ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΙ & ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟ ΜΗΧΑΝΩΝ - Β. -
Copyright ΕΜΠ - Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο Δυναμικής και Κατασκευών - 06. Με επιφύλαξη παντός δικαιώµατος. All rights reserved. Απαγορεύεται η χρήση, αντιγραφή, αποθήκευση και διανομή της παρούσης εργασίας, εξ ολοκλήρου ή τμήματος αυτής, για πάσης φύσεως εμπορικό ή επαγγελματικό σκοπό. Επιτρέπεται η ανατύπωση, αποθήκευση και διανομή για σκοπό µη κερδοσκοπικό, εκπαιδευτικής ή ερευνητικής φύσεως, υπό την προϋπόθεση να αναφέρεται η πηγή προέλευσης και να διατηρείται το παρόν μήνυμα. - Β. -
Ι) ΑΡΧΗ LAGRANGE Μηχανισμοί & Εισαγωγή στο Σχεδιασμό Μηχανών Ακαδημαϊκό έτος: 05-06 Εφαρμογές Β Δυναμική Ρομποτικού Βραχίονα Ανάλυση με Lagrage Στην διατύπωση της δυναμικής κατά Newto Euler, οι εξισώσεις κίνησης προκύπτουν από την εφαρμογή του ου Νόμου του Newto για την μεταφορική κίνηση και τις εξισώσεις Euler για την περιστροφική κίνηση, οι οποίες περιγράφουν την δυναμική του συστήματος με όρους δύναμης-ορμής και ροπής-στροφορμής αντίστοιχα. Οι εξισώσεις αυτές περιλαμβάνουν όλες τις δυνάμεις, όπως οι αντιδράσεις των αρθρώσεων, οι οποίες πρέπει να απαλειφθούν, ώστε να ληφθούν δυναμικές εξισώσεις κλειστής μορφής. Επίσης δεν εκφράζονται υπό όρους ανεξάρτητων μεταβλητών, ούτε περιλαμβάνουν ρητά τις ροπές των αρθρώσεων, με αποτέλεσμα να απαιτούνται αριθμητικές διεργασίες για την εξαγωγή εξισώσεων κλειστής μορφής. Η διατύπωση κατά Lagrage, περιγράφει τη δυναμική του συστήματος μέσω έργου και ενέργειας που είναι βαθμωτά μεγέθη, με αποτέλεσμα να απαλείφονται οι άεργες δυνάμεις και καθιστά απλούστερη την ανάλυση. Η μεταβλητή Lagrage L, ορίζεται ως L(q i, q i) = T(q i, q i) U(q i ), i =,, () και οι εξισώσεις κίνησης του συστήματος δίνονται από την d L L + P c = P t dt q i q i q i q i () όπου: T: κινητική ενέργεια, U: δυναμική ενέργεια, q i: ανεξάρτητες κινηματικές μεταβλητές (ή βαθμοί ελευθερίας ή γενικευμένες συντεταγμένες), P c: ισχύς δυνάμεων απόσβεσης, P t: ισχύς εξωτερικών δυνάμεων. - Β.3 -
ΙΙ) ΡΟΜΠΟΤΙΚΟΣ ΒΡΑΧΙΟΝΑΣ ΜΕΛΩΝ Γενική 3Δ περίπτωση Μηχανισμοί & Εισαγωγή στο Σχεδιασμό Μηχανών Ακαδημαϊκό έτος: 05-06 Θεωρείται η γενική περίπτωση ενός ρομποτικού μηχανισμού με μέλη, τα οποία κινούνται σε όλα τα επίπεδα και μπορούν να περιστραφούν περί των τριών αξόνων x,y,z. Για τον υπολογισμό των εξισώσεων κατάστασης με εφαρμογή της αρχής Lagrage, πρέπει να υπολογιστούν η κινητική και δυναμική ενέργεια των στερεών σωμάτων του βραχίονα (μέλη). Κινητική ενέργεια H κινητική ενέργεια του κάθε μέλους T i (βαθμωτό μέγεθος) αποτελείται από δύο όρους: Της κινητικής ενέργειας λόγω μεταφοράς της μάζας m i του κάθε μέλους και της κινητικής ενέργειας λόγω της περιστροφής του κάθε μέλους περί του κέντρου