Interferenţa şi difracţia undelor electromagnetice

1 CAPITOLUL 3 Interferenţa şi difracţia undelor electromagnetice 3.1 Fenomenul de interferenţă. Surse coerente şi necoerente În descrierea proprietăţilor undelor am întâlnit diverse situaţii în care două sau mai multe unde de aceeaşi natură se suprapun într-o anumită regiune din spaţiu sau, în particular, într-un punct. Conform principiului superpoziţiei, bazat pe proprietatea de liniaritate a ecuaţiei diferenţiale a undelor, perturbaţia produsă de mai multe surse la un moment dat într-un anumit punct din spaţiu este suma perturbaţiilor produse de fiecare sursă în parte; pentru ca acest rezultat să fie adevărat este necesar ca prezenţa simultană a mai multor surse să nu modifice comportamentul fiecărei surse în parte. Un exemplu de superpoziţie este acela descris de fenomenul de bătăi: două unde plane armonice cu frecvenţe diferite, ambele propagându-se în lungul axei Ox, produc într-un punct din spaţiu o oscilaţie nearmonică care se propagă în lungul axei Ox cu o viteză diferită de cea a undelor componente. În cazul suprapunerii mai multor unde rezultă un pachet de unde: diferenţa de fază dintre unde, chiar dacă nu este constantă, verifică o anumită lege. În acest capitol vom descrie fenomenele care se produc atunci când mai multe unde de aceeaşi natură se suprapun într-un punct P din spaţiu. Presupunând că undele sunt armonice şi au toate aceeaşi frecvenţă, se va constata că proprietăţile ce rezultă prin suprapunerea în P depind de direcţia de propagare, direcţia de vibraţie şi de diferenţa de fază dintre diferitele unde. Diferenţa de fază dintre două unde în punctul P conţine, în general, doi termeni: o diferenţă de fază intrinsecă dintre sursele care produc undele şi o diferenţă de fază legată de diferenţa de drum parcurs de fiecare undă de la sursă până în punctul P, diferenţă care poate fi numai geometrică sau poate

2 să depindă şi de natura fizică a mediului traversat. Atunci când diferenţa de fază dintre două unde într-un punct oarecare din spaţiu este constantă în timp, sursele celor două unde se numesc coerente. Dacă, însă, această proprietate nu se verifică (sau se verifică pentru timpi foarte scurţi faţă de posibilităţile de măsurare), sursele se numesc necoerente. Fenomenul de interferenţă se referă la acele fenomene de superpoziţie obţinute cu unde emise cu două sau mai multe surse coerente. Posibilitea de a se produce interferenţa este o caracteristică generală a mărimilor care se propagă sub forma undelor; interferenţa este proprie undelor astfel încât observarea acestui fenomen constitue o dovadă a naturii ondulatorii a unei mărimi. Ideea că lumina se propagă sub forma unei unde a fost acceptată numai după experienţa de interferenţă făcută de Young în 1801. Tratarea analitică a fenomenului de interferenţă se bazează pe operaţia de sumare a două mărimi care variază sinusolidal de-a lungul aceleiaşi axe, având aceeaşi pulsaţie şi diferenţa de fază constantă, adică coerente. În cele ce urmează vom prezenta două metode de sumare. Prima metodă se numeşte metoda vectorială sau a vectorilor rotitori sau a fazelor. Să presupunem că undele se propagă de-a lungul axei Ox, vibrează de-a lungul aceleiaşi direcţii iar punctul P se află la distanţa x 1 de sursa primei unde, respectiv la distanţa x 2 de sursa celei de-a doua unde; expresiile celor două unde în P sunt: ξ 1 = A 1 cos(kx 1 ωt + ϕ 1 ) = A 1 cos(ωt kx 1 ϕ 1 ) = A 1 cos(ωt + α 1 ) ξ 2 = A 2 cos(kx 2 ωt + ϕ 2 ) = A 2 cos(ωt kx 2 ϕ 2 ) = A 2 cos(ωt + α 2 ). Constantele ϕ 1 şi ϕ 2 depind numai de surse, în timp ce constantele α 1 şi α 2 conţin şi diferenţa de drum dintre cele două unde. Fiecare oscilaţie în P este reprezentată ca proiecţia pe axa orizontală a unui vector care se roteşte cu viteza unghiulară ω iar suma vectorilor se calculează ca proiecţia pe aceeaşi axă a rezultantei celor doi vectori (Fig.3.1). Aceasta va avea expresia ξ = ξ 1 + ξ 2 = A cos(ωt + α), iar modulul lui A şi faza α sunt date de A = A 2 1 + A 2 2 + 2A 1 A 2 cos δ,δ = α 1 α 2 = ϕ 2 ϕ 1 + k(x 2 x 2 )3.1 (1) tgα = A 1 sin α 1 + A 2 cos α 2 A 1 cos α 1 + A 2 cos α 2 3.2 (2)

Cum intensitatea este proporţională cu pătratul amplitudinii, intensitatea măsurată în P este I = I 1 + I 2 + 2 I 1 I 2 cos δ.3.3 (3) Notăm faptul că A şi I nu depind de semnul lui δ. În cazul particular în care amplitudinile celor două unde sunt egale, A 1 = A 2 = A 0, se obţin relaţiile A = 2A 2 0(1 + cos δ) = 2A 0 cos δ 3.4 (4) 2 tgα = sin α 1 + sin α 2 cos α 1 + cos α 2 = α1+α2 sin cos α 1 α 2 2 2 cos α 1+α 2 cos α 1 α 2 2 2 = tg α 1 + α 2 2 3 α = α 1 + α 2 3.5 2 (5) Folosind relaţiile de mai sus, unda rezultantă în P va avea expresia ξ = A cos(ωt + α) = 2A 0 cos δ ( 2 cos ωt + α ) 1 + α 2 = 2 ( ϕ1 ϕ 2 = 2A 0 cos + k(x ) ( 2 x 1 ) ϕ1 + ϕ 2 cos + k(x ) 2 + x 1 ) ωt 2 2 2 2 iar intensitatea ei, cu I 1 = I 2 = I 0 devine I = 2I 0 (1 + cos δ) = 4I 0 cos 2 δ.3.7 (7) 2 Deci, rezultatul important care se obţine este că amplitudinea undei rezultante depinde de diferenţa de fază δ: valoarea maximă se obţine atunci când cele două unde sunt în fază iar cea minimă pentru undele în opoziţie de fază. max δ = 0, 2π, 4π,... A = A 1 + A 2 I = I 1 + I 2 + 2 I 1 I 2 amplitudiniegale A = 2A 0 I = 4I 0 min δ = π, 3π, 5π,... A = A 1 A 2 I = I 1 + I 2 2 I 1 I 2 amplitudiniegale A = 0 I = 0 Ce-a de-a doua metodă de sumare a undelor în P se numeşte metoda simbolică, utilizează numerele complexe dar, în esenţa, este similară metodei vectoriale. Folosind aceleaşi simboluri ca în metoda de mai sus, se obţine ξ 1 = A 1 e i(ωt+α 1) = A 1 cos(ωt + α 1 ) + ia 1 sin(ωt + α 1 ), ξ 2 = A 2 e i(ωt+α 2) = A 2 cos(ωt + α 2 ) + ia 2 sin(ωt + α 2 ), ξ = ξ 1 + ξ 2 = (A 1 e iα 1 + A 2 e iα 2 )e iωt = [A 1 cos α 1 + A 2 cos α 2 + +i(a 1 sin α 1 + A 2 sin α 2 )]e iωt., (6) 3.6

