Στοιχεία Πιθανοτήτων και Θεωρίας Ουρών

ΤΕΙ ΛΑΡΙΣΑΣ ΤΜΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ Στοιχεία Πιθανοτήτων και Θεωρίας Ουρών Χρήστου Νικοαΐδη Φεβρουάριος 5

Χρήστος Νικοαΐδης Διδάκτωρ του Πανεπιστημίου της Οξφόρδης Στοιχεία Πιθανοτήτων και Θεωρίας Ουρών Θεωρία & Ασκήσεις Φεβρουάριος 5

ΠΡΟΛΟΓΟΣ Στο σύγγραμμα αυτό επιχειρώ μια σύντομη διαδρομή Σε βασικά στοιχεία Συνδυαστικής Σε βασικά στοιχεία της Θεωρίας Πιθανοτήτων Στην περιγραφή των Τυχαίων Μεταβητών και στις πιο χαρακτηριστικές Κατανομές τους Σε μια εισαγωγή στη Θεωρία Ουρών Δεν πραγματεύομαι πήρως (και δεν είχα σκοπό να το κάνω) κανέναν από τους χώρους αυτούς ξεχωριστά. Για τον κάθε χώρο υπάρχει πούσια βιβιογραφία, άοτε περισσότερο και άοτε ιγότερο αναυτική, όπου μπορεί να ανατρέξει ο ενδιαφερόμενος αναγνώστης. Για τις ανάγκες μιας αυτοτεούς παρουσίασης, στα παίσια ενός εξαμηνιαίου μαθήματος προπτυχιακού επιπέδου, προσπάθησα να σταθώ στα σημαντικότερα σημεία που απαιτούνται για την ανάπτυξη του θέματος. Τα «Στοχαστικά Μοντέα Ουρών Αναμονής» είναι ένα σχετικά δύσκοο θέμα που απαιτεί προηγούμενες γνώσεις από το χώρο των Πιθανοτήτων. Ο στόχος μου στο σύγγραμμα αυτό είναι η κατανόηση των βασικών εργαείων που απαιτούνται από τον χώρο των Πιθανοτήτων και μια «πρώτη γνωριμία» με τη μεέτη των Ουρών Αναμονής. Η περιπάνηση σε θεωρητικές αποδείξεις και παράπευρες επτομέρειες θα αποπροσανατόιζε τον σπουδαστή από το στόχο αυτό. Στην έκδοση αυτή έαβα υπόψη αρκετές παρατηρήσεις των σπουδαστών μου στο ΤΕΙ Λάρισας, κατά τη διάρκεια των 4 τεευταίων χρόνων που δίδαξα το μάθημα. Προσπάθησα να εμπουτίσω το σύγγραμμα με απά και κατανοητά παραδείγματα και να χρησιμοποιήσω, όσο είναι δυνατό, κατανοητή γώσσα. Επίζω να το πέτυχα. Δρ Χρήστος Νικοαΐδης Φεβρουάριος 5 i

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Μαθηματικά Μοντέα Στοχαστικά Μοντέα ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗΣ. Απαρίθμηση 5. Συνδυασμοί και Διατάξεις: Επιογές r αντικειμένων από 7. Προβήματα συνδυαστικής 4.4 Διανομή r αντικειμένων σε κουτιά 5 Ασκήσεις 9 Σύντομες Απαντήσεις των Ασκήσεων ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ. Σύνοα. Δειγματοχώρος και Ενδεχόμενα 5. Η Πιθανότητα ενός Ενδεχομένου 8.4 Πεπερασμένοι Δειγματοχώροι 9.5 Δεσμευμένη Πιθανότητα Ανεξάρτητα Ενδεχόμενα Ασκήσεις 8 Σύντομες Απαντήσεις των Ασκήσεων 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ. Τυχαίες Μεταβητές 4. Κατανομή μιας Διακριτής Τυχαίας Μεταβητής 4. Κατανομή μιας Συνεχούς Τυχαίας Μεταβητής 44.4 (Αθροιστική) Συνάρτηση Κατανομής (cdf) 46.5 Η Μέση Τιμή Ε(Χ)μ 49.6 Η Διασπορά V(X) 5 Ασκήσεις 56 Σύντομες Απαντήσεις των Ασκήσεων 59 ii

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: ΟΡΙΣΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ 4. Η Διωνυμική Κατανομή 6 4. Η Ομοιόμορφη Κατανομή 65 4. Η Κανονική Κατανομή (Gauss) 66 4.4 Η Κατανομή Poisso 7 4.5 Η Εκθετική Κατανομή 76 Ασκήσεις 79 Σύντομες Απαντήσεις των Ασκήσεων 8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΟΥΡΕΣ ΑΝΑΜΟΝΗΣ 5. Εισαγωγή 8 5. Χαρακτηριστικά ενός μοντέου Ουρών Αναμονής 84 5. Ο Συμβοισμός Α/Β/c 86 5.4 Το Μοντέο Μ/Μ/ 87 5.5 Το Μοντέο Μ/Μ/ με περιορισμένο μήκος Ουράς 9 5.6 Το Μοντέο Μ/Μ/ με πεπερασμένο πήθος Αντικειμένων 9 5.7 Το Μοντέο Μ/Μ/c 9 5.8 Ουρές και Λήψη Αποφάσεων 97 Ασκήσεις Σύντομες Απαντήσεις των Ασκήσεων ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗΣ - ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ-ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΚΑΝΟΝΙΚΗΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ 5 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΟΥΡΩΝ ΑΝΑΜΟΝΗΣ 7 iii

ΕΙΣΑΓΩΓΗ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ Για να μεετήσουμε ένα φαινόμενο που παρατηρούμε στη φύση συνήθως χτίζουμε ένα μαθηματικό μοντέο που περιγράφει το φαινόμενο αυτό. Το μοντέο οφείει να αποποιεί τα πράγματα και να αγνοεί τις ασήμαντες επτομέρειες. ΦΑΙΝΟΜΕΝΟ ΜΟΝΤΕΛΟ Για να εξετάσουμε την εγκυρότητα του μοντέου, μπορούμε να συγκρίνουμε τα αποτεέσματα που προβέψαμε με βάση το μοντέο με τις πραγματικές παρατηρήσεις του φαινομένου. Συμπίπτουν? ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΠΡΟΒΛΕΨΕΙΣ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Φαινόμενο: Στη φύση, αναπτύσσονται δυνάμεις μεταξύ των σωμάτων (βαρύτητα, κπ) Μοντέο: Ο Newto υποογίζει τη δύναμη μεταξύ δύο σωμάτων ως m m F g r Εγκυρότητα: Μετά από πειράματα φαίνεται ότι ο νόμος του Newto περιγράφει αρκετά καά την πραγματικότητα. Αργότερα, ο Αϊνστάιν θα δείξει ότι δεν ισχύει πάντοτε ο νόμος αυτός, μπορούμε ωστόσο να τον

