέση αποτελεί την εξίσωση Klein Gordon για καμπυλομένο χωρόχρονο. Της οποίας η κβάντωση των Ψ μας δίνει Bosonic πεδία μάζας m.

Εξισώσεις Κίνησης σε καμπυλωμένος χωρόχρονο Για την εξαγωγή των εξισώσεων κίνησης για ένα σωματίδιο ή πεδίο σε καμπυλωμένο χωρόχρονο εισάγουμε στο ολοκλήρωμα της δράσης την βαθμωτή καμπυλότητα Ricci ως την Lagrangian του συστήματος. Η επιλογή της εν λόγω Lagrangian βασίζεται στην απλότητα της και στην υπόθεση ότι η κίνηση των σωματιδίων θα υπακούει στις αλλαγές της γεωμετρίας. Παρακάτω θα δούμε διαφορετικές επιλογές για την Lagrangian, όπως μία συνάρτηση της βαθμωτής καμπυλότητα Ricci. Όπως είδαμε και πιο πάνω για τον υπολογισμό των εξισώσεων κίνησης θα πρέπει να κάνουμε την μεταβολή της δράσης. Στην ανάλυση μας όμως αυτή τους επιφανειακούς όρους δεν τους εξαλείψουμε αντιθέτως θεωρούμε ότι συνεισφέρουν στην δυναμική του συστήματος [13]..1 Μεταβολή Δράσης Hilbert Einstein Έχοντας ορίσει το ολοκλήρωμα της δράσης θα κάνουμε την μεταβολή του ως προς την μετρική g µν για να βρούμε τις δυναμικές εξισώσεις. S H δs H V V R gd 4 x R µν g µν gd 4 x.1 V δr µν g µν gd 4 x + R µν δg µν gd 4 x + R µν g µν δ gd 4 x V Για την μεταβολή των συμβόλων Christoffel θα πάρουμε μόνο γραμμικούς όρους για την ανάλυση της μεταβολής της δράσης. Οπότε όπου προκύπτουν τετραγωνικοί όροι ως προς τα σύμβολα Christoffel θα θεωρούνται αμελητέοι και θα απαλείφονται Οπότε και για την μεταβολή του τανυστή Ricci θα κρατήσουμε μόνο τους γραμμικούς όρους ως προς τα σύμβολα Christoffel συνεπώς έχουμε: V Γ ρ µν Γ ρ µν + δγ ρ µν R µν α Γ α µν ν Γ α µα + Γ ρ µνγ α ρα Γ ρ µαγ α ρν δr µν α δγ α µν ν δγ α µα + δγ ρ µνγ α ρα + Γ ρ µνδγ α ρα δγ ρ µαγ α ρν Γ ρ µαδγ α ρν δ δr µν α δγ α µν+γ α ραδγ ρ µν Γ ρ ανδγ α µρ Γ ρ τµδγ τ νρ ν δγ α µα+γ α νρδγ ρ αµ Γ α ραδγ ρ µν Γ ρ ανδγ α µρ ρ δγ τ µν ρ δγ τ µν + Γ τ ρξδγ ξ µν Γ ξ ρµδγ τ νξ Γ ξ ρνδγ τ µξ. δr µν α δγ α µν ν δγ α µα

8 Εξισώσεις Κίνησης σε καμπυλωμένος χωρόχρονο Για την μεταβολή της ρίζας της μετρικής έχουμε τον παρακάτω τύπο στον οποίο εξ υποθέσεως κρατάμε μόνο γραμμικούς όρους. ln det A T rln A δ δdet A det A g detg µν T ra 1 δa } 1 g δg T rgµν δg µν g µν g µτ δ ν τ δg ρν g µν g ρτ δg µτ δg gg µν δg µν.3 δ g δ g g 1 g gg µνδg µν 1 g g gg µν δg µν 1 ggµν δg µν.4 } Συνεπώς έχουμε ότι η μεταβολή των συμβόλων Christoffel δίνεται από τους παρακάτω τύπους. δγ ρ µν δg ρτ Γ τµν δg ρτ Γ τµν + g ρτ δγ τµν g ρα g τβ δg αβ Γ τµν + 1 gρκ µ δg κν + ν δg κµ κ δg µν 1 gρλ µ δg λν + ν δg λµ λ δg µν Γ β µνδg βλ.5 1 gρλ µ δg λν + ν δg λµ λ δg µν Γ β µν + Γ β νµδg βλ Γ β νλ Γβ λν δg βµ + Γ β µλ Γβ λµ δg βν 1 gρλ µ δg νλ Γ β νµδg βλ Γ β µλ δg βν + ν δg λµ Γ β µνδg βλ Γ β νλ δg βµ λ δg µν Γ β µλ δg βν Γ β νλ δg βµ δγ ρ µν 1 gρλ ν δg µλ + µ δg λν λ δg µν.5 δγ ν µν 1 gνλ ν δg µλ + µ δg λν λ δg µν.6 Εισάγοντας τις σχέσεις.5 &.6 στον επιφανειακό όρο θα καταλήξουμε σε μία γραμμική σχέση της μεταβολής της μετρικής όπως φαίνεται και παρακάτω. Z τ g µν δγ τ µν g µτ δγ ρ µρ 1 gµν g τρ µ δg ρν + ν δg ρµ ρ δg µν g µτ g ρλ µ δg λρ + ρ δg λµ λ δg µρ 1 gµν g τρ µ δg ρν + g µν g τρ ν δg µρ g µν g τρ ρ δg µν g µτ g λρ µ δg λρ g µτ g ρλ ρ δg λµ + g µτ g λρ λ δg µρ 1 gµν g τρ µ δg ρν + g µν g τρ ν δg µρ g µν g τρ ρ δg µν g τρ g µν ρ δg µν g τρ g µν ν δg µρ + g τρ g µν µ δg ρν g µν g τρ µ δg ρν g µν g τρ ρ δg µν g µν g τρ µ δg ρν ρ δg µν τ Z τ g µν g τρ τ µ δg ρν τ ρ δg µν µ ν δg µν + g µν δg µν.7 Η σχέση.7 μας δίνει ουσιαστικά έναν τελεστή ο οποίος δρα στην μεταβολή της μετρικής, και εν γένει σε οποιαδήποτε συνάρτηση υπάρχει μέσα στην δράση. Αυτός ο τελεστής θα μας φανεί πολύ χρήσιμος σε ανάλυση που θα γίνει παρακάτω, διότι δεν θα εξαλείψουμε τους επιφανειακοούς όρους ίσα ίσα που θα τους χρησιμοποιήσουμε για την ανάπτυξή της θεωρίας μας. Παρακάτω αφού προσθέσουμε τις ποσότητες που έχουμε κάνει μεταβολή θα προκύψει η μεταβολή της δράσης Einstein Hilbert που μας δίνει την εξίσωση του βαρυτικού πεδίου χωρίς να έχουμε εξαλείψει τους επιφανειακούς όρους. Από την οποία αν θεωρήσουμε μηδενικούς τους επιφανειακούς όρους θα καταλήξουμε στην εξίσωση Einstein για τον κενό χώρο και χωρίς να έχουμε επιρροή από τους όρους στο σύνορο.

. Δράση σε όρους εξωτερικής γεωμετρίας 9 Η μεταβολή του τανυστή Ricci είναι αυτή η οποία μας δίνει τους επιφανειακούς όρους στο ολοκλήρωμα όπως φαίνεται και παρακάτω. δr µν g µν gd 4 x α δγ α µν ν δγ α µαg µν gd 4 x α g µν δγ α µν g µν ν δγ α µα gd 4 x V V V α g µν δγ α µν µ δγ α µα gd 4 x α g µν δγ α µν g νµ ν δγ α µα gd 4 x V V τ g µν δγ τ µν g τµ δγ α µα gd 4 x g µν δγ τ µν g τµ δγ α µα gdσ τ V V Z τ gdσ τ V Τέλος εισάγοντας μέσα στο ολοκλήρωμα τις σχέσεις που έχουμε υπολογίσει παραπάνω θα πάρουμε την μεταβολή της δράσης Einstein Hilbert. V R µν g µν δ gd 4 x δs H δs H V V V R 1 ggµν δg µν d 4 x 1 Rg µν δg µν gd 4 x V R µν 1 Rg µν δg µν gd 4 x + Z τ gdσ τ 0 V G µν δg µν gd 4 x + Z τ gdσ τ 0 V Αν επιπλέον υποθέσουμε και μηδενισμό των επιφανειακών όρων θα πάρουμε την εξίσωση του Einstein για τον κενό χώρο. Δηλαδή θα πάρουμε μία εξίσωση ενός άμαζου σωματιδίου που η κίνηση του υπόκειται στην γεωμετρία του χώρου. δs H Z τ 0 δg µν G µν 0.8. Δράση σε όρους εξωτερικής γεωμετρίας Για την ανάλυση της δράσης Hilbert Einstein στα πλαίσια του φορμαλισμού Hamilton θα χρησιμοποιήσουμε την βαθμωτή καμπυλότητα Ricci ως την Lagrangian πυκνότητα η οποία θα εκφραστεί σε όρους εξωτερικής γεωμετρίας. Στο φορμαλισμό Hamilton της γενικής θεωρίας της σχετικότητας κάνουμε την υπόθεση ότι ο χρόνος κινείται σε μία καμπύλη και ο τρισδιάστατος χώρος χωρίζεται σε φύλλα, έτσι θα ορίσουμε την επαγώμενη μετρική η οποία θα περιγράφει την γεωμετρία του χώρου. Για τον ορισμό της δράσης χρειαζόμαστε τις περιοχές στις οποίες ορίζεται οπότε θα ορίσουμε τα εφαπτόμενα και τα κάθετα διανύσματα στο χωρίο καθώς και στο σύνορο του χώρου. Ορίζουμε τα εφαπτόμενα r µ και κάθετα n µ διανύσματα τις τετραδιάστατης γεωμετρίας μέσω των διαφορικών μορφών της τρισδιάστατης γεωμετρίας e µ m [13]. r µ r m e µ m & n µ N µ t nµnµ 1 n µ N 1 t x µ & r µ r µ 1 & r µ n µ 0.9 e µ A eµ me m A µ θ A, σ AB g µν e µ A eν B.10 g µν n µ n ν + r µ r ν + σ AB e µ A eν B.11 Όπου κάναμε διάσπαση της τετραδιάστατης μετρικής g µν σε όρους της τρισδιάστατης σ AB και των κάθετων n µ και εφαπτόμενων διανυσμάτων r µ. k AB D m r n e m Ae n B µ r ν e µ A eν B & k σ AB k AB.1 Από την ανάλυση προκύπτει η εξωτερική καμπυλότητα Gauss για τρισδιάστατη γεωμετρία. g ij g µν e µ i eν j, e µ i µ z i g µν r µ r ν g ij e µ i eν j.13

10 Εξισώσεις Κίνησης σε καμπυλωμένος χωρόχρονο Τέλος ορίζουμε μία τρισδιάστατη μετρική η οποία έχει εφαρμογή στο σύνορο του τετραδιάστατου χώρου και μας δίνει μία δική της εξωτερική καμπυλότητα Gauss. V dx µ µ µ dt + t θ A dθa Nn µ dt + e µ A dθa.14 ds B g µν dx µ dx ν g µν Nn µ dt + e µ A dθa Nn ν dt + e ν Bdθ B N n µ n µ dt + n µ e µ A dtdθa + n ν e ν Bdtdθ B + g µν e ν Be µ A dθa dθ B N dt + σ AB dθ A dθ B g ij N σ AB.15 K ij µ r ν e µ i eν j.16 16πS G R gd 4 x + ϵk h ln d 3 y, V Σ t1 Σ t B V V R gd 4 x ϵk h ln d 3 y + ϵk h ln d 3 y + ϵk g ij d 3 z V Σ t1 Σ t B R t gd 4 x dt R 3 + K mn K mn H N h ln d 3 y ν n µ n ν n µ ν n ν dσ µ t 1 Σ t V Ο τελευταίος όρος δίνει διαφορετικές συνεισφορές για το σύνορο B και για τους χώρους Σ t1, οπότε θα εξετάσουμε τις τρεις διαφορετικές περιπτώσεις. Συνεπώς για τα τρία χωρία έχουμε 0 ν n µ n ν n µ ν n ν n µ hln dy 3 n µ ν n µ n ν 1 n µ n µ ν n ν h ln dy 3 ν n ν h ln dy 3 K h ln dy 3 ν n µ n ν n µ ν n ν r µ gij dz 3 r µ ν n µ n ν 0 n µ r µ ν n ν g ij dy 3 ν n µ r µ n ν gij dy 3 ν 0 n µ r µ n ν ν r µ n µ n ν g ij dy 3 ν r µ n µ n ν gij dy 3 Τελικά αφού προσθέσουμε όλες τις ποσότητες για όλες τις περιοχές προκύπτει η δράση του βαρυτικού πεδίου να δίνεται από την παρακάτω σχέση.17 στην οποία προστέθηκε ένα επιπλέον αριθμητικός παράγοντας ο οποίος δεν εξαρτάται από την μετρική και δίνει αριθμητικές διορθώσεις για τις οριακές τιμές στο σύνορο. 16πS G t t 1 dt Σ t R 3 + K mn K mn H N hln d 3 y + B K + n µ n ν ν r µ g ij d 3 z K + n µ n ν ν r µ g ij K ij + n µ n ν ν r µ g ij e µ i eν j ν r µ + n µ n ν ν r µ ν r µ g µν r µ r ν + n µ n ν 16πS G ν r µ σ AB e µ A eν B σ AB ν r µ e µ A eν B σ AB k AB k t t 1 { R 3 + K mn K mn H N hd 3 y + k k 0 N } σd θ dt.17 Σ t S t.3 Φορμαλισμός Hamilton Για τον προσδιορισμό των εξισώσεων του Hamilton θα χρειαστούμε να ορίσουμε την συζυγή ορμή η οποία ορίζεται από την παραγώγιση της Lagrangian ως προς τις συζυγείς μεταβλητές q η χρονική παράγωγος μπορεί να είναι γενική παράγωγος και για τανυστές. Όπως επίσης τον προσδιορισμό της Hamiltonian η οποία αποτελεί τον μετασχηματισμό Legendre της Lagrangian ως προς τις συζυγείς μεταβλητές της [13].