4 Pătratul modulului lui ξ se obţine înmulţim ξ cu complexul lui conjugat ξ : ξξ = (A 1 e iα 1 + A 2 e iα 2 )e iωt (A 1 e iα 1 + A 2 e iα 2 )e iωt = = A 2 1 + A 2 2 + A 1 A 2 [ e i(α 1 α 2 ) + e i(α 1 α 2 ) ] = A 2 1 + A 2 2 + 2A 1 A 2 cos(α 1 α 2 ). Se observă că rezultatul este identic cu cel obţinut prin prima metodă de sumare; acelaşi lucru este valabil şi pentru faza undei rezultante. Atât metoda vectorială cât şi cea simbolică pot fi folosite pentru sumarea unui număr mai mare de unde emise de surse coerente. Subliniem faptul că ambele metode se aplică oscilaţiilor cu faze diferite, dar care se propagă de-a lungul aceleiaşi axe. Aşadar, dacă undele sunt longitudinale, direcţiile lor de propagare trebuie să coincidă; dacă undele sunt transversale, ele trebuie să oscileze pe aceeaşi direcţie. Observăm, în fine, că maximul sau minimul de interferenţă (sau oricare valoare intermediară) obţinute într-un punct din spaţiu se menţin atâta timp cât diferenţa de fază rămâne constantă: oscilaţia rezultantă are întotdeauna aceeaşi amplitudine şi aceeaşi fază iar intensitatea rezultată ca o medie pe mai multe perioade, este constantă. Interferenţa, aşadar, este un fenomen staţionar, o funcţie de poziţia punctului P în spaţiu, dar nu de timp. 3.2 Interferenţa a două unde luminoase. Experienţa lui Young În cazul undelor luminoase, pentru producerea surselor coerente trebuie să se ţină cont de natura acestor tipuri de unde. Sursele de lumină obişnuită, soarele sau lămpile cu incandescenţă, sunt alcătuite dintr-un număr foarte mare de atomi care, oscilând cu frecvenţe de ordinul ν 0 = 5 10 14 Hz, emit unde luminoase; pentru un singur atom, emisia se face în timpul t = 10 8 s şi nu poate fi monocromatică. Se poate vorbi, mai curând, de un pachet de unde cu lungimea c t 3m. Cum însă raportul dintre intervalul de frecvenţe ν = ( t) 1 ale pachetului de unde şi frecvenţa ν 0 este ν/ν 0 10 7, acesta nu poate fi perceput cu instrumente normale de măsură. Vom scrie, aşadar, unda sub forma E = E 0 cos(ω 0 t+ϕ); în intervalul t, direcţia lui E şi faza ϕ rămân constante. Un alt atom se dezexcită, independent de primul, emiţând un pachet de unde cu aceiaşi E 0 şi ω 0, dar cu planul de polarizare şi faza ϕ diferite. Acest lucru este valabil pentru oricare doi atomi care se dezexcită.

Unda emisă de o sursă obişnuită este, deci, rezultanta pachetelor elementare emise de atomi. Aşadar, atât undele care provin din două puncte ale aceloraşi surse cât şi undele care provin de la două surse diferite nu sunt coerente şi nu produc fenomene de interferenţă. Intensitatea totală produsă într-un punct Q de N surse de lumină obişnuită se poate calcula folosind relaţia I R = N I i, sumând intensităţile produse în Q de fiecare sursă în parte. Observăm că într-un interval de timp de ordinul a 10 8 s, timp în care unda emisă de sursa elementară efectuează 10 6 oscilaţii, două unde emise de doi atomi diferiţi sunt coerente, cu o diferenţă de fază ϕ 2 ϕ 1 constantă în timp. Acestea pot, aşadar, interfera, iar variaţiile corespunzătoare de intensitate se pot măsura numai dacă există instrumente care au posibilitatea de a măsura intensităţi luminoase în timpi foarte scurţi. Un experiment de acest fel a fost efectuat în 1956 de Hanbury Brown şi de Twiss, obţinându-se rezultatul aşteptat. Dacă, însă, instrumentele cu care se măsoară intensitatea luminoasă nu au o rezoluţie temporală foarte bună, trebuie să se aştepte un timp mult mai mare decât t pentru obţinerea rezultatului. Astfel, timpul fiind lung, se va suprapune interferenţa a două pachete de unde cu o anumită diferenţă de fază ϕ cu aceea a altor două pachete având o altă ϕ, şi aşa mai departe: poziţiile ce corespund unui maxim într-un anumit caz pot fi poziţii de minim într-un alt caz şi, în final, se observă numai o intensitate constantă. O metodă de a obţine două sau mai multe surse coerente de lumină constă în introducerea în calea fasciculului de lumină a unui ecran opac în care sunt făcute N orificii: unda emisă de aceste orificii are diferenţa de fază constantă. De fapt, cu acest procedeu un singur pachet de undă generează N pachete, toate având aceleaşi caracteristici; procedeul se numeşte divizarea frontului de undă. Sursele secundare au aceeaşi fază şi aceeaşi polarizare; orice variaţie de fază a sursei primare se transmite surselor secundare şi produce o variaţie a planului de polarizare. Cele N orificii devin N surse coerente de lumină obişnuită. Principiul Huygens-Fresnel dă o descriere calitativă completă în cazul undelor emise de surse secundare; în particular, amplitudinea este dată de relaţia da = A s f(θ)dσ = ξ f(θ)dσ 0 qs, reprezentată schematic în figura 3.2 i=1 5

6 FIG.3.2 Experienţa lui Young În 1801, Young a obţinut pentru prima dată în laborator interferenţa a două unde luminoase folosind dispozitivul din figura 3.3. FIG.3.3 Un fascicul de lumină monocromatică este incident pe o placă pe care există un orificiu S 0 ; acesta va reprezenta unda primară în experiment. Unda care iese prin acest orificiu cade pe un ecran opac cu două deschideri foarte înguste S 1 şi S 2, paralelă cu S 1 şi la egală distanţă faţă de axa dispozitivului (axa z); cele două deschideri S 1 şi S 2, reprezintă, practic, două surse coerente. Lumina emisă de S 1 şi S 2, produce pe un ecran C aflat la distanţa L de surse (L d, unde d este distanţa dintre surse) o figură vizibilă, numită figură de interferenţă. Aceasta constă într-o serie de benzi luminoase şi întunecate, paralele cu orificiile, numite franje de interferenţă. Franjele luminoase corespund maximului de intensitate (interferenţă constructivă) şi sunt obţinute în puncte în care undele sosesc în fază, în timp ce franjele întunecoase corespund minimului de intensitate (interferenţă distructivă) şi sunt obţinute în punctele în care undele sosesc în opoziţie de fază. La intersecţia axei dispozitivului cu ecranul se observă o franjă luminoasă. În figura 3.4 sunt reprezentate franjele de interferenţă. FIG.3.4 Să aplicăm acum rezultatele obţinute în paragraful precedent pentru a calcula poziţiile maximelor şi minimelor de interferenţă precum şi variaţiile intensităţii luminoase pe ecran în funcţie de distanţa x faţă de centrul imaginii (figura 3.5) FIG.3.5 În ipoteza L d, se poate scrie sin θ tgθ θ = x/l şi, deci, max θ = m 0, nd min θ = (2m + 1) 0 2nd I(x) = 4I 1 cos 2 πdnx 3.8 (8) 0 L x = m 0L, m = 0, ±1, ±2,... nd x = (2m + 1) 0L m = 0, ±1, ±2,.. 2nd 3.9 (9) În aceste relaţii, 0 este lungimea de undă în vid şi = 0 /n este lungimea de undă în mediul cu indicele de refracţie n în care se face experienţa.

