Μερικές ιαφορικές Εξισώσεις

Μερικές ιαφορικές Εξισώσεις Ζούπας Ανδρέας, Τµήµα Μηχανολόγων Μηχανικών, Πολυτεχνική Σχολή, Πανεπιστήµιο Θεσσαλίας, Λεωφόρος Αθηνών, Πεδίο Άρεως, Βόλος 38334 18 Ιουνίου 16

Περιεχόµενα 1 Εισαγωγή. 1.1 Γενικές Παρατηρήσεις.................................... 1. Βασικοί Ορισµοί....................................... Εξισώσεις της Μαθηµατικής Φυσικής. 3.1 Μαθηµατική Μοντελοποίηση................................ 3 3 ιαφορικές Εξισώσεις Πρώτης Τάξεως. 4 3.1 Εισαγωγή.......................................... 4 4 Ταξινόµηση ιαφορικών Εξισώσεων εύτερης Τάξεως. 6 4.1 Εισαγωγή.......................................... 6 4. Η κυµατική Εξίσωση και η Εξίσωση ιάχυσης....................... 6 4..1 Η κυµατική Εξίσωση................................. 6 4.. Η Εξισωση ιάχυσης................................. 7 5 Προβλήµατα Αρχικών Τιµών. 9 5.1 Εισαγωγή.......................................... 9 5. Το ΠΑΤ της Κυµατικής Εξίσωσης.............................. 9 5..1 Η Οµογενής Κυµατική Εξίσωση........................... 1 5..1.i Ερµηνεία Λύσης, Χωρίο Εξάρτησης, Πεδίο Επιρροής.......... 1 5..1.ii Ενέργεια.................................. 17 5.. Η Μη-Οµογενής Κυµατική Εξίσωση......................... 19 5.3 Το ΠΑΤ της Εξίσωσης ιάχυσης............................... 3 5.3.1 Η Οµογενής Εξίσωση ιάχυσης........................... 3 5.3.1.i Ενέργεια................................... 37 5.3. Η Μη-Οµογενής Εξίσωση ιάχυσης......................... 37 5.3..i Η αρχή του Duhamel............................ 38 6 Προβλήµατα Αρχικών-Συνοριακών Τιµών και Προβλήµατα Συνοριακών Τιµών, Μεθοδος Χωρισµού Μεταβλητών. 47 6.1 Εισαγωγή.......................................... 47 6. Προβλήµατα Αρχικών-Συνοριακών Τιµών.......................... 49 6..1 Η Εξίσωση ιάδοσης Θερµότητας.......................... 49 6..1.i Dirichlet ΣΣ................................ 49 6..1.ii Neumann ΣΣ............................... 58 6..1.iii Περιοδικές ΣΣ.............................. 64 6..1.iv Η Αρχή του Μεγίστου............................ 7 6.. Κυµατική Εξίσωση.................................. 7 6...i Dirichlet ΣΣ................................ 7 6...ii Neumann ΣΣ................................ 74 ii

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ iii 6...iii Περιοδικές ΣΣ............................... 76 6.3 Προβλήµατα Συνοριακών Τιµών............................... 76 6.3.1 Εξίσωση aplace................................... 76 6.3.1.i Το Πρόβληµα Dirichlet........................... 77 6.4 Μέθοδος Χωρισµού Μεταβλητών-Προβλήµατα Ιδιοτιµών-Γενική Συµπεριφορά...... 89 7 Σειρές Fourier 91 7.1 Σειρές Fourier........................................ 9 7.1.1 Ηµιτονικές, Συνηµιτονικές, και Πλήρεις Σειρές Fourier.............. 9 7. Η Σειρά Fourier µιας Περιοδικής Συνάρτησης....................... 94 7..1 Περιοδικές Συναρτήσεις............................... 94 7.. Άρτιες και Περιττές Συναρτήσεις.......................... 95 7..3 Πλήρεις Σειρές, Περιττότητα και Αρτιότητα..................... 96 7..3.i Η Σειρά Fourier Μίας Περιττής Συνάρτησης................ 96 7..3.ii Η Σειρά Fourier Μίας Άρτιας Συνάρτησης................. 97 7.3 Θεωρήµατα Σύγκλισης................................... 1 7.3.1 Είδη Σύγκλισης Σειρών............................... 1 7.3. Το Θεώρηµα Σύγκλισης............................... 14 7.3.3 Παράγωγοι και Ολοκληρώµατα Σειρών Fourier................... 17 7.3.3.i Παράγωγος Σειράς Fourier......................... 17 7.3.3.ii Ολοκλήρωµα Σειράς Fourier........................ 11 7.4 Σειρές Fourier σε ιαστήµατα................................ 111 7.4.1 Περιοδικές Επεκτάσεις Συναρτήσεων........................ 111 7.4. Οι Σειρές Fourier των Περιοδικών Επεκτάσεων................... 113 7.4..i Η σειρά Fourier της Περιοδικής Επέκτασης................ 113 7.4..ii Η Σειρά Fourier της Άρτιας Περιοδικής Επέκτασης............ 113 7.4..iii Η Σειρά Fourier της Περιττής Περιοδικής Επέκτασης........... 113 7.4..iv Συνηµιτονικές και Ηµιτονικές Σειρές Fourier............... 113 7.4..v Το Θεώρηµα Σύγκλισης........................... 114 7.4..vi Σχεδίαση Σειρών Fourier.......................... 115 7.4.3 Η Συνέχεια της Σειράς Fourier............................ 119 7.4.4 Παραγώγιση Σειρών Fourier σε ιαστήµατα..................... 1 7.4.5 Ολοκλήρωση Σειράς Fourier............................. 1 7.4.6 Το ϕαινόµενο Gibbs................................. 1 7.5 Μέθοδος Χωρισµού Μεταβλητών και Γενικευµένες Σειρές Fourier............. 1 7.5.1 Ορθογωνιότητα και ΣΣ............................... 14 7.5. Σύγκλιση Γενικευµένων Σειρών Fourier....................... 13 8 Μη-Οµογενή Προβλήµατα, Μέθοδος Αναπτύγµατος Σε Ιδιοσυναρτήσεις. 131 8.1 Εισαγωγή.......................................... 131 8. Μη-Οµογενείς ΣΣ...................................... 13 8.3 Μη-Οµογενείς Μ Ε-Οµογενοποίηση ΣΣ.......................... 134 8.4 Μέθοδος Αναπτύγµατος σε Ιδιοσυναρτήσεις........................ 137 8.4.1 Γενίκευση Μεθόδου Αναπτύγµατος Σε Ιδιοσυναρτήσεις............... 143 9 Θεωρία Sturm-iouville. 153 9.1 Εισαγωγή.......................................... 153 9. Μη-Οµογενείς ΣΣ...................................... 153 9.3 Μη-Οµογενείς Μ Ε.................................... 153 9.4 Τι να δω Γενικά....................................... 153 1 Παράρτηµα 154 1.1Πίνακες Τριγωνοµετρικών Συναρτήσεων.......................... 154 Εκδοση : 18 Ιουνίου 16

iv ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Εκδοση : 18 Ιουνίου 16

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 Προβλήµατα Αρχικών-Συνοριακών Τιµών και Προβλήµατα Συνοριακών Τιµών, Μεθοδος Χωρισµού Μεταβλητών. ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 6.1 Εισαγωγή......................................... 47 6. Προβλήµατα Αρχικών-Συνοριακών Τιµών......................... 49 6..1 Η Εξίσωση ιάδοσης Θερµότητας......................... 49 6..1.i Dirichlet ΣΣ............................... 49 6..1.ii Neumann ΣΣ.............................. 58 6..1.iii Περιοδικές ΣΣ............................. 64 6..1.iv Η Αρχή του Μεγίστου........................... 7 6.. Κυµατική Εξίσωση................................. 7 6...i Dirichlet ΣΣ............................... 7 6...ii Neumann ΣΣ............................... 74 6...iii Περιοδικές ΣΣ.............................. 76 6.3 Προβλήµατα Συνοριακών Τιµών.............................. 76 6.3.1 Εξίσωση aplace.................................. 76 6.3.1.i Το Πρόβληµα Dirichlet.......................... 77 6.4 Μέθοδος Χωρισµού Μεταβλητών-Προβλήµατα Ιδιοτιµών-Γενική Συµπεριφορά..... 89 6.1 Εισαγωγή. Η µέθοδος που ϑα παρουσιάσουµε εδώ οφείλεται στον Fourier ο οποίος πρώτος την εφήρµοσε για να επιλύσει την εξίσωση διάδοσης ϑερµότητας. Σηµειώνουµε δε, ότι ο Fourier όχι µόνο επέλυσε την εξίσωση αλλά είταν και αυτός ο οποίος διατύπωσε τη ϐασική ϑεωρία για τη ϑερµική ϱοή. Η µέθοδος λύσης του, οδήγησε τον Fourier να προτείνει την τολµηρή για την εποχή του ιδέα ότι οποιαδήποτε πραγµατική συνάρτηση ορισµένη σε ένα κλειστό διάστηµα µπορεί να αναπαρασταθεί ως µία σειρά τριγωνοµετρικών συναρτήσεων. Η µέθοδος του Fourier στηρίζεται στην τεχνική η οποία είναι σήµε- ϱα γνωστή ως Μέθοδος Χωριζοµένων Μεταβλητών(ΜΧΜ) και ϐρίσκει εφαρµογή σε πολλά άλλα γραµµικά προβλήµατα εκτός της εξίσωσης διάδοσης ϑερµότητας. 47

