Chuỗi Fourier và tích phân Fourier

Chươg 8 Chuỗi Fourier và tích phâ Fourier 8 Chuỗi Fourier 75 8 Phươg pháp trug bìh cộg trog chuỗi Fourier 76 8 Tíh đầy đủ của các hệ đa thức 79 83 Tíh chất của các hệ số Fourier 8 84 Đạo hàm, tích phâ và tíh hội tụ của chuỗi Fourier 84 85 Dạg phức của chuỗi Fourier 88 86 Thí dụ 89 8 Tích phâ Fourier 9 8 Biểu diễ hàm số bằg tích phâ Fourier 9 8 Dạg hác của côg thức Fourier 93 83 Biế đổi Fourier 95 83 Địh ghĩa 95 83 Các tíh chất của biế đổi Fourier 96 833 Biế đổi Fourier của đạo hàm và đạo hàm của biế đổi Fourier 97 834 Tích chập và biế đổi Fourier 99 84 Một số ví dụ về ứg dụg 3 84 Bộ lọc điệ 3 84 Sự truyề hiệt trog thah im loại 3 8 Chuỗi Fourier Trog giáo trìh giải tích các hàm số một biế, chúg ta đã được làm que với hái iệm chuỗi Fourier của hàm hả tích và xem xét sơ bộ tíh hội tụ của ó Đây là một lĩh vực qua trọg của toá học và có hiều ứg dụg thiết thực trog: Vật lý, Cơ học, Kỹ thuật, Côg ghệ, cho ê đã được qua tâm ghiê cứu rất hiều Các ết quả về lĩh vực ày vô cùg phog phú, đa dạg, và hữg gì chúg ta đã biết trog giáo trìh giải tích ói trê mới chỉ là hữg iế thức ba đầu

76 Giải tích các hàm hiều biế Toà bộ chươg ày chúg ta dàh để tiếp tục côg việc tìm hiểu lĩh vực thú vị đó 8 Phươg pháp trug bìh cộg trog chuỗi Fourier Trước hết ta hắc lại rằg chuỗi Fourier của một hàm f hả tích tuầ hoà trê đoạ [, ] là chuỗi lượg giác a + [ a cosx+ b si x], trog đó các hệ số được tíh bởi các côg thức sau đây a f( x)cos xdx,,,,3, b f( x)si xdx,,,3, Tổg riêg của chuỗi ày là a S( x) + [ a cosx+ b si x] [ + (cost cosx + si tsi x)] f ( t) [+ cos t ( x)] f( t ) si[(+ ) u/ ] Để ý rằg + cosu hi u m, m, ta suy ra si( u / ) S ( ) x D( t x) f( t), + ( u ) u ( ) si trog đó D ( u), có tê gọi là hâ Dirichlet, cò tích phâ ở vế si phải của biểu thức trê có tê gọi là tích phâ Dirichlet Dễ thấy rằg hâ Dirichlet là một hàm chẵ, liê tục, tuầ hoà với chu ỳ và D ( u) du Thiết lập các trug bìh cộg của các tổg riêg và của các hâ Dirichlet

Chươg 8 Chuỗi Fourier và tích phâ Fourier 77 S( x) + S( x) + + S ( x) σ, + D( x) + D( x) + + D ( x) Φ ( x), + và gọi Φ ( x) là hâ Fejer, cò σ ( x) là tổg Fejer, và từ các côg thức tích phâ Dirichlet ta có σ ( ) x Φ( u) f( x+ u) du Bổ đề Nhâ Fejer Φ ( x ) có hữg tíh chất sau đây: (i) Nhâ Fejer Φ ( x) là chẵ, liê tục, tuầ hoà với chu ỳ ; (ii) Φ ( x), x ; (iii) Φ ( xdx ) ; (iv) Với mỗi δ (, ) ta có lim max Φ ( x) δ x Chứg mih Từ địh ghĩa ta có ( + ) Φ ( x) D ( x) si[(+ ) x/] si( x / ) x x si[( ) / ]si( / ) + x x [cos x cos( + ) x] si ( /) si ( /) cos( + ) x si [( + ) x/] si ( x/) si ( x/) Từ đây suy ra si [( + ) x/ ] Φ ( x) ( + )si ( x/) Đẳg thức trê đúg với mọi x hác Nhưg do vế phải là hàm liê tục và vế trái có giới hạ là + hi x tiế tới, cho ê ta suy ra Φ () + Từ côg thức trê ta suy ra các tíh chất (i)-(ii) Tíh chất (iii) có gay từ côg thức tích phâ hâ Dirichlet (bằg với mọi ) và tíh chẵ của hâ Fejer Tíh chất (iv) suy ra từ hậ xét sau đây:

78 Giải tích các hàm hiều biế si [( + ) x/ ] max Φ ( ) max x δ x + δ x si ( x/) ( + )si ( δ /) Bổ đề đã được chứg mih xog Địh lý (Fejer) Nếu hàm số f là liê tục trê đoạ [, ] và f ( ) f ( ) thì tổg Fejer σ ( x) hội tụ đều tới hàm f trê đoạ đó hi Chứg mih Do các điều iệ của địh lý, ta có thể thác triể hàm f thàh một hàm liê tục, tuầ hoà trê toà bộ trục số (với chu ỳ ) Từ bổ đề trê ta suy ra f ( x) σ ( ) ( ) ( ) x f x Φ udu Φ( u) f( x udu ) + Φ ( )[ ( ) ( )] u f x f x+ u du Φ( u) f( x) f( x+ u) du Do hàm f là liê tục và tuầ hoà cho ê ó liê tục đều trê toà trục số Suy ra, với mỗi số ε > cho trước, tồ tại số δ > sao cho x y δ ϖδ (; f): max f() x f() y ε /3 Từ côg thức trê, bằg cách tách tích phâ vế phải thàh 3 tích phâ trê 3 đoạ, ta có δ δ f( x) σ ( ) x + + Đối với tích phâ ở giữa ta có đáh giá δ δ δ Φ ( ) ( ) ( ) ( ; ) u f x f x u du ϖ δ f Φ( u) du + δ δ δ ϖδ (; f) Φ () u du ε < 3 Dễ thấy rằg hàm f bị chặ bởi một số M ào đó cho ê, từ tíh chất (iv) trog bổ đề trê, ta suy ra tồ tại số tự hiê ε đủ lớ sao cho với ε thì tích phâ cò lại đều hỏ hơ ε /3, và tổg hợp lại ta có f ( x) σ ( x) ε, ε Địh lý đã được chứg mih xog Nhậ xét Ta đã biết rằg chuỗi Fourier của một hàm liê tục hôg hất thiết hội tụ tại mỗi điểm, và do đó hả ăg thiết lập lại hàm số từ chuỗi Fourier của ó là rất mỏg mah Tuy hiê, địh lý trê đây đã đưa ra một phươg pháp mới, thiết

