Ανάλυση Αποφάσεων Αθήνα 2005 Η παρουσίαση προετοιµάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα
Περιεχόµενα Παρουσίασης 1. Εισαγωγικά Στοιχεία 2. Πρότυπο Ανάλυσης Αποφάσεων 3. Κριτήριο Προσδοκώµενης Χρηµατικής Τιµής 2
Προβλήµατα Αποφάσεων Εισαγωγικά Στοιχεία στην Ανάλυση Αποφάσεων Μία απόφαση είναι ένα πρόβληµα επιλογής µιας λύσης από έναν δυνατό αριθµό δυνατών εναλλακτικών λύσεων Μία απόφαση ταυτίζεται µε µία εναλλακτική λύση Απαραίτητα στοιχεία για τη διαδικασία λήψης µιας απόφασης είναι: Ηλογική Υποκειµενική ανάλυση των δυνατών αποφάσεων και των επακολούθων τους 3
Βασικά Χαρακτηριστικά Προβληµάτων Αποφάσεων Εισαγωγικά Στοιχεία στην Ανάλυση Αποφάσεων Ύπαρξη τυχαίων φαινοµένων εν επηρεάζονται από τον αποφασίζοντα Οαποφασίζωνµπορεί να παρατηρήσει τα φαινόµενα, να υπολογίσει και να προβλέψει τις συχνότητες εµφάνισης των πιθανών αποτελεσµάτων Πληροφορίες Υπάρχει η δυνατότητα ελέγχου της παραµέτρου αυτής από τον αποφασίζοντα Καλύτερη πληροφόρηση δίνει τη δυνατότητα βελτιωµένης λήψης αποφάσεων 4
Παραδείγµατα Τυχαίων Φαινοµένων Εισαγωγικά Στοιχεία στην Ανάλυση Αποφάσεων Καιρικές συνθήκες εν µπορούν να επηρεαστούν από τον µηχανικό Υπάρχει όµως η δυνατότητα πρόβλεψης ή υπόθεσης του καιρού για το µέλλον Με βάση τις προβλέψεις µπορεί να καταστρώσει τα πλάνα του έργου ή να εξασφαλίσει κάποιες ασφαλιστικές δικλείδες Φυσικά φαινόµενα, όπως πχ. σεισµοί ή πληµµύρες Η αντιµετώπιση τέτοιων φαινοµένων πραγµατοποιείται µε προβλέψεις (υποθέσεις) της συχνότητας εµφάνισής τους 5
Πληροφορίες - Παράγοντες Επιρροής Εισαγωγικά Στοιχεία στην Ανάλυση Αποφάσεων Μόρφωση, ικανότητα και εµπειρία µηχανικού Επίπεδο ανάπτυξης της τεχνολογίας ιαθέσιµος χρόνος για την ανάλυση του προβλήµατος και τη συλλογή πληροφοριών ιαθέσιµοι πόροι για συλλογή πληροφοριών Μία προσπάθεια για συλλογή πληροφοριών αξίζει να γίνει µόνο εάν οι αναµενόµενες ωφέλειες από τα επιπλέον στοιχεία αντισταθµίζουν ικανοποιητικά το κόστος (έξοδα, χρόνος) 6
Προβλήµατα Αποφάσεων στην Πράξη Εισαγωγικά Στοιχεία στην Ανάλυση Αποφάσεων Σε κάθε απόφαση ενός προβλήµατος αντιστοιχεί ένας αριθµός πιθανών επακόλουθων Αν σε κάθε απόφαση αντιστοιχούσε µε βεβαιότητα ένα συγκεκριµένο επακόλουθο, η βέλτιστη απόφαση θα ήταν εκείνη µε το πιο επιθυµητό επακόλουθο Είναι δυνατό, ανάλογα µε το επακόλουθο της κάθε εναλλακτικής απόφασης να ανακύπτουν νέα προβλήµατα αποφάσεων 7
ιάκριση Προβληµάτων Αποφάσεων Εισαγωγικά Στοιχεία στην Ανάλυση Αποφάσεων Υπάρχουν προβλήµατα αποφάσεων, στα οποία τα πιθανά επακόλουθα είναι άγνωστα. Αναλόγως της περίπτωσης, µπορούµε να διακρίνουµε τα προβλήµατα σε: Προβλήµατα διακινδύνευσης Η πιθανότητα ότι το κάθε επακόλουθο θα συµβεί είναι γνωστή Προβλήµατα αβεβαιότητας Η πιθανότητα ότι το κάθε επακόλουθο θα συµβεί είναι άγνωστη 8
