OSCILATII SI UNDE UNDE

Transcript

1 OSCILATII SI UNDE Cursul nr UNDE Cursul Nr Introducere Undele sunt unele din cele mai raspandite fenomene naturale cu o importanta deosebita in stiinta si tehnica. Prin notiunea de unda se intelege propagarea in spatiu si in timp a unei perturbatii. In general, unda transporta energie din regiunea unde are loc perturbatia inspre spatiul inconjurator. In functie de natura lor undele pot fi: mecanice, electromagnetice, gravitationale, unde de Broglie, etc. In cadrul acestui curs vom studia undele mecanice. Spre deosebire de celelate tipuri de unde, care se pot propaga sin vid, undele mecanice se pot propaga numai in medii continue. Acest lucru este usor de inteles daca tinem cont ca mediile continue (gazele, lichidele, solidele) sunt alcatuite din particule (atomi, molecule sau ioni) care interactioneaza intre ele. Astfel, daca una dintre particule oscileaza e va antrena in oscilatie si particulele din imediata vecinatate, iar oscilatia se va propaga in mediul respectiv de la particula la particula sub forma de unde. Deoarece la baza propagarii oscilatiei sub forma de unda stau fortele elastice dintre particulele mediului in acare are loc propagare undele mecanice poarta denumirea si de unde elastice. Daca perturbatia care genereaza unda este o oscilatie armonica, atunci unda se numeste unda elastica armonica sau simplu unda armonica. In cazul unei unde armonice fiecare particula a mediului in care se propaga efectueaza oscilatii armonice. In natura exista si unde elastice nearmonice, de exemplu undele de soc. In functie de directia de oscilatie undele se impart in doua categorii: unde transversale si unde longitudinale. In cazul undelor transversale directia de oscilatie a particulelor mediului elastic este perpendiculara pe directia de propagare a undei, iar in cazul undelor longitudinale directia de oscilatie este paralela cu directia de propagare (Fig.8.1) Suprafata definita de multimea punctelor atinse de unda la un moment dat poarta denumirea de front de unda. In functie de forma frontului de unda, 1

2 Figura 8.1. Directia de oscilatie a punctelor materiale este perpendiculara pe dirctia de propagare in cazul undelor transversale si paralela pentru undele longitudinale. undele pot fi: plane, circulare sau sferice. De exemplu undele care se formeaza pe suprafata apei sunt unde transversale circulare (fig 8.). Este usor de observat ca, in acest caz, frontul de unda este un cerc cu centrul in locul in care s-a produs perturbatia. Unda este transversala deoarece particulele de apa oscileaza perpendicular pe suprafata apei. Acest fapt poate fi demonstrat daca se urmareste miscarea unui obiect de pe suprafata apei, acesta va executa o miscare oscilatorie pe verticala fara a suferi o deplasare pe orizontala. Spre deosebire de undele care se formeaza pe suprafata apei, undele sonore se propaga in spatiu, avand frontul de unda sferic. Asa cum se va vedea pe parcursul acestui curs undele sonore sunt unde sferice longitudinale. Figura 8.. Unde circulare pe suprafata apei. La distanta suficient de mare de sursa de unde fronturile de unda circulare pot fi aproximate cu fronturi liniare, iar cele sferice cu fronturi

3 plane, asa cum reiese din figura 8.3. Prin urmare la distante mari de sursa, undele circulare pot fi tratate ca unde liniare, iar undele sferice devin unde plane. Pentru undele liniare frontul de unda este o linie dreapta, in timp ce pentru undele plane frontul de unda este un plan perpendicular pe directia de deplasare. Figura 8.3. Frontul de unda sferic tinde sa devina plan pe masura ce distanta fata de sursa creste. La limita R o suprafata sferica se transforma intr-o suprafata plana. 8.. Ecuatia undei Asa cum se poate vede in figura 8. unda la un moment dat reprezinta o succesiune periodica in spatiu de coame si vai. Din punct de vedere matematic acest fapt poate fi exprimat prin faptul ca amplitudinea undei (inaltimea undei) este o functie periodica in functie de distanta x pana la sursa: ψ ( x) = ψ ( x + λ ), (8.1) unde perioada λ poarta denumirea de lungime de unda, [λ ]SI = m. In figura 8. lungime de unda este egala cu distanta dintre doua maxime succesive ale undei. Pe de alta parte, daca se observa in timp miscarea unui obiect situat pe suprafata apei la distanta x fata de sursa, se observa ca acesta efectueaza o miscare periodica in sus si in jos fata de pozitia de echilibru in absenta undei. Amplitudinea miscarii fiind chiar amplitudinea undei, ψ. Prin urmare, pentru un x dat, amplitudinea ψ este o functie periodica in timp: 3

