γ. Πόση επιτάχυνση θα έχει το σώμα τη στιγμή που έχει απομάκρυνση 0,3 m;

ΘΕΜΑ Γ 1. Ένα σώμα εκτελεί αρμονική ταλάντωση με εξίσωση 0,6 ημ 8 S.I.. α. Να βρείτε την περίοδο και τον αριθμό των ταλαντώσεων που εκτελεί το σώμα σε ένα λεπτό της ώρας. β. Να γράψετε τις εξισώσεις της ταχύτητας και της επιτάχυνσης. γ. Να υπολογίσετε ποια χρονική στιγμή θα μηδενιστεί η ταχύτητα του σώματος για πρώτη φορά. δ. Πόση επιτάχυνση θα έχει το σώμα τη στιγμή που έχει απομάκρυνση 0,2 m; [απ. α) 0,25 s, 240 β) 4,8 συν 8, 384 ημ 8 (S.I.) γ) s δ) 128 m/s ] 2. Τη χρονική στιγμή 0 s η απομάκρυνση ενός σώματος που εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση είναι 0,2 m και η ταχύτητά του είναι αρνητική. Οι δύο ακραίες θέσεις της ταλάντωσης απέχουν μεταξύ τους 80 cm και το σώμα διέρχεται από τη θέση ισορροπίας του 20 φορές το δευτερόλεπτο. α. Να γράψετε τις εξισώσεις της απομάκρυνσης και της ταχύτητας. β. Πόση απομάκρυνση και πόση ταχύτητα θα έχει το σώμα τη χρονική στιγμή s; γ. Ποια χρονική στιγμή το σώμα θα βρεθεί για πρώτη φορά στην ακραία θετική θέση της ταλάντωσής του. δ. Πόση ταχύτητα έχει το σώμα τη στιγμή που απέχει 24 cm από τη θέση ισορροπίας του; [απ. 0,4 ημ 20, 8 συν 20 (S.I.) β) 0,2 2 m, 4 2 m/s γ) s δ) 6,4 m/s] 3. Ένα σώμα μάζας 0,2 kg εκτελεί 240 ταλαντώσεις το λεπτό και η μεγίστη ταχύτητα της αρμονικής του ταλάντωσης είναι 16 m/s. Τη χρονική στιγμή 0 s βρίσκεται στην ακραία αρνητική θέση της ταλάντωσής του. α. Να υπολογίσετε τη συχνότητα, το πλάτος κα τη σταθερά επαναφοράς της ταλάντωσης. β. Να γράψετε τις χρονικές εξισώσεις της απομάκρυνσης κα της ταχύτητας. γ. Πόση κινητική ενέργεια έχει το σώμα τη στιγμή που απέχει 1 m από τη θέση ισορροπίας του; δ. Ποια χρονική στιγμή το σώμα θα έχει μετατοπιστεί κατά 3 m σε σχέση με την αρχική του θέση για πρώτη φορά. [απ. α) 4 Hz, 2 m, 128 N/m β) 2ημ8, 16 συν 8 (S.I.) γ) 192 J δ) s] 4. Η εξίσωση της ταχύτητας ενός σώματος που εκτελεί αρμονική ταλάντωση είναι : 4συν5 7 S. I. 6 α. Να γράψετε τις εξισώσεις της απομάκρυνσης και της επιτάχυνσης. β. Να βρείτε ποια χρονική στιγμή το σώμα θα ξαναβρεθεί στη θέση που βρισκόταν την χρονική στιγμή 0 s για πρώτη φορά. γ. Πόση επιτάχυνση θα έχει το σώμα τη στιγμή που έχει απομάκρυνση 0,3 m; δ. Ποια χρονική στιγμή το σώμα θα έχει για πρώτη φορά απομάκρυνση 0,4 m; ΣΙΤΣΑΝΛΗΣ ΗΛΙΑΣ ΣΕΛΙΔΑ 2 1

[απ. α) 0,8 ημ 5, 200 ημ 5 (S.I.) β) s γ) 75 m/s δ) 0,2 s] 5. Σε σώμα μάζας 2 kg ασκείται συνισταμένη δύναμη της μορφής 200 (S.I.). Τη στιγμή 0 s το σώμα έχει θετική ταχύτητα, η κινητική ενέργεια του σώματος είναι 27 J και η δυναμική ενέργεια είναι 9 J και αυξάνεται. α. Να υπολογίσετε τη συχνότητα και το πλάτος της αρμονικής ταλάντωσης. β. Να γράψετε τις εξισώσεις της απομάκρυνσης και της ταχύτητας σε συνάρτηση με το χρόνο και να κάνετε τις αντίστοιχες γραφικές