Εισαγωγικά Στοιχεία στην Ανάλυση Αποφάσεων Σε Ένα Πρόβληµα Αποφάσεων Πρέπει να Καθορισθούν τα Εξής: Οι δυνατές εναλλακτικές αποφάσεις Τα δυνατά ενδεχόµενα των τυχαίων φαινοµένων που θα επηρεάσουν ή θα διαµορφώσουν τα πιθανά επακόλουθα της κάθε απόφασης βάσει των οποίων θα αξιολογηθεί η απόφαση Οι πιθανότητες των ενδεχοµένων αυτών Η αξία κάθε πιθανού επακόλουθου κάθε εναλλακτικής απόφασης 9
Εισαγωγικά Στοιχεία στην Ανάλυση Αποφάσεων Παραδείγµατα Προβληµάτων ιακινδύνευσης & Αβεβαιότητας Γεώτρηση Τα αποτελέσµατα µπορούν να είναι πολλά και διάφορα (εύρεση πετρελαίου κάποιου τύπου, αερίων ή τίποτε) Περίπτωση πληµµύρας Αν διαθέτουµε υδρολογικά στοιχεία 20 ετών, µπορούµε ναπούµε ότι γνωρίζουµε την πιθανότητα του αν µέσα σε ένα χρόνο θα έχουµε πληµµύρα ή όχι 10
Παράδειγµα Ανάλυσης Αποφάσεων Εισαγωγικά Στοιχεία στην Ανάλυση Αποφάσεων Ένας εργολάβος οδοποιίας διατηρεί δοµικές µηχανές, αξίας ρχ 12,000,000. Το χειµώνα ο εργολάβος αναγκάζεται να διακόψει τις εργασίες του και πρέπει να αποθηκεύσει τις µηχανές. Υπάρχουν δύο χώροι διαθέσιµοι (δύο εναλλακτικές αποφάσεις): Ο ένας είναι κοντά στο ποτάµι, µε µηδενικό ενοίκιο. Οάλλος είναι πιο µακριά από το ποτάµι µε ενοίκιο ρχ75,000 το χρόνο. Υπάρχει το ενδεχόµενο πληµµύρας, οπότε αν χρησιµοποιηθεί ο πρώτος χώρος, ο εργολάβος θα υποστεί ζηµιά ρχ 2,000,000. 11
Πίνακας Επακόλουθων Εισαγωγικά Στοιχεία στην Ανάλυση Αποφάσεων Ενδεχόµενα Αξία Επακόλουθων Ε 1 : Πληµµύρα Ε 2 : Όχι Πληµµύρα Αποφάσεις (p 1 ) (p 2 ) Α 1 : 1ος χώρος -2,000,000 0 Α 2 : 2ος χώρος -75,000-75,000 υνατές αποφάσεις: Α 1, Α 2 (Α κ, κ=1,2) Πιθανά ενδεχόµενα: Ε 1, Ε 2 (Ε κ, κ=1,2) Πιθανότητες ενδεχοµένων: p 1, p 2 Αξία επακόλουθων 12
Παράδειγµα Ανεύρεσης Κοιτασµάτων Πετρελαίου Εισαγωγικά Στοιχεία στην Ανάλυση Αποφάσεων Ένας οργανισµός υπεύθυνος για ανεύρεση κοιτασµάτων πετρελαίου πρέπει να αποφασίσει αν θα κάνει ή όχι γεώτρηση σε µία περιοχή. εν είναι όµως σίγουροι για την ποσότητα πετρελαίου που υπάρχει και σκέπτονται να εκτελέσουν µερικές πειραµατικές δοκιµές για να αποκτήσουν περισσότερες πληροφορίες. Οι πειραµατικές (σεισµικές) δοκιµές θα κοστίσουν ρχ. 240,000 ενώ η κανονική γεώτρηση κοστίζει ρχ. 2,400,000. Αν βρεθεί πετρέλαιο, ταέσοδαθαείναι ρχ. 40,000,000. Ερώτηµα: Αξίζει να γίνουν δοκιµές ή όχι ; Αν γίνουν, πώς θα επηρεαστεί η απόφαση για γεώτρηση από τα αποτελέσµατα των δοκιµών ; 13
Εισαγωγικά Στοιχεία στην Ανάλυση Αποφάσεων Συστηµατοποίηση Aνάλυσης Τα προβλήµατα αποφάσεων είναι αρκετά πολύπλοκα, µε πολλές εναλλακτικές αποφάσεις, πολλά δυνατά ενδεχόµενα και αλληλουχίες αποφάσεων. Γι αυτό, ο αποφασίζων πρέπει να εξασφαλίσει τα εξής: Όλαταενδεχόµενα και οι επιπτώσεις θα πρέπει να ληφθούν υπόψη Οι αξιολογήσεις όλων των δυνατών αποφάσεων θα πρέπει να γίνουν σύµφωνα µε τις ίδιες προσωπικές κρίσεις και προτιµήσεις 14
Κριτήρια Απόφασης στη Θεωρία Αποφάσεων Κριτήρια Απόφασης στη Θεωρία Αποφάσεων Στη θεωρία αποφάσεων έχει καθιερωθεί η χρήση µίας σειράς εναλλακτικών κριτηρίων ώστε να επιλέγεται η απόφαση που πρέπει να ληφθεί. ιαδεδοµένακριτήριααποφάσεωνείναιταακόλουθα: Κριτήριο Μεγιστοποίησης Αναµενόµενης Απόφασης Κριτήριο Ελαχιστοποίησης Ζηµίας (Maximin) Κριτήριο Μεγιστοποίησης Κέρδους (Maximax) Κριτήρια Ελαχιστοποίησης Κόστους Ευκαιρίας (Minimax Regret) Λοιπά Κριτήρια 15
