Π Ι Θ Α Ν Ο Τ Η Τ Ε Σ

Π Ι Θ Α Ν Ο Τ Η Τ Ε Σ Π ι θ α ν ό τ η τ ε ς : Ο τομέας των Εφαρμοσμένων Μαθηματικών, που ασχολείται με την αξιολόγηση κατάλληλων στοιχείων έτσι ώστε να είναι μετρήσιμη η προσδοκία μας για την πραγματοποίηση ή όχι κάποιου τυχαίου γεγονότος. Δ ε ι γ μ α τ ι κ ό ς χ ώ ρ ο ς Ε ν δ ε χ ό μ ε ν α. 1. Αιτιοκρατικά πειράματα : πειράματα που εφόσον εκτελούνται υπό τις ίδιες συνθήκες, δίνουν πάντα το ίδιο αποτέλεσμα. π.χ. Θέρμανση απεσταγμένου νερού σε 100 C στην επιφάνεια της θάλασσας Σώμα πέφτει στο κενό υπό την επίδραση της βαρύτητας 2. Πειράματα τύχης (π.τ.) : κάθε πείραμα που δεν μπορούμε να προβλέψουμε το αποτέλεσμα μολονότι επαναλαμβάνεται κάτω από τις ίδιες συνθήκες. ( δηλαδή η έκβασή του εξαρτάται μόνο από τον παράγοντα τύχη. ) π.χ. Δειγματικός χώρος : Το σύνολο των δυνατών αποτελεσμάτων ενός πειράματος τύχης. ={ω 1, ω 2,, ω κ } όπου ω i : τα δυνατά αποτελέσματα. π.χ. εκτέλεση πέναλτυ. ρίψη ζαριού. Ενδεχόμενο του : Κάθε υποσύνολο του. Α π.χ. Ρίψη ζαριού. Α : το αποτέλεσμα περιττός αριθμός Β : το αποτέλεσμα αριθμός μικρότερος του 3 Απλό ενδεχόμενο : αν περιέχει μόνο ένα στοιχείο. Α={ω i } π.χ. Ρίψη ζαριού. Α : το αποτέλεσμα αριθμός μεγαλύτερος του 5 Σύνθετο ενδεχόμενο : αν περιέχει περισσότερα του ενός στοιχεία. Βέβαιο ενδεχόμενο : το. (πραγματοποιείται πάντα) Αδύνατο ενδεχόμενο : το ή { }. (δεν πραγματοποιείται ποτέ) π.χ. Ρίψη ζαριού. Α : το αποτέλεσμα αριθμός μικρότερος του 1 Το ενδεχόμενο Α πραγματοποιείται : όταν το αποτέλεσμα ω, του πειράματος ανήκει στο Α. Ν(Α) : το πλήθος των στοιχείων ενός ενδεχομένου Α. π.χ. Ν() =, αν Α απλό ενδεχόμενο Ν(Α)= 1

Παράδειγμα. Ρίψη ζαριού. Δειγματικός χώρος : Ενδεχόμενα του : Α : άρτια ένδειξη Β : περιττή ένδειξη Γ : ένδειξη άρτια που είναι και πρώτος αριθμός Δ : ένδειξη άρτια που είναι και πολλαπλάσιο του 7 Τότε Ν()=, Ν(Α)=, Ν(Β)=, Ν(Γ)=, Ν(Δ)= Αν το αποτέλεσμα της ρίψης είναι 3, πραγματοποιούνται τα ενδεχόμενα : δεν πραγματοποιούνται τα ενδεχόμενα : Υπάρχουν πολλές περιπτώσεις πειραμάτων τύχης που ο δ.χ. δεν είναι προφανής. Τότε, για τον προσδιορισμό του κατασκευάζουμε ένα δενδρόγραμμα ή έναν πίνακα διπλής εισόδου. π.χ.1 (Α 4) Ενα ξενοδοχείο προσφέρει γεύμα που αποτελείται από τρία πιάτα. Το κύριο πιάτο, το συνοδευτικό και το γλυκό. Οι δυνατές επιλογές δίνονται στον παρακάτω πίνακα : Γεύμα Κύριο πιάτο Συνοδευτικό Γλυκό Επιλογές Κοτόπουλο ή Φιλέτο Μακαρόνια ή Ρύζι ή Χόρτα Παγωτό ή Τούρτα ή Ζελέ Να βρείτε το δειγματικό χώρο του πειράματος. Υποσύνολο συνόλου : Α Β. Αν τα στοιχεία του συνόλου Α ανήκουν στο σύνολο Β. ΑΒ. η πραγματοποίηση του Α την πραγματοποίηση του Β. Αν ΑΒ και ΒΑ για κάθε σύνολο Α. για κάθε σύνολο Α. Β Α 2

ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ. π.χ. Ρίψη ζαριού. Α : το αποτέλεσμα είναι ζυγός αριθμός Β : το αποτέλεσμα είναι αριθμός μεγαλύτερος του 3 άρα 1. Τομή ενδεχομένων : ΑΒ ( Α τομή Β / Α και Β ) Είναι το σύνολο που αποτελείται από τα κοινά στοιχεία των Α και Β. Δηλαδή, ω є Α Β ω є Α κ αι ω є Β. Πραγματοποιείται όταν πραγματοποιούνται συγχρόνως τα Α, Β. στο π.χ. Σχόλια. Αν ΑΒ, τότε, όμοια αν ΒΑ, τότε Α=, Α= Αν Α Β= (δηλαδή τότε τα ενδεχόμενα Α και Β λέγονται ξένα ή ασυμβίβαστα μεταξύ τους. Στις ασκήσεις καταλαβαίνουμε ότι έχουμε τομή όταν υπάρχει η λέξη ΚΑΙ. 3

2. Ενωση ενδεχομένων : ΑUΒ ( Α ένωση Β / Α ή Β ) Είναι το σύνολο που αποτελείται από τα κοινά και τα μη κοινά στοιχεία των Α και Β. Δηλαδή, ωєαuβ ω є Α ή ω єβ. Πραγματοποιείται όταν πραγματοποιούνται ένα τουλάχιστον από τα Α, Β. στο π.χ. Σχόλια. Αν ΑΒ, τότε, όμοια αν ΒΑ, τότε ΑU =, ΑU= Στις ασκήσεις καταλαβαίνουμε ότι έχουμε ένωση ενδεχομένων όταν υπάρχει η λέξη Ή. 3. Συμπληρωματικό ενδεχόμενο του Α (ή αντίθετο) : Α ( όχι Α ) Είναι το σύνολο που αποτελείται από τα στοιχεία του που δεν ανήκουν στο Α. Δηλαδή, ωα ω Α. Πραγματοποιείται όταν δεν πραγματοποιείται το Α. στο π.χ. Σχόλια. ΑΑ = ΑUΑ = =, = Αν ΑΒ, τότε 4

4. Διαφορά ενδεχομένων : Α-Β Είναι το σύνολο που αποτελείται από τα στοιχεία του Α που δεν ανήκουν στο Β. Δηλαδή, ωα-β ω Α και ω Β. Πραγματοποιείται, όταν πραγματοποιείται μόνο το Α. στο π.χ. Σχόλια. Α-Β = Β-Α = (Α-Β)U(B-A) : το ενδεχόμενο όπου Aν Α και Β ξένα τότε Α-Β=, Β-Α= Εφαρμογές. Συμπληρωματικό ενδεχόμενο ένωσης : (AUB) Αποτελείται από τα στοιχεία του που δεν ανήκουν σε κανένα από τα Α και Β. Δηλαδή, ω(au B) ωα και ωβ. Αρα : (AUB) = 5

Συμπληρωματικό ενδεχόμενο τομής : (AB) Αποτελείται από τα στοιχεία του που δεν ανήκουν ταυτόχρονα στα Α και Β. Δηλαδή, ω(α B) ωα ή ω Β. πραγματοποιείται όταν δεν πραγματοποιούνται συγχρόνως τα Α και Β. Αρα : (AB) = Για τρία σύνολα. Α U ( B U Γ ) = Α (BΓ)= Προσεταιριστική ιδιότητα Α(BUΓ)= ΑU(BΓ)= Επιμεριστική ιδιότητα 6