Κεφάλαιο 6. Προβλήµατα Αρχικών-Συνοριακών Τιµών και Προβλήµατα Συνοριακών Τιµών, Μεθοδος 48 Χωρισµού Μεταβλητών. Σε ότι ακολουθεί ϑα λυθούν κλασσικά Προβλήµατα ϑεωρώντας ότι το ϕυσικό σύστηµα που περιγράφει η Μ Ε έχει πεπερασµένες χωρικές διαστάσεις, άρα σύµφωνα µε ότι έχουµε δει χρειάζεται και η επιβολή Συνοριακών Συνθηκών. Θα µελετήσουµε, λοιπόν, προβλήµατα α) Αρχικών-Συνοριακών Τιµών (ΠΑ-ΣΤ) και ϐ) Συνοριακών Τιµών (ΠΣΤ) για Μ Ε δύο µεταβλητών και σε Καρτεσιανές Συντεταγµένες. Για την ακρίβεια, ϑα µελετήσουµε την Εξίσωση ιάδοσης Θερµότητας (επί της ουσίας, την Εξίσωση ιάχυσης (Εξ..) ), την Κυµατική Εξίσωση(Κ.Εξ.) και την Εξίσωση aplace(εξ..) για διάφορα είδη Συνοριακών Συνθηκών(ΣΣ). Συνθήκες Εφαρµογής της Μεθόδου ΜΧΜ: Η µέθοδος αυτή εφαρµόζεται αποκλειστικά και µόνο σε Γραµµικές Μ Ε και µία πρώτη απαίτηση που έχουµε για να είναι εφαρµόσιµη η µέθοδος, είναι η εξής : η Μ Ε να είναι οµογενής και οι (ΣΣ) να είναι Γραµµικές Οµογενείς. Αν συµβολίσουµε την άγνωστη συνάρτηση µε u(x, t) και ϑεωρήσουµε ότι a < x < b, τότε η πιο γενική µορφή, γραµµικών οµογενών ΣΣ, για Μ Ε δεύτερης τάξης είναι η εξής : a 1 u(a, t) + b 1 u(b, t) + γ 1 u x (a, t) + δ 1 u x (b, t) = και a u(a, t) + b u(b, t) + γ u x (a, t) + δ u x (b, t) = (6.1.1) Σε ότι ακολουθεί, ϑα ασχοληθούµε µε ΣΣ Dirichlet, Neumann, και περιοδικές. Τις περιοδικές ΣΣ τις παρουσιάζουµε πρώτη ϕορά και είναι της µορφής, u(a, t) = u(b, t) u x (a, t) = u x (b, t) Είναι εύκολο να διαπιστωθεί ότι και οι τρεις κατηγορίες ΣΣ µε τις οποίες ϑα ασχοληθούµε αποτελούν ειδικές περιπτώσεις των Γραµµικών Οµογενών ΣΣ για διάφορες τιµές των συντελεστών τους. Π.χ., οι συνθήκες Neumann προκύπτουν για τις τιµές a 1 = b 1 = δ 1 = και a = b = γ 1 =. Η επιλογή αυτών των ΣΣ, έγινε µε ϐάση το ότι οδηγούν σε λύσεις οι οποίες δίνονται ως κλασσικές σειρές Fourier και οι οποίες αποτελούν το κλασσικότερο και απλούστερο ίσως παράδειγµα της εξαιρετικά σηµαντικής ϑεωρίας Sturm-iouville µε την οποία ϑα σχοληθούµε στο κεφάλαιο (9). Ακριβώς επειδή οι ΣΣ Robin µπορεί να οδηγήσουν και σε λύσεις οι οποίες δεν έίναι πάντοτε καλσσικές σειρές Fourier για αυτό το λόγο κρίθηκε σκόπιµο η εξαιρετικά ενδιαφέρουσα µελέτη τους να αναβληθεί µέχρι το κεφάλαιο (9), όπου πιστεύεται πως αρµόζει. Τις γενικές συνθήκες που απαιτούνται για την εφαρµογή της (ΜΧΜ) ϑα τις διατυπώσουµε εκ των υστέρων. Βασική Ιδέα. Σαν πρώτο ϐήµα ψάχνουµε λύσεις της οµογενούς Μ Ε της µορφής u(x, t) = X(x)T (t) οι οποίες ϑα πρέπει να ικανοποιούν και επιπλέον Αρχικές και Συνοριακές Συνθήκες. Με αυτό τον τρόπο καταλήγουµε σε Συνήθεις ιαφορικές Εξισώσεις (Σ Ε). Στη συνέχεια γενικεύουµε την αρχή της επαλληλίας έτσι ώστε από τις χωριζόµενες λύσεις να προκύψει η γενική λύση της οµογενούς Μ Ε σε µορφή άπειρης σειράς γινοµένων των χωριζοµένων λύσεων. Τα προβλήµατα που ϑα µας απασχολήσουν για την Εξίσωση ιάδοσης Θερµότητας και την Κυµατική Εξίσωση ϑα είναι Προβλήµατα Αρχικών-Συνοριακών Τιµών, ενώ για την εξίσωση aplace ϑα είναι µόνο Προβλήµατα Συνοριακών Τιµών. Στη µελέτη που ακολουθεί δεν ϑα ασχοληθούµε µε ερωτήµατα σχετικά µε τη µοναδικότητα των λύσεων. Αυτή ϑα ϑεωρείται δεδοµένη και σχόλιο ϑα γίνει µόνο αν κάτι πρέπει να προσεχθεί περισσότερο. Το κεφάλαιο αυτό έχει επηρεαστεί από τους (Pinchover, Yehuda, Jacob Rubinstein, 5),(Haberman, Richard, 4),(Snider, Arthur David, 1999),(Powers, David., 6). Εκδοση : 18 Ιουνίου 16

6.. Προβλήµατα Αρχικών-Συνοριακών Τιµών. 49 6. Προβλήµατα Αρχικών-Συνοριακών Τιµών. Για ιστορικούς καθαρά λόγους ξεκινούµε µε την Εξ..και η µελέτη της ενότητας (6..1.i) είναι ιδιαιτέρως σηµαντική διότι µε αυτή παρουσιάζουµε επί της ουσίας τη Μέθοδο Χωρισµού Μεταβλητών. 6..1 Η Εξίσωση ιάδοσης Θερµότητας. Θα λύσουµε την εξίσωση διάδοσης ϑερµότητας για τα εξής είδη ΣΣ: Dirichlet, Neumannκαι Περιοδικών. Η ενότητα αυτή είναι επηρεασµένη από την αντίστοιχη ενότητα των Pinchover, Yehuda, Jacob Rubinstein, 5. Ξεκινούµε µε τις ΣΣ Dirichlet 6..1.i Dirichlet ΣΣ Το Ϲητούµενο είναι να λυθεί το ΠΑ-ΣΤ: u t k u =, x < x <, t > (6..1) u(, t) = u(, t) =, t (ΣΣ) (6..) u(x, ) = f(x), x (ΑΣ) (6..3) το οποίο εκφράζει την µετάδοση ϑερµότητας σε µία διάσταση και σε πεπερασµένο χωρικό διάστηµα µήκους. Η ϕυσική του ερµηνεία είναι ότι περιγράφει τη µετάδοση ϑερµότητας σε µία ϱάβδο µήκους της οποίας τα άκρα είναι σε επαφή µε (άπειρες)θερµικές δεξαµενές ϑερµοκρασίας µηδέν. Για να µπορεί αυτό το πρόβληµα να έχει λύση είναι αναγκαίο να ισχύει f() = f() = διότι η αρχική συνθήκη πρέπει να ικανοποιεί και τις συνοριακές συνθήκες. Σχηµατικά αυτό το ΠΑ-ΣΤ µπορεί να παρασταθεί όπως ϕαίνεται στο σχήµα που (6.1) ακολουθεί. Σχήµα 6.1: Το ΠΑ-ΣΤ για την Εξίσωση ιάχυσης µε ΣΣ Dirichlet. Ξεκινούµε απαιτώντας οι λύσεις να είναι της µορφής u(x, t) = X(x)T (t) (6..4) όπου οι X και T είναι συναρτήσεις των µεταβλητών x και t αντίστοιχα. Μία προφανής λύση της οµογενούς εξίσωσης είναι η µηδενική λύση u(x, t) = αλλά αυτή δεν µας ενδιαφέρει δεδοµένου ότι δεν µπορεί να ικανοποιεί την αρχική συνθήκη αν f(x), για < x <. Άρα, µας ενδιαφέρουν συναρτήσεις X και T οι οποίες δε µηδενίζονται ταυτοτικά. Εκδοση : 18 Ιουνίου 16

Κεφάλαιο 6. Προβλήµατα Αρχικών-Συνοριακών Τιµών και Προβλήµατα Συνοριακών Τιµών, Μεθοδος 5 Χωρισµού Μεταβλητών. Αντικαθιστούµε τη χωριζόµενη µορφή για την u στην εξίσωση (6..1) και παραγωγίζοντας µία ϕορά ως προς την t και δύο ϕορές ως προς την x προκύπτει XT t kx xx T = XT t = kx xx T. το επόµενο ϐήµα είναι απλό αλλά εξαιρετικής σηµασίας, διότι χωρίζουµε τις µεταβλητές. Φέρνουµε στο ένα µέλος της εξίσωσης όλες τις συναρτήσεις που εξαρτώνται µόνο από την t και στο άλλο όλες τις συναρτήσεις που εξαρτώνται µόνο από την x, οπότε προκύπτει η ισότητα T t kt = X xx X (6..5) στην οποία έχουµε δύο εκφράσεις ίσες µεταξύ τους αλλά η µία εξαρτάται από τη µεταβλητή t µόνο και η άλλη εξαρτάται από τη µεταβλητή x µόνο. εδοµένου ότι οι x και t είναι ανεξάρτητες µεταξύ τους δεν µπορεί παρά να υπάρχει µία σταθερά λ, την οποία ονοµάζουµε και σταθερά χωρισµού έτσι ώστε να ισχύει ότι T t kt = X xx X = λ (6..6) το ότι και τα δύο µέλη πρέπει να είναι σταθερά προκύπτει πολύ εύκολα αν για παράδειγµα παραγωγίσουµε και τις δύο εκφρασεις µε τη µεταβλητή t οπότε ) ) t ( Xxx X = t ( Tt kt = T t kt = σταθ. Προσοχή. Τονίζουµε εδώ ότι στη ϐιβλιογραφία µπορεί να δείτε τη χρήση διαφορετικού προσήµου στο δεξί µέλος της (6..6). Αυτό είναι καθαρά ϑέµα σύµβασης και δεν αλλάζει σε τίποτε την ουσία της µεθόδου. Η εξίσωση (6..6) οδηγεί στο εξής σύστηµα Σ Ε d X = λx, dx < x < (6..7) dt = λkt, dt t > (6..8) οι οποίες συνδέονται µεταξύ τους µόνο µέσω της σταθεράς χωρισµού λ. Πρόβληµα Ιδιοτιµών. Για να ικανοποιεί η άγνωστη συνάρτηση u τις ΣΣ ϑα πρέπει να ισχύει u(, t) = X()T (t) =, u(, t) = X()T (t) = εφόσον τώρα απαιτούµε να ισχύει u δεν µπορεί να ισχύει ότι T (t) =, t οπότε αναγκαστικά ϑα πρέπει X() = X() = δηλαδή, η συνάρτηση X ϑα πρέπει να λύνει το εξής ΠΣΤ d X = λx, < x < (6..9) dx X() = X() = (6..1) Εκδοση : 18 Ιουνίου 16

