Κεφάλαιο 1.10 Το πείραμα EPR-Β: Φιλοσοφία και Φυσική μέσα σε δύο φωτόνια

Κεφάλαιο 1.10 Το πείραμα EPR-Β: Φιλοσοφία και Φυσική μέσα σε δύο φωτόνια το κεφάλαιο αυτό θα μιλήσουμε για δύο φωτόνια. Δύο φωτόνια που δεν διαχωρίζονται, και που έχουν φέρει πραγματική επανάσταση στην φυσική και φιλοσοφική σκέψη. Δύο φωτόνια που είναι το συστατικό στοιχείο καταστάσεων που, όπως θα δούμε αργότερα, οδηγούνε σε αδιάσπαστες κρυπτογραφίες, κβαντική τηλεμεταφορά, και βεβαίως κβαντική υπολογιστική. Ας πάρουμε όμως τα πράγματα με την σειρά. Ας δούμε τι και πως σκέφτονται διάφορες «φυλές» φυσικών επιστημόνων: Για ένα φυσικό που είναι ρεαλιστής, μία φυσική θεωρία ανακλά, κανονικοποιεί και συμπυκνώνει την συμπεριφορά φυσικών αντικειμένων, των οποίων η ύπαρξη είναι αδιαμφισβήτητη: Είναι πραγματικά αντικείμενα! Για ένα φυσικό που είναι θετικιστής, ο στόχος μία φυσικής θεωρίας είναι η περιγραφή σχέσεων μεταξύ μετρήσιμων ποσοτήτων που αφορούν τα αντικείμενα του φυσικού κόσμου. Η θεωρία δεν ασχολείται με το αν υπάρχουν ή όχι τα αντικείμενα αυτά, ούτε καν εάν ένα τέτοιο ερώτημα έχει νόημα. Για ένα φυσικό που είναι ντετερμινιστής, ακριβής γνώση των αρχικών συνθηκών και των αλληλεπιδράσεων μεταξύ των αντικειμένων του φυσικού κόσμου, επιτρέπει πλήρη πρόβλεψη του μέλλοντος. Ο ντετερμινισμός είναι παγκόσμιο χαρακτηριστικό των φυσικών φαινομένων, ακόμη και αυτών για τα οποία δεν ξέρουμε τίποτε. Τπό την λογική αυτή, κάθε αναφορά σε τυχαιότητα σχετίζεται με κάποια (προσωρινή) άγνοια. Για ένα φυσικό που είναι πιθανοκρατιστής, η τυχαιότητα είναι συστατικό στοιχείο της φύσης των μικροσκοπικών φαινομένων. Για αυτόν, ο ντετερμινισμός είναι απλή συνέπεια μιας κατάλληλα μακροσκοπικής θέασης νόμων που δρουν σε μικροσκοπικότερα επίπεδα. Ο Albert Einstein ήταν ρεαλιστής και ντετερμινιστής. Ο Niels Bohr ήταν θετικιστής και πιθανοκρατιστής. Σον επτέμβριο του 1926 στο Como, ο Bohr, σε μία αξιομνημόνευτη διάλεξη, υποστηρίζει την νέα (τότε) Κβαντική Μηχανική και παρουσιάζει τις ανισότητες του Heisenberg (όπου είναι ο τελεστής θέσης και x ο ΕΚΔΟΗ 2.Α-0, Μαίου 2010. 158/622

συζυγής τελεστής της ορμής) 20 : Δ Δ x h/ /2 (1.10-1) που σημαίνουν ότι είναι αδύνατο να οριστούν ακριβείς αρχικές συνθήκες στα και, που αυτόματα σημαίνει ότι είναι αδύνατο να στηθεί μία ντετερμινιστική μικροσκοπική θεωρία κατ αναλογία με την κλασσική μηχανική. Μόνο πιθανοκρατική θεώρηση είναι δυνατή, και μάλιστα, κατά τον Bohr, αυτή δίδεται από την ΚΜ. Ο Einstein διαφωνεί, και δημοσιοποιεί τις διαφωνίες του από τα 1927 ως τα 1930. Μετά από πολλές συζητήσεις οι απόψεις του Bohr υπερισχύουν. Έχοντας σοκαριστεί από την υποχώρηση του ντετερμινισμού, ο Einstein, επιχειρεί να εκφράσει τις σκέψεις του με μεγαλύτερη ακρίβεια. Πιστεύοντας ότι η θέση και η ορμή υπάρχουν αντικειμενικά και ταυτόχρονα θεωρεί ότι η κβαντική μηχανική είναι ελλιπής και προσωρινή. Οι απόψεις του κάθε ενός πρωταγωνιστή έχουν ως εξής. Για τον Einstein μία φυσική θεωρία πρέπει να είναι μία ντετερμινιστική και πλήρης αναπαράσταση της αντικειμενικής πραγματικότητας. Εμπεριέχει γνωστές μεταβλητές που είναι μετρήσιμες ποσότητες, και άλλες άγνωστες για την ώρα μεταβλητές που ονομάζονται κρυφές μεταβλητές. Λόγω της προσωρινής μας άγνοιας των κρυφών μεταβλητών, η φύση σε μικροσκοπικό επίπεδο εμφανίζεται να συμπεριφέρεται αυθαίρετα και έτσι την περιγράφουμε με μία θεωρία που είναι πιθανοκρατική και μη-πλήρης, δηλαδή με την ΚΜ. Για τον Bohr μία φυσική θεωρία έχει νόημα μόνο ως σύνολο σχέσεων μεταξύ παρατηρήσιμων μεγεθών. Η ΚΜ προσφέρει μια ορθή και πλήρη περιγραφή της συμπεριφοράς των οντοτήτων στο μικροσκοπικό επίπεδο. Η παρατηρούμενη συμπεριφορά είναι πιθανοκρατική επειδή η τυχαιότητα είναι ενδογενής στην φύση των φαινομένων. Μεταξύ της θέσης τυχαιότητα ως έκφραση άγνοιας (Einstein) και τυχαιότητα ως φύση των φαινομένων (Bohr), η διαμάχη δεν μένει μόνο στο φιλοσοφικό επίπεδο. Πολύ γρήγορα και πολύ φυσικά, εμπλέκει την ίδια την φυσική επιστήμη με το νοητό πείραμα των Einstein, Podolsky, Rosen (EPR) το 1935, στο οποίο, κατά την άποψή τους, υπάρχει παράδοξο που αποδεικνύει ότι η ΚΜ είναι πράγματι μη-πλήρης. Θα περάσουν 50 χρόνια για να λυθεί μια και καλή το παράδοξο EPR (αν και πειράματα που έδειχναν προς τη κατεύθυνση της υπερίσχυσης των θέσεων Bohr είχαν γίνει από 1949 από την Wu και τον Shakhov και είχε διακρίνει τη σημασία τους ο David Bohm περί τα 1957). 20 Η αβεβαιότητα μιας ποσότητας ορίζεται ως Δ := ( ) όπου οι μέσες τιμές λαμβάνονται κατά τα γνωστά ως προκύπτει εύκολα η (1.10-1). - 2. Ισχύει: (Δ ) 2 (Δ ) 2 (1/4) [, ] 2, = Χ Χ από την (1.9-28). Ισχύει [, x] = ih/, οπότε ΕΚΔΟΗ 2.Α-0, Μαίου 2010. 159/622