În dispozitivele interferenţiale se cheamă franjă centrală franja corespunzătoare unei diferenţe de fază nulă; celelalte franje luminoase sunt numerotate începând de la franja centrală: m = ±1 se referă la franjele situate de-o parte şi de alta a franjei centrale, şi aşa mai departe. În dispozitivul Young franja centrală se află pe axa sistemului. Deoarece d (d este de ordinul milimetrilor iar de ordinul 10 3 m), maximele şi minimele de interferenţă se succed cu o frecvenţă foarte mare. Distanţa dintre două maxime succesive este x = 0 L/d; cunoscându-se d şi L şi măsurând x se poate determina 0. Young a fost cel care a determinat pentru prima dată lungimea de undă a unei radiaţii luminoase. Intensitatea maximă I max = 4I 1 este constantă pentru diverse franje luminoase dacă intensitatea I 1 a fiecărei surse nu depinde de θ. În realitate, ştim că în expresia intensităţii I 1 apare pătratul factorului de înclinare ( ) 2 1 + cos θ f 2 (θ) =. 2 Efectul, însă, nu este foarte puternic: pentru θ = 30 0, f 2 (θ) = 0.87. Un efect cantitativ mult mai pronunţat provine din lărgimea finită a deschiderilor S 1 şi S 2, care produce o scădere evidentă a intensităţii la creşterea lui θ. Din acest motiv, figura de interferenţă care se observă va avea un număr limitat de franje de-o parte şi de alta a franjei centrale. Datorită naturii undelor electromagnetice care interferă, sunt necesare două consideraţii. Prima se referă la condiţia d L, esenţială pentru observarea franjelor de interferenţă atunci când experienţa se face cu lumină obişnuită, nepolarizată. Să ne amintim că o undă nepolarizată, aşa cum sunt cele emise de S 1 şi S 2, se poate descompune în două unde de egală intensitate, polarizate după direcţii perpendiculare între ele şi pe direcţia de propagare; să alegem aceste direcţii, una perpendiculară pe planul desenului şi alta în planul desenului (figura 3.6) FIG.3.6 Pentru a se forma figura de interferenţă este necesar ca E 1 şi E 2 ale celor două unde să fie polarizaţi după aceeaşi direcţie; acest lucru este întotdeauna adevărat pentru componentele E 1 şi E 2 perpendiculare pe planul figurii, dar este şi pentru componentele din planul figurii numai dacă d L. A doua consideraţie derivă din faptul că undele emise de S 1 şi S 2 nu sunt unde armonice. Presupunând că sursa este alcătuită dintr-un singur atom, acesta este un emiţător de impulsuri de durată t 10 8 s şi de lungime 7

8 x 3m. Pentru a putea observa interferenţa într-un anumit punct al ecranului este necesar ca în acel punct să se suprapună aproape complet cele două pachete de unde provenite de la S 1 şi S 2, şi date iniţial de acelaşi pachet provenind de la S 0 ; numai în acest mod diferenţa de fază şi planul de polarizare al celor două câmpuri electrice rămân constante pe toată durata propagării. Această condiţie este verificată până când diferenţa de drum dintre două unde este mult mai mică decât lungimea x. Raţinamentul rămâne valabil şi pentru o sursă alcătuită dintr-un număr foarte mare de atomi din moment ce figura de interferenţă este rezultatul a numeroase procese elementare, în oricare dintre ele are loc interferenţa a două pachete de unde obţinute dintr-un singur proces de emisie atomică. Din acest motiv t şi x sunt numite timp şi lungime de coerenţă. În experienţa lui Young diferenţele de drum sunt egale cu cel mult câteva zecimi de lungime de undă astfel încât consideraţia de mai sus nu este esenţială; aceasta este însă importantă in acele dispozitive în care diferenţele de drum pot ajunge de ordinul metrului. Experienţele de interferenţă cu diferenţe foarte mari de drum între unde se realizează cu lumină laser care are timpi de coerenţă de 10 3 s şi lungimi de coerenţă de ordinul sutelor de kilometri. Aplicaţii ale metodei Young Metoda dezvoltată de Young pentru realizarea a două surse coerente de unde luminoase ce constă în folosirea unei singure surse primare şi în divizarea frontului său de undă, a fost utilizată sub mai multe forme. Fără a intra în detalii analitice, vom prezenta la început două dispozitive construite de Fresnel. Sursele secumdare sunt obţinute prin reflexie sau prin refracţie, şi nu prin difracţie ca în cazul dispozitivului Young; se obţine o figură de interferenţă şi aceasta demonstreză că fenomenul depinde de coerenţa surselor şi nu de modalitatea în care acestea sunt obţinute. 1.Oglinzile lui Fresnel(figurea 3.7) FIG.3.7 Lumina emisă de o sursă punctiformă S 0 cade pe două oglinzi plane care formează între ele un unghi α foarte mic. Exemplul particular în care două raze ce sosesc în punctul Q arată cum se generează diferenţa de drum şi, deci, diferenţa de fază. Este ca şi cum lumina ar proveni de la două imagini

virtuale ale lui S 0 date de oglinzi, care îndeplinesc rolul de surse coerente de egală intensitate ce interferă în regiunea comună în care se propagă undele reflecate. De exemplu, dacă lumina este monocromatică, figura de interferenţă formată din franje luminoase şi întunecoase se observă pe un ecran C aflat la distanţa L de planul în care sunt S 1 şi S 2 ; L este mare în comparaţie cu distanţa d dintre sursele S 1 şi S 2. 2.Biprisma Fresnel (figura 3.8) FIG.3.8 Două plăci de sticlă de secţiune triunghiulară (prisme) sunt alipite de-a lungul bazelor. Sursa S 0 trimite lumina spre ecranul C şi datorită refracţiei în prisme, lumina pare că provine din sursele S 1 şi S 2 care sunt sursele virtuale ale sistemului. Atât unghiul dintre vârfurile prismelor cât şi apertura fasciculului luminos emis de S 0 sunt mici. Ecranul este aşezat la o distanţă mare faţă de distanţa dintre surse. Franjele observate sunt similare acelora obţinute cu oglinzile lui Fresnel. 9 3.3 Interferenţa produsă de N surse coerente Considerăm N surse egale de unde sferice, coerente, aşezate de-a lungul unei drepte; sursele se află la aceeaşi distanţă d una de alta. Vom studia interferenţa lor la o distanţă foarte mare faţă de dimensiunea (N 1)d a sistemului de surse. Fie θ unghiul dintre direcţia de observaţie şi normala la dreapta ce conţine sursele (figura 3.9); diferenţa de fază dintre două unde emise de două surse alăturate este δ = 2π d sin θ în ipoteza în care diferenţa de fază intrinsecă dintre surse se anulează. FIG.3.9 Într-un punct oarecare Q, amplitudinile ξ 1 ale undelor singulare sferice sunt egale deoarece Q se află la distanţă foarte mare faţă de sistemul de surse; nu vor avea însă aceleaşi faze datorită diferenţei de drum. Pentru a calcula ampltudinea ξ R vom folosi metoda vectorilor rotitori. Aşa cum se observă în figura 3.10, amplitudinile singulare sunt dispuse ca laturile unui poligon regulat ce poate fi înscris într-un cerc cu centrul în O şi de rază ρ; unghiul la

