Bobine de reactanţă fără miez feromagnetic

Bobine de reactanţă fără miez feromagnetic

Anoaica Nicolae Anoaica Paul - Gabriel Bobine de reactanţă fără miez feromagnetic 009

Prefaţă Lucrarea se adresează inginerilor electrotehnicieni proiectanţi, energeticienilor şi specialiştilor în acţionări electrice, care se confruntă cu problematica dimensionării bobinelor de reactanţă limitatoare de curent fără miez feromagnetic conectate în serie în circuitele electrice, precum şi studenţilor care se pregătesc în specialităţile electrotehnică, energetică şi acţionari electrice. Conţinutul volumului este organizat în următoarele părţi: teoretizarea şi rezolvarea problemelor în prima parte şi realizarea calculului într-un caz concret, bazat şi pe un software propriu în partea Anexă. Se urmăreşte clarificarea acestui tip de problematică, pe baza unei experienţe în domeniu de aproximativ 35 de ani, în ideea în care practica electrotehnică la nivel naţional este într-o stare de declin vremelnic. Se doreşte astfel predarea unei ştafete, pentru a se reporni dintr-un teren desţelenit. Autorii 5

Bobine de reactanţă fără miez feromagnetic 6

Cuprins: PREFAŢĂ...5 CUPRINS:... 7 1. INTRODUCERE... 9. CALCULUL DE PREDIMENSIONARE AL BOBINEI DE REACTANŢĂ FĂRĂ MIEZ FEROMAGNETIC, REALIZATĂ DIN SOLENOIZI CONCENTRICI, CU ÎNĂLŢIMI EGALE, CONECTAŢI ÎN PARALEL... 1 3. SCHIMBUL DE CĂLDURĂ... 5 4. DENSITATEA ADMISIBILĂ DE CURENT ÎN ÎNFĂŞURĂRILE DE CUPRU. 30 5. DENSITATEA ADMISIBILĂ DE CURENT ÎN ÎNFĂŞURĂRILE DE ALUMINIU... 40 6. CALCULUL PIERDERILOR ÎN REGIM PERMANENT DE FUNCŢIONARE 50 7. VERIFICAREA ÎNCĂLZIRII ÎN REGIM NOMINAL DE FUNCŢIONARE... 53 8. FUNCŢIONAREA LA CURENTUL NOMINAL DE SCURTĂ DURATĂ (CURENTUL DE SCURTCIRCUIT BRUSC)... 58 9. VERIFICAREA FUNCŢIONARII BOBINEI LA FORŢELE ELECTRODINAMICE... 61 9.1 RELAŢII GENERALE PENTRU CALCULUL FORŢELOR...61 9. FORŢELE ELECTROMAGNETICE ÎN BOBINELE CILINDRICE...6 9.3 FORŢELE DINTRE DOUĂ BOBINE CILINDRICE IDENTICE COAXIALE...71 9.4 FORŢELE ÎNTRE DOUĂ BOBINE CILINDRICE IDENTICE CU AXELE PARALELE AŞEZATE LA ACEEAŞI COTĂ...73 ANEXA A.1: ALEGEREA BOBINELOR DE REACTANŢĂ LIMITATOARE DE CURENT PENTRU PROTECŢIA CIRCUITELOR ELECTRICE. EXEMPLUL NUMERIC... 78 ANEXA A.: BOBINA DE REACTANŢA BR-6000-500-5, USCATĂ, FĂRĂ MIEZ FEROMAGNETIC, DE TIP SERIE DEFINITA ÎN CEI 60076-6: 007. EXEMPLUL NUMERIC: CALCULUL DE DIMENSIONARE... 80 A..1. DATE NOMINALE:...80 A... CALCULUL DE PREDIMENSIONARE...81 A..3. CALCULUL PIERDERILOR ÎN REGIM PERMANENT DE FUNCŢIONARE...88 A..4. VERIFICAREA ÎNCĂLZIRII ÎN REGIM NOMINAL DE FUNCŢIONARE...89 A..5 VERIFICAREA FUNCŢIONARII LA CURENTUL NOMINAL DE SCURTĂ DURATĂ...90 A..6 VERIFICAREA LA FORŢELE ELECTROMAGNETICE...91 BIBLIOGRAFIE:... 95 7

Bobine de reactanţă fără miez feromagnetic 8

Bobine de reactanţă fără miez feromagnetic 1. Introducere Noţiunea de bobina de reactanţa sau de bobina de inductanţa este atribuita elementelor unui circuit electric sau ale unui sistem energetic care în regim electromagnetic cvasistaţionar sunt considerate ca având numai o inductivitate, respectiv o reactanţa inductivă. Introducerea acestora în sistemul energetic are drept scop producerea unei căderi de tensiune când este parcursa de un curent alternativ sau un curent variabil în timp, respectiv realizarea unui schimb de putere reactiva cu sistemul. Căderea de tensiune în curent alternativ produsa de bobina de reactanţă, în ipoteza că se neglijează rezistenţa înfăşurării şi se consideră regimul cvasistaţionar, este dată de relaţia: U b = π f L I. Căderea de tensiune este proporţională cu valoarea efectivă a curentului I şi cu frecvenţa f, dacă se presupune că inductivitatea L a bobinei este constantă. Puterea reactivă a bobinei este: Q = U b /(π f L) ; Puterea reactivă variază proporţional cu pătratul tensiunii la bornele bobinei, dacă inductivitatea L este presupusă constantă. La bobinele cu miez de fier, odată cu creşterea tensiunii se produce saturaţia miezului feromagnetic; inductivitatea L scade, având ca 9

