Κεφάλαιο 7 Βάσεις και ιάσταση

Κεφάλαιο 7: Βάσεις και ιάσταση Σελίδα από 9 Κεφάλαιο 7 Βάσεις και ιάσταση n Στο Κεφάλαιο 5 είδαµε την έννοια της βάσης στο και στο Κεφάλαιο 6 µελετήσαµε διανυσµατικούς χώρους. Στο παρόν κεφάλαιο θα ασχοληθούµε βάσεις σε τυχαίους πεπερασµένα παραγόµενους διανυσµατικούς χώρους. Το κύριο θεωρητικό αποτέλεσµα είναι ότι κάθε δυο βάσεις ενός πεπερασµένα παραγόµενου διανυσµατικού χώρου έχουν το ίδιο πλήθος στοιχείων. Το πλήθος αυτό ονοµάζεται διάσταση του διανυσµατικού χώρου. Θα µελετήσουµε πολλά σχετικά παραδείγµατα και στη συνέχεια θα δούµε την έννοια της τάξης πίνακα και µια σηµαντική εφαρµογή στα γραµµικά συστήµατα. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ... ΒΑΣΕΙΣ... Ορισµός (γραµµικά ανεξάρτητα στοιχεία)... Παραδείγµατα... Ορισµός Α... Ορισµός (βάση)... Παραδείγµατα... Ορισµός (διάσταση)...5 Παραδείγµατα...5 ΤΑΞΗ ΠΙΝΑΚΑ...5 Ορισµός (χώρος γραµµών, χώρος στηλών, τάξη)...5 Παράδειγµα...5 ΘΕΜΕΛΙΩ ΕΙΣ ΓΝΩΣΕΙΣ...6 ΒΑΣΕΙΣ...6 Θεώρηµα (µέγιστο πλήθος γραµµικώς ανεξάρτητων στοιχείων)...6 Θεώρηµα (πληθάριθµος βάσης)...6 Θεώρηµα (επέκταση γραµµικώς ανεξάρτητου συνόλου σε βάση)...6 Παράδειγµα...6 Πρόταση...7 Θεώρηµα 5 (διαστάσεις υποχώρων)...7 Θεώρηµα 6 (διάσταση αθροίσµατος υποχώρων)...7 Παράδειγµα...7 ΤΑΞΗ ΠΙΝΑΚΑ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ...8 Πρόταση 7...8 Παράδειγµα...8 Θεώρηµα 8 (κριτήριο συµβιβαστού γραµµικού συστήµατος)...9 Παράδειγµα...9 Θεώρηµα 9 (διάσταση λύσεων οµογενούς γραµµικού συστήµατος)... Παράδειγµα... ΧΩΡΟΙ ΜΕ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ... Θεώρηµα (ύπαρξη ορθοκανονικών βάσεων)... Παράδειγµα... ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ... Άσκηση... Άσκηση... Άσκηση... Άσκηση...5

Κεφάλαιο 7: Βάσεις και ιάσταση Σελίδα από 9 Άσκηση 5...5 Άσκηση 6...7 Άσκηση 7...7 Άσκηση 8...8 Άσκηση 9...9 Άσκηση... Άσκηση... Άσκηση... Άσκηση... Άσκηση... Άσκηση 5... Άσκηση 6... Άσκηση 7...5 ΑΣΚΗΣΕΙΣ...6 Άσκηση...6 Άσκηση...6 Άσκηση...6 Άσκηση...6 Άσκηση 5...7 Άσκηση 6...7 Άσκηση 7...7 Άσκηση 8...7 Άσκηση 9...8 Άσκηση...8 Άσκηση...8 Άσκηση...8 Άσκηση...9 Άσκηση...9 Άσκηση 5...9 Στα παρακάτω, µε V θα συµβολίζουµε ένα ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ F διανυσµατικό χώρο. ΒΑΣΕΙΣ Ορισµός (γραµµικά ανεξάρτητα στοιχεία) Έστω v,..., v. m V Τα στοιχεία αυτά λέγονται γραµµικά ανεξάρτητα πάνω από το F αν από τη σχέση av +... + amvm=, όπου a,..., am F, έπεται ότι a =... = a m =. Σε διαφορετική περίπτωση θα λέµε ότι τα το F. v,..., vm είναι γραµµικά εξαρτηµένα πάνω από Παραδείγµατα. Στο δ.χ. τα a. ( ) v =,,, v = (,,), v = (,,) είναι γραµµικά ανεξάρτητα γιατί

Κεφάλαιο 7: Βάσεις και ιάσταση Σελίδα από 9 av + av + av = a (,,) + a (,,) + a (,,) = (,,) a+ a + a = a = a+ a = a = a = a = b. (,,),(,,),(5,5,) είναι γραµµικά εξαρτηµένα γιατί. Στο δ.χ. F : (,,) + (,, ) (5,5, ) = (,, ). M ( ) a. Τα στοιχεία v =, v =, v =, v =, v5 =, v6 = είναι γραµµικά ανεξάρτητα γιατί av +... + av = b. Τα στοιχεία εξαρτηµένα γιατί 6 6 a a a = a a5 a 6 a =... = a =. 6 7 6,, είναι γραµµικά 7 6 + + =.. Τα στοιχεία,i του είναι γραµµικά ανεξάρτητα υπεράνω του αφού a+ bi =, a, b a= b=, αλλά είναι γραµµικά εξαρτηµένα υπεράνω του αφού i + ( ) i=.. Αν κάποιο από τα v,..., vm είναι το µηδενικό στοιχείο, τότε αυτά είναι γραµµικά εξαρτηµένα. Πράγµατι αν συνδυασµό v+ v +... + v m =. v =, τότε έχουµε το γραµµικό Ορισµός Α Επειδή θέλουµε να επεκτείνουµε την έννοια της γραµµικής ανεξαρτησίας σε άπειρα σύνολα δίνουµε τους εξής ορισµούς.