Chươg 8 Chuỗi Fourier và tích phâ Fourier 79 lập lại hàm số hôg phải trực tiếp từ tổg riêg của chuỗi Fourier, mà từ các trug bìh cộg của chúg (tức là các tổg Fejer) Phươg pháp ày ưu việt ở chỗ ó hôg chỉ đem lại tíh hội tụ, mà cò hội tụ đều, tới chíh hàm f Như vậy, việc ghiê cứu các chuỗi phâ ỳ cũg có lúc đem lại hiệu quả bất gờ Phươg pháp ghiê cứu các chuỗi bất ỳ (hôg hất thiết là chuỗi lượg giác) bằg cách thiết lập các trug bìh cộg của các tổg riêg và hảo sát tíh hội tụ của chúg được gọi là phươg pháp lấy trug bìh cộg 8 Tíh đầy đủ của các hệ đa thức Ta đã biết thế ào là đa thức đại số bậc Bây giờ ta có thêm hái iệm đa thức lượg giác bậc, đó là các hàm có dạg cos si, A + A x+ B x A + B Địh lý (Weierstrass I) Nếu hàm f liê tục trê đoạ [, ] và f ( ) f ( ) thì, với mỗi ε >, tồ tại đa thức lượg giác T( x ) sao cho f( x) T( x) < ε, x [, ] Chứg mih Suy ra từ địh lý trê, vì mỗi tổg Fejer cũg là một đa thức lượg giác Địh lý (Weierstrass II) Nếu hàm f liê tục trê đoạ [a,b] thì, với mỗi ε >, tồ tại đa thức đại số P( x ) sao cho Chứg mih Dùg phép đổi biế b a ( ) f ( x) P( x) < ε, x [ a, b] x a+ b a t với t [, ], ta được hàm số f *( t) f a+ t xác địh trê đoạ [,] Thác triể hàm ày về phía trái trục số theo côg thức f *( t) f( t) ta được một hàm liê tục xác địh trê đoạ [, ] và thỏa mã f *( ) f *( ) Từ địh lý trê, với mỗi số ε >, ta tìm được đa thức lượg giác T( x ) thỏa mã điều iệ f *() t T() t < ε /, t [, ] Vì đa thức lượg giác là hàm giải tích, hai triể được dưới dạg chuỗi lũy thừa (hội tụ đều trê toà trục số), cho ê tồ tại số tự hiê ε sao cho với mọi đa thức Taylor bậc của T( x ), ý hiệu là P () t, thỏa mã điều iệ ε Lấy đa thức P() t P () t ta có ε Tt ( ) P( t) < ε /, t [, ]

8 Giải tích các hàm hiều biế f *() t P() t f *() t T() t + T() t P() t < ε + ε ε Quay trở về với biế x, tức là lấy t x a, ta có b a trog đó x a ( ) P b a ( x a) f ( x) P < ε, x [ a, b], b a rõ ràg là một đa thức Địh lý đã được chứg mih Nhậ xét Địh lý trê cho thấy rằg, với mọi hàm f liê tục trê đoạ [a,b], ta luô tìm được dãy đa thức P ( x ) hội tụ đều trê đoạ ày tới hàm f Và từ đây suy ra rằg mọi hàm liê tục trê đoạ luô có thể biểu diễ dưới dạg chuỗi hội tụ đều của các đa thức (trê đoạ đó) Điều ày, theo một ghĩa ào đó, cho thấy rằg các hàm liê tục (vố được đưa ra một cách trừu tượg và tổg quát) cũg hôg quá hác biệt với các đa thức, vố rất que thuộc với chúg ta Và goài ra, ó cũg làm thỏa mã hữg gười hay hìh dug một hàm liê tục hư một biểu thức ào đó Địh ghĩa Một hệ các hàm số ϕ, ϕ,, ϕ, xác địh trê đoạ [a,b] được gọi là đầy đủ đối với họ hàm số R theo ghĩa xấp xỉ đều ếu hư mọi hàm trog họ ày có thể xấp xỉ được bởi các tổ hợp tuyế tíh hữu hạ của các hàm trog hệ ói trê với độ chíh xác tuỳ ý Nghĩa là, với mỗiε >, tồ tại hữu hạ các hàm ϕ i và các số λ i ( i,,, ) sao cho f ( x) [ λϕ( x) + + λ ϕ ] < ε, x [ a, b] Từ các địh lý trê ta có các mệh đề sau Mệh đề Hệ các hàm lượg giác, cos x, si x, cos x, si x,,cos x,si x, là đầy đủ theo ghĩa xấp xỉ đều đối với tập các hàm liê tục trê đoạ [, ] và hậ giá trị hư hau ở đầu mút của đoạ ày Chứg mih Suy ra từ địh lý Weierstrass I Mệh đề Hệ các hàm lũy thừa, x, x,, x, là đầy đủ đối với tập các hàm liê tục trê đoạ bất ỳ (theo ghĩa xấp xỉ đều) Chứg mih Suy ra từ địh lý Weierstrass II Chú ý Hệ các hàm lượg giác hôg thể là đầy đủ theo ghĩa xấp xỉ đều đối với họ các hàm liê tục trê đoạ [, ] (bởi vì ếu hôg thì từ tíh chất T( ) T( ) của các đa thức lượg giác sẽ éo theo f ( ) f ( ) với mọi hàm liê tục f )