Κριτήρια Απόφασης στη Θεωρία Αποφάσεων Κριτήριο Μεγιστοποιήσεως Αναµενόµενης Απόδοσης Μία επιχείρηση παραγγέλνει κάθε εβδοµάδα ένα προϊόν προς αποθήκευση µε τιµή 150 και το πουλά προς 300. Το προϊόν έχει διάρκεια ζωής µόνο µία εβδοµάδα, πέραν της οποίας καθίσταται άχρηστο. Η επιχείρησηεκτιµά τις πιθανότητες ζήτησης για το προϊόν κατά τον τρόπο που απεικονίζεται στον Πίνακα Ι. Ζήτηση (Μονάδες) 0 0.10 1 0.30 2 0.40 3 0.20 Πιθανότητα Ζήτησης Ζητείται να επιλεχθεί η κατάλληλη ποσότητα παραγγελίας. Πραστάκος, 2003 16
Κριτήρια Απόφασης στη Θεωρία Αποφάσεων Κριτήριο Μεγιστοποιήσεως Αναµενόµενης Απόδοσης Το κριτήριο Μεγιστοποιήσεως Αναµενόµενης Απόδοσης είναι συνηθισµένο στη θεωρία αποφάσεων και χρησιµοποιείται στην τεχνική των δέντρων αποφάσεων Ο λήπτης της απόφασης επιλέγει εκείνη την απόφαση για την οποία ισχύει ότι ERk = max {ERj, j = 1,2,, n} Το κριτήριο θεωρείται αδιάφορο ως προς τον κίνδυνο αφού δε λαµβάνει υπόψη τη διασπορά που ενδεχοµένως υπάρχει µεταξύ των πραγµατικών αποδόσεων της απόφασης 17
Κριτήρια Απόφασης στη Θεωρία Αποφάσεων Κριτήριο Μεγιστοποιήσεως Αναµενόµενης Απόδοσης Ησχέσητηςαναµενόµενης απόδοσης µε χρήση του κριτηρίου µεγιστοποιήσεως αναµενόµενης απόδοσης: ERk = max {ERj, j = 1,2,, n} περιλαµβάνει τα ακόλουθα µεγέθη: Dk = Απόφαση εναλλακτικής περίπτωσης k ERk = ΑναµενόµενηαπόφασηαπότηναπόφασηDk n = ιαθέσιµες εναλλακτικές περιπτώσεις 18
Κριτήρια Απόφασης στη Θεωρία Αποφάσεων Πίνακας Αποδόσεων 0.1 0.4 0.3 0.2 Απόφαση Ενδεχόµενη Ζήτηση (Ύψος Παρ.) 0 1 2 3 0 0 0 0 0 1-150 150 150 150 2-300 0 300 300 3-450 -150 150 450 Ε-Κ = 300*1-150*2 Όταν η ζήτηση είναι µεγαλύτερη από την παραγγελία, χάνεται (χωρίς να χρεώνεται όµως ευκαιριακό κόστος) 19
Υπολογισµός Αναµενόµενων Αποδόσεων Κριτήρια Απόφασης στη Θεωρία Αποφάσεων ER 0 = 0*0.10 + 0*0.30 + 0*0.40 + 0*0.20 = 0 ER 1 = (-150)*0.10 + 150*0.30 + 150*0.40 + 150*0.20 = 120 ER 2 = (-300)*0.10 + 0*0.30 + 300*0.40 + 300*0.20 = 150 ER 3 = (-450)*0.10 + (-150)*0.30 + 150*0.40 + 450*0.20 = 60 Εποµένως, µε βάσητοκριτήριοτηςµεγιστοποίησης της αναµενόµενης απόδοσης, η βέλτιστη παραγγελία είναι η παραγγελία 2 µονάδων 20
Κριτήρια Απόφασης στη Θεωρία Αποφάσεων Τελικό Αποτέλεσµα 0.1 0.4 0.3 0.2 Απόφαση Ενδεχόµενη Ζήτηση (Ύψος Παρ.) 0 1 2 3 0 0 0 0 0 1-150 150 150 150 2-300 0 300 300 3-450 -150 150 450 0 120 150 60 ER 2 = (-300)*0.10 + 0*0.30 + 300*0.40 + 300*0.20 = 150 21
Κριτήρια Απόφασης στη Θεωρία Αποφάσεων Κριτήριο Ελαχιστοποίησης Ζηµίας (Maximin) Στο κριτήριο ελαχιστοποίησης ζηµίας επιλέγεται η απόφαση που εξασφαλίζει τη χαµηλότερη ζηµία που µπορεί να προκύψει Το κριτήριο εφαρµόζεται σε ειδικές περιπτώσεις όπου θα πρέπει να ελαχιστοποιηθεί η αναµενόµενη ζηµία Οαλγόριθµός του κριτηρίου έχει ως εξής: Καταγράφεται το χειρότερο δυνατό αποτέλεσµα που µπορεί να προκύψει από µία απόφαση κάτω από κάθε ενδεχόµενη κατάσταση Επιλέγεται η απόφαση που αντιστοιχεί στο καλύτερο από τα παραπάνω αποτελέσµατα 22
