ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο : ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Όταν ένα μέγεθος ή ένα σύνολο χωριστεί σε ν ίσα μέρη, το κάθε ένα από αυτά ονομάζεται.. και συμβολίζεται : 2. Κάθε τμήμα του μεγέθους ή του συνόλου αντικειμένων, που αποτελείται από κ τέτοια ίσα μέρη συμβολίζεται με το κλάσμα:.. 3. Όταν ο αριθμητής ενός κλάσματος είναι μεγαλύτερος του παρονομαστή τότε το κλάσμα είναι της μονάδας. 4. Στο κλάσμα κ λ οι αριθμοί κ και λ ονομάζονται 5. Να συμπληρώσετε τις ισότητες: α =..., α =..., 0 =... 1 α α 6. Πότε δύο κλάσματα α και γ β δ λέγονται ισοδύναμα;.. 7. Αν είναι α = γ τότε οι όροι τους α, β, γ, δ συνδέονται με τη σχέση:.. β δ 8. Όταν πολλαπλασιαστούν οι όροι ενός κλάσματος με τον ίδιο φυσικό μη μηδενικό αριθμό τότε προκύπτει.κλάσμα. 9. Όταν οι όροι ενός κλάσματος διαιρεθούν με τον ίδιο φυσικό μη μηδενικό αριθμό τότε προκύπτει.κλάσμα. Η διαδικασία αυτή λέγεται του κλάσματος. 10. Το κλάσμα που δε μπορεί να απλοποιηθεί, οι όροι του δηλαδή είναι. μεταξύ τους, λέγεται 11. Όταν δύο ή περισσότερα κλάσματα έχουν τον ίδιο παρονομαστή λέγονται.. 12. Όταν δύο ή περισσότερα κλάσματα έχουν διαφορετικό παρονομαστή λέγονται 13. Για να απλοποιήσουμε ένα κλάσμα ώστε αυτό να γίνει ανάγωγο, πρέπει να διαιρέσουμε τους όρους του με το των όρων του. 14. Αν δύο κλάσματα είναι ομώνυμα, τότε μεγαλύτερο είναι αυτό με το.. 15. Αν δύο κλάσματα έχουν τον ίδιο αριθμητή, τότε μεγαλύτερο είναι αυτό με το. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα 1

16. Αν είναι α = 1 τότε.. β 17. Αν είναι α > 1 τότε.. β 18. Αν είναι α < 1 τότε.. β 19. Αν είναι α > β τότε.. γ γ 20. Αν είναι α > α τότε.. β γ 21. Να συμπληρωθούν οι ισότητες: α + β = α β = γ γ γ γ 22. Πώς πολλαπλασιάζουμε δύο κλάσματα ; Πώς πολλαπλασιάζουμε έναν φυσικό αριθμό με ένα κλάσμα; 23. Να συμπληρωθούν οι ισότητες: α γ = λ α = β δ β 24. Ο μικτός αριθμός αποτελείται από έναν.και από ένα.. 25. Πότε δύο κλάσματα λέγονται αντίστροφα;. 26. Ο αντίστροφος του αριθμού κ είναι ο. Ο αντίστροφος του αριθμού 1 κ είναι ο. Ο αντίστροφος του αριθμού κ λ είναι ο. Ο μοναδικός αριθμός με αντίστροφο τον εαυτό του είναι ο... Ο μοναδικός αριθμός που δεν ορίζεται ο αντίστροφός του είναι ο 27. Πώς διαιρούμε δύο φυσικούς αριθμούς α και β 0 ; Πώς διαιρούμε δύο κλάσματα ; 28. Να συμπληρωθούν οι ισότητες: α α γ α β : = =, λ : = =, = β δ β γ δ 29. Πότε ένα κλάσμα λέγεται σύνθετο;. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα 2

ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Αν τα 3 7 των μαθητών μιας τάξης είναι αγόρια, να βρεθεί πόσα παιδιά έχει η τάξη αν τα κορίτσια είναι 16. Αφού τα αγόρια είναι τα 3 7 των μαθητών της τάξης άρα τα κορίτσια είναι : Αφού τα των μαθητών της τάξης είναι..παιδιά, άρα το 1 7 είναι.. Άρα όλα τα παιδιά της τάξης 7 7 είναι : 2. Σε ένα ορθογώνιο η μια πλευρά του είναι 45 εκατοστά και η άλλη πλευρά του είναι τα 7 της πρώτης. Ποια η περίμετρος του ορθογωνίου; Ποιο το εμβαδόν του ορθογωνίου; 9 Αν ένα τετράγωνο έχει περίμετρο τα 11 της περιμέτρου του ορθογωνίου πόσο είναι το 16 εμβαδόν του; ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα 3

3. Ένα κατάστημα κάνει έκπτωση στα είδη που πουλά ίση με τα 2 7 της αρχικής τιμής τους. Αν αγοράσαμε ένα είδος από το κατάστημα μετά την έκπτωση με 70, ποια ήταν η αρχική του τιμή; Το ποσό των 70 αντιστοιχεί στα. της αρχικής τιμής του είδους. Άρα το 1 7 είναι.. Άρα τα 7 7 είναι. 4. Τα 5 6 ενός χρηματικού ποσού είναι 100. Ποιο είναι το χρηματικό ποσό; Πόσα είναι τα 7 8 του ποσού; Αφού τα 5 6 του χρηματικού ποσού είναι 100 άρα το 1 6 είναι:.. Άρα τα 6 6 (δηλαδή το συνολικό ποσό) είναι:... Τα 8 8 του ποσού είναι:.άρα τα 7 8 του ποσού είναι:. 5. Να βρεθεί ένα κλάσμα μεγαλύτερο του 1 2 και μικρότερο του 2 3 Αρχικά τρέπουμε τα κλάσματα σε ομώνυμα:.. Πολλαπλασιάζουμε αριθμητές και παρονομαστές με το 2 : Άρα ένα κλάσμα που ικανοποιεί το ζητούμενο είναι το: ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα 4

6. Να βρεθεί ένα κλάσμα μεγαλύτερο του 3 10 και μικρότερο του 4 10 Τρέπουμε τα κλάσματα σε ομώνυμα με διπλάσιο παρονομαστή: Άρα ένα κλάσμα που ικανοποιεί το ζητούμενο είναι το: 7. Να τοποθετηθούν στην ευθεία των αριθμών τα κλάσματα: 1 2 7 3 4 13,,,,, 2 3 6 2 3 6 8. Να γίνουν οι πράξεις: 3 7 + 2= 3 5 + + 1 = 4 6 1 1 2 + = 3 4 1 1 1 + 2 = 5 2 1 1 1 2 1 = 10 5 2 7 1 1 1 1 = 12 6 2 4 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα 5

9. Τρεις μαθητές μοιράστηκαν το βραβείο ενός διαγωνισμού που ήταν 1200 ως εξής : Ο πρώτος πήρε τα 5 12 του ποσού, ο δεύτερος πήρε κατά 1 λιγότερα από τον πρώτο 5 και ο τρίτος πήρε τα υπόλοιπα. Πόσα πήρε ο κάθε μαθητής; Ο πρώτος πήρε : Ο δεύτερος πήρε:. Ο τρίτος πήρε: 10. Ποιο κλάσμα πρέπει να προσθέσουμε στο 5 6 για να βρούμε άθροισμα το 14 15 ; Το ζητούμενο κλάσμα είναι: 11. Ποιο κλάσμα πρέπει να αφαιρέσουμε από το 5 8 για να βρούμε διαφορά το 4 9 ; Το ζητούμενο κλάσμα είναι: 12. Σε ένα σχολείο με 240 μαθητές τα 5 12 παίζουν μπάσκετ, τα 3 παίζουν βόλεϊ και οι 8 υπόλοιποι παίζουν ποδόσφαιρο. Πόσοι μαθητές παίζουν ποδόσφαιρο; Μπάσκετ παίζουν :. Βόλεϊ παίζουν:.. Άρα ποδόσφαιρο παίζουν:.. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα 6