χρησιμοποιούμε καθώς είναι εύχρηστος και αποτεεί πού καή προσέγγιση των πραγματικών φαινομένων. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Οι νόμοι του Kepler αποτεούν ένα καό μοντέο για την περιγραφή της κίνησης των πανητών.. ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ ΝΤΕΤΕΡΜΙΝΙΣΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ Στα ντετερμινιστικά μοντέα οι συνθήκες ενός πειράματος καθορίζουν πήρως τα αποτεέσματα. Π.χ. στο νόμο του Newto που είδαμε προηγουμένως, εάν γνωρίζουμε τα μεγέθη m,m και την απόσταση r, μπορούμε να υποογίσουμε επακριβώς την δύναμη F. Στα στοχαστικά μοντέα οι συνθήκες ενός πειράματος τύχης καθορίζουν μόνο την πιθανοτική συμπεριφορά του αποτεέσματος. Π.χ. εάν ρίξουμε ένα νόμισμα, δεν γνωρίζουμε το αποτέεσμα, μπορούμε ωστόσο να περιγράψουμε το αποτέεσμα με το εξής μοντέο: 5% πιθανότητα να έρθει ΚΕΦΑΛΗ 5% πιθανότητα να έρθει ΓΡΑΜΜΑ (Στο δεύτερο πείραμα θα μπορούσαμε να κατασκευάσουμε ένα κάπικο νόμισμα με δύο κεφαές για να κερδίζουμε τα στοιχήματα, οπότε το μοντέο μας θα είναι ντετερμινιστικό!!!).

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ (στη σεισμοογία) Εάν καταφέρουμε να ανακαύψουμε ένα μοντέο που υποογίζει την εστία, το χρόνο και το μέγεθος ενός σεισμού θα πρόκειται για ένα ντετερμινιστικό μοντέο (κάτι σαν και αυτό που ισχυρίζεται η ομάδα VAN). Προς το παρόν, αρκούμαστε σε στοχαστικά μοντέα που αμβάνουν υπόψη στατιστικά στοιχεία του παρεθόντος, μεέτες του υπεδάφους και άες μετρήσεις και αποφαίνονται κάπως έτσι υπάρχει μια πιθανότητα 5% να συμβεί ένας σεισμός στη Θεσσαία μέσα στα επόμενα τρία χρόνια. Μπορεί βέβαια να μη μας ικανοποιεί όσο ένα ντετερμινιστικό μοντέο, έχει όμως μια αξία καθώς μας προειδοποιεί να πάρουμε προηπτικά μέτρα.

4

. ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗΣ. ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗ Θα δούμε αργότερα ότι για να βρούμε την πιθανότητα να συμβεί κάποιο γεγονός χρειάζεται ποές φορές να μετράμε όες τις δυνατές επιογές που υπάρχουν για το γεγονός σε σχέση με το σύνοο των επιογών που έχουμε στη διάθεσή μας. Σαν από παράδειγμα αναφέρουμε την ρίψη δύο ζαριών. Ρωτάμε πόσο πιθανό είναι να φέρουμε τουάχιστον ένα εξάρι. Το σύνοο των επιογών μας περιέχει 6 δυνατότητες. - - - -4-5 -6 - - - -4-5 -6 - - - -4-5 -6 4-4- 4-4-4 4-5 4-6 5-5- 5-5-4 5-5 5-6 6-6- 6-6-4 6-5 6-6 Από αυτές οι «βοικές» περιπτώσεις που περιέχουν τουάχιστον ένα εξάρι είναι, συγκεκριμένα αυτές που σημειώνονται έντονα στον παραπάνω πίνακα. Άρα έμε ότι η ζητούμενη πιθανότητα είναι στις 6 ή αιώς. 6 Η απαρίθμηση των επιογών σε ένα «πείραμα» δεν είναι πάντοτε εύκοη υπόθεση και χρειάζεται προσοχή. Ξεκινάμε με δύο απούς κανόνες: Ας υποθέσουμε ότι μια ενέργεια Α μπορεί να πραγματοποιηθεί με m τρόπους ενώ μια δεύτερη ενέργεια Β με τρόπους. Με πόσους τρόπους μπορεί να γίνει είτε η μία είτε η άη ενέργεια; Προφανώς με m+ τρόπους Η αρχή αυτή είναι γνωστή ως κανόνας του αθροίσματος και θα φανεί χρήσιμη όταν θα «τεμαχίζουμε» ένα πρόβημα σε μικρότερα «επιμέρους» προβήματα και θα αθροίζουμε τα αποτεέσματα. 5

Έστω ότι κάθε επιογή για την ενέργεια Α μπορεί να συνδυαστεί με οποιαδήποτε επιογή της ενέργειας Β. Τότε ο συνδυασμός των δύο ενεργειών μπορεί να πραγματοποιηθεί με m τρόπους Η αρχή αυτή είναι γνωστή ως κανόνας του γινομένου. Μπορεί να φαίνεται τετριμμένη αά και θα φανεί εξαιρετικά χρήσιμη στη συνέχεια. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Στις εκογές ενός συμβουίου, υπάρχουν υποψήφιοι για τη θέση του προέδρου και 4 για τη θέση του γραμματέα. Με πόσους τρόπους μπορεί να καυφθεί κάποια θέση (είτε η μία είτε ή άη); Με +47 τρόπους (κανόνας αθροίσματος) Με πόσους τρόπους μπορούν να καυφθούν και οι δύο θέσεις; Με x4 τρόπους (κανόνας γινομένου). Πράγματι, (Π,Γ), (Π,Γ), (Π,Γ), (Π,Γ4), (Π,Γ), (Π,Γ), (Π,Γ), (Π,Γ4), (Π,Γ), (Π,Γ), (Π,Γ), (Π,Γ4) Πριν προχωρήσουμε στις βασικές περιπτώσεις απαριθμήσεων στη συνδυαστική, ας ξεκαθαρίσουμε κάποιους συμβοισμούς Το παραγοντικό ορίζεται ως εξής! L Δηαδή!xx6, καθώς και 4!4,!. Συμφωνούμε επίσης ότι! Παρατηρούμε ότι όταν έχουμε πηίκο με παραγοντικά, γίνονται εύκοα αποποιήσεις, πχ 7! 4 5 6 7 5!6 7 6 7 5! 4 5 5! Ένα σύμβοο που θα χρειαστούμε συχνά είναι το, το οποίο ορίζεται ως εξής r 6