.3 Φορμαλισμός Hamilton 11 ḣ mn L t h mn L t g µν e µ me ν n L t g µν e µ me ν n µ t ν + ν t µ e µ me ν n µ Nn ν + N ν + ν Nn µ + N µ e µ me ν n n ν µ N + N ν n µ + µ N ν + n µ ν N + N µ n ν + ν N µ e µ me ν n K mn e µ m eν n µn ν e µ m n µ0 K mn K nm NK mn + ν N µ e µ me ν n + µ N ν e µ me ν n ν N µ e ν ne µm D n N l e µ l ϵn m ν n µ e µ me ν nn µ e µm n µ e µm 0 D n N m ḣ mn NK mn + D n N m + D m N n K mn 1 N ḣmn D n N m D m N n.18 16π gl G R 3 + h ml h pn h mn h lp K mn K lp.19 16πp mn 16π gl G K kq 16π gl G ḣdn0 ḣmn ḣmn K kq 1 N δ mkδ qn h ml h pn h mn h lp δ km δ qn K lp + h ml h pn h mn h lp δ kl δ qp K mn g 1 N δ mkδ qn K kq Hh kq + K kq Hh kq N h K mn Hh mn h.0 Όπου προέκυψαν οι συζυγείς ορμές να είναι συναρτήσει τις εξωτερικής καμπυλώτητας. Αφού υπολογίστηκαν οι ορμές εφαρμόζοντας τον μετασχηματισμό Legendre παίρνουμε την Hamiltonian του συστήματος μας. 16πH G p mn ḣ mn gl G h mn, p mn ; t K mn Hh mn hnk mn + D n N m + D m N n N h gr 3 + K mn K mn H NK mn K mn H R 3 + K mn Hh mn D n N m + D m N n K mn K nm NK mn K mn H R 3 + K mn Hh mn D n N m.1 Για την εξαγωγή των εξισώσεων κίνησης του συστήματος θα πάρουμε την μεταβολή της δράσης για τον υπολογισμό αυτόν θα εκφράσουμε την Lagrangian συναρτήσει της Hamiltonian. οπότε θα κάνουμε την διαφόριση. Για την μεταβολή θα υποθέσουμε ότι τα πεδία N, N m, h mn εξαλλείφονται στο σύνορο S t δηλαδή η μεταβολή αυτών είναι μηδενική. Συνεπώς θα προκύψουν οι εξισώσεις Hamilton για το βαρυτικό πεδίο απουσία εξωτερικών πεδίων. 16πH G 16πH G d 3 y k k 0 d θ Σ t S t NK mn K mn H R 3 + D n K mn Hh mn N m Σ t N m D n K mn Hh mn hd 3 y Nk k 0 σd θ S t NK mn K mn H R 3 N m D n K mn Hh mn hd 3 y Σ t k k 0 d θ K mn Hh mn N r n σab d θ m ds n S t NK mn K mn H R 3 N m D n K mn Hh mn d 3 y Σ t {k k 0 K mn Hh mn N m r n σab }d θ. S t

1 Εξισώσεις Κίνησης σε καμπυλωμένος χωρόχρονο Γράφοντας τις καμπυλότητες συναρτήσει των συζυγών ορμών έχουμε. 16πp mn K mn Hh mn 16πp mn h mn K mn h mn Hh mn h mn H H3 H 16πp hk mn 16π p mn 1 phmn H h8πp hk mn Hh mn 16πp mn.3 { K mn K mn H 16π h 1 p mn 1 p phmn mn 1 ph mn 14 } p { 16π h 1 p mn p mn 1 p p p mn h mn 1 p p p mn h mn + 1 4 p 3 h mn h mn 1 } 4 p 16π h 1 { p mn p mn 1 p }.4 Τέλος αντικαθιστώντας τις καμπυλότητες στην Hamiltonian καταλήγουμε στην εξής σχέση. 16πH G 16πH Σt + 16πH St H G H Σt + H St H G Nh 1 p mn p mn 1 p hr 3 N m hdn h 1 p mn d 3 y Σ t {Nk k 0 h 1 p mn N m r n σab }d θ.5 S t Εν συνεχεία διαφορίζουμε την Hamiltonian ως προς όλες τις δυνατές μεταβολές. Πρώτα ως προς τα N εν συνεχεία ως προς τις ορμές p και τέλος ως προς την τρισδιάστατη μετρική h mn και συνθέτοντας όλα μαζί προκύπτει η μεταβολή της δράσης και οι εξισώσεις του Hamilton. Έχοντας γράψει την δράση ως γινόμενο των N με τις υπόλοιπες ποσότητες που είναι ανεξάρτητες από αυτά γίνεται εύκολος ο υπολογισμός των διαφορικών. δ N H G δ p H G Σ t Σ t δnh 1 p mn p mn 1 p hr 3 δn m hdn h 1 p mn d 3 y { δnk 0 k 0 h 1 p mn δn m r n σab }d θ S t CδN C m δn m d 3 y + Σ t S t {h 1 p mn δn m r n σab }d θ {Nh 1 δp p mn p mn 1 p hr 3 δ p hd n N m h 1 p mn } D n N m p mn d 3 y + {h 1 δp p mn N m r n σab }d θ S t Για την μεταβολή ως προς τις ορμές p γράφουμε την δράση σε όρους ορμών και κάνουμε την διαφόριση, επίσης έχουμε ότι η βαθμωτή καμπυλότητα Ricci δεν εξαρτάται από τις ορμές οπότε η μεταβολή της είναι μηδενική. Aρχικά υπολογίζουμε την μεταβολή των κινητικών όρων που αποτελούν τετραγωνική μορφή των ορμών

.3 Φορμαλισμός Hamilton 13 δ p h km h ln p kl p mn 1 pmn p kl h mn h kl h km h ln p kl p mn 1 pmn + p kl h mn h kl δp qp p qp h km h ln δ kq δ lp p mn + h km h ln δ pm δ qn p kl 1 δ qmδ pn p kl h mn h kl + δ qk δ pl p mn h mn h kl δp qp h qm h pn p mn + h kp h lq p kl 1 pkl h qp h kl + p mn h mn h qp p mn 1 ph mn δp mn δ p H G Nh 1 δp p mn p mn 1 p + D n N m δp mn d 3 y+ Σ t δp mn r n σab d θ dσ n + {h 1 δp p mn N m r n σab }d θ δ p H G Σ t N m h 1 S t Nh 1 p mn 1 ph mn + D n N m δp mn d 3 y H mn δp mn d 3 y Σ t Τέλος έχουμε ότι η μεταβολή ως προς τις ορμές δίνεται από την τελευταία σχέση επίσης παρατηρούμε ότι οι συνοριακοί όροι αλληλοαναιρούνται. Για να ολοκληρώσουμε την ανάλυση της μεταβολής της δράσης παίρνουμε την μεταβολή ως προς την επαγώμενη μετρική h. δp qp δ h H G { [ N p kl p kl 1 1 p h 3 h mn δh mn δh 1 + h 1 δh p mn p mn 1 p δ h ] hr 3 Σ t + δ h D n N m p mn } d 3 y δ h hn m h 3 p mn + Nk k 0 hn m h 1 p mn σ AB d θ Για την μεταβολή των κινητικών όρων, οι οποίοι αποτελούνται από τετραγωνικούς όρους, ως προς την μετρική θα τους γράψουμε συναρτήσει της μετρικής αυτής και θα κάνουμε την μεταβολή. δ h h km h ln p kl p mn 1 pmn p kl h mn h kl h km h ln p kl p mn 1 pmn p kl h mn h kl δh qp h qp δ qk δ pm h ln p kl p mn + δ ql δ pn h km p kl p mn 1 pmn p kl δ qm δ pn h kl 1 pmn p kl h mn δ qk δ pl δh qp p q np pn + p kp p q k 1 ppq p 1 pqp p p q np pn 1 ppq p δh qp δh qp Η μεταβολή ως προς την μετρική h είναι γνωστή από τα προηγούμενα οπότε παίρνουμε έτοιμες τις εξισώσεις. Όπως επίσης και η μεταβολή των επιφανειακών όρων Z µ είναι γνωστή από προηγούμενους υπολογισμούς και παραθέτουμε παρακάτω τις εξισώσεις. δ h hr 3 G mn δh mn + hd k Z k δ h D m N n D n N k δh mk + h mk N l δγ k nl G mn R mn 1 Rhmn Z k h mn δγ k mn h mk δγ n mn h mn h kr D m δh rn h mn h kr D r δh mn D k Z k h mn D D m D n δh mn

14 Εξισώσεις Κίνησης σε καμπυλωμένος χωρόχρονο { δ h H G 1 Nh 3 p kl p kl 1 p h mn + Nh 1 p m kp nk 1 pmn p N hg mn + Σ t + p km D k N }δh n mn d 3 y N hdm Z m + p mn h mk N l δγ k nld 3 y Σ t Για τον υπολογισμό των επιφανειακών όρων θα χωρίσουμε τους όρους σε συμμετρικούς και αντισυμμετρικούς ούτως ώστε να κάνουμε εύκολα τους υπολογισμούς. Οπότε μηδενίζοντας τους όρους που αποτελούν γινόμενα συμμετρικών αντισυμμετρικών καταλήγουμε στις παρακάτω σχέσεις τέλος με χρήση του κανόνα Leibniz παίρνουμε έναν όρο ολικού διαφορικού και έναν που έχει το διαφορικό της μετρικής. Y nml W lnm Z k 1 {}}{{}}{ hmn h kl h mk h nl D n δh lm + D m δh ln D l δh nm D k NZ k 1 hmn D l N h ln D m NY nlm W lnm X mnl Y nlm W lnm Xmnl X lnm X nlm W lmn h mn D l N h ln D m ND l δh nm D l h mn D l N h ln D m Nδh nm + D l h mn D l N h ln D m Nδh nm Ακολουθώντας την ίδια τακτική με των χωρισμό σε συμμετρικό και αντισυμμετρικό μέρος καθώς και την χρήση του κανόνα Leibniz παίρνουμε τον δεύτερο όρο. {}}{{}}{ p n kn l δγ k nl p pn N l h kp D n δh lp + D l δh np D p δh nl p pn N l D l δh np + D n δh lp D p δh nl δ h H G W lnp W lpn Y nlp Y npl p pn p np Σ t S t { 1 Nh 1 W lnp p pn N l D l δh np D l p pn N l δh np D l p pn N l δh np Y nlp p kl p kl 1 p h mn + Nh 1 p m kp nk 1 pmn p + N hg mn + p km D k N n D l p mn N l + D l h mn D l N h ln D m N } δh mn d 3 y 1 { p mn N l h mn D l N h ln D m N } 0 δh mn dσ l Σ t mn P δhmn d 3 y P mn N hg mn 1 p kl p kl 1 p h mn + Nh 3 p m kp nk 1 pmn p + p km D k N n D l p mn N l + h mn D l D l N D n D m N Όπου τελικώς έχουμε γράψει όλους τους όρους της Hamiltonian σύμφωνα με τις μεταβολές τους. δh G P mn δhmn + H mn δp mn CδN C m δn m d 3 y Σ t δh G P mn δh mn + H mn δp mn CδN C m δn m d 3 y.6 Σ t Ορίζουμε την Lagrangian μέσω της Hamiltonian και του μετασχηματισμού Legendre και έτσι εφόσον έχουμε υπολογίσει την μεταβολή της Hamiltonian προκύπτουν οι εξισώσεις ADM, Arnowitt, Misner, Wheeler. t t } S G L G h mn, p mn ; td 3 ydt {p mn ḣ mn H G d 3 ydt t 1 Σ t t 1 Σ t

.3 Φορμαλισμός Hamilton 15 Όπου καταλήγουμε στην μεταβολή της δράσης να δίνεται από τις παρακάτω σχέσεις. t δs G t 1 t t 1 ḣ mn H mn ṗ mn P mn {δp mn ḣmn + p mn δḣmn δh G }dt Σ t Σ t ḣmn H mn δp mn ṗ mn + P mn δh mn + CδN + C m δn m }d 3 ydt C hk mn K mn H R 3 0 H.7 C m D n K mn Hh mn D n p nm 0 H m.8 προέκυψαν οι εξισώσεις ADM τις οποίες θα χρησιμοποιήσουμε για να βρούμε τις εξισώσεις κίνησης ενός σωματιδίου ¹. Οι σχέσεις.7,.8 αποτελούν τις εξισώσεις των συνδέσμων και είναι η Hamiltonian και οι εξισώσεις συνδέσμων για τις ορμές που αντιστοιχούν στους πολλαπλασιαστές Langrange N & N m. Όπως φαίνεται από τις εξισώσεις η Hamiltonian εξαρτάται από τις κύριες καμπυλότητες αλλά και από την βαθμωτή καμπυλότητα Ricci της επαγώμενης μετρικής. 16π h 1 p mn p mn 1 p R 3 C h hc 16π p mn p mn 1 p hr 3.7.7 Από την τελευταία σχέση,.7, εκφράζοντας τις μέσες και κύριες καμπυλότητες ως προς τις αντίστοιχες ορμές παρατηρούμε ότι η Hamiltonian έχει τετραγωνική μορφή ως προς τις ορμές και συνεπώς η καμπυλότητα Ricci θα αποτελεί κάποιου είδους δυναμικής συνάρτησης του συστήματος. Σχήμα.1: Geometrodynamics ¹Space tells matter how to move; matter tells space how to curve. John Archibald Wheeler

16 Εξισώσεις Κίνησης σε καμπυλωμένος χωρόχρονο

3 9 Bianchi s Cosmologies Από τον ορισμό της Riemanian μετρικής έχουμε για χώρο n διαστάσεων ότι υπάρχουν και αντίστοιχες n ανεξάρτητες συντεταγμένες x n. Συνεπώς έχουμε έναν χώρο S n για τον οποίο υπάρχει η έννοια της μετρικής g µν και τα απειροστά τόξα για τα οποία έχουμε dx µ να ικανοποιείται το Πυθαγόρειο θεώρημα. Έχει ενδιαφέρον να ορίσουμε έναν χώρο S n για τον οποίο οι μετασχηματισμοί αφήνουν τα μήκη αναλλοίωτα δηλαδή οι δύο μετρικοί χώροι S n & S n να έχουν την ίδια μετρική εξίσωση τότε αυτοί οι χώροι ονομάζονται ισομετρικοί, τέτοιοι χώροι είναι χρήσιμοι στην φυσική διότι τα συστήματα που περιγράφονται από Lagrangian ή Hamiltonian θα ικανοποιούν το θεώρημα της Noether το οποίο μας δίνει χρήσιμες πληροφορίες [7]. Τις ισομετρίες του χώρου S n θα τις αποκαλούμε κινήσεις του χώρου, διότι είναι σαν να μετακινούμαστε στον χώρο χωρίς όμως να μεταβάλλεται ο ίδιος ο χώρος. Το ενδιαφέρον μας θα επικεντρωθεί σε συνεχείς κινήσεις στον χώρο οι οποίες όλες μαζί αποτελούν μία ομάδα, έχουν όλες τις αλγεβρικές ιδιότητες της ομάδας, λόγω γεωμετρικών υποθέσεων ο αριθμός των παραμέτρων της ομάδας πρέπει να είναι πεπερασμένος. Αν υποθέσουμε ότι οι παράμετροι τις ομάδας είναι r το πλήθος, το οποίο είναι πεπερασμένο, θα αποτελούν μία ομάδα Lie που παράγεται από r συνεχείς μετασχηματισμούς G r : {X 1 f, X f,..., X r f}. Το πρόβλημα του προσδιορισμού αυτών των μετασχηματισμών έγκειται στο ποιες μετρικές επιτρέπουν τέτοιου είδους συνεχείς μετασχηματισμούς και με αυτό το πρόβλημα θα ασχοληθούμε σε αυτήν την ενότητα ειδικότερα στην περίπτωση των τρισδιάστατων χώρων [7, 19]. Κατ αρχάς να επισημάνουμε την διαφορά των διδιάστατων και των τρισδιάστατων γεωμετριών, θυμόμαστε ότι διδιάστατοι χώροι που επιτρέπουν τις μεταφορές είναι αυτοί οι οποίοι έχουν σταθερή καμπυλότητα, δηλαδή αν ένα σημείο μπορεί να μεταφερθεί σε κάθε σημείο, θα μπορεί να περιστραφεί και ως προς κάθε σημείο. Από την άλλη υπάρχουν χώροι τριών διαστάσεων οι οποίοι παρόλο που δεν έχουν σταθερή καμπυλότητα επιτρέπουν τέτοιες μεταφορές τέτοιοι χώροι επιδέχονται ομάδες μετασχηματισμών 3 ή και 4 παραμέτρων. Χώροι που επιδέχονται μόνο ομάδα μετασχηματισμών 3 παραμέτρων τότε σταθεροποιώντας ένα σημείο αυτών συνεπάγεται να σταθεροποιηθεί και ολόκληρος ο χώρος. Από την άλλη χώροι 4 παραμέτρων υπάρχει περίπτωση να υπάρχει ομάδα στροφών G 1 η οποία να επιτρέπει τις στροφές γύρω από ένα σημείο. Ωστόσο μαζί με αυτό το σημείο και όλα τα σημεία της γεωδεσιακής που περνάνε από αυτό παραμένουν σταθερά οπότε αυτή η ομάδα αποτελεί μέρος της άλγεβρας Lie. Ο χώρος που είναι επενδυμένος με διπλή απειρία αυτών των γεωδετικών αξόνων που συμπληρώνουν τον χώρο, παρά των μετασχηματισμών μετακινήσεων που επιτρέπουν την μετακίνηση ενός σημείου σε οποιοδήποτε μέρος, εξακολουθούν να υπάρχουν αυθαίρετες στροφές οι οποίες μπορεί να γίνουν σε οποιοδήποτε σημείο αυτών των αξόνων. Επιπλέον χώροι που ικανοποιούν μία ομάδα G 3 και αυτοί που ικανοποιούν μία ομάδα G 4 είναι διακεκριμένες σε διαφορετικούς μη αναγώγιμους τύπους όπως θα δούμε παρακάτω [4, 7, 19].