Κεφάλαιο 7: Βάσεις και ιάσταση Σελίδα από 9 Ένα πεπερασµένο υποσύνολο { v,..., v m} του V λέγεται γραµµικά ανεξάρτητο αν τα στοιχεία v,..., vm είναι γραµµικά ανεξάρτητα. Ένα άπειρο υποσύνολο του V λέγεται γραµµικά ανεξάρτητο αν κάθε πεπερασµένο µη κενό υποσύνολό του είναι γραµµικά ανεξάρτητο. Ένα πεπερασµένο υποσύνολο { v,..., v m} του V λέγεται γραµµικά εξαρτηµένο αν τα στοιχεία v,..., vm είναι γραµµικά εξαρτηµένα. Ένα άπειρο υποσύνολο του V λέγεται γραµµικά εξαρτηµένο αν δεν είναι γραµµικά ανεξάρτητο. ηλαδή αν υπάρχει πεπερασµένο µη κενό υποσύνολο που είναι γραµµικά εξαρτηµένο. εχόµαστε ότι το κενό σύνολο είναι γραµµικά ανεξάρτητο. Ορισµός (βάση) Μια βάση του F δ.χ. V είναι ένα σύνολο στοιχείων του V που είναι γραµµικά ανεξάρτητο πάνω από το F και παράγει το V πάνω από το F. Σηµείωση Σύµφωνα µε τον προηγούµενο ορισµό ενδέχεται να έχουµε άπειρες βάσεις. Πράγµατι µια βάση του δ.χ. [ x] των πραγµατικών πολυωνύµων είναι ο σύνολο {, xx,,...}. Όµως εδώ θα µας απασχολήσουν αποκλειστικά οι δ.χ. που έχουν πεπερασµένες βάσεις. Παραδείγµατα n. Μια βάση του είναι η συνήθης βάση { } e = (,,...,),..., e n = (,,...,). ( ) e,...,, en όπου. Μια βάση του αποτελείται από τα στοιχεία M E =, E =, E =, E =, E =, E =. M n m( F ) { Eij i n, j m}. Μια βάση του είναι το σύνολο όπου σε κάθε θέση του n m πίνακα E υπάρχει το εκτός από τη θέση ( i, j) όπου υπάρχει το. ij

Κεφάλαιο 7: Βάσεις και ιάσταση Σελίδα 5 από 9. Μια βάση του [ x ] είναι το n n {,,,..., } x x x. Ορισµός (διάσταση) Έστω V ένας πεπερασµένα παραγόµενος F δ.χ.. Αποδεικνύεται ότι ο V έχει βάση και κάθε βάση του V έχει το ίδιο πλήθος στοιχείων. Ο αριθµός αυτός λέγεται η διάσταση του V και συµβολίζεται µε dim F V ή απλά dim V. Παραδείγµατα Σχετικά µε τα προηγούµενα παραδείγµατα έχουµε ( ) ( ) n dim = n, dim M = 6, dim M = nm, dim [ x] = n+. n m Στο θεωρούµε τον υπόχωρο (,,),(,,). Επειδή µια βάση αυτού είναι το {(,, ) } έχουµε dim (,,),(,,) =. n ΤΑΞΗ ΠΙΝΑΚΑ Ορισµός (χώρος γραµµών, χώρος στηλών, τάξη) Έστω A M ( F). n m m Κάθε γραµµή του Α είναι ένα στοιχείο του F. Ο χώρος γραµµών του Α είναι m ο υπόχωρος του F που παράγουν οι γραµµές του Α και συµβολίζεται µε R( A. ) Η τάξη γραµµών του Α είναι ο ακέραιος dim F R( A). n Κάθε στήλη του Α είναι ένα στοιχείο του F. Ο χώρος στηλών του Α είναι ο n υπόχωρος του F που παράγουν οι στήλες του Α και συµβολίζεται µε C( A). Η τάξη στηλών του Α είναι ο ακέραιος dim F C( A). Αποδεικνύεται ότι dim F R( A) = dim F C( A). O αριθµός αυτός ονοµάζεται η τάξη του πίνακα Α και συµβολίζεται µε r( A). Παράδειγµα Για τον πίνακα A = έχουµε ra= ( ), γιατί όπως είδαµε στο προηγούµενο παράδειγµα dim (,, ),(,, ) =.

Κεφάλαιο 7: Βάσεις και ιάσταση Σελίδα 6 από 9 ΘΕΜΕΛΙΩ ΕΙΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΒΑΣΕΙΣ Στο Κεφάλαιο 5, Θεώρηµα, είδαµε ότι κάθε γραµµικά ανεξάρτητο υποσύνολο του n έχει το πολύ n στοιχεία. Πιο γενικά έχουµε το εξής αποτέλεσµα. Θεώρηµα (µέγιστο πλήθος γραµµικώς ανεξάρτητων στοιχείων) Έστω V ένας δ.χ. που παράγεται από m στοιχεία, όπου m είναι ένας ακέραιος. Τότε κάθε γραµµικά ανεξάρτητο υποσύνολο του V είναι πεπερασµένο και έχει το πολύ m στοιχεία. Ξέρουµε ότι κάθε δυο βάσεις του το εξής. n έχουν το αυτό πλήθος στοιχείων. Γενικά ισχύει Θεώρηµα (πληθάριθµος βάσης) Έστω V ένας δ.χ.. Αν υπάρχει µια πεπερασµένη βάση του V που έχει n στοιχεία, τότε κάθε άλλη βάση του V έχει n στοιχεία. Θεώρηµα (επέκταση γραµµικώς ανεξάρτητου συνόλου σε βάση) Έστω V ένας πεπερασµένα παραγόµενος δ.χ. και S ένα γραµµικά ανεξάρτητο υποσύνολο του V. Τότε υπάρχει βάση του V που περιέχει το S. Από το προηγούµενο αποτέλεσµα συµπεραίνουµε ότι κάθε πεπερασµένα παραγόµενος διανυσµατικός χώρος έχει τουλάχιστον µια βάση. Παράδειγµα Εύκολα επαληθεύεται ότι τα (,,, ),(,,,),(,,,) είναι γραµµικά ανεξάρτητα στοιχεία του. Το σύνολο αυτών µπορεί να επεκταθεί σε µια βάση του µε την προσθήκη του (,,,). Πράγµατι, έχουµε Επισηµαίνουµε ότι το ίδιο συµπέρασµα αληθεύει για όλους τους δ.χ. αλλά εδώ θα ασχοληθούµε µε τους πεπερασµένα παραγόµενους δ.χ..