6.. Προβλήµατα Αρχικών-Συνοριακών Τιµών. 51 το οποίο ονοµάζεται Πρόβληµα Ιδιοτιµών. Το πρόβληµα αυτό έχει µία προφανή λύση, την X =, η οποία όµως απορρίπτεται διότι ϑέλουµε u. Θα δούµε σύντοµα ότι στο Πρόβληµα Ιδιοτιµών δεν καθορίζεται µόνο η συνάρτηση X αλλά και οι δυνατές τιµές που µπορεί να πάρει η σταθερά λ ακριβώς όπως συµβαίνει και κατά την επίλυση του προβλήµατος ιδιοτιµών ενός τετραγωνικού πίνακα στην Γραµµική Άλγεβρα. Μία µη-τετριµένη(δηλ., µη-µηδενική) λύση του προβλήµατος (6..9-6..1) την ονοµάζουµε Ιδιοσυνάρτηση µε ιδιοτιµή λ. Για τα προβλήµατα ιδιοτιµών, τα οποία είναι ΠΣΤ για τις Σ Ε, δεν µπορούµε να είµαστε ϐέβαιοι εκ των προτέρων ότι υπάρχει λύση για κάθε τιµή του λ(σε αντίθεση µε τα προβλήµατα αρχικών τιµών για τα οποία έχουµε ϑεωρήµατα µοναδικότητας και ύπαρξης λύσεως). Ετσι ϑα ακολουθήσουµε την εξής τακτική : ϑα δώσουµε τη γενική λύση της (6..9) και µετά ϑα ελέγξουµε τις τιµές του λ (αν υπάρχουν κάποιες) για τις οποίες υπάρχει λύση που ικανοποιεί τις ΣΣ (6..1). Η εξίσωση (6..9) έιναι Συνήθης ιαφορική Εξίσωση µε Σταθερούς Συντελεστές και επιλύεται εύκολα. Το χαρακτηριστικό της πολυώνυµο είναι το k + λ = από το οποίο προκύπτουν οι εξής λύσεις, ανάλογα µε το πρόσηµο του λ: 1. λ < Τότε X(x) = ae λx + be λx = a h( λx) + b h( λx). λ = Τότε X(x) = a + bx 3. λ > Τότε X(x) = a ( λx) + b ( λx) µε a, b αυθαίρετες σταθερές. Εδώ, κάναµε την υπόθεση ότι η λ παίρνει µόνο πραγµατικές τιµές και παρόλο που δεν το αποδείξα- µε τυγχάνει αυτή να είναι και η πραγµατικότητα. Αργότερα ϑα έχουµε την ευκαιρία να διατυπώσουµε κάποια γενικά αποτελέσµατα για αυτού του είδους τα προβλήµατα ιδιοτιµών και ϑα δείξουµε ότι όντως οι ιδιοτιµές τους είναι πάντα πραγµατικές. Σκοπός µας είναι τώρα να διαπιστώσουµε για ποιές τιµές του λ µπορούν να ικανοποιηθούν οι ΣΣ (6..1). Ετσι έχουµε Αρνητικές Ιδιοτιµές (λ < ) Βοηθά να χρησιµοποιήσουµε τη µορφή X(x) = a h( λx) + b h( λx) της λύσης, διότι η συνάρτηση h w έχει µία µοναδική ϱίζα στο σηµείο w =, ενώ η h w είναι αυστηρά ϑετική συνάρτηση. Άρα, η απαίτηση X() = συνεπάγεται ότι a =, ενώ η απαίτηση X() = συνεπάγεται ότι b =. ηλαδή η µόνη δυνατή λύση είναι η τετριµµένη X(x) =, που σηµαίνει ότι το σύστηµα δεν επιδέχεται αρνητικές ιδιοτιµές. Μηδενική Ιδιοτιµή(λ = ) Τότε η λύση είναι η X(x) = a + bx και η απαίτηση X() = δίνει a = ενώ η απαίτηση X() = συνεπάγεται ότι b =. Συµπεραίνουµε εποµένως ότι το σύστηµα δεν µπορεί να έχει τη µηδενική ιδιοτιµή ως λύση. Εκδοση : 18 Ιουνίου 16

Κεφάλαιο 6. Προβλήµατα Αρχικών-Συνοριακών Τιµών και Προβλήµατα Συνοριακών Τιµών, Μεθοδος 5 Χωρισµού Μεταβλητών. Θετικές Ιδιοτιµές(λ > ) Τότε η λύση είναι η X(x) = a ( λx) + b ( λx) και η απαίτηση X() = δίνει a = δεδοµένου ότι =. Άρα, η απαίτηση X() = συνεπάγεται ότι ( λ) = που σηµαίνει πως το όρισµα του ηµιτόνου µπορεί να πάρει µόνο τις τιµές λ = nπ λ =, n ακέραιος Άρα, το λ είναι ιδιοτιµή του προβλήµατος αν και µόνο αν λ = και οι αντίστοιχες ιδιοσυναρτήσεις είναι οι a x ax(x). εδοµένου ότι για n < δεν αλλάζει η τιµή του λ (εξαρτάται από το n ) ενώ ( x) = (x) ϑεωρούµε µόνο n > διότι έτσι παίρνουµε το ίδιο σύνολο ιδιοσυναρτήσεων και ιδιοτιµών µε το να ϑεωρούσαµε και n <. Επίσης, είναι προφανές ότι καµία ιδιοτιµή δεν επαναλαµβάνεται παραπάνω από µία ϕορά, άρα όλες οι ιδιοτιµές είναι απλές. Επειδή, τόσο οι ιδιοτιµές όσο και οι ιδιοσυναρτήσεις εξαρτώνται από το n, συνηθίζεται και ϐολεύει να χρησιµοποιούµε το συµβολισµό a n X n (x) = a n x, λ n =. n = 1,, 3,... (6..11) Χρονική Εξάρτηση. Εχουµε τελειώσει µε το ΠΣΤ και µένει η λύση του προβλήµατος (6..8) η οποία είναι εξαιρετικά απλή και µας δίνει T (t) = Ae kλt (6..1) όπου ϐέβαια το λ είναι δεσµευµένο από το γεγονός ότι είναι λύση του προβλήµατος ιδιοτιµών και παίρνει µόνο συγκεκριµένες τιµές, λ n = ( ) nπ. Άρα, nπ T n (t) = A n e k( ) t (6..13) Μορφή Λύσης. Σύµφωνα µε τη χωριζόµενη µορφή, (6..4), που απαιτήσαµε να έχει η λύση προκύπτει ότι για κάθε n έχουµε τη µορφή u n (x, t) = a n A n X n (x)t n (t) x nπ e k( ) t (6..14) όπου προφανώς λόγω γραµµικότητας και κάθε γραµµικός συνδυασµός u(x, t) = N u n (x, t) = N x nπ e k( ) t (6..15) ϑα είναι λύση του προβλήµατος. Άρα, λόγω της αρχής της υπέρθεσης µπορούµε να ϑεωρήσουµε ότι η γενική λύση της εξίσωσης η οποία ικανοποιεί και τις ΣΣ, είναι η (6..15). Εκδοση : 18 Ιουνίου 16

6.. Προβλήµατα Αρχικών-Συνοριακών Τιµών. 53 Ικανοποίηση Αρχικής Συνθήκης. Μένει όµως και η ΑΣ, (6..3), που πρέπει να ικανοποιείται για να µπορούµε να µπορούµε να πούµε ότι έχουµε λύσει το πρόβληµα. Αν κρατήσουµε ως λύση τη µορφη (6..15) που µόλις κατασκευάσαµε ϑα πρέπει να ισχύει ότι f(x) = u(x, ) = N x, x [, ] κάτι τέτοιο ϑα σήµαινε ότι µπορούµε κάθε συνάρτηση, f(x), να την αναπαραστήσουµε µε ένα πεπε- ϱασµένο γραµµικό συνδυασµό ηµιτόνων. Αυτό όµως είναι λάθος διότι, οι µόνες αρχικές συνθήκες για τις οποίες µπορούµε να λύσουµε είναι αυτές οι οποίες είναι ήδη γραµµικός συνδυασµός ηµιτόνων και µάλιστα µόνο της µορφής ( nπ x)! Άρα, η λύση του προβλήµατος δεν µπορεί να είναι της µορφής που µόλις κατασκευάσαµε! Τη διέξοδο σε αυτή τη δυσκολία έδωσε ο ίδιος ο Fourier µε την υπόθεση, ότι η λύση είναι πλέον η άπειρη σειρά: u(x, t) = x nπ e k( ) t (6..16) πράγµα το οποίο οδηγούσε στην εξής απαίτηση για την αρχική συνθήκη f(x) = u(x, ) = x, x [, ] (6..17) Η µεγαλοφυής ιδέα του Fourier ήταν να ϑεωρήσει ότι, πράγµατι, κάθε συνάρτηση f(x) µπορεί να αναπαρασταθεί σε άπειρη σειρά ηµιτόνων της µορφής ( nπ x). Με αυτή την υπόθεση (η οποία στην αρχή αµφισβητήθηκε έντονα, πήρε κάποιο καιρό για να αποδειχθεί η ορθότητα της και η προσπάθεια απόδειξης της ορθότητάς της οδήγησε στη ϑεµελίωση σηµαντικών κλάδων των σύγχρονων µαθηµατικών)θα ασχοληθούµε στο επόµενο κεφάλαιο. Μία τέτοια σειρά ονοµάζεται Σειρά Fourier της συνάρτησης f(x) ως προς τις ιδιοσυναρτήσεις του ΠΑ-ΣΤ(6..1-6..3) ή αλλιώς Ηµιτονική Σειρά Fourier. Οι συντελεστές ονοµάζονται Συντελεστές Fourier της αντίστοιχης σειράς. Σύντοµα ϑα γίνει κατανοητό ότι η γνώση των συντελεστών ισοδυναµεί µε τη γνώση της Σειράς Fourier και το Ϲητούµενο είναι ο τρόπος προσδιορισµού τους. Στον προσδιορισµό των συντελεστών ϑα προχωρήσουµε όµως, αφότου σχολιάσουµε πρώτα το κατά πόσο η u(x, y) όντως αποτελεί λύση του ΠΑ-ΣΤ(6..1-6..3). Επαλήθευση Λύσης. Η επαλήθευση της λύσης είναι κάτι το οποίο δεν ϑα επιχειρήσουµε να κάνουµε άµεσα. ιότι για να δείξουµε ότι η u(x, y) είναι όντως λύση του ΠΑ-ΣΤ(6..1-6..3) πρέπει να είµαστε ϐέβαιοι ως προς τη διαφορισιµότητα των Σειρών Fourier (δεδοµένου ότι ϑέλουµε να ικανοποιούν τη Εξ.. ως λύσεις της). Σκεφτείτε ότι ούτε καν έχουµε προσπαθήσει να δώσουµε απάντηση στο ποιές συναρτήσεις µπορούν να αναπαρασταθούν ως Σειρές Fourier. Με αυτά τα Ϲητήµατα ϑα ασχοληθούµε στο κεφάλαιο (7). Εσείς µπορείτε προσωρινά να ϑεωρείτε δεδοµένο ότι όντως η u(x, y) αποτελεί λύση η οποία ικανοποιεί και τις οµογενείς ΣΣ. Αν κάποιος προσπαθήσει να παραγωγίσει όρο προς όρο τη Σειρά Fourier ϑα δείξει ότι όντως ικανοποιεί το ΠΣΤ(6..1-6..) όµως αυτό δεν είναι ο γενικός κανόνας µε τις Σειρές Fourier και µέχρι να τον διατυπώσουµε και να είµαστε ϐέβαιοι για το πως µπορούµε να παραγωγίσουµε αποφεύγουµε να το κάνουµε. Μένει εποµένως µόνο να προσδιορίσουµε τους συντελεστές έτσι ώστε να ικανοποιείται η ΑΣ. Εύρεση Συντελεστών Fourier. Ας επανέλθουµε στον προσδιορισµό των συντελεστών του αναπτύγµατος κατά Fourier της f(x) όπου κι εδώ δεν ϑα ασχοληθούµε, προσωρινά, µε Ϲητήµατα αυστη- ϱότητας τα οποία ϑα µας απασχολήσουν στο επόµενο κεφάλαιο. Ο προσδιορισµός των στηρίζεται Εκδοση : 18 Ιουνίου 16