παραστάσεις. γ. Να βρείτε ποια χρονική στιγμή η δυναμική ενέργεια θα είναι τριπλάσια της κινητικής για πρώτη φορά. [απ. α) Hz, 0,6 m β) 0,6 ημ 10, 6 συν 10 (S.I.) γ) s] 6. Στη μια άκρη οριζοντίου ελατηρίου σταθεράς 400 N/m δένουμε ένα σώμα μάζας 1 kg. Το άλλο άκρο του ελατηρίου είναι ακλόνητο. Εκτρέπουμε το σώμα από τη θέση ισορροπίας του κατά 20 cm προς τη θετική κατεύθυνση και τη στιγμή 0 s το αφήνουμε ελεύθερο. α. Να αποδείξετε ότι το σώμα θα εκτελέσει απλή αρμονική ταλάντωση. β. Να γράψετε την εξίσωση της απομάκρυνσης και της ταχύτητας σε συνάρτηση με το χρόνο. γ. Να υπολογίσετε τη δυναμική και τη κινητική ενέργεια της ταλάντωσης τη χρονική στιγμή s. δ. Να βρείτε την κινητική ενέργεια του σώματος τη στιγμή που απέχει 11 cm από μια ακραία θέση της ταλάντωσης. [απ. α) 0,2 ημ 20, 4 συν 20 (S.I.) γ) 6 J, 2 J δ) 6,38 J] 7. Υλικό σημείο μάζας 0,2 kg εκτελεί γραμμική αρμονική ταλάντωση και η απομάκρυνσή του μεταβάλλεται σε συνάρτηση με τον χρόνο όπως στο διάγραμμα του σχήματος. α. Να γράψετε τις εξισώσεις της απομάκρυνσης και της ταχύτητας σε συνάρτηση με τον χρόνο. β. Να βρείτε ποια χρονική στιγμή το σώμα διέρχεται από τη θέση ισορροπίας της ταλάντωσης για πέμπτη φορά. γ. Ποια σταθερά επαναφοράς έχει το σώμα και πόση κινητική ενέργεια θα έχει τη στιγμή που η δύναμη επαναφοράς πάνω του έχει μέτρο 80 N; (S.I.) 8. Ένα σώμα μάζας 0,5 kg είναι δεμένο στο ελεύθερο άκρο οριζοντίου ελατηρίου σταθεράς 200 N/m που το άλλο του ά κρο είναι δεμένο σε σταθερό σημείο. Συμπιέ [απ. α) 0,4 ημ 20, 8 συν 20 s γ) 800 Ν/m, 60 J] β) ΣΙΤΣΑΝΛΗΣ ΗΛΙΑΣ ΣΕΛΙΔΑ 2 2

ζουμε το ελατήριο και τη χρονική στιγμή 0 s το αφήνουμε από την ηρεμία ελεύθερο. Τη χρονική στιγμή s το σώμα έχει διανύσει 12 cm κινούμενο διαρκώς προς τη θετική φορά του άξονα της ταλάντωσης. α. Να γράψετε τις εξισώσεις της απομάκρυνσης και της ταχύτητας του σώματος σε συνάρτηση με τον χρόνο. β. Να βρείτε ποια χρονική στιγμή η ταχύτητα του σώματος θα αποκτήσει για τρίτη φορά μέτρο ίσο με 0,8 m/s. γ. Με ποιο ρυθμό μεταβάλλεται τη χρονική στιγμή η κινητική ενέργεια του σώματος; δ. Πόσο διάστημα έχει διατρέξει μέχρι τη χρονική στιγμή το σώμα; Να θεωρήσετε 3 1,7. [απ. α) 0,08 ημ 20, 1,6 συν 20 (S.I.) s γ) 6,4 3 J/s δ) 17,2 cm] β) 9. Στο κατώτερο άκρο ενός κατακόρυφου ελατηρίου σταθεράς 800 N/m, που το ανώτερο άκρο του είναι ακλόνητο, δένουμε ένα σώμα μάζας 2 kg. Εκτρέπουμε το σώμα από τη θέση ισορροπίας του κατά 5 cm προς τα κάτω και τη χρονική στιγμή 0 s το αφήνουμε ελεύθερο. α. Θεωρώντας θετική τη φορά προς τα κάτω να αποδείξετε ότι το σώμα θα εκτελέσει απλή αρμονική ταλάντωση. β. Να γράψετε τις χρονικές εξισώσεις της απομάκρυνσης και της ταχύτητας του σώματος. γ. Να υπολογίσετε ποια χρονική στιγμή το σώμα θα περάσει από τη θέση φυσικού μήκους του ελατηρίου για πρώτη φορά. δ. Τη χρονική στιγμή πόση