4 ψ ( x, t ) = ψ ( x, t + T ), (8.) unde T reprezinta perioada undei, iar functia ψ ( x, t ) poarta denumirea de ecuatia undei. Tinand cont de aceste observatii se poate afirma ca unda este un fenomen periodic in timp si in spatiu. Pentru a deduce ecuatia undei sa consideram cazul unei undei plane generata de o sursa de oscilatii armonice situata in punctul P considerat originea axei x, asa cum este aratat in figura 8.4. Datorita fortelor de interactiune dintre particulele mediului oscilatia din punctul P se va transmite particulelor mediului cu viteza v. Astfel, particula situata in punctul Q la distanta x fata de P va incepe sa oscileze dupa un timp egal cu timpul necesar ca oscilatia din punctul P sa se propage pana in punctul Q. Cu alte cuvinte la momentul t,in punctul Q, se va afla oscilatia care se gasea in punctul P la momentul t ', egal cu timpul t minus timpul necesar ca oscilatia sa se propage pe distanta x : x t' = t. v (8.3) Introducand (8.3) in ecuatia de miscare a oscilatiei din punctul P, obtinem : x v ψ ( x, t ) = A sin ω (t ). (8.4) Ecuatia (8.4) este cunoscuta sub numele de ecuatia undei plane. Figura 8.4. Sursa undei este constituita dintr-un oscilator armonic situat in originea axei x. 4

5 Deoarece functia ψ ( x, t) descrie propagare undei in spatiu ea trebuie sa satisfaca conditiile de periodicitate (8.1) si (8.). Pentru a satisface conditia de periodicitate temporala (8.1) este necesar ca: x x sinω ( t + T ) = sinω t, v v adica x ω ( ) ω x + T = + π v t v t. (8.5) Din (8.5) rezulta ca π ω = = πν, (8.6) T unde T si ν sunt perioada si respectiv frecventa undei. Trebuie remarcat ca, in cazul in care sursa de unde este un oscilator armonic, perioada si frecventa undei sunt egale cu cele ale oscilatorului. Din conditia de periodicitate spatiala ψ ( x + λ, t) = ψ ( x, t) rezulta ca: λ = vt. (8.7) Marimea λ poarta denumirea de lungimea de unda si reprezinta spatiul parcurs de unda intr-o perioada. In sistem international lungimea de unda se masoara in metri, λ SI = m. (8.8) Tinand cont de relatiile (8.6) si (8.7) ecuatia undei (8.4) poate fi scrisa sub forma: ψ ( x, t) = Asin( ωt kx), (8.5) 5

6 π ω unde marimea k = = se numeste vector de unda sau numar de unda, λ v iar marimea A este aplitudinea undei. Unitatea de masura pentru vectorul de unda in SI este metru -1 : 1 k SI = m. (8.6) Vectorul de unda k r este o marime vectoriala a carei directie este perpendiculara pe frontul de unda iar sensul este dat de sensul de propagare a undei. In cazul general ecuatia undei (8.5) devine: r r r ψ (, t) = Asin( ωt k ). (8.7) In cazul unei unde plane, care se propaga de-a lungul axei x, ecuatia generala a undei (8.7) se transforma in ecuatia undei plane (8.5). Acest lucru r r r este usor de aratat daca se tine cont ca in acest caz = x, iar vectorul k este paralel cu vectorul x r r r r r ( k = k x = k x ). Marimea r r ϕ = ω t k, (8.8) poarta denumirea de faza undei. Faza undei plane este: ϕ = ωt kx. (8.9) Multime punctelor din spatiu care au la un moment dat au aceiasi faza formeaza suprafata de faza sau frontul de unda. In cazul undei plane frontul de unda este un plan perpendicular pe directia de propagare a undei. Viteza de propagare a undei v este egala cu viteza de propagare a frontului de unda, din acest motiv viteza v poarta denumirea si de viteza de faza. Daca derivam relatia (8.9) in raport cu timpul si tinem cont ca x defineste frontul de unda, ϕ( t, x) = constant, atunci obtinem: dψ = ω dt dx k dt = 0. (8.10) 6