Κριτήρια Απόφασης στη Θεωρία Αποφάσεων Παράδειγµα Κριτηρίου Ελαχιστοποίησης Ζηµίας 0.1 0.4 0.3 0.2 Απόφαση Ενδεχόµενη Ζήτηση (Ύψος Παρ.) 0 1 2 3 0 0 0 0 0 1-150 150 150 150 2-300 0 300 300 3-450 -150 150 450 Επιλεγµένη απόφαση 23
Κριτήρια Απόφασης στη Θεωρία Αποφάσεων Κριτήριο Μεγιστοποιήσεως Κέρδους (Maximax) Στο κριτήριο µεγιστοποίησης κέρδους επιλέγεται η απόφαση µεγιστοποιεί το καλύτερο δυνατό αποτέλεσµα πουµπορεί να προκύψει Το κριτήριο εφαρµόζεται σε ειδικές περιπτώσεις και είναι ιδιαίτερα αισιόδοξο Οαλγόριθµός του κριτηρίου έχει ως εξής: Καταγράφεται το καλύτερο δυνατό αποτέλεσµα που µπορεί να προκύψει από µία απόφαση κάτω από κάθε ενδεχόµενη κατάσταση Επιλέγεται η απόφαση που αντιστοιχεί στο καλύτερο από τα παραπάνω αποτελέσµατα 24
Κριτήρια Απόφασης στη Θεωρία Αποφάσεων Παράδειγµα Κριτηρίου Μεγιστοποίησης Κέρδους 0.1 0.4 0.3 0.2 Απόφαση Ενδεχόµενη Ζήτηση (Ύψος Παρ.) 0 1 2 3 0 0 0 0 0 1-150 150 150 150 2-300 0 300 300 3-450 -150 150 450 Επιλεγµένη απόφαση 25
Κριτήρια Απόφασης στη Θεωρία Αποφάσεων Κριτήριο Ελαχιστοποίησης Κόστους Ευκαιρίας (Minimax Regret) Το κριτήριο αυτό µετρά το κόστος ευκαιρίας µίας απόφασης, δηλαδή την απώλεια απόδοσης που θα προκύψει µεταξύ αυτής τηςαπόφασηςκαιτηςκαλύτερηςδυνατήςαπόφασηςγιατη συγκεκριµένη εξωτερική κατάσταση Σε προβλήµατα αβεβαιότητας, το κριτήριο µεγιστοποίησης της αναµενόµενης απόδοσης και το κριτήριο της ελαχιστοποίησης του αντικειµενικού κόστους ευκαιρίας οδηγούν στην ίδια απόφαση 26
Κριτήριο Ελαχιστοποίησης Κόστους Κατασκευή Πίνακα Κόστους Ευκαιρίας Απόφαση Ενδεχόµενη Ζήτηση (Ύψος Παρ.) 0 1 2 3 Κριτήρια Απόφασης στη Θεωρία Αποφάσεων Για κάθε στήλη (ενδεχόµενη ζήτηση) καταγράφεται η µέγιστη δυνατή απόδοση 0 0 0 0 0 1-150 150 150 150 2-300 0 300 300 3-450 -150 150 450 Σε κάθε στοιχείο της κάθε στήλης, αφαιρείται από τη µέγιστη δυνατή τιµή ητιµή του κελίου 27
Κριτήρια Απόφασης στη Θεωρία Αποφάσεων Πίνακας Κόστους Ευκαιρίας Απόφαση Ενδεχόµενη Ζήτηση (Ύψος Παρ.) 0 1 2 3 0 0 150 300 450 1 150 0 150 300 2 300 150 0 150 3 450 300 150 0 Το κριτήριο Minimax regret προτείνει ως απόφαση εκείνη που ελαχιστοποιεί το αναµενόµενο κόστος ευκαιρίας EC i που προκύπτει από την κάθε απόφαση i 28
Πίνακας Κόστους Ευκαιρίας Κριτήρια Απόφασης στη Θεωρία Αποφάσεων Απόφαση Ενδεχόµενη Ζήτηση (Ύψος Παρ.) 0 1 2 3 0 0 150 300 450 1 150 0 150 300 2 300 150 0 150 3 450 300 150 0 EC 0 = 0*0.10 + 150*0.30 + 300*0.40 + 450*0.20 = 255 EC 1 = 150*0.10 + 0*0.30 + 150*0.40 + 300*0.20 = 150 EC 2 = 300*0.10 + 150*0.30 + 0*0.40 + 150*0.20 = 105 EC 3 = 450*0.10 + 300*0.30 + 150*0.40 + 0*0.20 = 195 29
Κριτήρια Απόφασης στη Θεωρία Αποφάσεων Παραλλαγή Κριτηρίου Ελαχιστοποίησης Κόστους Ευκαιρίας Εάν δεν είναι γνωστές οι πιθανότητες των ενδεχοµένων εξωτερικών καταστάσεων, το κριτήριο minimax regret ανάγεται στο κριτήριο minimax, µόνο που αντί του πίνακα αποδόσεως χρησιµοποιείται ο πίνακας κόστους ευκαιρίας Το κριτήριο αυτό επιλέγει την απόφαση εκείνη που ελαχιστοποιεί το χειρότερο δυνατό αποτέλεσµαπου µπορεί να προκύψει από την απόφαση αυτή 30