Ο Albert Einstein, o Boris Podolsky και ο Nathan Rosen, έχτισαν ένα νοητικό πείραμα που μπορούσε να μετρήσει έμμεσα αλλά ταυτόχρονα δύο αλληλο-αποκλειόμενες ποσότητες όπως η ορμή και η θέση. Αποτελέσματα τέτοιου πειράματος θα κατέρριπταν τις προβλέψεις της ΚΜ, η οποία επιτρέπει την μέτρηση μόνο της μιας από δύο τέτοιες ποσότητες, και για αυτό, για πολλά χρόνια, ονομάστηκε το παράδοξο EPR. τα 1951 ο David Bohm έδειξε ότι το παράδοξο μπορεί να στηθεί εξ ίσου καλά και με διακριτές μεταβλητές όπως το σπιν και όχι μόνο με συνεχείς μεταβλητές όπως η θέση ή η ορμή. Αυτό ήταν το πρώτο βήμα προς την σχεδίαση ενός πραγματικού πειράματος, και όχι απλά ενός νοητού. Η βασική δομή ενός τέτοιου πειράματος έχει ως εξής. Σχήμα 1.30.Το πείρaμα του D. Bohm. Ένα σωμάτιο με σπιν 0 διασπάται στο σημείο Π (πηγή) σε δύο σωμάτια με σπιν ½ τα οποία απομακρύνονται από το Π σε αντίθετες κατευθύνσεις. Ένα σωμάτιο με σπιν 0 διασπάται στο σημείο Π σε δύο σωμάτια με σπιν ½ τα οποία απομακρύνονται από το Π σε αντίθετες κατευθύνσεις. Δύο καταγραφείς Α και Β μετρούν τα σπιν. Δύο τύποι απαντήσεων είναι δυνατοί: Spin-up στο Α, spin-down στο Β, αποτέλεσμα που γράφουμε ως (+1, -1), Spin-down στο Α spin-up στο Β, αποτέλεσμα που γράφουμε ως (-1, +1). Ψς εδώ, όλοι συμφωνούν. Ο Einstein στη συνέχεια λέει ότι, αφού τα ζεύγη σωματίων δίδουν τελικά διαφορετικές απαντήσεις, θα πρέπει να έχουν διαφοροποιηθεί από το Π, αμέσως μετά την παραγωγή τους. Θα πρέπει να είναι δυνατό να αναπαραστήσουμε αυτή την διαφοροποίηση με μία κρυφή μεταβλητή λ, η οποία έχει αντικειμενική υπόσταση και ελέγχει το μέλλον του συστήματος. Μετά την παραγωγή των σωματίων, αυτά απομακρύνονται χωρίς πια το ένα να επηρεάζει το άλλο, και τελικά διεγείρουν τους μετρητές Α και Β. Η θεώρηση του Einstein είναι ΕΚΔΟΗ 2.Α-0, Μαίου 2010. 160/622

ρεαλιστική, ντετερμινιστική και διαχωρίσιμη (ή τοπική). Ο Bohr λέει ότι όλα τα ζεύγη που παράγονται στο Π είναι όμοια. Κάθε ζεύγος πρόκειται περί μη-διαχωρίσιμου συστήματος μέχρι της στιγμής που φτάνουν στους καταγραφείς Α και Β. Εκεί, παρατηρούμε την απόκριση τους, η οποία είναι πιθανοκρατική και αφορά τις δύο απαντήσεις (+1, -1), (-1,+1). Η θεώρηση του Bohr είναι θετικιστική, πιθανοκρατική και μη-διαχωρίσιμη (ή μη-τοπική). τα 1964 το τοπίο αλλάζει. Ο John Bell, ένας θεωρητικός του CERN, δείχνει ότι είναι δυνατό να επιλέξουμε μεταξύ των δύο θεωρήσεων με ένα πραγματικό πείραμα. Σο πείραμα, βελτιωμένο από τους Clauser, Horne, Shimony και Holt (CHSH) περί τα 1969, λέει τα ακόλουθα [16]. Για να στηθεί ένα γενικευμένο EPR-Β σενάριο, κάποιος, κατ αρχήν, χρειάζεται μία πηγή που να εκπέμπει ζεύγη σωματίων. Η λύση που ιστορικά αποδείχθηκε πιο πρακτική (από τα πετυχημένα πειράματα του Alain Aspect στο Orsay, νότια του Παρισιού, από το 1976 έως και το 1983) είναι διεγερμένα άτομα που, καθώς αποδιεγείρονται, εκπέμπουν δύο φωτόνια. την συνέχεια, χρειαζόμαστε γρήγορους καταγραφείς των οποίων η απόκριση μπορεί να δώσει μόνο δύο τιμές (τύπου +1, -1). Για φωτόνια, ένας τέτοιος καταγραφέας θα επικεντρώνεται βεβαίως στην πόλωση τους. Σο σχήμα 1.30 τώρα γίνεται Σχήμα 1.31. Τα πειράματα του Alain Aspect στο Orsay. ΕΚΔΟΗ 2.Α-0, Μαίου 2010. 161/622