10 centru care subîntinde un singur vector este δ iar acela care subîntinde întreg poligonul cu N laturi este Nδ. Rezultă că ξ 1 = 2ρ sin δ 2, ξ R = 2ρ sin Nδ 2 şi, combinând aceste relaţii se obţine valoarea amplitudinii rezultante în funcţie de amplitudinea ξ 1 a fiecărei surse şi de defazajul δ dintre două unde emise de surse alăturate: sin Nδ 2 ξ R = ξ 1 sin δ 2 3.10 (10) Intensitatea undei rezultante în punctul Q este proporţională cu pătratul lui ξ R : ( ) sin Nδ 2 ( ) 2 sin Nπd sin θ 2 I R (θ) = I 1 sin δ = I 1 πd sin θ 3.11 (11) sin 2 I 1 este intensitatea pe care o undă singulară o produce în punctul Q. Intensitatea (3.11) variază în funcţie de unghiul de observaţie θ. Dacă θ = 0, direcţie de-a lungul căreia toate undele sunt în fază, intensitatea este maximă şi egală cu I max = N 2 I 1 : sin Nx lim x 0 sin x = lim N cos Nx x 0 cos x = N ξ R = Nξ 1,I R = N 2 I 1. Aceeaşi situaţie se repetă ori de câte ori πd sin θ/ = π, 2π, 3π,... şi putem trage concluzia că intensitatea I R are în intervalul 0 θ π/2 un anumit număr de maxime principale, caracterizate de proprietatea πd sin θ = mπ d sin θ = m, sin θ = m, m = 0, 1, 2,...3.12 (12) d I max = N 2 I 1, ξ max = Nξ 1. În afara valorilor sin θ date de relaţia (3.12), numitorul din (3.11) nu se mai poate anula. Însă, numărătorul se anulează şi atunci când sunt satisfăcute condiţiile: Nπd sin θ = m π d sin θ = m N, sin θ = m 3.13 (13) Nd m = 1, 2,...N 1, N + 1,...2N 1, 2N + 1,..,

fiind excluse valorile 0, N, 2N,... pentru care se obţin maximele principale. Între două maxime principale se găsesc N 1 minime în care I = 0. Deoarece intensitatea este o funcţie pozitivă de θ, între două minime va exi-sta un maxim, numit maxim secundar; în consecinţă, între două maxime principale sunt N 2 maxime secundare. Poziţiile maximelor secundare se obţin atunci când numărătorul din relaţia (3.11) este 1 sau atunci când 11 Nπd sin θ = (2m + 1) π 2 d sin θ = (2m + 1) 2N sin θ = (2m + 1) 2Nd ; m = 1, 2,..N 2, N + 1,...2N 2, 2N + 13.14 (14) Valoarea intensităţii maximelor secundare este I m = I 1 ( sin 2m +1 2N ) 2 = I max N 2 ( sin 2m +1 2N ) 2 3.15 (15) În figura 3.11 este reprezentată intensitatea rezultată prin interferenţa a 2, 4, 8 sau a mai multor surse; distanţa d dintre două surse consecutive şi lungimea de undă sunt întotdeauna aceleaşi. Figura este simetrică faţă de θ = 0. Fig.3.11 Să recapitulăm principalele caracteristici ale fenomenului descris în acest paragraf. 1. Poziţia maximelor principale, în care este concentrată cea mai mare parte a puterii emise, este determinată de raportul /d şi nu depinde de numărul N de surse. Numărul de maxime se obţine din relaţia (3.12); acesta este dat de valoarea cea mai mare a lui m pentru care sin θ = m/d nu este mai mare decât 1 şi nu depinde de N. 2. Intensitatea maximelor principale depinde de numărul N de surse şi creşte cu acesta conform relaţiei I max = N 2 I 1. 3. Amplitudinea unghiulară a maximelor principale scade cu creşterea lui N, proprietate evidenţiată în figura 3.11. Lărgimea unghiulară a unui maxim principal se poate defini ca distanţa dintre două minime alăturate maximului; din relaţia (3.13) se observă că această definiţie corespunde unei creşteri cu două unităţi a lui m şi, deci, (sin θ) = 2 3.16 (16) Nd

12 4. Cele N 1 minime şi cele N 1 maxime secundare cuprinse între două maxime principale sunt echidistante în variabila sin θ; intervalul dintre un minim şi un maxim secundar este /2N d, intervalul dintre două extreme consecutive de acelaşi fel este /N d (figura 3.12). FIG.3.12 Intensitatea maximelor secundare descreşte ca 1/N 2 la creşterea lui N; în practică, pentru N mare, se obţine o anumită intensitate numai pentru maximele secundare. Analizând fenomenul de interferenţă este posibil, în funcţie de cât de mare este numărul N de surse, să obţinem o anumită intensitate numai în unele direcţii, modificând distanţa d dintre surse; este vorba, aşadar, de emisie direcţională. Interferenţa a două unde produse de surse coerente conduce la o redistribuire a energiei care este concentrată în zonele corespunzătoare maximelor principale; puterea este întotdeauna NP 1, fie că sursele sunt sau nu coerente. Relaţia (3.16), care are semnificaţia îngustării maximelor principale la creşterea numărului N de surse, este fundamentală pentru creşterea sensibilităţii măsurătorilor efectuate prin metode interferenţiale. 3.4 Interferomentul Michelson Interferometrul Michelson este alcătuit din două oglinzi M 1 (mobilă) şi M 2 (fixă), o lamă de sticlă M cu o suprafaţă semireflectătoare şi dintr-o a doua lamă de sticlă G, de aceeaşi grosime cu M. Un fascicul de lumină provenind de la o sursă îndepărtată S traversează lama M şi cade pe suprafaţa semireflectătoare a acesteia; o parte a fascicului este reflectat spre oglinda M 1 iar o altă parte, egală, este transmisă spre oglinda M 2 la care ajunge după ce străbate lama G. Fasciculele reflectate de oglinzi se întâlnesc spre faţa semireflectătoare a lui M; fasciculul de la M 1, parţial transmis şi fasciculul de la M 2, parţ ial reflectat, ajung printr-un telescop la observator, unde interferă. Cele două fascicule sunt coerente deoarece sunt obţinute de la aceeaşi sursă prin divizarea amplitudinii (figura.13) FIG 3.13 Lama G, numită lamă de compensare, face ca ambele raze ce interferă să traverseze aceeaşi grosime de sticlă, eliminând astfel efectele de dispersie; de

