2.2 ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ R ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ

ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ R ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ Σύμφωα με το ορισμό του R, η πρόσθεση και ο πολλαπλασιασμός δύο μιγαδικώ αριθμώ γίοται όπως ακριβώς και οι ατίστοιχες πράξεις με διώυμα α + βx στο, όπου βέβαια ατί για x έχουμε το Έτσι: Για τη πρόσθεση δύο μιγαδικώ αριθμώ α + β και γ + δ έχουμε: ( α + β) + ( γ + δ) ( α + γ) + ( β + δ) Για παράδειγμα, ( 3 + 4) + (5 6) (3 + 5) + (4 6) 8 Για τη αφαίρεση του μιγαδικού αριθμού γ + δ από το α + β, επειδή ο α- τίθετος του μιγαδικού γ + δ είαι ο μιγαδικός γ δ, έχουμε: Δηλαδή Για παράδειγμα ( α + β) ( γ + δ) ( α + β) + ( γ δ) ( α γ) + ( β δ) ( α + β) ( γ + δ) ( α γ) + ( β δ) ( 3 + 4) (5 6) (3 5) + (4 + 6) + 0 Α M ( α, β) και M ( γ, δ) είαι οι εικόες τω α + β και γ + δ ατιστοίχως στο μιγαδικό επίπεδο, τότε το άθροισμα ( α + β) + ( γ + δ) ( α + γ) + ( β + δ) y M (γ,δ) M(α+γ, β+δ) παριστάεται με το σημείο M ( α + γ, β + δ) Επομέως, OM OM + OM, δηλαδή: M (α,β) Ο x Η διαυσματική ακτία του αθροίσματος τω μιγαδικώ α + β και είαι το άθροισμα τω διαυσματικώ ακτίω τους γ + δ

86 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘMΟΙ Επίσης, η διαφορά y Μ (γ,δ) 3 ( α + β) ( γ + δ) ( α γ) + ( β δ) Μ (α,β) παριστάεται με το σημείο N( α γ, β δ) Ο x Επομέως, ON OM OM, δηλαδή: Ν(α γ,β δ) Μ 3 ( γ, δ) Η διαυσματική ακτία της διαφοράς τω μιγαδικώ α + β και γ + δ είαι η διαφορά τω διαυσματικώ ακτίω τους Για το πολλαπλασιασμό δύο μιγαδικώ α + β και γ + δ έχουμε: ( α + β)( γ + δ) α( γ + δ) + β( γ + δ) αγ + αδ + βγ + ( β)( δ) αγ + αδ + βγ + βδ αγ + αδ + βγ βδ ( αγ βδ) + ( αδ + βγ) Δηλαδή, ( α + β)( γ + δ) ( αγ βδ) + ( αδ + βγ) Για παράδειγμα, (3 + 4) (5 6) 5 8 + 0 4 (5 + 4) + (0 8) 39 + Ειδικότερα, έχουμε: ( α + β)( α β) α + β Ο αριθμός α β λέγεται συζυγής του α + β και συμβολίζεται με α + β Δηλαδή, α + β α β Επειδή είαι και α β α + β, οι α + β, α β λέγοται συζυγείς μιγαδικοί α + β Τέλος, για α εκφράσουμε το πηλίκο, όπου γ + δ 0, στη μορφή γ + δ κ + λ, πολλαπλασιάζουμε τους όρους του κλάσματος με το συζυγή του παροομαστή και έχουμε: α + β ( α + β)( γ δ) ( αγ + βδ) + ( βγ αδ) αγ + βδ βγ αδ + γ + δ ( γ + δ)( γ δ) γ + δ γ + δ γ + δ Δηλαδή,

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 87 α + β γ + δ αγ + βδ βγ αδ + γ + δ γ + δ Για παράδειγμα: + ( + )( + 3) + 6 + + 3 3 ( 3)( + 3) + 9 + 7 0 0 + 7 0 Δύαμη Μιγαδικού Οι δυάμεις εός μιγαδικού αριθμού με εκθέτη ακέραιο ορίζοται ακριβώς όπως και στους πραγματικούς, δηλαδή ορίζουμε:,,, και γεικά, για κάθε θετικο ακέραιο, με > Επίσης, α 0, ορίζουμε 0, για κάθε θετικό ακέραιο Για τις δυάμεις τω μιγαδικώ αριθμώ ισχύου οι ίδιες ιδιότητες που ισχύου και για τις δυάμεις τω πραγματικώ αριθμώ Ιδιαίτερα για τις δυάμεις του έχουμε: 0 Στη συέχεια, παρατηρούμε ότι είαι: 4 3,,, 5 4 6 4 7 4 3 3,,,, 4 δηλαδή, μετά το οι τιμές του επααλαμβάοται Άρα, για α υπολογίσουμε συγκεκριμέη δύαμη του, γράφουμε το εκθέτη στη μορφή 4ρ + υ, όπου ρ το πηλίκο και υ το υπόλοιπο της ευκλείδειας διαίρεσης του με το 4, οπότε έχουμε:, α υ 0 +, α 4 ρ υ 4 ρ υ ( 4 ρ υ ρ υ υ υ ) -, α υ, α υ 3 Για παράδειγμα: Ιδιότητες Συζυγώ 6 4 9 3 4+ 4 4+ 3 3 4 4+ 0 0 4 5+ Επειδή οι συζυγείς μιγαδικοί, όπως θα δούμε στις επόμεες παραγράφους, μας διευκολύου στη μελέτη τω μιγαδικώ αριθμώ, θα ααφερθούμε ιδιαιτέρως σε αυτούς