Σο σχήμα 1.31α δείχνει τη συσκευή κάθετα από τον άξονα συμμετρίας της. Σο σχήμα 1.31β δείχνει τις δύο θέσεις των αναλυτών, κοιτώντας κατά μήκος του άξονα συμμετρίας της συσκευής. Σο σχήμα 1.31γ δείχνει το πραγματικό πείραμα του Aspect, όπου ο κάθε αναλυτής μπορεί, επιλεκτικά, να παίρνει και μία από δύο κατευθύνσεις, Α 1 ή Α 2, και Β 1 ή Β 2 κατ επιλογή. Γράφουμε α = 1 για τις αποκρίσεις του Α αναλυτή και β = 1 για τις αποκρίσεις του Β αναλυτή. Αφού ο κάθε αναλυτής μπορεί να λάβει μία εκ δύο κατευθύνσεων στο σχήμα 1.33γ, θα γράφουμε α 1, α 2 και β 1, β 2. Ορίζουμε την βολική ποσότητα (θα δούμε λίγο πιο κάτω πως προκύπτει αυτή η ποσότητα) γ := α 1β 1 + α 1β 2 + α 2β 1 - α 2β 2 (1.10-2) Εάν πάρουμε την μέση τιμή της γ, γ, σε πολλά πειράματα, τότε η ανισότητα B-CHSH λέει ότι -2 γ 2 (ανισότητα B-CHSH) (1.10-3) Οι δημιουργοί της έχουν αποδείξει ότι η (1.10-3) πρέπει να ισχύει, εάν η φυσική στο μικροσκοπικό επίπεδο είναι ρεαλιστική, ντετερμινιστική, και διαχωρίσιμη, (ή με άλλα λόγια, διαθέτει κρυφή μεταβλητή). Γιατί συμβαίνει αυτό; τα πλαίσια μίας θεωρίας που είναι ρεαλιστική, ντετερμινιστική, και διαχωρίσιμη μπορούμε να περιγράψουμε το ζεύγος φωτονίων με ακρίβεια. Ο ρεαλισμός μας οδηγεί στο να θεωρήσουμε ότι η πόλωση είναι αντικειμενική ιδιότητα του κάθε μέλους του ζεύγους, ανεξάρτητα από όποια μέτρηση κάνουμε εκ των υστέρων. Έστω ότι το ζευγάρι a, b που προκύπτει από το Π, μπορεί να χαρακτηρισθεί από μία κρυφή μεταβλητή λ. Η απόκριση των αναλυτών τότε θα είναι α(α, λ) και β(β, λ). Η θεώρηση αυτή είναι ντετερμινιστική (αφού τα αποτελέσματα καθορίζονται από την κρυφή μεταβλητή και την διαρρύθμιση των Α, Β) και διαχωρίσιμη (αφού η απόκριση του Α δεν εξαρτάται από την απόκριση του Β και το αντίστροφο). Αφού η τιμή του λ είναι άγνωστη και διαφορετική για κάθε ζεύγος, οι αποκρίσεις των Α και Β δείχνουν τυχαίες. Αφού λοιπόν αγνοούμε το λ, το περιγράφουμε με μία στατιστική κατανομή πιθανοτήτων ρ(λ). Έτσι λαμβάνουμε κατανομές πιθανοτήτων για τις αποκρίσεις α και β. Οι αποκρίσεις των Α και Β στις τέσσερις διαμορφώσεις τους θα ήταν λοιπόν α 1 και β 1 στην διαμόρφωση Α 1,Β 1, με κοινή πιθανότητα p(a 1 B 1) = p 12 (α 1,β 1) να συμβούν. α 2 και β 2 στην διαμόρφωση Α 2, Β 2, με κοινή πιθανότητα p(a 2 B 2) = p 12 (α 2,β 2) να συμβούν. α 1 και β 2 στην διαμόρφωση Α 1, Β 2, με κοινή πιθανότητα p(a 1 B 2) = p 12 (α 1,β 2 ) να συμβούν. α 2 και β 1 στην διαμόρφωση Α 2, Β 1, με κοινή πιθανότητα p(a 2 B 1) = p 12 (α 2,β 1 ) να συμβούν. Και θα είχαμε και p(α 1) = p 1 (α 1), p(β 1) = p 2 (β 1), κλπ. ΕΚΔΟΗ 2.Α-0, Μαίου 2010. 162/622