18 9 Bianchi s Cosmologies 3.1 Εξίσωση Killing και ισομετρίες Από τον μετασχηματισμό της μετρικής προκύπτουν οι εξισώσεις Killing οι οποίες εξάγονται παρακάτω και μας δίνουν ισομετρίες τις μετρικής. ds g µν dx µ dx ν Xf ξ µ f µ X[ds ] X[g µν ]dx µ dx ν + g µν X[dx µ ]dx ν + g µν dx µ X[dx ν ] ξ r g µν r dx µ dx ν + g µν dξ µ dx ν + g µν dx µ dξ ν ξ κ g µν κ dxµ dx ν + g µν ξ µ λ dxλ dx ν + g µν dx µ ξν λ dxλ ξ κ g µν κ 3.1 + g ξ λ λν µ + g ξ λ µλ ν dx µ dx ν Η ορίζουσα της παραπάνω σχέσης είναι διάφορη του μηδενός συνεπώς οι εξισώσεις είναι γραμμικός ανεξάρτητες οπότε προκύπτει η παρακάτω σχέση. Επιπλέον η σχέση αυτή είναι συμμετρική οπότε οι ανεξάρτητες λύσεις τις για τις n διαστάσεις είναι 1 nn + 1 0 ξ κ g µν κ + g ξ λ λν µ + g ξ λ µλ ν 3. Παραγωγίζοντας την παραπάνω σχέση ως προς τ. 0 ξ τ g µν λ τ + ξτ g µν λ τ + g τν ξ τ λ µ + ξ τ g τν λ µ + g µτ ξ τ λ ν + ξ τ g µτ ν λ 0 ξ τ g µλ ν τ + ξτ g µλ ν τ + g τλ ξ τ ν µ + g ξ τ τλ ν µ + g µτ ξ τ ν λ + ξ τ g µτ λ ν 0 ξ τ g λν µ τ + ξτ g λν µ τ + g τν ξ τ µ λ + ξ τ g τν µ λ + g λτ ξ τ µ ν + g ξ τ λτ ν µ Από τις παραπάνω σχέσεις αφαιρώντας την πρώτη σχέση από το άθροισμα των δύο τελευταίων παίρνουμε 0 ξ τ g µλ ν τ + g λν µ τ g µν λ τ + ξτ gτν λ µ + g λτ ν g µν gµλ + τ + g λτ µ g µτ ξ τ λ ν + g ξ τ λτ ν µ g λτ ξ τ ν µ + ξτ τ Γ µνλ + ξτ λ Γ µντ + ξλ µ Γ τνλ + ξτ ν Γ µτλ τ + ξλ gµλ µ ν + g λν τ g τν λ ξ ρ ν µ + gρλ ξ τ ρλ ξτ τ Γ µνλ + g λ Γ µντ + ξλ µ Γρ τν + ξτ ν Γρ µτ 3.3 Η τελευταία εξίσωση περιέχει τον μέγιστο αριθμό ανεξαρτήτων αυθαίρετων σταθερών οι οποίες για τις n διαστάσεις είναι nn + 1 άρα ο μέγιστος αριθμός ανεξαρτήτων αυθαίρετων σταθερών της εξίσωσης 3. r nn + 1 1 nn + 1 1 nn + 1

3.1 Εξίσωση Killing και ισομετρίες 19 Αν ο μέγιστος αριθμός ξεπεραστεί θα έχουμε την περίπτωση της πλήρους ολοκληρωσιμότητας και ο χώρος S n θα έχει σταθερή καμπυλότητα. Σε κάθε περίπτωση ο αριθμός των ανεξαρτήτων πεπερασμένων μετασχηματισμών της μετρικής ικανοποιεί την σχέση r 1 nn + 1, και αυτοί οι r μετασχηματιμοί θα γεννούν την ομάδα συνεχή ομάδα των κινήσεων, G r {X 1 f, X f,..., X r f}, του χώρου S n. Ένα βασικό σημείο είναι ότι αν ισχύει η 3. συνεπάγεται ότι δύο πεπερασμένοι μετασχηματισμοί του S n δεν μπορεί να έχουν κοινές τροχιές χωρίς να συμπίπτουν οι μετασχηματισμοί αυτό αποδεικνύεται παρακάτω. Έστω ότι έχουμε ξ n λxξ n 0 λxξ κ g µν κ + g λxξ λ λxξ λ λν µ + g µλ ν 0 g µν 0 λx ξ κ κ + g ξ λ λν µ + g ξ λ µλ ν 0 g µλ ξ λ λx µ + ξ λ g λν λx µ + ξλ g µλ λx ν λ ν 0 µν detg µν 0 g µλ ξ λ 0 ξ µ 0 3.4 Από την υπόθεση ότι λ λx καταλήγουμε στο ότι δεν θα υπήρχαν μετασχηματισμοί άρα λ constant 3.1.1 Χώροι με ομάδα μετασχηματισμών G 1 Σε αυτήν την περίπτωση μπορούμε να επιλέξουμε τον μοναδικό μετασχηματισμό ξ 1 1 η 1 που προκύπτουν από την μεταθετική σχέση. Οπότε η εξίσωση 3. θα παίρνει την μορφή. [X 1, X ] 0 Άρα η μετρική του χώρου είναι ανεξάρτητη από την μεταβλητή x 1 g µν 0 3.5 1 ds dx 1 + dx 3.6 Στην απλούστερη περίπτωση ομάδα μετασχηματισμών,η οποία είναι η G 1, παρατηρούμε ότι ο χώρος είναι επίπεδος. 3.1. Επιφάνειες με ομάδα μετασχηματισμών G Θα ασχοληθούμε με τις επιφάνειες δύο και τριών διαστάσεων που ικανοποιούν την ομάδα μετασχηματισμών G. Για αρχή έχουμε ότι οι πεπερασμένοι μετασχηματιμοί θα ικανοποιούν τις σχέσεις { 0 a [X 1, X ]f X 1 f b X 1 ξ 1 & X η Όπου από τις μεταθετικές σχέσεις της άλγεβρας Lie έχουμε. ξ η [X 1, X ]f 1 η ξ f 0 a 1 ξ η 1 η ξ f ξ 1 f b { 1 ξ η 1 ή ξ 1, η 0 ή ξ 0, η 1 a η 1 & 1 ξ ξ 1 ξ e x b { η 1 η 1 0 & ξ 0 a 0 & η ξ ξ b

0 9 Bianchi s Cosmologies Συνοψίζοντας τα διανύσματα Killing δίνονται παρακάτω X 1, X 1 X µ X 1, X X 1 0 { X 1 0, X X µ X 1 e x, X 1 Από την εξίσωση Killing, 3., θα βρούμε την μορφή της μετρικής για διδιάστατες επιφάνειες. 3. 1 ξ g µν 1 1 1 ξ g µν 1 1 0 ξ g µν 1 1 x e ξ g µν 1 1 0 + g ξ µν 0 g ξ µν 0 g ξ µν + g κν 0 + g µκ 0 0 + + g κν 0 + g µκ 0 0 + + g κν 0 + g µκ 0 0 0 g ξ µν + η g µν η 0 g µν 1 + 1 1 a b ξ + g κ ξ κν + g κ µ µκ 0 ν η g κ κν + µ 0 η g κ µκ 0 ν + 0 g 11 0 g 1 11 g 11 x a e x g µν ξ + g 1 ξ 1 1ν + g 1 µ µ1 0 ν g µν 0 g µν g µν x 1 e x g 11 + 1 0 ξ g 1 11 0 1 e x g ξ + g 1 1 1 0 0 e x g1 ξ + g 1 1 1 ξ + g 1 1 11 0 ds a1 b0 cr dx 1 + x 1 dx 1 dx + x 1 + R dx x 1 ve u R & x u R dx 1 e u R b a b dg 11 dx 0 g 1 11 a dg dx g 1 g 1 ax 1 + b dg 1 dx g 1 11 g ax 1 + bx 1 + c dv v du & dx du R R 3.7 3.8 3.9 ds e u R dv + v du dvdu R v + ve u du R R R e u R dv v du + du R R v e u R + R e u R dv + du 3.10 3.1.3 Επιφάνειες με ομάδα μετασχηματισμών G 3 Για την περίπτωση της G 3 σε επιφάνειες έχουμε για τους πεπερασμένους μετασχηματισμούς να δίνονται από τις παρακάτω σχέσεις. X 1 1 & X & X 3 x 1 x 1 η άλγεβρα που ικανοποιούν οι πεπερασμένοι μετασχηματισμοί δίνεται από τις παρακάτω σχέσεις. 0 i 1, j [X i, X j ] X 1 i, j 3 X i 3, j 1 3.11 3.1.4 Χώροι με ομάδα μετασχηματισμών G Τώρα θα μελετήσουμε χώρους τριών διαστάσεων με ομάδα μετασχηματισμών G. Οι τροχιές των διδιάστατων πεπερασμένων γεννητόρων της ομάδας G μελετήθηκαν παραπάνω, και είδαμε

3.1 Εξίσωση Killing και ισομετρίες 1 πως κάθε σημείο του χώρου θα μετακινείται σε μία επιφάνεια σύμφωνα με τους μετασχηματισμούς της G. Θα έχουμε μία άπειρη οικογένεια επιφανειών που θα αναπαράγει την ομάδα κάτι που ο Lie αποκαλεί ελάχιστες αναλλοίωτες ποικιλίες. Για έναν δοσμένο μετασχηματισμό της G, κάθε μία από τις επιφάνειες μπορεί να μετασχηματίζεται στον εαυτό της καθώς και κάθε επιφάνεια γεωδαιτικά παράλληλη στην επιφάνεια αυτή. Συμπεραίνουμε ότι κάθε μία από τις άπειρες αυτές τις επιφάνειες είναι γεωδαιτικά παράλληλη, επιπλέον κάθε μία από αυτές ικανοποιούν μία ομάδα μετασχηματισμών G, θα είναι με θετική αρνητική ή μηδενική καμπυλότητα. Αν επιλέξουμε τις επιφάνειες συντεταγμένες επιφάνειες για x 1 contant, συνεπώς ξ 1 0, και τις ορθογώνιες τροχιές στην x 1 μπορούμε να γράψουμε την μετρική στην μορφή. ds g 11 dx 1 + g dx + g 3 dx dx 3 + g 33 dx 3 0 X 1 ξ µ ξ 1 µ + ξ + ξ 3 ξ + ξ 3 1 3 3 X η µ 0 η 1 + η + η 3 η + η 3 µ 1 3 3 Κατ αρχάς από την εξίσωση Killing, 3., θα βρούμε την μορφή για την πρώτη συνιστώσα της μετρικής, g 11. Στην συνέχεια θα βρούμε την μορφή που πρέπει να έχουν οι υπόλοιπες συνιστώσες της μετρικής ικανοποιώντας κάποιες συνθήκες, την συνθήκη σταθερής καμπυλότητας. 3. g 0 ξ µν g 1 + ξ µν g 1 + ξ µν 3 3 g 0 η µν g 1 + η µν g 1 + η µν 3 { 3 g ξ 11 g + ξ 11 ξ 3 + g κ 3 κ1 η g 11 g + η 11 3 3 ξ g 11 + ξ 3 g 11 η g 11 + η 3 g 11 { ξ g 11 + ξ 3 g 11 3 0 η g 11 + η 3 g 11 3 0 ξ + g κ ξ κν + g κ µ µκ 0 ν η + g κ η κν + g κ µ µκ 0 ν 0 1 µ ν 1 η + g κ κ1 0 1 µ ν 1 0 ξ + g 3 11 1 + 1 0 ξ g 1 + 1 0 ξ g 3 31 0 µ ν 1 1 0 η + g 3 11 1 + 1 0 η g 1 + 1 0 η g 3 31 0 µ ν 1 1 det ξ ξ 3 η η 3 0 3.1 Από την παραπάνω σχέση προκύπτει ότι η εξίσωση 3. για την g 11 μας δίνει ότι η g 11 είναι ανεξάρτητη των x, x 3 συνεπώς μπορούμε να την επιλέξουμε σταθερή και μέσω μετασχηματισμού της x 1 να την απορροφήσουμε στις μεταβλητές μας. ds dx 1 + g dx + g 3 dx dx 3 + g 33 dx 3 { 3.13 0 a [X 1, X ]f X f b { X 1 ξ & X η 3 a X X 1 ξ 3 & X η b 3.14

9 Bianchi s Cosmologies Όπου από τις μεταθετικές σχέσεις της άλγεβρας Lie έχουμε. ξ η [X 1, X ]f η ξ { 3 3 f 0 a η ξ η 3 η ξ f η 3 f b 0 & ξ 0 a 3 ξ 0 & ξ η η b 3 { ξ η 1 ή ξ 1, η 0 ή ξ 0, η 1 a ξ 1 & 1 η η 1 η e x3 b 3 X 1, X 3 X 1 X, X 0 a X 1 0, X 3 X 1, X 3 e x3 b 0 1 g ξ µν g + ξ µν ξ 3 + g κ ξ 3 κν + g κ µ µκ 0 ν g η µν g ex3 + 0 η µν η 3 + g κ η 3 κν + g κ µ µκ 0 ν g 1 0 + 3 0 ξ g κ κ + 1 0 ξ g κ 1κ 0 g + 3 0 ξ g κ κ + 0 ξ g κ κ 0 g g x 1, x g 13 0 + 3 0 ξ g κ κ3 + 1 0 ξ g κ 1κ 0 3 g 3 + 3 0 ξ g κ κ3 + 0 ξ g κ κ 0 g 3 3 g 3 x 1, x g 33 + 3 0 ξ g κ κ3 + 3 0 ξ g κ 3κ 0 g 3 33 g 33 x 1, x 0 e x 3 g 1 + 0 η g κ κ + 1 0 η g κ 1κ 0 e x 3 g + 0 η g κ κ + 0 η g κ κ 0 g g x 1 0 x3 e g13 + 0 η g κ κ3 + 0 η 1 g 1 11 + 0 η 3 g 1 + 0 η 3 g 3 13 0 3 x3 g3 e + 0 η g κ κ3 + 0 η g 1 η 1 + g 3 + 0 η 3 g 3 3 0 3 e x3 g 33 + 0 η g 1 η 31 + g 3 3 + 3 0 η g 3 33 0 { { 3 g3 g g3 g x 1 x + bx 1 ax 1 x + bx 1 g 33 g 3 g 33 g x 1 x + bx 1x + cx 1 x ax 1 bx 1 x + cx 1 ds dx 1 + adx + ax 1 x + bx 1 dx dx 3 + x ax 1 bx 1 x + cx 1 dx 3 3.15 3.1.5 Χώροι με μια αμετάβατη ομάδα μετασχηματισμών G r, r 3 Τώρα θα ασχοληθούμε με τον τρισδιάστατο χώρο που επιδέχεται χώρο μετασχηματισμών με παραπάνω από παραμέτρους, ξεκινώντας από την αμετάβατη ομάδα μετασχηματισμών. Από τις υποθέσεις για την G οι ελάχιστες αναλλοίωτες ποικιλίες της ομάδας μετασχηματισμών αποτελούν γεωδαιτικές επιφάνειες, και λόγω αυτής της ιδιότητας πρέπει να ικανοποιείται και για G r, r 3, αυτό ισχύει διότι αν όλα τα σημεία μίας επιφάνειας ήταν σταθερά τότε η επιφάνεια θα έπρεπε να είναι ακινητοποιημένη. ds dx 1 + g dx + g 3 dx dx 3 + g 3 dx 3 3.13 και οι γεωδαιτικά παράλληλες επιφάνειες x 1 constant θα έχουν σταθερή καμπυλότητα. Επιλέγοντας αυθαίρετα την τιμή του x 1 0 αυτές οι επιφάνειες θα μπορούν να χαρακτηριστούν από τρεις καμπυλότητες K 0, 1, 1. Έτσι για τις τρεις καμπυλότητες μπορούμε να επιλέξουμε x 1 constant και από την εξίσωση Killing, 3., θα εξαγάγουμε την μορφή της μετρικής όπου αργότερα θα γενικεύσουμε για x 1 constant.

