HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Τρίτη, 28/03/2017 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/30/2017 1 1
Σχέσεις 3/30/2017 2
Σχέσεις ισοδυναµίας 3/30/2017 3
Σχέσεις ισοδυναµίας Ορισµός: Μίαδιµελήςσχέση επί ενός συνόλου A είναι σχέση ισοδυναµίας αν και µόνο αν έχει τις τρεις παρακάτω ιδιότητες: ανακλαστική συµµετρική µεταβατική 3/30/2017 4
Παράδειγµα Έστω a, b πραγµατικοί αριθµοί και έστω R(a, b) = o a-bείναι ακέραιος. Είναι η R σχέση ισοδυναµίας; 3/30/2017 5
Παράδειγµα R(a, b) = o a-bείναι ακέραιος. Είναι η R σχέση ισοδυναµίας; Για να είναι σχέση ισοδυναµίας, θα πρέπει να έχει την ανακλαστική, συµµετρική και µεταβατική ιδιότητα Ανακλαστική:Για κάθε πραγµατικό αριθµό a, a-a = 0. Τo 0 είναι ακέραιος, άρα R(a,a) για κάθε a. Συµµετρική:Πρέπει να δείξουµε ότι για πραγµατικούς αριθµούς a, bαν ο a-bείναι ακέραιος, τότε και ο b-aείναι ακέραιος. Πράγµατι, b-a = -(a-b) και άρα αν a-b ακέραιος τότε και b-a ακέραιος. Μεταβατική: Για πραγµατικούς αριθµούς a, b, c, αν a-b ακέραιος, και b-c ακέραιος, τότε a-c ακέραιος. Πράγµατι a-bακέραιοςάρα a-b = k Z. b-cακέραιοςάρα b-c = m Z. Εποµένως (a-b) + (b-c) = a-c = k+m = n Z. 3/30/2017 6
Παράδειγµα Έστω R(w 1, w 2 ) = Οι δύο τελευταίοι χαρακτήρες της λέξης w 1 είναι ίδιοι µε τους δύο τελευταίους χαρακτήρες της λέξης w 2. H R είναι σχέση ισοδυναµίας γιατί είναι ανακλαστική, συµµετρική και µεταβατική. 3/30/2017 7
Κλάσεις ισοδυναµίας Έστω Rµία σχέση ισοδυναµίαςεπί ενός συνόλου Α. Η κλάση ισοδυναµίας [a] R του a Αως προς τη σχέση R ορίζεται ως [a] R : { x arx} ιαισθητικά, το σύνολο όλων των στοιχείων που είναι ισοδύναµα µε το aως προς την R. Κάθε τέτοιο x (συµπεριλαµβανοµένου και του a) µπορεί να θεωρηθεί ως αντιπρόσωποςτης [a] R. 3/30/2017 8
Κλάσεις ισοδυναµίας - παραδείγµατα R = Οι λέξεις aκαι b έχουν το ίδιο µήκος Ας υποθέσουµε ότι η aέχει µήκος 3. Ποια είναι η κλάση ισοδυναµίας της; [a] R =το σύνολο όλων των λέξεωνµήκους 3. S = Οι ακέραιοι aκαι b έχουν την ίδια απόλυτη τιµή Ποια είναι η [a] S ; [a] S = {a, a} 3/30/2017 9
Κλάσεις ισοδυναµίας - παραδείγµατα Θεωρείστε την σχέση λογικής ισοδυναµίας ( ) προτάσεων του προτασιακού λογισµού Ποια είναι η [p q]; Όλες οι προτάσεις που είναι λογικά ισοδύναµες µε την p q 3/30/2017 10
Κλάσεις ισοδυναµίας Θεώρηµα: Έστω R-σχέση ισοδυναµίας επί ενός συνόλου Α. Αν a, b είναι στοιχεία του Α, τότε arb [a] R =[b] R Απόδειξη: Έστω c [a] R. Τότε arc cra (λόγω συµµετρικής) Επίσης, από υπόθεση, αrb. craκαι arb,άρα, λόγω µεταβατικής, crb c [b] R (1) Έστω c [b] R. Τότε brc crb (λόγω συµµετρικής) Επίσης αrb λόγω συµµετρικής, bra crb και bra,άρα, λόγω µεταβατικής, cra c [a] R (2) Άρα, από (1) και (2), εάν arbτότε [a] R =[b] R 3/30/2017 11
Κλάσεις ισοδυναµίας Θεώρηµα: Έστω R-σχέση ισοδυναµίας επί ενός συνόλου Α. Αν a, b είναι στοιχεία του Α, τότε [a] R =[b] R [a] R [b] R Απόδειξη: [a] R εφόσον a [a] R και εποµένως, [a] R [b] R 3/30/2017 12
Κλάσεις ισοδυναµίας Θεώρηµα: Έστω R-σχέση ισοδυναµίας επί ενός συνόλου Α. Αν a, b είναι στοιχεία του Α, τότε [a] R [b] R arb Απόδειξη: [a] R [b] R c τ.ω. arcκαι brc. Εποµένως, arc και crb. (συµµετρικότητα της R) Εποµένως, arb. (µεταβατικότητα της R) 3/30/2017 13