Είναι αδύνατο όμως να γίνουν τέσσερις μετρήσεις στο ίδιο ζευγάρι φωτονίων επειδή κάθε φωτόνιο απορροφάται κατά την διάρκεια της πρώτης μέτρησης (για αυτό είπαμε ότι οι αποκρίσεις «θα ήταν»). Εάν όμως πιστεύουμε ότι οι συσχετίσεις των πολώσεων των φωτονίων περιγράφονται από μία ρεαλιστική, ντετερμινιστική και διαχωρίσιμη θεωρία, τότε μπορούμε να δεχθούμε ότι οι αποκρίσεις α ή β, εξαρτώνται από ιδιότητες των φωτονίων πριν την μέτρηση, έτσι ώστε οι αποκρίσεις να αντιστοιχούν σε κάποια αντικειμενική πραγματικότητα. ε ένα τέτοιο πλαίσιο, η διαχωρισιμότητα μας επιτρέπει να πούμε ότι ο αναλυτής Α θα μπορούσε να δώσει την ίδια απόκριση είτε στην διαμόρφωση Α 1, Β 1 είτε στην διαμόρφωση Α 1, Β 2. Δηλαδή, α 1 = α 1. Ομοίως α 2 = α 2, β 1 = β 1, και β 2 = β 2. Άρα για ένα δεδομένο φωτονικό ζευγάρι, όλες οι δυνατές αποκρίσεις της συσκευής, στις τέσσερις διαμορφώσεις της, καθορίζονται από τέσσερις μόνο αριθμούς. Έτσι, p 12 (α 1,β 2 ) = p 12 (α 1,β 2) (1.10-4) p 12 (α 2,β 1 ) = p 12 (α 2,β 1). (1.10-5) το σημείο αυτό, χρησιμοποιώντας τις (3.1-15) και (3.1-17), μπορούμε να γράψουμε p 12 (α 2,β 1) + p 12 (α 1,β 1) + p 12 (α 1,β 2) - p 12 (α 2,β 2) p 1 (α 1) + p 2 (β 1) (1.10-6) Μπορούμε από την τελευταία να οδηγηθούμε σε μια σχέση με συσχετίσεις (correlations): C(α,β) := αβ - α β (1.10-7) την περίπτωσή μας α = 0, β = 0, και έτσι, από την (3.1-15) και (1.10-7) προκύπτει C(α,β) = 1-2d(A,B) (1.10-8) Με βάση την τελευταία, η (3.1-17) οδηγεί στην δηλαδή C(α 2,β 1) + C(α 1, β 1) + C(α 1,β 2) - C(α 2,β 2) 2, γ = α 2β 1 + α 1β 1 + α 1β 2 - α 2β 2 2 (1.10-9) Ας θεωρήσουμε τώρα τέσσερις αριθμούς α 1, α 2, β 1 και β 2, όπου ο καθένας μπορεί λάβει μόνο τις τιμές +1 και ΕΚΔΟΗ 2.Α-0, Μαίου 2010. 163/622

1. Σότε είναι πολύ απλό να δειχθεί ότι η ποσότητα γ μπορεί να λάβει μόνο τις τιμές -2 ή +2. [Άσκηση 1.10-1: δείξτε το!]. Έτσι είναι επόμενο να ισχύει και το πιο γενικό της (1.10-9) αποτέλεσμα: -2 γ 2. Πειραματικά λοιπόν, κάνοντας πολλές μετρήσεις για κάθε διαμόρφωση, μπορούμε να καθορίσουμε τις τιμές των ποσοτήτων α 1β 1, α 1β 2, α 2β 1, α 2β 2 από όπου τελικά γ = α 2β 1 + α 1β 1 + α 1β 2 - α 2β 2. υγκρίνουμε το αποτέλεσμα με την ανισότητα BCHSH (1.10-3) και αποφασίζουμε εάν η ΚΜ είναι ρεαλιστική, ντετερμινιστική, και διαχωρίσιμη θεωρία, δηλαδή μη πλήρης (αφού θα πρέπει να έχει κρυφές μεταβλητές). Ας δούμε τώρα πως βλέπει τα πράγματα η ΚΜ. Σχήμα 1.32. Τα πειράματα του Alain Aspect και η κβαντομηχανική τους ανάλυση. Κατά την διαδικασία παραγωγής των δύο εκπεμπόμενων φωτονίων στο Π, ένα άτομο Calcium, μεταπίπτει από μία διεγερμένη κατάσταση συνολικής στροφορμής J=0, σε μία ενδιάμεση διεγερμένη με J=1 και με χρόνο ζωής περί τα 4,7ns, και τελικά στην θεμελιακή κατάσταση με J=0. Βεβαίως τις μεταπτώσεις τις κάνουν ηλεκτρόνια, και εκπέμπονται τα φωτόνια που μας απασχολούν. Οι ηλεκτρονικές δομές των καταστάσεων είναι, (πάντα έχουμε [Ar] για το μη-διεγερμένο τμήμα): Αρχική διεγερμένη J=0 κατάσταση: 1 S 0 με τα ηλεκτρόνια στη 4p 2, ενδιάμεση J=1 κατάσταση: 1 P 1 με τα ηλεκτρόνια στη 4s4p, τελική (θεμελιακή) J=0 κατάσταση: 1 S 0 με τα ηλεκτρόνια στη 4s 2. Με άλλα λόγια, η ΕΚΔΟΗ 2.Α-0, Μαίου 2010. 164/622