3.1 Εξίσωση Killing και ισομετρίες 3 X 1 Xµ K X K 0 3 X 3 x 3 x 3 X 1 X Xµ K 3 X sin x 3 + cot x cos x 3 K 1 3 X 3 cos x 3 cot x sin x 3 3 X 1 Xµ K 3 X x 3 K 1 3 X 3 x 3 1 e x 3 x 3 g ξ µν ξ τ + g κ ξ τ κν + g κ µ µκ 0 ν g 3. η µν η τ + g κ η τ κν + g κ µ µκ 0 ν g θ µν θ τ + g κ θ τ κν + g κ µ µκ 0 ν g ξ µν + 0 ξ g κ κν + µ 0 ξ g κ µκ 0 g ν µν g µν x 1, x 3 g η µν 3 + 3 0 η g κ κν + 0 η g κ µ µκ 0 g ν µν g µν x 1 K 0 g 0 θ µν g 3 + 0 θ µν θ + g κ θ 3 κν + g κ µ µκ 0 ν g ξ µν 3 + 3 0 ξ g κ κν + µ 0 ξ g κ µκ 0 g ν µν g µν x 1, x g η µν g + 0 η µν η 3 + g κ η 3 κν + g κ µ µκ 0 K 1 ν g θ µν g + 0 θ µν θ 3 + g κ θ 3 κν + g κ µ µκ 0 ν g ξ µν 3 + τ 0 ξ g κ κν + µ 0 ξ g κ µκ 0 g ν µν g µν x 1, x g η µν g + 0 η µν η 3 + g κ η 3 κν + g κ µ µκ 0 K 1 ν g θ µν g + 0 θ µν θ 3 + g κ θ 3 κν + g κ µ µκ 0 ν g ν δ 3µ 3 + g µ 3ν δµ x + g δ3ν µ µ 3 + g ν µ3 δν x 0 ν g ν δ 3µ g 3ν δ µ + g µ δ ν3 g µ3 δ ν 0 g 3 0 g ξ µν 3 + 3 0 ξ g κ κν + µ 0 ξ g κ µκ 0 g ν µν g µν x 1, x g sin x µν η 3 + g κ η κν + g κ µ µκ 0 ν g cos x µν θ 3 + g κ θ κν + g κ µ µκ 0 ν g µν η + g κν sin x κ θ 3 + cos x κ η µ 3 + g µ µκ sin x κ θ 3 + cos x κ ν 3 0 ν g cos x 3 cos x sin x 3 cos x η + g 3 sin x 3 3 θ + cos x 3 3 0 g 0 g g x 1 cos x 3 cos x sin x 3 cos x sin x3 cot x cos x3 cot x g 33 η + g 3 sin x 3 3 θ + cos x 3 3 θ + g 33 sin x 3 3 θ + cos x 3 3 3 0 3 g 33 cot x g 33 g 33 sin x g ξ µν 3 + τ 0 ξ g κ κν + µ 0 ξ g κ µκ 0 g ν µν g µν x 1, x 0 g µν η + g κ η κν + g κ µ µκ 0 g ν η + g κ κ 0 g g x 1 g 33 η + g κ κ3 3 g 3 η + g κ 0 κ3 0 g 3 g 3 x 1 x 3 g µν + g κν θ κ µ 0 g33 + g 33 x 3 3 0 g 33 e x + g µκ θ κ ν 0 K 0 K 1 K 1 3.16 Αφού έχουμε κάνει όλους τους υπολογισμούς για να βρούμε την μορφή των συνιστωσών της

4 9 Bianchi s Cosmologies μετρικής και έχουμε επιλέξει σταθερό το x 1 παίρνουμε την μετρική. dx + dx 3 K 0 ds dx + sin x dx 3 K 1 dx + e x dx 3 K 1 Αφού είδαμε ποια θα είναι η μορφή των εξισώσεων για x 1 constant είναι ώρα να γενικεύσουμε και για x 1 constant όπου η μορφή της μετρικής θα είναι η εξής. dx 1 + ϕx 1 dx + dx 3 K 0 ds dx 1 + ϕx 1 dx + sin x dx 3 K 1 dx 1 + ϕx 1 dx + e x dx 3 K 1 3.17 Όπου οι υπολογισμοί έχουν γίνει παραπάνω, 3.16, και για τις τρεις περιπτώσεις της σταθερής καμπυλότητας, K 0, 1, 1. Η συνάρτηση ϕx 1 εισάγεται ως σύμμορφος παράγων χωρίς να επηρεάζει την διαφορική εξίσωση, 3., απλός στην προηγούμενη περίπτωση ήταν σταθερή, x 1 constant, οπότε το απορροφούσαν οι μεταβλητές x, x 3. Στην συνέχεια θα δούμε τις πλήρεις εξισώσεις για την συγκεκριμένη μετρική. Όπου και θα ολοκληρωθεί η ταξινόμηση των ομογενών τριδιάστατων μετρικών. Έχουμε το διάνυσμα Killing για το οποίο θα βρούμε την τελική μορφή της μετρικής X η µ η 1 + η + η 3 µ 1 3 Η μορφή της μετρικής που έχουμε είναι η εξής και μέσω των εξισώσεων, 3., θα προσδιορίσουμε την πλήρη μορφή που πρέπει να έχει για να είναι συμβατή με την άλγεβρα μας. g 3. η µν g 1 + 1 0 η µν g + 0 η µν η 3 + g κ η 3 κν µ + g κ µκ ν 0 g η µµ η 1 + g κ 1 µκ µ 0 g 0 η 11 η 1 + g κ 1 κ1 1 0 η1 1 µ ν 1 g η η 1 + g 1 κ 0 η 1 ϕϕ + ϕ η 0 µ ν g η 33 η 1 + g 3 1 κ3 0 η 3 1 ϕϕ + ϕ η3 0 µ ν 3 3 g 0 η 1 η 1 + g κ η 1 κ1 + g κ κ 0 η1 1 + ϕ η 0 µ 1, ν 1 g 0 η 13 η 1 + g κ η 1 κ1 + g κ 3 3κ 0 η1 1 + ϕ η3 3 0 µ 1, ν 3 1 g 0 η 3 η 1 + g κ η 1 κ + g κ 3 3κ 0 ϕ η + ϕ η3 3 0 µ, ν 3 η 1 1 η 1 ϕ & η3 1 1 η 1 ϕ 3 η 1 + ϕ ϕ ϕ ϕ η 1 0 η 1 ϕ ϕ ϕ η 1 η 3 1 3 + ϕ ϕ ϕ ϕ η 1 0 η 1 ϕ ϕ ϕ η 1 3 Εφόσον έχουμε ότι το η 1 είναι ανεξάρτητο του x 1 θα πρέπει να ισχύει ότι, ϕ ϕ ϕ constant γιατί αλλιώς θα είχε εξάρτηση από αυτό οπότε βρίσκουμε. η 1 η 1 3 cη 1 cη 1 η η1 dx 1 ϕ x + ψx 1, x 3 η 3 η1 dx 1 3 ϕ x + ζx 1, x 3 η1 dx 1 3 ϕ x + ζx,x 3 1 + ψx,x 3 3 0 3.18

3.1 Εξίσωση Killing και ισομετρίες 5 Από τις σχέσεις αυτές προκύπτει το η 1 constant διότι από την τελευταία σχέση έχουμε ότι η ο συντελεστής του ολοκληρώματος, 1 3, πρέπει να είναι μηδέν αλλιώς τα ψ, ζ θα εξαρτώνται από την μεταβλητή x 1 οπότε έχουμε η 1 constant άρα η ψ & η 3 ζ. Οπότε έχουμε από τις εξισώσεις αυτές να προκύπτει είτε ο Ευκλείδειος χώρος, αν υποθέσουμε c 0, είτε χώρος σταθερής καμπυλότητας, αν επιλέξουμε c k, c C καμπυλότητα K k. Σε κάθε περίπτωση προκύπτει πλήρης ομάδα μετασχηματισμών που έχει έξι παραμέτρους. Τώρα θα ασχοληθούμε με την περίπτωση θετικής σταθερής καμπυλότητας όπου πάλι μέσω των εξισώσεων Killing, 3., θα προσδιορίσουμε την πλήρη μορφή της μετρικής 3. g + η µν g 1 + 0 η µν η 3 + g κ 3 κν µ g + η µµ η 1 + g κ µκ µ 0 η 1 g µν η 1 g µµ + g µκ η κ ν 0 g 0 η 11 g 1 + 1 0 η 11 η + g κ κ1 1 0 η 1 1 0 µ ν 1 g η g 1 + 1 0 η η + g κ 0 η 1 ϕϕ + ϕ η 0 µ ν g η 33 g 1 + η 33 η 1 + g 3 κ3 0 3 η 1 ϕϕ sin x + ϕ sin x cos x η + ϕ sin η x 3 0 µ ν 3 3 g 0 η 1 g 1 + 0 1 η 1 η + g κ η κ1 + g κ κ 0 η1 1 + ϕ η 0 µ 1, ν 1 g 0 η 13 g 1 + 1 0 η 13 η + g κ η κ1 + g κ 3 3κ 0 η1 1 + ϕ sin η x 3 3 0 µ 1, ν 3 1 g 0 η 3 g 1 + 1 0 η 3 η + g κ η κ + g κ 3 3κ 0 ϕ η + ϕ sin η x 3 3 0 µ, ν 3 η 1 1 η 1 ϕ & η3 1 1 η 1 sin x ϕ 3 η 1 + ϕ ϕ ϕ ϕ η 1 0 η 1 ϕ ϕ ϕ η 1 η 3 1 3 + ϕ ϕ ϕ ϕ η 1 cot x η + ϕ 1 0 η 1 ϕ ϕ ϕ sin x η 1 η sin x cos x 3 1 Εφόσον έχουμε ότι το η 1 είναι ανεξάρτητο του x 1 θα πρέπει να ισχύει ότι, ϕ ϕ ϕ constant γιατί αλλιώς θα είχε εξάρτηση από αυτό οπότε βρίσκουμε. η 1 η 1 3 η η1 cη 1 cη 1 sin η x η 1 sin x cos x 1 dx 1 ϕ x 1 + ψx, x 3 η η1 dx 1 3 3 ϕ x 1 + ψx,x3 3 η 3 1 dx 1 3 ϕ x 1 + ζx, x 3 η 1 sin x η 3 sin x cos x η 1 dx 1 sin 4 x 3 ϕ x 1 1 η 1 dx 1 sin x 3 ϕ x 1 + ζx,x3 η 1 3 cot x η 1 3 dx 1 ϕ x 1 + sin x ζx,x 3 + ψx,x 3 3 0 3.19

6 9 Bianchi s Cosmologies Από τις σχέσεις αυτές προκύπτει το η 1 constant διότι από την τελευταία σχέση έχουμε ότι ο συντελεστής του ολοκληρώματος, η 1 η 3 cot x 1 3, πρέπει να είναι μηδέν αλλιώς τα ψ, ζ θα εξαρτώνται από την μεταβλητή x 1 οπότε έχουμε η 1 constant άρα η ψ & η 3 ζ. η 1 3 cot x η 1 3 3 η 1 3 1 η 1 η 1 sin + cot x cη1 x 3 3 3 1 η 1 sin + cot η 1 x x 3 3 { c η1 3 1 + cos x η 1 sin c + 1 η1 c 1 a 0 x 3 η 1 3 3 0 b a ϕ ϕ ϕ 1 ϕ ϕ + ϕ ϕ ϕ ϕ 0 ϕ ϕ ϕ ϕ ln ϕ lnkϕ ϕ kϕ 1 k 0 x 1 k 0 ϕ 1 + kϕ 1 + ϕ R k > 0 ϕ R sin x 1 R k > 0 1 ϕ R k < 0 R sinh x1 R k < 0 dx 1 + x 1dx + dx 3 k 0 ds dx 1 + R sin x 1 R dx + sin x dx 3 k > 0 dx 1 + R sinh x1 R dx + e x dx 3 k < 0 Η πρώτη σχέση ανήκει στον Ευκλείδειο χώρο σε πολικές συντεταγμένες και οι δεύτερη και η σχέση σε χώρους με θετική και αρνητική καμπυλότητα αντίστοιχα. Οι χώροι αυτοί ικανοποιούν την ομάδα μετασχηματισμών G 6. b η 1 η 1 cc + 1 0 0 cη 1 & η 1 cη 1 sin η 1 x η 1 sin x cos x η 1 c tan x η 1 3 c cos η 1 cη 1 c tan 1 x + x cos η 1 c 1 x c tan x η 1 + 1 cos c sin x x cos x 3.0 Από τις δύο περιπτώσεις που προέκυψαν για το c την περίπτωση c 1 την έχουμε μελετήσει οπότε μας μένει η περίπτωση c 0 συνεπώς θα έχουμε η 1 constant a. ψ + a ϕ ϕ 0 ζ b 3 + a ϕ ϕ + cot x ψ 0 + sin ζ x 0 ψ 3 3.1 Για να ισχύουν οι παραπάνω σχέσεις πρέπει να ισχύει ϕ ϕ b συνεπώς θα έχουμε. ψ ab ψx, x 3 abx + θx 3 ζ θ sin & ζ ab cot x abx + θx 3 x 3 ζ θ 3 sin & ζ abx + θx 3 x 3 sin + cot x ab x θ + θ abx sin x cos x 3.

3.1 Εξίσωση Killing και ισομετρίες 7 Όπου από την συνθήκη ολοκληρωσιμότητας πρέπει το δεξί μέλος να είναι μηδέν ο μόνος τρόπος να ισχύει αυτό ταυτοτικά είναι το γινόμενο ab να είναι μηδέν αλλά επειδή δεχτήκαμε ότι το η 1 a 0 θα ισχύει ότι b 0 άρα. θ + θ 0 θx 3 m sin x 3 + n cos x 3 ζ cot x m cos x 3 n sin x 3 + l a µ 1 η µ m sin x 3 + n cos x 3 µ cot x m cos x 3 n sin x 3 + l µ 3 Όπου έχουμε a, m, l, n αυθαίρετες σταθερές τις οποίες από την άλγεβρα μπορούμε να τις υπολογίσουμε. Συνεπώς η ομάδα G 4 μας δίνει τελικά. X 1 3 µ 1 X µ X sin x 3 + cot x cos x 3 3 µ X 3 cos x 3 cot x sin x 3 3 µ 3 X 4 1 µ 4 X 3 i 1, j X i 3, j 1 [X i, X j ] X 1 i, j 3 0 i 1,, 3, j 4 3.3 3.4 ds dx 1 + dx + sin x dx 3 3.5 Η μορφή της μετρικής ήδη καθιστά ήδη εκ των προτέρων ενδείξεις ότι, εκτός από τις άπειρες κινήσεις που αντιστοιχούν στην ολίσθηση στις σταθερές επιφάνειες, x 1, στον εαυτό τους, υπάρχει μία ομάδα G 1 που επιτρέπει x 1 x 1 + constant, x x, x 3 x 3. Αλλά από τους υπολογισμούς μας βλέπουμε ότι η ομάδα G 4 είναι επίσης η πλήρης ομάδα μετασχηματισμών. Μία τέτοια ομάδα όπως η G 4 είναι καθαρά μεταβατική, Επιπλέον αποτελεί ομάδα Lie διότι οι κινήσεις που αφήνουν ένα σημείο του χώρου αναλλοίωτο αφήνουν και όλα τα σημεία μίας γεωδαιτικής, x 1, από τα οποία περνάει διαμέσο αυτής. Άρα αυτές οι γεωδαιτικές είναι οι ποικιλίες που συνθέτουν την ομάδα. Όλος ο χώρος μπορεί να περιστραφεί γύρω από κάθε μία από αυτές, αλλά καμία άλλη περιστροφή δεν είναι επιτρεπτή. 3. η 1 g µν g + η µν g 1 + 0 η µν η 3 + g κ 3 κν µ g + η µµ η 1 + g κ µκ µ 0 η 1 g µµ + g µκ η κ ν 0 g 0 η 11 g 1 + 1 0 η 11 η + g κ κ1 1 0 η1 1 0 µ ν 1 g η g 1 + 1 0 η η + g κ 0 η 1 ϕϕ + ϕ η 0 µ ν g η 33 g 1 + η 33 η 1 + g 3 κ3 0 η 3 1 ϕϕ e x + ϕ e x η + ϕ x η3 e 0 µ ν 3 3 g 0 η 1 g 1 + 1 0 η 1 η + g κ η κ1 + g κ κ 0 η1 1 + ϕ η 0 µ 1, ν 1 g 0 η 13 g 1 + 1 0 η 13 η + g κ η κ1 + g κ 3 3κ 0 η1 1 + ϕ e x 3 η3 0 µ 1, ν 3 1 g 0 η 3 g 1 + 1 0 η 3 η + g κ η κ + g κ 3 3κ 0 ϕ η + ϕ x η3 e 3 0 µ, ν 3 η 1 1 η 1 ϕ & η3 1 e x η 1 ϕ 3 η 1 + ϕ ϕ ϕ ϕ η 1 0 η 1 ϕ ϕ ϕ η 1 η 3 1 3 + ϕ ϕ ϕ ϕ η 1 + η 1 0 η 1 ϕ ϕ ϕ η 1 e x ϕ η 3 1 η 1 3 e x ϕ ϕ ϕ η 1 e x η 1