fapt, dacă nu ar fi fost G, diferenţa de fază dintre cele două raze ce ar străbate grosimi diferite de sticlă ar depinde de lungimea de undă deoarece indicele de refracţie depinde de ; în lumină monocromatică nu ar fi indispensabilă, însă este folositor ca G să fie prezentă deoarece astfel diferenţa de drum optic dintre raze depinde numai de d 1 d 2, adică egală cu diferenţa dintre braţele interferometrului. Dacă cele două oglinzi sunt perpendiculare una pe cealaltă, efectul observat este echivalent cu acela al unei lame de aer de grosime d = d 1 = d 2 : lumina provenind de la M 2 joacă rolul luminii reflectate pe suprafaţa inferioară a lamei iar cea provenind de la M 2 a luminii reflectate pe faţa superioară a lamei. În figura 3.13., lama de aer echivalentă este cea de la M 1 la linia principală. În această situaţie se vor observa franje circulare de egală înclinare, cu centrul luminos, deoarece nu există defazaj între două raze. Diferenţa de drum r este dată de realţia: r = 2d cos θ i = 2(d 2 d 1 ) cos θ i, unde θ i este unghiul de incidenţă al razelor provenite de la sursă. 13 max : 2d cos θ i = m, cos θ i = m 2d min : 2d cos θ i = (2m + 1) 2 cos θ i (2m + 1) 4d. Pentru o anumită valoare d, se observă poziţia unei franje luminoase F m caracterizată de o valoare θ i şi de numărul m; dacă îndepărtăm M 1 menţinând-o însă paralelă cu poziţia sa iniţială, d creşte şi poziţia franjei F m este înlocuită de o altă franjă F m, cu m > m, în timp ce franja F m se deplasează spre exterior într-o poziţie caracterizată de o valoare mai mică a lui cos θ i. Astfel, prin creşterea lui d se pot număra franjele luminoase care trec printr-o anumită poziţie fixată. Numărul franjelor se traduce într-o măsurătoare a lungimii deoarece variaţia lui d este practic egală cu /2, fiind lungimea de undă a luminii monocromatice utilizate. Eroarea absolută care se produce prin măsurare este de ordinul jumătăţii distanţei care conduce la deplasarea franjei, adică de ordinul /4. Michelson a folosit această metodă pentru a compara lungimea metrului etalon cu lungimea de undă a unei linii roşi emisă de cadmiu ( = 643.8nm); el a obţinut că metrul este egal cu 1.5531635 10 6, cu o eroare relativă de 3 10 7. În acest mod, Michelson a pus bazele definiţiei optice a unităţii de lungime, adoptată definitiv în 1960.

14 În măsurătorile efectuate, Michelson nu a putut să facă o comparaţie directă cu metrul etalon; în afara faptului că trebuiau măsurate cam trei milioane de franje, distanţa d = 1m este aproximativ egală cu lungimea de coerenţă a lungimii normale emise de atomi şi nu se poate păstra figura de interferenţă pentru această lungime. Însă, Michelson a măsurat o lungime mult mai mică pe care a raportat-o fără a mări eroarea, la lungimea metrului etalon. Un alt rezultat important obţinut cu interferometrul Michelson este verificarea faptului că viteza luminii nu depinde de sistemul de referinţă (experienţele Michelson şi Morley, 1887). Presupunem că drumul MM 2 este paralel vitezei pământului (şi, deci, MM 1 este perpendicular pe această viteză). Pentru o anumită lungime geome-trică a acestor drumuri se calculează care trebuie să fie figura de interferenţă ţinând cont de faptul că viteza c a luminii trebuie să se compună cu viteza v a pământului rezultând, de exemplu, c v pentru MM 2, respectiv c + v pentru M 2 M; defazajul dintre undele care interferă este determinat introducând valorile vitezei de propagare a luminii calculate prin compunerea galileană a vitezelor, în ambele braţe ale interferometrului. Dacă interferometrul este rotit cu 90 0, se va schimba rolul celor două drumuri MM 2 este MM 1 şi se va observa o deplasare a franjelor, fiind modificat defazajul dintre undele care interferă. Deplasarea aşteptată a franjelor era de aproximativ jumătate de franjă, dar autorii nu au reuşit să observe nici un fel de deplasare. Experienţa a fost repetată în diferite condiţii, întotdeauna obţinându-se acelaşi rezultat. Concluzia, formulată de Einstein ca bază a teoriei restrânse, a fost că viteza luminii este aceeaşi în orice sistem de referinţă inerţial. 3.5 Difracţia undelor electromagnetice Difracţia este un fenomen particular de interferenţă care se verifică atunci când o undă întâlneşte în drumul său un obstacol sau o apertură. De exemplu, apertura poate fi constituită dintr-un orificiu circular sau dreptunghiular practicate într-un ecran opac, un obstacol de forma unui fir, etc. Dincolo de obstacole sau de aperturi, undele se propagă în spaţiu de-a lungul unor direcţii diferite faţă de cea de incidentă şi vor apărea diferenţe de drum între undele care se suprapun într-un anumit punct; aşadar, se pot produce

fenomene de interferenţă cu o distribuire a energiei în punctele din spaţiu, din care rezultă caracteristicile figurii de difracţie. Fenomenele de difracţie se pot verifica pentru toate tipurile de unde; acestea se pot observa cu uşurinţă în cazul undelor pe suprafaţa unui lichid sau pentru undele sonore, acestea având lungimile de undă apropiate dimensiunilor obstacolelor sau aperturilor. Mai dificilă este observarea acestui fenomen în cazul undelor luminoase din cauza lungimilor mici de undă ( = 0.4 0.7µm); însă fenomenele şi aplicaţiile acestora sunt foarte interesante, motiv pentru care ne vom ocupa îndeosebi de difracţia luminii. Argumentele generale rămân valabile pentru orice tip de unde. Difracţia a fost observată pentru prima dată de Grimaldi, în a doua jumătate a secolului al XVII-lea, într-o epocă dominată de teoria lui Newton. Ipoteza ondulatorie a luminii a fost confirmată numai după o altă sută de ani, în urma experienţelor efectuate de Young şi de Fresnel. În figura 3.14 este reprezentată o situaţie comună în care se observă difracţia: o undă cade pe un ecran opac pe care se află un orificiu de dimensiuni comparabile cu lungimea de undă a radiaţiei incidente; pe un ecran C se poate observa lumina după ce a trecut prin orificiu. FIG 3.14 Pentru calculul amplitudinii luminoase în punctul P al ecranului se foloseşte principiul Huygens-Fresnel -Kirchhoff. Suprafaţa aperturii este împărţită în elemente infinitezimale de arie dσ, fiecare dintre ele constituid o sursă elementară de unde, cu amplitudinea câmpului electric dată de expresia: de = Af(θ)dΣ S 15, f(θ) = 1 + cos θ.3.17 (17) 2 Amplitudinea rezultantă în P se obţine prin sumarea vectorială a tuturor contribuţiilor de provenite de la toate sursele care alcătuiesc orificiul luminos, surse care sunt coerente, în fază dacă suprafaţa orificiului coincide cu suprafaţa frontului de undă incident (sau cu diferenţa de fază constantă în alte cazuri). Dacă unda este incidentă pe un obstacol opac, de exemplu pe un disc, pentru calculul amplitudinii undei într-un punct P dincolo de obstacol se procedează în acelaşi mod, considerând suprafaţa frontului de undă din afara obstacolului. Dintre modalităţile în care se realizează şi se observă difracţia produsă de aperturi sau de obstacole iluminate, ne vom referi în cele ce urmează numai la două dintre ele, studiate de Fraunhofer, respectiv de Fresnel.