βάρους του. Κινητική Κινητική Κινητική ενέργεια = μεταφοράς + περιστροφής μέλους i της m i περί του ΚΒ Σε διανυσματική/μητρωϊκή μορφή, εκφράζεται για το κάθε μέλος ως T i = m iv T ci v ci + ω i T I i ω i (3) όπου το διάνυσμα ω i (x3) των γωνιακών ταχυτήτων και το μητρώο αδρανείας I i (3x3) του κάθε μέλους αντίστοιχα ω ix ω i = { ω iy ω iz, I i = [ - Β.4 - c I i xx c I i xy c I i xz c i Ixy c i Iyy c i Iyz c i Ixz c i Iyz c i ] (4) Τότε η συνολική κινητική ενέργεια Τ του βραχίονα, προκύπτει από το άθροισμα των κινητικών ενεργειών T i των μελών: Γραμμικές ταχύτητες ΚΒ μελών T = T i i= Οι όροι της κινητικής ενέργειας αποτελούν συναρτήσεις των γραμμικών ταχυτήτων v ci του κέντρου βάρους κάθε μέλους και των γωνιακών ταχυτήτων ω ci περί το κέντρο βάρους του κάθε μέλους. Οι ταχύτητες αυτές δεν είναι ανεξάρτητες μεταβλητές. Θεωρείται το διάνυσμα των ανεξάρτητων γενικευμένων συντεταγμένων (ανεξάρτητες κινηματικές μεταβλητές) q: όπου θ, θ, θ οι γωνιακές μετατοπίσεις των αρθρώσεων. Izz q = {θ θ θ T T (8) q = { Τα Ιακωβιανά μητρώα J 3 ci, J 3 ωi, τα οποία προκύπτουν από την κινηματική ανάλυση του μηχανισμού, συσχετίζουν τις κεντροβαρικές ταχύτητες με τις ταχύτητες των αρθρώσεων ως εξής: 3 v ci = J ci q, J ci (5) (6)
3 ω ci = J ωi q, J ωi (7) Πλέον, εισάγοντας τις εκφράσεις των ταχυτήτων ως προς τις ανεξάρτητες κινηματικές μεταβλητές, η κινητική ενέργεια υπολογίζεται ως Τ = (m iq T T J ci J ci q + q T T J ωi I i J ωi q ) i= όπου το M μητρώο αδρανείας του μηχανισμού T T M = (m i J ci J ci + J ωi I i J ωi ) i= = q T Mq (8) Το μητρώο αδρανείας περιέχει όλες τις ιδιότητες μάζας του ρομποτικού μηχανισμού ως προς τους άξονες των αρθρώσεων και αναφέρεται ως Multi-Body Iertia Matrix. Είναι επίσης συμμετρικό μητρώο όπως και τα ατομικά μητρώα αδρανείας του κάθε μέλους, ενώ περιέχει τα Ιακωβιανά μητρώα τα οποία αλλάζουν με την διαμόρφωση του μηχανισμού. Για το λόγο αυτό το Multi-Body Iertia Matrix λέγεται ότι είναι cofiguratio-depedet, δηλαδή αντιπροσωπεύει τις στιγμιαίες ιδιότητες μάζας του μηχανισμού στην παρούσα διαμόρφωση. Τότε η κινητική ενέργεια εκφράζεται υπό την βαθμωτή τετραγωνική μορφή T = M ijq iq j i= Εξισώσεις κίνησης με εφαρμογή της αρχής Lagrage Όπως προαναφέρθηκε στην εισαγωγή, οι εξισώσεις κίνησης του μηχανισμού, εφαρμόζοντας την αρχή Lagrage, προκύπτουν από την σχέση d L L = P t P c, = 0 () dt q i q i q i q i όπου υπενθυμίζεται ότι η μεταβλητή Lagrage L=T-U ενώ επιπλέον θεωρείται ότι δεν υπάρχουν δυνάμεις απόσβεσης στο σύστημα. Πλέον εξετάζονται με τη σειρά, ένας προς έναν οι όροι της σχέσης αυτής. Για τον σκοπό αυτό, ορίζονται οι όροι γενικευμένης ορμής (μάζα x ταχύτητα), ως: P i = L = T U U, = 0 q i q i q i q i P i = T () = M ij q j q i Οπότε ο ος όρος της Εξ.(), προκύπτει με την χρονική παραγώγιση των όρων της γενικευμένης ορμής: (9) (0) - Β.5 -
