1 Δίνεται το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ Αν ισχύει η ισότητα AB + BK- ΒΛ = AM- AK, να αοδείξετε ότι τα σημεία Κ, Λ και Μ είναι συνευθειακά Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ Αν είναι ΒΔ = κ ΑΒ+ ΑΓ και ΓΕ ( 1+ κ ) = AB+ ΑΓ, να δείξετε ότι τα διανύσματα Γ E και BD δεν μορεί να είναι αράλληλα για καμιά τιμή του κ Î R Δίνονται τα διανύσματα α, β, γ ου δεν είναι ανά δύο αράλληλα Αν τα διανύσματα α - β και γ είναι συγγραμμικά και τα α - γ, β είναι συγγραμμικά, να δείξετε ότι και τα διανύσματα 4 Έστω τα διανύσματα ΑΒ = α i) Να βρείτε τα διανύσματα, ΒΓ = β AG και, ΓΔ = ρα 4 β + γ, α είναι συγγραμμικά 1 ρî και ΔΕ = α + β, R GE συναρτήσει των α, β και ρ ii) Να βρείτε το ρ, ώστε τα σημεία Α, Γ, Ε να είναι συνευθειακά, αν τα διανύσματα α και β δεν είναι αράλληλα 5 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ Να βρεθεί ου βρίσκονται τα σημεία Μ ου εαληθεύουν τη σχέση : MA + MB = MA + MG 6 Αν β + και α β = α ^, ( α β) ^( α - β ) των διανυσμάτων α, β 7 Αν α =, β =, γ = 1και α β + γ = 0 -, να βρεθούν τα μέτρα -, να υολογίσετε την αράσταση Κ = α β + β γ + γ α 8 Δίνονται τα διανύσματα α και β με α = και β = 1 Αν υάρχει x Î R τέτοιο, ώστε να ισχύει x α + β = α + xβ, να δείξετε ότι α //β Σελίδα 1 αό 6
9 Αν για τα διανύσματα α, β, γ ισχύει α + β + γ = 0 και α β = γ α γ και β γ =, να δείξετε ότι : 10 Δίνονται τα διανύσματα α και β για τα οοία ισχύουν : α = 1, β = και ( α,β ) = i) Να βρεθεί το διάνυσμα x για το οοίο ισχύει ( x + α) //β και ( x + β) //α ii) Να βρεθεί το x 11 Αν α = (, - 4), (,1) β =, να βρεθεί το μήκος της ροβολής του β στο α 1 Να αναλυθεί το διάνυσμα γ ( 1, - 4) των διανυσμάτων α = (,1 ), β (-,) = σε δύο συνιστώσες με διευθύνσεις εκείνες = 1 Έστω α και β δύο διανύσματα τέτοια, ώστε να είναι α =, β = και ( Αν δ α + β,α =, να υολογιστεί η γωνία ( δ ) α,β ) = 14 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σε κάθε σημείο Μ του ειέδου του αντιστοιχίζουμε το διάνυσμα f ( Μ) = ΜΑ-ΜΒ+ 4ΜΓ i) Να βρεθεί σημείο Ο τέτοιο, ώστε να είναι f ( Ο) = 0 και ύστερα να δείξετε ότι ( Μ) f = -5ΟΜ ii) Να βρείτε τον γεωμετρικό τόο των σημείων Μ για τα οοία είναι f ( M) // iii) Να βρείτε τον γεωμετρικό τόο των σημείων Μ για τα οοία είναι ( Μ) BG f = 5ΑΜ Σελίδα αό 6
15 Δίνονται τα διανύσματα α και β με ( α,β ) =, α = και β = 1 Να αναλυθεί το διάνυσμα β σε δύο κάθετες μεταξύ τους συνιστώσες αό τις οοίες η μια να έχει τη διεύθυνση του α 16 Στο είεδο δίνονται τα σταθερά σημεία Α και Β Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόος των σημείων Μ του ειέδου * για τα οοία ισχύει MA + MB = κ, όου κ Î R+ σταθερό με κ>αβ 17 Να βρείτε τον γεωμετρικό τόο των σημείων Μ του ειέδου στις αρακάτω εριτώσεις : i) Το διάνυσμα u = ΜΑ+ ΜΒ+ ΜΓ είναι αράλληλο ρος το διάνυσμα BG του τριγώνου ΑΒΓ ii) Ο, Α είναι δύο σταθερά σημεία του ειέδου και ισχύει : ΟΑ = æ ö και OΜ çoμ OA - = 160 è ø iii) Α, Β είναι δύο σταθερά σημεία του ειέδου με ( ΑΒ ) = α > και ΜΑ ΜΒ = κ, όου κ σταθερό και κ + α 0 iv) Ισχύει ΑΒ ΑΜ+ ΑΓ ΑΜ = 0, όου Α, Β, Γ οι κορυφές του τριγώνου ΑΒΓ 18 Δίνονται τα μοναδιαία διανύσματα α και β Αν ( α + β, α ) =, 4 να υολογίσετε τη γωνία φ=( α,β ) 19 Δίνονται τα διανύσματα α,β, γ, με α = ( 0, ), β = (-1,1 ) και α + γ =, α - γ = 4 i) Να υολογιστούν τα γ και α γ και στη συνέχεια να δείξετε ότι α + γ =0 ii) Αν u = α + β + γ, να βρεθεί η ροβολή του u άνω στο α Σελίδα αό 6