Κεφάλαιο 7: Βάσεις και ιάσταση Σελίδα 7 από 9 det =. Συνεπώς τα στοιχεία (,,, ),(,,,),(,,,),(,,,) αποτελούν µια βάση του σύµφωνα µε το Πόρισµα 5 του Κεφαλαίου 5. Το επόµενο αποτέλεσµα πεπερασµένα παραγόµενο διανυσµατικό χώρο. γενικεύει το Πόρισµα του Κεφαλαίου 5 σε τυχαίο Πρόταση Έστω V ένας δ.χ. µε dim V = n. Τότε. Aν ένα σύνολο { v,..., v n } µε n στοιχεία παράγει το V, τότε αυτό είναι βάση του V.. Aν ένα σύνολο { v,..., v n } µε n στοιχεία είναι γραµµικά ανεξάρτητο, τότε αυτό είναι βάση του V. Θεώρηµα 5 (διαστάσεις υποχώρων) Έστω V ένας δ.χ. µε dimv = n και U ένας υπόχωρος του V. Τότε. dimu dim V.. Αν dimu = n, τότε U = V. Θεώρηµα 6 (διάσταση αθροίσµατος υποχώρων) Έστω UW, δυο υπόχωροι ενός πεπερασµένα παραγόµενου διανυσµατικού χώρου. Τότε dim( U + W) = dimu + dimw dim U W. Παράδειγµα Έστω { U = a b } W = { a b } (,,), (,, ). Τότε µια βάση του U είναι το {(,,),(,,)} και άρα dimu =. Μια βάση του W είναι το {(,,),(,,)} και συνεπώς dimw =. Το U + W παράγεται από την ένωση των δυο προηγούµενων βάσεων η οποία τυχαίνει να είναι βάση του. Άρα U + W = και dim( U + W) = dim =. Από τη σχέση

Κεφάλαιο 7: Βάσεις και ιάσταση Σελίδα 8 από 9 έχουµε οπότε dimu W =. dim( U + W) = dimu + dimw dimu W = + dimu W, Γεωµετρικά, το U είναι το xy επίπεδο, το W είναι το xz επίπεδο και η τοµή τους είναι ο άξονας των x, όπως φαίνεται στο σχήµα. z W U W x y U ΤΑΞΗ ΠΙΝΑΚΑ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Πρόταση 7 Η τάξη ενός κλιµακωτού πίνακα είναι το πλήθος των µη µηδενικών γραµµών του. Γραµµοϊσοδύναµοι πίνακες έχουν τον ίδιο χώρο γραµµών. Γραµµοϊσοδύναµοι πίνακες έχουν την ίδια τάξη. Παράδειγµα 9 Η τάξη του A = 8 είναι ra= ( ) γιατί ο πίνακας είναι σε κλιµακωτή µορφή και υπάρχουν µη µηδενικές γραµµές. 9 Για να βρούµε την τάξη του B = 7 χρησιµοποιούµε στοιχειώδεις µετασχηµατισµούς γραµµών για να τον φέρουµε σε κλιµακωτή µορφή.

Κεφάλαιο 7: Βάσεις και ιάσταση Σελίδα 9 από 9 Αφαιρώντας την πρώτη γραµµή από τη δεύτερη βρίσκουµε τον rb ( ) = ra ( ) =. A. Άρα Τα επόµενα δυο αποτελέσµατα είναι ιδιαίτερα σηµαντικά. Θεώρηµα 8 (κριτήριο συµβιβαστού γραµµικού συστήµατος) Ένα γραµµικό σύστηµα έχει λύση αν και µόνο αν η τάξη του επαυξηµένου πίνακα του συστήµατος ισούται µε την τάξη του πίνακα των συντελεστών. Παράδειγµα Να βρεθούν οι τιµές του a για τις οποίες το επόµενο σύστηµα είναι συµβιβαστό x+ y+ z = x y+ z = x + y z = a x + y z = a Μετά από αρκετούς στοιχειώδεις µετασχηµατισµούς γραµµών, ο επαυξηµένος πίνακας a a του συστήµατος παίρνει τη µορφή B =. a + 7a + 6 Συµπεραίνουµε ότι η τάξη του πίνακα των συντελεστών είναι. Σύµφωνα µε το Θεώρηµα 8 το σύστηµα είναι συµβιβαστό αν και µόνο αν η τάξη του B είναι, δηλαδή αν και µόνο αν η τελευταία γραµµή του Β είναι µηδενική, 6 δηλαδή a =. 7

Κεφάλαιο 7: Βάσεις και ιάσταση Σελίδα από 9 Θεώρηµα 9 (διάσταση λύσεων οµογενούς γραµµικού συστήµατος) Η διάσταση του δ.χ. των λύσεων ενός οµογενούς γραµµικού συστήµατος ισούται µε τη διαφορά m r, όπου m είναι το πλήθος των αγνώστων και r είναι η τάξη του πίνακα των συντελεστών. Παράδειγµα Η διάσταση του δ.χ. των λύσεων του οµογενούς συστήµατος x+ y z+ w= x+ y z+ w= x+ y z+ w= υπολογίζεται ως εξής. Με στοιχειώδεις µετασχηµατισµούς γραµµών φέρουµε τον πίνακα των συντελεστών σε κλιµακωτή µορφή. Βρίσκουµε τον πίνακα. Αυτός έχει τάξη r =. Σύµφωνα µε το Θεώρηµα 9 η ζητούµενη διάσταση είναι m r = =. ΧΩΡΟΙ ΜΕ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ Έστω V ένας διανυσµατικός χώρος πεπερασµένης διάστασης µε εσωτερικό γινόµενο. (βλ. Κεφάλαιο 6, Ορισµός 6). Μια βάση v, v i j, i = j =., i j { v,..., v n } Θεώρηµα (ύπαρξη ορθοκανονικών βάσεων) του V λέγεται ορθοκανονική αν Κάθε διανυσµατικός χώρος πεπερασµένης διάστασης µε εσωτερικό γινόµενο έχει µια ορθοκανονική βάση. Μια αποτελεσµατική µέθοδος κατασκευής ορθοκανονικών βάσεων είναι η µέθοδος Gram-Schmidt.