13. Να γίνουν οι πράξεις: 3 2 = 7 3 5 = 4 6 1 1 2 = 3 4 1 1 1 2 = 5 2 1 2 3 2 = 2 5 10 1 2 4 2 = 2 5 7 1 2 4 1 2 = 2 5 7 3 14. Αν από ένα δοχείο που περιείχε απέμειναν στο δοχείο; 2 3 λίτρα λάδι καταναλώσαμε τα 5, πόσα λίτρα λάδι 3 11 Καταναλώσαμε : Άρα απέμειναν στο δοχείο:.. 15. Να γίνουν οι πράξεις: 5 2 2 : : = 6 3 5 1 3 5 10 : : = 8 4 6 3 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα 7

16. Να γίνουν οι πράξεις: 2 1 + 5 2 7 3 20 10 = 2 1 1+ + 5 2 7 3 1+ 5 10 = 3 2 4 5 7 1 8 5 = 7 + 1 8 11 = 1 6 4 5 12 : 3 6 5 1 1 6 1 + : 2 3 5 = ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα 8

α 17. Να βρεθούν όλες οι δυνατές τιμές του φυσικού αριθμού α ώστε να ισχύει: 1< < 2. 4 α Η σχέση 1< < 2 μπορεί να γραφεί και ως εξής:.. 4 Συνεπώς οι δυνατές τιμές του φυσικού αριθμού α είναι:. 18. Να διαταχθούν σε αύξουσα σειρά οι αριθμοί : 4 3 11 1 7 7,,,, 1,, 5 10 20 2 5 10 19. Αν είναι α = 3 να υπολογιστεί η τιμή των κλασμάτων: β 5 3α + β 2α β και β β 3α+ β = β + = 2α β = β = 20. Από 200 κιλά γάλα για να φτιάξουμε γιαούρτι χάνονται τα 3 8. Από το γιαούρτι που φτιάξαμε για να γίνει το τυρί χάνεται το 1 5. Πόσα κιλά τυρί φτιάχνονται; Από τα 200 κιλά γάλα το γιαούρτι που θα φτιάξουμε είναι τα. Άρα φτιάχνουμε.κιλά γιαούρτι. Από τα.κιλά γιαούρτι το τυρί που θα φτιάξουμε είναι τα Άρα φτιάχνουμε.κιλά τυρί. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα 9

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ 1. Τα κλάσματα α β και γ δ είναι ίσα, όταν τα χιαστί γινόμενα α δ και β γ είναι ίσα. 2. Το κλάσμα α β είναι ανάγωγο όταν Μ.Κ.Δ (α, β) = 1. 3. Το κλάσμα 5 9 μπορεί να μετατραπεί σε ισοδύναμο με παρονομαστή το 544563. 4. Το κλάσμα 32001 611103 5. Ισχύει ότι 0 = 0. 4 5 είναι ανάγωγο. 6. Όλοι οι φυσικοί αριθμοί έχουν αντίστροφο. 7. Δεν υπάρχει αριθμός με αντίστροφο τον εαυτό του. 8. Ισχύει ότι 2016 1 2015 >. 9. Ισχύει ότι 2015 2015 <. 2014 2016 10. Ισχύει ότι α < α. β β 1 11. Ο αριθμός 12 13 είναι ο αμέσως επόμενος του 11 13. 12. Ανάμεσα σε δύο κλάσματα υπάρχει πάντα τουλάχιστον ένα άλλο κλάσμα. 13. Αν είναι α < 1 τότε αναγκαστικά ο φυσικός αριθμός α είναι το 3. 4 14. Ισχύει ότι : α γ α + + = γ. β δ β + δ 15. Ισχύει ότι α λ β λ: =. β α 16. Ένα κλάσμα είναι ίσο με το μηδέν όταν είναι μηδέν ο αριθμητής του. 17. Ένα κλάσμα είναι ίσο με τη μονάδα όταν αριθμητής και παρονομαστής είναι ίσοι. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα 10