Bobine de reactanţă fără miez feromagnetic urmare o creştere a puterii reactive în funcţie de tensiunea la borne mai rapidă decât cu pătratul valorii tensiunii. Figura 1: Dimensiunile optime ale bobinei fără miez feromagnetic Bobinele de reactanţă se utilizează în diferite scopuri: pentru compensarea puterii reactiv capacitive în reţelele electrice, pentru limitarea curenţilor de scurtcircuit în sistemul energetic sau pentru limitarea curenţilor de pornire la motoarele de inducţie, pentru filtrarea armonicilor din curba curentului alternativ sau pentru netezirea curentului continuu în instalaţiile de redresare, pentru tratarea reţelelor electrice împotriva punerilor la pământ, precum şi pentru protecţia liniilor de înaltă tensiune împotriva supratensiunilor. Construcţia bobinelor cilindrice fără miez feromagnetic cu dimensiunile din figura 1 corespund unui optim tehnico-economic, realizând la o valoare data a inductivităţii, un volum minim al înfăşurărilor. Construcţia optimă se obţine atunci când sunt îndeplinite următoarele condiţii [3], [8]: - bobina este pătrată: h = b = a; - latura pătratului are valoarea: b= d m / 3, unde d m = (d i + d E ) / este diametrul mediu al înfăşurării; rezultă că diametrul interior al înfăşurării va fi d i = b (raza interioară a înfăşurării este R i = b), iar diametrul exterior al înfăşurării: d E = 4b. 10

Figura : Funcţia V / V 0 = f (h / b) Construcţia optimă nu este critică în sensul că la abateri relativ însemnate ale raportului dimensiunilor rezultă o creştere relativ mică a volumului. În figura s-a reprezentat grafic volumul bobinei V raportat la volumul corespunzător construcţiei optime V 0, în funcţie de raportul dintre înălţimea h a acesteia şi raza sa interioară R i = b; din graficul reprezentat în figura rezultă ca se pot construi bobine cu rapoarte ale dimensiunilor diferite între anumite limite faţă de cele optime, deoarece creşterea volumului înfăşurării este relativ mică. La proiectarea bobinelor se urmăreşte faptul ca suprafaţa ocupată de bobine să fie cât mai mică pentru a ocupa cat mai puţin din suprafaţa staţiei electrice în care se va monta; în acest scop bobinele fără miez feromagnetic se construiesc cu o înălţime mai mare decât înălţimea optimă. Această construcţie este favorabila şi pentru procesul de transmisie a căldurii, deoarece creşte suprafaţa bobinei. Condiţiile principale pe care trebuie să le satisfacă construcţia bobinelor fără miez feromagnetic sunt următoarele [7]: - Sa prezinte o stabilitate mecanică corespunzătoare la acţiunea 11

Bobine de reactanţă fără miez feromagnetic forţelor electrodinamice produse de curentul de scurtcircuit brusc maxim admisibil; - Sa asigure o transmisie bună a căldurii dezvoltate în bobina în regimul de funcţionare în regimul de durată, astfel încât valoarea temperaturii conductoarelor sa fie sub valoarea maximă admisibilă determinată de clasa de izolaţie; căldura dezvoltată în regimul tranzitoriu de curentul de scurtcircuit să nu conducă la o temperatură care să depăşească valoarea permisă în funcţie de clasa de izolaţie şi de natura materialului; - Să prezinte o izolaţie corespunzătoare între spire între borne dar şi faţă de masa la valoarea maxima a tensiunii care apare la bornele bobinei în regimul tranzitoriu. Bobina de reactanţă fără miez feromagnetic realizată cu înfăşurarea din solenoizi concentrici conectaţi în paralel asigură îndeplinirea condiţiilor tehnice mai sus menţionate.. Calculul de predimensionare al bobinei de reactanţă fără miez feromagnetic, realizată din solenoizi concentrici, cu înălţimi egale, conectaţi în paralel Inductivitatea unei bobine de reactanţă cilindrice, fără miez feromagnetic, poate fi determinată cu următoarele relaţii de calcul [1-3]: unde: L = λ D w 10-7 [H], (1) - λ este un coeficient care depinde de geometria bobinajului şi este dat în nomogramele din figura 3 (a şi b), în funcţie de rapoartele: d i / d E şi h /d E (d E /h); 1

- d E [m]- diametrul exterior al bobinajului; - d i [m]- diametrul interior al bobinajului; - h [m]- înălţimea bobinei (dimensiunea pe direcţie axială a bobinajului); - w - numărul de spire care ocupă întregul volum al bobinajului. Figura 3.1: Nomogramele pentru determinarea coeficientului λ din formula (1) unde: L = μ 0 w π d m 1 4 h - μ 0 = 4 π 10-7 [H / m], permeabilitatea vidului; L k L [H], () - w - numărul de spire care ocupă întregul volum al bobinajului; - d m [m] - diametrul mediu al bobinajului; 13

