ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

Σχετικά έγγραφα
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

Κατηγορηματικός Λογισμός (ΗR Κεφάλαιο )

Λύσεις Σειράς Ασκήσεων 2

Λύσεις Σειράς Ασκήσεων 3

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

Σειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις

Κατ οίκον Εργασία 2 Λύσεις

HY 180 Λογική Διδάσκων: Δ. Πλεξουσάκης Φροντιστήριο 5

Σειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις

Λύσεις Σειράς Ασκήσεων 1

Λύσεις Σειράς Ασκήσεων 3

Λύσεις Σειράς Ασκήσεων 2

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

Περιεχόμενα 1 Πρωτοβάθμια Λογική Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) / 60

Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά

Επανάληψη. ΗΥ-180 Spring 2019

Λύσεις 2 ης Σειράς Ασκήσεων

Σειρά Προβλημάτων 2 Λύσεις

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

Λύσεις Σειράς Ασκήσεων 3

Ασκήσεις μελέτης της 8 ης διάλεξης

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Λογική. Δημήτρης Πλεξουσάκης

ΗΥ180: Λογική Διδάσκων: Δημήτρης Πλεξουσάκης. Φροντιστήριο 8 Επίλυση για Horn Clauses Λογικός Προγραμματισμός Τετάρτη 9 Μαΐου 2012

Κατηγορηµατική Λογική

Ασκήσεις Επανάληψης Λύσεις

Λογική Δημήτρης Πλεξουσάκης Φροντιστήριο 5: Προτασιακός Λογισμός: Κατασκευή Μοντέλων Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών

HY118-Διακριτά Μαθηματικά

Πληρότητα της μεθόδου επίλυσης

HY118-Διακριτά Μαθηματικά

Μη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας

\5. Κατηγορηματικός Λογισμός (Predicate Calculus)

Ασκήσεις Επανάληψης Λύσεις

Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ

ΕΠΛ 412 Λογική στην Πληροφορική 4-1

Μη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας

Προτασιακός Λογισμός (HR Κεφάλαιο 1)

Μη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας

Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής

ΠΛΗ 20, 3 η ΟΣΣ (Κατηγορηματική Λογική)

Μορφολογική Παραγωγή. 3 ο φροντιστήριο ΗΥ180 Διδάσκων: Δ. Πλεξουσάκης Τετάρτη 28/02/2019 Ζωγραφιστού Δήμητρα

Στοιχεία Προτασιακής Λογικής

Κατηγορηµατική Λογική Προτασιακή Λογική: πλαίσιο διατύπωσης και µελέτης επιχειρηµάτων για πεπερασµένο πλήθος «λογικών αντικειµένων». «Λογικό αντικείµε

Προτασιακός Λογισμός (HR Κεφάλαιο 1)

Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής

Τεχνητή Νοημοσύνη. 8η διάλεξη ( ) Ίων Ανδρουτσόπουλος.

Μη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά

4.3 Ορθότητα και Πληρότητα

ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό εξάμηνο 2016 Λύσεις ασκήσεων προόδου

ΚΑΤΗΓΟΡΗΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Ι

Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής

Μη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας

Προτασιακή Λογική. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ ΤΕΙ Ηπείρου Γκόγκος Χρήστος

Μη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας

Μορφολογική Παραγωγή. 3 ο φροντιστήριο ΗΥ180 Διδάσκων: Δ. Πλεξουσάκης Τετάρτη 08/03/2018 Ζωγραφιστού Δήμητρα

ΠΛΗ 20, 3 η ΟΣΣ (Κατηγορηματική Λογική)

Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός

Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια

Σειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις

Κεφάλαιο 8 Σημασιολογία λογικών προγραμμάτων

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Νόµοι ισοδυναµίας. Κατηγορηµατικός Λογισµός. ιακριτά Μαθηµατικά, Εαρινό εξάµηνο Παρασκευή, 24/02/2017

HY Λογική Διδάσκων: Δ. Πλεξουσάκης Εαρινό Εξάμηνο. Φροντιστήριο 6

4. Ο,τιδήποτε δεν ορίζεται με βάση τα (1) (3) δεν είναι προτασιακός τύπος.

Λύσεις Σειράς Ασκήσεων 1

Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός

Ανδρέας Παπαζώης. Τμ. Διοίκησης Επιχειρήσεων

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Λογική. Δημήτρης Πλεξουσάκης. 5ο μέρος σημειώσεων: Κατηγορηματικός Λογισμός (Predicate Calculus)

, για κάθε n N. και P είναι αριθμήσιμα.