κινητική ενέργεια θα έχει το σώμα και με ποιον ρυθμό θα μεταβάλλεται; [απ. α) 0,05 ημ 20, συν 20 (S.I.) γ) s δ) 0,75 J, 10 3 J/s] 10. Το σώμα του σχήματος μάζας 2 kg ισορροπεί δεμένο στο κατώτερο άκρο ενός ιδανικού ε λατηρίου σταθεράς 200 N/m, σε λείο κεκλιμένο επίπεδο γωνίας 30. Κατεβάζουμε το σώμα προς τα κάτω διπλασιάζοντας την αρχική του παραμόρφωση και τη στιγμή 0 s το εκτοξεύουμε προς τα πάνω με αρχική ταχύτητα μέτρου 0,5 3 m/s. α. Να αποδείξετε ότι το σώμα θα εκτελέσει απλή αρμονική ταλάντωση και να υπολογίσετε την περίοδό της. β. Να γράψετε την εξίσωση της απομάκρυνσης της ταλάντωσης σε συνάρτηση με τον χρόνο. γ. Ποια χρονική στιγμή το ελατήριο θα αποκτήσει το φυσικό του μήκος για πρώτη φορά και πόση ταχύτητα θα έχει εκείνη τη στιγμή το σώμα; δ. Με ποιον ρυθμό μεταβάλλεται η ορμή του σώματος τη χρονική στιγμή ; Να θεωρήσετε θετική τη φορά της αρχικής εκτροπής. [απ. α) 0,2 s β) 0,1 ημ 10 γ) s, 0,5 3 m/s δ) 10 kg m/s ] ΣΙΤΣΑΝΛΗΣ ΗΛΙΑΣ ΣΕΛΙΔΑ 2 3

11. Πάνω στο λείο οριζόντιο δάπεδο του σχήματος μπορεί να ολισθαίνει ένα σώμα μάζας 2 kg δεμένο στα άκρα των δύο ιδανικών ελατηρίων, που τα άλλα τους άκρα είναι δεμένα στα δύο τοιχώματα τα οποία απέχουν μεταξύ τους απόσταση 1 m. Τα δύο ελατήρια έχουν σταθερές 120 N/m και 80 N/m και ίδια φυσικά μήκη 20 cm το καθένα. α. Να υπολογίσετε την παραμόρφωση του κάθε ελατηρίου στη θέση ισορροπίας του σώματος. β. Εκτρέπουμε οριζόντια το σώμα από τη θέση ισορροπίας του κατά 10 cm και τη χρονική στιγμή 0 s το αφήνουμε ελεύθερο. Να αποδείξετε ότι το σώμα θα εκτελέσει απλή αρμονική ταλάντωση και να υπολογίσετε την περίοδό της. γ. Να γράψετε την εξίσωση της απομάκρυνσης της ταλάντωσης σε συνάρτηση με τον χρόνο. δ. Να βρείτε τη μέγιστη δυναμική ενέργεια της ταλάντωσης και τη μέγιστη δυναμική ενέργεια λόγω παραμόρφωσης του ελατηρίου. [απ. α) 24 cm, 36 cm β) 0,2 s γ) 0,1 ημ 10 δ) 1 J, 6,9 J] 12. Σώμα μάζας 1,5 kg εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση σε λείο οριζόντιο επίπεδο δεμένο στο ένα άκρο οριζοντίου ελατηρίου σταθεράς 150 N/m. Το πλάτος της ταλάντωσης είναι 20 cm και τη στιγμή που το σώμα διέρχεται από τη θέση ισορροπίας, κινούμενο κατά τη θετική φορά του άξονα, συγκρούεται πλαστικά με αντίθετα κινούμενο σώμα μάζας 0,5 kg, που έχει ταχύτητα μέτρου 18 m/s. α. Να θεωρήσετε τη χρονική στιγμή 0 s ως τη στιγμή της κρούσης και να γράψετε την εξίσωση της απομάκρυνσης της ταλάντωσης του συσσωματώματος. β. Πόση μηχανική ενέργεια χάθηκε λόγω της πλαστικής κρούσης; γ. Ποιο μέτρο έπρεπε να έχει η ταχύτητα του σώματος, ώστε το πλάτος της ταλάντωσης να μην αλλάξει; Να θεωρήσετε ότι 3 1,7 [απ. α) 0,2 3ημ5 3 S.I. β) 75 J γ) 12,8 m/s] 13. Σώμα Σ1 μάζας 1 kg ισορροπεί πάνω σε λείο κεκλιμένο επίπεδο που σχηματίζει με τον ορίζοντα γωνία 30. Το σώμα Σ1 είναι δεμένο στην άκρη ιδανικού ελατηρίου