Bobine de reactanţă fără miez feromagnetic - h [m] - înălţimea bobinei (dimensiunea pe direcţie axială a bobinajului); - k L - un coeficient ce depinde de geometria bobinajului şi este dat în nomogramele din figura 4, în funcţie de rapoartele: h / d m şi b / d m, în care b [m] este grosimea bobinajului (dimensiunea pe direcţie radială). Figura 3.: Nomogramele pentru determinarea coeficientului λ din formula (1) 14

Figura 4.1: Nomogramele pentru determinarea coeficientului K L din formula () unde: L = μ 4 π 0 w d m φ [H], (3) - μ 0 = 4π 10-7 [H / m], permeabilitatea vidului; - w - numărul de spire care ocupă întregul volum al bobinajului; - d m = ½ (d E + d i ) [m] - diametrul mediu al bobinajului; 15

Bobine de reactanţă fără miez feromagnetic - φ - o mărime a cărei valoare poate fi determinată din nomogramele reprezentate în figura 5 (a, b şi c), în funcţie de parametrii ρ şi α; pe axa absciselor s-a reprezentat parametrul: ρ = b / d m, în care b = ½ (d E - d i ) [m] este grosimea bobinajului (dimensiunea pe direcţie radială) - iar pe axa ordonatelor s-a reprezentat parametrul α = h / d m, în care h este înălţimea bobinajului (dimensiunea pe direcţie axială). Figura 4.: Nomogramele pentru determinarea coeficientului K L din formula () 16

Figura 5.1: Nomogramele pentru determinarea coeficientului φ din formula (3) 17

Bobine de reactanţă fără miez feromagnetic Figura 5.: Nomogramele pentru determinarea coeficientului φ din formula (3) 18

Figura 5.3: Nomogramele pentru determinarea coeficientului φ din formula (3) 19

Bobine de reactanţă fără miez feromagnetic În figura 6 este prezentată schematic secţiunea longitudinală a unei bobine realizata din N solenoizi concentrici conectaţi în paralel. Figura 6: Dimensiunile geometrice ale unei bobine cilindrice realizata din N solenoizi conectaţi in paralel. Din analiza relaţiilor de calcul (1), () şi (3) rezultă ca în cazul unei bobine care are geometria bobinajului predeterminată, inductivitatea L este o funcţie care variază linear cu pătratul numărului de spire: unde: L = k f w, (4) - k f, este coeficientul de formă un invariant pentru bobinele care au dimensiunile identice; 0

- w, este numărul de spire care ocupă întreg volumul bobinajului. Considerăm bobina prezentată în figura 7 cu dimensiunile invariante: - fereastra bobinei: ΔR h, unde ΔR = b = ½ (d E - d i ) este grosimea bobinajului (dimensiunea pe direcţie radială), iar h este înălţimea bobinajului (dimensiunea pe direcţie axială); - diametrele: d i şi d E. Pentru un număr de spire w N, care ocupă întreaga fereastră a bobinei ΔR h, L N = k f w N, (5) În ipoteza în care fiecare spiră a celor w N spire este formata dintr-un mănunchi de spire elementare cu secţiunea g = 1 mm, atunci numărul de spire elementare care ocupă întreaga fereastră a bobinei va fi dat de relaţia: n0 n N w = V w N, (6) g unde: - n 0 n V N [m ], este secţiunea aparentă a spirei bobinei, în care n 0 şi n V - sunt dimensiunile pe direcţie radială, respectiv axială, a secţiunii dreptunghiulare a spirei solenoidului (sunt incluse atât majorările datorate izolaţiei conductoarelor cât şi cele datorate creşterii pe ambele direcţii ale bobinajului), iar N - este numărul de solenoizi conectaţi în paralel; - g = 1 10-6 m, secţiunea spirei elementare. 1

Bobine de reactanţă fără miez feromagnetic Figura 7: Notaţiile folosite pentru determinarea inductivităţii de calcul L c pentru bobina echivalentă Inductivitatea acestei bobine va fi dată de relaţia: Din relaţiile (5), (6) şi (7) rezultă L B = k f w. (7) n n g L B = ( 0 V ) L N. (8) Dacă considerăm că întreg spaţiul disponibil al ferestrei bobinei ΔR h (inclusiv spaţiile aferente canalelor de răcire şi izolaţiei conductorilor), este umplut compact cu spirele elementare de secţiune g = 1mm, atunci se obţine o bobină echivalentă care are inductivitatea de calcul L c dată de relaţia: unde: N L c = k f w, (9) w = ( n + ) ( ) 0 k 0 n + v kv N w N. (10) g Din relaţiile (5), (9) şi (10) rezultă expresia inductivităţii de calcul L c a bobinei echivalente: L c = Combinând relaţiile (8) şi (11) rezultă: ( n0 + k0 ) ( nv + kv ) N L N. (11) g