Έτσι! r r!( r)! 7 7!!4! Αν αποποιήσουμε με τον μεγαύτερο παράγοντα στον παρονομαστή έχουμε Ομοίως 7 99 7!!4!! 99!! 5 6 7 5 6 7 5! L99 L99 Τώρα είμαστε σε θέση να μεετήσουμε τα βασικά προβήματα της απαρίθμησης. ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ ΚΑΙ ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ: ΕΠΙΛΟΓΕΣ r ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΩΝ ΑΠΟ Το πρόβημα που μεετάμε εδώ είναι να επιέξουμε r αντικείμενα από ένα σύνοο αντικειμένων Υπάρχουν όμως διάφοροι τρόποι να κάνουμε αυτή την επιογή. Αν ενδιαφερόμαστε για τη σειρά με την οποία εμφανίζονται τα επιεγμένα αντικείμενα μιάμε για ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ. Αν δεν ενδιαφερόμαστε για τη σειρά με την οποία εμφανίζονται τα επιεγμένα αντικείμενα μιάμε για ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΥΣ. Υπάρχει και ένας άος διαχωρισμός. Επιέγουμε αρχικά ένα αντικείμενο. Πριν επιέξουμε το δεύτερο, το αρχικό θα ξαναμπεί στην «κηρωτίδα» ή όχι; Έτσι μιάμε για επιογές ΜΕ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ και ΧΩΡΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ. Ας τα δούμε αναυτικά στη συνέχεια. 7

Α. ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ r αντικειμένων από (παίζει ρόο η σειρά) Έχουμε αντικείμενα. Πόσοι τρόποι υπάρχουν να επιέξουμε r αντικείμενα από αυτά και να τα βάουμε σε μια σειρά; Η απάντηση συμβοίζεται P(,r) και ισούται με! ( r)! δηαδή, με αποποίηση ( )( ) L ( r + ) Πράγματι, ας σκεφτούμε για παράδειγμα ότι από άτομα θέουμε να επιέξουμε 4 για να μπουν με τη σειρά στις παρακάτω θέσεις Παρατηρούμε ότι: Για την η θέση έχουμε επιογές (ένα από τα άτομα) Για την η θέση έχουμε 9 επιογές (ένα από τα 9 άτομα που περίσσεψαν) Για την η θέση έχουμε 8 επιογές Για την 4η θέση έχουμε 7 επιογές Συνοικά έχουμε οιπόν 9 8 7 επιογές, ή με άα όγια παραπάνω τύπος.! όπως έει και ο 6! Β. ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ r αντικειμένων από (δεν παίζει ρόο η σειρά) Έχουμε αντικείμενα. Πόσοι τρόποι υπάρχουν να επιέξουμε μια ομάδα r αντικειμένων από αυτά; Η απάντηση συμβοίζεται C(,r), είτε με το σύμβοο που συναντήσαμε πιο πάνω r και διαβάζεται «ανά r». Όπως είδαμε αυτό ισούται με! r!( r)! 8

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Θέουμε να επιέξουμε γράμματα από τα Α,Β,Γ,Δ,Ε. Υπάρχουν 5 5! 4 5 τρόποι!! (Πράγματι, πρόκειται για τα ζευγάρια ΑΒ, ΑΓ, ΑΔ, ΑΕ, ΒΓ, ΒΔ, ΒΕ, ΓΔ, ΓΕ, ΔΕ. Προσέξτε ότι δεν άβαμε υπόψη τη σειρά, δηαδή θεωρήσαμε ότι ΑΒ και ΒΑ είναι ίδια) Αξίζει να σημειωθεί ότι για να επιέξουμε γράμματα από τα 5 υπάρχουν επίσης 5 5!!! τρόποι. (ήταν αναμενόμενο καθώς, όταν επιέγουμε αντικείμενα από τα 5, μπορούμε να θεωρήσουμε ότι κάποιος άος επιέγει τα υπόοιπα αντικείμενα, άρα όσοι τρόποι υπάρχουν για την επιογή αντικειμένων τόσοι ακριβώς τρόποι υπάρχουν και για την επιογή αντικειμένων). Γενικά, r r διότι και οι δύο αριθμοί ισούνται με!. r!( r)! Εύκοα επίσης διαπιστώνουμε ότι, (υπάρχει μόνο τρόπος να επιέξουμε αντικείμενα από τα : να μην επιέξουμε κανένα!), (υπάρχει μόνο τρόπος να διαέξουμε αντικείμενα από τα : να τα επιέξουμε όα!), (υπάρχουν τρόποι να επιέξουμε αντικείμενο από τα ), (υπάρχουν τρόποι να μην επιέξουμε ένα αντικείμενο από τα ) 9

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ (χαρακτηριστικό) ΛΟΤΤΟ. Πόσοι τρόποι υπάρχουν να επιέξουμε 6 νούμερα από το ως το 49; (όπως είναι γνωστό, δεν χρειάζεται να τα πετύχουμε με τη σειρά που κηρώνονται). Υπάρχουν οιπόν 49 6 49! 6!4! 44 45 46 47 48 49 98486 4 5 6 δυνατότητες δηαδή, περίπου 4 εκατομμύρια συνδυασμοί εξάδων. Εάν παίξουμε 4 στήες έχουμε πιθανότητα μια στο εκατομμύριο να κερδίσουμε! ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 4 Στο Τζόκερ, επιέγουμε 5 αριθμούς από μια ομάδα 45 αριθμών και ταυτόχρονα αριθμό από μια ομάδα αριθμών. Πόσες δυνατότητες υπάρχουν συνοικά; Εάν παίξουμε 4 στήες ποια είναι η πιθανότητα να κερδίσουμε; Υπάρχουν συνοικά υπάρχουν 45 επιογές για την πρώτη ομάδα και 5 για τη δεύτερη. Άρα 45 5 45! 4 4 4 44 45 4.45.8 5!(4)! 4 5 δυνατότητες δηαδή, περίπου 4,5 εκατομμύρια συνδυασμοί. Εάν παίξουμε 4 στήες έχουμε πιθανότητα περίπου μια στο εκατομμύριο να κερδίσουμε! Γ. ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ r αντικειμένων από ΜΕ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Δηαδή κάθε φορά που επιέγουμε ένα αντικείμενο, το ξαναβάζουμε στην «κηρωτίδα». Η απάντηση είναι r