Κεφάλαιο 6. Προβλήµατα Αρχικών-Συνοριακών Τιµών και Προβλήµατα Συνοριακών Τιµών, Μεθοδος 54 Χωρισµού Μεταβλητών. στο ολοκλήρωµα { ( mπ x x dx =, m n, m = n (6..18) Ασκηση 6.1. Να αποδειχθεί η σχέση (6..18). ( Υπόδειξη : Χρησιµοποιείστε την Τριγωνοµετρική Ταυτότητα a b = 1 [(a b) (a + b)] ) Είναι προφανές, ως άµεση συνέπεια του τύπου (6..18), ότι ( mπ x dx = (6..19) Τέτοιου είδους ολοκληρώµατα ονοµάζονται Σχέσεις Ορθογωνιότητας και Κανονικοποίησης α- ντίστοιχα. Αποτελούν ένα από τα σηµαντικότερα συστατικά της µεθόδου του Fourier αλλά και της γενίκευσης της που είναι η ϑεωρία των Sturm-iouville µε την οποία ϑα ασχοληθούµε αναλυτικά στα επόµενα κεφάλαια. Η σηµαντικότητα των δύο σχέσεων, (6..18) και (6..19) για τον προσδιορισµό των συντελεστών Fourier ϕαίνεται αν πράξουµε ως εξής ( mπ x f(x)dx = = = B m [ ( mπ x ] x dx = B m ( mπ x x dx ( mπ x dx (6..) όπου χρησιµοποιήσαµε τις σχέσεις ορθογωνιότητας και κανονικοποίησης, (6..18) και (6..19), των ηµιτόνων. ηλαδή, B m = ( mπ x) f(x)dx ( mπ x) dx = ( mπ x f(x)dx, m = 1,,..., (6..1) από τις σχέσεις αυτές προκύπτει ότι οι συντελεστές Fourier της f(x) καθορίζονται µε µοναδικό τρόπο. Εκδοση : 18 Ιουνίου 16

6.. Προβλήµατα Αρχικών-Συνοριακών Τιµών. 55 Σύνοψη. Συνοψίζοντας, δείξαµε ότι οι σχέσεις u(x, t) = x nπ e k( ) t, και (6..) B m = ( mπ x) f(x)dx ( mπ x) dx = ( mπ x f(x)dx, m = 1,,..., (6..3) αποτελούν τη λύση του ΠΑ-ΣΤ (6..1-6..3) και ότι για να ικανοποιηθεί η οποιαδήποτε αρχική συν- ϑήκη αρκεί να υπολογίσουµε τους συντελεστές Fourier αυτής. Αυµπτωτική Συµπεριφορά. Επειδή οι συντελεστές Fourier δεν απειρίζονται (όπως ϑα δειχθεί στο nπ επόµενο κεφάλαιο) είναι εύκολο να καταλάβει κανείς ότι λόγω του όρου e k( ) t η λύση ϑα ελλατώνεται µε την πάροδο του χρόνου και µάλιστα ϑα ισχύει lim u(x, t) = t Ερµηνεία : Κάτι τέτοιο είναι συµβατό µε την εµπειρία µας αν σκεφτούµε τη ϕυσική σηµασία του ΠΑ-ΣΤ που µόλις λύσαµε. Η αρχική συνθήκη µας λέει ότι τη χρονική στιγµή t = δίνουµε σε κάθε σηµείο της ϱάβδου µία τιµή ϑερµοκρασίας (αυτό σηµαίνει το u(x, ) = f(x)) και µετά εξατάζουµε πως µεταβάλεται η ϑερµοκρασία αυτή αν το κάθε άκρο της ϱάβδου το ϕέρουµε σε επαφή µε άπειρη ϑερµική δεξαµενή ϑερµοκρασίας ίσης µε µηδέν. Σύµφωνα µε ότι ξέρουµε η ϑερµότητα ϑα αρχίσει να ϱέει από τη ϱάβδο προς τη δεξαµενή (από το ϑερµότερο ως το ψυχρότερο δηλαδή) µέχρι να έρθουν όλα τα συστήµατα σε ϑερµική ισορροπία. Επειδή όµως η δεξαµενή είναι άπειρη, ϑα παραµένει πάντα σε ϑερµοκρασία ίση µε µηδέν άρα ϑα έχουµε ϑερµική ισορροπία µόνο όταν η ϑερµοκρασία της ϱάβδου γίνει ίση µε µηδέν! Παράδειγµα 6.1 (Παράδειγµα 5.1 Pinchover, Yehuda, Jacob Rubinstein, 5): Να λυθεί το ΠΑ-ΣΤ, u t k u =, < x < π, t > (6..4) x u(, t) = u(π, t) =, t (ΣΣ) (6..5) { x x < π u(x, ) = f(x) = π x π x π (ΑΣ) (6..6) Λύση. Για τη λύση του προβλήµατος ιδιοτιµών, δεν έχουµε παρά να αντικαταστήσουµε στην έκφραση (6..16) για = π. Ετσι η λύση είναι η u(x, t) = (nx) e kn t (6..7) µε τους συντελεστές να προσδιορίζονται από τις αρχικές συνθήκες µέσω της σχέσης = π π (nx)f(x)dx = π π (nx)f(x)dx + π π π (nx)f(x)dx (6..8) Εκδοση : 18 Ιουνίου 16

Κεφάλαιο 6. Προβλήµατα Αρχικών-Συνοριακών Τιµών και Προβλήµατα Συνοριακών Τιµών, Μεθοδος 56 Χωρισµού Μεταβλητών. όπου σπάσαµε το ολοκλήρωµα εξ αιτίας του ορισµού της f(x) και έτσι προκύπτει δεδοµένου ότι = π π (nx)xdx + π π π (nx)(x π)dx (6..9) π π x (nx)dx = nπ π xd (nx) = x (nx) nπ ] π ] π + nπ π (nx)dx = x (nx) + nπ n π ((nx)) [ ] π = x (nx) + (nx) π n n ] π (6..3) µπορούµε τότε να πούµε ότι π π π π (π x) (nx)dx = π (nx)dx π π π x (nx)dx ] π [ = n (nx) x (nx) π n π [ = (π x) (nx) π n άρα η έκφραση, (6..9), για τους συντελεστές γίνεται ] π (nx) n π ] π + (nx) n π [ ] π [ ] x (nx) + (nx) π π n n + (π x) (nx) (nx) π n n π [ = π ] π [ (nx) n π { = 4 n π (nπ ) = ] π (nx) n π n = k 4( 1) k+1 n = k 1 (k 1) π (6..31) (6..3) Εκδοση : 18 Ιουνίου 16

6.. Προβλήµατα Αρχικών-Συνοριακών Τιµών. 57 άρα η λύση είναι u(x, t) = 4 π k=1 ( 1) k+1 (k 1) [(k 1)x] e (k 1) t (6..33) από τη µορφή της λύσης είναι προφανές ότι οι συντελεστές Fourier παραµένουν πεπερασµένοι, οπότε επαληθεύεται η ασυµπτωτική συµπεριφορά η οποία οφείλεται στον όρο e (k 1)t. Παράδειγµα 6.: Να λυθεί το ΠΑ-ΣΤ, lim u(x, t) = t u t k u =, x < x <, t > (6..34) u(, t) = u(, t) =, t (ΣΣ) (6..35) u(x, ) = ( 15π x), x (ΑΣ) (6..36) Λύση. Απλώς ϑα εφαρµόσουµε τους τύπους (6..) και (6..3). Για τον προσδιορισµό των συντελεστών έχουµε = ( nπ x)f(x)dx = = ( nπ { x) (15π x)dx n 15 1 n = 15 (6..37) µε άλλα λόγια επιβιώνει µόνο ο όρος για n = 15, δηλαδή ο B 15 που σηµαίνει ότι η λύση µας είναι η u(x, t) = B 15 ( 15π 15π x)e k( ) t = ( 15π 15π x)e k( ) t (6..38) Είδαµε την ειδικά απλή µορφή που παίρνει η λύση αν η αρχική συνθήκη είναι µία από τις ιδιοσυναρτήσεις του ΠΑ-ΣΤ. Ασκηση 6.. Να λυθεί το παρακάτω ΠΑ-ΣΤ µε < x <, u t k u =, x t > u(, t) = u(, t) =, t { (a) για u(x, ) = 1 (b) u(x, ) = ( 3π x) Για το πρόβληµα (b) χρησιµοποιείστε το τύπο (1.1.). Επίσης, για το ίδιο πρόβληµα σχολιάστε για το κατά πόσο η αρχική συνθήκη είναι συµβατή. Ας προχωρήσουµε τώρα στη λύση του ΠΑ-ΣΤ µε ΣΣ Neumann. Εκδοση : 18 Ιουνίου 16