Chươg 8 Chuỗi Fourier và tích phâ Fourier 8 Người ta coi độ lệch toà phươg trug bìh giữa hàm f và g xác địh trê đoạ [a,b] là đại lượg b [ f ( x) g( x)] dx a Đại lượg ày cò có tê gọi là độ lệch toà phươg trug bìh của f so với g (hay là của g so với f ) Địh ghĩa Một hệ các hàm số ϕ, ϕ,, ϕ, xác địh trê đoạ [a,b] được gọi là đầy đủ đối với họ các hàm số R theo ghĩa xấp xỉ toà phươg trug bìh ếu hư, với mỗi hàm f R và với mọi số ε >, tồ tại một tổ hợp tuyế tíh hữu hạ của các hàm trog hệ ói trê có độ lệch toà phươg trug bìh so với hàm f hỏ hơ ε Mệh đề Hệ các hàm lượg giác, cos x, si x, cos x, si x,,cos x,si x, là đầy đủ theo ghĩa xấp xỉ toà phươg trug bìh đối với tập các hàm liê tục trê đoạ [, ] và hậ giá trị hư hau ở đầu mút của đoạ ày Chứg mih Từ tíh đầy đủ của hệ các hàm lượg giác theo ghĩa xấp xỉ đều ta suy ra, với mỗi số ε >, tồ tại đa thức lượg giác T( x ) sao cho Từ đây ta suy ra f( x) T( x) < ε /, x [, ] Mệh đề đã được chứg mih xog [ f ( x) T ( x)] dx ε < dx ε Nhậ xét Trog chứg mih trê, vì để sử dụg được tíh đầy đủ của hệ các hàm lượg giác theo ghĩa xấp xỉ đều mà ta phải giả thiết các hàm liê tục hậ giá trị hư hau tại đầu mút của đoạ Sau ày ta sẽ thấy rằg, theo ghĩa xấp xỉ toà phươg trug bìh, hệ các hàm lượg giác hôg hữg là đầy đủ trog lớp hàm liê tục ói chug (hậ các giá trị bất ỳ tại đầu mút cuối của đoạ), mà cò là đầy đủ trog lớp hàm rộg hơ hẳ: lớp các hàm với bìh phươg hả tích Và trog lớp hàm ày, với cách xấp xỉ theo ghĩa toà phươg trug bìh, các tổg riêg Fourier sẽ thể hiệ được đầy đủ các ưu thế của mìh, chứ hôg bị yếu thế (so với tổg riêg Fejer) trog phép xấp xỉ đều hư đã thấy trước đây Lớp của hữg hàm ày thườg được ý hiệu là L [, ] Mệh đề Hệ các hàm lũy thừa, x, x,, x, là đầy đủ đối với tập các hàm liê tục trê đoạ bất ỳ theo ghĩa xấp xỉ toà phươg trug bìh Chứg mih Tươg tự hư mệh đề trê

8 Giải tích các hàm hiều biế 83 Tíh chất của các hệ số Fourier Trog phầ ày, ta luô hiểu tích phâ theo ghĩa tích phâ suy rộg Khi ấy tíh hả tích của một hàm số hôg éo theo tíh hả tích của bìh phươg của ó (và gược lại) Thí dụ, hàm f ( x) / x là hả tích trê đoạ [,], cò bìh phươg của ó thì hôg Tuy hiê, ếu hàm f chỉ có một số hữu hạ các điểm đặc biệt (điểm hôg xác địh) và là hả tích Riema trê mọi đoạ bất ỳ hôg chứa các điểm ày thì từ tíh hả tích của f suy ra tíh hả tích của f, vì ta luô có f ( + f )/ Đối tượg chíh mà chúg ta ghiê cứu trog phầ ày sẽ là hữg hàm hả tích cùg với bìh phươg của ó trê đoạ [, ], và ta gọi chúg một cách gắ gọ là hàm với bìh phươg hả tích Kết quả sau đây cho chúg ta thấy rằg tổg Fourier bậc là xấp xỉ toà phươg trug bìh tốt hất trog số các xấp xỉ bởi đa thức lượg giác bậc của hàm bìh phươg hả tích Địh lý Cho f là hàm số với bìh phươg hả tích trê đoạ [, ] Nếu S ( x ) là tổg Fourier bậc của f thì T ( x) [ f ( x) S( x)] dx mi [ f( x) T ( x)] dx, trog đó miimum ở vế phải lấy theo mọi đa thức lượg giác T ( x) có bậc hôg quá Nếu a, a, b,, a, b, là các hệ số Fourier của f thì ta có bất đẳg thức Bessel sau đây: a + ( a b) f ( x) dx + A Chứg mih Với T( x) + A cos( x) B si( x) +, sử dụg tíh vuôg góc của hệ các hàm lượg giác, ta có A [ T( x)] dx A B + + cho ê A [ f ( x) T ( x)] dx f ( x) dx A B + + +

Chươg 8 Chuỗi Fourier và tích phâ Fourier 83 A f ( xdx ) A f( x)cos( xdx ) B f( x)si( xdx ) + + A f ( x) dx A B aa + + + aa bb + + ( A a) a f ( x) dx (( A a) ( B b) ) ( a b) + + + + + Từ đây suy ra [ f ( x) T ( x)] dx đạt giá trị cực tiểu hi đa thức T ( ) x trùg với tổg riêg Fourier S ( x ) (bậc ) của f, tức là phầ thứ hất của địh lý đã được chứg mih Phầ thứ là hiể hiê, vì rằg từ côg thức trê ta suy ra a f ( x) dx + ( a + b ) [ f( x) S ( x)] dx, và cho tiế ra vô cùg ta có gay điều phải chứg mih Nhậ xét Bất đẳg thức Bessel cho thấy rằg đối với hàm có bìh phươg hả tích thì chuỗi a + ( a + b ) là hội tụ Địh lý Nếu f là hàm liê tục trê đoạ [, ] và hậ cùg một giá trị ở đầu mút của đoạ thì các hệ số Fourier a, a, b,, a, b, của f thỏa mã đẳg thức Parseval sau đây: a + + f ( xdx ) ( a b) Chứg mih Ta biết rằg hệ các hàm lượg giác là đầy đủ theo ghĩa xấp xỉ toà phươg trug bìh đối với tập các hàm liê tục trê đoạ [, ] có giá trị tại đầu mút bằg hau, cho ê, với mỗiε >, tồ tại đa thức lượg giác T( x ) thỏa mã [ f( x) T( x)] dx ε <

84 Giải tích các hàm hiều biế Theo địh lý trê ta có [ f( x) S ( )] x dx [ f( x) T( x)] dx ε <, và áp dụg đẳg thức (*) đối với S suy ra ( ) ( ) f x dx + a + b f ( x) dx + ( a + b ) a a [ f( x) S ( )] x dx [ f( x) T( x)] dx ε < Do ε là số dươg hỏ bao hiêu tuỳ ý mà vế trái luô luô hôg âm (theo bất đẳg thức Bessel), ê ó phải bằg Địh lý được chứg mih Hệ quả Với các giả thiết của địh lý, chúg ta có f x S x dx lim [ ( ) ( )] Chứg mih Suy ra từ chứg mih của địh lý trê 84 Đạo hàm, tích phâ và tíh hội tụ của chuỗi Fourier Lưu ý rằg hôg phải hi ào chuỗi Fourier của một hàm cũg hội tụ đế chíh hàm đó, cho ê ta sẽ dùg biểu thức a f ( x) + ( a cosx+ b si x) để biểu thị rằg hàm f có hai triể Fourier là chuỗi ở vế phải Mệh đề Cho hàm f liê tục trê đoạ [, ] với f ( ) f ( ) và có hai triể Fourier là a f ( x) + ( a cosx+ b si x) Nếu hàm f là hả vi từg húc trê đoạ [, ] thì chuỗi Fourier của f ' bằg chuỗi của đạo hàm các số hạg trog chuỗi Fourier hàm f, ghĩa là Chứg mih Giả sử hàm f '( x) ( asi x+ bcos x) f ' có chuỗi Fourier là α β α f '( x) + ( cos x+ si x)