7 Deoarece x defineste pozitia frontului de unda la un moment dat, derivata dx dt reprezinta viteza de propagare a frontului de unda sau viteza de faza,v. Tinand cont de aceasta observatie si de relatia (8.10), obtinem pentru viteza de faza urmatoarea relatie: dx ω λ v = = = λν =. (8.11) dt k T Important!!! Pentru o unda plana monocromatica viteza de faza este egala cu viteza de propagarea undei. 8.3 Ecuatia diferentiala a undelor Ecuatia undei ψ ( x, t) dedusa in paragraful anterior utilizand un model simplificat de propagare a undei plane este utila pentru a analiza calitativ o serie de aspecte legate de fenomenele ondulatorii. Totusi, pentru o analiza cantitativa riguroasa este necesar sa se determina ecuatia diferentiala cu derivate partiala care are drept solutie ecuatia undelor (8.8). Pentru aceasta sa calculam derivatele partiale de ordinul doi in raport cu variabilele x si t ale functiei de unda: ψ = k Asin( ωt kx) = k ψ (8.1) si ψ t = ω Asin( ωt kx) = ω ψ. (8.13) Eliminand functia ψ din ecuatiile (81) si (813) se obtine: ψ 1 v ψ = 0, (8.14) t 7

8 ω unde am tinut cont ca v = k. Ecuatia (8.14) poarta denumirea de ecuatia diferentiala a undelor plane. Prin rezolvarea acestei ecuatii si tinand cont de conditiile la limita impuse se obtine ecuatia undelor pentru diferite cazuri concrete din practica. Generalizand ecuatia (8.14) pentru cazul propagarii unei unde intr-un mediu tridimensional, se obtine ecuatia: ψ ψ ψ + + y z 1 v ψ = 0. (8.15) t Aceasta ecuatie poate fi scrisa sub forma: 1 ψ ψ = 0. (8.16) v t Ecuatia (8.16) poarta denumirea de ecuatia diferentiala generala a undelor Viteza de propagare a undelor in solide In cadrul acestui paragraf se va stabili expresia vitezei undelor lungitudinale si transversale in medii solide. Pentru inceput sa consideram cazul unei unde longitudinale care se propaga intr-un mediu elastic unidimensional, de exemplu o bara metalica de sectiune S, densitate ρ si modul de elasticitate E, indreptata de-a lungul axei x. Din cauza deplasarii particulelor in directia propagarii undei, mediul elastic este deformat in fiecare punct. Deoarece amplitudinea oscilatiilor punctelor materiale depinde de pozitia lor, rezulta ca deformarea barei depinde de distanta x fata de originea axei de coordonate Ox (Fig.8.5). Sa consideram doua particule infinit apropiate aflate in punctele P (x) si Q ( x+ dx). Coordonatele x si x + dx reprezinta pozitiile de repaos ale particulelor, astfel incat segmentul PQ = dx este lungimea nedeformata. Ca urmarea a propagarii prin bara a undei longitudinale particulele din P si Q vor oscila de-a lungul axei x avand elongatiile ψ ( x, t) si respectiv ψ ( x + dx, t). Lungimea segmentului PQ = dx devine : 8

9 Figura 8.5. Ca urmare a propagarii undei particulele materiale din bara efectueaza miscari oscilatorii cu elengatia ψ ( x, t ). P 'Q ' = dx + ψ ( x + dx, t ) ψ ( x, t ). Daca dezvoltam in serie Taylor functia superioare ale lui dx, obtinem: ψ ( x + dx, t ) = ψ ( x, t ) + (8.17) ψ ( x + dx, t ) si neglijam puterile ψ ψ dx + = ψ ( x, t ) + dx, (8.19) iar relatia (8.17) devine P 'Q ' = dx + ψ dx. (8.0) Alungirea absoluta a elementului de lungime dx este P Q PQ = ψ dx. (8.1) 9

10 In concluzie, ca urmare a propagarii undei longitudinale, fiecare element de lungime infinitezimal, dx, al barei va suferi o alungire relativa data de relatia: P Q PQ ψ ε ( x, t) = =. (8.) PQ Cauza alungirii elementului de lungime dx consta in fortele de deformare, care apar in mediul elastic, ca urmare al propagarii undei. Relatia dintre fortele de deformare si alungirea relativa este data de legea lui Hooke: σ ( x, t) ψ ε ( x, t) = =, (8.3) E σ poarta denumirea de efort unitar, iar E este modulul de unde = F S elasticitate a lui Young. In SI E si σ au urmatoarele dimensiuni: N N E SI =, respectiv σ Pa( Pascal) SI = =. (8.4) m m Asa cum se poate vedea din figura 8.5, forta care actioneaza asupra elementului de volum Sdx este egala cu: F = S σ (, (8.5) [ σ x + dx) σ ( x) ] = S dx unde σ ( x + dx) a fost dezvoltata in serie Taylor si au fost neglijati termenii de ordin superior in dx. Inlocuind expresia efortului unitar, σ, din relatia (8.3) in (8.5), obtinem pentru forta care actioneaza asupra segmentului de bara Sdx urmatoarea relatie: F = S ψ ( E ) dx = ES ψ dx. (8.6) 10