Σκεπτόμενοι όπως στην περίπτωση Α, ας πούμε ότι από άτομα έχουμε να επιέξουμε 4, αά αυτή τη φορά κάθε άτομο μπορεί να ξαναεπιεγεί. Τα ονόματα τους θα τα γράψω σε μια σειρά Για την η θέση έχουμε επιογές (ένα από τα άτομα) Για την η θέση έχουμε επιογές (αφού έχουμε ξανά και τα δέκα άτομα) Για την η θέση έχουμε επιογές Για την 4η θέση έχουμε επιογές 4 Συνοικά έχουμε οιπόν επιογές, ή με άα όγια όπως έει και ο παραπάνω τύπος. Δ. ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ r αντικειμένων από ΜΕ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Δίνουμε απευθείας την απάντηση. Είναι + r r ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 5 Ρίχνουμε δύο ζάρια. Πόσες ζαριές υπάρχουν; Σκεφτόμαστε ότι έχουμε 6 αριθμούς, τους,,,4,5,6, και ρωτάμε πόσοι τρόποι υπάρχουν να επιέξουμε r. Έχουμε ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΥΣ, διότι δεν μας ενδιαφέρει η σειρά. Π.χ η ζαριά -4 δεν είναι διαφορετική από την 4-. Έχουμε ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ, διότι π,χ η ζαριά - επιτρέπεται. Υπάρχουν οιπόν 6 + 7 6 7 ζαριές Συνοψίζοντας έχουμε,

ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ ΧΩΡΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΕ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ! ( ) L ( r + ) ( r)! r ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ r + r r Παρουσιάζουμε δύο ακόμη ειδικές υποπεριπτώσεις του σκιασμένου κειού: των διατάξεων χωρίς επανάηψη. Α. Διατάξεις (ή μεταθέσεις) αντικειμένων Με πόσους τρόπους μπορούμε να διατάξουμε στη σειρά διαφορετικά αντικείμενα; (ουσιαστικά διατάσσουμε αντικείμενα από ) Για την πρώτη θέση έχουμε επιογές. Αφού διαέξουμε το πρώτο αντικείμενο, για τη δεύτερη θέση έχουμε - επιογές κ.ο.κ. Συνοικά έχουμε οιπόν ( ) ( ) L! Επιογές ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 6 Ο Αέξης, ο Βασίης και ο Γιώργος μπορούν να μπουν σε μια διάταξη με!6 τρόπους. Πράγματι, οι διατάξεις αυτές είναι ΑΒΓ ΑΓΒ ΒΑΓ ΒΓΑ ΓΑΒ ΓΒΑ Α. Διατάξεις αντικειμένων όταν υπάρχουν ίδια αντικείμενα. Έστω ότι έχουμε αντικείμενα: - από τα οποία είναι ίδια, του ου είδους - από τα οποία είναι ίδια, του ου είδους... - k από τα οποία είναι ίδια, του κ -στού είδους (οπότε + + L+ k ).

Το πήθος των διατάξεων των αντικειμένων δίνεται από τον τύπο!!!! k L ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 7 α) Με πόσους τρόπους μπορούμε να διατάξουμε τα γράμματα Α,Β,Γ,Δ,Ε; β) Με πόσους τρόπους μπορούμε να διατάξουμε τα γράμματα Α,Α,Α,Β,Β; α) Έχουμε διάταξη 5 αντικειμένων, άρα υπάρχουν 5! τρόποι. β) Σύμφωνα με τον παραπάνω τύπο, έχουμε 6,, και υπάρχουν!!! 5 τρόποι Πράγματι, πρόκειται για τις διατάξεις ΑΑΑΒΒ ΑΑΒΑΒ ΑΒΑΑΒ ΒΑΑΑΒ ΑΑΒΒΑ ΑΒΑΒΑ ΒΑΑΒΑ ΑΒΒΑΑ ΒΑΒΑΑ ΒΒΑΑΑ Σημείωση: Οι αριθμοί r εμφανίζονται και στην ανάπτυξη του διωνύμου b a ) ( + : r r b a b a r b a b a b a ) ( + + + + + + L L Π.χ. ) ( b ab a b a b a b a b a + + + + + ) ( b ab b a a b a b a b a b a b a + + + + + + +

. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗΣ Σε ένα πρόβημα συνδυαστικής, αρχικά προσπαθούμε να καταάβουμε σε ποια περίπτωση εμπίπτει το πρόβημά μας. Ποές φορές είναι απαραίτητο να χωρίσουμε το πρόβημά μας σε περιπτώσεις και να αθροίσουμε (με τον κανόνα του αθροίσματος) τα αποτεέσματα. Επίσης, ποές φορές υπάρχουν περιορισμοί που επιβάουν μικρές τροποποιήσεις στο σκεπτικό της ύσης μας. Ας δούμε ορισμένα προβήματα. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 8 Έχουμε τα 4 κεφααία γράμματα του εηνικού αφαβήτου. Πόσες έξεις τριών γραμμάτων μπορούμε να σχηματίσουμε; (όχι απαραίτητα με νόημα!) Έχουμε 4 γράμματα και επιέγουμε r. Έχουμε ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ διότι σε μια «έξη» παίζει ρόο η σειρά των γραμμάτων (άο ΣΟΙ και άο ΙΟΣ) ΜΕ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ διότι το ίδιο γράμμα μπορεί να επαναηφθεί σε μια έξη (πχ στη έξη ΑΡΑ) Άρα σύμφωνα με το τυποόγιο υπάρχουν 4 έξεις. Μπορούμε βέβαια να σκεφτούμε και με τον τρόπο που δουέψαμε στην σχετική παράγραφο. Δηαδή, για το πρώτο γράμμα έχουμε 4 επιογές, για το δεύτερο 4 επιογές, για το τρίτο 4 επιογές, άρα συνοικά 4 επιογές (συνδυασμούς). ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 9 Έχουμε τα ψηφία,,,,4,5,6,7,8,9. Πόσους τριψήφιους αριθμούς μπορούμε να δημιουργήσουμε; Δουεύοντας όπως πιο πάνω θα έγαμε αριθμοί. Εδώ όμως υπάρχει ένας περιορισμός. Το πρώτο ψηφίο δεν μπορεί να είναι εφόσον μιάμε για τριψήφιους αριθμούς. Άρα έχουμε 9 επιογές για τον πρώτο ψηφίο, για το δεύτερο, για το τρίτο, άρα συνοικά, 9xx9 επιογές. 4