L C L = ( n ) ( ) 0 + k 0 nv + kv = 0 0 B 1+ + n0 n 0 n kv + n k 0 k n v v v v Din combinaţia relaţiilor (8) şi(1) L c = n 0 n N g v 0 k k0 k 1 + + + v 0 n v v n0 n v n k. (1) n k, (13) dar, n 0 n v N = k M I N / j N, unde k M = n 0 n v / Σs c - este factorul de majorare al secţiunii spirei solenoidului, în care: n 0 n v - este secţiunea aparentă a spirei solenoidului (vezi formula (6)), Σs c este secţiunea reală a spirei solenoidului); I N [A]- este valoarea curentului nominal al bobinei, iar j N [A/m ] - este densitatea de curent utilizată. Rezultă: L c = k M I N g j N 0 0 1+ + 0 n kv + n k 0 n k v v v n k L N (14) Volumul minim al înfăşurărilor se obţine pentru bobina echivalentă care are fereastra un pătrat cu latura ΔR = b dată de relaţia [3]: b 5 4 4 = μ π g 0 5,5 ; (15) unde μ 0 = 4π 10-7 [H/m] este permeabilitatea vidului iar g = 1 10-3 [m] latura conductorului elementar cu secţiunea g = 1 10-6 m. Rezultă: 3 L 5,5 L C 1 b = 10-1 5 c [m]. (16) Dimensiunile optime ale bobinei pătrate echivalente sunt (vezi figura 7): h = b ; d m = 3 b ; d i = b ; d E = 4 b. (17) La bobina fără miez feromagnetic executată din mai mulţi

Bobine de reactanţă fără miez feromagnetic solenoizi concentrici conectaţi în paralel trebuie realizată egalizarea curenţilor pe fiecare solenoid în parte: I 1 = I = = I i = = I k = = I n. (18) Se determină impedanţa fiecărei căi de curent în parte cu ajutorul Relaţiilor lui Maxwell privitoare la inductivităţi [4]. În ipoteza în care valorile curenţilor pe fiecare cale sun identice, atunci şi valorile impedanţelor fiecărei căi de curent conectate în paralel trebuie să fie identice: Z 1 = Z = = Z i = = Z k = = Z n ; (19) n M ik i k = 1 unde Z i = Ri + ( ω Li ) iar L i = L ii + Elementele necunoscute ale sistemului de ecuaţii (19) sunt constituite din numărul de spere w i al fiecărui solenoid care aparţine mulţimii celor n solenoizi conectaţi în paralel. Acest sistem de ecuaţii poate fi rezolvat cu ajutorul unui program software specializat. Numărul de spire w 1 al primului solenoid (solenoidul cu diametrul cel mai mic) va rezulta cel mai mare si implicit înălţimea h 1 a acestui solenoid va fi cea mai mare. Ceilalţi solenoizi vor avea un număr mai mic de spire w i < w 1. Totuşi, toţi solenoizii vor avea înălţimile egale cu înălţimea primului solenoid! Dar cum densitatea spirelor este aceeaşi pentru toţi solenoizii, va rezulta o zonă fără spire (determinată de diferenţa de spire: w 1 - w i ) la solenoizii n, care va fi centrată la jumătatea înălţimii solenoizilor. Amplasarea acestor zone fără spire la jumătatea înălţimii solenoizilor este justificată din motive tehnologice, dar şi din motive tehnico-economice. Amplasarea zonelor fără spire la capetele. 4

solenoizilor sau distribuirea uniforma a acestora pe întreaga lungime a solenoizilor sunt soluţii tehnice netehnologice, care ar conduce implicit la costuri suplimentare de materiale şi manopera. 3. Schimbul de căldură Agentul de răcire la o bobină de reactanţă uscată fără miez feromagnetic este aerul, care primeşte căldură de la înfăşurare. Răcirea cea mai simplă şi cea mai frecvent întâlnită este în circuit deschis, când aerul rece, intrând în bobina din mediul ambiant, este evacuat după încălzire din nou spre mediul ambiant. Bobinele uscate se construiesc cu înfăşurările cilindrice, având axa situată pe verticala locului [7]. Executarea înfăşurării din solenoizi cilindrici concentrici, separaţi între ei prin canale de răcire, permite o răcire intensivă a înfăşurărilor, datorită efectului de tiraj produs de curentul de aer încălzit. Pentru o bobina de reactanţă uscată, realizata din solenoizi concentrici, schimbul de căldură cu înfăşurările se efectuează prin convecţie şi radiaţie; determinarea valorii coeficienţilor corespunzători de transmitere a căldurii se poate face numai pe cale experimentală. Schimbul de căldură prin radiaţie joaca un rol mai mare la răcirea înfăşurărilor bobinelor de reactanţă uscate, comparativ cu un bobinaj amplasat într-o cuvă cu ulei. Cantitatea de căldură radiată în unitatea de timp de pe unitatea de suprafaţă este dată de relaţia [4]: q rad = 5,15 10-1 (T 4 -T 4 amb ), (0) în care T este temperatura absolută a suprafeţei înfăşurărilor, iar T amb 5