θεμελιακή κατάσταση είναι η [Ar]4s 2. Παράδειγμα 1.10-1: Σώρα, λίγο πιο αναλυτικά οι καταστάσεις (1.9-66) που είδαμε στη πιο πάνω παράγραφο. Η θεμελιακή έχει: l 1=l 2=0, άρα L=0. Επίσης το συνολικό σπιν S μπορεί να είναι μόνο 0 (τα ηλεκτρόνια είναι αντιπαράλληλα). Άρα, η μοναδική κατάσταση εκ των πιθανών 3 S 1 και 1 S 0 είναι η 1 S 0. Ο κανόνας επιλογής ΔS=0, θα απλοποιήσει στη συνέχεια το πλήθος των εναλλακτικών διαμορφώσεων. την ενδιάμεση έχουμε 4s 1 4p 1, οπότε έχει κανείς l 1=0, l 2=1, άρα L=1. Επίσης κατά αρχήν, το σπιν S μπορεί να είναι η 0 ή 1 (αφού τα δύο ηλεκτρόνια είναι σε διαφορετικά τροχιακά). Έτσι έχουμε εναλλακτικά τις: 3 P 2, 3 P 1, 3 P 0, και την 1 P 1. Λόγω του κανόνα επιλογής που αναφέραμε όμως, θα μείνει μόνο η τελευταία. τη διεγερμένη έχουμε 4p 1 x 4p 1 y άρα l 1=l 2=1, άρα L=0,1,2 (δηλαδή Φ S Τ, Φ P Τ, και Φ D Τ διαμορφώσεις). Μαζί με τη κατ αρχήν θέση ότι το σπιν S μπορεί να είναι η 0 ή 1, προκύπτουν 10 πιθανές διαμορφώσεις: 3 D 3, 3 D 2, 3 D 1, 1 D 2, 3 P 2, 3 P 1, 3 P 0, 1 P 1, 3 S 1, 1 S 0. Λόγω του κανόνα επιλογής, επιζούν μόνο οι τρεις διαμορφώσεις: 1 D 2, 1 P 1, 1 S 0. Σο πείραμα γίνεται με αποδιέγερση των 1 S 0 διαμορφώσεων. Σχήμα 1.33. Ο χρόνος ζωής της J=1 ενδιάμεσης κατάστασης είναι περί τα 4,7 ns. Η συνολική στροφορμή του ατόμου, J, είναι το διανυσματικό άθροισμα της γωνιακής στροφορμής L, και του συνολικού σπιν S των ηλεκτρονίων, το οποίο είναι μηδέν και παραμένει έτσι σε όλες τις διεργασίες (είναι πάντα αντιπαράλληλα τα δύο ηλεκτρόνια). Έτσι η στροφορμή που αλλάζει είναι η γωνιακή. Θυμόμαστε από το κεφάλαιο 1.4 την στροφορμή που κουβαλά ένα φωτόνιο: +1 (σε μονάδες h/ ) στην κατάσταση και -1 ΕΚΔΟΗ 2.Α-0, Μαίου 2010. 165/622

στην. Έτσι, πριν την μέτρηση, το ζεύγος μας, είναι η μη-διαχωρίσιμη (ή entangled 21 ) κατάσταση αποτελούμενη από γραμμικό συνδυασμό καταστάσεων δεξιόστροφων και αριστερόστροφων φωτονίων: Χ = 1 ( ) 2 a b + e iχ a b (1.10-10) Η φάση χ καθορίζεται από εσωτερικές ιδιότητες και συμμετρίες της πηγής (όπως για παράδειγμα τη μικρή χρονική καθυστέρηση μέχρι να γεννηθούν και τα δύο φωτόνια του ζεύγους κατά την αποδιέγερση του ατόμου) και μπορούμε να την θεωρούμε μηδέν, χ=0 (1.10-11) Παρατηρήστε ότι η κατάσταση και η Χ 1 = a b (1.10-12) Χ 2 = a b (1.10-13) είναι ιδιόμορφη κατάσταση με την έννοια ότι ο κάθε παράγοντας είναι διαφορετική κβαντική οντότητα. Κάθε παράγοντας αφορά διαφορετικό φωτόνιο, ο ένας το φωτόνιο a, ο άλλος το φωτόνιο b. Προτού προχωρήσουμε πρέπει να καταλάβουμε τι αναπαριστά η (1.10-10). Ουσιαστικά εφαρμόζει την αρχή της υπέρθεσης στις καταστάσεις Χ 1 και Χ 2. Οι καταστάσεις αυτές ανήκουν σε ένα τετραδιάστατο μιγαδικό διανυσματικό χώρο, αφού κάθε κατάσταση καθορίζει τα χαρακτηριστικά πόλωσης δύο φωτονίων. Ένα παράδοξο όμως που εμφανίζεται εδώ είναι ότι δεν υπάρχουν ανύσματα U, V αυτού του τετραδιάστατου χώρου τέτοια ώστε να μπορέσουμε να γράψουμε Χ = U V (δεν γίνεται) (1.10-14) 21 Η αγγλική λέξη entanglement είναι ελεύθερη μετάφραση του γερμανικού Verschränkung που εισήγαγε ο Schrödinger το 1935 για να περιγράψει τέτοιες καταστάσεις. Εμείς εδώ θα χρησιμοποιούμε την ελληνική έννοια της συνύφανσης, και θα ονομάζουμε συνυφασμένες τέτοιες καταστάσεις. Μια εξίσου ενδιαφέρουσα ελληνική παραλλαγή είναι και η έννοια αλληλόπλεξη. ΕΚΔΟΗ 2.Α-0, Μαίου 2010. 166/622

όπου το U να ανήκει αποκλειστικά στο χώρο του a, και το V στο χώρο του b. Δηλαδή, όταν τα a και b είναι στην κατάσταση (1.10-10), τότε κανένα εκ των δύο δεν βρίσκεται σε καλώς καθορισμένη κατάσταση, σαν αυτές που έχουμε συνηθίσει! Η (1.10-10) είναι μια συνυφασμένη κατάσταση. O υποψιασμένος αναγνώστης αναγνωρίζει μη-διαχωρισιμότητα (ή μη-τοπικότητα) στην συνύφανση! (Είναι πάντως προτιμότερο να μιλάμε, για την ώρα, για μη-διαχωρισιμότητα, και όχι για μη-τοπικότητα ώστε να μην εμπλέξουμε την θεωρία της ειδικής σχετικότητας. Πιθανές σχετικιστικές περιπλοκές τις αφήνουμε για το μέρος 6). Σχήμα 1.34. Ένα φαινόμενο της μη-γραμμικής οπτικής, το Non-linear type-ii down-conversion μπορεί να παραγάγει δύο κώνους φωτός σε σχετική μεταξύ τους κλίση [9]. O ένας κώνος αφορά φως με οριζόντια πόλωση και ο άλλος φως με κάθετη πόλωση. Έτσι, οι καταστάσεις στα πράσινα spots αφορούν καταστάσεις συνυφασμένης πόλωσης της μορφής: Ψ = 1 ( ) 2 1 2 + e iφ 1 2 όπου 1 είναι η μία (π.χ. αριστερή) και 2 η άλλη κουκίδα, και φ μία φάση που μπορεί να μηδενιστεί με κατάλληλη εισαγωγή κρυστάλλων στις πορείες των δεσμών, με μικρή αλλαγή δηλαδή του πειράματος. Επιπλέον με κατάλληλες εισαγωγές half-wave plates στις πορείες των δεσμών, είναι δυνατό να παραχθούν και οι άλλες δύο εκ των τεσσάρων καταστάσεων Bell, δηλαδή οι Ψ = 1 2 ( ) 1 2 1 2. Σο άνυσμα Χ, είτε ως (1.10-10) είτε ως (1.10-16) (βλέπε παρακάτω), δεν περιγράφει κατάσταση με ξεχωριστές μονό-φωτονικές ιδιότητες. Σέτοιες καταστάσεις θα ήταν οι Χ 1 και Χ 2. Η Χ περιγράφει μία νέα οντότητα ένα μη-διαχωρίσιμο σύνολο, μια μονή (και όχι διπλή) οντότητα της οποίας τα συστατικά δεν είναι ορισμένα μέχρι κάποια μέτρηση να συμβεί και να ξεκαθαρίσει τα πράγματα. Κάποιες παράξενες ιδιότητες της Χ : ΕΚΔΟΗ 2.Α-0, Μαίου 2010. 167/622