11 Ca urmare a actiunii fortei F sgementul Sdx se deplaseaza pe distanta ψ ( x, t). Scriind legea a doua a dinamicii pentru segmentul de bara de masa m = ρsdx, obtinem: F = ES ψ ψ ψ dx = m = ρsdx, (8.7) t t sau ES ψ ψ dx = ρsdx. (8.8) t Dupa simplificarea cu Sdx relatia (8.8) poate fi scrisa sub forma: ψ ρ ψ = 0. (8.9) E t Ecuatia (8.8) este identica cu ecuatia diferentiala a undei plane (8.14). Din identificarea celor doua ecuatii rezulta ca viteza de propagare a undei plane longitudinale este E v long =. (8.30) ρ De exemplu, pentru o bara de fier ( E =.10 N m, ρ = 7700 kg m ) din relatia (830) rezulta ca viteza de propagare a undelor longitudinale este de v = 5050 m s. In cazul undelor transversale particulele mediului in care se propaga unda oscileaza perpendicular pe directia de deplasare a undei. Datorita faptului ca elongatia oscilatiei depinde de x, ψ = ψ ( x, t), doua puncte aflate la distanta dx vor avea la un momentdat elongatii diferite ψ ( x, t) si respectiv ψ ( x + dx, t), asa cum este aratat in figura 8.6. Deoarece cele doua elongatii sunt diferite, in cazul din figura 8.6 ψ ( x + dx) > ψ ( x), elementul de bara dx sufera o deformare de forfecare. In realitate, deformatia de 11 11

12 forfecare este datorata cuplului de forte care actioneaza la extremitatile elementului dx. Aceste forte pot fi exprimate in functie de efortul unitar σ =F S. Figura 8.6. Particula din pozitia x are la momentul t elongatia ψ ( x ), iar cea din pozitia x + dx are elongatia ψ ( x + dx) > ψ ( x ). Din aceasta cauza elementul de bara dx sufera o deformare de forfecare. Deformatia de forfecare este caracterizata prin intermediul unghiului de forfecare ϕ exprimat in radiani. Intre unghiul de forfecare ϕ si efortul unitar σ exista o relatie similara cu legea lui Hooke (8.3) din cazul deformarii de alungire: ϕ= σ G, (8.31) unde G este modulul de elasticitate transversal sau modulul de forfecare. In S.I. modulul de forfecare se masoara in N m, G SI = N m. In conformitate cu relatiile (8.3) si (8.31) alungirea relativa ε din cazul deformarii de alungire este similara cu unghiul de forfecare ϕ din cazul deformarii de forfecare, iar modulul de elasticitate E este similar cu modulul de forfecare G. Daca se tine cont de aceasta analogie si de relatia (8.30), obtinem pentru viteza de propagare a undelor transversale urmatoarea relatie: 1

13 G v tr =. (8.3) ρ Pentru majoritatea corpurilor solide intre modulul de forfecare si modulul de elasticitate exista relatia : G = 0, 4E. Deoarece G < E, din relatiile (8.30) si (8.3) rezulta ca undele longitudinale se propaga in mediile solide cu viteze mai mari decat cele transversale, v > v. Pe acest fapt se bazeaza determinarea locului in care are loc epicentrul unui cutremur (locul in care se produce cutremurul). De exemplu, daca distanta de la punctul in care se simte cutremurul pana la epicentru este D, atunci unda longitudinala va ajunge in acest punct mai repede decat unda transversala. Acest fapt explica de ce in cazul unui cutremur la inceput miscarile scoartei terestre sunt pe orizontala dupa care ele sunt pe verticala. Intervalul de timp dintre momentul in care ajunge unda longitudinala si cea transversala este data de relatia: long D D t =. (8.33) v tr v long Masurand intervalul de timp t si tinand cont de relatiile (8.30), (8.3) si (8.33) se obtine pentru D urmatoarea expresie: tr G. E t D = 0, 58 t E G ρ E ρ. (8.34). 13