Κεφάλαιο 7: Βάσεις και ιάσταση Σελίδα από 9 Μέθοδος ορθοκανονικοποίησης των Gram - Schmidt Έστω V ένας διανυσµατικός χώρος πεπερασµένης διάστασης µε εσωτερικό γινόµενο. Έστω { v,..., v n} µια βάση του V. Θέτουµε u = v v, u u = v u u v, u v, u u = v u u u u vn, un vn, u un = vn u n... u. u u n Στη συνέχεια ορίζουµε w = u,..., wn. u = u Τότε τα στοιχεία w u,..., n wn αποτελούν µια ορθοκανονική βάση του V. n Παράδειγµα Ας εφαρµόσουµε την προηγούµενη µέθοδο στη βάση { v, v, v } του, όπου v = (,,), v = (,, ), v = (,, ). εδώ είναι το σύνηθες. Θέτουµε u = v = (,,) v, u u = v u = v = (,, ) u Το εσωτερικό γινόµενο που θεωρούµε v, u v, u u = v u u = (,, ) (,, ) (,,) = (,, ). u u Τα µήκη των u, u, u είναι αντίστοιχα,,. ιαιρώντας µε αυτά βρίσκουµε την ορθοκανονική βάση (,,), (,, ),(,,). ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση Εξετάστε αν τα παρακάτω διανύσµατα του είναι γραµµικά ανεξάρτητα.

Κεφάλαιο 7: Βάσεις και ιάσταση Σελίδα από 9. (,,,),(,,,),(,,,). (,,,),(,,,),(,,,). Α τρόπος. Σύµφωνα µε τον Ορισµό εξετάζουµε αν υπάρχουν abc,, από τα οποία ένα τουλάχιστον να είναι µη µηδενικό τέτοια ώστε Έχουµε a(,,,) + b(,,,) + c(,,, ) = (,,, ). a(,,,) + b(,,,) + c(,,, ) = (,,, ) a+ b+ c= a + b + c = a c = a+ b+ c=. Μετά από µερικούς στοιχειώδεις µετασχηµατισµούς, ο επαυξηµένος πίνακας του συστήµατος παίρνει την κλιµακωτή µορφή. Από τον πίνακα αυτό συµπεραίνουµε ότι το σύστηµα έχει µοναδική λύση (την τετριµµένη). Άρα Β τρόπος. a = b= c= και τα διανύσµατα είναι γραµµικά ανεξάρτητα. Σχηµατίζουµε τον πίνακα µε γραµµές τα δοσµένα διανύσµατα και τον φέρουµε σε κλιµακωτή µορφή. Επειδή δεν υπάρχει µηδενική γραµµή στον τελευταίο πίνακα, τα δοσµένα διανύσµατα είναι γραµµικά ανεξάρτητα.. Α τρόπος. Όπως στον Α τρόπο του, από τη σχέση βρίσκουµε το σύστηµα a(,,,) + b(,,,) + c(,,,) = (,,, )

Κεφάλαιο 7: Βάσεις και ιάσταση Σελίδα από 9 a+ b+ c= a + b + c = a c = a+ b+ c=. Μετά από µερικούς στοιχειώδεις µετασχηµατισµούς, ο επαυξηµένος πίνακας του συστήµατος παίρνει την κλιµακωτή µορφή. Από τον πίνακα αυτό συµπεραίνουµε ότι το σύστηµα έχει και άλλη λύση πέρα από την τετριµµένη. ηλαδή υπάρχουν abc,, που δεν είναι όλα µηδέν τέτοια ώστε a(,,,) + b(,,,) + c(,,,) = (,,, ). Άρα τα δοσµένα διανύσµατα είναι γραµµικά εξαρτηµένα. Β τρόπος. Σχηµατίζουµε τον πίνακα µε γραµµές τα δοσµένα διανύσµατα και τον φέρουµε σε κλιµακωτή µορφή. Επειδή υπάρχει µηδενική γραµµή στον τελευταίο πίνακα, τα δοσµένα διανύσµατα είναι γραµµικά εξαρτηµένα. Άσκηση Εξετάστε αν τα επόµενα στοιχεία του M ( ) είναι γραµµικά ανεξάρτητα 5,,. Εξετάζουµε αν υπάρχουν abc,, από τα οποία ένα τουλάχιστον να είναι µη µηδενικό και να ικανοποιούν την ισότητα 5 a + b + c = Έχουµε

Κεφάλαιο 7: Βάσεις και ιάσταση Σελίδα από 9 5 a + b + c = a+ b+ c a b 5c = a+ b c a+ b a+ b+ c= a b 5c= a+ b c= a+ b=. Μετά από µερικούς στοιχειώδεις µετασχηµατισµούς γραµµών στον επαυξηµένο πίνακα του τελευταίου συστήµατος, φτάνουµε στην κλιµακωτή µορφή. Άµεσα συµπεραίνουµε ότι το σύστηµα έχει µη µηδενική λύση, οπότε τα δοσµένα στοιχεία είναι γραµµικά εξαρτηµένα. Άσκηση Εξετάστε αν τα παρακάτω πολυώνυµα είναι γραµµικά ανεξάρτητα στο δ.χ. [ x] των πραγµατικών πολυωνύµων βαθµού το πολύ... + +, +, +, + x x x x x x x x + x+, x x+, x +. Ξέρουµε ότι dim [ x ] = + =. Το πλήθος των δοσµένων στοιχείων είναι και άρα από το Θεώρηµα αυτά είναι γραµµικά εξαρτηµένα.. Έστω abc,,. Έχουµε ( ) ( ) ( ) a x + x+ + b x x+ + c x + = ( a b c) x ( a b) x ( a b c) + + + + + + = a+ b+ c= a b = a + b + c =.