Chươg 8 Chuỗi Fourier và tích phâ Fourier 85 trog đó, theo địh ghĩa, ta có α f '( t) [ f( ) f( )] ; α β f '( t)cos( t) f( t)cos( t) + f( t)si( t) + b b ; f '( t)si( t) f( t)si( t) f( t)cos( t) a a Mệh đề đã được chứg mih Bổ đề Cho hàm f là hả vi liê tục đế cấp ( ) và hả vi từg húc ở cấp () i () i ( ), goài ra f ( ) f ( ), với i,, Khi đó các hệ số Fourier của f thỏa mã a ε, b ε,,,, với các ε > sao cho ε < Chứg mih Sử dụg mệh đề trê lầ liê tiếp ta thu được ( ) f ( x) ( αcosx+ βsi x), trog đó, phụ thuộc vào chẵ hay lẻ, ta có hoặc là α ± a, β ± b, hoặc là α ± b, β ± a Đặt Bessel cho hàm ε α β ε + và áp dụg bất đẳg thức ( f ) ( x ) ta suy ra chuỗi là hội tụ Ngoài ra α α + β ε a / / / và tươg tự hư vậy đối với b Bổ đề đã được chứg mih Địh lý Cho hàm f là hả vi liê tục đế cấp ( ) và hả vi từg húc ở cấp () i () i ( ), goài ra f ( ) f ( ), với i,, Khi đó chuỗi Fourier của f hội tụ đều đế hàm f trê đoạ [, ], và goài ra η f( x) S( x; f), /

86 Giải tích các hàm hiều biế trog đó η là dãy số hội tụ đế và S ( x; f ) là tổg riêg Fourier bậc của hàm f Chứg mih Giả sử a + m + m m a + m + m m f ( x) ( a cosmx b si mx), S ( x; f) ( a cosmx b si mx) Theo bổ đề ta có a εm m m, b ε m, m,,, và chuỗi m m tụ Ta đáh giá phầ dư của chuỗi so với tổg Fourier hư sau εm là hội m εm r ( x) ( a cosmx+ b si mx) ( a + b ) A m m m m m + m + m + m Từ bất đẳg thức Cauchy-Buyaovsi ta dễ dàg suy ra A εm ε m m + m m + m + m Để ý rằg γ εm m + tiế tới hi tiế ra vô cùg, và cho ê với η m dx dx, + m m + x x ( ) m γ ta có lim η và η ( ) r x ο,,, / / Với các điều iệ của địh lý, chuỗi Fourier hội tụ (điểm) đế hàm f, cho ê r ( x ) cũg chíh là độ lệch của hàm f so với tổg riêg Fourier S ( x; f ) Các đáh giá trê cho thấy tíh hội tụ đều và mọi hẳg địh của địh lý đã được chứg mih Nhậ xét Địh lý trê cho thấy rằg hàm càg trơ (có đạo hàm bậc càg cao) thì chuỗi Fourier của ó hội tụ (đế hàm đó) càg hah, và do đó việc xấp xỉ ó bởi đa thức Fourier càg tỏ ra chíh xác Trog trườg hợp riêg, hi hàm liê tục tuầ hoà với chu ỳ là trơ từg húc thì chuỗi Fourier của ó hội tụ đều đế chíh ó Địh lý Nếu f là hàm liê tục trê đoạ [, ] có hai triể Fourier là

Chươg 8 Chuỗi Fourier và tích phâ Fourier 87 thì, với mỗi t [, ], ta có a f ( x) + ( acosx+ bsi x) t t t adx f ( xdx ) + ( acosx+ bsi xdx ) at a b + si t + ( cos t) và chuỗi ở vế phải là hội tụ đều Chứg mih Xét hàm số t a F() t f( x) dx Ta hậ thấy rằg ó là hàm hả vi liê tục trê đoạ [, ] và thỏa mã điều iệ F( ) F( ), cho ê theo hậ xét từ địh lý trê ta suy ra chuỗi Fourier của F hội tụ đều tới F, ghĩa là trog đó, với,,, ta có A F() t + ( Acost+ Bsi t), si( t) A ()cos( ) () F t t F t F '()si( t t) ( ) a f t si( t) b, a và tươg tự B Riêg A được tíh hờ côg thức hai triể với hậ xét rằg F (), và do đó Như vậy A b A b a b a b F( t) + si t cos t si t+ ( cos t) và từ đây ta dễ dàg suy ra điều cầ chứg mih,

88 Giải tích các hàm hiều biế Nhậ xét Việc xét chuỗi Fourier của hàm tuầ hoà với chu ỳ l (tuỳ ý) được quy về việc xét chuỗi Fourier của hàm tuầ hoà với chu ỳ hờ phép đổi biế t x/ l, chuyể đoạ [ ll, ] thàh đoạ[, ] 85 Dạg phức của chuỗi Fourier Sử dụg côg thức biểu diễ hàm lượg giác thôg qua số phức xi xi ( + ) và si i xi xi x ( e e ) cos x e e ta có thể viết lại hai triể Fourier dưới dạg a ( ) xi ( ) xi f x + a bie ( a bie ) + + a Đặt c, c ( a bi), c c ( a + bi) ta có f ( x) ix c e i Lưu ý rằg cosα± isi α e α, ta có ± ( ) ( )(cos si ) ix c a bt f x x i x dx f ( x) e dx ; ( ) ( )(cos si ) ix c a + bt f x x+ i x dx f( x) e dx Do vậy, côg thức trê có thể viết lại thàh ( ) ix is f x e f( s) e ds Côg thức ày được gọi là dạg phức của chuỗi Fourier Lưu ý Trog côg thức trê, cũg hư các côg thức sau ày, ta hiểu tích phâ của một hàm hậ giá trị phức wx ( ) ux ( ) + ivx ( ), với u, v là các hàm số thực, được địh ghĩa một cách tự hiê là wxdx ( ) uxdx ( ) + i vxdx ( ) Nếu u,v là hữg hàm hả tích tuyệt đối (có ghĩa u, v là hả tích) thì ta ói w là hả tích tuyệt đối Tích phâ suy rộg (của hàm phức với biế số thực) được địh ghĩa hoà toà tươg tự