14 Cursul Nr.9 In cursul Nr. 8 s-a dedus viteza de propagare a undelor longitudinale si transversale intr-un mediu solid. In continuare vom studia propagarea undelor in medii fluide (lichide si gaze). In primul rand, datorita faptului ca modululde forfecare a unui fluid este egal cu zero, G = 0, viteza de propagare a undelor transversale intr-un fluid este egala cu zero, v tr = 0. Cu alte cuvinte, undele transversale nu se pot propaga intr-un mediu fluid. Important!!!: Intru-un mediu fluid se pot propaga dar undele longitudinale. 9.1 Viteza de propagare a undelor longitudinale in fluide Pentru a deduce viteza cu care se propaga o unda longitudinala intr-un mediu fluid sa consideram un cilindru de fluid, analog barei din figura 8.5. Datorita propagarii undei elementul de volum Sdx se va modifica cu valoarea: dv = S ψ dx. (9.1) Variatia volumului da nastere unei variatii de presiune in interiorul fluidului. Daca presiunea in absenta undei presiunea este p 0 = p( V ) si p = p( V + dv ) in prezenta undei, atunci variatia de presiune este: p dp = p( V + dv ) p( V ) = dv, (9.) V unde in dezvoltarea in serie Taylor am neglijat termenii superiori in dv. Inlocuind in (9.) variatia infinitezimala de volum dv cu valoarea (9.1), rezulta 14

15 dp = p ψ p ψ S dx = V, V V (9.3) Figura 9.1. Forta care actioneaza asupra unui strat dx infinit subtire de fluid este p dxs, unde am neglijat termenii de ordin superior in dx din dezvoltarea in serie Tylor a presiunii p ( x + dx ). F = [ p ( x + dx) p ( x )]S = unde V = Sdx reprezinta volumul in absenta undei a elementul de fluid considerat. Aplicand legea fundamentala a dinamicii unui strat infinit subtire de fluid, supus fortei rezultante F = dm ψ t = p dxs (figura 9.1), obtinem: p dxs. (9.4) Daca tinem cont ca dm = ρsdx, dupa simplificarea cu Sdx, relatia 9.4) devine ρ ψ t = p, (9.5) 15

16 unde ρ este densitatea fluidului in absenta undei. Mai departe, derivand p ecuatia (9.3) in raport cu x si introducand expresia lui astfel obtinuta in (9.5), rezulta urmatoarea ecuatie: ψ p ψ ρ = V. (9.6) V t Aceasta ecuatia poate fi scrisa sub forma ψ ρ p V V ψ = 0. (9.7) t Ecuatia (9.7) este identica cu ecuatia diferentiala a undei plane (8.14). Din identificarea celor doua ecuatii rezulta pentru viteza de propagare a undei plane longitudinale in fluide urmatoarea expresie: 1 p v fluid = V. (9.8) ρ V In continuare vom aplica expresia generala (9.8) a vitezei undelor in fluide pentru cazul lichidelor si gazelor Viteza de propagare a undelor in lichide Este cunoscut faptul ca un lichid ideal este incompresibil, adica el nusi modifica volumul atunci cand asupra lui se aplica o presiune p. Totusi, lichidele reale sunt copresibile. Variatia volumului la aplicarea unei presiuni externe este data de coeficientul de compresibilitate χ definit de urmatoarea expresie: 1 dv = Vdp, (9.9) χ 16

17 unde dv reprezinta variatia volumului lichidului atunci cand presiunea exercitata asupra lui variaza cu dp. In S.I coeficientu de compresabilitate se masoara in N m, χ SI = N m. Din relatia (9.9) rezulta ca dp χ = V. (9.10) dv Introducand (9.10) in (9.8), obtinem pentru viteza de propagare a undelor longitudinale intr-un lichid urmatoarea expresie: χ v lichid =. (9.11) ρ Viteza de propagare a undelor in gaze In mediile gazoase, ca si in mediile lichide, se propaga numai undele longitudinale. Spre deosebire de lichide, gazele isi pot modifica volumul sub influenta presiunii prin doua procese distincte: izoterm si adiabatic. Astfel, viteza de propagare a undei longitudinale de tipul de transformare la care este supus gazul ca urmare a propagarii undei. Daca unda este de frecventa mica, atunci are loc un schimb de caldura intre mediu gazos prin care se propaga unda si mediul inconjurator si, ca rezultat, temperatura gazului ramane constanta. Prin urmare gazul va suferi o transformare izoterma. Din legea Boyle-Mariotte a transformarii izoterme, pv = ct. (9.1) prin diferentiere se obtine dp V = p. (9.13) dv Introducand (9.13) in (9.8), rezulta pentru viteza de propagare a undelor in gaze printr-un proces izoterm urmatoarea relatie 17