Λογική Δημήτρης Πλεξουσάκης Φροντιστήριο 6: Προτασιακός Λογισμός: Μέθοδος Επίλυσης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών

ΤΕΧΝΗΤΗ ΝΟΗΜΟΣΥΝΗ. Ενότητα 9: Προτασιακή λογική. Ρεφανίδης Ιωάννης Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής

ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Μορφολογική Παραγωγή. 3 ο φροντιστήριο ΗΥ180 Διδάσκων: Δ. Πλεξουσάκης Τετάρτη 15/03/2017 Ζωγραφιστού Δήμητρα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

ιακριτά Μαθηµατικά και Μαθηµατική Λογική ΠΛΗ20 Ε ρ γ α σ ί α 5η Προτασιακή Λογική

Φροντιστήριο 7 Λύσεις Ασκήσεων

Λύσεις 1 ης Σειράς Ασκήσεων

ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ : ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΤΑΞΗ : Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΠΟΥΔΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

Λογική. Προτασιακή Λογική. Λογική Πρώτης Τάξης

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων

Λύσεις Σειράς Ασκήσεων 4

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά

Ανάλυση της Ορθότητας Προγραμμάτων (HR Κεφάλαιο 4)

ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΕΙΚΟΣΤΟ ΤΡΙΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης.

Mαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός

ΠΑΙΓΝΙΑ Παιχνίδια Γενική Θεώρηση μεγιστοποιήσει την πιθανότητά

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

Στοιχεία προτασιακής λογικής

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Λογική. Φροντιστήριο 4: Μορφολογική Παραγωγή. Δημήτρης Πλεξουσάκης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών

ΑΡΧΗ 1ης ΣΕΛΙΔΑΣ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ : ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΤΑΞΗ : Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΠΟΥΔΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

2 ΟΥ και 8 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ

Λογική Πρώτης Τάξης. Γιώργος Κορφιάτης. Νοέµβριος Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο

Φάσμα προπαρασκευή για Α.Ε.Ι. & Τ.Ε.Ι.

Transcript:

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΠΛ 412: Λογική στην Πληροφορική Ενδιάμεση Εξέταση Ημερομηνία : Δευτέρα 2 Νοεμβρίου 2015 Διάρκεια : 10:30 12:00 Διδάσκουσα : Άννα Φιλίππου Ονοματεπώνυμο: Αριθμός Ταυτότητας: Οδηγίες: Να διαβάσετε προσεχτικά και να απαντήσετε σε όλες τις ερωτήσεις. Να γράψετε τις απαντήσεις σας (καθαρά) στο εξεταστικό δοκίμιο. Ο άριστος βαθμός της εξέτασης είναι 100. Καλή Επιτυχία! Ερώτηση Βαθμός 1 2 3 Τελικός Βαθμός:

Άσκηση 1 [30 μονάδες] Να αποδείξετε τα πιο κάτω λογικά επακόλουθα χρησιμοποιώντας τα συστήματα κανόνων του Προτασιακού Λογισμού (μέρος (α)) και του Κατηγορηματικού Λογισμού (μέρος (β)). (α) [12 μονάδες] ( p ( q r)), ( p q) r q r 1. ( p ( q r)) προϋπόθεση 2. ( p q) r προϋπόθεση 3. p q πρ. υπ. r πρ. υπ. 4. p πρ. υπ. q πρ. υπ. q r i 3 5. q q LEM q r i 4 6. q πρ. υπ. q πρ. υπ. 7. q r i 6 r πρ. υπ. 8. q r i 6, 7 9. p ( q r) i 4, 8 10. e 1, 9 11. r e 7-10 12. q r i 11 13. q r e 5, 6-12 14. q r e 3, 4-13 15. q r e 2, 3-14 (β) [18 μονάδες] x [ ( y (L(x,y) L(y,x)) ) L(x,x) ], x y L(x,y) x L(x,x) 1. x [ ( y (L(x,y) L(y,x)) ) L(x,x) ] προϋπόθεση 2. x y L(x,y) προϋπόθεση 3. x 0 y L(x 0,y) πρ. υπόθεση 4. L(x 0, x 0 ) y e 3 5. x L(x,x) x i 4 6. x L(x,x) x e 2, 3-5