0 Αν a b g = = και α β + γ = 0 5 + να δείξετε ότι : i) α β ii) α = β και 5 β + γ = 0 æ 1 Δίνονται τα μοναδιαία διανύσματα α, β, για τα οοία ισχύει ö ç ç α,β = è ø ( α - β) α i) Να αοδείξετε ότι : ροβ = α ii) Να αοδείξετε ότι : æ ç ç è u, v ö ø =, όου u 6 = α - β, v = ροβ α ( α - β) iii) Ο φορέας του u διχοτομεί την γωνίατων διανυσμάτων α, - β Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ με διάμεσο ΑΜ και ύψος ΑΔ,να αοδείξετε ότι: 1 i) ΑΒ + ΑΓ = ΑΜ + ΒΓ ii) ΑΒ - ΑΓ = ΔΜ ΓΒ p Για τα διανύσματα α, β δίνεται ότι α = 1, β = και ( α,β )= Έστω τα διανύσματα i) το εσωτερικό γινόμενο α β ii) τα μέτρα u, v iii) το εσωτερικό γινόμενο u = α + β, v α - β u v iv) το συνημίτονο της γωνίας των διανυσμάτων = Να βρείτε : u, v Σελίδα 4 αό 6
α για τα οοία ισχύουν: α = β = και ( α, β ) 4 Δίνονται τα διανύσματα, β = i) Να δείξετε ότι: α β = ii) Αν v = α β v + και u = α - β, να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο v u, τα μέτρα v και u,καθώς και την γωνία ( v,u ) ροβ α v = α iii) Να δείξετε ότι 5 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ για το οοίο ισχύουν : ΑΒ = 1, ΑΓ = και (, ΑΓ) ΑΒ = Αν Μ το μέσο της λευράς ΒΓ, να υολογίσετε το συνημίτονο της γωνίας των διανυσμάτων AB και AM 6 Αν για κάθε λîr ισχύει : ( α λβ) ^ ( λα - β) α) α ^ β β) β = 1 γ) α - 4β = 5 + και α = 1, να αοδείξετε ότι : 7 Δίνονται τα διανύσματα α,β για τα οοία ισχύει: α =, β = 1 και ( α, β) Να υολογίσετε τον ραγματικό αριθμό λ αν ισχύει ροβ ( α λβ) = 1 β β + = 8 Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) Να αοδείξετε ότι τα σημεία Δ του ειέδου για τα οοία ισχύει : AB AD + AG AD = 0 βρίσκονται σε ευθεία αράλληλη στη ΒΓ 9 Για τα διανύσματα α ¹ 0 και β 0 Να βρείτε την γωνία των διανυσμάτων α, β ¹ ισχύουν : α =, β = και (, α - β) α = 0 Για τα διανύσματα α και β ισχύουν : α =, β = 1 και (, β) α = Να βρείτε : i) το α β ii) την ροβολή του α στο β iii) το v, όου v = α -β iv) το μέτρο της ροβολής του β στο v και v) την γωνία των διανυσμάτων β, v Σελίδα 5 αό 6
u u 1 Έστω τα διανύσματα α,β και γ του ειέδου για τα οοία ισχύει: u ( α γ) γ =8ροβ γ + 4β α, α = και α β=-4 u 1 Να αοδείξετε ότι: α) γ=ροβ γ+β β) γ=α+β α u Αν ειλέον ισχύει β ¹,να δείξετε ότι: α) τα διανύσματα ακαιβ δεν είναι u συγγραμμικά β) τα διανύσματα ακαιγ δεν είναι συγγραμμικά u Έστω τα διανύσματα α,β με α = β = 1 x - α-β x+ 1-αβ =0(1) Θεωρούμε και την εξίσωση ( ) α) Να δείξετε ότι η εξίσωση (1) έχει ραγματικές ρίζες β) Αν ρ 1, ρ οι ρίζες της εξίσωσης,τότε ρ 1 +ρ = 8Ûα+β=0 γ) Αν ρ 1, ρ οι ρίζες της εξίσωσης με ρ1 ρ = 1,τότε α^ β Στη συνέχεια, να λύσετε την εξίσωση δ) Αν ρ 1, ρ οι ρίζες της εξίσωσης μερ 1 + ρ =,να υολογίσετε τη γωνία θ των διανυσμάτων α,β Σελίδα 6 αό 6