18 p v gaz, T = ct. =. (9.14) ρ Daca frecventa undei este foarte mare, atunci modificarea de volum si presiune ale gazului se petrec intr-un timp atat de scurt incat el nu reuseste sa schimbe caldura cu mediul inconjurator. Prin urmare gazul sufera o transformare adiabatica, Q = 0. Legea unei transformarii adiabatice este exprimata prin ecuatia lui Poisson, γ pv = ct. (9.15) Prin diferenterea relatiei (9.15) se obtine: V p V = γp, (9.16) unde γ este coeficientul adiabatic. Introducand (9.16) in (9.8), obtinem gaz = γp ρ v. (9.17) Tinand cont ca ρ = M V mol, unde M este masa molara a gazului, iar V volumul molar, formula (9.17) poate fi scrisa sub forma: pv mol γ γrt v gaz = =. (9.18) M M La scrierea acestei relatii s-a tinut cont de legea gazelor perfecte scrisa pentru un mol de gaz: pv mol = RT, unde R este constanta universala a 1 1 gazelor, R = 8,3144 J K mol. Pentru un gaz ideal coeficientul adiabatic este γ = 7 5. Sa utilizam relatia (9.18) pentru a determina viteza de propagare a undelor sonore in aer ( M = 0,0896 Kg / mol). Daca consideram temperatura aerului egala cu 0 0 C (T=93 K), atunci din (9.18) 18

19 rezulta ca viteza de propagare a sunetului in aer este egala cu v = 34 m / s. Aceasta valoare concorda cu cea determinata experimental v exp = 343m / s. 9.. Energia transportata de unde. Intensitatea undei Ca urmare a propagarii undei, particulele mediului efectueaza o miscare oscilatorie in jurul pozitiei de echilibru. Astfel, propagandu-se, unda pune in miscare oscilatorie noi si noi particule, prin urmare unda transporta energie. Faptul ca unda transporta energie este usor de inteles daca consideram ca in absenta undei particulele mediului sunt in repaos, adica energia lor cinetica este zero, E c = 0, iar ca urmare a propagarii undei particulele vor incepe sa oscileze cu amplitudinea A, avand energia totala 1 ka. Transportul de energie nu este insotit de un transport de masa, deoarece particulele mediului executa in timpul propagarii undei numai miscarii de oscilatie in jurul pozitiei de echilibru. Prin urmare, deplasarea medie fata de pozitia de echilibru este zero. Pentru a calcula energia transportata de o unda printr-o sectiune S perpendiculara pe directia de propagare a undei, sa consideram cazul unei unde longitudinale care se propaga printr-o bara (Fig.8.5). Mai intai vom calcula energia pe unitate de volum, w, datorata propagarii undei. Deoarece, ca urmare a propagarii undei, particulele mediului vor incepe sa oscileze, energia unui element de volum dv va creste cu o valoare egala cu energia de oscilatie a punctelor materiale din elementul de volum considerat. Daca consideram un volum infinit mic, astfel incat punctele materiale din interiorul sa aiba aceiasi elongatie ψ ( x, t), atunci energia de oscilatie a elementului de volum dv este data de relatia: E 1 1 ( E E ) = N ka = Nm ω A = ci + pi 0, (9.19) i unde E ci si A este amplitudinea oscilatiei, 0 E pi este energia cinetica si respectiv potentiala a particulei i, m masa unei particule, iar N este numarul de particule din elementul de volum dv. In relatia (9.19) am tinut cont ca toate particulele au aceiasi masa 0 m si ca oscileaza cu aceiasi amplitudine A. De asemenea, s-a tinut cont de legea de conservare (6-7.0) a energiei 19

20 oscilatorului armonic. Deoarece Nm 0 reprezinta chiar masa elementului de volum dm = ρdv (Fig. 9.), din relatia (9.19) rezulta pentru enenergia pe unitate de volum w relatia: E 1 w = = ρω A. (9.0) dv Marimea w se masoara in SI in 3 J m, 3 w SI = J m. Figura 9.. Pentru a determina cantitatea de energie transportata printr-o suprafata S perpendiculara pe directia de propagare sa consideram situatia din figura 9.. Asa cum se poate observa, unda va parcurge intr-un timp dt distanta dx = vdt, unde v reprezinta viteza de faza a undei. Astfel, in intervalul de timp dt vor intra in oscilatie toate particulele din elementul de volum dv = vsdt, prin urmare energia transmisa de unda elementului de volum dv este: de 1 = wdv = ρω A vsdt. (9.1) Relatia (9.1) poate fi interpretata ca fiind energia transportata de unda prin suprafata S in intervalul de timp dt. Prin intensitatea undei se intelege energia transportata de unda prin unitaate de suprafata intr-o secunda, adica 0