Bobine de reactanţă fără miez feromagnetic este temperatura absolută a mediului ambiant (ambele exprimate în grade Kelvin). Schimbul de căldură prin convecţie are un caracter mult mai complicat, deoarece depinde de caracterul curentului de aer (curent turbionar sau laminar) şi de viteza aerului, deci de mărimea şi de forma secţiunii canalelor de răcire al înfăşurărilor şi de lungimea lor, adică de înălţimea bobinei de reactanţă răcite. În formă simplificată, relaţia de calcul pentru cantitatea de căldură transmisă prin convecţie de unitatea de suprafaţă în unitatea de timp este dată de formula: q con = α con (t - t amb ), (1) în care t şi t amb sunt temperatura suprafeţei răcite şi temperatura mediului ambiant, în C iar α con este coeficientul de transmitere a căldurii prin convecţie. În figura 8 se dau valorile determinate în baza măsurătorilor experimentale efectuate de Hallacsy [4] ale coeficientului α 1con în funcţie de lungimea axială h bob a bobinajului cilindric, pentru cazul particular când diferenţa de temperatură dintre suprafaţa răcită şi mediul ambiant ϑ = 45 C; 55 C; 80 C; 110 C; 150 C şi 180 C iar lăţimea canalului de răcire al bobinajului este Δ = 1cm. Pentru cazurile în care lăţimea canalului de răcire Δ 1cm, valorile coeficientului de cedare a căldurii se determină cu relaţia: α = α, (1-1) con k 1con unde: k este un coeficient ce ţine seama de lăţimea Δ a canalelor de răcire şi care are valorile determinate experimental [4], în conformitate cu diagrama din figura 9, iar α 1con este coeficientul de transmitere a căldurii prin convecţie cu valorile determinate 6

experimental pentru lăţimea canalului de răcire Δ = 1 cm, conforme cu diagramele prezentate în figura 8. α 1con 8.0 7.5 7.0 6.5 6.0 5.5 5.0 4.5 4.0 3.5 Δ = 1 cm 0.1 0. 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 h bob [m] 180 C 150 C 110 C 80 C 55 C 45 C Figura 8: Coeficientul de cedare a căldurii α 1con în funcţie de înălţimea h bob a bobinei pentru o lăţime a canalelor de răcire Δ = 1 cm [4], pentru diferite valori ale diferenţei de temperatură dintre suprafaţa răcită şi mediul ambiant (ϑ = 45 C; 55 C; 80 C; 110 C; 150 C şi 180 C) Conform [1] pentru Δ = 1cm, modelarea matematică a funcţiei α 1con = f(h bob ) are expresia: α 1con = 4 4 ϑ h bob. (1-) în care, valorile mărimilor sunt exprimate în: α 1con [W/(m grd)], ϑ 7

Bobine de reactanţă fără miez feromagnetic [ C] şi h bob. [m]. Figura 9: Coeficientul de corecţie k în funcţie de lăţimea Δ a canalelor de răcire (determinat experimental) Modelarea matematică a diagramei k = f(δ) din figura 9 poate fi determinata prin interpolare iar expresia analitica obţinută este dată de relaţia: k = 5.9833448 e -Δ + 0.10549311 Δ 3-4.459651 Δ 1.5 + + 9.137091491 Δ - 5.98401547 (1-3) unde Δ este exprimat in cm si are valoarea mai mică sau egală cu,5 cm. Având ca bază de referinţă diagramele determinate experimental de Hallacsy [4], pentru coeficienţii α 1con şi k (vezi figurile 8 si 9) se poate constata o foarte bună corespondenţă a acestora cu graficele funcţiilor determinate analitic cu ajutorul relaţiilor matematice (1-8

şi 1-3). Pentru α 1con abaterea maximă este < % - vezi figura 8.1, iar pentru factorul k abaterea maximă este < 0,5% vezi figura 9.1. α con [W/(m grd) 8.5 8.0 7.5 7.0 6.5 6.0 5.5 5.0 4.5 4.0 3.5 Δ = 1 cm [experimental = (1)] [modelat matematic = ()] 0.1 0. 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 45 C (1) 45 C () 55 C (1) 55 C () 80 C (1) 80 C () 110 C (1) 110 C () 150 C (1) 150 C () 180 C (1) 180 C () h bob (m) Figura 8.1: Corespondenţa α 1con modelat matematic 1 (figură geometrică haşurată - plină), conform relaţiei (1-) / α 1con experimental (figură geometrică nehaşurată goală), pentru diferite valori ale diferenţei de temperatură dintre suprafaţa răcită şi mediul ambiant (ϑ = 45 C; 55 C; 80 C; 110 C; 150 C şi 180 C) şi lăţimea canalului de răcire Δ = 1cm (vezi [4] şi [1]) Din combinaţia relaţiilor (1-1), (1-) si (1-3) rezultă expresia analitică a funcţiei α con =f (h bob, Δ, ϑ): 9