8 9 Bianchi s Cosmologies Εφόσον έχουμε ότι το η 1 είναι ανεξάρτητο του x 1 θα πρέπει να ισχύει ότι, ϕ ϕ ϕ constant γιατί αλλιώς θα είχε εξάρτηση από αυτό οπότε βρίσκουμε. η 1 η 1 3 cη 1 e x cη 1 η 1 η η1 dx 1 ϕ x 1 + ψx, x 3 η η1 dx 1 3 3 ϕ x 1 + ψx,x 3 3 η 3 x η1 e η 3 η 1 x η1 e 3 3 dx 1 ϕ x 1 + ζx, x 3 dx 1 3 ϕ x 1 η 1 dx 1 e x 3 ϕ x 1 + ζx,x 3 η1 dx 1 3 ϕ x + 1 ex ζx,x3 + ψx,x3 3 0 3.6 Από τις σχέσεις αυτές προκύπτει το η 1 constant διότι από την τελευταία σχέση έχουμε ότι ο συντελεστής του ολοκληρώματος, η 1 3 η1 3, πρέπει να είναι μηδέν αλλιώς τα ψ, ζ θα εξαρτώνται από την μεταβλητή x 1 οπότε έχουμε η 1 constant άρα η ψ & η 3 ζ. η 1 3 η1 3 3 η 1 3 η 1 cη1 3 3 η1 c 1 η1 3 3 0 { c 1 a η 1 3 0 b a ϕ ϕ ϕ 1 ϕ ϕ + ϕ ϕ ϕ ϕ 0 ϕ ϕ ϕ ϕ ln ϕ lnkϕ ϕ kϕ 3.7 Η σταθερά k πρέπει να είναι υποχρεωτικά θετική αλλιώς το ϕ θα ήταν μιγαδικό. Οπότε θέτουμε k 1 R και έχουμε. ϕx 1 R cosh x 1 R ds dx 1 + R cosh x 1 R dx + e x dx 3 3.8 Από τις δύο περιπτώσεις που προέκυψαν για το c την περίπτωση c 1 την έχουμε μελετήσει οπότε μας μένει η περίπτωση c 0 συνεπώς θα έχουμε η 1 constant a. ψ + a ϕ ϕ 0 ζ b 3 + a ϕ ϕ + ψ 0 ψ 3 + e x ζ 0 3.9 Για να ισχύουν οι παραπάνω σχέσεις πρέπει να ισχύει ϕ ϕ b συνεπώς θα έχουμε. ψ ab ψx, x 3 abx + θx 3 ζ e x θ & ζ ab abx + θx 3 3 ζ 3 e x θ & θ abe x ζ 3 ab 3.30

3.1 Εξίσωση Killing και ισομετρίες 9 Όπου από την συνθήκη ολοκληρωσιμότητας πρέπει το δεξί μέλος να είναι μηδέν ο μόνος τρόπος να ισχύει αυτό ταυτοτικά είναι το γινόμενο ab να είναι μηδέν αλλά επειδή δεχτήκαμε ότι το η 1 a 0 θα ισχύει ότι b 0 άρα. θ 0 θx 3 mx 3 + n ζ 1 mx 3 + nx 3 a µ 1 η µ mx 3 + n m x 3 lx e x 3 + d Όπου έχουμε a, m, l, n αυθαίρετες σταθερές τις οποίες από την άλγεβρα μπορούμε να τις υπολογίσουμε. Συνεπώς η ομάδα G 4 μας δίνει τελικά. X 1 3 µ 1 X µ X + x 3 3 µ X 3 1 x 3 e x x 3 3 µ 3 X 4 1 µ 4 X 1 i 1, j X 3 i, j 3 [X i, X j ] X i 3, j 1 0 i 1,, 3, j 4 3.31 3.3 ds dx 1 + dx + sin x dx 3 3.33 H άλγεβρα που προέκυψε είναι ίδια με την προηγούμενη ανάλυση που έγινε παρόλα αυτά μιλάμε για δύο διαφορετικού τύπου χώρους που ικανοποιούν, γεγονός που καθορίζεται από την παρατήρηση ώστε οι δύο επιφάνειες είναι ορθογώνιες με τις γεωδαιτικές, x 1 επιφάνειες θετικής σταθερής καμπυλότητας ενώ για τον εν λόγο χώρο είναι για σταθερή αρνητική καμπυλότητα. Συνοψίζοντας έχουμε το παρακάτω θεώρημα. Θεώρημα 3.1.1. Αν ένας τρισδιάστατος χώρος ικανοποιεί αμετάβατη ομάδα μετασχηματισμού G 3, η μετρική σχέση μπορεί να αναχθεί σε έναν από τους τρεις τύπους. dx 1 + ϕx 1 dx + dx 3 ds dx 1 + ϕx 1 dx + sin x dx 3 3.34 dx 1 + ϕx 1 dx + e x dx 3 και γενικά ολόκληρη η ομάδα των κινήσεων είναι ακριβός ομάδα τριων παραμέτρων. Την μόνη εξαίρεσή αποτελούν οι δύο παρακάτω χώροι. { ds dx 1 + dx + sin x dx 3 dx 1 + dx + e x dx 3.35 3 που ο καθένας είναι ομάδα τεσσάρων παραμέτρων, και οι χώροι με σταθερή καμπυλότητα που ικανοποιούν ομάδα έξι παραμέτρων. 3.1.6 Χώροι με μια μεταβατική ομάδα μετασχηματισμών G 3 Aφού έχουμε μελετήσει τους χώρους με αμετάβατη ομάδα μετασχηματισμών ήρθε η ώρα να κάνουμε το ίδιο με τους χώρους με μεταβατική ομάδα μετασχηματισμών. Θα υποθέσουμε ότι η μετρική του χώρου μας δίνεται από την παρακάτω σχέση, η οποία ορίζεται μέσω πρώτων μορφών, και

30 9 Bianchi s Cosmologies θα εξαγάγουμε τα διανύσματα Killing και θα βρούμε ποια άλγεβρα ικανοποιούν και πως μπορούμε να τις ταξινομήσουμε Σε αυτήν την ενότητα θα μελετήσουμε μεταβατικές ομάδες G 3 στις τρεις μεταβλητές, x 1, x, x 3, για χώρους που επιδέχονται τέτοιους μετασχηματισμούς. ds h αβ xdx α dx β h αβ x dx α dx β dx α α δ dxδ ds ea α dxα η ab e a α dx α e b β dxβ e a α xe β a x δβ α & e a α xe α b x δa b 3.36 e a α xdx α e a α x dx α e β a x e β a x e a α xdx α α δ dxδ e β a x e a β x β α eβ a x e a α x x β γ α e a x γ β eβ a x δ β x β α γ e a x α α x + e β a x ea α x γ e a e β a x δ δ γ ea e δ b x e b γ xe a α x + e β a x ea α x γ γ x + e β a x ea γ x α e a e β a x δ δ α ea eβ a x δ e δ b x e b α xe a γ x + e β a x ea γ x α δ β α α x + e β a x ea α x γ γ x + e β a x ea γ x α Για να είναι ολοκληρώσιμο το σύστημα θα πρέπει να ισχύει η εξής συνθήκη ολοκληρωσιμότητας. a e β e a x γ x α a e β e a x γ x α x β γ α x β α γ ea α x γ ea α x γ eβ a x δ e β a x δ e δ b x e b γ xe a α x eβ a x δ e δ b x e β b x δ e δ a x e δ b x e b α xe a γ x e b γ xe a α x Για να μπορούμε να βγάλουμε συμπέρασμα από το κριτήριο αυτό θα πρέπει οι εξισώσεις να μην έχουν πλεγμένες τις συντεταγμένες x, x έτσι θα πολλαπλασιάσουμε το δεξί μέρος της εν λόγω εξίσωσης με τον αντίστροφο e b β x καθώς και το αριστερό μέλος με το γινόμενο των αντίστροφων e β b xeγ ax και χρησιμοποιώντας τις εξισώσεις 3.36 θα τις αποσυζεύξουμε. e b γ xe a α xe δ b xeϵ a xef β x δ δ γδ ϵ αe f β x e δ b xeϵ a xef β x e β a x δ f ae δ b xeϵ a x Όπου παραπάνω υπολογίσαμε το γινόμενο των αντίστροφων και καταλήξαμε στις δύο σχέσεις τις οποίες θα χρησιμοποιήσουμε παρακάτω και θα βρούμε τελικά ότι η συνθήκη ολοκληρωσιμότητας καταλήγει στην παρακάτω σχέση. e α d xeγ c x e f γ x α ef α x e β γ a x δ e δ c x e β c x δ e δ b x e f β x

3.1 Εξίσωση Killing και ισομετρίες 31 Όμως η τελευταία εξίσωση πρέπει να ισχύει ταυτόχρονα και για x αλλά και για x άρα θα πρέπει και τα δύο μέλη να εξισώνονται με σταθερές συνεπώς έχουμε. C c abe γ c C f dc eα d xeγ c x e f γ x α C f cd eγ d xeα c x e f α x γ e α a ea β δα β ec α β C c abe γ c eγ c eα a eβ b δ γ δ δd ae β b C c abe γ c eβ b γ eβ b ef α x γ ef γ x α e δ ec δ ed d α β e c e δ δ ed d α β + e δ ed β ec d δ α e δ d β e γ a + eα a β e γ a β + δγ δ δd be α a e γ b α γ + eα a e γ b α e δ d α γ 3.37 3.37 Τέλος θέτοντας X a e α a μεταθετική σχέση αυτών. α τους γεννήτορες της άλγεβρας των μετασχηματισμών προκύπτει η γ β C c abx c e β X a b β + eβ b eγ a β γ + X b eα a α eα a eγ b γ α C c abx c X b X a + X a X b [X a, X b ] 3.38 Τέλος εφόσον έχουμε της σταθερές δομής της άλγεβρας C α βγ του Jacobi όπως φαίνεται και παρακάτω. οι οποίες ικανοποιούν την ταυτότητα 0 [[X a, X b ], X c ]] + [[X c, X a ], X b ]] + [[X b, X c ], X a ]] 3.39 Η οποία με χρήση των μεταθετικών σχέσεων 3.38 μπορεί να πάρει την εξής μορφή. 0 C e abc d ec + C e bcc d ea + C e cac d eb 3.39 Χρησιμοποιώντας το πλήρως αντισυμμετρικό σύμβολο των Levi Civita θα επαναορίσουμε τις σταθερές δομής με την χρήση του συμβόλου και ποσοτήτων με δύο δείκτες μέσω ενός δυικού μετασχηματισμού όπως φαίνεται παρακάτω. C a bc ϵ bcd C dc Ύστερα από τον δυικό μετασχηματισμό έχουμε τις μεταθετικές σχέσεις των σταθερών ως εξής. ϵ abc X b X c 1 0 ϵ abc X b X c + X c X b + ϵ abc X b X c X c X b 1 ϵabc X b X c X c X b 1 ϵabc [X b, X c ] 1 ϵabc C d bcx d ϵ abc X b X c 1 ϵabc C d bc ϵ abc C d cbx d 1 ϵabc C d bc + ϵ abc C d bcx d ϵ abc X b X c C ad X d 3.40

3 9 Bianchi s Cosmologies Από την Ταυτότητα του Jacobi 3.39 πολλαπλασιασμένη με το σύμβολο Levi Civita και τον δυικό μετασχηματισμό των σταθερών δομής έχουμε. 0 ϵ abc [[X a, X b ], X c ]] + [[X c, X a ], X b ]] + [[X b, X c ], X a ]] ϵ abc [[X a, X b ], X c ]] + ϵ abc [[X c, X a ], X b ]] + ϵ abc [[X b, X c ], X a ]] ϵ abc [[X a, X b ], X c ]] + ϵ cab [[X c, X a ], X b ]] + ϵ bca [[X b, X c ], X a ]] 3ϵ abc [[X a, X b ], X c ]] 3ϵ abc [C d abx d, X c ] 3ϵ abc C d abc e dcx e 3ϵ abc ϵ abl C ld ϵ dck C ke X e 18δ c lϵ dck C ld C ke X e 0 ϵ abc C bc C ad 0 3.41 Της σταθερές δομής C ab μπορούμε να τις γράψουμε ως προς το συμμετρικό και το αντισυμμετρικό τους μέρος οπότε έχουμε. C ab S ab + A ab Χρησιμοποιώντας πάλι έναν δυικό μετασχηματισμό μπορούμε να γράψουμε το αντισυμμετρικό μέρος αυτού ως προς ένα δυικό διάνυσμα. C ab S ab + ϵ abc a c 3.4 Από την σχέση που προέκυψε από την ταυτότητα του Jacobi έχουμε. ϵ abc C bc C ad ϵ abc S bc + ϵ bce a e C ad 0 ϵ abc S bc + 6δe a ϵ abc ϵ bce a d C ad 6a a C ad 6a a S ad + ϵ ade a e 6a a S ae + 6 0 ϵ ade a a a e 0 a a S ad 0 3.43 3. Ταξινόμηση διαφόρων τύπων για ομάδα G 3 Με τις γενικές παρατηρήσεις που έχουμε κάνει νωρίτερα μπορούμε να είμαστε σίγουροι ότι σε κάθε μεταβατική ομάδα G 3 με πάνω από 3 μεταβλητές αντιστοιχούν πάντα χώρους τριών διαστάσεων που γίνεται δεκτό ως ομάδα κινήσεων. Ωστόσο δεν είναι αληθές και σωστό σε όλες τις περιπτώσεις, ότι η πλήρης ομάδα των κινήσεων του χώρου που λαμβάνεται είναι όντως η δοσμένη G 3. Θα δούμε ότι μπορεί υπό ορισμένες συνθήκες της G 3 η οποία συνεπάγεται κατ ανάγκην την ύπαρξη μεγαλύτερης ομάδας κινήσεων. Επιπλέον, θέλουμε να δημιουργήσουμε για για κάθε πιθανό τύπο της G 3 μια αντίστοιχη κανονική μορφή για τη μετρική, εφαρμόζοντας την ολοκλήρωση την οποία έχουμε δει σε προηγούμενη ανάλυση ως βάση των υπολογισμών μας, παίρνουμε την ταξινόμηση που δίνεται από των Lie των πιθανών συνθέσεων των ομάδων τριών παραμέτρων. Eδώ μία ουσιαστική προειδοποίηση είναι απαραίτητη για εμάς. Στην ταξινόμηση του Lie δεν υπάρχει κανένας τρόπος για να γίνει διάκριση μεταξύ πραγματικής και μιγαδικής ομάδας, ενώ στην παρούσα μελέτη θέλουμε να αναφερθούμε μόνο σε πραγματικές ομάδες και τις πραγματικές τους υποομάδες έτσι θα πρέπει, συνεπώς, να υποδιαιρέσουμε σε περισσότερους τύπους ορισμένα είδη τα οποία αποτελούν ένα ενιαίο τύπο από τη γενική άποψη της Lie. Υποθέτοντας τις ολοκληρώσιμες ομάδες από τους έξι