3. 2. Η έ ν ν ο ι α τ η ς π ι θ α ν ό τ η τ α ς. Σε πείραμα τύχης, το αποτελέσμα δεν μπορεί να προβλεφθεί με βεβαιότητα. Μπορούμε όμως να βγάλουμε συμπέρασμα σχετικά με το πόσο πιθανό είναι κάποιο ενδεχόμενο, αν εξετάσουμε πόσο συχνά πραγματοποιείται όταν το πείραμα επαναλαμβάνεται πολλές φορές. Εστω πείραμα με δειγματικό χώρο (δ.χ.) και Α ένα ενδεχόμενο. Εκτελώ το πείραμα ν φορές και το ενδεχόμενο Α πραγματοποιείται ν Α φορές. Τότε : Σχετική συχνότητα του ενδεχομένου Α : π.χ. ρίχνω νόμισμα 10 φορές και 6 φορές εμφανίζεται Γράμματα Παρατηρήσεις : Δεν μπορεί να εμφανιστεί Γ περισσότερες φορές απ όσες έριξα το νόμισμα, δηλαδή Επίσης, f + f = Γ Κ Γενικά : Εστω ={ω 1, ω 2,,ω λ } και σε ν εκτελέσεις του πειράματος τα απλά ενδεχόμενα {ω 1 }, {ω 2 },,{ω λ } πραγματοποιούνται κ 1, κ 2,,κ λ φορές αντίστοιχα. Τότε : i) οι σχετικές συχνότητες των απλών ενδεχομένων {ω 1 }, {ω 2 },,{ω λ } είναι αντίστοιχα : ii) 0κ i ν iii) f 1 +f 2 +..+f λ = Σχόλιο. f ρ =0 : f μ =1 : 7

Νόμος των μεγάλων αριθμών ή στατιστική ομαλότητα. Οταν ο αριθμός των δοκιμών του πειράματος επαναλαμβάνεται απεριόριστα, οι σχετικές συχνότητες πραγματοποιήσης των ενδεχομένων του πειράματος σταθεροποιούνται γύρω από κάποιους αριθμούς, οι οποίοι ονομάζονται πιθανότητα των αντίστοιχων ενδεχομένων. P(A) : η πιθανότητα του ενδεχομένου Α. (αριθμός ή ποσοστό) ( δηλαδή, (Μη χρήσιμη σχέση. Στις εφαρμογές χρησιμοποιούμε ορισμούς που θα δούμε παρακάτω.) π.χ. στο νόμισμα : Περιπτώσεις : 1. Ισοπίθανα ενδεχόμενα Κλασσικός ορισμός πιθανότητας. Θα λέμε ότι τα στοιχειώδη ενδεχόμενα του δ.χ. ={ω 1, ω 2,,ω κ } είναι ισοπίθανα όταν έχουν όλα την ίδια δυνατότητα να επιλεγούν, δηλαδή όταν οι πιθανότητές τους είναι ίσες. (κανένα δεν ευνοείται σε σχέση με το άλλο.) π.χ.1 στο νόμισμα περιμένουμε Κ ή Γ με την ίδια αβεβαιότητα. π.χ.2 αμερόληπτο ζάρι. P(1)=P(2)= =P(6)= Σε κάθε πείραμα τύχης με πεπερασμένο δ.χ. και ισοπίθανα αποτελέσματα, οι πιθανότητες όλων των απλών ενδεχομένων είναι ίσες με π.χ. Τράπουλα. Ρ(κάθε φύλλου)= Ρ(σπαθί)= Κλασσικός ορισμός πιθανότητας. Εστω ο δ.χ. ={ω 1, ω 2,,ω ν },με πεπερασμένο πλήθος στοιχείων, που αποτελείται από ισοπίθανα ενδεχόμενα και Α={ω 1, ω 2,,ω κ } ένα ενδεχόμενο του. (κν) Ονομάζουμε πιθανότητα του ενδεχομένου Α, Ρ(Α), το πηλίκο του πλήθους των ευνοïκών περιπτώσεων για το Α δια του πλήθους των δυνατών περιπτώσεων. δηλαδή, πλήθος ευνοïκών περιπτώσεων P(A) = = πλήθος δυνατών περιπτώσεων 8