Κριτήρια Απόφασης στη Θεωρία Αποφάσεων Παραλλαγή Κριτηρίου Ελαχιστοποίησης Κόστους Ευκαιρίας Απόφαση Ενδεχόµενη Ζήτηση (Ύψος Παρ.) 0 1 2 3 0 0 150 300 450 1 150 0 150 300 2 300 150 0 150 3 450 300 150 0 Το παραλλαγµένο κριτήριο Minimax regret προτείνει ως απόφαση την παραγγελία ενός ή δύο µονάδων αφού και οι δύο περιπτώσει αντιστοιχούν σε µέγιστο δυνατό κόστος ευκαιρίας 300 31
Κριτήρια Απόφασης στη Θεωρία Αποφάσεων Αναµενόµενη Αξία Πλήρους Πληροφόρησης Ένα κλασικό ερώτηµα που τίθεται στις επιχειρήσεις είναι η τιµή για την οποία µία επιχείρηση θα ήταν διατεθειµένη να αγοράσει συγκεκριµένη πληροφόρηση Η πλήρης πληροφόρηση θα µπορούσε να έχει τη µορφή µίας αναφορά µίας συµβουλευτικής υπηρεσίας ή µίας συγκεκριµένης έρευνας Το τίµηµα που θα ήταν διατεθειµένη να πληρώσει µία επιχείρηση για την πλήρη πληροφόρηση ονοµάζεται Αναµενόµενη Αξία Πλήρους Πληροφόρησης (Expected Value of Perfect Information) 32
Κριτήρια Απόφασης στη Θεωρία Αποφάσεων Αναµενόµενη Αξία Πλήρους Πληροφόρησης H Αναµενόµενη Αξία Πλήρους Πληροφόρησης ισούται µε τη διαφορά που προκύπτει µεταξύ της αναµενόµενης απόδοσης του σεναρίου πλήρους πληροφόρησης και της αναµενόµενης απόδοσης από την ισχύουσα κατάσταση Ο τύπος που περιγράφει την Αναµενόµενη Αξία Πλήρους Πληροφόρησης (EVPI) εκφράζεται ως: EVPI = ER(µε πλήρη πληροφόρηση) ER(µε παρούσα πληροφόρηση) 33
Αναµενόµενη Αξία Πλήρους Πληροφόρησης Ζήτηση Άριστη Απόφαση µε Πλήρη Πληροφόρηση Πραγµατική Απόδοση Κριτήρια Απόφασης στη Θεωρία Αποφάσεων Πιθανότητα Ζήτησης 0 0 0 0.10 1 1 150 0.30 2 2 300 0.40 3 3 450 0.20 Ηαναµενόµενη απόδοση µε πλήρη πληροφόρηση ισούται µε το άθροισµα των γινοµένων της πραγµατικής απόδοσης µε την πιθανότητα ζήτησης ή 0*0.10+150*0.30+300*0.40+450*0.20 = 255. Από την άλλη πλευρά, µε την παρούσα πληροφόρηση, η άριστη παραγγελία που µεγιστοποιεί την αναµενόµενη απόδοση είναι 150 (κριτήριο µέγιστης αναµενόµενης απόδοσης) Το ανώτατο τίµηµα που θα πλήρωνε η επιχείρηση για να αποκτήσει πλήρη πληροφόρηση για τη µελλοντική ζήτηση είναι 255-150=105 34
Πρότυπο Ανάλυσης - έντρο Αποφάσεων Πρότυπο Ανάλυσης Αποφάσεων Ένα πρόβληµα αποφάσεων µε πεπερασµένο αριθµό εναλλακτικών αποφάσεων και πεπερασµένο αριθµό δυνατών ενδεχοµένων για κάθε τυχαίο φαινόµενο, µπορεί να απεικονιστεί µε ένα δικτυωτό πρότυπο, το οποίο ονοµάζεται έντρο Αποφάσεων (.Α.) Κάθε έντρο Αποφάσεων αποτελείται από κόµβους και από κλάδους 35
Πρότυπο Ανάλυσης Αποφάσεων Είδη Κόµβων Κόµβος απόφασης: Αντιστοιχεί σε ένα πρόβληµα αποφάσεων. Κάθε εναλλακτική απόφαση του αντίστοιχου προβλήµατος δείχνεται ως ένας κλάδος που ξεκινά από τον κόµβο αυτόν Κόµβος τύχης: Όταν, µετά από τη λήψη µίας απόφασης υπάρχουν διάφορα δυνατά επακόλουθα ανάλογα µε τηνέκβαση ενός τυχαίου φαινοµένου, τότε ο κλάδος απόφασης καταλήγει σε έναν κόµβο τύχης. Από τον κόµβο τύχης ξεκινούν κλάδοι ενδεχοµένων, ένας κλάδος για κάθε δυνατό ενδεχόµενο Κόµβος επακόλουθων: είχνει το τέλος (το τελικό επακόλουθο) µιαςσειράςαποφάσεωνκαιµεσολαβούντων τυχαίων εκβάσεων ενός τυχαίου φαινοµένου 36