Κεφάλαιο 7: Βάσεις και ιάσταση Σελίδα 5 από 9 Το σύστηµα αυτό είναι οµογενές, τετραγωνικό και η ορίζουσα του πίνακα των συντελεστών είναι det =. Συνεπώς η µηδενική λύση είναι µοναδική. Άρα τα δοσµένα στοιχεία είναι γραµµικά ανεξάρτητα. a = b= c= Άσκηση Αν uvw,, είναι γραµµικά ανεξάρτητα στοιχεία ενός u+ v+ w,v+ 5 u+ w,u+ w Έστω είναι γραµµικά ανεξάρτητα. F δ.χ., τότε αποδείξτε ότι και τα abc,, F τέτοια ώστε a( u+ v+ w) + b( u+ 5v+ w) + c( u+ w ) =. Τότε παίρνουµε ( ) ( ) ( ) a+ b+ c u+ a+ 5b v+ a+ b+ c w=. a+ b+ c= a+ 5b= a+ b+ c=. Επειδή τα είναι γραµµικά ανεξάρτητα, όλοι οι συντελεστές της τελευταίας σχέσης οφείλουν να είναι µηδέν, οπότε uvw,, Το σύστηµα αυτό είναι οµογενές και τετραγωνικό. Επειδή η ορίζουσα det 5 = 5 που είναι βέβαια η µηδενική είναι γραµµικά ανεξάρτητα. είναι µη µηδενική, συµπεραίνουµε ότι υπάρχει µοναδική λύση a = b= c=. Άρα τα u+ v+ w,v+ 5 u+ w,u+ w Άσκηση 5 (α) Να βρεθούν οι τιµές του a για τις οποίες τα διανύσµατα (,, a),(,,),(,,) αποτελούν µια βάση του R. (β) Για τις τιµές του a που βρήκατε πριν, να εκφράστε το συνδυασµό των (,, a),(,,),(,,). (,,) ως γραµµικό (γ) Να βρεθούν οι τιµές του b για τις οποίες έχουµε (,, b) (,,),(,,).

Κεφάλαιο 7: Βάσεις και ιάσταση Σελίδα 6 από 9 (α) Επειδή η διάσταση του βρεθούν τα a τέτοια ώστε R είναι, το δοσµένο ερώτηµα ισοδυναµεί µε το να det A, όπου A = a Κεφαλαίου 5). Υπολογίζοντας βρίσκουµε ότι det A= a, οπότε a. (βλ. Πόρισµα 5 του (β) Για a, τα δοσµένα στοιχεία του R αποτελούν µια βάση. Ζητάµε να βρεθούν τα x, yzτέτοια, ώστε Το σύστηµα που προκύπτει είναι (,,) = x(,, a) + y(,,) + z(,,). x + y+ z = x z = ax + y + z =. Παρατηρούµε ότι ο πίνακας των συντελεστών είναι ο Α. Λύνοντάς το σύστηµα µε µια από τις γνωστές µεθόδους, π.χ. τον κανόνα του Cramer, βρίσκουµε ότι, a + x= y =, z =. ( a) ( a ) ( a) (γ) Ζητάµε τα b τέτοια ώστε να υπάρχουν x, y ώστε να έχουµε (,, b) = x(,,) + y(,,). Το σύστηµα που προκύπτει είναι το x+ y = x + y = x + y = b x δηλαδή είναι το B =, όπου. Από το y B = Θεώρηµα 8, το σύστηµα αυτό b έχει λύση αν και µόνο αν η τάξη του Β ισούται µε την τάξη του επαυξηµένου πίνακα C =. Η τάξη του Β είναι, γιατί ο Β είναι και υπάρχουν γραµµικά b ανεξάρτητες στήλες. Συνεπώς ζητάµε τα b ώστε rc ( ) =. Με στοιχειώδεις µετασχηµατισµούς γραµµών παίρνουµε ότι ο C είναι γραµµοϊσοδύναµος µε τον

Κεφάλαιο 7: Βάσεις και ιάσταση Σελίδα 7 από 9. Από τις γραµµές αυτού του πίνακα βλέπουµε ότι η τάξη του είναι b αν και µόνο αν η τελευταία γραµµή είναι µηδενική δηλαδή αν και µόνο αν b =. Άσκηση 6 Να βρεθεί η διάσταση και µια βάση του υπόχωρου του διανύσµατα u = (,,5, ), v= (,,, ), w= (,8,, 5). που παράγεται από τα Θεωρούµε τον πίνακα 5 A = 8 5 µε γραµµές τα δοσµένα διανύσµατα. Τότε ο υπόχωρος του που παράγεται από τα διανύσµατα uvw,, είναι ο χώρος γραµµών του Α. Μετά από µερικούς στοιχειώδεις µετασχηµατισµούς γραµµών παίρνουµε τον πίνακα 5 B = 7 9. Από την Πρόταση 7, ο χώρος γραµµών του Α ταυτίζεται µε τον χώρο γραµµών του Β και µια βάση του τελευταίου είναι {(,,5, ),(,7, 9,) }. Η ζητούµενη διάσταση είναι. Άσκηση 7 Έστω [ x] ο διανυσµατικός χώρος των πραγµατικών πολυωνύµων που έχουν βαθµό το πολύ. Αποδείξτε ότι µια βάση του [ x] είναι το σύνολο {, x, ( x ) } και βρείτε την παράσταση του παραπάνω βάσης. 5 x + x+ ως γραµµικό συνδυασµό των στοιχείων της Επειδή η διάσταση του [ x] είναι, αρκεί να αποδείξουµε ότι το σύνολο {, x, ( x ) } είναι γραµµικά ανεξάρτητο (βλ. Πρόταση ). Έχουµε