d L dt q i = dp i dt = P i P i = d dt ( M ijq j ) P i = M ij q j + dm ij dt q j (α) (β) (3) Τα δύο αθροίσματα που αποτελούν την χρονική παράγωγο P i της γενικευμένης ορμής του κάθε μέλους, επεξεργάζονται περαιτέρω και προκύπτουν ως (α) (β) M ij q j = Μq = dm ij dt q q i M M M ij M ji q j [ M M ] { q = M ij dq k = M ij q k q k dt q k k= Στη συνέχεια, ο υπολογισμός του ου όρου της Εξ.(): L = T q i q U i q i όπου η παράγωγος της κινητικής ενέργειας ως προς τις γενικευμένες μετατοπίσεις (α) T = ( q i q i M jkq jq k ) = M jk q jq k q i k= (α) Αφού η συνολική δυναμική ενέργεια του μηχανισμού είναι k= (β) U = m i g T r 0,ci i= k= ο (β) όρος υπολογίζεται ορίζοντας και τους όρους της ροπής βαρύτητας του κάθε μέλους ως (β) G i = U = m q j g r T 0,c j = m i q j g r T 0,c j i q i J ci,j (3.α) (3.β) (4) (4.α) (4.β) (4.γ) Αντικαθιστώντας τις εκφράσεις που προκύπτουν για τις Εξ.(3, 4) στην Εξ., οι μη γραμμικοί όροι που προκύπτουν, τίθενται ως: i = Γ ijk q jq k (5) k= - Β.6 -
όπου οι συντελεστές Γ ijk (Christoffel s Three-Idex Symbol) δίνονται από Γ ijk = Μ ij Μ jk (6) q k q i ενώ επιπλέον, οι μη γραμμικοί όροι, μπορούν να χωριστούν ως Ροπές Ροπές i = Γ ijj q j + Γ ijk q jq k = λόγω + λόγω k j φυγόκεντρου Coriolis ΙΙΙ) ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΡΟΜΠΟΤΙΚΟΣ ΒΡΑΧΙΟΝΑΣ ΜΕΛΩΝ (7) Για την συγκεκριμένη περίπτωση όπου ένα σώμα Β είναι αναρτημένο στην άκρη του μέλους, η κινητική και δυναμική ενέργεια του συστήματος, το διάνυσμα των ανεξάρτητων γενικευμένων μεταβλητών καθώς και η ισχύς των εξωτερικών δυνάμεων, εκφράζονται από τις Εξ.(8, 9, 0) αντίστοιχα. Τ = { m v c + I ω + { m v c + I ω + { m Β v Β + I Βω Β (8) U = m gy I,c + m gy I,c + m B gy I,B (9) q = { θ q = { θ P t = { N ω = { Ν Ν ω Ν (0) - Β.7 -
Κινηματική μηχανισμού Χρησιμοποιώντας τα μητρώα ομογενούς μετασχηματισμού Η, υπολογίζονται τα διανύσματα θέσης των κέντρων βάρους του κάθε μέλους. Το διάνυσμα θέσης του κέντρου βάρους c του μέλους, ως προς το αδρανειακό σύστημα αναφοράς (Οx Iy I): r I,c = H I, r c r I,c = { x I,c y I,c cos θ si θ 0 = [ si θ cos θ 0] { 0 0 l c 0 () r I,c = { x I,c y I,c = { l c cos θ l c si θ όπου r c το διάνυσμα θέσης του ΚΒ c ως προς το τοπικό σύστημα συντεταγμένων του μέλους. Όμοια για το ο μέλος: r I,c = H I, r c r I,c = H I, H I, r c r I,c = { x I,c y I,c cos θ si θ 0 cos θ si θ l = [ si θ cos θ 0] [ si θ cos θ 0] { 0 0 0 0 l c 0 () r I,c = { x I,c y I,c Χρησιμοποιώντας τις εξής τριγωνομετρικές ταυτότητες cos(θ + θ ) si(θ + θ ) l cos θ = [ si(θ + θ ) cos(θ + θ ) l si θ ] { 0 0 l c 0 καταλήγει στην si(θ + θ ) = si θ cos θ + cos θ si θ cos(θ + θ ) = cos θ cos θ si θ si θ r I,c = { x I,c y I,c = { l cos θ + l c cos(θ + θ ) l si θ + l c si(θ + θ ) (.α) (.