Chươg 8 Chuỗi Fourier và tích phâ Fourier 89 86 Thí dụ Trog phầ ày ta chỉ ghiê cứu một ví dụ đơ giả để ắm vữg thêm về lý thuyết chuỗi Fourier Phầ thực hàh tíh toá trê máy sẽ cho phép chúg ta đề cập đế hữg hàm phức tạp và đa dạg hơ về chủg loại Tìm chuỗi Fourier của hàm f ( x) x trê hoảg (,) Sau hi cho hàm số hậ giá trị tại đầu mút của hoảg, ta thác triể ó một cách tuầ hoà và thu được hàm xác địh trê toà trục số, có đồ thị hư sau: Vì f ( x) x là hàm lẻ ê hôg cầ tíh ta cũg có thể hẳg địh được rằg Tìm a f( x) dx, a f( x)cosxdx b theo côg thức Fourier của f ( x) b f( x)sixdx x trê hoảg (,) là hư sau ( ) + Như vậy chuỗi ( ) x six Để thấy được hả ăg xấp xỉ của các tổg riêg của chuỗi Fourier đối với hàm số f ( x) x trê hoảg bằg chu ỳ, ta qua sát đồ thị hàm số cùg với các tổg riêg ày (các đồ thị được vẽ bằg máy, hư đã trìh bày trog các chươg trước, và sẽ được đề cập lại trog phầ tíh toá thực hàh của chươg ày) 4 ( ) Đồ thị hàm f ( x) x và tổg riêg S4 six là hư sau: x Hìh 8

9 Giải tích các hàm hiều biế Hìh 8 Đồ thị hàm f ( x) trog hìh vẽ sau x và tổg riêg thứ, S ( ) six, được mô tả Hìh 83 Một điều dễ hậ thấy rằg các tổg riêg của chuỗi Fourier chỉ xấp xỉ tốt trê hoảg hở (vì tại các điểm đầu mút hàm số f là giá đoạ) 8 Tích phâ Fourier 8 Biểu diễ hàm số bằg tích phâ Fourier Cho hàm số f hả tích tuyệt đối trê trục số thực Nếu, một cách hìh thức, ta thay việc tíh tổg các số hạg theo chỉ số bằg việc lấy tích phâ theo một tham số y, thì chuỗi Fourier sẽ được thay bằg tích phâ sau đây (gọi là tích phâ Fourier của hàm f ) [ a( y)cos( yx) + b( y)si( yx) ] dy, trog đó ay ( ) ft ( )cos( yt ), by ( ) ft ( )si( yt ) Dễ dàg thấy rằg [ ay ( )cos( yx) + by ( )si( yx) ] dy dy f ( t)[cos( ty)cos( xy) si( ty)si( xy)] dy f ( t)cos[ y( x t)]

Chươg 8 Chuỗi Fourier và tích phâ Fourier 9 Tươg tự hư đã thấy rằg tổg chuỗi Fourier của một hàm sẽ cho giá trị của chíh hàm số (trog một số điều iệ hất địh), chúg ta sẽ chứg mih rằg tích phâ Fourier của một hàm số cũg cho một biểu diễ của chíh hàm số đó Trước hết ta cầ ết quả bổ trợ sau Bổ đề Nếu hàm f là hả tích tuyệt đối trê hoảg (a,b), hữu hạ hoặc vô hạ, thì b b lim f( x)cos( νx) dx lim f( x)si( νx) dx ν a ν a Chứg mih Tươg tự hư chứg mih hệ số Fourier của một hàm hả tích thì tiế đế hi tiế ra vô cùg (xem giáo trìh Giải tích một biế) Địh lý Cho hàm số f liê tục từg húc trê mỗi đoạ hữu hạ và hả tích tuyệt đối trê toà trục số Nếu tại điểm x hàm số có đạo hàm phải f ' + ( x) và đạo hàm trái f ' ( x) thì ta có f( x+ ) + f( x ) dy f ()cos[ t y( x t)], trog đó f( x+ ), f( x ), theo thứ tự, là các giới hạ phải, giới hạ trái của f tại x Chứg mih Với số η>, ta xét tích phâ η S( η) dy f( t)cos[ y( x t)] Rõ ràg tích phâ Fourier của hàm f đúg bằg lim S( η) η theo địh lý về tích phâ của tích phâ phụ thuộc tham số, ta có η ξ ξ η ξ ξ ξ ξ Với mỗi số ξ >, si[ η( x t)] dy f()cos[ t y( x t)] f() t cos[ y( x t)] dy f() t x t (*) (Bởi vì, do tíh liê tục từg húc của f, ta có thể phâ chia hìh hộp ξ t ξ, y η thàh một số hữu hạ các hộp hỏ (bởi các đườg sog sog với trục Oy) sao cho trê mỗi hộp co hàm là liê tục theo cả biế đế tậ biê, ếu tại biê ta lấy các giá trị giới hạ phải hoặc giới hạ trái của hàm) Lưu ý rằg f ( t)cos[ y( x t)] f( t), cho ê do tíh hả tích tuyệt đối của hàm f ta suy ra tíh hội tụ đều theo tham số y trê đoạ [, η] của tích phâ sau

9 Giải tích các hàm hiều biế Như vậy, hàm số F( y) f( t)cos[ y( x t)] ξ F( y, ξ) f( t)cos[ y( x t)] ξ hội tụ đều (trê đoạ[, η ]) đế hàm F( y ) hi ξ Dễ dàg chứg mih rằg hàm F( y, ξ ) là liê tục theo y cho ê từ côg thức (*), bằg cách cho qua giới hạ dưới dấu tích phâ ở vế trái, ta thu được Đặt u t x, ta có Bằg cách tách tích phâ thàh húc si[ η( x t)] S( η) f( t) x t si( ηu) S( η) f( u x) du + u ta làm phép đổi biế u t thì ta sẽ thu được + si( ηt) S( η) [ f( x t) f( x t)] + + t Trog mục ói về tích phâ Dirichlet (Chươg 5) ta đã biết rằg với mọi η>, cho ê f( x+ ) + f( x ) S( η) và trog húc thức hất si( ηt), t si( ηt) f( x+ ) + f( x ) si ηt [ f ( x t) f( x t)] + + t t f( x+ t) f( x+ ) f( x t) f( x ) si( ηt) + si( ηt) t t Rõ ràg địh lý sẽ được chứg mih ếu ta chỉ ra rằg cả tích phâ ở vế phải đều tiế tới hi η Điều ày được suy ra từ các hậ xét sau đây (chứg mih chi tiết xi dàh cho gười đọc)