Κεφάλαιο 7: Βάσεις και ιάσταση Σελίδα 8 από 9 a + b x + c x = ( ) ( ) + ( ) + ( + ) = cx b c x a b c c = b c = a = b = c =. a b + c = Για το δεύτερο ερώτηµα, λύνουµε την εξίσωση a + b( x ) + c( x ) = + x+ 5x ως προς τα abc,,, δηλαδή την cx b c x a b c x x + ( ) + ( + ) = 5 + +. Αυτή ισοδυναµεί µε το σύστηµα c = 5 b c = a b + c =. Άρα a =, b=, c = 5. Τελικά + x+ 5x = + ( x ) + 5( x ). Άσκηση 8 Να βρεθεί µία βάση και η διάσταση του υπόχωρου U = X M( ) X = X M. R του ( ) Πρώτα θα βρούµε τη γενική µορφή των πινάκων Χ. Έστω X = a b. c d Τότε a b a+ b X = c d c+ d X U αν και µόνο αν και a+ c b+ d X =. Άρα έχουµε a+ c b+ d

Κεφάλαιο 7: Βάσεις και ιάσταση Σελίδα 9 από 9 a b a+ b a+ c b+ d = c d c+ d a+ c b+ d a b= a+ c a+ b= b+ d c d = a + c c+ d = b+ d b+ c= a d = a d = b+ c= b+ c= a d =. Οι λύσεις του τελευταίου συστήµατος είναι οι ( abcd,,, ) = ( d, ccd,, ), cd,. Άρα X d c =. ηλαδή c d U d c = c, d. c d Θα δείξουµε τώρα ότι µια βάση του U είναι το σύνολο,. d c Πράγµατι, αυτό παράγει το U γιατί = d + c. Επίσης τα c d στοιχεία, είναι γραµµικά ανεξάρτητα γιατί αν έχουµε λ µ λ + µ =, τότε =, οπότε λ = µ =. Η µ λ διάσταση του U είναι. Άσκηση 9 t { } Έστω ( ) U = A M A = A το υποσύνολο του M ( R) που αποτελείται από τους αντισυµµετρικούς πίνακες. Αποδείξτε ότι το U είναι υπόχωρος του να βρεθεί µια βάση και η διάστασή του. Το σύνολο U είναι βέβαια µη κενό. Έστω AB, U και λ R. Τότε M ( R). Επιπλέον

Κεφάλαιο 7: Βάσεις και ιάσταση Σελίδα από 9 t t t ( A+ B) = A + B = A B= ( A+ B) A+ B U, t t ( λ A) =λ A =λ( A) = ( λa) λa U. Συνεπώς το U είναι υπόχωρος του Κεφαλαίου 5. M ( R) σύµφωνα µε την Πρόταση του t Επειδή το τυχαίο στοιχείο A του U ικανοποιεί A = A, βρίσκουµε ότι Θα αποδείξουµε ότι τα στοιχεία αποτελούν βάση του U. a b A= a c. b c,, Είναι σαφές ότι τα στοιχεία αυτά είναι γραµµικά ανεξάρτητα αφού λ +µ +ν = λ µ λ ν = λ = µ = ν =. µ ν Επίσης αυτά παράγουν το U γιατί a b A= a c = a + b + c. b c Τελικά, dimu =. Άσκηση Έστω { u,... u, w,..., w } m n µια βάση του διανυσµατικού χώρου V. Θέτουµε U = u,..., u, W = w,..., wn. Αποδείξτε ότι V = U W. m Επειδή κάθε στοιχείο του V είναι γραµµικός συνδυασµός των u,..., u, w,..., w m n είναι σαφές από τους ορισµούς ότι V = U + W. Για να αποδείξουµε ότι V = U W, αρκεί

Κεφάλαιο 7: Βάσεις και ιάσταση Σελίδα από 9 να αποδείξουµε ότι U W =. Για τον σκοπό αυτό, έστω v U W. Τότε v U που σηµαίνει ότι το v είναι γραµµικός συνδυασµός των Κατά παρόµοιο τρόπο Συνεπώς από το οποίο συµπεραίνουµε ότι v=λ v +... +λ mvm, λi R. v=µ w +... +µ nwn, µ i R. λ v +... +λ v µ w... µ w =, m m n n λ =... =λ =µ =... =µ =, m n u,..., um γιατί το { u,... u, w,..., w n } είναι βάση. Άρα v =, συνεπώς U W =. m, δηλαδή Άσκηση Έστω U ο υπόχωρος του υπόχωρος W του ώστε R που παράγεται από τα (,,,), (,,,). Να βρεθεί ένας = U W. Θα βρούµε δύο στοιχεία v, v R ώστε το {(,,,),(,,,), w, w} να είναι βάση του. Τότε το W = w, w θα έχει τη ζητούµενη ιδιότητα, λόγω της προηγούµενης Λυµένης Άσκησης. Θα επιλέξουµε (στην τύχη) δύο στοιχεία της συνήθους βάσης {(,,,),(,,,),(,,,),(,,,)} του. Αν η επιλογή µας δεν οδηγεί σε βάση, θα ξαναδοκιµάσουµε. Έστω w = (,,,), w = (,,,). Τότε det =. Άρα το {(,,,),(,,,), w, w } είναι βάση του R Άσκηση Έστω οι υπόχωροι του U = (,,, ),(,,,),(,,, ), W = (,,, ),(,,, ),(,,, ). Να βρεθούν οι διαστάσεις dim( U + W),dim U W..