β) Εκτός από τα μέλη, πρέπει να υπολογιστεί και το διάνυσμα θέσης του ΚΒ του σώματος που κρατάει η δαγκάνα του μέλους : r I,Β = H I, r Β r I,Β = { x I,Β y I,Β cos(θ + θ ) si(θ + θ ) l cos θ 0 = [ si(θ + θ ) cos(θ + θ ) l si θ ] {l 0 0 r I,B = { x I,B y I,B = { l cos θ + l cos(θ + θ ) l si θ + l si(θ + θ ) (3) Υπολογισμός ταχυτήτων Παραγωγίζοντας ως προς το χρόνο τα διανύσματα θέσης που υπολογίστηκαν, προκύπτουν οι γραμμικές κεντροβαρικές ταχύτητες των μελών και του σώματος Β: - Β.8 -
v c = r I,c = { l c si θ = J c q l c cos θ v c = [ l c si θ 0 l c cos θ 0 ] { (4) Χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες της Γραμμικής Άλγεβρας, το τετράγωνο του μέτρου του διανύσματος της γραμμικής ταχύτητας, συναρτήσει του Ιακωβιανού πίνακα και των γενικευμένων ταχυτήτων: J c v c = J c q = q T J T c J c q (5) Όμοια για τις υπόλοιπες κεντροβαρικές γραμμικές ταχύτητες: v c = r I,c = l si θ ( + )l c si(θ + θ ) { l cos θ + ( + )l c cos(θ + θ ) = J c q v c = [ l si θ l c si(θ + θ ) l c si(θ + θ ) l cos θ + l c cos(θ + θ ) l c cos(θ + θ ) ] { (6) J c v c = J c q = q T J T c J c q (7) και v B = r I,B = { l si θ ( + )l si(θ + θ ) l cos θ + ( + )l cos(θ + θ ) = J Bq v B = [ l si θ l si(θ + θ ) l si(θ + θ ) l cos θ + l cos(θ + θ ) l cos(θ + θ ) ] J B { (8) v B = J B q = q T J B T J B q (9) Ενώ με την ίδια λογική, οι γωνιακές ταχύτητες των μελών, ως προς τις γενικευμένες ταχύτητες: ω = = [ 0 0 0 ] {, ω = + = [ 0 0 ] {, ω Β = ω (30) Κινητική ενέργεια J ω Αντικαθιστώντας πλέον στην Εξ.(8), λαμβάνεται σε μητρωϊκή γραφή: Τ = { m v c + I ω + { m v c + I ω + { m Β v Β + I Βω Β J ω = (m iq T T J ci J ci q + q T T J ωi I i J ωi q ) i=,,b = q T Mq (3) Όπου το μητρώο αδρανείας του βραχίονα με το αναρτημένο σώμα προκύπτει από την - Β.9 -
M = T T (m i J ci J ci + J ωi I i J ωi ) i=,,b (3) Άρα οι όροι του τετραγωνικού συμμετρικού μητρώου αδρανείας: M = {m l c + I + {m (l + l c + l l c cos θ ) + I + {m B (l + l + l l cos θ ) + I B M = {m (l c + l l c cos θ ) + I + {m B (l + l l cos θ ) + I B M = {m l c + I + {m B l + I B Η βαθμωτή, τετραγωνική μορφή της κινητικής ενέργειας προκύπτει ως T = { [M M ] { = M M M + M + M (34) Φυσική ερμηνεία των δυναμικών εξισώσεων Παρατηρώντας τα στοιχεία του μητρώου αδρανείας: Η έκφραση Μ, ερμηνεύεται ως η συνολική ροπή αδρανείας και των δύο μελών, περί τον άξονα της ης άρθρωσης. Η πρώτη αγκύλη της Μ, {m l c + I, αντιπροσωπεύει τη ροπή αδρανείας του ου μέλους περί τον άξονα της ης άρθρωσης, ενώ οι υπόλοιποι όροι συνεισφέρονται από το ο μέλος. Η αδράνεια του ου μέλους, εξαρτάται από την απόσταση L μεταξύ του c και της ης άρθρωσης όπως φαίνεται στο σχήμα. Η απόσταση L είναι συνάρτηση της γωνίας θ και δίνεται ως (33) L = l + l c + l l c cos θ = L (θ ) (35) Οπότε η αδράνεια εξαρτάται από τη διαμόρφωση του βραχίονα. Μεγιστοποιείται όταν ο βραχίονας είναι πλήρως εκτεταμένος (θ=0) και ελαχιστοποιείται όταν ο βραχίονας είναι πλήρως συνεσταλμένος. Χρησιμοποιώντας το θεώρημα των παράλληλων αξόνων: Δυναμική ενέργεια Ι c = m L + I = Ι c (θ ) Ι c (0) = Ι c,max Ι c (π) = Ι c,mi Ο υπολογισμός της δυναμικής ενέργειας προκύπτει ως όπου από την κινηματική ανάλυση προέκυψαν (36) U = m gy I,c + m gy I,c + m B gy I,B (37) - Β.0 -