21 I de 1 = = ρvω A. (9.) Sdt Unitatea de masura in sistemul international pentru intensitatea undei este W m, I SI = W m Interferenta undelor. Daca intr-un mediu se propaga mai multe unde, atunci particulele mediului vor fi supuse simultan la mai multe miscari oscilatorii. Conform principiului suprapunerii oscilatiilor, elongatia rezultanta a unei particulei va fi data de suma vectoriala a elongatiilor produse de fiecare unda in parte. Prin fenomenul de interferenta se intelege fenomenul de suprapunere a doua sau mai multe unde, obtinandu-se o unda rezultanta a carei amplitudine depinde de defazajul dintre cele doua unde. Tinand cont de caracterul liniar ecuatiei diferentiale a undelor si de principiul suprapunerii oscilatiilor, rezulta ca functia de unda rezultanta se obtine prin insumarea functiilor de unda ale undelor care se suprapun. Sa consideram doua unde progresive sinusoidale, ale caror functii de unda sunt: ψ 1 = A 1sin( ω1t + ϕ1) si ψ = A sin( ωt + ϕ). (9.3) Ecuatia undei rezultante in urma suprapunerii celor doua unde este: ψ = A sin( ωt + ϕ) = ψ + ψ. (9.4) 1 Folosind reprezentarea fazoriala (Fig.9.3.), se obtine pentru amplitudinea undei rezultante expresia, unde 1 1 A, (9.5) = A + A + A A cos ϕ ϕ = ω ω ) t + ( ϕ )t. (9.6) ( 1 ϕ1 1

22 Figura 9.3. Valoarea medie a amplitudinii la patrat este: A = A1 + A + A1 A 1T cos[(ω ω1 ) t + (ϕ ϕ1 ) ] dt. T0 Integrala din relatia (9.7) este egala cu zero pentru (9.7) devine A = A1 + A. (9.7) ω1 ω, iar relatia (9.8) Deoarece intensitatea undei este proportionala cu patratul amplitudinii, rezulta ca pentru ω1 ω intensitatea undei rezultante este egala, pur si simplu, cu suma intensitatilor undelor care se suprapun si ca urmare nu apare fenomenul de interferenta. Pe de alta parte, chiar si in cazul in care cele doua unde au aceiasi frecventa, ω1 = ω, pentru a obtine un fenomen de interferenta stationar este necesar ca difernta dintre fazele initiale a undelor care se interfera, ϕ = ϕ ϕ1, sa fie constanta in timp. Doua sau mai multe unde care au aceiasi frecventa si a caror diferenta de faza este constanta in timp poarta denumire de unde coerente. In concluzie, conditia

23 ca prin suprapunerea a doua unde sa apara fenomenul de interferenta este ca undele sa fie coerente. Daca undele sunt coerente, relatia (9.7) devine: 1 A = A + A + A A cos( ϕ ϕ ). (9.9). 1 1 ϕ ϕ Este usor de observat ca, in functie de valoarea defazajului = 1 dintre cele doua unde in punctul de suprapunere, unda rezultanta poate avea amplitudinea maxima A = A 1 + A sau minima A = A 1 A, adica fenomenul de interferenta. Maximul de interferenta se obtine cand cos( ϕ ϕ1) = 1, adica pentru ϕ = ϕ ϕ 1 = nπ, (9.30) unde n =1,,3K este un numar intreg. Minimul de interferenta, A = A 1 A, se obtine cand cos( ϕ ϕ1) = 1, adica pentru ϕ = ϕ ϕ = (n 1) π. (9.31) 1 + Relatiile (9.30) si (9.31) definesc conditiile de formare a unui maxim si respectiv a unui minim de interferenta. Aceste conditii pot fi exprimate si in functie de diferenta de drum dintre cele doua unde, x = x x1. Pentru aceasta este suficient sa tinem cont ca faza unei unde este ϕ = ωt kx. Introducand expresia fazei in relatiile (9.30) si (9.31), obtinem si x = x x = nλ 1 conditia de maxim (9.3) λ x = x1 x = (n + 1) conditia de minim. (9.33) Conform acestor relatii, doua unde formeaza un maxim de interferenta daca diferenta de drum parcurs de cele doua unde pana in punctul de suprapunere ϕ 3