Κεφάλαιο 7: Βάσεις και ιάσταση Σελίδα από 9 Επειδή ο χώρος U + W την κλιµακωτή µορφή του πίνακα παράγεται και από τα έξι δοσµένα στοιχεία, θα εξετάσουµε. Μετά από πολλούς στοιχειώδεις µετασχηµατισµούς γραµµών βρίσκουµε την κλιµακωτή µορφή. Επειδή υπάρχουν µη µηδενικές γραµµές, συµπεραίνουµε ότι dim( U + W) =. Για την τοµή θα εφαρµόσουµε τον τύπο του Θεωρήµατος 6 και για τον σκοπό αυτό χρειαζόµαστε τις διαστάσεις Όπως και πριν θα µετασχηµατίσουµε τους πίνακες των γεννητόρων σε κλιµακωτή µορφή. Για το U βλέπουµε ότι η κλιµακωτή µορφή του Όµοια, dim U,dim W. είναι και άρα dimu =. dimw =. Τέλος dim( U W) = dimu + dimw dim( U + W) = + =. Άσκηση Να βρεθεί µια βάση και η διάσταση του υπόχωρου του {(,, ). } U = x y z x+ y+ z = x y z = Ο U είναι ο χώρος λύσεων του συστήµατος x+ y+ z = x y z =.

Κεφάλαιο 7: Βάσεις και ιάσταση Σελίδα από 9 Αυτό ισοδυναµεί µε το x+ y+ z = y+ z = του οποίου οι λύσεις είναι ( xyz,, ) = (, zz, ), z. Άρα µια βάση του U είναι το {(,,) } και dimu =. Άσκηση Έστω οι διανυσµατικοί υπόχωροι του, {(,, ) } U = {( x, y, z) x y z = } και V = x y z x+ y+ z =. Βρείτε τη διάσταση και µια βάση για καθέναν από τους χώρους U, V, U V και U+V. Θα µπορούσαµε να βρούµε τις διαστάσεις των U,V µε τον τρόπο που είδαµε στην προηγούµενη Λυµένη Άσκηση. Ας δούµε εδώ µια άλλη µέθοδο. Επειδή έχουµε U και U ισχύει dimu σύµφωνα µε το Θεώρηµα 5. ύο διανύσµατα που ανήκουν στο U είναι τα (,,) και (,,). Παρατηρούµε ότι είναι γραµµικά ανεξάρτητα. Άρα dimu = και τα προηγούµενα διανύσµατα αποτελούν βάση του U. Mε ανάλογο τρόπο βρίσκουµε, για παράδειγµα, τη βάση του V αποτελούµενη από τα διανύσµατα (,,),(,, ). Από τα προηγούµενα τέσσερα διανύσµατα, τα πρώτα τρία είναι γραµµικά ανεξάρτητα (γιατί det ) και ανήκουν στο U+V. Επειδή ο U+V είναι υπόχωρος του έχουµε dim(u+v). Συνεπώς dim(u+v) =, και τα προαναφερθέντα τρία διανύσµατα αποτελούν βάση. Από τη σχέση dimu V dimu V = dimu + dimv dim( U + V) ου Θεωρήµατος 6 παίρνουµε =. Μένει να βρεθεί µια βάση του U V και προς τούτο αρκεί να βρούµε ένα µη µηδενικό στοιχείο του. Λύνοντας το σύστηµα x y z =, x+ y+ z = βρίσκουµε x =, και y+z =, οπότε ένα µη µηδενικό στοιχείο της τοµής είναι για παράδειγµα το (,, ). Άσκηση 5 Αφού λυθεί το σύστηµα

Κεφάλαιο 7: Βάσεις και ιάσταση Σελίδα από 9 x+ y z+ w= x+ y z+ w= x+ y z+ w= να βρεθεί µια βάση και η διάσταση του χώρου των λύσεων. Μετά από µερικές πράξεις βρίσκουµε ότι η κλιµακωτή µορφή του πίνακα των συντελεστών είναι. w Εύκολα βρίσκουµε τις λύσεις ( xyzw,,, ) = ( y wy,,, w), yw, R. Η διάσταση του χώρου των λύσεων είναι m r = =, όπου m = πλήθος αγνώστων και r = τάξη του πίνακα των συντελεστών. Για να βρούµε µία βάση, επιλέγουµε συγκεκριµένες τιµές για τις ελεύθερες µεταβλητές y,w ώστε οι δύο λύσεις να είναι γραµµικά ανεξάρτητα στοιχεία. Για παράδειγµα από y =, w= και y =, w= παίρνουµε τη βάση {(,,,),(,,,)} Άσκηση 6 Θεωρούµε τους υπόχωρους a b a b U = a+ b=, V = a+ c= του c d c d M ( R ). Να βρεθούν οι διαστάσεις των υπόχωρων UVU,, + VU, V. Παρατηρούµε ότι κάθε στοιχείο του U είναι της µορφής a a = a + c + d. Συνεπώς τα στοιχεία c d,, παράγουν το U. Εύκολα επαληθεύεται ότι αυτά είναι γραµµικά ανεξάρτητα

Κεφάλαιο 7: Βάσεις και ιάσταση Σελίδα 5 από 9 λ + µ + ν = λ = λ = µ = ν = λ = µ = ν =. Συνεπώς µια βάση του U αποτελούν τα στοιχεία,, έχουµε dimu =. Με παρόµοιο τρόπο αποδεικνύεται ότι dimv =. και Από τους ορισµούς προκύπτει ότι a a U V M ( ) = R. Όπως πριν a d αποδεικνύεται εύκολα ότι µια βάση του U,. Άρα dimu V =. Από τον τύπο παίρνουµε dim( U + V) =. V είναι το σύνολο dimu + dimv = dim( U + V) dimu V του Θεωρήµατος 6 Άσκηση 7 Να βρεθεί µια ορθοκανονική βάση του υπόχωρου του v = (,,,), v = (,,, 5), v = (,,, ). που παράγεται από τα Σύµφωνα µε τη µέθοδο των Gram-Schmidt θέτουµε u = v = (,,,) v, u u = v u = (,,,5) (,,,) = (,,, ) u v, u v, u u = v u u = u u 7 8 8 7 7 (,,, ) (,,,) (,,,) = (,,, ). 5 5