Κεφάλαιο 6. Προβλήµατα Αρχικών-Συνοριακών Τιµών και Προβλήµατα Συνοριακών Τιµών, Μεθοδος 58 Χωρισµού Μεταβλητών. ΣΗΜΑΝΤΙΚΗ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ. Παρατηρείστε, ότι χωρίς την απαίτηση της αρχικής συνθήκης το πρόβληµα που µένει, το οποίο είναι πλέον µόνο ΠΣΤ δεν έχει µοναδική λύση. Αυτό είναι πολύ απλό να το διαπιστώσει κανείς, αν ανατρέξει στην έκφραση, (6..), της λύσης του ΠΣΤ και στην οποία για κάθε τιµή του n υπάρχουν άπειρα που την ικανοποιούν. Με άλλα λόγια, η έκφραση για τους συντελεστές, (6..3), προσδιορίζει από την απειρία συντελεστών που ικανοποιούν το ΠΣΤ αυτούς που ικανοποιούν και το ΠΑΤ. Αυτή η ιδιότητα είναι κοινή σε όλα τα ΠΣΤ και δεν αποτελεί χαρακτηριστικό των ειδικών ΣΣ του προβλήµατος που µόλις λύσαµε, όπως ϑα έχουµε την ευκαιρία να διαπιστώσουµε και παρακάτω. 6..1.ii Neumann ΣΣ Το Ϲητούµενο είναι να λυθεί το ΠΑ-ΣΤ: u t k u =, x < x <, t > (6..39) u x (, t) = u x (, t) =, t (ΣΣ) (6..4) u(x, ) = f(x), x (ΑΣ) (6..41) το πρόβληµα αυτό περιγράφει τη διάδοση ϑερµότητας σε µία ϱάβδο µήκους µε µονωµένα άκρα (δηλ., άκρα που δεν επιτρέπουν ανταλλαγές ϑερµοκρασίας.) Για να µπορεί αυτό το πρόβληµα να έχει λύση είναι αναγκαίο να ισχύει f x () = f x () = διότι η αρχική συνθήκη πρέπει να ικανοποιεί και τις συνοριακές συνθήκες. Σχηµατικά αυτό το ΠΑ-ΣΤ µπορεί να παρασταθεί όπως ϕαίνεται στο σχήµα (6.)που ακολουθεί. Σχήµα 6.: Το ΠΑ-ΣΤ για την Εξίσωση ιάχυσης µε ΣΣ Neumann. Πάλι, απαιτούµε οι λύσεις να είναι της µορφής u(x, t) = X(x)T (t) (6..4) όπου οι X και T είναι συναρτήσεις των µεταβλητών x και t αντίστοιχα και όπου για λόγους εντελώς αντίστοιχους µε αυτούς της προηγούµενης ενότητας (6..1.i) µας ενδιαφέρουν µόνο συναρτήσεις X και T οι οποίες δε µηδενίζονται ταυτοτικά. Η όλη διαδικασία αντικατάστασης της χωριζόµενης µορφής της λύσης στην εξίσωση (6..39) δεν αλλάζει σε σχέση µε την ενότητα (6..1.i) και έτσι καταλήγουµε στο ίδιο σύστηµα εξισώσεων, d X = λx, dx < x < (6..43) dt = λkt, dt t > (6..44) όπου τονίζεται πάλι, ότι στη ϐιβλιογραφία µπορεί να δείτε τη χρήση διαφορετικού προσήµου στο δεξί µέλος της (6..43) οπότε αν χρειαστεί κάνετε τις απαραίτητες διορθώσεις. Εκδοση : 18 Ιουνίου 16

6.. Προβλήµατα Αρχικών-Συνοριακών Τιµών. 59 Πρόβληµα ιδιοτιµών. Η απαίτηση να ικανοποιεί η άγνωστη συνάρτηση u τις ΣΣ µας δίνει u x (, t) = X x ()T (t) =, u x (, t) = X x ()T (t) = και εφόσον απαιτούµε να ισχύει u δεν µπορεί να ισχύει ότι T (t) =, t οπότε αναγκαστικά ϑα πρέπει X x () = X x () = δηλαδή, η συνάρτηση X ϑα πρέπει να λύνει το εξής ΠΣΤ d X = λx, < x < (6..45) dx X x () = X x () = (6..46) το οποίο επίσης, ονοµάζεται Πρόβληµα Ιδιοτιµών. Αναζητούµε πάλι, και τις τιµές του λ για τις οποίες έχουµε λύση, δηλαδή τις Ιδιοτιµές αλλά και τις µη τετριµµένες λύσεις του προβλήµατος (6..45-6..46) δηλαδή, τις ιδιοσυναρτήσεις που αντιστοιχούν στις ιδιοτιµές λ. Η επίλυση της εξίσωσης (6..45) δεν αλλάζει σε σχέση µε αυτή της (6..9) και έτσι προκύπτουν πάλι οι εξής λύσεις, ανάλογα µε το πρόσηµο του λ: 1. λ < Τότε X(x) = ae λx + be λx = a h( λx) + b h( λx). λ = Τότε X(x) = a + bx 3. λ > Τότε X(x) = a ( λx) + b ( λx) µε a, b αυθαίρετες σταθερές. Υποθέτουµε ξανά (προσωρινά πάντα) ότι η λ παίρνει µόνο πραγµατικές τιµές και εξετάζουµε για ποιές τιµές του λ µπορούν να ικανοποιηθούν οι ΣΣ (6..46). Ετσι έχουµε Αρνητικές Ιδιοτιµές (λ < ). Τότε, X(x) = a h( λx) + b h( λx) X x (x) = a λ h( λx) + b λ h( λx) Η απαίτηση X x () = συνεπάγεται ότι b =, ενώ η απαίτηση X x () = συνεπάγεται ότι a =. ηλαδή η µόνη δυνατή λύση είναι η τετριµµένη X(x) =, που σηµαίνει ότι το σύστηµα δεν επιδέχεται αρνητικές ιδιοτιµές. Μηδενική Ιδιοτιµή(λ = ) Τότε η λύση είναι η X(x) = a + bx X x (x) = b και οι δύο απαιτήσεις, X x () = X x () = είναι συµβατές µε τη συνθήκη b =, άρα, σε αντίθεση µε την περίπτωση των ΣΣ Dirichlet έχουµε τη µηδενική ιδιοτιµή, λ =, ως λύση µε ιδιοσυνάρτηση την X(x) = a, δηλαδή, µία σταθερά. (6..47) Εκδοση : 18 Ιουνίου 16

Κεφάλαιο 6. Προβλήµατα Αρχικών-Συνοριακών Τιµών και Προβλήµατα Συνοριακών Τιµών, Μεθοδος 6 Χωρισµού Μεταβλητών. Θετικές Ιδιοτιµές(λ > ) Τότε η λύση είναι η X(x) = a ( λx) + b ( λx) X x (x) = a λ ( λx) + b λ ( λx) και η απαίτηση X x () δίνει b = δεδοµένου ότι =. Άρα, η απαίτηση X x () = συνεπάγεται ότι ( λ) = που σηµαίνει πως το όρισµα του ηµιτόνου µπορεί να πάρει µόνο τις τιµές λ = nπ λ =, n ακέραιος Άρα, το λ είναι ιδιοτιµή του προβλήµατος αν και µόνο αν λ = και οι αντίστοιχες ιδιοσυναρτήσεις είναι οι b x bx(x) Παρατηρούµε ότι έχουµε τις ίδιες ιδιοτιµές αλλά διαφορετικές ιδιοσυναρτήσεις σε σχέση µε την ενότητα (6..1.i) όταν λ >. Για τους ίδιους λόγους µε αυτούς της ενότητας (6..1.i) ϑεωρούµε µόνο n > και είναι προφανές ότι όλες οι ιδιοτιµές είναι απλές. Επειδή, τόσο οι ιδιοτιµές όσο και οι ιδιοσυναρτήσεις εξαρτώνται από το n, συνηθίζεται και ϐολεύει να χρησιµοποιούµε το συµβολισµό a n X n = a n x, λ n =. n = 1,, 3,... (6..48) Χρονική Εξάρτηση. Η λύση του προβλήµατος (6..44) είναι όπως και του προβλήµατος (6..8), η T (t) = Ae kλt (6..49) όπου ϐέβαια το λ είναι δεσµευµένο από το γεγονός ότι είναι λύση του προβλήµατος ιδιοτιµών και παίρνει µόνο τις τιµές, λ = και λ n = ( ) nπ, n = 1,,..., και έτσι για τις λύσεις τις χρονικής εξέλιξης προκύπτει, Σύµφωνα µε τη χωριζόµενη µορφή, (6..4), που απαιτήσαµε να έχει η λύση προ- Μορφή Λύσης. κύπτει nπ T = B, T n (t) = e k( ) t, n = 1,,..., (6..5) u (x, t) = ab A, (6..51) u n (x, t) = b n X n (x)t n (t) A n x nπ e k( ) t n = 1,, 3,..., (6..5) Λόγω της συζήτησης που προηγήθηκε κατά τη µελέτη του ΠΑ-ΣΤ Dirichlet ϑεωρούµε τη γενικευµένη αρχή της υπέρθεσης, δηλαδή ότι η λύση είναι πλέον η άπειρη σειρά: u(x, t) = A + A n x nπ e k( ) t (6..53) Εκδοση : 18 Ιουνίου 16