y I,c = l c si θ y I,c = l si θ + l c si(θ + θ ) y I,B = l si θ + l si(θ + θ ) (38) Εξισώσεις κίνησης Ακολουθώντας την γενική μορφή της διαδικασίας, όπως περιεγράφηκε στο ο υποκεφάλαιο, για την εξαγωγή των εξισώσεων κατάστασης, αρχικά υπολογίζονται οι όροι γενικευμένης ορμής ως προς τις δύο γενικευμένες ταχύτητες: P = L = T q q P = L = T q q = M j q j = Μ + M (39) = M j q j = Μ + M = Μ + M (40) Τότε, ο ος όρος της εξίσωσης Lagrage ως προς q και q : d L = P = Μ dt θ + Μ + M q t θ + M t P = Μ θ + ( Μ + Μ ) + M θ + ( Μ + Μ ) (4) d L dt q = P = Μ θ + Μ + M t θ P = Μ θ + ( Μ + Μ + M t ) + M θ + ( Μ + Μ ) (4) όπου οι παράγωγοι των στοιχείων του μητρώου αδρανείας ως προς τις γωνιακές μετατοπίσεις: Μ = 0, Μ = 0, Μ = 0, Μ Μ = m l l c si θ m B l l cos θ = M = Μ = m l l c si θ m B l l cos θ = M Μ = 0 (43) Τελικά, αντικαθιστώντας λαμβάνεται: P = Μ θ M + M θ M P = Μ θ M + M θ (44) Ο υπολογισμός του ου όρου: L q i = Τ q i + U q i (45) σύμφωνα με τις Εξ.(4) ως προς q : - Β. -
T = q M jk q jq k q T = 0 k=, M jk = 0 (46) Και ως προς q : T = q M jk q jq k q k= T = ( M + M T = M M + M + M ) 0 (47) Εν συνεχεία υπολογίζονται οι ροπές βαρύτητας: U = G q = m g y I,c + m g y I,c + m θ B g y I,B (48) όπου y I,c = l c cos θ y I,c = l cos θ + l c cos(θ + θ ) y I,B = l cos θ + l cos(θ + θ ) (49) Οπότε τελικά: G = m gl c cos θ +m g[l cos θ + l c cos(θ + θ )] +m B g[l cos θ + l cos(θ + θ )] (50) Όμοια ως προς την q : U = G q = m g y I,c + m g y I,c + m θ B g y I,B (5) όπου y I,c = 0 y I,c = l c cos(θ + θ ) y I,B = l cos(θ + θ ) (5) - Β. -
Και εν τέλει: G = (m l c + m B l )g cos(θ + θ ) (53) Αντικαθιστώντας τις εκφράσεις που υπολογίστηκαν, τελικά ο ος όρος της εξίσωσης Lagrage για q και q αντίστοιχα: L q L q = G = m gl c cos θ +m g[l cos θ + l c cos(θ + θ )] +m B g[l cos θ + l cos(θ + θ )] = T + G = M + M + (m l c + m B l )g cos(θ + θ ) (54) (55) Οπότε, οι εξισώσεις κίνησης προκύπτουν ως: i = Μ θ M + M θ M + G = N (56) i = Μ θ + M θ + M + G = N Ενώ μπορούν να εκφραστούν και στη μητρωϊκή μορφή: [ Μ M ] { θ + [ M M ] { Μ M θ M 0 Μ q C q Εξισώσεις κατάστασης + { G G K = { N N F Για ευκολότερη επίλυση τους, είτε αναλυτικά είτε χρησιμοποιώντας υπολογιστικές μεθόδους, το σύστημα των εξισώσεων διατυπώνεται υπό την μορφή των εξισώσεων κατάστασης: { P P = [ Μ M ] { q = M Μ M P (58) P M q (57) Άρα P = F [CM P + K] (59) Δηλαδή λαμβάνεται ένα σύστημα δύο διαφορικών εξισώσεων ης τάξης. - Β.3 -