Κλάσεις ισοδυναµίας Εφόσον arb [a] R =[b] R [a] R [b] R arb Ισχύει ότι arb [a] R =[b] R [a] R [b] R 3/30/2017 14
Κλάσεις ισοδυναµίας Τώρα ξέρουµε ότι Εάν arbτότε { x arx } = { x brx }... Με άλλα λόγια, µία κλάση ισοδυναµίας βασισµένη στην R είναι απλά ένα µέγιστο σύνολο αντικειµένωνπου σχετίζονται µεταξύ τους µέσω της R 3/30/2017 15
ιαµερίσεις Μία διαµέρισηενός συνόλου Aείναι µία συλλογή από ξένα, µη κενά υποσύνολα του Aπου η ένωσή τους είναι ίση µε το A. Τα ξένα, µη κενά υποσύνολα που αποτελούν µία διαµέρισητου Α ονοµάζονται σύµπλοκατης διαµέρισης. Πχ. Τα σύνολα Α 1 ={1,2,3}, Α 2 ={4,5}, Α 3 ={6} αποτελούν µία διαµέριση του Α={1,2,3,4,5,6} 3/30/2017 16
ιαµερίσεις και κλάσεις ισοδυναµίας Μία σχέση ισοδυναµίας στο A επιφέρειµία διαµέριση του A... δηλαδή για µία δοσµένη σχέση ισοδυναµίας R επί ενός συνόλου Α, µπορώ να βρω τη διαµέριση του Α που η Rεπιφέρει Μία διαµέριση του A αντιστοιχεί σεµία σχέση ισοδυναµίας στο A... δηλαδή για µία συγκεκριµένη διαµέριση ενός συνόλου, µπορώ να περιγράψω τη σχέση ισοδυναµίας R που επιφέρει αυτή τη διαµέριση 3/30/2017 17
ιαµερίσεις και κλάσεις ισοδυναµίας Μία διαµέρισηενός συνόλου Aµπορεί να θεωρηθείσαν το σύνολο όλων των κλάσεων ισοδυναµίας {A 1, A 2, } για κάποια σχέση ισοδυναµίας επί του A. Τα A i είναι όλα ξένα: x,i,j (( x A i x A j ) A i = A j ) Η ένωση όλων των A i µας δίνει το σύνολο A γιατί κάθε x στο A είναι µέλος κάποιας κλάσης ισοδυναµίας (της [x] R ) 3/30/2017 18
Από τη σχέση στα σύµπλοκα Έστω R(w 1, w 2 ) = Η λέξη w 1 έχει τους δύο τελευταίους χαρακτήρες της ίδιους µε τους δύο τελευταίους χαρακτήρες της λέξης w 2. Όλες οι λέξειςπου έχουν τους ίδιους 2 τελευταίους χαρακτήρες αποτελούν ένα σύµπλοκο ύο σύµπλοκα είναι ξένα µεταξύ τους Η ένωση όλων των σύµπλοκωνµας δίνει το σύνολο όλων των λέξεων 3/30/2017 19
Από τα σύµπλοκαστη σχέση Για παράδειγµα, θεωρείστε το σύνολο A={1,2,3,4,5,6} και τη διαµέρισήτου {{1,2,3},{4},{5,6}} Από ποια σχέση ισοδυναµίας προκύπτει αυτή η διαµέριση του Α; 3/30/2017 20
Από τα σύµπλοκαστη σχέση Για παράδειγµα, θεωρείστε το σύνολο A={1,2,3,4,5,6} και τη διαµέρισήτου {{1,2,3},{4},{5,6}} R = {(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(1,3),(2,3),(2,1),(3,1), (3,2),(4,4), (5,5),(6,6),(5,6),(6,5) } 3/30/2017 21
Ερωτήσεις Ποια είναι η αναπαράσταση πίνακα µιας σχέσης ισοδυναµίας; Ποια είναι η αναπαράσταση γράφου µιας σχέσης ισοδυναµίας; 3/30/2017 22
Μερικές διατάξεις Μία σχέση Rεπί του Aλέγεται σχέση µερικής διάταξηςεάν και µόνο αν έχει τηνανακλαστική, αντισυµµετρική, και µεταβατική ιδιότητα. Συχνά χρησιµοποιούµε το σύµβολο για τέτοιες σχέσεις. Σηµειώστε ότι δεν είναι απαραίτητο να ισχύει κάποιο από τα a bήb a. Γι αυτό το λόγο η διάταξη λέγεται µερική Ένα σύνολο Aµαζί µε µία µερική διάταξη επί του Aονοµάζεται µερικώς διατεταγµένο σύνολοκαι συµβολίζεται µε τη διατεταγµένη δυάδα (A, ). 3/30/2017 23
Μερικές διατάξεις, παράδειγµα R(A,B) = {A B} (a,bσύνολα) Ανακλαστική: A A Αντισυµµετρική: Αν A B και B Aτότε A=B Μεταβατική: Αν A B και B Cτότε A C Άρα η σχέση είναι σχέση µερικής διάταξης προσέξτε ότι για δύο σύνολα, µπορεί να ισχύει ότι ούτε A B, ούτε B A. (µερική διάταξη) 3/30/2017 24