Άσκηση 2 [45 μονάδες] (α) [9 μονάδες] Να αναφέρετε τρεις μεθόδους μέσω των οποίων μπορούμε να ελέγξουμε την εγκυρότητα προτάσεων του Κατηγορηματικού Λογισμού και να τις περιγράψετε. 1. Σημασιολογία (Αλήθεια του Tarski): Με τη χρήση της μεδόθου αυτής επιδεικνύουμε ότι η πρόταση είναι αληθής σε κάθε δυνατό μοντέλο χρησιμοποιώντας τους κανόνες της σημασιολογίας. 2. Συστήματα απόδειξης λογικού συμπερασμού: Η μέθοδος χρησιμοποιεί ένα σύνολο από αποδεικτικούς κανόνες με τη χρήση του οποίου μπορούμε να καταλήξουμε σε συμπεράσματα. Μια πρόταση είναι έγκυρη αν μπορεί να αποδειχθεί μέσω των κανόνων. 3. Μέθοδος της Επίλυσης: Η μέθοδος μας επιτρέπει με τη χρήση ενός κανόνα να δείξουμε ότι μια πρόταση είναι μη ικανοποιήσιμη. Για να αποδείξουμε την εγκυρότητα μιας πρότασης, θα πρέπει να εφαρμόσουμε τη Μέθοδο της Επίλυσης στην άρνηση της πρότασης. Αν οδηγηθούμε στο συμπέρασμα ότι η πρόταση αυτή είναι μη ικανοποιήσιμη, τότε η αρχική μας πρόταση είναι έγκυρη. (β) Θεωρήστε τις πιο κάτω προτάσεις: φ 1 = P(0) x P(x) y ( P(y) P(s(s(y))) ) φ 2 = x y ( P(y) P(s(x)) ) (i) [6 μονάδες] Να δείξετε ότι η πρόταση φ 1 φ 2 είναι ικανοποιήσιμη επιδεικνύοντας μοντέλο στο οποίο η πρόταση να γίνεται αληθής. Θεωρούμε ερμηνεία όπου: Το σύμπαν αποτελείται από τους μη αρνητικούς ακέραιους. P(x): το κατηγόρημα που εκφράζει αν ο x είναι άρτιος. s(x) = x + 1 Σε αυτό το μοντέλο ικανοποιούνται και οι δύο προτάσεις. Επομένως η πρόταση φ 1 φ 2 είναι ικανοποιήσιμη. (ii) [12 μονάδες] Να αποδείξετε ότι η πρόταση φ 1 φ 2 είναι έγκυρη χρησιμοποιώντας τη σημασιολογία του Κατηγορηματικού Λογισμού (Αλήθεια του Tarski). Ας υποθέσουμε (με στόχο να φτάσουμε σε αντίφαση) ότι η πρόταση φ 1 φ 2 δεν είναι έγκυρη. Τότε, για κάποιο μοντέλο Μ με σύμπαν Α: Μ P(0) x P(x) y ( P(y) P(s(s(y))) ) (1) και όχι Μ x y ( P(y) P(s(x)) ) (2) Από το (2) έχουμε ότι: Όχι [ υπάρχει a Α τέτοιο ώστε για κάθε b Α, Μ P(b) ή Μ P(s(a)) ] Επομένως

Για κάθε a Α υπάρχει b Α τέτοιο ώστε Μ P(b) και Μ P(s(a)) Αφού η πρόταση ισχύει για κάθε a ισχύει και για a = s(0). Δηλαδή, υπάρχει b Α τέτοιο ώστε Μ P(b) και (3) όχι Μ P(s(s(0))) (4) Από το (1) συνεπάγεται ότι Μ P(0) και Μ y ( P(y) P(s(s(y))) ) Επομένως Μ P(0) και Μ P(c) P(s(s(c))) για κάθε c A Αν πάρουμε c = 0 έχουμε ότι Μ P(0) και (5) Μ P(0) ή Μ P(s(s(0))) (6) Από τα (5) και (6) καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι Μ P(s(s(0))) Αυτό όμως έρχεται σε αντίφαση με το (4). Συνεπώς, η αρχική μας υπόθεση είναι λανθασμένη και η πρόταση είναι έγκυρη. (iii) [18 μονάδες] Να αποδείξετε ότι η πρόταση φ 1 φ 2 είναι έγκυρη χρησιμοποιώντας τη Μέθοδο της Επίλυσης. Ξεκινούμε θεωρώντας την άρνηση της πρότασης την οποία μετατρέπουμε σε κανονική μορφή Prenex: (φ 1 φ 2 ) = φ 1 φ 2 = P(0) x P(x) y ( P(y) P(s(s(y)))) x y ( P(y) P(s(x)) ) = P(0) x P(x) y ( P(y) P(s(s(y)))) x y ( P(y) P(s(x)) ) = P(0) x P(x) y ( P(y) P(s(s(y))) x y (P(y) P(s(x)) ) = P(0) x P(x) y ( P(y) P(s(s(y))) z w (P(w) P(s(z)) ) = P(0) x P(x) z w (P(w) P(s(z)) ) y ( P(y) P(s(s(y))) = x z w y [P(0) P(x) P(w) P(s(z)) ( P(y) P(s(s(y)))] Στη συνέχεια εφαρμόζουμε απαλοιφή των ποσοδεικτών: P(0) P(a) P(f(z)) P(s(z)) ( P(y) P(s(s(y)))) Με βάση τα πιο πάνω προκύπτει το πιο κάτω προτασιακό σύνολο: { {P(0)}, { P(a)}, {P(f(z))}, { P(s(z))}, { P(y) P(s(s(y)))} } Η Μέθοδος της Επίλυσης επιφέρει διάψευση στο προτασιακό σύνολο όπως φαίνεται στο δέντρο που ακολουθεί: P(0) P(y), P(s(s(y))) P(s(z)) P(a) P(f(z)) P(s(s(0)))