Πρότυπο Ανάλυσης Αποφάσεων Γραφική Παράσταση Κόµβων Κόµβος απόφασης Κόµβος τύχης Κόµβος επακόλουθου Α κ Ε κ r κ-στή εναλλακτική απόφαση ρ-στό ενδεχόµενο µετά την απόφαση Α κ 37
Πρότυπο Ανάλυσης Αποφάσεων έντρο Αποφάσεων - Γενική Μορφή E 1 1... Α 1 Α2 E 1 m 1 Α κ Α n... 2... E κ 1 E κ r... 3... 38
Πρότυπο Ανάλυσης Αποφάσεων Ορισµένοι Βασικοί Κανόνες... Σε κόµβο τύχης µπορεί να καταλήγει είτε κλάδος απόφασης, ή κλάδος ενδεχοµένου Η αξία του επακόλουθου (δηλαδή οι επιπτώσεις της σειράς των αποφάσεων που καταλήγουν στον κόµβο του επακόλουθου) συνήθως αναγράφεται κοντά στον αντίστοιχο κόµβο και είναι θετική ή αρνητική σύµφωνα µε µία παραδεκτή συνθήκη Ένας κλάδος απόφασης µπορεί να καταλήγει και σε έναν κόµβο απόφασης (συµβαίνει όταν σαν συνέπεια της πρώτης απόφασης θα πρέπει να αντιµετωπιστεί ένα δεύτερο πρόβληµα αποφάσεων Οαριθµός των κόµβων και των κλάδων ενός.α. εξαρτάται από το συγκεκριµένο πρόβληµα αποφάσεων 39
Πρότυπο Ανάλυσης Αποφάσεων έντρο Αποφάσεων Παραδείγµατος 1 Α 1 :1ος χώρος πληµµύρα 2,000,000 όχι πληµµύρα 0 1 Α 2 :2ος χώρος 75,000 40
Πρότυπο Ανάλυσης Αποφάσεων έντρο Αποφάσεων Παραδείγµατος 2 Όχι Γεώτρηση 0 1-0.24 εκ δ Γχωρίς Γ=Γεώτρηση Α = οκιµές Θ=Θετικές οκιµές Α=Αρνητικές οκιµές Π=Αρκετό Πετρέλαιο Τ=Όχι Αρκετό Πετρέλαιο -2.40 εκ 3 Θ Γ -2.40 εκ α 2 β -2.40 εκ γ +40 εκ 41 Π +40 εκ Τ 0 Π +40 εκ Τ Όχι Γ Όχι Γ 0 Π Τ 0 +37.60-2.4 +37.36-2.64-0.24-0.24 +37.36-2.64
Πρότυπο Ανάλυσης Αποφάσεων Ισοδύναµο έντρο Παραδείγµατος 2 1 Όχι Γ Όχι Γ Π 1 α Τ δ Ακριβώς ίδιο µε τοτµήµα του προηγούµενου έντρου 42
Πρότυπο Ανάλυσης Αποφάσεων Απαραίτητα Στοιχεία για τον Σχεδιασµό Ενός.Α. Το κόστος ή το όφελος που αναφέρεται σε µία απόφαση ή σε ένα αποτέλεσµα τυχαίουφαινοµένου σηµειώνεται στον αντίστοιχο κλάδο Η αξία του επακόλουθου κάθε συνδυασµού αποφάσεων και τυχαίων αποτελεσµάτων αναγράφεται κοντά στον αντίστοιχο τελικό κόµβο Ηαξίαισούταιµε το άθροισµα των εξόδων (-) και ωφελειών (+) που εµφανίζονται σε όλους τους κλάδους στη διαδροµή απότονκόµβο της πρώτης απόφασης έως τον τελικό κόµβο Η κάθε διαδροµή αντιστοιχεί σε µια δυνατή ακολουθία αποφάσεων και τυχαίων αποτελεσµάτων Οσυνδυασµός όλων των δυνατών διαδροµών αποτελεί το έντρο Αποφάσεων του προβλήµατος 43
Πρότυπο Ανάλυσης Αποφάσεων υσκολίες Επίλυσης Προβληµάτων Αποφάσεως Το βασικότερο και δυσκολότερο ίσως στάδιο αποτελεί η αναγνώριση και κατάταξη των διαδοχικών αποφάσεων και των συνεπειών τους Αρκετά δύσκολο επιπρόσθετο πρόβληµα είναι ο υπολογισµός των πιθανοτήτων των διαφόρων ενδεχοµένων Ηεκτίµηση της αξίας κάθε επακόλουθου είναι ένα ακόµα πρόβληµα Ηλεπτοµέρεια και η ακρίβεια θα πρέπει να ισοζυγιστούν στην επίλυση του κάθε προβλήµατος ανάλογα µε: την χρησιµότητα του µοντέλου την αναλυτική ικανότητα του µελετητή την αρµοδιότητα του αναλυτή την ύπαρξη δεδοµένων και το απαιτούµενο κόστος και χρόνο απόκτησής τους 44