6.. Προβλήµατα Αρχικών-Συνοριακών Τιµών. 61 όπου παρατηρείστε ότι η λύση µπορεί να γραφεί και στην ενιαία µορφή u(x, t) = A n x nπ e k( ) t n= (6..54) αλλά εµείς προτιµήσαµε την προηγούµενη γραφή διότι δείχνει ότι έχουµε συνεισφορά των δύο δια- ϕορετικών περιπτώσεων, λ = και λ >. Η λύση αυτή από κατασκευής ικανοποιεί τις ΣΣ. Ικανοποίηση Αρχικής Συνθήκης. Για την αρχική συνθήκη απαιτούµε να ισχύει f(x) = u(x, ) = A + A n x, x [, ] και ϑα δείξουµε στο επόµενο κεφάλαιο ότι η f(x) µπορεί να αναπτυχθεί και ως προς αυτή τη σειρά, η οποία ονοµάζεται Σειρά Fourier της συνάρτησης f(x) ως προς τις ιδιοσυναρτήσεις του ΠΑ-ΣΤ(6..39-6..41) ή αλλιώς Συνηµιτονική Σειρά Fourier. Αντίστοιχα, οι συντελεστές ονοµάζονται Συντελεστές Fourier της αντίστοιχης συνηµιτονικής σειράς και το Ϲητούµενο είναι ο προσδιορισµός τους. Εύρεση Συντελεστών Fourier. Ο προσδιορισµός των στηρίζεται πάλι σε Σχέσεις Ορθογωνιότητας, ( mπ, m n x x dx =, m = n (6..55), m = n = και Κανονικοποίησης, οι οποίες είναι άµεση συνέπεια των (6..55). κεφάλαια. Ασκηση 6.3. Να αποδειχθεί η σχέση (6..55). ( Υπόδειξη : Χρησιµοποιείστε την Τριγωνοµετρική Ταυτότητα ( mπ x dx =, m. (6..56) Αναλυτικά µε αυτές ϑα ασχοληθούµε στα επόµενα a b = 1 [(a b) + (a + b)] ) Είναι εύκολο να δειχθεί µε τη ϐοήθεια των δύο σχέσεων, (6..55) και (6..56) ότι A = 1 A m = f(x)dx (6..57) ( mπ x f(x)dx = ( mπ x) f(x)dx ( mπ x) dx, m = 1,,..., (6..58) από τις σχέσεις αυτές προκύπτει ότι οι συντελεστές Fourier της f(x) καθορίζονται µε µοναδικό τρόπο. Εκδοση : 18 Ιουνίου 16

Κεφάλαιο 6. Προβλήµατα Αρχικών-Συνοριακών Τιµών και Προβλήµατα Συνοριακών Τιµών, Μεθοδος 6 Χωρισµού Μεταβλητών. Σύνοψη. Συνοψίζοντας, δείξαµε ότι οι σχέσεις u(x, t) = A + A = 1 A m = A n x nπ e k( ) t, και (6..59) f(x)dx (6..6) ( mπ x f(x)dx = ( mπ x) f(x)dx ( mπ x) dx, m = 1,,..., (6..61) αποτελούν τη λύση του ΠΑ-ΣΤ (6..39-6..41) και ότι για να ικανοποιηθεί η οποιαδήποτε αρχική συνθήκη αρκεί να υπολογίσουµε τους συντελεστές Fourier αυτής. Ασυµπτωτική Συµπεριφορά. Παρατηρώντας τη µορφή της λύσης και µε την υπόθεση ότι οι συντελεστές δεν απειρίζονται (στο επόµενο κεφάλαιο ϑα δειχθεί και αυτό) ϐλέπουµε ότι υπάρχει µία ουσιώδης διαφορά µεταξύ των λύσεων για λ = και λ >. Οι λύσεις για λ > ϕθίνουν εκθετικά nπ λόγω του όρου e k( ) t µε αποτέλεσµα να τείνουν στο µηδέν για t ενώ δεν συµβαίνει το ίδιο για τη λύση B που αντιστοιχεί στο λ =, η οποία είναι σταθερή. Άρα, lim t u(x, t) = A = 1 f(x)dx = σταθ. (6..6) Το ενδιαφέρον µε την ασυµπτωτική µορφή της λύσης δεν είναι τόσο το ότι είναι σταθερή (και όχι κατ ανάγκη ίση µε το µηδέν) αλλά το ότι είναι ίση µε τη µέση τιµή (χωρική) της αρχικής κατανοµής ϑερµοκρασίας. Αυτό είναι συνέπεια των µονωτικών συνοριακών συνθηκών οι οποίες δεν επιτρέπουν την ανταλλαγή ϑερµότητας µε το περιβάλλον και έχουν ως αποτέλεσµα τη διατήρηση της συνολικής ϑερµικής ενέργειας της ϱάβδου. Πράγµατι, αν ανατρέξουµε στην κατασκευή της Εξ.. και ειδικότερα στη σελίδα (ΠΡ-5) ϐλέπουµε ότι ισχύει ο τύπος e t dx = Φ(, t) Φ(, t) = k u x u (, t) + k (, t) (6..63) x αφού, ϑεωρούµε ότι δεν έχουµε πηγές ϑερµότητας (λύνουµε το οµογενές πρόβληµα!) Οµως, εξαιτίας των συνοριακών συνθηκών άρα u x u (, t) = (, t) = x e dx = (6..64) t Εκδοση : 18 Ιουνίου 16

6.. Προβλήµατα Αρχικών-Συνοριακών Τιµών. 63 δηλαδή διατηρείται η συνολική ϑερµική ενέργεια. Άρα, η αρχική ϑερµική ενέργεια η οποία είναι ίση µε k f(x)dx, δεδοµένου ότι u(x, ) = f(x) (6..65) ϑα πρέπει να είναι ίση µε την τελική ϑερµική ενέργεια για t. ηλαδή, να είναι ίση µε k u(x, )dx = k A dx = ka (6..66) Εξισώνοντας τις δύο εκφράσεις προκύπτει η έκφραση για την ασυµπτωτική τιµή, (6..6), της λύσης. Βλέπουµε δηλαδή πως ακόµη και αν δεν ξέραµε τη σειρά Fourier για την αρχική συνθήκη, ϑα µπορούσαµε να προβλέψουµε την λύση ισορροπίας για το συγκεκριµένο πρόβληµα από την απαίτηση και µόνο να διατηρείται η ϑερµική ενέργεια και η λύση να δίνεται από την έκφραση (6..). Αυτό είναι εύκολο να διαπιστωθεί και µε άλλο τρόπο ο οποίος σας δίνεται ως άσκηση. Ασκηση 6.4 (Εναλλακτικός Προσδιορισµός Λύσης Ισορροπίας). Για το ΠΑ-ΣΤ (6..39-6..41) ακολουθήστε τα παρακάτω ϐήµατα για να για να ϐρείτε τη λύση ισορροπίας : Απαιτείστε u t (x, t) = και λύστε το ΠΣΤ που προκύπτει(είναι η aplace σε µία διάσταση). Με τη χρήση της διατήρησης της ϑερµικής ενέργειας προσδιορίστε µοναδικά τη λύση και δείξτε ότι έχει τη µορφή (6..6). Για ποιό λόγο δεν µπορείτε να προσδιορίσετε τη λύση, απλώς από την απαίτηση να ισχύει η αρχική συνθήκη ; Παράδειγµα 6.3: Να λυθεί το ΠΑ-ΣΤ, u t k u =, x < x <, t > (6..67) u x (, t) = u x (, t) =, t (ΣΣ) (6..68) u(x, ) = ( 1π x), x (ΑΣ) (6..69) Λύση. Απλώς ϑα εφαρµόσουµε τους τύπους (6..59) ως (6..61). Για τον προσδιορισµό των συντελεστών A n έχουµε A = 1 ( 1π x)dx, n = (6..7) A n = ( nπ x)f(x)dx = n, 1 A n = n = 1 n = 1 ( nπ x) (1π x)dx, n (6..71) Εκδοση : 18 Ιουνίου 16

Κεφάλαιο 6. Προβλήµατα Αρχικών-Συνοριακών Τιµών και Προβλήµατα Συνοριακών Τιµών, Μεθοδος 64 Χωρισµού Μεταβλητών. µε άλλα λόγια επιβιώνει µόνο ο σταθερός όρος και ο όρος για n = 1, δηλαδή ο B 1 που σηµαίνει ότι η λύση µας είναι η u(x, t) = A 1 ( 1π 1π x)e k( ) t (6..7) Ασκηση 6.5. Να λυθεί το ΠΑ-ΣΤ µε < x < : u t k u =, x t > u x (, t) = u x (, t) =, t για { (a) u(x, ) (b) x < 1 x > u(x, ) = ( π x) Για το πρόβληµα (b) χρησιµοποιείστε το τύπο (1.1.). Επίσης, για το ίδιο πρόβληµα σχολιάστε για το κατά πόσο η αρχική συνθήκη είναι συµβατή. 6..1.iii Περιοδικές ΣΣ Θα λύσουµε τώρα το εξής ΠΑ-ΣΤ u t k u =, x < x <, t > (6..73) u(, t) = u(, t), t (ΣΣ 1) (6..74) u x (, t) = u x (, t), t (ΣΣ ) (6..75) u(x, ) = f(x), x (ΑΣ) (6..76) το οποίο αντιστοιχεί στη διάχυση ϑερµότητας σε ένα λεπτό κυκλικό δαχτυλίδι (I). Για λόγους ευκολίας παίρνουµε το µήκος του να είναι (αντί για ) και ϑεωρούµε ότι το µήκος τόξου, x, µεταβάλεται από το ως το (αντί από ως ). Σχηµατικά αυτό το ΠΑ-ΣΤ µπορεί να παρασταθεί όπως ϕαίνεται στο σχήµα που ακολουθεί Επειδή τόσο το όσο και το αντιστοιχούν, επί της ουσίας, στην ίδια Σχήµα 6.3: Το ΠΑ-ΣΤ για την Εξίσωση ιάχυσης µε περιοδικές ΣΣ. διατοµή είναι λογικό να υποθέσουµε ότι τόσο η ϑερµοκρασία όσο και η ϱοή ϑερµότητας ϑα πρέπει, ως συναρτήσεις του x, να είναι συνεχείς εκεί. ηλαδή, ϑα πρέπει να ισχύουν οι ΣΣ (6..74, 6..75). Η διαδικασία επίλυσης του προβλήµατος που µόλις ϑέσαµε είναι η ίδια µε τα δύο προηγούµενα προβλήµατα, οπότε ϑα είµαστε πιο περιληπτικοί και ελπίζουµε ότι κάποιος µπορεί να ανατρέξει σε αυτά, σε περίπτωση απορίας. Πάλι, απαιτούµε οι λύσεις να είναι της µορφής u(x, t) = X(x)T (t) (6..77) (I) Απαιτούµε να είναι λεπτό το δαχτυλίδι, έτσι ώστε να µπορούµε µε υποθέσουµε πως η ϑερµοκρασία είναι σταθερή σε όλη την επιφάνεια κάθε διατοµής του. Εκδοση : 18 Ιουνίου 16