σταθεράς 100 N/m το άλλο άκρο στερεώνεται στη βάση του κεκλιμένου επιπέδου, όπως φαίνεται στο σχήμα. Εκτρέπουμε το Σ1 κατά 0,1 m από τη θέση ισορροπίας του κατά μήκος του κεκλιμένου επιπέδου και το αφήνουμε ελεύθερο. α. Να αποδείξετε ότι το σώμα Σ1 εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση. β. Να υπολογίσετε τη μέγιστη τιμή του μέτρου του ρυθμού μεταβολής της ορμής του σώματος Σ1 Μετακινούμε το σώμα Σ1 προς τα κάτω κατά μήκος του κεκλιμένου επιπέδου μέχρι το ελατήριο να συμπιεστεί από το φυσικό του μήκος κατά Δl 0,3 m. Τοποθετούμε ένα δεύτερο σώμα Σ2 μάζας 1 kg στο κεκλιμένο επίπεδο, ώστε να είναι σε ε παφή με το σώμα Σ1 και ύστερα αφήνουμε τα σώματα ελεύθερα. γ. Να υπολογίσετε τη σταθερά επαναφοράς του σώματος Σ2 κατά τη διάρκεια της ταλάντωσής του. ΣΙΤΣΑΝΛΗΣ ΗΛΙΑΣ ΣΕΛΙΔΑ 2 4

δ. Να υπολογίσετε σε πόση απόσταση από τη θέση που το αφήσαμε ελεύθερα τα σώματα χάνεται η επαφή μεταξύ τους. 10 m/s. [απ. β) 10 kg m/s γ) 50 Ν m δ) 0,3 m] 14. Ένα σώμα αρχίζει την χρονική στιγμή 0 s να εκτελεί φθίνουσα αρμονική ταλάντωση με αρχικό πλάτος 40 cm και δύναμη απόσβεσης της μορφής. Τη χρονική στιγμή 20 s το πλάτος της ταλάντωσης είναι 20 cm. α. Ποια χρονική στιγμή το πλάτος της ταλάντωσης θα είναι ίσο με 5 cm; β. Πόσο πλάτος θα έχει η ταλάντωση του σώματος τη στιγμή 80 s; γ. Αν μέχρι τη χρονική στιγμή το ταλαντευόμενο σώμα έχει χάσει 6 J μηχανική ενέργεια, πόση μηχανική ενέργεια θα έχει τη στιγμή 15 s; [απ. α) 60 s β) 2,5 cm γ) 2 2 J] 15. Ένα σώμα αρχίζει την χρονική στιγμή 0 s να εκτελεί φθίνουσα αρμονική ταλάντωση με αρχική ενέργεια 12 J και δύναμη απόσβεσης της μορφής. Τη χρονική στιγμή 30 s η μηχανική ενέργεια του σώματος είναι 3 J. α. Να υπολογίσετε τη σταθερά της φθίνουσας ταλάντωσης. ln 2 0,69. β. Να βρείτε ποια χρονική στιγμή η ενέργεια της ταλάντωσης θα είναι 0,75 J; γ. Ποια είναι η μηχανική ενέργεια της ταλάντωσης τη χρονική στιγμή 15 s [απ. α) 0,023 s β) 60 s γ) 6 J] 16. Ένα σώμα εκτελεί φθίνουσα αρμονική ταλάντωση με δυνάμεις απόσβεσης της μορφής και αρχική πλάτος 12 cm, Η σταθερά της ταλάντωσης έχει τιμή 0,014 s. α. Ποιος είναι ο χρόνος υποδιπλασιασμού της ταλάντωσης; ln 2 0,7. β. Πόση είναι η % μείωση της ενέργειας της ταλάντωσης μέσα σε χρόνο ίσο με τον χρόνο υποδιπλασιασμού; γ. Αν κατά τη διάρκεια της πρώτης περιόδου το πλάτος μειώνεται κατά 20%, να υπολογίσετε την περίοδο της φθίνουσας ταλάντωσης. ln 5 1,6. [απ. α) 50 s β) 75% g) 14,28 s] 17. Ένα σώμα αρχίζει τη χρονική στιγμή 0 s να εκτελεί φθίνουσα ταλάντωση με αρχικό πλάτος 30 cm και δύναμη απόσβεσης. Τη χρονική στιγμή 14 s το πλάτος της ταλάντωσης είναι 15 cm. α. Ποια χρονική στιγμή το πλάτος της ταλάντωσης είναι 10 cm; β. Αν από τη χρονική στιγμή έως τη χρονική στιγμή το σώμα έχει χάσει 2,5 J μηχανική ενέργεια, ποια είναι η αρχική μηχανική ενέργεια του