Κεφάλαιο 7: Βάσεις και ιάσταση Σελίδα 6 από 9 ιαιρώντας τα u, u, u µε τα µήκη τους βρίσκουµε τη ζητούµενη ορθοκανονική βάση 8 7 7 (,,,), (,,,), (,,, ) 9 5 5 Άσκηση.,, στο ΑΣΚΗΣΕΙΣ Εξετάστε αν τα παρακάτω στοιχεία είναι γραµµικά ανεξάρτητα. (,,, ), (,,, ), (,,, ) στο M ( ) Υπόδειξη. Βλ. Λυµένη Άσκηση.. Βλ. Λυµένη Άσκηση. Απάντηση. Είναι γραµµικά εξαρτηµένα.. Είναι γραµµικά ανεξάρτητα. Άσκηση Εξετάστε αν τα πολυώνυµα x + x+, x + x+, x + x+ αποτελούν µια βάση του [ x]. Υπόδειξη Βλ. Λυµένη Άσκηση και Πρόταση. Απάντηση Είναι βάση. Άσκηση Έστω uvw,, γραµµικά ανεξάρτητα στοιχεία ενός διανυσµατικού χώρου.. είξτε ότι τα u w, u+ v+ w,u v w είναι γραµµικά ανεξάρτητα.. είξτε ότι uvw,, = u wu, + v+ w,u v w Υπόδειξη. Βλ. Λυµένη Άσκηση.. Επειδή ισχύει u w, u+ v+ w, u v w u, v, w αρκεί να αποδειχτεί, σύµφωνα µε το Θεώρηµα 5, ότι dim uvw,, = dim u wu, + v+ w, u v w. Άσκηση. Να βρεθούν οι τιµές του a τέτοιες ώστε στο. Να βρεθούν οι τιµές του a τέτοιες ώστε στο (,,) (,,),(, a,). (,,) (,,),(, a,).

Κεφάλαιο 7: Βάσεις και ιάσταση Σελίδα 7 από 9 Υπόδειξη Βλ. Λυµένη Άσκηση 5. Απάντηση. εν υπάρχει τέτοια τιµή του a.. a =. Άσκηση 5 Να βρεθεί µια βάση και η διάσταση του υπόχωρου του (,,,),(,,, ),(,,, 5). που παράγεται από τα Υπόδειξη Βλ. Λυµένη Άσκηση 6. Απάντηση Η διάσταση είναι. Άσκηση 6 Να βρεθεί µια βάση και η διάσταση του χώρου των λύσεων του οµογενούς γραµµικού συστήµατος x+ y+ z = x+ 5y+ z = x+ 5y+ 8z =. Υπόδειξη Βλ. Λυµένη Άσκηση. Απάντηση Μια βάση είναι το {(7,, ) } και η διάσταση είναι. Άσκηση 7 t { } W = A M A = A το υποσύνολο του M ( R) που αποτελείται από τους Έστω ( ) συµµετρικούς πίνακες. Αποδείξτε ότι το W είναι υπόχωρος του βρεθεί µια βάση και η διάστασή του. Υπόδειξη Βλ. Λυµένη Άσκηση 9. Απάντηση dimw = 6. M ( R). Επιπλέον να Άσκηση 8 Θεωρούµε τους υπόχωρους { } { } U= ( xyzw,,, ) y+ z+ w=, W= ( xyzw,,, ) x+ y= z w=. Να βρεθούν οι διαστάσεις των UWU,, WU, + W. Υπόδειξη Βλ. Λυµένη Άσκηση. Απάντηση U W U W ( U W) dim =,dim =,dim =,dim + =.

Κεφάλαιο 7: Βάσεις και ιάσταση Σελίδα 8 από 9 Άσκηση 9 a b a b Θεωρούµε τους υπόχωρους U = a b=, V = a c= του c d c d M ( R ). Να βρεθούν οι διαστάσεις των υπόχωρων UVU,, + VU, V. Υπόδειξη Βλ. Λυµένη Άσκηση 6. Απάντηση U V U V ( U V) dim = dim =,dim =,dim + =. Άσκηση Αφού αποδείξτε ότι µια βάση του M ( ) είναι το σύνολο,,, να βρεθούν οι συντεταγµένες του ως 6 προς τη βάση αυτή. Υπόδειξη Από την Πρόταση αρκεί να δείξετε ότι το δοσµένο σύνολο είναι γραµµικά ανεξάρτητο. Απάντηση Οι συντεταγµένες είναι (,,5, ), δηλαδή έχουµε 6 5 = + +. Άσκηση Έστω U = {( x, y, z, w) y+ z+ w } τέτοιου ώστε U W =. Να βρεθεί µια βάση ενός υπόχωρου W του =. Υπόδειξη Βρείτε µια βάση του U και επεκτείνατε την σε βάση του Άσκηση.. Βλ. Λυµένη Άσκηση Να βρεθούν οι τάξεις των πινάκων A=, B, C = = 7 8 7 Υπόδειξη Μετασχηµατίστε τους πίνακες σε κλιµακωτή µορφή και εφαρµόστε την Πρόταση 7. Απάντηση r( A) =, r( B) =, r( C) =.

Κεφάλαιο 7: Βάσεις και ιάσταση Σελίδα 9 από 9 Άσκηση Αποδείξτε ότι ένας n n πίνακας είναι αντιστρέψιµος αν και µόνο αν η τάξη του είναι ίση µε n. Υπόδειξη Βλ. Θεώρηµα του Κεφαλαίου. Άλλος τρόπος: Βλ. Πόρισµα 5 Κεφάλαιο 5. Άσκηση Έστω ( ) AB, M n m F. Έστω ότι ο πίνακας A B έχει το πολύ ένα µη µηδενικό στοιχείο. Αποδείξτε ότι r( A) r( B). Υπόδειξη Εξετάστε τη διάσταση των χώρων γραµµών. Άσκηση 5 Να βρεθεί µια ορθοκανονική βάση του υπόχωρου του διανύσµατα (,,),(,,). που παράγεται από τα Υπόδειξη Βλ. Λυµένη Άσκηση 7. Απάντηση (,,), (,, )