Bobine de reactanţă fără miez feromagnetic 4 ϑ α con = 4 (5.9833448 e -Δ + 0.10549311 Δ 3 - h bob. - 4.459651 Δ 1.5 + 9.137091491 Δ - 5.98401547) (1-4) unde valorile mărimilor sunt date în: ϑ [ C], h bob. [m].si Δ [cm]. 1.4 k experimental modelat matematic k 1. 1.0 0.8 0.6 0.4 0. 0.0 0.0 0.5 1.0 1.5.0.5 Δ [cm] Figura 9.1: Coeficientul de corecţie k în funcţie de lăţimea Δ a canalelor de răcire, comparaţie: experimental ( ) / modelat matematic ( ) 4. Densitatea admisibilă de curent în înfăşurările de cupru Cunoscându-se valorile coeficienţilor de transmitere a căldurii, se pot stabili valorile densităţii admisibile de curent. Consideram un bobinaj cilindric cu diametrul interior d i [m], înălţimea h bob [m] şi cu grosimea b [m]. Dacă pentru acest bobinaj se 30

foloseşte cuprul iar pierderile în bobina ΔP bob sunt determinate la nivelul temperaturilor maxime admisibile corespunzătoare clasei de izolaţie, pentru o valoare maximă admisibilă a densităţii de curent j [A/m ], atunci pierderile specifice Δp [W/(m C)] pe unitatea de suprafaţă şi pentru un grad ( C) de creştere a încălzirii sunt date de relaţiile (vezi capitolul 7): a) Cupru; clasa de izolaţie A (ϑ = 60 C; θ = 100 C): Δp = 115,7 10-10 b j k s ; () ϑ b) Cupru; clasa de izolaţie F (ϑ = 100 C; θ = 140 C): Δp = 130,5 10-10 b j k s ; (3) ϑ c) Cupru; clasa de izolaţie H (ϑ = 15 C; θ = 165 C): Δp = 139,7033 10-10 b j k s ; (4) ϑ Valorile pierderilor specifice Δp [W/(m C)] trebuie sa fie mai mici faţă de valorile coeficienţilor de transmisie a căldurii. În cazul unui bobinaj interior, radiaţia poate fi neglijata; pierderile specifice admisibile sunt determinate în acest caz cu relaţia: Δp α con. (5) Din relaţiile (), (3) şi (4) în care s-a efectuat substituţia Δp = α con, se poate calcula încălzirea (supratemperatura) pe suprafaţa bobinajului: d) Cupru; clasa de izolaţie A (ϑ = 60 C ): ϑ = 115,7 10-10 b j k s ; (6) α e) Cupru; clasa de izolaţie F (ϑ = 100 C): b ϑ = 130,5 10-10 k s α 31 con j con ; (7)

f) Cupru; clasa de izolaţie H (ϑ = 15 C): Bobine de reactanţă fără miez feromagnetic ϑ = 139,7033 10-10 k s b j α con ; (8) sau densitatea de curent j care corespunde acestei creşteri ϑ a încălzirii: a) Cupru clasa de izolaţie A (ϑ = 60 C ): j = ϑ αcon,7 10 10 k s b 115 ; (9) b) Cupru clasa de izolaţie F (ϑ = 100 C): j = ϑ αcon,510 10 k s b 130 ; (30) c) Cupru clasa de izolaţie H (ϑ = 15 C): j = ϑ α con,703310 10 k s b 139 ; (31) În figura 10 se dau densităţile admisibile de curent, calculate după relaţiile de calcul (9) (31) combinate cu relaţia (1-4), pentru bobinaje cilindrice în cupru, cu grosimea radiala b = 0,010; 0,015; 0,00; 0,05 si 0,030 m, cu izolaţia în clasa A (ϑ = 60 C), F (ϑ =100 C) şi H (ϑ =15 C) - vezi tab. 1. a) Cupru clasa de izolaţie A (ϑ = 60 C): ϑ α j. k s = con,7 10 10 b 115 ; (9) 3

j k 1/ s [A/mm ].4.3..1.0 1.9 1.8 1.7 1.6 1.5 1.4 1.3 1. 1.1 Clasa A (60 C) Cu b = 0.010 m 0.0 0.1 0. 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1. 1.3 1.4 1.5 Δ =.5cm Δ =.0cm Δ = 1.5cm Δ = 1.0cm Δ = 0.5cm h[m] j k 1/ s [A/mm ].0 Clasa A (60 C) Cu b = 0.015 m 1.9 1.8 1.7 1.6 1.5 1.4 1.3 1. Δ =.5cm Δ =.0cm Δ = 1.5cm 1.1 Δ = 1.0cm 1.0 Δ = 0.5cm 0.9 0.0 0.1 0. 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1. 1.3 1.4 1.5 h[m] 33

Bobine de reactanţă fără miez feromagnetic j k 1/ s [A/mm ] 1.7 Clasa A (60 C) Cu b = 0.00 m 1.6 1.5 1.4 1.3 1. 1.1 1.0 0.9 0.8 Δ =.5cm Δ =.0cm Δ = 1.5cm Δ = 1.0cm Δ = 0.5cm 0.0 0.1 0. 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1. 1.3 1.4 1.5 h[m] j k s 1/ [A/mm ] 1.5 Clasa A (60 C) Cu b = 0.05 m 1.4 1.3 1. 1.1 1.0 0.9 0.8 Δ =.5cm Δ =.0cm Δ = 1.5cm Δ = 1.0cm Δ = 0.5cm 0.7 0.0 0.1 0. 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1. 1.3 1.4 1.5 h[m] 34