16 a) Difracţia Fraunhofer Sursa de lumină S şi ecranul C se află la distanţă mare de sursă şi apertură. Fronturile de undă care ajung pe aceasta sunt plane, la fel sunt şi fronturile de undă care ajung în P (figura 3.15). Această reprezentare, care este cea mai simplă de tratat analitic, se realizează în laborator cu ajutorul a două lentile: prima lentilă L 1 transformă unda sferică provenită de la S într-o undă plană cu apertura conţinută în frontul de undă; cea de-a doua lentilă L 2 focalizează în punctul P razele provenite de la apertură. FIG.3.15 b) Difracţia Fresnel Sursa S şi ecranul C sunt la distanţă finită de apertură, fronturile de undă nu sunt plane iar razele care sosesc în P nu sunt paralele; aceeaşi situaţie poate exista şi în cazul unui obstacol oarecare (figura 3.16). FIG.3.16 În cele ce urmează vom analiza mai întâi fenomenele Fraunhofer care, printre altele, sunt interesante pentru construirea instrumetelor optice. Vom studia apoi şi difracţia Fresnel în cazuri matematice simple, dar semnificative. 3.6 Difracţia pe o deschidere dreptunghiulară îngustă Analizăm difracţia Fraunhofer considerând un orificiu dreptunghiular îngust practicat pe un ecran opac, de lărgimea AB = a şi lungime L a (figura 3.17) FIG 3.17 Pe deschiderea dreptunghiulară este incidentă o undă plană cu lungimea de undă şi cu frontul de undă paralel cu planul care conţine deschiderea. Divizăm această deschidere în N fâşii paralele de lărgime y. Fiecare fâşie va fi o sursă de unde secundare şi va contribui cu amplitudinea E la câmpul

electric rezultant E R într-un punct P al ecranului. Contribuţiile E legate de două fâşii alăturate au diferenţa de fază în punctul P egală cu 17 ϕ = 2π y sin θ. Pentru a calcula E R se procedează ca şi în cazul a N surse coerente, folosind construcţia poligonului celor N vectori rotitori reprezentând undele care se suprapun. Acum, însă, N trebuie să tindă la infinit (sau y să tindă la zero) iar poligonul devine un arc de cerc cu raza ρ şi cu unghiul la centru α = 2π a sin θ3.18 (18) egal cu diferenţa de fază dintre două unde emise de punctele extreme A şi B ale deschiderii. Din figura 3.18 rezultă că E R = 2ρ sin α 2. FIG.3.18 Lungimea arcului de cerc este E max = ρα şi corespunde amplitudinii maxime care se observă în centrul ecranului, atunci când θ = 0 şi toate undele emise de fâşii singulare sunt în fază. Aşadar, E R = f(θ)e max sin α/2 α/2, expresie în care apare factorul de înclinaţie f(θ) deoarece toate amplitudinile emise sub un unghi θ 0 trebuie multiplicate cu f(θ). Intensitatea este proporţională cu pătratul amplitudinii; folosind relaţia (3.18) obţinem: I(θ) = I max f 2 (θ) ( sin α 2 α 2 ) 2 = I maxf(θ) ( sin πa sin θ πa sin θ ) 2 3.19 (19) Funcţia I(θ) este reprezentată în figura 3.19 pentru valorile a = 10, a = 5, a =. Fig.3.19 Intensitatea transmisă de deschidere se anulează obţinându-se minime de difracţie atunci când πa sin θ = mπ, sin θ = m,m = 1, 2, 3,..3.20 (20) a

18 Primele minime, la stânga şi la dreapta maximului central se obţin pentru sin θ = ±/a iar mărimea (sin θ) = 2 a se numeşte lărgimea unghiulară a maximului central de difracţie. Se observă că pentru a maximul este foarte îngust şi efectul difracţiei este aproape neglijabil, dar maximul se lărgeşte dacă a scade, tinzând la. Dacă a =, primul şi unicul minim se formează la θ = 90 0 iar dacă a < intensitatea nu se anulează niciodată; pentru a tot spaţiul de dincolo de deschidere este iluminat. Între două minime de intensitate există un maxim secundar, a cărui poziţie se calculează căutând maximele funcţiei sin 2 β/β 2 aflată în expresia intensităţii. Se obţine condiţia tgβ/β, ecuaţie transcendentă care se poate rezolva prin metoda grafică (în afară de cazul β = 0). Aproximaţia prin care se consideră intensitatea maximă atunci când sin 2 (πa sin θ/) este bună, sau când πa sin θ = (2m + 1) π 2, sin θ = (2m + 1) 2a, m = 1, 2, 3,... Intensitatea maximelor secundare, neglijând factorul de înclinare rezultă de forma I m 1 0.4 = [ ] I 2 max (2m + 1) π (2m + 1). 2 2 Pentru primul maxim m = 1 şi I 1 /I max = 0.045, adică intensitatea este mult mai mică faţă de maximul central; pentru m = 2, raportuli 2 /I max este 0.016, pentru m = 3 este 0.008 şi aşa mai departe. Valoarea rapoartelor este şi mai scăzută dacă se introduce factorul f 2 (θ). Maximele secundare nu sunt, aşadar, bine observate; dacă nu este mult diferită de a, acestea sunt destul de separate de maximul central; dacă a maximele secundare sunt foarte aproape de direcţia θ = 0 şi sunt, practic, invizibile. 3.7 Reţeaua de difracţie În paragraful precedent am analizat difracţia Fraunhofer produsă de o des-chidere dreptunghiulară îngustă. În cazul în care dispozitivul conţine N

deschideri dreptunghiulare, fiecare de lărgime a, se realizează un sistem de N surse a căror interferenţă am analizat-o în paragraful 3.3; acum trebuie să introducem faptul că datorită difracţiei, intensitatea emisă de fiecare sursă are dependenţa decrisă în 3.6. Dispozitivul, numit reţea de difracţie, se poate realiza trasând linii paralele foarte subţiri pe o placă de sticlă; spaţiul care rămâne între două linii alăturate constituie o deschidere. Distanţa d dintre două deschideri se numeşte pasul reţelei iar lungimea totală a acesteia este Nd. În figura 3.20 o undă plană de lungime de undă este incidentă normal pe o reţea de difracţie; după reţea se aşează o lentilă convergentă şi se observă figura de interferenţă în planul focal al lentilei. FIG 3.20 Intensitatea într-un punct P de pe ecran se poate calcula din relaţia (3.11) în care intensitatea I 1 (θ) a unei singure deschideri este dată de (3.19), adică ( sin πa sin θ I 1 (θ) = I 0 πa sin θ I 0 este intensitatea la θ = 0 şi a fost neglijată contribuţia factorului de înclinare f(θ) care nu este importantă pentru analiza pe care o vom face. Aşadar, intensitatea în P este ( sin πa sin θ I(θ) = I 0 πa sin θ ) 2 ; 19 ) 2 ( ) sin Nπd sin θ 2 3.21 (21) sin πd sin θ Această funcţie este reprezentată în figura 3.21, cu N = 8; în mod uzual, rezultatele sunt sintetizate spunând că intensiatea figurii de interferenţă este modulată de difracţie. FIG. 3.21 Caracteristicile intensităţii transmise de o reţea de difracţie sunt: a) Maximele principale se află de-a lungul direcţiilor sin θ m = m d,m = 0, ±1, ±2,...3.22 (22) b) Distanţa unghiulară dintre un maxim principal şi minimul alăturat acestuia este (sin θ) = Nd = L.