3. Ταξινόμηση διαφόρων τύπων για ομάδα G 3 33 τύπους που έχουν ταξινομηθεί από τον Lie που προκύπτουν από τις ακόλουθες σχέσεις. 0 i 1, j 0 i, j 3 0 i 1, j 3 0 i 1, j X 1 i, j 3 0 i 3, j 1 0 i 1, j 0 i, j 3 X 1 i 1, j 3 0 i 1, j [X i, X j ] X 1 + X i, j 3 X 1 i 1, j 3 0 i 1, j X 1 + X i, j 3 X 1 i 1, j 3 0 i 1, j hx, h 0, 1 i, j 3 X 1 i 1, j 3 0 i 1, j X 1 + hx 0 h i, j 3 X i 1, j 3 Type I Type II Type III Type IV Type V Type VI Type VII 3.44 Ο V II τύπος είναι πραγματικός και προστέθηκε διότι δεν έχει καμία πραγματική υποομάδα, ενώ οι υπόλοιποι έξι τύποι έχουν τουλάχιστον μία πραγματική υποομάδα G 1. Επιπλέον πρέπει να παρατηρήσουμε ότι στον τύπο V II η σταθερά h είναι ουσιώδους σημασίας διότι είναι αδύνατον να υπάρξει μία άλλη ομάδα με ίδιες αλγεβρικές σχέσεις η οποία να είναι ισομορφική με αυτήν και αυτό αποδεικνύεται παρακάτω. Έστω ότι υπάρχει μία τέτοια. 0 i 1, j [Y i, Y j ] Y 1 + ky 3, 0 k i, j 3 Y i 1, j 3 3.45

34 9 Bianchi s Cosmologies Αν k h τότε οι δύο ομάδες δεν είναι δυνατόν να θεωρηθούν ότι έχουν ισομορφική ισοδυναμία. Πράγματι, αν αυτό συμβεί θα υποδείξουμε τα X 1, X, X 3 τους πεπερασμένους μετασχηματισμούς της πρώτης ομάδας που αντιστοιχούν στα Y 1, Y, Y 3 στο δεύτερο, τότε τα X 1, X πρέπει να αποτελούνται μόνο από τα X 1, X δεδομένου ότι και τα δύο ζεύγη των μετασχηματισμών ανήκουν στην ομάδα από την οποία προέρχονται. Υποθέτουμε λοιπόν ότι ισχύει. X 1 αx 1 + βx & X γx 1 + δx & X 3 ax 1 + bx + cx 3 0 i 1, j [ X i, X j ] X i 1, j 3 X 1 + k X i, j 3 [ X 1, X ] 0 [αx 1 + βx, γx 1 + δx ] 0 0 0 [ X 1, X 3 ] X [αx 1 + βx, ax 1 + bx + cx 3 ] γx 1 + δx αcx βcx 1 hx γx 1 + δx αc + hβc γ & βc γ 0 [ X, X 3 ] X 1 + k X [γx 1 + δx, ax 1 + bx + cx 3 ] αx 1 + βx + kγx 1 + δx γcx δcx 1 hx α kγx 1 β δkx γc + hc β δk & δc α kγ { β1 c + hc kδ 0 α cδ kβ & γ βc, βch kc + c 1δ 0 Από την τελευταία σχέση έχουμε ότι για να λύνεται το σύστημα και να μην είναι τετριμένο ότι η ορίζουσα των β, δ να είναι διάφορη του μηδενός συνεπώς έχουμε. 0 c 4 hkc 3 + h + k c hkc + 1 3.46 Αλλά η ορίζουσα αδ βγ πρέπει να είναι μηδέν εφόσον ισχύουν c 1 1 & k ±h αλλά αυτό καταλήγει σε άτοπο οπότε αποδείχθηκε ότι δεν είναι ισομορφικές οι δύο ομάδες. Τέλος το αφού έχουμε αναλύσει τα ολοκληρώσιμα συστήματα, για την G 3, το μόνο που μένει είναι να δούμε αυτά που δεν επιδέχονται ολοκλήρωση. Οπότε προκύπτουν οι παρακάτω δύο τύποι. X 1 i 1, j X i, j 3 [X i, X j ] X 3 i 1, j 3 X 3 i 1, j X 1 i, j 3 X i 3, j 1 Type VIII Type IX 3.47 Στην όλη ανάλυση δεν έγινε καμία αναφορά στην ομάδα G 5 ο λόγος είναι ότι δεν υπάρχει αυτή η ομάδα μετασχηματισμών. Από αυτό συνεπάγεται αν ένας χώρος είχε μία υποομάδα G 5, θα είχε επίσης και G 6, η οποία θα ήταν σταθερής καμπυλότητας. Αλλά μπορούμε να πάμε παραπέρα και να δείξουμε ότι η ομάδα G 6 των κινήσεων του χώρου με σταθερή καμπυλότητα δεν έχει πραγματικές υποομάδες πέντε παραμέτρων, Ονομαστικά δεν υπάρχουν τρισδιάστατοι χώροι των οποίων οι ομάδα μετασχηματισμού να περιέχει υποομάδα πέντε παραμέτρων. Υποθέτοντας την ύπαρξη μίας τέτοιας ομάδας κινήσεων, G 5, κάθε υποομάδα, G, που αφήνει οποιοδήποτε σημείο του χώρου σταθερό περιέχεται σε αυτήν σε μία πραγματική ομάδα G 3. Αυτή η ομάδα G 3 πρέπει απαραίτητα να είναι μεταβατική διότι διαφορετικά με τις κινήσεις της G 3 θα μπορούσαμε να μετακινήσουμε ένα σημείο οπουδήποτε αλλά κάθε σημείο πρέπει να μένει σταθερό κάτω από διπλή πεπερασμένη κίνηση της ομάδας G 3 το οποίο συνεπάγεται σε άτοπο. Η ομάδα G 3 είναι αμετάβατη, όπου μπορούμε να βρούμε τις εξισώσεις των μετρικών για την εν λόγω ομάδα για τις οποίες ισχύει ότι έχουν σταθερή καμπυλότητα.

3. Ταξινόμηση διαφόρων τύπων για ομάδα G 3 35 dx 1 + dx + dx 3 K 0 dx 1 + e x 1 dx + dx 3 K 1 ds dx 1 + x 1dx + sin x dx 3 K 1 dx 1 + sin x 1 dx + sin x dx 3 K 0 dx 1 + sinh x 1 dx + sin x dx 3 K 1 dx 1 + cosh x 1 dx + sin x dx 3 K 1 Τα οποία είναι προσαρμοσμένα στην υποομάδα της G 3 των περιστροφών γύρω από ένα σημείο ¹. Για κάθε μία από αυτές τις περιπτώσεις πρέπει να προσδιορίσουμε, ολοκληρώνοντας τις εξισώσεις Killing, 3., η μορφή της πλήρους ομάδας G 6 των κινήσεων και θα δούμε αν υπάρχει υποομάδα G 5 της G 6 που να περιέχει την G 3. Η απάντηση παραμένει αρνητική, η δηλωθείσα ιδιότητα θα επαληθευτεί Θα επιβεβαιώσουμε για μία τυχαία μετρική, από τις έξι,η οποία περιγράφει παραβολοειδές και θα δεχτούμε ότι ισχύει και για τις άλλες. ds dx 1 + e x1 dx + dx Οπότε ολοκληρώνοντας τις εξισώσεις Killing, 3., βρίσκουμε ότι έχει πλήρη ομάδα κινήσεων G 6 η οποία γεννάται από τους έξι πεπερασμένους μετασχηματισμούς. i 1 3 i x 3 x 3 i 3 X i x 1 + 1 e x 1 + x 3 x x x 3 3 i 4 x 3 1 x x 3 + 1 e x1 + x 3 x 3 i 5 1 x 3 x 3 i 6 0 i 1, j X i 1, j 3 X 6 i 1, j 4 X 3 i 1, j 5 X 1 i 1, j 6 X 1 i, j 3 X 3 i, j 4 [X i, X j ] X 6 i, j 5 X i, j 6 X 5 i 3, j 4 X 4 i 3, j 5 0 i 3, j 6 i 4, j 5 X 4 i 4, j 6 X 5 i 5, j 6 ¹όπως έχουμε δει, χώροι με σταθερή καμπυλότητα Ευκλείδειες, έχουμε δύο διαφορετικές μορφές της μετρικής, η πρώτη αντιστοιχεί στο κέντρο περιστροφής στο άπειρο και η δεύτερη με κέντρο περιστροφής σε μία πεπερασμένη απόσταση. Για την περίπτωση των ψευδοσπερικών χώρων K 1 έχουμε τρεις διακριτές μορφές, σύμφωνα με το που είναι το κέντρο περιστροφής στο άπειρο ή σε πεπερασμένη απόσταση, ή ιδανικά, και τελικά για χώρους Riemann K 1 μόνο μία μορφή. Οι γεωμετρικές περιπτώσεις είναι γνωστές από την θεωρία για χώρους με σταθερή καμπυλότητα.

36 9 Bianchi s Cosmologies θα μας δείξει ότι δεν υπάρχει στην G 6 καμία πραγματική υποομάδα της G 5 η οποία να περιέχει την G 3 {X 1, X, X 3 }. Στην πραγματικότητα ας πάρουμε Y να είναι πεπερασμένοι μετασχηματισμοί της G 5 η οποία δεν ανήκει στην G 3 μπορούμε να θέσουμε Y ax 4 + bx 5 + cx 6, a, b, c R. Στην G 5 θα υπάρχουν οι τρεις πεπερασμένοι μετασχηματισμοί ax 6 bx 3 cx 1 i 1 [X i, Y ] ax 3 + bx 6 + cx i ax 5 cx 4 i 1 3.48 Και επίσης ax 6, bx 6 και λοιπόν και κάθε περίπτωση αφού αν a b 0 Y καταλήγει στην X 6. Τώρα οι τέσσερις μετασχηματισμοί X 1, X, X 3, X 6 της G 5 στην πραγματικότητα γενούν την G 4 αν με την Z ax 4 + bx 5 αν υποδείξουμε τον τελευταίο πεπερασμένο μετασχηματισμό, τότε [X 3, Z] ax 5 bx 4 θα πρέπει να είναι ένας συνδυασμός των X 1, X, X 3, X 6, Z άρα θα διαφέρει από τον Z κατά έναν σταθερό παράγοντα ρ. Έτσι μπορούμε να έχουμε a ρb και b ρa από όπου προκύπτει ρ +1 0 άρα λοιπόν Z X 4 +ix 5, το οποίο δίνει μία μιγαδική ομάδα G 5. Μπορεί να επιβεβαιωθεί και για τις υπόλοιπες μετρικές με ανάλογο τρόπο. 3..1 Συγκεντρωτικός πίνακας μετρικών με πλήρεις ομάδες μετασχηματισμών Είναι χρήσιμο να συνοψίσουμε τα αποτελέσματα συγκεντρώνοντας όλους τους τύπους των που προέκυψαν για όλους τους χώρους που επιδέχονται συνεχείς ομάδες κινήσεων. Θα χωρίσουμε τους χώρους σε έξι κατηγορίες ανάλογα με τους τύπους των πλήρων ομάδων των κινήσεων. θα ορίσουμε ως χώρο τύπου A αν η ομάδα μετασχηματισμού που επιδέχεται είναι τύπου G 1, B αν η ομάδα είναι G, C αν η ομάδα είναι αμετάβατη G 3. Οι άλλες δύο οι D,E περιέχει τους χώρους που η ομάδα είναι μεταβατική, D για την G 3 και E για την G 4. Τέλος ως F ορίζονται οι χώροι με σταθερή καμπυλότητα και ομάδα μετασχηματισμού G 6. Κατηγορία A Ομάδα G 1 με συντελεστές g ij μετασχηματισμό X 1 Κατηγορία B 1 ανεξάρτητες από την συντεταγμένη x 1 και πεπερασμένο Ομάδα G ds dx 1 + αx 1 dx + βx 1 dx dx 3 + γx 1 dx 3 και πεπερασμένους μετασχηματισμούς X 1, X Με άλγεβρα [X 1, X ] 0 Κατηγορία C 3 ds dx 1 + αx 1 dx + βx 1 dx dx 3 + αx 1 x βx 1 x + γx 1 dx 3 και πεπερασμένους μετασχηματισμούς X 1, X Με άλγεβρα [X 1, X ] X 3 ds dx 1 + ϕx 1 dx + dx 3 και πεπερασμένους μετασχηματισμούς X 1, X 3, X x 3 x 3 Με άλγεβρα

3. Ταξινόμηση διαφόρων τύπων για ομάδα G 3 37 0 i 1, j [X i, X j ] X 1 i, j 3 X i 3, j 1 ds dx 1 + ϕx 1 dx + sin x dx 3 και πεπερασμένους μετασχηματισμούς X 1 3, X sin x 3 + cot x cos x 3, X cos x 3 3 cot x sin x 3 Με άλγεβρα X 3 i 1, j [X i, X j ] X 1 i, j 3 X i 3, j 1 ds dx 1 + ϕx 1 dx + e x dx 3 και πεπερασμένους μετασχηματισμούς X 1 Κατηγορία D, X x 3 3, X 3 x 3 Με άλγεβρα X 1 i 1, j [X i, X j ] X 3 i, j 3 X i 3, j 1 Type IV + 1 ds dx 1 + e x 1 dx + x 1 dx dx 3 + x 1 + R dx 3 και πεπερασμένους μετασχηματισμούς e x x 3 X 1, X 3, X 3 1 + x + x 3 + x 3 3 Με άλγεβρα 0 i 1, j [X i, X j ] X 1 + X i, j 3 X 1 i 3, j 1 Type VI ds dx 1 + e x1 dx + he h+1x1 dx dx 3 + e hx1 dx 3 και πεπερασμένους μετασχηματισμούς X 1, X 3, X 3 1 + x + hx 3 3 Με άλγεβρα 0 i 1, j [X i, X j ] hx i, j 3 X 1 i 3, j 1 Type VII 3 ds dx 1 + e hx1 n + cos ux 1 dx + h cos ux 1 + u sin ux 1 + hndx dx 3 + και πεπερασμένους μετασχηματισμούς X 1, X 3, X 3 1 + x 3 + x + hx 3 3 Με άλγεβρα 0 i 1, j [X i, X j ] X 1 + hx i, j 3 X i 3, j 1 u cos ux 1 + hu + n dx 3

38 9 Bianchi s Cosmologies Type VIII ds Q4 x 1 4! dx 1+Qx 1 dx + Qx 1 x Q x 1 x + Q x 1 { } Q x 1 4 Q x 1 1 + h x dx dx 3 + Q x 1 4 Qx 1 x dx 1 dx 3 και πεπερασμένους μετασχηματισμούς X 1 e x3 1 x e x3 x e x3 3, X Με άλγεβρα X 1 i 1, j [X i, X j ] X 3 + hx i, j 3 X i 3, j 1 3, X 3 h dx Q 3 x 1 1 +h dx 1 dx + Type IX e cosx 3 + f sinx 3 + a +d µ ν 1 cos x 1 b cos x 3 + c sin x 3 + sin x 1 e sinx 3 f cosx 3 µ 1, ν b cos x 3 + c sin x 3 µ 1, ν 3 g µν sinx 1 b sin x 3 c cos x 3 g 11 sin x 1 + a + d sin x 1 µ ν a cos x 1 + sin x 1 b sin x 3 c cos x 3 µ, ν 3 a µ ν 3 Κατηγορία E και πεπερασμένους μετασχηματισμούς X 1, X cos x 1 cot x 1 sin x X 3 sin x 1 cot x 1 cos x Με άλγεβρα X 3 i 1, j [X i, X j ] X 1 i, j 3 X i 3, j 1 Type II + + cos x sin x 1 3 ds dx 1 + dx + x 1 dx dx 3 + x 1 + 1dx 3 και πεπερασμένους μετασχηματισμούς X 1, X 3, X 3 1 + x 3, X 4 x 3 Με άλγεβρα 0 i 1, j X 1 i, j 3 0 i 3, j 1 [X i, X j ] 0 i 1, j 4 X 3 i, j 4 X i 3, j 4 Types [III,VIII] ds dx 1 + e x 1 dx + ne x 1 dx dx 3 + dx 3 και πεπερασμένους μετασχηματισμούς X 1, X Με άλγεβρα 3, X 3 1 x, X 4 x sin x sin x 1 3 1 1 + 1 + 1 x 1 x 3 x 1 3 e x 1 1 n x e x 1 1 n 3