Chươg 8 Chuỗi Fourier và tích phâ Fourier 93 Do sự tồ tại của các đạo hàm phải của hàm f tại điểm x mà hàm f( x+ t) f( x+ ) liê tục từg húc (theo biế t) tại điểm và do đó ó là hả t tích (tuyệt đối) trê đoạ[,] Do bổ đề ta có f( x+ t) f( x+ ) lim si( ηt) t η Trê miề t hàm số f ( x+ t)/ t bị chặ bởi hàm hả tích f ( x+ t) cho ê ó cũg hả tích, và do đó cũg theo bổ đề ta có f( x+ t) lim si( ηt) η t Vì si x dx hội tụ ê x η Kết hợp lại ta suy ra điều cầ chứg mih f( x+ ) lim si( ηt) f( x+ ) lim siu du t η u Nhậ xét Với các điều iệ của địh lý, ếu hàm số f là liê tục tại x thì tích phâ Fourier tại điểm x cho giá trị của chíh hàm f 8 Dạg hác của côg thức Fourier Để việc trìh bày được đơ giả hơ, trog phầ cò lại ta luô giả thiết rằg f là hàm liê tục và thỏa mã các điều iệ của địh lý trê Khi ấy, theo hậ xét đã êu, ta có côg thức Fourier sau đây: f ( x) dy f( t)cos[ y( x t)] (*) và do biểu thức dưới dấu tích phâ theo dy là hàm chẵ theo y ê f ( x) dy f( t)cos[ y( x t)] Lưu ý rằg f ( t)si[ y( x t)] f( t) cho ê, theo dấu hiệu Weierstrass, tích phâ f ()si[ t y( x t)] là hội tụ đều (theo y trê toà trục số) và là hàm liê tục theo biế y Vì vậy, với η>, tích phâ η

94 Giải tích các hàm hiều biế η η dy f ()si[ t y( x t)] tồ tại và, do hàm dưới dấu tích phâ là lẻ theo y, tích phâ ày bằg Tuy hiê, điều ày hôg đảm bảo cho sự tồ tại của tích phâ suy rộg dy f ()si[ t y( x t)], (vì ó hôg địh ghĩa hư giới hạ của tích phâ với các cậ đối xứg qua gốc, mà là với các cậ tuỳ ý) Chíh vì lẽ ày, gười ta đưa ra hái iệm giá trị chíh của tích phâ ϕ( x ) dx (với ϕ là hàm hả tích trê các đoạ hữu hạ bất ỳ) địh ghĩa hư sau η vp ϕ( xdx ) : vp ϕ( xdx ) : lim ϕ( xdx ) η η Một cách tươg tự, gười ta địh ghĩa được giá trị chíh của tích phâ suy rộg tại một điểm ào đó (chứ hôg hất thiết tại hư trê) Rõ ràg, ếu tích phâ hội tụ thì giá trị chíh của tích phâ và bả thâ tích phâ là bằg hau Thí dụ Các tích phâ suy rộg x dx và dx là hôg hội tụ, hưg giá trị x chíh của chúg vẫ tồ tại và bằg Trở lại với tích phâ Fourier ta có vp dy f( t)si[ y( x t)] Nhâ tích phâ ày với i và cộg với (*) ta suy ra iy( x t ) f ( x) v p dy f( t) e Đây chíh là một dạg hác của côg thức tích phâ Fourier

Chươg 8 Chuỗi Fourier và tích phâ Fourier 95 83 Biế đổi Fourier 83 Địh ghĩa Nếu ta đặt ( ) iyt Φ y f( t) e, thì dạg ói trê của côg thức tích phâ Fourier trở thàh ( ) ixy f x v p Φ( y) e dy Người ta gọi phép ứg mỗi hàm f với hàm số ˆ( ): ( ) ( ) iyt f y Φ y v p f t e là phép biế đổi Fourier và thườg được ý hiệu là F Nghĩa là f ˆ F[ f] Φ Như vậy, phép biế đổi Fourier được xác địh với mọi hàm hả tích tuyệt đối Trog địh ghĩa ày, f có thể là một hàm (với biế số thực) hậ giá trị phức, và ảh của ó F[ f ] ói chug là hàm hậ giá trị phức gay cả hi f là hàm hậ giá trị thực Tươg tự hư trê gười ta địh ghĩa phép biế đổi Fourier gược là phép ứg mỗi hàm f với hàm số và thườg ý hiệu ó là ( ) iyt Ψ y v p f( t) e, F Như vậy F [ f] Ψ Tê gọi hư trê được bắt guồ từ mệh đề sau Mệh đề Nếu hàm f là liê tục, hả tích tuyệt đối trê toà trục số, và có đạo hàm từg phía tại mỗi điểm, thì F [ F[ f] ] F F [ f] f Chứg mih Côg thức F [ F[ f] ] f cũg chíh là côg thức tích phâ Fourier dưới dạg hác Ta chỉ cò phải chứg mih rằg F F [ f] f Vì hàm cosi là chẵ cho ê trog côg thức tích phâ Fourier (dạg thôg thườg) có thể đổi vị trí giữa t và x, ghĩa là f ( x) dy f( t)cos[ y( t x)]

96 Giải tích các hàm hiều biế Mặt hác, do tíh lẻ của hàm si, vp dy f( t)si[ yt ( x)] Cho ê, tích phâ Fourier có thêm một dạg ữa iy( t x) f ( x) v p dy f( t) e, hay là ( ) iyt ixy f x v p f( t) e e dy đây chíh là côg thức cầ chứg mih, 83 Các tíh chất của biế đổi Fourier Mệh đề Phép biế đổi Fourier (và gược của ó) là tuyế tíh, ghĩa là, và F[ λ f + λ f ] λ F[ f ] + λ F[ f ] λ λ λ λ F [ f + f ] F [ f ] + F [ f ]; (các côg thức trê được hiểu theo ghĩa: ếu vế phải tồ tại thì vế trái tồ tại và có đẳg thức xảy ra) Chứg mih Suy gay từ địh ghĩa Mệh đề Phép biế đổi Fourier (cũg hư gược của ó) là phép ứg - Chứg mih Thật vậy, F[ f ] F[ f ] F [ F[ f ]] F [ F[ f ]] f f (theo mệh đề trog phầ trê) Mệh đề Biế đổi Fourier của một hàm hả tích tuyệt đối (trê toà trục số) là một hàm bị chặ (trê toà trục số), và goài ra fˆ ( y) f( x) dx ixy Chứg mih Suy gay từ địh ghĩa với lưu ý rằg e Hệ quả Nếu hàm hả tích tuyệt đối f và dãy hàm hả tích tuyệt đối { } f thỏa mã điều iệ