σώματος; γ. Ποια είναι η σταθερά επαναφοράς της φθίνουσας ταλάντωσης; Δίνονται ln 2 0,7 και ln 3 1,1. [απ. 22 s β) 18 J γ) 400 N/m] 18. Ένα σώμα μάζας 2 kg είναι δεμένο σε ελατήριο σταθεράς 200 N/m. Εκτρέπουμε το σώμα κατά 20 cm από τη θέση ισορροπίας του και τη χρονική στιγμή 0 s το αφήνουμε ελεύθερο. Το σώμα εκτελεί μια φθίνουσα αρμονική ταλάντωση με δύναμη απόσβεσης. Μετά από 10 πλήρεις ταλαντώσεις το πλάτος της ταλάντωσης είναι ίσο με 10 cm. α. Να βρείτε τη σταθερά της φθίνουσας ταλάντωσης. ln 2 0,7. β. Να υπολογίσετε την αρχική ενέργεια της ταλάντωσης και τη μέση ισχύ της δύναμης απόσβεσης στις 10 πρώτες ταλαντώσεις. γ. Να βρείτε το πλάτος της ταλάντωσης τη χρονική στιγμή 4 s. ΣΙΤΣΑΝΛΗΣ ΗΛΙΑΣ ΣΕΛΙΔΑ 2 5

Να θεωρήσετε ότι η περίοδος της φθίνουσας ταλάντωσης είναι ίση με την περίοδο της αμείωτης. [απ. α), s β) 4 J,, J/s γ) 5 cm] 19. Δύο αρμονικές ταλαντώσεις ίδιας διεύθυνσης, θέση ισορροπίας και συχνότητας έχουν εξισώσεις: 0,2 ημ 10 S.I. και 0,2 3ημ 10 S.I. α. Να γράψετε την εξίσωση της απομάκρυνσης και της ταχύτητας της σύνθετης ταλάντωσης σε συνάρτηση με τον χρόνο και να κάνετε τις αντίστοιχες γραφικές παραστάσεις. β. Αν η ενέργεια που έχει το σώμα λόγω της πρώτης ταλάντωσης είναι 4 J, πόση είναι η ενέργεια λόγω της σύνθετης ταλάντωσης και πόση είναι η μάζα του σώματος; γ. Πόση απομάκρυνση θα έχει το σώμα τη χρονική στιγμή s; δ. Με ποιον ρυθμό θα μεταβάλλεται τη χρονική στιγμή η κινητική ενέργεια του σώματος; [απ. α) 0,4 ημ 10 S.I., 4 συν 10 S.I. β) 16 J, 0,2 kg γ) 0,2 m δ) 80 3 J/s] 20. Ένα μικρό σώμα μάζας 2 kg ταλαντώνεται κατά μήκος του άξονα με εξίσωση απομάκρυνσης της μορφής 0,2 ημ 10 0,2 συν 10 S. I. α. Να αποδείξετε ότι η ταλάντωση του σώματος είναι απλή αρμονική. β. Να υπολογίσετε την ενέργεια ταλάντωσης. γ. Να γράψετε τη χρονική εξίσωση της δυναμικής ενέργειας της ταλάντωσης. δ. Να γράψετε τη χρονική εξίσωση του ρυθμού μεταβολής της κινητικής ενέργειας του σώματος. [απ. 0,2 2ημ 10 S.I. β) 8 J γ) 8ημ 10 S.I. δ) 80 ημ 10 S.I.] 21. Ένα υλικό σημείο εκτελεί ταυτόχρονα δύο απλές αρμονικές ταλαντώσεις της μορφής 0,4ημ S.I. και 0,4ημ S.I. οι οποίες εξελίσσονται στην ίδια διεύθυνση και γύρω από την ίδια θέση ισορροπίας. Σε χρονική διάρκεια Δ 2 s το σώμα εκτελεί 98 πλήρεις ταλαντώσεις εξαιτίας της πρώτης ταλάντωσης και 102 πλήρεις ταλαντώσεις εξαιτίας της δεύτερης. α. Να γράψετε την χρονική εξίσωση της απομάκρυνσης της συνισταμένης ταλάντωσης. β. Να υπολογίσετε την απομάκρυνση του σώματος από τη θέση ισορροπίας του τη στιγμή s. γ. Να υπολογίσετε το χρόνο μεταξύ δύο διαδοχικών μεγιστοποιήσεων του πλάτους. δ. Να βρείτε πόσες φορές το σώμα διέρχεται από τη θέση ισορροπίας του και πόσες φορές γίνεται μέγιστο το πλάτος της ταλάντωσης σε χρόνο ίσο με 2 s. [απ. α) 0,8 συν 2 ημ 100 S. I. β) 0,4 2 m γ) 0,5 s δ) 200, 4] ΣΙΤΣΑΝΛΗΣ ΗΛΙΑΣ ΣΕΛΙΔΑ 2 6