6.. Προβλήµατα Αρχικών-Συνοριακών Τιµών. 65 όπου οι X και T είναι συναρτήσεις των µεταβλητών x και t αντίστοιχα και µας ενδιαφέρουν µόνο συναρτήσεις X και T οι οποίες δε µηδενίζονται ταυτοτικά. Η αντικατάσταση της χωριζόµενης µορφής της λύσης στην εξίσωση (6..73) µας δίνει το σύστηµα εξισώσεων, d X = λx, < x < (6..78) dx dt = λkt, t > (6..79) dt όπου τονίζεται πάλι, ότι στη ϐιβλιογραφία µπορεί να δείτε τη χρήση διαφορετικού προσήµου στο δεξί µέλος της (6..78) οπότε αν χρειαστεί κάνετε τις απαραίτητες διορθώσεις. Πρόβληµα ιδιοτιµών. Η απαίτηση να ικανοποιεί η άγνωστη συνάρτηση u τις ΣΣ µας δίνει οπότε αναγκαστικά ϑα πρέπει u(, t) = u(, t) X()T (t) = X( )T (t), u x (, t) = u x (, t) X x ()T (t) = X x ( )T (t) X() = X( ) X x () = X x ( ) δηλαδή, η συνάρτηση X ϑα πρέπει να λύνει το εξής ΠΣΤ ή ισοδύναµα Πρόβληµα Ιδιοτιµών: d X = λx, < x < dx (6..8) a) X() = X( ) b) X x () = X x ( ) (6..81) Αναζητούµε πάλι, τόσο τις Ιδιοτιµές δηλαδή, τις τιµές του λ για τις οποίες το πρόβληµα έχει λύση, όσο και τις Ιδιοσυναρτήσεις, δηλαδή τις µη-τετριµµένες λύσεις του προβλήµατος (6..8-6..81), που αντιστοιχούν στις ιδιοτιµές λ. Η επίλυση της εξίσωσης (6..8), δίνει τις εξής λύσεις, ανάλογα µε το πρόσηµο του λ: 1. λ < Τότε X(x) = ae λx + be λx = a h( λx) + b h( λx). λ = Τότε X(x) = a + bx 3. λ > Τότε X(x) = a ( λx) + b ( λx) µε a, b αυθαίρετες σταθερές. Υποθέτουµε ξανά (προσωρινά πάντα) ότι η λ παίρνει µόνο πραγµατικές τιµές και εξετάζουµε για ποιές τιµές του λ µπορούν να ικανοποιηθούν οι ΣΣ (6..81). Ετσι έχουµε Εκδοση : 18 Ιουνίου 16

Κεφάλαιο 6. Προβλήµατα Αρχικών-Συνοριακών Τιµών και Προβλήµατα Συνοριακών Τιµών, Μεθοδος 66 Χωρισµού Μεταβλητών. Αρνητικές Ιδιοτιµές (λ < ). Τότε, X() = X( ) a h( λ) + b h( λ) = a h( λ) b h( λ) b h( λ) = b = διότι h w, για w. X x () = X x ( ) a λ h( λ) + b λ h( λ) = a λ h( λ) + b λ h( λ) a λ h( λ) = a = διότι h w, για w. Άρα, οι ΣΣ συνεπάγονται ότι b = a =. ηλαδή η µόνη δυνατή λύση είναι η τετριµµένη X(x) =, που σηµαίνει ότι το σύστηµα δεν επιδέχεται αρνητικές ιδιοτιµές. Μηδενική Ιδιοτιµή(λ = ) Τότε, X() = X( ) a + b = a b b = b =. X x () = X x ( ) b = b ηλαδή, οι ΣΣ συνεπάγονται απλώς b = και αφήνουν το a απροσδιόριστο άρα, έχουµε τη µηδενική ιδιοτιµή, λ =, ως λύση µε ιδιοσυνάρτηση την X(x) = a, δηλαδή, µία σταθερά. (6..8) Θετικές Ιδιοτιµές(λ > ) Τότε, άρα και οι δύο ΣΣ ικανοποιούνται αν απλώς X() = X( ) a ( λ) + b ( λ) = a ( λ) b ( λ) b ( λ) = X x () = X x ( ) a λ ( λ) + b λ ( λ) = a λ ( λ) + b λ ( λ) a ( λ) = ( λ) = που σηµαίνει πως το λ είναι ιδιοτιµή του προβλήµατος αν και µόνο αν λ =, n ακέραιος όπου καταλαβαίνουµε πλέον ότι ϑεωρήσαµε το µήκος να είναι, έτσι ώστε να πάρουµε τους ίδιους τύπους για τις ιδιοτιµές. Εκδοση : 18 Ιουνίου 16

6.. Προβλήµατα Αρχικών-Συνοριακών Τιµών. 67 Οι σταθερές a, b δεν έχουν κανένα περιορισµό. Και οι δύο παραµένουν αυθαίρετες, οπότε οι αντίστοιχες ιδιοσυναρτήσεις είναι οι b x, a x n = 1,, 3,... όπου πάλι ϑεωρούµε µόνο n > και είναι προφανές ότι όλες οι ιδιοτιµές είναι απλές. ακρίβεια, και κάθε Γραµµικός Συνδυασµός των ( nπ x) και ( nπ x) b x + a x n = 1,, 3,... Για την είναι ιδιοσυνάρτηση µε ιδιοτιµή λ. Λαµβάνοντας υπόψιν την εξάρτηση από το n, γράφουµε για την πιο γενική ιδιοσυνάρτηση, X n = a n x + b n x, λ n =. n = 1,, 3,... (6..83) X = a, λ =. n =. (6..84) όπου δε ξεχνάµε ότι και η κάθε µία από τις ( nπ x), ( nπ x) ξεχωριστά αποτελούν ιδιοσυναρτήσεις του προβλήµατος. ΣΗΜΑΝΤΙΚΗ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ. Παρατηρείστε ότι στο περιοδικό πρόβληµα έχουµε µία ουσιώδη δια- ϕορά σε σχέση µε τα προηγούµενα δύο προβλήµατα, όσον αφορά το πεδίο ορισµού της µεταβλητής x. Εδώ, η µόνη απαίτηση είναι η λύση και η παράγωγος της να παίρνουν την ίδια τιµή για x = και x = και από εκεί και πέρα δεν υπάρχει κάποιος άλλος περιορισµός : η µεταβλητή x µπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιµή από ως! Χρονική Εξάρτηση. Η λύση του προβλήµατος (6..79) είναι T (t) = Ae kλt (6..85) µε το λ ως λύση του προβλήµατος ιδιοτιµών να παίρνει µόνο τις τιµές, λ = και λ n = ( ) nπ, n = 1,,..., και έτσι, nπ T = A, T n (t) = A n e k( ) t, n = 1,,..., (6..86) Μορφή Λύσης. προκύπτει Σύµφωνα µε τη χωριζόµενη µορφή, (6..77), που απαιτήσαµε να έχει η λύση, u (x, t) = aa A, (6..87) u n (x, t) = A n X n (x)t n (t) A n x nπ e k( ) t + x nπ e k( ) t n = 1,, 3,..., (6..88) Λόγω της συζήτησης που προηγήθηκε κατά τη µελέτη του ΠΑ-ΣΤ Dirichlet ϑεωρούµε τη γενικευµένη αρχή της υπέρθεσης, δηλαδή ότι η λύση είναι πλέον η άπειρη σειρά: u(x, t) = A + A n x nπ e k( ) t + x nπ e k( ) t (6..89) Εκδοση : 18 Ιουνίου 16

Κεφάλαιο 6. Προβλήµατα Αρχικών-Συνοριακών Τιµών και Προβλήµατα Συνοριακών Τιµών, Μεθοδος 68 Χωρισµού Μεταβλητών. πάλι, η λύση µπορεί να γραφεί και στην ενιαία µορφή u(x, t) = n= A n x nπ e k( ) t + x nπ e k( ) t (6..9) αλλά εµείς προτιµήσαµε την προηγούµενη γραφή διότι δείχνει ότι έχουµε συνεισφορά των δύο δια- ϕορετικών περιπτώσεων, λ = και λ >. Η λύση αυτή από κατασκευής ικανοποιεί τις ΣΣ. Ικανοποίηση Αρχικής Συνθήκης. Για την αρχική συνθήκη απαιτούµε, εποµένως, να ισχύει f(x) = u(x, ) = A + A n x + x, x (, ) και ϑα δείξουµε στο επόµενο κεφάλαιο ότι η f(x) µπορεί να αναπτυχθεί και ως προς αυτή τη σειρά, η οποία ονοµάζεται Σειρά Fourier της συνάρτησης f(x) ως προς τις ιδιοσυναρτήσεις του ΠΑ-ΣΤ(6..73-6..76) ή αλλιώς Πλήρης Σειρά Fourier. Αντίστοιχα, οι συντελεστές ονοµάζονται Συντελεστές Fourier της αντίστοιχης πλήρους σειράς και το Ϲητούµενο είναι ο προσδιορισµός τους. Εύρεση Συντελεστών Fourier. Ο προσδιορισµός των A n και στηρίζεται πάλι σε Σχέσεις Ορ- ϑογωνιότητας, ( mπ x x dx =, m n, m = n, m = n = (6..91) ( mπ {, m n x x dx =, m = n (6..9) ( mπ x x dx = (6..93) και Κανονικοποίησης(οι οποίες είναι άµεση συνέπεια των σχέσεων (6..94)-(6..93) ) ( mπ x dx =, m (6..94) ( mπ x dx =, m (6..95) µε τις οποίες, επίσης, ϑα ασχοληθούµε αναλυτικά στα επόµενα κεφάλαια. Εκδοση : 18 Ιουνίου 16