Chươg 8 Chuỗi Fourier và tích phâ Fourier 97 thì dãy hàm { ˆ ( ) } lim f ( x) f( x) dx, f y hội tụ đều đế hàm f ˆ( y ) trê toà trục số thực Chứg mih Suy gay từ bất đẳg thức của mệh đề trê Mệh đề Biế đổi Fourier của một hàm hả tích tuyệt đối trê toà trục số thực là một hàm liê tục và tiế tới hi biế số tiế ra hoặc + Chứg mih Ta biết rằg với một hàm ϕ hả tích tuyệt đối thì tìm được dãy các hàm bậc thag ϕ thỏa mã lim ϕ ( x) ϕ( x) dx, cho ê từ hệ quả trê ta thấy chỉ cầ chứg mih mệh đề cho lớp các hàm bậc thag Mặt hác, ta lại biết rằg một hàm bậc thag bất ỳ là tổ hợp tuyế tíh (hữu hạ) của các hàm bậc thag đơ (hậ giá trị trê một ửa hoảg [a,b) ào đó và bằg trê miề cò lại) Từ tíh tuyế tíh của phép biế đổi Fourier ta suy ra chỉ cầ chứg mih mệh đề cho lớp các hàm bậc thag đơ Giả sử ϖ là một hàm bậc thag đơ, ghĩa là hi a x< b ϖ( x) hi x < a hay b x Khi ấy ta có b ixy ϖˆ ( y) e dx (cosxy isi xy) dx a b a [(si by si ay) + i(cosby cos ay)]/( y ) hi y ( b a)/ hi y Dễ dàg iểm tra rằg đây là hàm liê tục và tiế tới hi y tiế ra vô cùg (về cả hai phía) Mệh đề đã được chứg mih xog 833 Biế đổi Fourier của đạo hàm và đạo hàm của biế đổi Fourier Mệh đề Nếu hàm hả tích tuyệt đối f có các đạo hàm đế cấp là liê tục và hả tích tuyệt đối trê toà trục số thì ( ) F[ f ] ( iy) F[ f],,,,,

98 Giải tích các hàm hiều biế và tồ tại số M > sao cho F[ f] M y Chứg mih Ta có ê, do tíh hả tích của x f ( x) f() + f '( t), f ' trê toà trục số, các giới hạ lim f ( x) tồ tại và x ± bằg (do tíh hả tích của bả thâ hàm f trê toà trục số) Sử dụg côg thức tích phâ từg phầ đối với tích phâ Fourier ta suy ra + + + ixy [ '] '( ) ixy iy ixy F f f xe dx f( xe ) + f( xe ) dx iyf[ f] Như vậy mệh đề đã được chứg mih với Trườg hợp tổg quát được chứg mih dễ dàg bằg phươg pháp quy ạp toá học ( ) Lưu ý rằg hàm F[ f ] là bị chặ trê toà trục số (theo mệh đề ở phầ ( ) trê), cho ê tồ tại số hữu hạ M sup F[ f ], vì vậy côg thức thứ của < y< mệh đề có gay từ côg thức thứ hất với Mệh đề đã được chứg mih Nhậ xét Như vậy, hàm càg trơ thì biế đổi Fourier của ó càg hah tiế tới hi biế số tiế ra vô cùg Một điều dễ hậ thấy rằg mệh đề vẫ đúg hi hàm f hậ giá trị phức Với một chứg mih phức tạp hơ một chút, ta có thể chỉ ra rằg mệh đề cò đúg trog trườg hợp đạo hàm bậc của f có hữu hạ điểm giá đoạ loại Mệh đề Nếu hàm f ( x ) là liê tục và các hàm f ( x), xf( x),, x f( x ) là hả tích tuyệt đối trê toà trục số, thì biế đổi Fourier của f là hả vi đế bậc và ( i F ) [ f] F[ x f],,,, Chứg mih Lấy đạo hàm theo tham số của tích phâ ixy + [ ] ixy F f f( x) e dx, với lưu ý rằg xf( x) e xf( x), ta thu được tích phâ hội tụ tuyệt đối và ixy đều trê toà trục số và bằg i xf( x) e dx Cho ê việc lấy đạo hàm dưới dấu tích phâ là hợp lệ Từ côg thức lấy đạo hàm ày ta suy ra if '[ f ] F[ xf ], và mệh đề đã được chứg mih cho trườg hợp Trườg hợp tổg quát được chứg mih dễ dàg bằg quy ạp

Chươg 8 Chuỗi Fourier và tích phâ Fourier 99 Nhậ xét Dễ dàg suy ra rằg mệh đề cò đúg hi hàm f hậ giá trị phức ( Hệ quả Trog giả thiết của mệh đề, các đạo hàm F ) [ f],,,, là liê tục và tiế tới hi biế số tiế ra vô cùg (về cả hai phía) Chứg mih Suy ra từ mệh đề trê và mệh đề cuối cùg của mục trê 834 Tích chập và biế đổi Fourier Người ta địh ghĩa tích chập của hàm số ϕ, ψ (xác địh trê toà trục số thực) là một hàm số, ý hiệu là ϕ ψ, xác địh hư sau ( ϕ ψ)( x) ϕ( t) ψ( x t) Để cho đơ giả, trog phầ ày ta chỉ xét các hàm hậ giá trị thực Tích phâ trê tồ tại ếu các hàm ϕψ, là bị chặ và hả tích tuyệt đối Khi ấy ta cũg có ϕ( t) ψ( x t) là tích phâ hội tụ đều trê toà trục số (theo dấu hiệu Weierstrass và ϕ( t) ψ( x t) M ϕ( t) với M là hằg số chặ hàm ψ trê toà trục số) Rõ ràg tích chập cũg là một hàm bị chặ, bởi hằg số M ϕ( t) Như vậy, tích chập của hàm liê tục, bị chặ và hả tích tuyệt đối trê toà trục số sẽ là một hàm liê tục và bị chặ (trê toà trục số) Hơ thế, ó cũg là một hàm hả tích tuyệt đối trê toà trục số, bởi vì ta có (do tíh hội tụ đều, phép đổi chỗ các dấu tích phâ trog côg thức sau đây là hợp lệ) ( ϕ* ψ)( x) dx dx ϕ( t) ψ( x t) ϕ( t) ψ( x t) dx ϕ( t) ψ( s) ds Nghĩa là, phép tích chập biế hàm trog lớp các hàm liê tục, bị chặ và hả tích tuyệt đối (trê toà trục số) thàh một hàm trog chíh lớp ày, và vì vậy ta có thể áp dụg tích chập hiều lầ liê tiếp, và cũg có thể áp dụg biế đổi Fourier cho tích chập của hàm Trog phầ cò lại ta luô hiểu gầm là phép tích chập xác địh cho lớp các hàm liê tục, bị chặ và hả tích tuyệt đối (trê toà trục số) Mệh đề Tích chập có tíh giao hoá và ết hợp Chứg mih Bằg cách đổi biế x t s, ta có