Άσκηση 3 [25 μονάδες] (α) [5 μονάδες] Να γράψετε τον κανόνα SLD-Επίλυση στον οποίο βασίζεται ο Λογικός Προγραμματισμός και να τον εξηγήσετε. Α 1,,Α i-1, A i, A i+1,, A n, A B 1,,B k, A i θ i = Aθ i (Α 1,,Α i-1, B 1,,B k, A i+1,, A n ) θ i Σύμφωνα με τον Κανόνα SLD-Επίλυση οποίος εμφανίζεται πιο πάνω, δεδομένου του στόχου ενός προγράμματος Α 1,,Α i-1, A i, A i+1,, A n και μιας εντολής του προγράμματος A B 1,,B k σύμφωνα με την οποία για να υπολογίσουμε το Α πρέπει να υπολογίσουμε τα B 1,,B k, εφόσον ο όρος του στόχου μας Α i μπορεί να ενοποιηθεί με το Α μέσω μιας αντικατάσταση θ i, τότε ο στόχος του προγράμματος μπορεί να μετατραπεί σε (Α 1,,Α i-1, B 1,,B k, A i+1,, A n ) θ i. Ο κανόνας αυτός δεν είναι παρά μια εξειδίκευση του κανόνα της Επίλυσης στον Κατηγορηματικό Λογισμό. Οι όροι του κανόνα αντιστοιχούν στα προτασιακά σύνολα που εμφανίζονται πιο κάτω Α 1,,Α i-1, A i, A i+1,, A n { Α 1,, Α i-1, A i, A i+1,, A n } A B 1,,B k, {A, B 1,, B k } όπου, προφανώς, αν οι όροι Α i και Α μπορούν να ενοποιηθούν μέσω της ενοποιήτριας συνάρτησης θ i, η επίλυση μας επιστρέφει το προτασιακό σύνολο { Α 1,, Α i-1, B 1,, B k, A i+1,, A n }θ i που αποτελεί και την απόδοση του στόχου (Α 1,,Α i-1, B 1,,B k, A i+1,, A n ) θ i που εμφανίζεται ως αποτέλεσμα της εφαρμογής του κανόνα.

(β) [20 μονάδες] Να χρησιμοποιήσετε τη μέθοδο της SLD επίλυσης για να φθάσετε σε διάψευση του στόχου στο πιο κάτω πρόγραμμα Λογικού Προγραμματισμού και να υπολογίσετε την αντικατάσταση ορθής απάντησης που προκύπτει. add(x,0,x) add(x,s(y),s(z)) add(x,y,z) mul(x,0,0) mul(x,s(y),z) mul(x,y,a), add(a,x,z) mul (U, V, s(s(0))) 1. add(x,0,x) 2. add(x,s(y),s(z)) add(x,y,z) 3. mul(x,0,0) 4. mul(x,s(y),z) mul(x,y,a), add(a,x,z) 5. mul (U, V, s(s(0))) 6. mul(u,y,a), add(a,u,s(s(0))) Από γραμμές 4 και 5 και αντικατάσταση σ={ U/X, s(y)/v, s(s(0))/z } 7. mul(s(y 1 ),Y,A), add(a,y 1,s(0)) Από γραμμές 2 και 6 και αντικατάσταση σ={ A/X 1, s(y 1 )/U, s(0)/z 1 } 8. mul(s(s(y 2 )),Y,A), add(a,y 2,0) Από γραμμές 2 και 7 και αντικατάσταση σ={ A/X 2, s(y 2 )/Y 1, 0/Z 2 } 9. mul(s(s(0)),y,0) Από γραμμές 1 και 8 και αντικατάσταση σ={ A/X 3, 0/Y 2, 0/A } 10. Από γραμμές 3 και 9 και αντικατάσταση σ={ s(s(0))/x 4, 0/Y } Αντικατάσταση ορθής απάντησης: U s(y 1 ) s(s(y 2 )) s(s(0)) V s(y) s(0)