20 Se poate scrie şi relaţia (sin θ) = cos θ θ, deoarece L şi, deci, variaţia este mică. Aşadar, lărgimea unghiulară a unui maxim principal este θ m = 2 θ = 2 L cos θ m = 2 Nd cos θ m 3.23 (23) Din relaţia (3.23) se observă că pentru un N din ce în ce mai mare, franjele produse sunt din ce în ce mai înguste. c) Intensitatea franjei centrale (m = 0) creşte proporţional cu N 2 ; intensitatea altor maxime este însă micşorată din cauza difracţiei. Introducând (3.22) în (3.21) rezultă că, pentru o valoare m 0, R m = I max(m) I max (m = 0) = ( sin mπ a d mπ a d ) 2 3.24 (24) Raportul R m depinde de raportul dintre lărgimea a a deschiderii şi de pasul reţelei d. În particular, atunci când un minim de difracţie coincide cu un maxim de interferenţă, adică atunci când pentru aceeaşi valoare θ sunt satisfăcute condiţiile d sin θ = m,a sin θ = m a, raportul a/d este egal cu m a /m şi R m este zero: nu se obţine maximul de ordinul m = m a (d/a). În figura 3.21 condiţia de dispariţie a unui franje este realizată cu o bună aproximaţie pentru m = 4, m a = 2 şi, deci, în reţeaua la care se referă figura a d/2. Subliniem faptul că figura 3.21, pentru simplificarea explicaţiilor, este la o scală arbitrară: ştim, de fapt, că intensitatea primului maxim secundar de difracţie este circa 4% din intensitatea franjei centrale (în desen este de circa 10%). Reţeaua descrisă mai sus funcţionează în transmisie; dacă trăsăturile se fac pe o suprafaţă reflectătoare, obţinem o reţea ce funcţionează în reflexie; pentru aceasta din urmă, analiza este similară cu cea pentru reţeaua în transmisie. 3.8 Difracţia Fresnel Fenomenele de difracţie Fresnel se produc atunci când sursa sau punctul de observaţie, sau amândouă, sunt la distanţă finită faţă de deschidere sau faţă de obstacolul care perturbă frontul de undă.

Deoarece tratarea analitică este destul de complicată, ne vom limita la analiza cazurilor în care unda plană este incidentă pe o deschidere practicată pe un ecran opac sau pe un obstacol iar observarea fenomenului se face la o distanţă finită de acesta, dar întotdeauna mai mare decât lungimea de undă a radiaţiei incidente. Pentru calcul efectiv folosim o metodă eleborată chiar de Fresnel care constă în divizarea frontului de undă incident în zone oportun definite, fiecare dintre ele fiind văzută în punctul P în care calculăm efectele de difracţie ca o sursă secundară de surse sferice. Este vorba, aşadar, de o aplicaţie particulară a principiului Huygens-Fresnel adaptată problemei pe care o vom rezolva. Considerăm un front de undă plană care se propagă înspre P şi notăm cu r 0 = OP distanţa de la P la frontul de undă (figura 3.22) FIG.3.22 Divizăm frontul de undă în zone inelare concentrice, cu centrul în O, definite de condiţia ca distanţele la P de la marginea internă, respectiv de la marginea externă a fiecărei zone să difere cu /2: 21 r 1 = r 0 + 2 r 2 = r 1 + 2 = r 0 +. r n = r n 1 + 2 = r 0 + n 2, n = 1, 2, 3,.. Razele circumferinţelor care delimitează zonele Fresnel sunt date de R 2 n = r 2 n r 2 0 = (r 0 + n 2 ) r2 0 = nr 0 + n 2 2 4 nr 0, 3.25 (25) unde aproximaţia este consistentă cu ipoteza r 0. Câmpul electric în P se obţine ca sursă a câmpurilor electrice E n provenite de la fiecare zonă. Ariile zonelor Fresnel, Σ n = π(r 2 n R 2 n 1) = π[nr 0 (n 1)r 0 ] = πr 0, sunt toate egale între ele, nu depind de n. Aşadar, amplitudinile undelor emise de diferite zone sunt diferite în P numai datorită prezenţei factorului de înclinare f(θ) şi de distanţă, scăzând la creşterea lui n. Evaluarea câmpului electric rezultant E R se face aplicând metoda vectorilor rotitori. Fiecare zonă finită este considerată la rândul său ca fiind formată dintr-un număr infinit de suprafeţe elementare în fiecare dintre ele

22 emite o undă de amplitudine infinitezimală. Diferenţa de fază dintre undele emise de marginile interne şi externe ale fiecărei zone este δ = 2π (r n r n 1 ) = 2π 2 = π. Acest rezultat semnifică faptul că desenând vectorii infinitezimali relativi la prima zonă Fresnel obţinem o semicircumferenţă al cărui diametru OA reprezintă câmpul electric E 1 al undei emise de prima zonă (figura 3.23). Pentru cea de-a doua zonă Fresnel, pornind din A obţinem din nou o semicircumferinţă al cărui diametru AB reprezintă câmpul E 2 ; punctul B nu coincide cu O şi E 1 > E 2. Continuând cu această construcţie se poate intui că punctul final este O, mijlocul segmentului OA, astfel încât E P = 1 2 E 1 I P = 1 4 I 1 Intensitatea luminoasă în P produsă de frontul de undă mai sus definit este egală cu un sfert din intensitatea produsă de prima zonă Fresnel; scăderea este legată de interf erenţa distructivă dintre diferite zone. Acelaşi rezultat se obţine şi scriind în felul următor: E P = E 1 E 2 +E 3 E 4 +... = 1 2 E 1+ 1 2 (E 1 2E 2 +E 3 )+ 1 2 (E 3 2E 4 +E 5 )+... = 1 2 E 1. Alternarea semnelor plus şi minus provine de la diferenţele de fază π succesive iar termenii din paranteze sunt nuli dacă se admite că, prin efectul de interferenţă, contribuţia fiecărei zone Fresnel cu n par este compensată de contribuţiile a două zone impare alăturate. 3.9 Difracţia pe un orificiu circular Raţinamentul prezentat până acum pare pur formal; însă, se poate vedea utilitatea acestui raţionament atunci când se interpune pe frontul de undă, la distanţa r 0 de P, un ecran opac pe care există un orificiu circular de rază R. Dacă R variază continuu de la zero la infinit se obţine pentru I P dependenţa din figura 3.24. FIG.3.24

Datorită interferenţei dintre diferite zone ale frontului de undă, intensitatea depinde mult de raza orificiului. Punctele de maximă intensitate se obţin atunci când orificiul cuprinde exact un număr impar de zone Fresnel, adică pentru raze R egale cu R 1 = r 0, R 3 = 3R 1, R 5 = 5R 1,..; punctele de minimă intensitate se observă pentru raze R 2 = 2R 1, R 4 = 2R 1, R 6 = 6R 1,.., adică atunci când orificiul cuprinde exact un număr par de zone Fresnel. Linia punctată din figură reprezintă intensitatea în absenţa ecranului cu orificiu. Valorile maximelor de intensitate sunt descrescătoare iar acelea ale minimelor cresc deoarece amplitudinile câmpurilor descresc cu creşterea lui R : 23 E 1 > E 1 E 2 +E 3 > E 1 E 2 +E 3 E 4 +E 5 >..., E 1 E 2 < E 1 E 2 +E 3 E 4 <.. Subliniem faptul că intreaga analiză de mai sus este valabilă atunci când P este pe axa orificiului. Pentru a determina intensitatea într-un punct Q care nu se află pe axa OP trebuie să ţinem cont că sistemul de zone Fresnel este caracteristic punctului de observaţie; prin deplasarea din P în Q paralel cu planul orificiului, zonele Fresnel se deplasează cu Q. Într-o poziţie oarecare Q, amplitudinea E Q rezultă prin suprapunerea câmpurilor provenite din porţiunile de zone intersectate de orificiu. Chiar şi atunci când punctul Q se află în zona de umbră geometrică se observă o intensitate nenulă. Figura de difracţie observată pe un ecran aflat la distanţa r 0 de orificiu constă într-o serie de coroane circulare luminoase şi întunecate, cu centrul luminos dacă R = R 1, R 3, R 5,.. şi cu centrul întunecos dacă R = R 2, R 4, R 6,.. În figura 3.25 sunt prezentate două exemple. FIG 3.25 Dacă modificăm distanţa r 0 menţinând constantă lungimea de undă şi raza R a orificiului, fiecărei valori r 0 îi este asociat un sistem de zone Fresnel deoarece razele zonelor depind de r 0 conform relaţiei 3.25. Există valori r 0 pentru care orificiul cuprinde un număr impar de zone, şi valori r 0 pentru care zonele cuprinse în orificiu sunt în număr par; primele valori le corespund maxime de intensitate pe axă, valorilor secunde le corespund minime de intensitate. 3.10 Difracţia de raze X