88 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘMΟΙ Στο μιγαδικό επίπεδο οι εικόες M ( α, β) και M ( α, β) δύο συζυγώ μιγαδικώ α + β και α β είαι σημεία συμμετρικά ως προς το πραγματικό άξοα y 4 M() Ο x M () Για δύο συζυγείς μιγαδικούς αριθμούς α + β και α β μπορούμε εύκολα, με εκτέλεση τω πράξεω, α διαπιστώσουμε ότι: + α β Α α + β και γ + δ είαι δυο μιγαδικοί αριθμοί, τότε: + + 3 4 Οι ιδιότητες αυτές μπορού α αποδειχτού με εκτέλεση τω πράξεω Για παράδειγμα έχουμε: + ( α + β) + ( γ + δ) ( α + γ) + ( β δ) + ( α + γ) ( β + δ) ( α β) + ( γ δ) + Οι παραπάω ιδιότητες και 3 ισχύου και για περισσότερους από δυο μιγαδικούς αριθμούς Είαι δηλαδή: + + L+ L+ + + Ιδιαίτερα, α είαι, τότε η τελευταία ισότητα γίεται: ( ) ( )

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 89 Για παράδειγμα, 3 4 + 5 3 3 4 + 5 3 3 + 3 4 5 Επίλυση της Εξίσωσης α + β + γ 0 με α, β,γ και α 0 Επειδή και ( ), η εξίσωση x έχει στο σύολο R τω μιγαδικώ αριθμώ δύο λύσεις, τις x 4 x x και x Ομοίως, η εξίσωση έχει στο σύολο τω μιγαδικώ αριθμώ δύο λύσεις, τις, αφού 4 4 () ή x Εύκολα, όμως, μπορούμε α διαπιστώσουμε ότι και κάθε εξίσωση δεύτερου βαθμού με πραγματικούς συτελεστές έχει πάτα λύση στο σύολο C Πράγματι, έστω η εξίσωση α + β + γ 0, με α, β, γ και α 0 Εργαζόμαστε όπως στη ατίστοιχη περίπτωση στο και τη μετασχηματίζουμε, με τη μέθοδο συμπλήρωσης τετραγώω, στη μορφή: η διακρίουσα της εξίσωσης Έτσι, έχουμε τις εξής περιπτώ- όπου σεις: Δ β 4αγ β Δ +, α 4α και Δ > 0 Tότε η εξίσωση έχει δύο πραγματικές λύσεις: Δ 0 Tότε έχει μια διπλή πραγματική λύση: Δ < 0 Tότε, επειδή, η εξίσωση γρά- β φεται: Δ + α α Άρα οι λύσεις της είαι: β α Δ ( )( Δ) ( Δ) 4 4 ( ) ι Δ α α α α,, β ± α Δ β ± Δ, () α οι οποίες είαι συζυγείς μιγαδικοί αριθμοί Για παράδειγμα, η εξίσωση 5 + 6 0 έχει Δ 5 4 > 0 και οι λύσεις 5 + 5 της είαι: 3, Όμως, η εξίσωση + 0 έχει

90 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘMΟΙ Δ 4 8 4 < 0 και οι λύσεις της είαι οι συζυγείς μιγαδικοί αριθμοί: + 4 4 +, ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Παρατηρούμε ότι και εδώ ισχύου οι σχέσεις: β + και α γ α ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Για τις διάφορες τιμές του θετικού ακέραιου α υπολογιστεί το άθροισμα ΛΥΣΗ 3 S + + + L+ Οι προσθετέοι του αθροίσματος έχου πλήθος και είαι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου με πρώτο όρο και λόγο επίσης Επομέως, S, οπότε, λόγω της ισότητας 4 ρ + υ της ευκλείδειας διαίρεσης του με το 4, έχουμε τις εξής περιπτώσεις: υ 0 Τότε 4 ρ, οπότε S 0 υ Τότε 4ρ +, οπότε S υ Τότε 4ρ +, οπότε S υ3 Τότε 4ρ + 3, οπότε S ( + ) + Να βρεθεί το σύολο τω εικόω τω μιγαδικώ στις περιπτώσεις κατά τις οποίες ο αριθμός είαι α) φαταστικός β) πραγματικός ΛΥΣΗ Α x+ y, τότε:

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 9 ( x ) + y x+ ( y ) ( x x + y y) + (x + y ) x + ( y ) x x + y y x + y + x + ( y ) x + ( y ) Επομέως: x x + y y α) Ο αριθμός είαι φαταστικός, α και μόο α 0, δηλαδή, α και μόο α x x + y y 0 και x + ( y ) 0 ή, x + ( y ) ισοδύαμα, 5 x + ( y ) και ( xy, ) ( 0, ) 4 Άρα, το σύολο τω εικόω του είαι τα σημεία του κύκλου με κέτρο 5 K, και ακτία, με εξαίρεση το σημείο A( 0, ) x + y β) Ο αριθμός είαι πραγματικός, α και μόο α 0, δηλαδή, x + ( y ) α και μόο α x+ y 0 και x + ( y ) 0 Άρα, το σύολο τω εικόω του είαι τα σημεία της ευθείας με εξίσωση x+ y 0, με εξαίρεση το σημείο A( 0, ) ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α ΟΜΑΔΑΣ Να βρείτε τις τιμές του λ, ώστε ο ( λ + 3)( ) α είαι: α) πραγματικός αριθμός β) φαταστικός αριθμός Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς x, y για τους οποίους ισχύει: α) ( x + y) + ( x y) 3 β) 3x + x 6 + ( x 3) + γ) 9 7 (3x + y) y

9 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘMΟΙ 3 Στο μιγαδικ+ό επίπεδο α σημειώσετε τις εικόες και τις διαυσματικές ακτίες τω μιγαδικώ αριθμώ: +,,,, 3 + 4, 3 4, 5, 0 4 Να περιγράψετε γεωμετρικά το σύολο τω εικόω τω μιγαδικώ αριθμώ που ικαοποιού τις σχέσεις: α) Το πραγματικό μέρος του είαι ίσο με μηδέ β) Το φαταστικό μέρος του είαι ίσο με μηδέ γ) Το πραγματικό μέρος του είαι ίσο με το φαταστικό του μέρος 5 Σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις α εκτελέσετε τις πράξεις που σημειώοται και α γράψετε το αποτέλεσμα στη μορφή α + β α) ( 4 + 6) + (7 ) β) ( 3 ) (6 + 4) γ) ( 3 + 4 ) + ( 8 7) + (5 + 3) δ) ( 3 + )(4 + 5) ε) 3 (6 + ) στ) ( 4 + 3)(4 3) ζ) ( 3 + )( ) 6 Να γράψετε τους παρακάτω μιγαδικούς στη μορφή α + β : α) γ) + + δ) ε) 3 + β) στ) 6 ( + 7 Να βρείτε τους x, y, για τους οποίους ισχύει: α) (3 ) ( x + y) x y + β) + + x + y γ) ( 3 )(x y) (x y) + 8 Να υπολογίσετε τις παραστάσεις: α) 6 6 6 36 46 + + + + + β) + 4 75 03 56 6 + 3) 9 Ποιος είαι ο, ότα: α) 5 + 7 β) 4 9 γ) 4 δ) ε) στ) 0

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 93 0 Με ποιες συμμετρίες μπορού α προκύψου από τη εικόα του μιγαδικού x + y οι εικόες τω μιγαδικώ, και ; 5 9 5 + 9 Α και, α δείξετε ότι ο + είαι πραγματικός αριθμός, εώ ο 7 + 4 7 4 φαταστικός αριθμός Να περιγράψετε γεωμετρικά το σύολο τω εικόω τω μιγαδικώ αριθμώ που ικαοποιού τις παρακάτω σχέσεις: α) 6 β) γ) δ) 3 Να λύσετε στο σύολο τω μιγαδικώ αριθμώ τις εξισώσεις: α) x 3x + 0 β) x x + 3 0 γ) x + x 4 Α μια ρίζα της εξίσωσης x + βx + γ 0, όπου β, γ, είαι 3+, α βρείτε τις τιμές τω β και γ Β ΟΜΑΔΑΣ Α α, β, γ και δ είαι πραγματικοί αριθμοί, α εξετάσετε πότε το πηλίκο είαι πραγματικός αριθμός α + β γ + δ Α 3, α βρείτε τη τιμή της παράστασης 3 Να βρείτε τη τιμή της παράστασης 0 ( + ) ( ) 0 4 Πόσες διαφορετικές τιμές μπορεί α πάρει η παράσταση + ; 5 Να λύσετε τις εξισώσεις α) β) 3 6 Έστω ο μιγαδικός με 0 Να δείξετε ότι ο + είαι πραγματι- κός και ότι + 0 0 7 Να αποδείξετε ότι ( α + β) + ( β α) 0, όπου 8 α) Για έα μιγαδικό αριθμό α αποδείξετε ότι: α, β

94 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘMΟΙ Ο είαι πραγματικός, α και μόο α Ο είαι φαταστικός, α και μόο α β) Α και εί- + μός u + αι φαταστικός και, α αποδείξετε ότι ο αριθ- είαι πραγματικός, εώ ο αριθμός v + 9 Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο τω εικόω τω μιγαδικώ για τους οποίους ισχύει: α) Re + 5Re( ) β) Im + 3 Im( )