3. Ταξινόμηση διαφόρων τύπων για ομάδα G 3 39 0 i 1, j 0 i, j 3 1 i 3, j 1 [X i, X j ] 3 i 1, j 4 0 i, j 4 X 4 i 3, j 4 Types IX Κατηγορία E ds dx 1 + sin x 1 + n cos x 1 dx + n cos x 1 dx dx 3 + dx 3 και πεπερασμένους μετασχηματισμούς X 1, X cos x 1 + cot x 1 sin x X 3 sin x 1 cot x 1 cos x Με άλγεβρα X 3 i 1, j X 1 i, j 3 i 3, j 1 [X i, X j ] 0 i 1, j 4 0 i, j 4 0 i 3, j 4 + n cos x sin x 1 Όλοι οι χώροι με σταθερή καμπυλότητα. + n sin x sin x 1 3, X 4 Έχοντας ταξινομίσει όλους τους πιθανούς χώρους που επιδέχονται συνεχείς ομάδες κινήσεων, απομένει μόνο να λέμε πως, δίνοντας μας την μετρική εξίσωση του χώρου μπορεί κανείς να διαπιστώσει κατά πόσον η ίδια παραδέχεται ένα χώρο με συνεχείς ομάδες κινήσεων, και αν ναι, πώς μπορούν να βρεθούν οι εξισώσεις που οδηγούν την μετρική εξίσωση να έχει μία από τις μορφές που έχουμε ταξινομίσει στον παραπάνω πίνακα. Για αυτόν τον σκοπό είναι αρκετό να ανακαλέσουμε τις εξισώσεις Killing, 3., ως εξισώσεις ορισμού της ομάδας. Με μόνο αλγεβρικές πράξεις και διαφορήσεις μπορεί κανείς να αξιολογήσει τον αριθμό των παραμέτρων της ομάδας και να αποφασίσει για την μεταβατικότητα ή μη αυτής, ούτως ώστε να βλέπει κανείς άμεσα σε ποια από τις δοσμένες κατηγορίες ανήκει ο χώρος. Η ολοκλήρωση των εξισώσεων 3. τότε μας δίνει την ακριβή μορφή των πεπερασμένων μετασχηματισμών της ομάδας και αυτό κάνει εμφανή την άλγεβρα σε εμάς, αφού κανείς αποφασίσει άμεσα σε ποιόν τύπο στην κατηγορία που ο χώρος ανήκει δεδομένου μπορεί εύκολα να βρει στον πίνακα μία και μόνο μία ομάδα η οποία προσφέρει την ίδια ή ισοδύναμη άλγεβρα. Τότε κανείς προσπαθεί να ταυτοποιήσει τις δύο ομάδες δηλαδή να εκχωρήσει τις τιμές των σταθερών οι οποίες εισέρχονται στην ομάδα της κανονικής μορφής και να υπολογίσει τις εξισώσεις των μετασχηματισμών. Από τον παραπάνω πίνακα παρατηρούμε ότι η τύπου IX μετρική υπακούσει σε άλγεβρα SO3 η οποία είναι χρήσιμη στην φυσική. Λόγω αυτής της ιδιότητας η εν λόγω μετρική παρουσιάζει μεγάλο ενδιαφέρον και θα γίνει ανάπτυξη αυτής σε ADM φορμαλισμό και όπως θα γίνει παρακάτω γνωστό διάφορα ενδιαφέροντα φαινόμενα λαμβάνουν χώρα για αυτή. 3 3

40 9 Bianchi s Cosmologies 3.. 9 η Κοσμολογία του Bianchi Η 9 η Κοσμολογία του Bianchi προκύπτει από την παρακάτω μετρική η οποία είναι γραμμένη σε όρους πρώτων μορφών, σε σφαιρικές συντεταγμένες, και έχει διανύσματα Killing που προκύπτουν από τις παρακάτω σχέσεις. sin ψdθ + sin θ cos ψdϕ g µν δ µν σ µ σ ν Με σ µ + cos ψdθ + sin θ sin ψdϕ + cos θdϕ + dψ 3.49 ds dt + dθ + dϕ + dψ + cos θdϕdψ 3.50 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 g µν 0 1 0 0 0 0 1 cos θ 0 1 0 0 0 0 1 0 + 0 0 0 0 0 0 0 cos θ η µν + h µν x 0 0 cos θ 1 0 0 0 1 0 0 cos θ 0 Γ ρ µν 1 gρτ µ g ντ + ν g τµ τ g µν 1 gρτ µ h ντ + ν h τµ τ h µν 0 ρ t, µ, ν, ρ θ, µ, ν ϕ, ψ, ρϕ, µ, ν θ, ϕ; θ, ψ, ρ ψ, µ, ν θ, ϕ; θ, ψ Γ ρ + 1 µν sin θ ρ θ, µ, ν θ, ψ, ρ ϕ, µ, ν θ, ψ, ρ ψ, µ, ν θ, ψ 1 sin θ ρ ψ, µ, ν θ, ϕ + 1 cot θ ρ ϕ, µ, ν θ, ϕ i ξ i 0 i θ, ϕ, ψ L ξ g µν µ ξ ν + ν ξ µ Γ τ θ ξ ϕ + ϕ ξ θ cot θξ ϕ + sin θξ ψ 0 µ θ, ν ϕ µνξ τ 0 θ ξ ψ + ψ ξ θ sin θξ ϕ sin θξ ψ 0 µ θ, ν ψ ϕ ξ ψ + ψ ξ ϕ sin θξ θ 0 µ ϕ, ν ψ ξ θ ϕ & ξ ϕ cos ϕ θ cot θ sin ϕ ϕ + sin ϕ sin θ ψ & ξ ψ sin ϕ θ cot θ cos ϕ ϕ + cos ϕ sin θ ψ Αφού βρήκαμε τα διανύσμτα Killing θα εξαγάγουμε την άλγεβρα που ικανοποιούν μέσω τον μεταθετικών σχέσεων που δίνονται παρακάτω. [ [ξ θ, ξ ϕ ] ϕ, cos ϕ θ cot θ sin ϕ ϕ + sin ϕ ] sin θ ψ [ [ ϕ, cos ϕ θ ] [ ϕ, cot θ sin ϕ ϕ ] + ϕ, sin ϕ ] sin θ ψ ϕ cos ϕ θ cos ϕ θ ϕ ϕ cot θ sin ϕ ϕ + cot θ sin ϕ ϕ ϕ + ϕ sin ϕ sin θ ψ sin ϕ θ cot θ cos ϕ ϕ + cos ϕ sin θ ψ ξ ψ sin ϕ sin θ ψ ϕ

3. Ταξινόμηση διαφόρων τύπων για ομάδα G 3 41 [ [ξ ϕ, ξ ψ ] cos ϕ θ cot θ sin ϕ ϕ + sin ϕ sin θ ψ, sin ϕ θ cot θ cos ϕ ϕ + cos ϕ ] sin θ ψ [ [cos ϕ θ, sin ϕ θ ] [cos ϕ θ, cot θ cos ϕ ϕ ] + cos ϕ θ, cos ϕ ] sin θ ψ [ + [cot θ sin ϕ ϕ, sin ϕ θ ] + [cot θ sin ϕ ϕ, cot θ cos ϕ ϕ ] cot θ sin ϕ ϕ, cos ϕ ] sin θ ψ [ ] [ ] [ sin ϕ sin ϕ sin ϕ sin θ ψ, sin ϕ θ sin θ ψ, cot θ cos ϕ ϕ + sin θ ψ, cos ϕ ] sin θ ψ cos ϕ cos ϕ θ cot θ cos ϕ ϕ + cot θ cos ϕ ϕ cos ϕ θ + cos ϕ θ sin θ ψ cos ϕ sin θ ψcos ϕ θ [ξ ψ, ξ θ ] + cot θ sin ϕ ϕ sin ϕ θ sin ϕ θ cot θ sin ϕ ϕ + cot θ sin ϕ ϕ cot θ cos ϕ ϕ + sin ϕ sin θ ψ cot θ cos ϕ ϕ cos ϕ cot θ cos ϕ ϕ cot θ sin ϕ ϕ cot θ sin ϕ ϕ sin θ ψ sin ϕ sin θ ψ sin ϕ θ + sin ϕ θ sin ϕ sin θ ψ sin ϕ sin θ ψcot θ cos ϕ ϕ + cot θ cos ϕ ϕ cos ϕ sin θ ϕ cot θ cos ϕ sin ϕ θ + cot θ sin ϕ sin θ ψ cos ϕ cos θ sin θ ψ + cot θ sin ϕ cos ϕ θ + sin ϕ sin ϕ θ ϕ cot θ sin ϕ ϕ cot θ cos ϕ ϕ sin ϕ cos θ sin θ ψ + cot θ cos ϕ sin θ ψ cos ϕ sin θ + sin ϕ sin θ cot θ sin ϕ cot θ cos ϕ ϕ cos ϕ cos θ sin θ sin ϕ cos θ sin θ + cot θ sin ϕ sin θ + cot θ cos ϕ sin θ ] + [ sin ϕ θ cot θ cos ϕ ϕ + cos ϕ sin θ ψ, ϕ sin ϕ θ ϕ + ϕ sin ϕ θ cot θ cos ϕ ϕ ϕ + ϕ cot θ cos ϕ ϕ + cos ϕ sin θ ψ ϕ ϕ cos ϕ θ cot θ sin ϕ ϕ + sin ϕ sin θ ψ ξ ϕ [ξ i, ξ j ] ϵ ijk ξ k, ξ SO3 sin ϕ sin θ ψ ψ 1 cos θ sin ϕ ϕ ξ θ θ [ ] cos ϕ [sin ϕ θ, ϕ ] [cot θ cos ϕ ϕ, ϕ ] + sin θ ψ, ϕ cos ϕ sin θ ψ 3.51 Τα διανύσματα Killing ικανοποιούν την άλγεβρα των στροφών στον τρισδιάστατο χώρο, αυτός ήταν και ο λόγος επιλογής αυτής της γεωμετρίας. Η περιγραφή μίας πολλαπλότητας M με ομάδα συμμετρίας G γίνεται απλούστερη όταν χρησιμοποιήσουμε μία αναλλοίωτη βάση. Τα στοιχεία αυτής της βάσης είναι διανυσματικά πεδία X µ, το καθένα είναι αναλλοίωτο κάτω από την δράση της G. Οπότε αυτά τα διανυσματικά πεδία ικανοποιούν την εξίσωση Killing για κάθε ένα από τα διανύσματα Killing έτσι έχουμε. [ξ i, X µ ] 0 Η αναλλοίωτη βάση είναι χρήσιμη διότι έχει πολλά πλεονεκτήματα τα οποία παραθέτω παρακάτω. Η μετρική ορίζεται μέσω των διανυσμάτων βάσης οπότε συνολικά η μετρική μένει αναλλοίωτη κάτω από την δράση της ομάδας G, αφού κάθε ένα από αυτά παραμένει αναλλοίωτο. Έτσι λοιπόν η μετρική είναι σταθερή σε κάθε ομοιογενή υπόχωρο ο οποίος παράγεται από την συγκεκριμένη ομάδα. Οι συντελεστές δομής είναι σταθερές για κάθε ομοιογενή υπερεπιφάνεια και ορίζονται από τις σχέσεις [X µ, X ν ] D ρ µνx ρ. Δεν μπορεί κάθε αυθαίρετη ομάδα να χρησιμοποιηθεί για να περιγράψει κάθε n διάστατη πολλαπλότητα. Ωστόσο αν G είναι μία ομάδα συμμετρίας για την πολλαπλότητα M μπορούμε να πούμε ότι μία αναλλοίωτη βάση μπορεί να βρεθεί

4 9 Bianchi s Cosmologies Τώρα από τις σχέσεις μετάθεσης θα προσδιορίσουμε τα διανύσματα της αναλλοίωτης βάσης. [ξ 1, X 1 ] [ ϕ, a 1 θ + b 1 ϕ + c 1 ψ ] 0 ϕ a 1 θ + ϕ b 1 ϕ + ϕ c 1 ψ a 1 θ ϕ b 1 ϕ ϕ c 1 ψ ϕ ϕ a 1 θ + ϕ b 1 ϕ + ϕ c 1 ψ [ξ 1, X ] [ ϕ, a θ + b ϕ + c ψ ] 0 ϕ a θ + ϕ b ϕ + ϕ c ψ a θ ϕ b ϕ ϕ c ψ ϕ ϕ a θ + ϕ b ϕ + ϕ c ψ [ξ 1, X 3 ] [ ϕ, a 3 θ + b 3 ϕ + c 3 ψ ] 0 ϕ a 3 θ + ϕ b 3 ϕ + ϕ c 3 ψ a 3 θ ϕ b 3 ϕ ϕ c 3 ψ ϕ ϕ a 3 θ + ϕ b 3 ϕ + ϕ c 3 ψ a i f i θ, ψ, b i g i θ, ψ, c i h i θ, ψ [ξ, X i ] [cos ϕ θ cot θ sin ϕ ϕ + sin ϕ sin θ ψ, a i θ + b i ϕ + c i ψ ] 0 cos ϕ θ a i θ + cos ϕ θ b i ϕ + cos ϕ θ b i ϕ cot θ sin ϕa i ϕ θ cot θ sin ϕb i ϕ ϕ cot θ sin ϕc i ϕ ψ + sin ϕ sin θ ψa i θ + sin ϕ sin θ ψb i ϕ + sin ϕ sin θ ψc i ψ sin ϕ a i cos ϕ θ θ + sin ϕa i θ cot θ ϕ a i θ sin θ ψ b i ϕ cos ϕ θ + b i cot θ ϕ sin ϕ ϕ sin ϕ + b i ϕ sin θ ψ cos ϕ ψ θ cot θ sin ϕ ψ ϕ + sin ϕ sin θ ψ ψ cos ϕ θ a i θ + cos ϕ θ b i ϕ + cos ϕ θ c i ψ + sin ϕ sin θ ψa i θ + sin ϕ sin θ ψb i ϕ + sin ϕ sin θ ψc i ψ a i sin ϕ sin i x ϕ b i cos ϕ sin θ ψ + b i sin ϕ θ + b i cot θ cos ϕ ϕ + b i cos ϕ sin θ ψ 0 [ξ 3, X i ] [ sin ϕ θ cot θ cos ϕ ϕ + cos ϕ sin θ ψ, a i θ + b i ϕ + c i ψ ] 0 sin ϕ θ a i θ sin ϕ θ b i ϕ sin ϕ θ b i ϕ cot θ cos ϕa i ϕ θ cot θ cos ϕb i ϕ ϕ cot θ cos ϕc i ϕ ψ + cos ϕ sin θ ψa i θ + cos ϕ sin θ ψb i ϕ + cos ϕ sin θ ψc i ψ sin ϕ a i cos ϕ θ θ + sin ϕa i θ cot θ ϕ a i θ sin θ ψ b i ϕ cos ϕ θ + b i cot θ ϕ sin ϕ ϕ sin ϕ + b i ϕ sin θ ψ cos ϕ ψ θ cot θ sin ϕ ψ ϕ + sin ϕ sin θ ψ ψ sin ϕ θ a i θ sin ϕ θ b i ϕ sin ϕ θ c i ψ cos ϕ sin θ ψa i θ cos ϕ sin θ ψb i ϕ cos ϕ sin θ ψc i ψ a i cos ϕ sin i x ϕ b i cos ϕ sin θ ψ + b i sin ϕ θ + b i cot θ cos ϕ ϕ + b i cos ϕ sin θ ψ 0 cos ϕ θ a i + sin ϕ sin θ ψa i + b i sin ϕ 0 cos ϕ θ b i + sin ϕ sin θ ψb i a i sin ϕ cos ϕ cos θ sin θ + bi sin θ 0 cos ϕ θ c i + sin ϕ sin θ ψc i a i cos ϕ cos ϕ sin θ + bi sin θ 0 a 1 sin ψ a cos ψ a 3 0 b 1 cos ψ sin θ b sin ψ sin θ b 3 0 c 1 cot θ cos ψ c cot θ sin ψ c 3 1 sin ψ θ + cos ψ sin θ ϕ cot θ cos ψ ψ µ 1 X µ cos ψ θ + sin ψ sin θ ϕ cot θ sin ψ ψ µ 3.5 ψ µ 3