Πού συχνά είναι πιο βοικό να υποογίζουμε όχι ακριβώς τις περιπτώσεις που ρωτάει η άσκηση αά τις υπόοιπες που εξαιρούνται. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Στο Παράδειγμα 8 προηγουμένως, σε πόσες έξεις (τριάδες) υπάρχουν επαναήψεις γραμμάτων; ος τρόπος. Θα τις μετρήσουμε ευθέως αν και είναι πιο περίποκο. Αν μπερδευτείτε προχωρήστε απευθείας στον ο τρόπο. Αν έχουμε επανάηψη στην η και η θέση, δηαδή έχουμε τη μορφή ΧΧΥ, υπάρχουν 4 κοινές επιογές για τις θέσεις αυτές και απομένουν επιογές για την τρίτη θέση. Άρα υπάρχουν 4x55 επιογές αυτής της μορφής. Όμοια, υπάρχουν 55 τριάδες της μορφής ΧΥΧ και 55 της μορφής ΥΧΧ. Επίσης υπάρχουν 4 τριάδες της μορφής ΧΧΧ Συνοικά οιπόν υπάρχουν 55+55+55+468 τριάδες με επανάηψη. ος τρόπος. Σκεφτόμαστε πιο πονηρά. Συνοικά είδαμε ότι υπάρχουν 4 τριάδες. Πόσες τριάδες από αυτές δεν έχουν επαναήψεις; Δηαδή πόσες ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ, ΧΩΡΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ, r γραμμάτων από 4 υπάρχουν; Ο συνοπτικός πίνακας έει 4xx 44 Άρα οι ζητούμενες περιπτώσεις είναι 4-4468.4 ΔΙΑΝΟΜΗ r ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΩΝ ΣΕ ΚΟΥΤΙΑ Εδώ θα εξετάσουμε ένα διαφορετικό πρόβημα συνδυαστικής. Δεν έχει να κάνει με επιογή από ένα σύνοο αντικειμένων όπως μέχρι τώρα, αά με τοποθέτηση διαφόρων αντικειμένων σε ένα ορισμένο σύνοο από κουτιά. Θέουμε να τοποθετήσουμε r αντικείμενα μέσα σε κουτιά 5

Υπάρχουν και εδώ περιπτώσεις. Μπορεί να αντικείμενα να είναι ΔΙΑΚΕΚΡΙΜΕΝΑ (πχ γράμματα, αριθμοί, φάκεοι που ξεχωρίζουν μεταξύ τους) ή ΜΗ ΔΙΑΚΕΚΡΙΜΕΝΑ (πχ κόκκινες μπάες οι οποίες είναι όες όμοιες). Επίσης μπορεί να ΠΑΙΖΕΙ ΡΟΛΟ Η ΣΕΙΡΑ των αντικειμένων όπως τοποθετούνται στα κουτιά είτε ΝΑ ΜΗΝ ΠΑΙΖΕΙ ΡΟΛΟ Η ΣΕΙΡΑ. Δίνουμε απευθείας το τυποόγιο Διακεκριμένα αντικείμενα όπου δεν παίζει ρόο η σειρά Διακεκριμένα αντικείμενα όπου ( + r )! παίζει ρόο η σειρά ( )! Μη διακεκριμένα αντικείμενα r + r r Ας δούμε την εφαρμογή τους σε απά παραδείγματα. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Έχουμε κουτιά και θέουμε να τοποθετήσουμε μέσα διαφορετικούς φακέους (δεν παίζει ρόο η σειρά με την οποία τοποθετούνται) Σύμφωνα με τον πρώτο τύπο υπάρχουν 9 τρόποι. Πράγματι, για να το δούμε στην πράξη, αν ονομάσουμε τους φακέους Α,Β,Γ οι 9 τρόποι είναι: Α και Β Α και Β Α και Β Α Β Α Β Β Α Β Α Α Β Β Β 6

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Έχουμε κουτιά και θέουμε να τοποθετήσουμε τα γράμματα Α και Β ενώ παίζει ρόο η σειρά με την οποία τοποθετούνται σε ένα κουτί. Σύμφωνα με τον δεύτερο τύπο υπάρχουν ( + r )! 4! 4 τρόποι. ( )!! Προσέξτε ότι εδώ είναι διαφορετική η τοποθέτηση Α,Β από την τοποθέτηση Β,Α σε ένα κουτί εφόσον παίζει ρόο η σειρά. Πέρα οιπόν από τις 9 παραπάνω περιπτώσεις έχουμε και τις περιπτώσεις Β-Α Β-Α Β-Α ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Έχουμε κουτιά και θέουμε να τοποθετήσουμε κόκκινες μπάες. Σύμφωνα με τον τρίτο τύπο υπάρχουν Πράγματι, οι περιπτώσεις είναι + r 4 r 4!!! 6 τρόποι. Κ-Κ Κ-Κ Κ-Κ Κ Κ Κ Κ Κ Κ 7

Εδώ βεβαία είχαμε μικρό αριθμό κουτιών και αντικειμένων και η καταγραφή των περιπτώσεων ήταν εύκοη. Ας δούμε τα ίδια παραδείγματα και με ίγο μεγαύτερα νούμερα όπου δεν είναι δυνατόν να περιγράψουμε ρητά τις περιπτώσεις και η συνδυαστική μας ύνει τα χέρια. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 4 α) Έχουμε κουτιά και θέουμε να τοποθετήσουμε μέσα 4 διαφορετικούς φακέους: υπάρχουν 4 τρόποι. β) Έχουμε κουτιά και θέουμε να τοποθετήσουμε τους αριθμούς,,,4. Παίζει ρόο η σειρά με την οποία τοποθετούνται: ( + r )! υπάρχουν! 76 τρόποι. ( )! 9! [Η διαφορά εδώ με το προηγούμενο παράδειγμα είναι ότι για να μπουν πχ οι πρώτοι φάκεοι στο πρώτο κουτί υπάρχει τρόπος, ενώ για να μπουν οι αριθμοί,, στο πρώτο κουτί υπάρχουν αρκετοί τρόποι: --, --, --, κπ. Γι αυτό έχουμε περισσότερους τρόπους στο δεύτερο παράδειγμα] γ) Έχουμε κουτιά και θέουμε να τοποθετήσουμε 4 κόκκινες μπάες: + r! υπάρχουν 75 τρόποι. r 4 4!9! 8

ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Στο παιχνίδι του ΟΠΑΠ «Extra 5» ο παίκτης επιέγει 5 αριθμούς από έως 5. α) Πόσοι συνδυασμοί 5άδων μπορούν να σχηματιστούν; Άρα, αν παίξουμε μόνο μια στήη (δη. μια 5άδα), ποια είναι η πιθανότητα να πετύχουμε 5άρι; β) Εάν επιέξουμε 8 αριθμούς, πόσες στήες (δη. 5άδες) παίζουμε ουσιαστικά;. Μια πιτσαρία χρησιμοποιεί στην κατασκευή της πίτσας της μέχρι 9 διαφορετικά υικά (μπορεί να μην περιέχει κανένα, να περιέχει μερικά ή ακόμη και τα 9 υικά) α) Πόσες πίτσες έχουν ακριβώς τρία είδη; β) Πόσες πίτσες έχουν το πού τρία είδη; γ) Πόσα είδη πίτσας προσφέρει;. Θεωρήστε όες τις εηνικές έξεις των 5 γραμμάτων (με κεφααία και όχι απαραίτητα με νόημα) που μπορούν να σχηματιστούν. Απαντήστε στα παρακάτω ερωτήματα: α) Πόσες είναι οι έξεις αυτές; β) Πόσες από τις παραπάνω έξεις ξεκινούν από Α; γ) Πόσες από τις παραπάνω έξεις αρχίζουν και καταήγουν στο ίδιο γράμμα; δ) Πόσες από τις παραπάνω έξεις έχουν όα τα γράμματα διαφορετικά; ε) Πόσες από τις παραπάνω έξεις έχουν τουάχιστον δύο ίδια γράμματα;.4 Απαντήστε στα παρακάτω ερωτήματα: α) Με πόσους τρόπους μπορούμε να διατάξουμε τα γράμματα Α,Β,Γ,Δ,Ε,Ζ; β) Με πόσους τρόπους μπορούμε να διατάξουμε τα γράμματα Α,Α,Α,Β,Γ,Γ; γ) Με πόσους τρόπους μπορούμε να διατάξουμε τα γράμματα Α,Α,Α,Α,Α,Β και ποιοι είναι οι τρόποι αυτοί;.5 Έχουμε άτομα και θέουμε να τα χωρίσουμε σε δύο ομάδες των 5 και των 7 ατόμων αντίστοιχα. Με πόσους τρόπους μπορεί να γίνει αυτό α) αν δεν υπάρχει κανένας άος περιορισμός; β) αν δύο συγκεκριμένα άτομα δεν πρέπει να βρίσκονται στην ίδια ομάδα;.6 Ο αριθμός μιας πινακίδας αυτοκινήτου σχηματίζεται από τρία γράμματα μεταξύ των 4 που εμφανίζονται τόσο στο εηνικό όσο και στο ατινικό αφάβητο καθώς επίσης και από έναν τετραψήφιο αριθμό. Να υποογίσετε 9

α) Πόσες πινακίδες αυτοκινήτων μπορούν να υπάρξουν; β) Πόσες πινακίδες έχουν τρία κοινά γράμματα γ) Πόσες πινακίδες έχουν τέσσερις ίδιους αριθμούς δ) Πόσες πινακίδες έχουν τρία κοινά γράμματα και τέσσερις ίδιους αριθμούς ε) Πόσες πινακίδες δεν περιέχουν το ψηφίο.7 Πόσες δυαδικές κωδικές έξεις των bits μπορούν να σχηματιστούν; Στα δίκτυα, μια διεύθυνση IP αποτεείται από δυαδικά bits. Διευθύνσεις που έχουν σαν πρώτο bit το χαρακτηρίζονται ως διευθύνσεις κάσης Α και αφιερώνουν τα 8 πρώτα bit για τη διεύθυνση του δικτύου και τα υπόοιπα 4 bit για τη διεύθυνση του υποογιστή. Έχουν δηαδή τη μορφή - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - Έτσι για παράδειγμα η IP διεύθυνση --- (που με μορφή δεκαδικών ψηφίων γράφεται 7..8.4) αναφέρεται στο δίκτυο 7 με διεύθυνση υποογιστή.8.4 Δεδομένου ότι τα 8 πρώτα ψηφία δε μπορεί να είναι ή (το πρώτο χρησιμοποιείται για εσωτερικές ειτουργίες του ίδιου του δικτύου ενώ το δεύτερο για broadcast σε όα τα δίκτυα) α) Πόσα δίκτυα μπορούν να εξυπηρετηθούν από διευθύνσεις κάσης Α; β) Πόσοι υποογιστές μπορούν να εξυπηρετηθούν σε κάθε δίκτυο κάσης Α; γ) Πόσες είναι συνοικά οι IP διευθύνσεις υποογιστών κάσης Α;.8 Έχω τρεις φίους, τον Αγησίαο, το Βασίη και το Γιάννη. α) Διαθέτω 8 διαφορετικά δώρα. Με πόσους τρόπους μπορώ να τους τα μοιράσω; (ένας φίος μπορεί να πάρει από κανένα μέχρι και τα 8 δώρα!) β) Διαθέτω 8 καρτέες με νούμερα:,,,4,5,6,7,8. Τα μοιράζω στους φίους μου ώστε να σχηματίσει ο καθένας έναν αριθμό (η να έχει κενό αριθμό) Πχ δύο από τις δυνατές μοιρασιές είναι οι εξής Α:5, Β:7, Γ: 648 Α:47 Β:- Γ:85 Πόσες τέτοιες μοιρασιές υπάρχουν; γ) Διαθέτω 8 ευρώ σε χαρτονομίσματα των ευρώ. Με πόσους τρόπους μπορώ να μοιράσω το ποσό αυτό στους φίους μου; δ) Ποια είναι η απάντηση σε καθεμιά από τις παραπάνω περιπτώσεις αν κάθε φίος μου πρέπει να πάρει υποχρεωτικά τουάχιστον ένα αντικείμενο;

ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. α) 46 β) 56. α) 84 β) γ) 5. α) 4 5 79664 β) 4 4 776 γ) 4 4 776 δ) P(4,5)548 ε) 8644.4 α) 7 β) 6 γ) 6.5 α) 79 β) 54.6 α) 4 x 9 4696 β) 6 γ) 4696 δ) 6 ε) 4 x 9 4.7 α) β) 6 γ) 4 δ) 6 x 4.8 α) 656 β) 844 γ) 45 δ) 656 x 8 + 5796, P(8,)x(7!/!)8467,

. ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ. ΣΥΝΟΛΑ Δεχόμαστε σαν σύνοο μια συογή από αντικείμενα (δεν μπαίνουμε στη διαδικασία να το ορίσουμε αυστηρά γιατί δε χρειάζεται για το σκοπό μας). Συνήθως συμβοίζεται με ένα κεφααίο γράμμα, Α,Β κπ. Μπορούμε να το περιγράψουμε με διάφορους τρόπους: α) καταγράφοντας τα στοιχεία του: Α{,5,8,} β) με όγια: Το σύνοο Β αποτεείται από όες τις πόεις της Εάδας γ) με μια γενική περιγραφή: C{x <x<}, δηαδή το σύνοο όων των αριθμών x με την ιδιότητα το x να βρίσκεται ανάμεσα στο και το. Υπενθυμίζουμε κάποιους βασικούς συμβοισμούς: a A : το α ανήκει στο σύνοο Α A B : το Α είναι υποσύνοο του Β, δηαδή κάθε στοιχείο του Α ανήκει και στο Β A B : το Α και το Β περιέχουν ακριβώς τα ίδια στοιχεία A B : το Α είναι γνήσιο υποσύνοο του Β, δηαδή ισχύει A B αά όχι A B Σημειώστε ότι A B ισοδυναμεί με ( A B και B A ) Επίσης μια πάγια γραμμή πάνω στο σύμβοο της σχέσης ακυρώνει τη σχέση, π.χ. a A σημαίνει ότι το α δεν ανήκει στο σύνοο Α. Όμοια και για τα υπόοιπα σύμβοα. Ορίζουμε επίσης τα σύνοα Ø : το κενό σύνοο, το οποίο δεν περιέχει κανένα στοιχείο. Το θεωρούμε υποσύνοο κάθε συνόου

A B : Η ένωση των Α και Β που περιέχει τα στοιχεία που ανήκουν στο Α είτε στο Β (ή και στα δύο) A B : Η τομή των Α και Β που περιέχει τα στοιχεία που ανήκουν στο Α και στο Β ταυτόχρονα. A \ B : Η μερική διαφορά του Β από το Α που περιέχει τα στοιχεία που ανήκουν στο Α αά όχι στο Β Συνήθως, θεωρούμε ένα αρχικό σύνοο S που περιέχει όα τα στοιχεία που μας ενδιαφέρουν και κατόπιν χρησιμοποιούμε διάφορα υποσύνοά του. Έτσι αν το Α είναι υποσύνοο του S, ορίζουμε A : Το συμπήρωμα του Α που περιέχει τα στοιχεία του S που δεν ανήκουν στο Α. Δηαδή A S \ A Τα νέα σύνοα που ορίσαμε περιγράφονται πιο παραστατικά (ως σκιασμένες περιοχές) με διαγράμματα Ve: S A B S A B A B A B S A B S A A \ B A ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Αν S {,,,4,5,6,7,8,9,} και A {,,,4 }, B {,4,5,6,7 }, τότε A B {,,,4,5,6,7 } A B {,4} 4

A \ B {, } και B \ A {5,6,7} A {5,6,7,8,9,} και B {,,8,9,} ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Χρησιμοποιώντας διαγράμματα Ve μπορείτε να δείξετε ότι i) ( A B) C A ( B C) ii) A ( B C) ( A B) ( A C) iii) A ( B C) ( A B) ( A C) iv) A B A B v) A B A B Π.χ. για το iii), αν παρατηρήσουμε και τα δύο μέη ξεχωριστά, μας δίνουν το ίδιο αποτέεσμα: S A B C. ΔΕΙΓΜΑΤΟΧΩΡΟΣ ΚΑΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Όα τα δυνατά αποτεέσματα ενός πειράματος τύχης θα αποτεούν το δειγματοχώρο μας, ενώ με τον όρο ενδεχόμενο (ή γεγονός) θα εννοούμε κάθε σύνοο που αποτεείται από ορισμένα δυνατά αποτεέσματα. Στη γώσσα των συνόων ο δειγματοχώρος θα είναι ένα αρχικό σύνοο S, και κάθε υποσύνοο του S θα ονομάζεται ενδεχόμενο. Αν το υποσύνοο περιέχει μόνο ένα στοιχείο του δειγματοχώρου θα ονομάζεται από ενδεχόμενο (ή από γεγονός). Σημειώνουμε ότι τόσο το κενό σύνοο Ø, όσο και το ίδιο το S αποτεούν ενδεχόμενα. 5

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Ρίχνουμε ένα ζάρι (αυτό είναι το πείραμα τύχης!) και παρατηρούμε τον αριθμό που φέρνουμε. Ο δειγματοχώρος είναι S {,,,4,5,6} Δίνουμε ορισμένα ενδεχόμενα: - Να φέρουμε άρτιο αριθμό: A {,4,6 }. - Να φέρουμε αριθμό μικρότερο ή ίσο του : A {, } - A {,4,5,6 } - A { 4 } (πρόκειται για ένα από ενδεχόμενο) - Ø - S {,,,4,5,6 } ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 4 Ρίχνουμε ένα νόμισμα 4 φορές και παρατηρούμε το συνοικό αριθμό ΚΕΦΑΛΩΝ που φέρνουμε. Εδώ, S {,,,,4} Δίνουμε και δύο ενδεχόμενα: - να μη φέρουμε καμία ΚΕΦΑΛΗ: A { }, - να φέρουμε δύο ή τρεις ΚΕΦΑΛΕΣ: A {, } ΠΡΟΣΟΧΗ: Το ενδεχόμενο Ø είναι διαφορετικό από το ενδεχόμενο { }. Το τεευταίο περιέχει ένα δυνατό αποτέεσμα, είναι δηαδή ένα από ενδεχόμενο. Το πρώτο δεν περιέχει κανένα δυνατό αποτέεσμα. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 5 [Για να βρούμε το δειγματοχώρο πρέπει να έχουμε μια καθαρή εικόνα για το τι παρατηρούμε. Ας αάξουμε π.χ. εαφρώς το προηγούμενο παράδειγμα] 6