j k s 1/ [A/mm ] Clasa A (60 C) Cu b = 0.030 m 1.3 1. 1.1 1.0 0.9 0.8 0.7 Δ =.5cm Δ =.0cm Δ = 1.5cm Δ = 1.0cm Δ = 0.5cm 0.0 0.1 0. 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1. 1.3 1.4 1.5 h[m] b) Cupru; clasa de izolaţie F (ϑ = 100 C): ϑ α ; (30) j k 1/ s [A/mm ] 3.1 3.0.9.8.7.6.5.4.3..1.0 1.9 1.8 1.7 1.6 1.5 1.4 j. k s = con 130,510 10 b Clasa F (100 C) Cu b = 0.010 m 0.0 0.1 0. 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1. 1.3 1.4 1.5 Δ =.5cm Δ =.0cm Δ = 1.5cm Δ = 1.0cm Δ = 0.5cm h[m] 35

j k s 1/ [A/mm ].5.4.3..1.0 1.9 1.8 1.7 1.6 1.5 1.4 1.3 Bobine de reactanţă fără miez feromagnetic Clasa F (100 C) Cu b = 0.015 m Δ =.5cm Δ =.0cm Δ = 1.5cm Δ = 1.0cm 1. Δ = 0.5cm 1.1 0.0 0.1 0. 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1. 1.3 1.4 1.5 h[m] j k 1/ s [A/mm ]. Clasa F (100 C) Cu b = 0.00 m.1.0 1.9 1.8 1.7 1.6 1.5 1.4 1.3 1. 1.1 1.0 0.0 0.1 0. 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1. 1.3 1.4 1.5 Δ =.5cm Δ =.0cm Δ = 1.5cm Δ = 1.0cm Δ = 0.5cm h[m] 36

j k s 1/ [A/mm ] Clasa F (100 C) Cu b = 0.05 m 1.9 1.8 1.7 1.6 1.5 1.4 1.3 1. Δ =.5cm Δ =.0cm Δ = 1.5cm 1.1 Δ = 1.0cm 1.0 Δ = 0.5cm 0.9 0.0 0.1 0. 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1. 1.3 1.4 1.5 h[m] j k 1/ s [A/mm ] 1.8 Clasa F (100 C) Cu b = 0.030 m 1.7 1.6 1.5 1.4 1.3 1. 1.1 Δ =.5cm Δ =.0cm Δ = 1.5cm 1.0 Δ = 1.0cm 0.9 Δ = 0.5cm 0.8 0.0 0.1 0. 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1. 1.3 1.4 1.5 h[m] 37

c) Cupru; clasa de izolaţie H (ϑ = 15 C): Bobine de reactanţă fără miez feromagnetic j. k s = ϑ α con 139,703310 10 b (31) j k 1/ s [A/mm ] 3.5 3.4 3.3 3. 3.1 3.0.9.8.7.6.5.4.3..1.0 1.9 1.8 1.7 1.6 Clasa H (15 C) Cu b = 0.010 m 1.5 0.0 0.1 0. 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1. 1.3 1.4 1.5 Δ =.5cm Δ =.0cm Δ = 1.5cm Δ = 1.0cm Δ = 0.5cm h[m] j k 1/ s [A/mm ].8.7.6.5.4.3..1.0 1.9 1.8 1.7 1.6 1.5 1.4 1.3 Clasa H (15 C) Cu b = 0.015 m 0.0 0.1 0. 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1. 1.3 1.4 1.5 Δ =.5cm Δ =.0cm Δ = 1.5cm Δ = 1.0cm Δ = 0.5cm h[m] 38

j k s 1/ [A/mm ].4.3..1.0 1.9 1.8 1.7 1.6 1.5 1.4 1.3 1. 1.1 Clasa H (15 C) Cu b = 0.00 m 0.0 0.1 0. 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1. 1.3 1.4 1.5 Δ =.5cm Δ =.0cm Δ = 1.5cm Δ = 1.0cm Δ = 0.5cm h[m] j k 1/ s [A/mm ]. Clasa H (15 C) Cu b = 0.05 m.1.0 1.9 1.8 1.7 1.6 1.5 1.4 1.3 Δ =.5cm Δ =.0cm Δ = 1.5cm 1. Δ = 1.0cm 1.1 1.0 Δ = 0.5cm 0.0 0.1 0. 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1. 1.3 1.4 1.5 h[m] 39

Bobine de reactanţă fără miez feromagnetic j k 1/ s [A/mm ].0 Clasa H (15 C) Cu b = 0.030 m 1.9 1.8 1.7 1.6 1.5 1.4 1.3 1. 1.1 1.0 0.9 Δ =.5cm Δ =.0cm Δ = 1.5cm Δ = 1.0cm Δ = 0.5cm 0.0 0.1 0. 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1. 1.3 1.4 1.5 h[m] Figura 10: Densitatea admisibilă de curent in bobinajele cilindrice de cupru, de lăţime: b = 0,010; 0,015; 0,00; 0,05 şi 0,030 m. Folosind izolaţia de clasă A, densităţile de curent sunt relativ mici şi nu depăşesc nici chiar la bobinaje subţiri valoarea de 1,5 A/mm ; în schimb dacă se foloseşte o izolaţie cu stabilitate termică înaltă, de clasă F sau H atunci densităţile de curent pot fi numai cu puţin mai mici faţă de cele aplicate la transformatoarele în ulei. 5. Densitatea admisibilă de curent în înfăşurările de aluminiu Pierderile specifice Δp [W/(m C)] în bobinele de reactanţă realizate din conductoare de aluminiu având aceeaşi construcţie (dimensiunile înfăşurărilor cilindrice şi clasele de izolaţie identice cu ale bobinelor prezentate la capitolul 4) sunt date de expresiile (vezi capitolul 7): 40