24 Razele X ocupă banda de radiaţii electromagnetice cu lungimi de undă mai mici de 10 9 m; acestea sunt produse prin frânarea într-un material greu a electronilor acceleraţi la diferenţe de potenţial de zeci de mii de volţi sau atunci când un electron suferă o tranziţie între două nivele energetice ale unui atom. Într-o reţea de difracţie normală razele X nu sunt difractate; de exemplu, pentru = 10 10 m şi d = 10 6 m maximul de ordinul întâi se formează la unghiul θ = /d = 10 4 rad = 5.7 10 3 grade, mult prea aproape de maximul de ordin zero ca să poată fie observat. Însă, o reţea spaţială naturală care poate produce difracţia razelor X este o reţea cristalină, în care atomii sunt dispuşi după reguli structurale, cu distanţele dintre ei foarte mici. Într-un cristal perfect de sare, ionii de Na + şi Cl formează o reţea cubică de latură a iar volumul unei celule elementare este a 3. Un mol de NaCl are masa A = 58.45Kġ şi conţine 2N A = 2 6.022 10 26 ioni, ocupând, deci, un volum V = 2N A a 3. densitatea sării este ρ = 2.17 10 3 Kg/m 3 şi rezultă că A = 2N A a 3 ρ, a = ( ) 1/3 A = 2.82 10 10 m = 0.282nm. 2N A ρ Distanţa a se numeşte constanta reţelei iar valoarea ei reprezintă distanţa dintre atomii cristalului. Atunci când un fascicul de raze X de lungime de undă este incident pe această structură cristalină, electronii care se află în jurul fiecărui nucleu se comportă ca dipoli oscilanţi, emiţând radiaţie electromagnetică cu lungimea de undă în toate direcţiile. Cristalul se comportă ca un sistem tridimensional de surse coerente şi în spaţiul înconjurător se observă interfereţa undelor emise de aceste surse. Considerăm o serie de plane paralele numite plane reticulare, care trec prin poziţiile atomilor; ca în figura 3.26. FIG.3.26 Distanţa d dintre două plane reticulare este în general mai mică decât constanta reţelei a; numai pentru planele reticulare care sunt orizontale şi verticale d = a. O undă plană incidentă sub un unghi θ (unghi razant) faţă de planele reticulare aflate la distanţa d unul faţă de altul, vede atomii cristalului, câte unul pe un plan reticular, care aparţin unei reţele ortogonale pe planele reticulare, ca o reţea unidimensională. Dacă ne situăm pe direcţia de observare

25 ce formează unghiul θ faţă de planele reticulare, diferenţele de drum BB B, CC C BB B, DD D CC C dintre undele emise de două surse alăturate cum sunt A şi B, B şi C, C şi D sunt egale cu 2d sin θ (figura 3.27). FIG.3.27 Se obţine interferenţa constructivă atunci când 2d sin θ = m, sausinθ = m, m = 1, 2, 3,..3.26 (26) 2d relaţie numită legea lui Bragg. Pentru unghiuri diferite, fasciculul este atenuat sau de-a dreptul suprimat din cauza interferenţei distructive, la fel ca şi în cazul reţelei optice. Un dispozitiv pentru observarea difraţiei de raze X este spectrograful cu cristal, conceput de Bragg. Variindu-se unghiul θ şi măsurând unghiurile corespunzătoare maximelor de difracţie, din relaţia (3.26) se poate deduce spectrul lungimilor de undă ale fasciculului de raze X. Se verifică, astfel, existenţa componentei continue a radiaţiei de frânare peste care se suprapune componenta de linii caracteristică structurii atomice a materialului emiţător. În figura 3.28 este reprezentat unul dintre primele spectre obţinute de Bragg în 1913: sunt vizibile spectrele de ordinul întâi, respectriv de ordiul doi, fiecare având trei linii. FIG 3.28 Dacă se utilizează un fascicul monocromatic de raze X se pot determina distanţele d, obţinându-se informaţii despre structura cristalină a materialului folosit ca ţintă în spectrograf. În cazul în care fasciculul incident poate întâlni în cristal diverse familii de plane reticulare, aspectul figurii de difracţie este mult diferit. Prima evidenţă a naturii ondulatorii a razelor X a fost obţinută de von Laue în 1912. Un fascicul îngust de raze X este incident pe un cristal subţire de suflură de zinc; figura de interferenţă obţinută este observată pe o placă fotografică. Aceasta constă din puncte dispuse în mod regulat în jurul fascicului central transmis; fiecare punct reprezintă urma unei direcţii de-a lungul căreia s-a obţinut un maxim de difracţie. De fapt, pentru o lungime de undă incidentă există cuplul de valori d i şi θ i pentru care este verificată relaţia (3.26) cu o valoare întreagă pozitivă m i : aceasta înseamnă că direcţia de incidenţă formează unghiul razant θ i cu o familie de plane reticulare având

26 distanţa d i între ele şi că 2d i sin θ i = m i. Raza difractată impresionează placa fotografică într-o zonă restrânsă, aproape punctiformă. Relaţia (3.26) poate fi verificată şi pentru alt grup de valori d, θ,m diferite. De asemenea, experienţa poate fi repetată şi pentru alte lungimi de undă incidentă. Se constituie, aşadar, spectrograma de puncte a lui von Laue în care fiecărui punct îi este asociată o familie de plane reticulare. Acest lucru este caracteristic structurii cristaline iluminată cu un fascicul de raze X. Să presupunem acum că materialul pe care se difractă fasciculul de raze X este alcătuit dintr-o pulbere ce conţine un mare număr de microcristale, orientale la întâmplare. Dacă relaţia (3.26) este verificată pentru o familie de plane reticulare ale unui monocristal, aceasta este verificată de multe alte monocristale şi, în locul unui punct, pe placa fotografică se obţine o circumferinţă. Este ca şi cum s-ar considera o situaţie particulară realizată cu metoda von Laue şi s-ar roti cristalul în jurul axei fasciculului; de fapt, în pulberea cristalină se găsesc toate direcţiile ce corespund diverselor rotiri ale cristalului. Spectrograma, numită Debye-Scherrer, conţine o serie de circumferinţe; fiecare generată de o familie de plane reticulare. Difracţia razelor X, în afara de spectroscopia propriu zisă cu raze X şi de studiul structurii cristaline, este utilizată şi pentru analiza structurilor microscopice cum ar fi moleculele biologice complexe de tipul ADN.