Παρατηρήσεις i) Ρ()=, Ρ()= ii) Για κάθε ενδεχόμενο Α ισχύει : ( απ. 2. Μη ισοπίθανα ενδεχόμενα. Εστω ο δ.χ. ={ω 1, ω 2,,ω ν }, με πεπερασμένο πλήθος στοιχείων, όπου τα στοιχειώδη ενδεχόμενα δεν είναι κατ ανάγκη ισοπίθανα. Τότε, για να υπολογίσουμε την πιθανότητα ενός ενδεχομένου Α, αρκεί να προσθέσουμε τις πιθανότητες των στοιχειωδών ενδεχομένων που υπάρχουν στο Α. δηλαδή, αν Α={ω 1, ω 2,,ω κ } τότε Αξιωματικός ορισμός πιθανότητας. Εστω ={ω 1, ω 2,,ω ν } ένας δειγματικός χώρος με πεπερασμένο πλήθος στοιχείων. Σε κάθε απλό ενδεχόμενο {ω i } αντιστοιχίζουμε έναν πραγματικό αριθμό P(ω i ) με τις παρακάτω ιδιότητες : 0 P(ω i ) 1. ν Pω Pω Pω... Pω 1 i1 i 1 2 ν, όπου Ρ(ω i ) : η πιθανότητα του ενδεχομένου {ω i } Αν Α={ω 1, ω 2,,ω κ } ένα ενδεχόμενο του (Α), τότε ορίζουμε σαν πιθανότητα του ενδεχομένου Α, Ρ(Α), το άθροισμα των πιθανοτήτων των στοιχειωδών ενδεχομένων του Α, δηλαδή Ρ(Α)= Ρ(ω 1 )+Ρ(ω 2 )+ +Ρ(ω κ ) και ορίζουμε σαν πιθανότητα του αδύνατου ενδεχομένου, τον αριθμό 0, δηλαδή Ρ()=0. Σχόλια. Αν ω 1 P i για κάθε i=1, 2,,ν, τότε έχουμε τον κλασικό ορισμό πιθανότητας. ν Σε άσκηση : ={ω 1, ω 2,,ω ν } Φράση : παίρνουμε τυχαία ενα στοιχείο του.. σημαίνει ότι τα {ω i } είναι ισοπίθανα. 9

ΚΑΝΟΝΕΣ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΤΝ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΝ (Ισχύουν πάντα, αποδείξεις μόνο για ισοπίθανα ενδεχόμενα.) 1. Απλός προσθετικός νόμος. Αν Α, Β ασυμβίβαστα ενδεχόμενα τότε : Ρ(ΑUΒ)=Ρ(Α)+Ρ(Β) απόδειξη Ο νόμος αυτός ισχύει και για περισσότερα ενδεχόμενα. π.χ. Αν Α, Β, Γ, Δ ανά δύο ενδεχόμενα ασυμβίβαστα, τότε : Ρ(ΑUΒUΓUΔ)=Ρ(Α)+Ρ(Β)+Ρ(Γ)+Ρ(Δ) 2. Νόμος των συμπληρωματικών ενδεχομένων. Ρ(Α )=1-Ρ(Α) απόδειξη 3. Προσθετικός νόμος. Για δύο οποιαδήποτε ενδεχόμενα ενός δ.χ. ισχύει : Ρ(ΑUΒ)=Ρ(Α)+Ρ(Β)-Ρ(ΑΒ) απόδειξη 10

4. Νόμος των υποσυνόλων. Αν Α, Β ενδεχόμενα του,τότε ισχύει : Αν Α Β τότε Ρ(Α)Ρ(Β) απόδειξη 5. Νόμος των διαφορών. Αν Α, Β ενδεχόμενα του,τότε ισχύει : Ρ(Α-Β)= Ρ(Α)-Ρ(ΑΒ) Ρ(Β-Α)= Ρ(Β)-Ρ(ΑΒ) απόδειξη Σχόλια Εφαρμογές. Φράσεις σε ασκήσεις. τουλάχιστον ένα από τα Α και Β ταυτόχρονα Α και Β κανένα από τα Α και Β μόνο ένα από τα Α και Β μόνο το Α Προσοχή!! N A Ο τύπος PA ισχύει ΜΟΝΟ όταν τα στοιχειώδη ενδεχόμενα του είναι ισοπίθανα. N Σε άλλη περίπτωση, οι ζητούμενες πιθανότητες υπολογίζονται από σχέσεις που δίνονται στην άσκηση. Πολύ σημαντικά τα διαγράμματα Venn. 11

Αν Α=Β τότε Ρ(Α)=Ρ(Β) το αντίστροφο δεν ισχύει πάντα, δηλαδή Ρ(Α)=Ρ(Β) Α=Β όμως αν Ρ(Α) Ρ(Β) τότε σίγουρα Α Β όπως και πριν, το αντίστροφο δεν ισχύει, δηλαδή αν Α Β Ρ(Α) Ρ(Β) Αν Α, Β ενδεχόμενα τέτοια ώστε : Ρ(Α)+Ρ(Β)=1, δεν σημαίνει ότι τα Α και Β είναι ασυμβίβαστα. ΑΒΑ και ΑΒΒ. Οπότε : Ρ(ΑΒ) Ρ(Α) και Ρ(ΑΒ) Ρ(Β). επίσης ΑΑUB και ΒAUΒ. Οπότε : Ρ(Α) Ρ(ΑUB) και Ρ(Β) Ρ(AUΒ). Ρ(Α) Ρ(Β) δεν σημαίνει κατ ανάγκη ότι ΑB. 12