Προσδοκώµενη Χρηµατική Τιµή (ΠΧΤ) Κριτήριο Προσδοκώµενης Χρηµατικής Αξίας Όταν ένας οργανισµός αντιµετωπίζει το ίδιο πρόβληµα επαναλαµβανόµενα, είναι δυνατό να προβλεφθεί η µέση ή πρσοδοκώµενη τιµή του οφέλους, χωρίς να είναι δυνατή η πρόβλεψη του ακριβούς οφέλους µιας συγκεκριµένης ενέργειας Στο παράδειγµα µε τηνγεώτρηση, το αναµενόµενο όφελος από την γεώτρηση θα είναι ή ρχ 40,000,000 (µε κάποια πιθανότητα p) ή µηδέν (µε πιθανότητα 1-p), χωρίς να λαµβάνεται υπόψη το κόστος της γεώτρησης 45
Καταλληλότητα Κριτηρίου ΠΧΤ Κριτήριο Προσδοκώµενης Χρηµατικής Αξίας Το όφελος Φ που προκύπτει από µια συγκεκριµένη γεώτρηση είναι τυχαία µεταβλητή µε κατανοµή: P(Φ=40 εκ) = p P(Φ=0 εκ) = 1-p Η µέση προσδοκώµενη τιµή συµβολίζεται E(Φ) και είναι ίση µε 40p+0(1-p) Ενώ δεν µπορείναπροβλεφθείτοόφελοςµιας µόνο γεώτρησης, αν γίνουν n γεωτρήσεις, ηπροσδοκώµενη τιµή του ολικού οφέλους θα είναι n 40 p Όσο µεγαλύτερο είναι το n, τόσο το ολικό όφελος θα πλησιάζει την παραπάνω τιµή, οπότε το µέσοόφελοςκατάτηγεώτρησηθαείναι40 p Το κριτήριο της προσδοκώµενης χρηµατικής τιµής µπορεί να χρησιµοποιηθεί επιτυχώς µόνον όταν προβλέπονται επαναλήψεις του ίδιου πειράµατος 46
Πρόβληµα ΡίψηςΝοµίσµατος Κριτήριο Προσδοκώµενης Χρηµατικής Αξίας Μας γίνεται µια πρόταση να παίξουµε το εξής τυχερό παιχνίδι: Ρίχνουµε ένα κέρµα. Αν έλθει κορόνα, κερδίζουµε ρχ. 1000. Αν έλθει γράµµατα, χάνουµε ρχ. 500. Θα παίξουµε ήόχι; Α 1 : Όχι 0 1 Α 2 : Ναι Κορόνα p=0.5 Γράµµατα 1-p=0.5 +1000-500 Η ΠΧΤ είναι (1000)*0.5 - (500)*0.5 = 250 Εποµένως, πρέπει να παίξουµε 47
Κριτήριο Προσδοκώµενης Χρηµατικής Αξίας Απαραίτητες Πληροφορίες...? Πόσες φορές θα παιχθεί το παιχνίδι; Όσο περισσότερες φορές παίζεται, τόσο πιο δελεαστικό γίνεται? Πόσα χρήµατα διαθέτω; Με άλλα λόγια, πόση χρησιµότητα έχουν για µένα οι ρχ 500 πουίσωςχάσω; Όσο περισσότερα έχω, τόσο πιο λίγη είναι η αξία τους και τόσο πιο δελεαστικό είναι το παιχνίδι 48
Παραδείγµατος 1 Συνέχεια... Κριτήριο Προσδοκώµενης Χρηµατικής Αξίας Ελάχιστη ΠΧΤ ΠΧΤ της Α 1 75 ΠΧΤ της Α 2 0 0.0375 p Εάν ο εργολάβος επαναλαµβάνει κάθε χρόνο την απόφαση αποθήκευσης του εξοπλισµού, η µέση αξία της απόφασης πλησιάζει την ΠΧΤ για την απόφαση Κάθε χρόνο θα αποφασίζει µε το ελάχιστο προσδοκώµενο κόστος (κόκκινη γραµµή σχήµατος) ΠΧΤ(Α 1 )=75,000, ΠΧΤ(Α 2 )=2,000,000 p=φ 49
και Λίγη Θεωρία Πιθανοτήτων... ΑντοσταθερόετήσιοποσόείναιΚ, η πιθανότητα ότι το όφελος θα είναι θετικό είναι: Κριτήριο Προσδοκώµενης Χρηµατικής Αξίας Φ-µ Φ P(K-Φ>=0) = P(Φ<=Κ) = P <= σ Φ /SQRT(n) K-µ Φ σ Φ /SQRT(n) όπου: µ Φ = πραγµατική µέση τιµή τωνδυνατώντιµών του Φ σ Φ2 = διασπορά των τιµών του Φ n = αριθµός περιπτώσεων Αν το n είναι αρκετά µεγάλο, το Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα (ΚΟΘ) δίνει: όπου: Ζ= Φ-µ Φ σ Φ /SQRT(n) P(Φ<=Κ) = Ν Ζ (0,1) Ν Ζ (0,1) = τυπική κανονική κατανοµή γιατηντυχαίαµεταβλητή z 50