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Δ ΘΕΜΑ Δ 1. Ένα σώμα μάζας 2 kg ηρεμεί στη θέση Ο πάνω σε λείο οριζόντιο δάπεδο δεμένο στο ελεύθερο άκρο οριζόντιου ιδανικού ελατηρίου σταθερός 200 N/m. Ασκούμε τη χρονική στιγμή 0 στο σώμα μια σταθερή οριζόντια δύναμη 40 Ν κατά τον άξονα του ελατηρίου, έτσι ώστε το ελατήριο να αρχίσει να επιμηκύνεται. Τη φορά αυτή την θεωρούμε θετική. α. Να αποδείξετε ότι το σώμα θα εκτελέσει αρμονική ταλάντωση και να γράψετε την εξίσωση της συντεταγμένης του, θεωρώντας αρχή συντεταγμένων τη θέση Ο β. Τη χρονική στιγμή 0,25 s καταργούμε τη δύναμη. Ποιο θα είναι το πλάτος της νέας ταλάντωσης του σώματος; γ. Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συντεταγμένης σε συνάρτηση με τον χρόνο από τη χρονική στιγμή 0 έως τη χρονική στιγμή s δ. Τη χρονική στιγμή s το σώμα συγκρούεται πλαστικά με αντίθετα κινούμενο σώμα μάζας 0,5 kg που έχει ταχύτητα με μέτρο 8 2 m/s. Να υπολογίστε το πλά τος της ταλάντωσης του συσσωματώματος. [απ. α) 0,2 0,2 ημ10 S.I. β) 0,2 2 m δ) 0] 2. Σώμα μάζας 1 kg είναι δεμένο στο ελεύθερο άκρο οριζόντιου ελατηρίου σταθεράς 400 N/m με ακλόνητο το άλλο άκρο του. Μεταφέρουμε το σώμα κατά 0,4 m από την θέση ισορροπίας του συμπιέζοντας το ελατήριο και τη χρονική 0 το αφήνουμε ελεύθερο. Τη χρονική στιγμή που το σώμα έχει μετατοπιστεί κατά 60 cm, συγκρούεται ελαστικά με αντίθετα κινούμενο δεύτερο σώμα μάζας 0,5 kg, το οποίο εκτοξεύθηκε τη χρονική στιγμή 0 από κάποιο σημείο που βρίσκεται πάνω στην ευθεία που ορίζει το ελατήριο. Λόγω της σύγκρουσης, η ενέργεια της ταλάντωσης του υποτετραπλασιάζεται. α. Να βρείτε ποια χρονική στιγμή και με ποια ταχύτητα το σώμα συγκρούστηκε με το. β. Να βρείτε την απόσταση των δύο σωμάτων τη χρονική στιγμή 0. ( 3 1,7) γ. Να βρεθεί η ταχύτητα του σώματος μετά την κρούση. δ. Να γράψετε την εξίσωση της ταλάντωσης του σώματος, θεωρώντας τη χρονική στιγμή 0 τη στιγμή της κρούσης και θετική φορά τη φορά κίνησης του πριν την κρούση. [απ. α) s, 4 3 m/s, β) 95 cm γ) 6 3 m/s δ) 0,2 ημ20 S.I.] 3. Κατακόρυφο ελατήριο σταθεράς 100 N/m έχει το κάτω άκρο του στερεωμένο στο δάπεδο. Στο επάνω άκρο του ελατηρίου έχει προσδεθεί σώμα Σ1με μάζα 4 kg που ισορροπεί. Δεύτερο σώμα Σ2 με μάζα 1 kg βρίσκεται πάνω από το πρώτο σώμα Σ1 στην ίδια κατακόρυφη και σε άγνωστο ύψος από αυτό. Μετακινούμε το σώμα Σ1 προς τα κάτω κατά 20m και το αφήνουμε ελεύθερο ενώ την ίδια στιγμή αφήνουμε ελεύθερο και το δεύτερο σώμα Σ2. α. Να υπολογίσετέ την τιμή του ύψους, ώστε τα δύο σώματα να συγκρουστούν στη θέση ισορροπίας του Σ1 β. Αν η κρούση των δύο σωμάτων είναι πλαστική, να δείξετε ότι το συσσωμάτωμα μετά την κρούση ακινητοποιείται στιγμιαία. γ. Να υπολογίσετε το πλάτος της ταλάντωσης του συσσωματώματος. δ. Να υπολογίσετε το μέτρο της μέγιστης δύναμης που ασκεί το ελατήριο στο συσσωμάτωμα. [απ. α) 0,5 m γ) 0,1 m δ) 60 Ν] ΣΙΤΣΑΝΛΗΣ ΗΛΙΑΣ ΣΕΛΙΔΑ 2 7