Χ a Χ = Χ 1 2 ( a ) a b + a a b = 0 (1.10-15α) Χ b Χ = Χ 1 2 ( ) a b b + a b b = 0 (1.10-15β) Χ a b Χ = Χ 1 2 ( a ) a b b + a a b b = -1 (1.10-15γ) [Άσκηση 1.10-2: συμπληρώστε τα τελευταία βήματα πριν το αποτέλεσμα.] Γυρνάμε στην (1.10-10), εισάγουμε τις ποσότητες a, a, b, b, και λαμβάνουμε μετά από λίγες πράξεις Χ = 1 2 ( ) a b + a b (1.10-16) [Άσκηση 1.10-3: δείξτε το!] Σημείωση: Οι καταστάσεις Χ = 1 2 ( ) a b a b είναι αναλλοίωτες υπό στροφές περί τον z-άξονα. Η Χ + είναι άρτια και η Χ - είναι περιττή. Επειδή η ηλετρομαγνητική αλληλεπίδραση διατηρεί την parity η τελική κατάσταση των δύο φωτονίων μπορεί να είναι μόνο η Χ + αν τα φωτόνια προέρχονται από μια διεργασία σαν αυτή του σχήματος 1.33, [19]. Έτσι δικαιώνεται η επιλογή χ=0 στην (1.10-11). Τλοποιούμε τώρα τις στρέψεις των συστημάτων αναφοράς του σχήματος. Μία στρέψη (1.3-6) για κάθε αναλυτή (βλέπε σχήμα 1.32): φ Α φ Α+π/2 = (φ Α) a a (1.10-17) ΕΚΔΟΗ 2.Α-0, Μαίου 2010. 168/622

φ Β φ Β+π/ 2 = (φ Β) b b (1.10-18) από όπου λαμβάνουμε, αντιστρέφοντας, τις σχέσεις: a = cos φ Α φ Α - sin φ Α φ Α +π/2 (1.10-19) a = sin φ Α φ Α + cos φ Α φ Α +π/2 (1.10-20) b = cos φ B φ B - sin φ B φ B +π/2 (1.10-21) b = sin φ B φ B + cos φ B φ B +π/2 (1.10-22) Έτσι, η κατάσταση του συστήματος καθώς οδεύει προς μέτρηση, μπορεί να γραφεί: Χ = 1 2 ( (cos φ Α φ Α - sin φ Α φ Α +π/2 ) (cos φ B φ B - sin φ B φ B +π/2 ) + + (sin φ Α φ Α + cos φ Α φ Α +π/2 ) (sin φ B φ B + cos φ B φ B +π/2 ) ) = = 1 2 (cosφ Α cosφ B φ Α φ B - cosφ Α sinφ B φ Α φ B +π/2 - sinφ Α cosφ B φ Α +π/2 φ B + sinφ Α sinφ B φ Α +π/2 φ B +π/2 + sinφ Α sinφ B φ Α φ B + sinφ Α cosφ B φ Α φ B +π/2 + cosφ Α sinφ B φ Α +π/2 φ B + cosφ Α cosφ B φ Α +π/2 φ B +π/2 ) = 1 2 ( cos(φ Α -φ B ) φ Α φ B + + sin(φ Α -φ B ) φ Α φ B +π/2 + + sin(φ B -φ A ) φ Α +π/2 φ B + + cos(φ Α -φ B ) φ Α +π/2 φ B +π/2 ) (1.10-23) Για να κατανοήσουμε πληρέστερα τι μας λέει η (1.10-23) μπορούμε να δούμε τα επιμέρους πλάτη πιθανότητας και τις επιμέρους πιθανότητες. Σο πλάτος πιθανότητας το φωτόνιο a να είναι πολωμένο ως φ Α και το b ως φ Β είναι ίσο με ( φ Α φ B ) Χ. Εάν, επίσης, γράφουμε +1 όποτε έχουμε ένα φωτόνιο στην κατάσταση φ Φ και -1 όποτε έχουμε ένα φωτόνιο στην κατάσταση φ Φ +π/2, όπου Φ = Α ή Β, και γράφουμε P αβ p 12 (α,β) για την πιθανότητα μέτρησης με αποτέλεσμα α στον Α μετρητή και αποτέλεσμα β ΕΚΔΟΗ 2.Α-0, Μαίου 2010. 169/622