3 Giải tích các hàm hiều biế ϕ* ψ ϕ( t) ψ( x t) ϕ( x s) ψ( s) ds ψ* ϕ, ghĩa là tích chập có tíh giao hoá Bằg cách đổi biế t y ξ, đổi thứ tự lấy tích phâ (bạ đọc tự iểm tra tíh hợp lệ của phép đảo thứ tự ày), rồi lại làm phép đổi biế x y+ ξ η, ta có ( ϕ* ψ)* χ χ( y x) dx ϕ( t) ψ( x t) χ( y x) dx ϕ( y ξ) ψ( x y+ ξ) dξ ϕ( y ξ) dξ ψ( x y+ ξ) χ( y x) dx ϕ( y ξ) dξ ψ( η) χ( ξ η) dη ( ψ* χ)* ϕ Từ tíh giao hoá đã chứg mih trê, ta suy ra tíh ết hợp của phép lấy tích chập Mệh đề Biế đổi Fourier của tích chập hàm là tích của các biế đổi Fourier của chúg Nghĩa là F[ ϕ* ψ] F[ ϕ] F[ ψ] Chứg mih Bằg cách đổi thứ tự lấy tích phâ, ta có ixy [ * ] ( ) ( ) ixy F ϕ ψ ( ) ( ) e dx ϕ t ψ x t ϕ t ψ x t e dx Bằg phép đổi biế x t+ s ta thu được ity [ * ] ( ) isy F ϕ ψ ϕ t e ψ( s) e ds F[ ϕ] F[ ψ] Mệh đề đã được chứg mih Nhậ xét Tích phâ Fourier, biế đổi Fourier, và tích chập là hữg tích phâ suy rộg phụ thuộc tham số cho ê, cũg hư các hàm Beta, hàm Gamma, chúg thườg hôg biểu diễ được qua các hàm số que biết, và vì vậy việc tíh toá chúg chỉ có thể tiế hàh với sự hỗ trợ của máy tíh Phầ thực hàh tíh toá trê máy ở cuối chươg sẽ cho chúg ta đi sâu về lĩh vực ày

Chươg 8 Chuỗi Fourier và tích phâ Fourier 3 84 Một số ví dụ về ứg dụg 84 Bộ lọc điệ + R Xét mạg điệ RC hư trog hìh vẽ, trog đó R là điệ trở và C là điệ dug Giả sử v( t ) là điệ thế cug cấp, Itlà ( ) dòg điệ trog mạg v ( t ) I(t) C v(t) và vt ( ) là điệ thế cho ra của bộ lọc Bài toá đặt ra là hãy tíh vt ( ) hi biết v( t ) Côg thức liê hệ giữa dòg điệ It ( ) và điệ Hìh 8 thế cug cấp v () t là t v () t RI() t + I() τ dτ+ Q C () trog đó Q là điệ tích ba đầu của điệ dug C Côg thức liê hệ giữa dòg điệ It ( ) và điệ thế vt () là t vt () I( τ) dτ+ Q C () Từ () và () ta có phươg trìh tíh vt ( ) RC v + v v (3) Điều iệ hởi đầu của điệ thế ra là v() Q / C Giả thiết v( t ) là một dãy điệ xug tuầ hoà với chu ỳ T hư hìh vẽ Để xác địh vt () chúg ta viết v () t dưới dạg chuỗi Fourier i t v( t) Ce ω, trog đó ω / T, (4) Nghiệm của phươg trìh vi phâ (3) là tổg của ghiệm phươg trìh thuầ hất t/ RC RC v + v v, tức là αe với α là hằg số và ghiệm riêg của (3) Vì v tuầ hoà, chúg ta có thể tìm ghiệm riêg tuầ hoà dạg Như vậy ghiệm của (3) có dạg * i t Ce ω t/ RC * i α a T δ Hìh 8 vt () e + Ce ω Từ đây và côg t

3 Giải tích các hàm hiều biế thức (4) suy ra * C C, trog đó hệ số Fourier C + của hàm v iω RC () t được v si( / ) v si( / ) tíh theo côg thức C τ ωτ ωτ T ( ωτ /) Tω Nghiệm phươg trìh thuầ hất được gọi là hiệu ứg tạm thời vì ó tắt dầ hi t Nghiệm riêg tuầ hoà được gọi là hiệu ứg thườg xuyê Như vậy điệ thế ra của bộ lọc hoà toà được xác địh và được xấp xỉ bởi hiệu ứg thườg xuyê hi t đủ lớ 84 Sự truyề hiệt trog thah im loại Giả sử trê trục tọa độ Ox ta đặt một thah sắt, một đầu tại gốc O và đầu ia rất xa (xem hư là ) Gọi uxt (, ) là hiệt độ của điểm x trê thah sắt tại thời điểm t Giả thiết rằg hiệt độ hởi đầu tại mọi điểm đã biết trước là ux (,) f( x) Hãy xác địh uxt (, ) với x và t bất ỳ, biết rằg hiệt độ được truyề theo phươg trìh uxt (, ) uxt (, ), (*) t x trog đó là hệ số truyề hiệt Phươg trìh truyề hiệt (*) biểu diễ qua các đạo hàm riêg của hàm u ê cò gọi là phươg trìh đạo hàm riêg Trog chươg sau chúg ta sẽ hảo sát hữg phươg trìh hư thế ày ỹ hơ, hưg trog mục ày chúg ta có một cách giải đơ giả hờ áp dụg biế đổi Fourier Dùg côg thức tíh biế đổi Fourier cho đẳg thức (*) ta thu được iωx i x e u ω ( x, t) dx e ( x, t) t x Ký hiệu U( ω, t) là biế đổi Fourier của uxt (, ) (ở đây t là tham số) Khi ấy U( ω, t) ( iω) U( ω, t) ω U( ω, t) t t Lấy tích phâ hai vế theo t ta thu đượcu( ω, t) c( ω) e ω, trog đó c( ω ) là hằg số lấy tích phâ Hằg số ày được xác địh hờ điều iệ hởi đầu và côg thức tíh U : u iωx iωx U( ω,) c( ω) u( x,) e dx f( x) e dx Nghiệm uxt (, ) sẽ là biế đổi Fourier gược của U( ω, t) Thí dụ, ếu f được cho bởi côg thức

Chươg 8 Chuỗi Fourier và tích phâ Fourier 33 iωx u hi x f( x), hi x > thì c( ω) u e dx u si ω, si t U(, t) u ω ω e ω Nghiệm uxt (, ) ω ω tíh theo côg thức u (, ) si t i x uxt ω ω ω e e dx ω Trê đây là hữg ứg dụg đơ giả (hưg hôg tầm thườg chút ào) của chuỗi Fourier và tích phâ Fourier trog việc giải quyết các bài toá ảy sih trog ỹ thuật Nhữg ứg dụg phức tạp hơ và sâu sắc hơ có thể tìm thấy rất hiều trog các gàh xử lý tí hiệu, điều hiể tự độg,