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Δ 4. Το σημείο Ο του διπλανού σχήματος είναι η θέση ισορροπίας του σώματος μάζας 800 g που είναι δεμένο στο ελεύθερο άκρο οριζοντίου ελατηρίου σταθερά 80 N/m του οποίου το άλλο άκρο είναι ακλόνητο. Συμπιέζουμε το ελατήριο με το σώμα κατά 20 cm και τη στιγμή 0 s το αφήνουμε ελεύθερο. Ταυτόχρονα από κάποιο ύψος πάνω από το σημείο Ο αφήνουμε ελεύθερο δεύτερο σώμα μάζας. Τα δύο σώματα συγκρούονται πλαστικά στο σημείο Ο. Το πλάτος της ταλάντωσης του συσσωματώματος είναι κατά 20% μικρότερο από το πλάτος της ταλάντωσης του. α. Να γράψετε την εξίσωση της απομάκρυνσης και της ταχύτητας του σε συνάρτηση με το χρόνο. β. Να βρείτε τη μάζα του σώματος και την περίοδο της ταλάντωσης του συσσωματώματος. γ. Να υπολογίσετε το ύψος και τις ταχύτητες των δύο σωμάτων πριν τη σύγκρουσή τους. δ. Πόση μηχανική ενέργεια χάθηκε λόγω της πλαστικής κρούσης; [απ. α) 0,2 ημ 10, 2 συν 10 (S.I.) β) 450 g, 0,25 s γ) 12,5 cm, 2 m/s, 0,5 m/s δ) 1,1385 J] 5. Σώμα μάζας 1,5 kg είναι δεμένο στο ελεύθερο άκρο κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου σταθερός 100 N/m και ισορροπεί. Από ύψος 0,3 m πάνω από το και στον άξονα του ελατηρίου αφήνουμε ένα δεύτερο σώμα 0,5 kg να πέσει ελεύθερα. Το σώμα συγκρούεται πλαστικά με το τη χρονική στιγμή 0 s. α. Να υπολογίσετε το πλάτος της αρμονικής ταλάντωσης του συσσωματώματος. β. Να γράψετε την εξίσωση της απομάκρυνσης του συσσωματώματος από τη θέση ισορροπίας της ταλάντωσής του σε συνάρτηση με τον χρόνο, θεωρώντας θετική φορά αυτήν του κατακόρυφου άξονα προς τα πάνω. γ. Ποια χρονική στιγμή το συσσωμάτωμα θα περάσει για πρώτη φορά από τη θέση στην οποία έγινε η κρούση; δ. Ποια είναι η μέγιστη και ποια η ελάχιστη δυναμική ενέργεια λόγω παραμόρφωσης του ελατηρίου κατά την ταλάντωση του συσσωματώματος; [απ. 0,1 m β) 0,1ημ5 2 (S.I.) γ) s, δ) 4,5 J, 0,5 J] 6. Ένας δίσκος μάζας 1 kg είναι δεμένος στο ανώτερο άκρο κατακόρυφου ελατηρίου σταθερός 100 N/m που το κάτω άκρο του είναι δεμένο στο οριζόντιο έδαφος, Πάνω στον δίσκο είναι τοποθετημένο ένα σώμα μάζας 3 kg και το σύστημα ισορροπεί. Εκτρέπουμε το σύστημα προς τα κάτω κατά 0,8 m και τη χρονική στιγμή το αφήνουμε ελεύθερο. Να υπολογίσετε α. Σε πόση απόσταση από το σημείο που το σύστημα αφέθηκε ελεύθερο σώμα θα χάσει την επαφή του με τον δίσκο. β. Σε πόση απόσταση από το σημείο που το σύστημα αφέθηκε ελεύθερο σώμα θα μηδενίσει την ταχύτητά του. ΣΙΤΣΑΝΛΗΣ ΗΛΙΑΣ ΣΕΛΙΔΑ 2 8