Κριτήριο Προσδοκώµενης Χρηµατικής Αξίας Υπολογισµός ΠΧΤ των Κόµβων Ενός.Α. (1/2) Για τον υπολογισµό τηςπχττωνκόµβων σε ένα.α., προχωρούµε ωςεξής: Ξεκινώντας από τους τελικούς κόµβους του δέντρου και προχωρώνταςπροςτουςαρχικούςκόµβους αποφάσεων, σε κάθε κόµβο αποφάσεων, σε κάθε κόµβο τύχης θέτουµε: Μ ΠΧΤ i = Σ x κ p κ (κόµβος τύχης i) όπου: κ=1 Μ: αριθµός εξερχόµενων κλάδων από τον κόµβο I x 1, x 2,, x M : χρηµατικές τιµές των δυνατών αποτελεσµάτων για κάθε κλάδο p 1, p 2,. p M : πιθανότητες των δυνατών αποτελεσµάτων 51
Κριτήριο Προσδοκώµενης Χρηµατικής Αξίας Υπολογισµός ΠΧΤ των Κόµβων Ενός.Α. (2/2) Για τον υπολογισµό τηςπχττωνκόµβων σε ένα.α., συνεχίζουµε ωςεξής: Σε κάθε κόµβο απόφασης j µε Ν εξερχόµενους κλάδους, θέτουµε: ΠΧΤ j = Βέλτιστη κ (ΠΧΤ κ j), όπου: (ΠΧΤ κ j): ηπχττουκ-στού κλάδου που εξέρχεται από τον κόµβο j (δηλαδή της κ-στης εναλλακτικής απόφασης) Η ΠΧΤ του κλάδου ισούται µε τηνπχττουκόµβου όπου καταλήγει ο κλάδος µείον το τυχόν κόστος που απαιτείται για την εφαρµογή της απόφασης 52
Κριτήριο Προσδοκώµενης Χρηµατικής Αξίας Βέλτιστη Ακολουθία Αποφάσεων Η τελική βέλτιστη ΠΧΤ του προβλήµατος αποφάσεων είναι η βέλτιστη επιλογή στον πρώτο κόµβο αποφάσεων (τη ρίζα του.α.) Η βέλτιστη σειρά αποφάσεων (ή βέλτιστοσχέδιοδράσης) αντιστοιχεί στη σειρά των κλάδων του.α. (απότηρίζαωςτις κορυφές) στους οποίους αντιστοιχούν οι ΠΧΤ που έχουν ήδη επιλεγεί σε κάθε κόµβο αποφάσεων 53
Κριτήριο Προσδοκώµενης Χρηµατικής Αξίας Παράδειγµα 3 - Πιθανότητες... A priori πιθανότητα πετρελαίου (πριν από δοκιµές) = 0.7 Πιθανότητα θετικών δοκιµών = 0.4 Πιθανότητα αρνητικών δοκιµών = 0.6 P(Πετρέλαιο/ θετική δοκιµή) = 0.8 P(Πετράλαιο/ αρνητική δοκιµή) = 0.5 54
Νέο έντρο Αποφάσεων Παραδείγµατος 2 δ 0.6 Γχωρίς 25.60 εκ -2.40 εκ 0 Τ 0.3 40 εκ 29.6 εκ 32 εκ 1 0.8 22.16 εκ. 2 β -2.40 εκ 0 0.4 Θ -0.24 εκ 0.2 Όχι Γ 0 22.40 εκ Όχι Γεώτρηση 17.6 εκ 3 Γ -2.40 εκ 28 εκ α 20 εκ Γ γ 0 0 0.5 55 40 εκ 0.7 Όχι Γ 0 40 εκ 0.5 Π Π Τ Π Τ Κριτήριο Προσδοκώµενης Χρηµατικής Αξίας ΠΧΤ α =40*0.7+0*0.3=28 ΠΧΤ β =40*0.8+0*0.2=32 ΠΧΤ γ =40*0.5+0*0.5=20 ΠΧΤ 2 =Max{(32-2.4),0}=29.6 ΠΧΤ 3 =Max{(20-2.4),0}=17.6 ΠΧΤ δ =29.6*0.4+17.6*0.6=22.40 ΠΧΤ 1 = Max{0, (28-2.40), (22.40-0.24)}= =25.60
Πρότυπο Ανάλυσης Αποφάσεων έντρο Αποφάσεων Παραδείγµατος 2 Όχι Γεώτρηση 0 1-0.24 εκ δ Γχωρίς Γ=Γεώτρηση Α = οκιµές Θ=Θετικές οκιµές Α=Αρνητικές οκιµές Π=Αρκετό Πετρέλαιο Τ=Όχι Αρκετό Πετρέλαιο -2.40 εκ 3 Θ Γ -2.40 εκ α 2 β -2.40 εκ γ +40 εκ 56 Π +40 εκ Τ 0 Π +40 εκ Τ Όχι Γ Όχι Γ 0 Π Τ 0 +37.60-2.4 +37.36-2.64-0.24-0.24 +37.36-2.64
Κριτήριο Προσδοκώµενης Χρηµατικής Αξίας Παράδειγµα 3 - Βέλτιστη Λύση... Η βέλτιστη λύση είναι να γίνει γεώτρηση χωρίς δοκιµές Θα ξοδευτούν 2.4 εκατοµµύρια Ήθαυπάρξεικέρδος40 εκατοµµυρίων (µε πιθανότητα0.7) [καθαρό όφελος 37.6 εκ.] Ήθαέχουµε κέρδος 0 (µε πιθανότητα0.3) [καθαρό χάσιµο 2.4 εκ.] 57
Θέµατα για Συζήτηση - Συµπεράσµατα Ερωτήσεις... 58