6.. Προβλήµατα Αρχικών-Συνοριακών Τιµών. 69 Είναι εύκολο να δειχθεί µε τη χρήση των πιο πάνω σχέσεων, ότι άρα, f(x) f(x) ( mπx dx = A m ( mπx dx = B m ( mπx dx (6..96) ( mπx dx (6..97) Σύνοψη. A = 1 A m = B m = f(x)dx (6..98) f(x) ( mπx ) dx ( ) mπx dx f(x) ( mπx ) dx ( ) mπx dx Συνοψίζοντας, δείξαµε ότι οι σχέσεις u(x, t) = A + A = 1 A m = B m = = 1 = 1 A n x nπ e k( ) t + f(x) f(x) ( mπx dx (6..99) ( mπx dx (6..1) x nπ e k( ) t (6..11) f(x)dx (6..1) f(x) ( mπx ) dx ( ) mπx dx f(x) ( mπx ) dx ( ) mπx dx = 1 = 1 f(x) f(x) ( mπx dx (6..13) ( mπx dx (6..14) αποτελούν τη λύση του ΠΑ-ΣΤ (6..73-6..76) και ότι για να ικανοποιηθεί η οποιαδήποτε αρχική συνθήκη αρκεί να υπολογίσουµε τους συντελεστές Fourier αυτής. Εκδοση : 18 Ιουνίου 16

Κεφάλαιο 6. Προβλήµατα Αρχικών-Συνοριακών Τιµών και Προβλήµατα Συνοριακών Τιµών, Μεθοδος 7 Χωρισµού Μεταβλητών. 6..1.iv Η Αρχή του Μεγίστου. Η ασυµπτωτική συµπεριφορά των λύσεων της Εξίσωσης ιάχυσης, όπως είδαµε στις ενότητες που προηγήθηκαν, αποτελεί παράδειγµα και ειδική περίπτωση της γενικότερης συµπεριφοράς των λύσεων αυτής. Μπορεί να δειχθεί ότι, οι λύσεις της Εξ.. ικανοποιούν την Αρχή του Μεγίστου η οποία διατυπώνεται ως εξής : Αρχή του Μεγίστου. Αν η u(x, t) ικανοποιεί την Εξ.. σε ένα ορθογώνιο στο χώρο και στο χρόνο, έστω ( x, t T ), τότε η µέγιστη τιµή της u(x, t) πραγµατοποιείται είτε αρχικώς (για t =, δηλαδή) είτε στις πλευρές (x = ή x = ). Η ελάχιστη τιµή έχει την ίδια ιδιότητα, και είναι συνέπεια της εφαρµογής της αρχής του µεγίστου στην [ u(x, t)]. Οι αρχές αυτές συµβαδίζουν απόλυτα µε την εµπειρία µας σχετικά µε τη διάδοση ϑερµότητας σε µία ϱάβδο. Αν δεν έχουµε εσωτερικές πηγές (αν έχουµε δηλαδή µόνο την οµογενή Εξ..) τότε το πιο Ϲεστό και το πιο κρύο σηµείο της ϱάβδου, εµφανίζονται είται αρχικά, είτε στα άκρα της ϱάβδου. Εκφραση αυτού αποτελεί και το γεγονός, που είδαµε, ότι ασυµτωτικά η λύση είναι σταθερή και ίση µε τη µέση τιµή της αρχικής ϑερµοκρασίας : όσο περνά ο χρόνος, το µέγιστο κατεβαίνει, το ελάχιστο ανεβαίνει και έτσι η διαφορική εξίσωση οµαλοποιεί τη λύση µε την παροδο του χρόνου. 6.. Κυµατική Εξίσωση. 6...i Dirichlet ΣΣ Το Ϲητούµενο είναι να λυθεί το ΠΑ-ΣΤ: u tt c u xx =, < x <, t > (6..15) u(, t) = u(, t) =, t (ΣΣ) (6..16) u(x, ) = f(x), x (ΑΣ) (6..17) u t (x, ) = g(x), x (ΑΣ) (6..18) το οποίο περιγράφει την ταλάντωση µονοδιάστατης χορδής, µε πακτωµένα τα δύο άκρα. υπάρχει λύση απαιτείται να ικανοποιούνται οι εξής συνθήκες f() = f() = g() = g() = Για να Σχηµατικά αυτό το ΠΑ-ΣΤ µπορεί να παρασταθεί όπως ϕαίνεται στο σχήµα που ακολουθεί. Σχήµα 6.4: Το ΠΑ-ΣΤ για την Κυµατική Εξίσωση µε ΣΣ Dirichlet. Απαιτούµε λύσεις της µορφής από την αντικατάσταση των οποίων στην (6..15) προκύπτει η u(x, t) = X(x)T (t) (6..19) και µε χωρισµό των µεταβλητών X(x) d T dt = c T (t) d X dx (6..11) 1 d T c T (t) dt = 1 X(x) d X = λ (6..111) dx Εκδοση : 18 Ιουνίου 16

6.. Προβλήµατα Αρχικών-Συνοριακών Τιµών. 71 όπου διαιρέσαµε το χρονικό µέρος µε το c έτσι ώστε το χωρικό µέρος να έχει την ίδια µορφή µε το πρόβληµα διάχυσης. Το ότι τα δύο µέρη της ισότητας πρέπει να είναι ίσα µε κάποια σταθερά είναι αποτέλεσµα του χωρισµού µεταβλητών όπως είδαµε σε όλες τις περιπτώσεις για την εξίσωση διάχυσης και η επιλογή του προσήµου είναι καθαρά ϑέµα σύµβασης. Προκύπτει δηλαδή, το σύστηµα d X = λx(x) < x < (6..11) dx d T dt = λc T (t) t > (6..113) Πρόβληµα Ιδιοτιµών. Πολύ εύκολα µπορεί να διαπιστωθεί ότι η απαίτηση να ικανοποιούνται οι συνοριακές συνθήκες, µας οδηγεί στο ΠΣΤ d X = λx, < x < (6..114) dx X() = X() = (6..115) το οποίο είναι ακριβώς το ίδιο µε το ΠΣΤ Dirichlet, (6..9), της Εξ..και έτσι µπορούµε να ϑεωρήσουµε δεδοµένη τη λύση του : d n X n (x) = d n x, λ n =. n = 1,, 3,... (6..116) όπου απλώς υπενθυµίζουµε ότι οι ιδιοτιµές είναι µόνο ϑετικές (λ > ). Χρονική Εξάρτηση. Η εξίσωση της χρονικής εξάρτησης είναι και αυτή δεύτερης τάξεως και πολύ εύκολα µπορεί να δειχθεί ότι ανάλογα µε το πρόσηµο του λ, οι λύσεις της είναι 1. λ < Τότε T (t) = ae c λt + be c λt = a h(c λt) + b h(c λt). λ = Τότε T (t) = a + bt 3. λ > Τότε T (t) = a (c λt) + b (c λt) δεδοµένου ότι c >. Λόγω όµως, της λύσης του προβλήµατος ιδιοτιµών αποδεκτή είναι µόνο η περίπτωση λ > και έτσι έχουµε c c T n (t) = a n t + b n t, n = 1,, 3,..., (6..117) Μορφή Λύσης. Αποτέλεσµα των πιο πάνω είναι ότι για κάθε n και εφόσον απαιτούµε u = X(x)T (t), η λύση ϑα έχει τη µορφή c c u n (x, t) = A n x t + x t, n = 1,, 3,..., (6..118) και έτσι σύµφωνα µε τη γενικευµένη αρχή της επαλληλίας ϑεωρούµε την άπειρη σειρά u(x, t) = η οποία ικανοποιεί τις ΣΣ. [ c c ] A n t + t x (6..119) Εκδοση : 18 Ιουνίου 16

Κεφάλαιο 6. Προβλήµατα Αρχικών-Συνοριακών Τιµών και Προβλήµατα Συνοριακών Τιµών, Μεθοδος 7 Χωρισµού Μεταβλητών. Ικανοποίηση Αρχικών Συνθηκών. f(x) g(x) Οι ΑΣ, (6..17) και (6..18) ικανοποιούνται αν = A n ( nπ x) = nπc ( nπ x) x [, ] (6..1) Οι σχέσεις αυτές προκύπτουν αν ϑέσουµε t = στη γενική λύση και αν υπολογίσουµε την παράγωγο ως προς το χρόνο της γενικής λύσης για t =, παραγωγίζοντας την άπειρη σειρά όρο προς όρο (υποθέτοντας πάντα ότι κάτι τέτοιο µπορούµε να το κάνουµε). Από τις σχέσεις ορθογωνιότητας και κανονικοποίησης της ηµιτονικής σειράς Fourier προκύπτει έυκολα ότι A m = B m mπc = ( mπ x) f(x)dx ( mπ x) dx = ( mπ x) g(x)dx ( mπ x) dx = ( mπ x f(x)dx, m = 1,,..., (6..11) ( mπ x g(x)dx, m = 1,,..., (6..1) Οι τύποι (6..119, 6..11), και (6..1) αποτελούν τη µία και µοναδική λύση του ΠΑ-ΣΤ (6..15-6..18). Φυσική Ερµηνεία. Τι σηµαίνει όµως για τη συµπεριφορά της χορδής η µορφή της λύσης που µόλις παρουσιάσαµε ; Καταρχάς διαπιστώνουµε ότι υπάρχει µία σηµαντική διαφορά µεταξύ της Κ.Εξ.και της Εξ.., όσον αφορα τη χρονική εξέλιξη. Στην κυµατική εξίσωση δεν έχουµε πλέον τον ϕθίνοντα εκθετικό παράγοντα ο οποίος είναι υπεύθυνος για την οµαλοποίηση των λύσεων της κυµατικής εξίσωσης ασυµπτωτικά στο χρόνο όπως διαπιστώσαµε κατά τη σχετική µελέτη. Η χρονική εξέλιξη καθορίζεται πλέον από ένα τριγωνοµετρικό µη-ϕθίνοντα παράγοντα χαρακτηριστικό Φαινοµένων Ταλάντωσης. Η κάθετη αποµάκρυνση u(x, t) είναι ένας γραµµικός συνδυασµός (γενικευµένος έστω) γινοµένων της µορφής ( c c N n (x, t) = x A n t + t Ο κάθε ένας τέτοιος παράγοντας ονοµάζεται Κανονικός Τρόπος (Normal Mode) της ταλάντωσης και µε τη χρήση της ταυτότοτητας, c c c A n t + t = A + n B n t + φ, φ = tan 1 ( A n ) προκύπτει πως c N n (x, t) = x A + n B n t + φ από την έκφραση αυτή, καταλαβαίνουµε ότι για συγκεκριµένο x, ο Κανονικός Τρόπος αντιστοιχεί σε Αρµονική Ταλάντωση πλάτους ( nπ x) A + n B, γωνιακής ταχύτητας, ω n n = nπc (II) και Αρχικής (II) δηλαδή συχνότητας f n = nc Εκδοση : 18 Ιουνίου 16