3.3 Hamiltonian Φορμαλισμός ομογενών κοσμολογιών 43 3.3 Hamiltonian Φορμαλισμός ομογενών κοσμολογιών Η δράση που έχουμε για τον προσδιορισμό των εξισώσεων κίνησης είναι, 3.53. Στην δράση αυτή αναπαραμετρικοπιούμε τον χρόνο με τον όγκο του συστήματος ο οποίος θεωρούμε ότι μεταβάλλεται με τον χρόνο συνεχώς. Η επιλογή μας αυτή για τον όγκο, Ωt, είναι λογική εκ υποθέσεως ότι το σύμπαν διαστέλλεται συνεχώς [4, 14, 17]. Συνεπώς για προσδιορίσουμε τις εξισώσεις πρέπει να κάνουμε την διαφόριση της δράσης όπου θα προκύψουν οι εξισώσεις κίνησης ενός σωματιδίου. S 1 16π p mn ḣ mn d 4 x 3.53 σ 0 dt & σ i b ij ω j ds η µν σ µ σ ν σ 0 + σ 1 + σ + σ 3 h ij b ik b kj BB T Ω 1 6 ln det h ij 1 6 ln det b ikb kj 1 6 ln det b kj 1 3 ln det b ij det b ij e 3Ω e Ωt B e βijt det e Ωt B e 3Ω det b ij e 3Ω e 3Ω det e βijt e T r{βij} 1 T r{β ij } 0 Ωe Ω e β ij + e Ω deβ ij b ij t e Ωt e β ijt dσ i db ij dt dt ωj + b ij dω j dt dt ω j + b ij dω j Όπου έχουμε χωρίσει την μετρική σε δύο εκθετικές συναρτήσεις, οι έξι ανεξάρτητες παράμετροι δίνονται από τις συναρτήσεις b ij πέντε παράμετροι διότι ισχύει b ii 0 και μία η παράμετρος του όγκου Ω, οι οποίες είναι εύκολες στην μεταχείρισή τους. ds dt + R0e Ωt e βijt ω i ω j N + N m N m dω + N j dωω j + R0e Ω e βijω ω i ω j dg µν d 1 + dh ij + dh 0i dh ij d R0e Ω e β ik e β kj dωhij + R0e Ω de β ik e β kj + e β ik de β kj dωh ij + de βim e βmt e β tk e β kj R0e Ω + R0e Ω e β ik e β km e βtm de βtj dh ij dωh ij + de β ik e β kt h jt + h it e β tk de β 1 kj dωh ij + h jt dωh ij + h jt 1 {deβ, e β } it dωh ij + h jt d {eβ,e β } it p ij dh ij dωp i i + p i jd {eβ,e β } ij dωp + δ irp r kδ jk d {eβ,e β } ij de β ik e β kt + e β tk de β ki p ij dh ij dωp + e β ik p r ke βrj d {eβ,e β } ij S 1 p mn ḣ mn d 3 xdt 1 p mn dh mn d 3 x 1 e β ik p r 16π 16π 16π ke βrj d {eβ,e β } ij pdωd3 x Για διευκόλυνση των πράξεων μπορούμε να θέσουμε τον traceless τανυστή ορμής. Π i j π e β it p t re β rj δi j 3 pl l π h it p tj δi j Π i i π h it p ti δi i 6π H π p i i 3 6π H 0 Π ij Π ij π p ij h ij p 6π H ij hij 6π H π p ij p ij H 6π hij p ij H 6π h ijp ij + h ijh ij π p ij p ij H 6π H + 3 Π ij Π ij 4π p ij p ij 1 1π H 6π H 3 pl l 6π H π h it p tj δi j 6π H

44 9 Bianchi s Cosmologies Από την εξίσωση συνδέσμων,.7, για την Hamiltonian έχουμε. 4π p ij p ij Π ij Π ij + 1 3 H H 8π hr 3 + 8π p ij p ij H 8π hr 3 + Π ij Π ij + 13 H H 6Π ij Π ij 4π hr 3 3.54 Για την διαγωνοποίηση του πίνακα των θέσεων κάνουμε στροφή Euler [16], προς τον ένα άξονα, όπως βλέπουμε παρακάτω. Από αυτήν την διαγωνοποίηση θα βρούμε την σχέση διαφορικών ως προς τις θέσεις, β, και έτσι θα είμαστε θέση να τις εισάγουμε στο ολοκλήρωμα δράσης. de β de ϕk 3 e β D e ϕk 3 de ϕk 3 e β D e ϕk 3 + e ϕk 3 de β D e ϕk 3 + e ϕk 3 e β D de ϕk 3 e ϕk 3 k 3 e β D e ϕk 3 ϕ + e ϕk 3 de β D e ϕk 3 + e ϕk 3 e β D k 3 e ϕk 3 dϕ e ϕk3 [e β D, k 3 ]e ϕk3 + e ϕk3 de β D e ϕk3 Θέτουμε η e β D να παίρνει την παρακάτω διαγώνια μορφή καθώς επίσης παραμετρίζουμε τα β με έναν βολικό τρόπο που θα μας βοηθείσει παρακάτω να παραμετρίσουμε και τις συζυγείς ορμές με παρόμοιο τρόπο. Σαφώς η διαγώνια μορφή του πίνακα b πρέπει να υπακούει την συνθήκη b ii 0 όπως και γίνεται. e β 11 0 0 e β ++ 3β 0 0 0 1 0 e β D 0 e β 0 0 e β + 3β 0, k 3 1 0 0 0 0 e β 33 0 0 e β + 0 0 0 e β 11 0 0 0 1 0 0 1 0 e β 11 0 0 [e β D, k 3 ] 0 e β 0 1 0 0 1 0 0 0 e β 0 0 0 e β 33 0 0 0 0 0 0 0 0 e β 33 0 eβ 11 0 e β 0 0 0 eβ 0 e β11 0 0 e β + sinh 3β 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 [e β D, k 3 ]e β D e β+ sinh 0 1 0 e β + 3β 0 0 3β 1 0 0 0 e β ++ 3β 0 0 0 0 0 0 e β + e β + sinh 0 e β++ 3β 0 3β e β + 3β 0 0 0 0 0 e β D [e β D, k 3 ] e β + sinh e β+ 3β 0 0 3β 0 e β ++ 3β 0 0 1 0 1 0 0 0 0 e β+ 0 0 0 e β+ sinh 0 e β + 3β 0 3β e β ++ 3β 0 0 0 0 0

3.3 Hamiltonian Φορμαλισμός ομογενών κοσμολογιών 45 Αφού προσθέσουμε τις παραπάνω σχέσεις προκύπτει το πρώτο μέρος του διαφορικού ως προς β, τώρα μένει να υπολογίσουμε το διαφορικό του διαγώνιου κομματιού της e β ούτως ώστε προσθέτοντας τα να έχουμε όλο το διαφορικό. sinh 0 e 3β + e 3β 0 3β e 3β + e 3β 0 0 0 0 0 4 sinh 3β cosh 3β 0 1 0 1 0 0 sinh 3β T 0 0 0 de β D e β D e β D dβ + + eβd dβ e β βd D e β D dβ + + β D e β D dβ e β D β + β β + β 1 0 0 3 0 0 0 1 0 dβ + + 0 3 0 dβ 0 0 0 0 0 e β D de β D e β D e β D dβ + + eβd dβ e β D e β β D D dβ + + e β β D D dβ β + β β + β 1 0 0 3 0 0 0 1 0 dβ + + 0 3 0 dβ 0 0 0 0 0 d {eβ,e β } 1 de β ik e β ij kt + e β tk de β ki e ψk3 e ψk3 d {eβ,e β } ij e ϕk 3 [e β D, k 3 ]e β D + de β D e β D + e β D [e β D, k 3 ] + e β D de β D e ψk3 1 0 0 3 0 0 0 1 0 dβ + + 0 3 0 dβ + sinh 3β T e ψk 3 0 0 0 0 0 dβ + + 3dβ sinh 3β dϕ 0 sinh 3β dϕ dβ + 3dβ 0 e ϕk 3 3.55 0 0 dβ + Αφού έχουμε υπολογίσει το διαφορικό d {eβ,e β } θα γράψουμε το ολοκλήρωμα της δράσης παραμετρίζοντας τις συζυγείς ορμές ώστε να αντιστοιχούν στις συζυγείς θέσεις, β ij. Π ij d {e β,e β } ij Π11 d {e β,e β } 11 + Π1 d {e β,e β } 1 + 0 Π 13 d {e β,e β } 13 + Π1 d {e β,e β } 1 + Π d {e β,e β } + 0 0 0 Π 3 d {eβ,e β } + Π 31 d 3 {eβ,e β } + Π 3 d 31 {eβ,e β } + 3 Π33 d {eβ,e β } 33 Π 11 d {eβ,e β } + 11 Π1 d {eβ,e β } + 1 Π d {eβ,e β } + Π33 d {eβ,e β } 33 Π 11 dβ + 3dβ + Π 1 sinh 3β dϕ + Π dβ + + 3dβ Π 33 dβ + Π + dβ + + Π dβ + Π ϕ dϕ Π + Π 11 + Π Π 33, Π 3 Π Π 11, Π ϕ Π 1 sinh 3β Π ii 0 Π 11 + Π + Π 33 0

46 9 Bianchi s Cosmologies Από τις παραπάνω σχέσεις προκύπτει ο τανυστής των ορμών. 6Π ij e ϕk 3 Π + 3Π 3Π ϕ sinh 3β 3Π ϕ sinh 3β 0 Π + + 3Π 0 0 0 Π + e ϕk 3 3.56 Π ij Π ij Π11 Π 11 + Π 1 Π 1 + Π 13 Π 0 13 + Π 1 Π 1 + Π Π + Π 3 Π 0 3 + Π 31 Π 0 31 + Π 3 Π 0 3 + Π 33 Π 33 36 Π + 3Π + H Π + + Π + 3 Π ϕ sinh 3β + Π + + 3Π + 4Π + 36 3Π ϕ sinh 3β 4π hr 3 Π + + Π + 3Π ϕ sinh 3β 6 Τελικά καταλήγουμε σε μία σχέση για την Hamiltonian όπου έχουμε ότι η βαθμωτή καμπυλότητα Ricci της τριδιάστατης γεωμετρίας ορίζει το δυναμικό [17]. H Π + + Π + 3Π ϕ sinh 3β + e 4Ω V β +, β 1 Πιο συγκεκριμένα για την IX Κοσμολογία του Bianchi έχουμε οτι η Hamiltonian να δίνεται από τον παρακάτω τύπο. H Π + + Π + 3Π ϕ e sinh 3β + e 4Ω 4β+ cosh4 3β 1 4e β+ cosh 3β + e 8β+ 3 Για την περιγραφή της κίνησης στον χώρο θα χρησιμοποιήσουμε τις εξισώσεις κίνησης του Hamilton χωρίς συνδέσμους όπου έχουμε. β ± H Π ± Π ± H 3.57 ϕ H Π ϕ 3Π ϕ sinh 3β H Π ϕ β H 3.58 Π ϕ H ϕ 0 Π ϕ constant 3.59 Π i± H δ i β ± Π ϕ β 4Ω V + e β ± H δ i Π ϕ e 4Ω V 3.60 H β H β ± H Π + e 4Ω V 1 H β + e 4Ω V 1 H e 4Ω V 1 1 β ln H Ω 4Ω + lnv 1 ln1 β 4 + 1 V Ω V 1 Ω + β β + β+ + β β + ϕ ϕ β β i βi β β β β i βi β i β i Ω Πi Π H i H Π i Ω Ω H H Π i H β ln H i Ω β β β i Πi H β i βi ln H Ω β i Πi H ln H β Ω Π i Π i H β ln H Ω β β 1 β

3.3 Hamiltonian Φορμαλισμός ομογενών κοσμολογιών 47 ln H Ω 4 + 1 V V 1 Ω + Π i Π i H β ln H Ω 1 β V Ω V β + β + Ω + V β β Ω He4Ω Π+ β+ He 4Ω He 4Ω ln H Ω 41 β + Π + Π + H + Π Π H + 1 Π ϕ H Ω 1 β e 4Ω V 1 }{{} H 1 β Π + 1 Π ϕ β H β e 4Ω Π + + Π + Π ϕ Ω 1 Π e 4Ω Ω + 1 H Π Ω 4 β 1 3.61 για να έχουμε διατήρησή της ενέργειας πρέπει να υποθέσουμε ότι η 3.61 είναι ίση με μηδέν. Επίσης έχουμε για την κίνηση των τοιχωμάτων του δυναμικού να προκύπτει από την Hamiltonian η εξής προσεγγιστική σχέση από την οποία προκύπτει η ταχύτητα κίνησης των τοιχωμάτων, εφόσον ισχύει και η διατήρηση της ενέργειας, από την εν λόγω σχέση [17]. H Π + e 4Ω V 1 β + 0 Π H + H e 4Ω β + β W all Ω 1 8 ln3h β W all 1 1 8 1 3 e 8β + V 1 1 lnh Ω 1 β 1 3.6 Παρατηρούμε ότι αφού η Π ϕ constant και Π ϕ Π ϕ β έχουμε ένα επιπλέον κεντρικό δυναμικό έτσι θεωρώντας ϕ σταθερό, απαλείφουμε την ανομοιογένειά ως προς ϕ που δημιουργούσε το επιπλέον κεντρικό δυναμικό, και β έχουμε. β Π e 4Ω V e 4Ω e 8β + H β 6H β β Π + e 4Ω H Ḣ ± Ω 1 H β e 4Ω H 0 Π constant V e 4Ω e 8β + 4 β + 6H β + 3H e 8β + 4Ω Π + e 4Ω 1 V 1 ± Π + e 4Ω V 1 4Ω V e Ω Π + V 1e 4Ω Ω Ω 4 3 e 8β + V + e 4Ω Ω 3H e 8β + 4Ω e 4Ω 4V 1 H Π + e 4Ω V 1 Ω J 1 Π + + H constant 3.63 όπου έχουμε δύο διατηρήσιμες ποσότητες, J & Π άρα από την σχέση 3.61 ισχύει. Π H Π H sin θ i & Π + i H cos θ i & i Π H sin θ f & Π + f H cos θ f f

48 9 Bianchi s Cosmologies όπου από τις συνθήκες διατήρησης θα πάρουμε τους νόμους ανάκλασης. Π i Π f H i sin θ i H f sin θ f sin θ f sin θ i J i J f 1 H i cos θ i + H i 1 H f cos θ f + H f + cos θ f sin θ f 1 cos θ i cos θ i sin θ f sin θ i + 1 cos θ f sin θ i sin θ f sin θ i cos θ f sin θ i + cos θ i sin θ f sinθ i + θ f ϕθ i+θ f sin ϕ ϕ ψ ϕ + ψ sin sin ψθ i θ f ϕ ϕ ϕ ψ ψ ϕ ϕ ψ ϕ ψ sin cos sin cos sin cos sin cos cos sin θi +θ ϕ ψ sin f sin θ i θf θf cos + sin cos θ i sin sin θi θ sin f sin θ i θf θf cos sin cos θ i θf θi 1 cos θ f 1 cos θi tan 3 tan 3 cos θ f 4 + 5 cos θ i 1 + cos θ f 1 + cos θ i 5 4 cos θ i sin θ f sin θ i 1 + 1 cos θ f 1 1 cos θ i + 4+5 cos θi 5 4 cos θ i 6 3 cos θ i sin θ i sin θ f cos θ i 5 4 cos θ i cos θ i 3 sin θ i 3.64 5 4 cos θ i Σχήμα 3.1: Δυναμικό V β +, β Όπου καταλήγουμε στην σχέση 3.64 η οποία αποτελεί τον νόμο ανάκλασης στα τοιχώματα του δυναμικού. Όπως φαίνεται και από την 3.1 το δυναμικό είναι τριγωνικό και ένα σωματίδιο που υπόκειται σε αυτό είναι αναγκασμένο να προσκρούει στα τοιχώματα και να κάνει ανακλάσεις. Το πρόβλημα όμως αυτού του δυναμικού είναι ότι συνεχώς αυξάνει το μέγεθος του διότι τα τοιχώματα απομακρύνονται συνεχώς οπότε το σύστημα καταλήγει να έχει χαοτική συμπεριφορά όπως θα δούμε και παρακάτω. Σχήμα 3.: Mixmaster Chaos