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ 1. Αν η Μαρία ξόδεψε για την αγορά ενός βιβλίου τα 2 7 των χρημάτων της και της απέμειναν 45, να βρεθεί πόσα χρήματα είχε αρχικά η Μαρία. 2. Αν σε ένα δοχείο που είναι γεμάτο κατά το 1 3 με πετρέλαιο, προσθέσουμε άλλα 10 λίτρα πετρέλαιο τότε το δοχείο θα είναι γεμάτο κατά το 1 2. Να βρεθεί πόσα λίτρα πετρέλαιο χωράει το δοχείο; 3. Ένας παππούς μοίρασε την περιουσία του στα τρία εγγόνια του ως εξής : Στο πρώτο εγγόνι του έδωσε το 1 2 της περιουσίας του, στο δεύτερο τα μισά του πρώτου και στο τρίτο εγγόνι του το 1 5 απ' όσα πήραν οι δύο άλλοι μαζί. Τα υπόλοιπα 10.000 τα άφησε σ' ένα κοινωφελές ίδρυμα. Να βρεθεί πόσα ήταν τα χρήματα που μοίρασε ο παππούς και πόσα πήρε ο καθένας εγγονός του. 4. Ποιον αριθμό πρέπει να προσθέσουμε στον αντίστροφο του 5 3 για να βρούμε το κλάσμα 6 7 ; 5. Ο παππούς μοίρασε στα εγγόνια του ένα χρηματικό ποσό ως εξής : Ο Γιώργος πήρε το 1 4 του ποσού, η Έλενα τα 2 5 από αυτά που έμειναν, ο Παύλος τα 2 3 από το νέο υπόλοιπο και ο Πέτρος τα υπόλοιπα. Ο Πέτρος τελικά πήρε 600 ευρώ. Να βρείτε πόσα ευρώ ήταν όλο το ποσό και τι ποσό πήρε ο καθένας. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα 11

6. Η Σοφία αγόρασε μία τούρτα και έφαγε το 1 4 της τούρτας η ίδια, έδωσε το 1 3 στην αδελφή της και το 1 6 στην μητέρας της.το υπόλοιπο το μοίρασε σε τρεις φίλες της. Αν το κομμάτι της κάθε φίλης της ήταν 120 γραμμάρια, τότε να βρείτε πόσα γραμμάρια από την τούρτα έφαγε το κάθε άτομο στα οποία τη μοίρασε. 7. Nα βρεθεί ο μικρότερος φυσικός αριθμός ο οποίος όταν διαιρεθεί με καθένα από τα κλάσματα 8, 9 και 12 να δίνει ακέραιο πηλίκο. 9 11 13 8. Αν 3 2 5 1 4 3 1 Α= + 2 :, B : 2 2 2 = και Γ 3 = + 3 2 5 2 3 τιμή της παράστασης : Π= A : B+ Γ+ Α Β να υπολογιστεί η 9. 10. Ένας πατέρας μοίρασε ένα χρηματικό ποσό στα τέσσερα παιδιά του ως εξής: ο 1 ος πήρε το 1 5 του ποσού, ο 2ος πήρε το 1 6, ο 3ος τα 4 15 και 4ος τα υπόλοιπα. Τι μέρος των χρημάτων πήρε ο 4 ος ; Αν τα χρήματα που πήρε ο 3 ος είναι 75 πόσα χρήματα πήρε ο καθένας τους; ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα 12

11. Ποιόν αριθμό πρέπει να προσθέσουμε στο 3 8 Ποιόν αριθμό πρέπει να αφαιρέσουμε από το 5 8 για να βρούμε 11 24 ; για να βρούμε 23 72 ; Ποιόν αριθμό πρέπει να πολλαπλασιάσουμε με το 7 8 για να βρούμε 5 8 ; ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα 13