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Δ γ. Σε πόσο χρόνο από τη στιγμή που το σύστημα αφέθηκε ελεύθερο, το σώμα θα σταματήσει στιγμιαία. δ. Το πλάτος της αρμονικής ταλάντωσης που θα εκτελέσει ο δίσκος, όταν το σώμα χάσει την επαφή του με αυτόν. [απ. α) 1,2 m β) 1,8 m γ) 0,2 3s δ) 0,1 13 m] 7. Ένα σώμα μάζας 800 g βρίσκεται πάνω σε ένα λείο τραπέζι δεμένο στα άκρα δύο ελατηρίων με σταθερές 480 N/m και 240 N/m. Όπως φαίνεται στο σχήμα. Το σύστημα βρίσκεται σε περιβάλλον χωρίς αποσβέσεις. α. Να αποδείξετε ότι αν εκτρέψουμε το σώμα από τη θέση ισορροπίας του και το αφήσουμε ελεύθερο, το σώμα θα εκτελέσει αρμονική ταλάντωση και να υπολογίσετε την περίοδό του. Θέτουμε το σύστημα σε περιβάλλον με αποσβέσεις. Ακινητοποιούμε το σώμα και θέτουμε το τραπέζι σε οριζόντια αρμονική ταλάντωση με συχνότητα Hz διεγείροντας το σώμα, έτσι ώστε αυτό να εκτελεί μια εξαναγκασμένη ταλάντωση, η οποία στη μόνιμη κατάσταση έχει πλάτος 0,4 m. β. Να γράψετε τις εξισώσεις της απομάκρυνσης και της ταχύτητας για την ταλάντωση, θεωρώντας ότι τη χρονική στιγμή 0 s βρίσκεται στη θέση όπου έχει μηδενική ταχύτητα και αρνητική επιτάχυνση. γ. Αν αυξήσουμε λίγο τη συχνότητα του διεγέρτη, πως μεταβάλλεται το πλάτος της ταλάντωσης; δ. Αν τη στιγμή που το σώμα διέρχεται από τη θέση ισορροπίας της ταλάντωσής του δέχεται δύναμη διέγερσης ίση με 3,2 N, ποιος είναι ο συντελεστής απόσβεσης της ταλάντωσης; [απ. α) s β) 0,4 ημ 20, 8 συν 20 (S.I.) γ) 0,04 kg/s] 8. Στο διπλανό διάγραμμα απεικονίζεται η μεταβολή μιας μορφής ενέργειας ενός σώματος, που εκτελεί οριζόντια αρμονική ταλάντωση, σε συνάρτηση με τον χρόνο, πάνω σε λεία επιφάνεια. Τη χρονική στιγμή s, το σώμα έχει απομάκρυνση 0,1 2 m και τη χρονική στιγμή s το μέτρο της επιτάχυνσης είναι μέγιστο. α. Στο διάγραμμα παριστάνεται η κινητική ή η δυναμική ενέργεια του σώματος και γιατί; β. Να βρείτε τη μάζα του σώματος και τη σταθερά επαναφοράς της ταλάντωσης. γ. Να γράψετε την εξίσωση της απομάκρυνσης της ταλάντωσης. δ. Αν τη χρονική στιγμή s ένα κατακόρυφα κινούμενο σώμα ίδιας μάζας με το αρχικό συγκρουστεί πλαστικά μαζί του, να υπολογίσετε το πλάτος της νέας ταλάντωσης. [απ. β) 0,4 kg, 360 N/m γ) 0,2ημ30 (S.I.) δ) 0,1 2] ΣΙΤΣΑΝΛΗΣ ΗΛΙΑΣ ΣΕΛΙΔΑ 2 9

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Δ 9. Ένα αβαρές ελατήριο κρέμεται από την οροφή του εργαστηρίου φυσικής και στην άκρη του προσδένεται ένα σώμα μικρών διαστάσεων μάζας. Το σώμα κρατιέται αρχικά σε κατάσταση ηρεμίας σε μια τέτοια θέση ώστε το ελατήριο να έχει το φυσικό του μήκος. Στη συνέχεια, αφήνεται ελεύθερο από τη θέση αυτή και εκτελεί Α.Α.Τ. Το χαμηλότερο σημείο της ταλάντωσης είναι 0,2 m κάτω από την θέση που αφέθηκε το σώμα. α. Ποια είναι η συχνότητα της ταλάντωσης; β. Ποιο το μέτρο της ταχύτητας του σώματος όταν αυτό βρίσκεται 0,16 m κάτω από την αρχική του θέση; γ. Ένα σώμα μάζας 0,6 kg προσδένεται στο πρώτο σώμα, και το σύστημα από τη στιγμή αυτή εκτελεί ταλάντωση με συχνότητα ίση με το μισό της αρχικής συχνότητας. Πόση η μάζα του πρώτου σώματος; [απ. α) Hz β) 0,8 m/s γ) 0,2 kg] ΣΙΤΣΑΝΛΗΣ ΗΛΙΑΣ ΣΕΛΙΔΑ 2 10