στον Β μετρητή, τότε, πχ P ++ είναι η πιθανότητα που προκύπτει από το πλάτος πιθανότητας ( φ Α φ B ) Χ, και επίσης αβ=+1, ενώ, πχ, P -+ αυτή που προκύπτει από το πλάτος πιθανότητας ( φ Α +π/2 φ B ) Χ και αβ=-1. Σελικά: ( φ Α φ B ) Χ = 1 2 cos(φ Β -φ Α ) και P + + = 1 2 cos2 (φ Β -φ Α ) (1.10-24) ( φ Α φ B +π/2 ) Χ = -1 2 sin(φ Β -φ Α ) και P + - = 1 2 sin2 (φ Β -φ Α ) (1.10-25) ( φ Α +π/2 φ B ) Χ = 1 2 sin(φ B -φ A ) και P - + = 1 2 sin2 (φ Β -φ Α ) (1.10-26) ( φ Α +π/2 φ B +π/2 ) Χ = 1 2 cos(φ Β -φ Α ) και P - - = 1 2 cos2 (φ Β -φ Α ) (1.10-27) Έτσι, η μέση τιμή του γινομένου αβ, των μετρήσεων α, β, στους μετρητές Α και Β είναι: αβ AB = (+1)P+ + +(-1)P+ - +(-1)P- + + (+1)P- - από όπου, τελικά αβ AB = cos2 (φ Β-φ Α) - sin 2 (φ Β-φ Α) αβ AB = cos[2(φ Β-φ Α)] (1.10-28) [Άσκηση 1.10-4: Μπορούμε να φτάσουμε στην (1.10-28) και με ένα εναλλακτικό τρόπο. Ξεκινάμε και πάλι από την σχέση (1.10-16), αλλά δεν πάμε πρώτα σε ΦΤ-αναπαράσταση και μετά στις στροφές, αλλά κάνουμε πρώτα τις στροφές, και μετά τη ΦΤ-αναπαράσταση. Φρησιμοποιούμε και τις ιδιότητες των ιδιοανυσμάτων της μήτρας στροφής.] Γυρίζουμε τώρα στο πείραμα του Aspect. Για τις ειδικές διαμορφώσεις σχετικής γωνίας μεταξύ των μετρητών Α και Β που έχει επιλέξει, έχουμε: α 1 β 1 = αβ A1 B 1 = cos[2(φ B1 -φ A1 )] = cos 2θ (1.10-29) α 1 β 2 = αβ A1 B 2 = cos[2(φ B2 -φ A1 )] = cos 2θ (1.10-30) α 2 β 1 = αβ A2 B 1 = cos[2(φ B1 -φ A2 )] = cos 2θ (1.10-31) α 2 β 2 = αβ A2 B 2 = cos[2(φ B2 -φ A2 )] = cos 6θ (1.10-32) ΕΚΔΟΗ 2.Α-0, Μαίου 2010. 170/622

Έτσι, γ = α 1 β 1 + α 1 β 2 + α 2 β 1 - α 2 β 2 δηλαδή γ = 3 cos 2θ - cos 6θ (1.10-33) Σχήμα 1.35. Η καμπύλη (1.10-33). Η ανισότητα B-CHSH λέει ότι -2 γ 2 Τπάρχει ξεκάθαρη παραβίαση της ανισότητας. Το πείραμα είναι απόλυτα συμβατό με την καμπύλη του σχήματος 1.35. Στις 22.5 μοίρες, έχουμε τη πειραματική τιμή γ = 2,700 0,015. Ξεκάθαρα πολύ μεγαλύτερη του 2. Επιπλέον, όλες οι μετρήσεις του Aspect πέφτουν με μεγάλη ακρίβεια πάνω στην θεωρητική καμπύλη. Είναι ξεκάθαρο ότι ένα πραγματικό πείραμα συνηγορεί υπέρ της Κβαντικής μηχανικής και όχι υπέρ της προσέγγισης του Einstein. (Π.Δ.5) Ο Peres ([19], σελ 160-162), σε μια εξαιρετικά παιδαγωγική προσέγγιση συγκρίνει τα εξαγόμενα μιας κλασσικής συζήτησης περί συσχετίσεων με αυτά μιας κβαντικής, πάντα στο πλαίσιο ενός B-EPR πειράματος, και δείχνει ότι, τελικά, η κβαντική μηχανική εισάγει, εν γένει, περισσότερες συσχετίσεις «στα πράγματα» από ότι ισοδύναμα κλασσικά πειράματα. Η κβαντική μηχανική, δεν εμπεριέχει ενδογενώς περισσότερη ΕΚΔΟΗ 2.Α-0, Μαίου 2010. 171/622

αβεβαιότητα από ότι η κλασσική μηχανική. Θα δούμε μάλιστα στο κεφάλαιο 4.15, την λεγόμενη «κβαντική καταστολή του κλασσικού χαους» μελετώντας κατάλληλα ημικλασσικά όρια. Σο θέμα για μένα, στο οντολογικό επίπεδο θεωρείται λήξαν 22. Η συνύφανση κβαντικών καταστάσεων είναι παρούσα, και καλά κατανοητή. Σα παράδοξα υποχωρούν μόλις συνειδητοποιήσουμε ότι «η κυματοσυνάρτηση δεν είναι παρά μια περιγραφή του πληροφοριακού περιεχομένου μιας κατάστασης και ΟΧΙ η ίδια η φυσική κατάσταση». υνύφανση θα χρησιμοποιήσουμε κατά κόρον από το μέρος 4 και πέρα. Η συνύφανση θα θεωρείται άνετα πληροφοριακός και υπολογιστικός πόρος. ε τέτοιο βαθμό μάλιστα που θα δείτε ότι, η πιο πρόσφατη και αρκετά επαναστατική προσέγγιση στη κβαντική υπολογιστική (που είναι και το θέμα του μέρους 5), βασίζεται πλήρως σε καταστάσεις υπέρ-υψηλής συνύφανσης, τις cluster states, πάρα πολλών μικροσυστημάτων. Για να καταλάβουμε όμως τις τελευταίες προτάσεις σε όλες τους τις διαστάσεις είμαστε υποχρεωμένοι να παρεμβάλουμε δύο πολύ όμορφα κλασσικά μέρη, τα μέρη 2 και 3. Πριν από αυτό όμως, μια επιτομή περί όσων είπαμε για την συνύφανση. [Άσκηση 1.10-5: Γράφοντας την κατάσταση Χ = 1 2 ( ) a b + a b, στην κεκλιμμένη βάση των σχέσεων (1.2-43): { +a +b, +a b, a +b, a b }, βρείτε τα P + +, P + -, P - +, P - -.] 22 Για να είμαστε πλήρως ειλικρινείς, τα πράγματα δεν είναι τόσο απλά. το μέρος 6, όπου η σχετικότητα θα συζητηθεί διεξοδικά σε σχέση με τη κβαντική πληροφορία, θα δείξουμε ότι η συνύφανση, ποσοτικοποιημένη με τον κατάλληλο τρόπο, δεν είναι αναλλοίωτη κάτω από μετασχηματισμούς Lorentz. Αυτό επανατοποθετεί όλο το ζήτημα επί νέου τάπητα, και πρέπει να ομολογήσουμε ότι ο νέος αυτός τάπητας, στα μέσα του 2006, δεν έχει υφανθεί ακόμη! ΕΚΔΟΗ 2.Α-0, Μαίου 2010. 172/622