24 este un multiplu intreg de lungimii de unda. In cazul in care diferenta de drum este un numar impar de smilungimii de unda se formeaza un minim de interferenta. Important: Interferenta este un fenomen comun undelor, indiferent de natura lor. Exemplu Cel mai cunoscut experiment de interferenta undelor este experimentul lui Thomas Young. In acest experiment sunt utilizate undele luminoase provenite de la doua surse de lumina coerente obtinute cu ajutorul unui paravan in care sunt practicate doua orificii (Fig.9.4). Deoarece in spatele paravanului se gaseste o sursa de lumina S, conform principiului lui Huygens, cele doua orificii pot fi considerate ca doua surse coerente S 1 si S. Figura 9.4. Diferenta de drum intre undele care interfera in punctul P este egala cu segmentul S Q. Din triunghiurile dreptunghice S 1 S Q si OP o P se obtine: 4

25 SQ r r1 sinα = =, l l PPo tgα =. (9.34) D Deoarece pentru unghiuri mici sin α tgα, din relatia (9.34) rezulta ca: r l r PP = D 1 0 = dn D, (9.35) unde prin d n am notat distanta de la centrul ecranului optic pana in punctul in care este situat maximul de interferenta de ordinul n. Tinand con ca pentru maximul de ordinul n diferenta de drum indeplineste conditia (9.33), r = r r = nλ 1, din relatia (9.35) rezulta se obtine: d n λd = k. (9.36) l Conform acestei relatii figura de interferenta consta dintr-o insiruire de maxime succesive, dispuse simetric fata de centrul ecranului, distanta de la maximum de ordinul n pana in centrul ecranului fiind d n. Pentru maximul de ordinul zero, n = 0, din (9.36) rezulta ca d 0 = 0, adica maximul de ordinul zero este localizat in centrul ecranului. Distanta dintre doua maxime succesive se numeste interfranja si are o valoarea: i λd = dn+1 dn =. (9.37) l Interfranja are o valoare cu atat mai mare cu cat distanta D este mai mare si cu cat distanta dintre orificii, l, este mai mica. Analog, pentru punctele in care amplitudinea este minima se obtine conditia: λd d k = (n + 1). (9.38) l 5

26 In cazul experimentului lui Young figura de difractie consta dintr-o insiruire de franje luminoase (maximele de interferenta) si intunecate (minimele de interferenta), asa cum se poate vedea din Fig.9.5. Figura Unde stationare Interferenta a doua unde plane de aceeasi frecventa si de aceeasi amplitudine, care se propaga pe aceeasi directie, dar in sensuri opuse, poarta denumirea de unde stationare. In practica aceasta situatie este des intalnita in cazul in care unda incidenta interfera cu unda reflectata. Exemplul clasic este cel al unei corzi sau membrane elastice cu extremitatile fixate. Pentru a studia fenomenul de unde stationare, sa consideram doua unde plane ψ1si ψ care se propaga de-a lungul axei x in sensuri opuse si ale caror ecuatii au forma: ψ 1 = Asin( ωt kx) si ψ = A sin( ωt + kx). (9.39) Unda rezultata prin interferenta celor doua unde este descrisa de ecuatia: 6

27 Figura 9.6. Interferenta undei incidente cu unda reflectata duce la formarea undei stationare. Distanta dintre doua noduri sau doua ventre consecutive este de λ. ψ = ψ 1 + ψ = A[sin(ω t kx) + sin(ω t + kx)] = = A cos kx sin ω t (9.40) Unda descrisa de ecuatia (9.40) poarta denumirea de unda stationara. O caracteristica importanta a undei stationare consta in faptul ca partea spatiala a undei este separata de partea temporala. Astfel, partea spatiala este descrisa de termenul cos kx, iar partea temporala este data de termenul sin ω t. Asa cum rezulta din ecuatia (9.40), punctele pentru care este indeplinita conditia: π λ cos kx = 0 kx = (n + 1) x = (n + 1). 4 (9.41) se gasesc in repaos tot timpul deorece ψ ( x, t ) = 0, indiferent de momentul de timp t. Aceste puncte din spatiu poarta denumire de noduri. Este de remarcat ca in cazul unei unde progresive toate punctele mediului in care se propaga unda efectueaza miscari de oscilatie. Un alt aspect important al undei stationare consta in faptul ca amplitudinea undei variaza de-a lungul directiei de propagare x intre zero si valoarea maxima A, conform factorului cos kx. Punctele pentru care amplitudinea undei rezultante este 7

28 maxima egala cu de conditia: A se numesc ventre. Pozitia ventrelor este determinata cos kx = ± 1 kx = nπ λ x = n, (9.4) unde n =1,,3L este un numar intreg. La scrierea relatiilor (9.41) si (9.4) π s-a tinut cont ca: k =. Din relatiile (9.41) si (9.4) rezulta ca disdanta λ dintre doua ventre su doua noduri consecutive este λ. Cursul Nr Principiul lui Huygens-Fresnel. Difractia undelor. 8