Ρίχνουμε ένα νόμισμα 4 φορές και παρατηρούμε την σειρά ΚΕΦΑΛΩΝ και ΓΡΑΜΜΑΤΩΝ που φέρνουμε. Τώρα ο δειγματοχώρος είναι S { ΚΚΚΚ, ΚΚΚΓ, ΚΚΓΚ, ΚΚΓΓ, ΚΓΚΚ, ΚΓΚΓ, ΚΓΓΚ, ΚΓΓΓ, ΓΚΚΚ, ΓΚΚΓ, ΓΚΓΚ, ΓΚΓΓ, ΓΓΚΚ, ΓΓΚΓ, ΓΓΓΚ, ΓΓΓΓ}. Μπορούμε οιπόν να εκφράσουμε το ενδεχόμενο να φέρουμε περισσότερες ΚΕΦΑΛΕΣ από ΓΡΑΜΜΑΤΑ με το υποσύνοο του δειγματοχώρου: A { ΚΚΚΚ, ΚΚΚΓ, ΚΚΓΚ, ΚΓΚΚ, ΓΚΚΚ} ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 6 [Ο δειγματοχώρος δεν είναι πάντοτε πεπερασμένος. Μπορεί κάιστα να είναι ένα άπειρο σύνοο] Μια μηχανή κατασκευάζει ένα συγκεκριμένο προϊόν. Κάποια προϊόντα βγαίνουν εαττωματικά. Η μηχανή συνεχίζει να κατασκευάζει ωσότου συγκεντρωθούν δέκα μη εαττωματικά προϊόντα. Πόσα προϊόντα είναι δυνατό να κατασκευαστούν συνοικά; Προφανώς πρέπει να κατασκευαστούν τουάχιστον δέκα προϊόντα. Ο δειγματοχώρος είναι S {,,,,4, K} Έστω S ο δειγματοχώρος μας και A, B δύο ενδεχόμενα, δηαδή A, B S. Μπορούμε με τις πράξεις των συνόων που αναφέραμε νωρίτερα να ορίσουμε τα εξής νέα ενδεχόμενα: - A B : να συμβεί το ενδεχόμενο A ή το ενδεχόμενο B - A B : να συμβούν τα ενδεχόμενα Α και Β ταυτόχρονα. - A \ B : να συμβεί το ενδεχόμενο Α αά όχι το ενδεχόμενο Β. - A : να μη συμβεί το ενδεχόμενο Α Δύο ενδεχόμενα Α και Β θα έγονται ξένα μεταξύ τους αν δεν μπορούν να συμβούν ταυτόχρονα, δηαδή αν A B / 7

. Η ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΕΝΟΣ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΟΥ Στην προσπάθειά μας να ορίσουμε την έννοια της πιθανότητας θα χρησιμοποιήσουμε σαν πείραμα το παράδειγμα του ζαριού. Έστω οιπόν ότι ρίχνουμε ένα ζάρι και με Α συμβοίζουμε το ενδεχόμενο να φέρουμε την ένδειξη, δηαδή S {,,,4,5,6} και A {} Διαισθητικά κατααβαίνουμε ότι υπάρχει μια πιθανότητα στις 6 να συμβεί το ενδεχόμενο Α. Αν επαναάβουμε το πείραμα αρκετές φορές αναμένουμε περίπου στο /6 των επαναήψεων να «πετύχουμε». Όσο αυξάνουμε τον αριθμό των επαναήψεων τόσο πιο κοντά στο /6 θα βρίσκεται η σχετική συχνότητα αριθμός επαναήψεων ενδεχομένου Α p A συνοικός αριθμός επαναήψεων Για σχετική συχνότητα παρατηρούμε γενικά ότι. p A. για το ενδεχόμενο S, το οποίο συμβαίνει πάντοτε, είναι p.. για το ενδεχόμενο /, το οποίο δεν συμβαίνει ποτέ, p. / 4. αν τα Α και Β είναι ξένα μεταξύ τους, τότε p A B pa + pb S Τέος, όταν ο αριθμός των επαναήψεων πησιάζει στο άπειρο, η σχετική συχνότητα p πησιάζει σε έναν συγκεκριμένο αριθμό P (A), ο οποίος θα A αποτεεί την πιθανότητα του Α. Ο εμπειρικός αυτός ορισμός της πιθανότητας οδηγεί στον παρακάτω αυστηρότερο ορισμό. ΟΡΙΣΜΟΣ Έστω S ο δειγματοχώρος ενός πειράματος. Σε κάθε ενδεχόμενο Α αντιστοιχίζουμε έναν αριθμό P (A), που τον ονομάζουμε πιθανότητα του Α, με τις εξής ιδιότητες: 8

. P ( A). P ( S). P ( ) / 4. Αν A B /, τότε P ( A B) P( A) + P( B) [Κανονικά η ιδιότητα είναι περιττή καθώς προκύπτει από τις ιδιότητες και 4 για A S και B / ] Άες ιδιότητες που προκύπτουν από τον ορισμό είναι οι εξής: P( A) P( A) P( A B) P( A) + P( B) P( A B), για οποιαδήποτε ενδεχόμενα Α και Β P( A B C) P( A) + P( B) + P( C) P( A B) P( B C) P( C A) + P( A B C) Αν A B τότε P( A) P( B)..4 ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟΙ ΔΕΙΓΜΑΤΟΧΩΡΟΙ Έστω S a, a. K, a } ένας πεπερασμένος δειγματοχώρος και ότι τα απά { ενδεχόμενα { a }, a },..., a } { { έχουν αντίστοιχες πιθανότητες p, p,..., Ισχύουν α) p για κάθε i,, K, i β) p p + L + p + p Επίσης, για ένα ενδεχόμενο Α, η αντίστοιχη πιθανότητα P (A) βρίσκεται εύκοα αθροίζοντας τις επιμέρους πιθανότητες, π.χ. αν A a, a, }, τότε { 4 a5 P ( A) p + p + p 4 5 9

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 7 Δίνεται ο δειγματοχώρος S a, a, } και οι εξής προϋποθέσεις: { a Το a έχει διπάσια πιθανότητα να συμβεί απ ότι το a Το a έχει διπάσια πιθανότητα να συμβεί απ ότι το a Να βρεθεί η πιθανότητα του ενδεχομένου A a, a }. { Οι προϋποθέσεις μας δίνουν ότι p p και p p (Άρα, p 4 p ) Όμως, p + p + p οπότε 4 p + p + p 7 p p 7 Κατά συνέπεια, p 4, 7 p και τεικά 7 P ( A) 4 + 6. 7 7 7 Συνήθως όα τα δυνατά αποτεέσματα του δειγματοχώρου έχουν την ίδια πιθανότητα να συμβούν. Έτσι αν S { a, a. K, a } έχουμε p p L p Σε μια τέτοια περίπτωση, αν το ενδεχόμενο Α που μεετάμε περιέχει r δυνατά αποτεέσματα, ισχύει r P ( A) πήθος ζητούμενων αποτεεσμάτων πήθος δυνατών αποτεεσμάτων