Κεφάλαιο 1.11 Η συνύφανση Η κβαντική συνύφανση είναι ένα μυστηριώδες φαινόμενο, από τα πιο μυστηριώδη κβαντικά μυστήρια και πολύ κοντά στην απόλυτη «μυστηριότητα» της κβαντικής φυσικής, αν μπορεί κανείς να γράψει αυτούς τους βερμπαλισμούς. Παρόλο που τα προς αριστερά κινούμενα φωτόνια του Aspect δεν βρίσκονται σε «επικοινωνία» με τα προς δεξιά κινούμενα, στη λογική ότι δεν μπορούν να στείλουν στιγμιαία μηνύματα το ένα στο άλλο, παρά ταύτα, είναι συνυφασμένα αφού δεν μπορούν να θεωρηθούν αυτόνομα αντικείμενα. Επιπλέον, η συνύφανση δεν φθίνει με την απόσταση. Η συνύφανση βρίσκεται κάπου μεταξύ της πλήρους επικοινωνίας και του πλήρους διαχωρισμού, και δεν έχει κανένα κλασσικό ανάλογο. Με απλά λόγια, η συνύφανση είναι η εφαρμογή της υπέρθεσης σε ένα σύνθετο σύστημα (πολυτμηματικό) που αποτελείται από δύο ή περισσότερα υποσυστήματα (τμήματα). Έστω ότι το σύστημα 1 μπορεί να είναι σε μία εκ των καταστάσεων Α, Γ, και ότι αυτές οι καταστάσεις αφορούν αμοιβαία αποκλειόμενες ιδιότητες, (όπως για παράδειγμα αν θα αφορούσαν διαφορετική χωρική θέση). Έστω ότι το σύστημα 2 μπορεί να είναι σε μία εκ των καταστάσεων Β, Δ, και ότι αυτές οι καταστάσεις αφορούν επίσης αμοιβαία αποκλειόμενες ιδιότητες. Όταν το συνολικό σύστημα είναι στη κατάσταση ΑΒ, ξέρουμε ότι το 1 είναι στην Α και ότι το 2 είναι στη Β. Όμοια και για την κατάσταση ΓΔ. την κατάσταση υπέρθεσης όμως ΑΒ+ΓΔ, που είναι μια συνυφασμένη κατάσταση, δεν έχουμε κανένα τρόπο να προσδώσουμε ιδιότητες στο υποσύστημα 1 ή στο 2. Πρέπει να μιλάμε για όλο το σύστημα πάντα, διότι δεν υπάρχει τρόπος να χαρακτηρίσουμε το ένα υποσύστημα χωρίς να αναφερθούμε στο άλλο. Έστω Q 1, Q 2,, Q n, κβαντικά συστήματα με αντίστοιχους χώρους Hilbert H 1, H 2,, H n. Σο ολικό κβαντικό σύστημα Q, που αποτελείται από τα Q 1, Q 2,, Q n, λέγεται ότι είναι συνυφασμένο αν η κατάστασή του Χ H = n H k (1.11-34) k=1 δεν μπορεί να γραφεί ως Χ = n Χ k με Χ k H k (1.11-35) k=1 ΕΚΔΟΗ 2.Α-0, Μαίου 2010. 173/622

Ετσι, για παράδειγμα, η κατάσταση δύο υποσυστημάτων Q BELL = 1 2 ( 00 + 11 ) (1.11-36) ή η κατάσταση τριών υποσυστημάτων Q GHZ = 1 2 ( 000 + 111 ) (1.11-37) είναι συνυφασμένες καταστάσεις (όπου δεν έχουμε γράψει για συντομία το σύμβολο του τανυστικού πολλαπλασιασμού καταστάσεων, και όπου, το κάθε υποσύστημα μπορεί να είναι σε μία εκ των καταστάσεων { 0, 1 } χωρίς να μας απασχολεί για την ουσία της συζήτησης της συνύφανσης σε ποια φυσική ιδιότητα αναφέρονται, ποιους κβαντικούς αριθμούς δηλαδή αντιπροσωπεύουν, οι ετικέτες). τα πλαίσια του φορμαλισμού με μήτρες πυκνότητας, ένα καθαρό σύστημα (μη-μικτό ensemble) θα είναι συνυφασμένο αν δεν μπορεί να γραφεί ως = n k=1 k (1.11-38) [Άσκηση 1.11-1: Είναι άραγε δυνατό να γράψουμε με διαφορετικό τρόπο την εξίσωση Schrödinger (1.7-13) στην αναπαράσταση θέσης r, ώστε εφαρμοζόμενη σε σύστημα δυο υποσυστημάτων, να αναδειχθεί ξεκάθαρα η διάσταση της μη-τοπικότητας της κβαντικής φυσικής;] ΕΚΔΟΗ 2.Α-0, Μαίου 2010. 174/622