a) Aluminiu; clasa de izolaţie A (ϑ = 60 C; θ = 100 C): Δp = 183, 10-10 b j k s (3) ϑ b) Aluminiu; clasa de izolaţie F (ϑ = 100 C; θ = 140 C): Δp = 05,74 10-10 b j k s (33) ϑ c) Aluminiu; clasa de izolaţie H (ϑ = 15 C; θ = 165 C): Δp = 19,834 10-10 b j k s ; (34) ϑ Din relaţiile (3), (33) şi (34) (în care s-a efectuat substituţia Δp = α con ) se poate calcula creşterea de temperatură pe suprafaţa bobinajului, ţinând seama de valorile coeficientului α con de transmitere a căldurii prin convecţie, conform celor prezentate la capitolul 3: d) Aluminiu; clasa de izolaţie A (ϑ = 60 C): b j ϑ = 183, 10-10 k s ; (35) α e) Aluminiu; clasa de izolaţie F (ϑ = 100 C): ϑ = 05,74 10-10 b j k s ; (36) α f) Aluminiu; clasa de izolaţie H (ϑ = 15 C): ϑ = 19,834 10-10 b j k s α con con con ; (37) sau densitatea de curent j care corespunde acestei creşteri ϑ a încălzirii: g) Aluminiu; clasa de izolaţie A (ϑ = 60 C): j = ϑ αcon 10 10 k s b h) Aluminiu; clasa de izolaţie F (ϑ = 100 C): 183, ; (38) ϑ αcon k s j= 05,7410 10 b ; (39) 41

i) Aluminiu; clasa de izolaţie H (ϑ = 15 C): Bobine de reactanţă fără miez feromagnetic ϑ αcon j= 19,834 10 10 b ; (40) În figura 11 se dau densităţile admisibile de curent, calculate în baza relaţiilor de calcul (38) (40) combinate cu relaţia (1-4), pentru un bobinaj cilindric interior de aluminiu, fără canale de răcire transversale. După cum rezultă din figura 11, valorile admisibile ale densităţii de curent sunt foarte mici, în medie circa 1, A/mm, în cazul folosirii clasei de izolaţie A, în schimb pentru izolaţia în clasa H, densitatea de curent se poate mări până la valori apropiate de cele folosite la transformatoarele în ulei. a) Aluminiu; clasa de izolaţie A (ϑ = 60 C): ϑ α k s j. k s = con 183, 10 10 b ; (38) j k s 1/ [A/mm ] 1.9 Clasa A (60 C) Al b = 0.010 m 1.8 1.7 1.6 1.5 1.4 1.3 1. 1.1 1.0 0.9 Δ =.5cm Δ =.0cm Δ = 1.5cm Δ = 1.0cm Δ = 0.5cm 0.0 0.1 0. 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1. 1.3 1.4 1.5 h[m] 4

j k s 1/ [A/mm ] Clasa A (60 C) Al b = 0.015 m 1.5 1.4 1.3 1. 1.1 1.0 Δ =.5cm Δ =.0cm Δ = 1.5cm 0.9 Δ = 1.0cm 0.8 Δ = 0.5cm 0.7 0.0 0.1 0. 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1. 1.3 1.4 1.5 h[m] j k s 1/ [A/mm ] Clasa A (60 C) Al b = 0.00 m 1.3 1. 1.1 1.0 0.9 0.8 0.7 Δ =.5cm Δ =.0cm Δ = 1.5cm Δ = 1.0cm Δ = 0.5cm 0.6 0.0 0.1 0. 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1. 1.3 1.4 1.5 h[m] 43

Bobine de reactanţă fără miez feromagnetic j k 1/ s [A/mm ] 1. Clasa A (60 C) Al b = 0.05 m 1.1 1.0 0.9 0.8 0.7 0.6 Δ =.5cm Δ =.0cm Δ = 1.5cm Δ = 1.0cm Δ = 0.5cm 0.0 0.1 0. 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1. 1.3 1.4 1.5 h[m] j k 1/ s [A/mm ] 1.1 Clasa A (60 C) Al b = 0.030 m 1.0 0.9 0.8 0.7 0.6 Δ =.5cm Δ =.0cm Δ = 1.5cm Δ = 1.0cm Δ = 0.5cm 0.5 0.0 0.1 0. 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1. 1.3 1.4 1.5 h[m] 44

b) Aluminiu; clasa de izolaţie F (ϑ = 100 C): j. k s = ϑ α con 05,74 10 10 b ; (39) j k 1/ s [A/mm ].5.4.3..1.0 1.9 1.8 1.7 1.6 1.5 1.4 1.3 1. Clasa F (100 C) Al b = 0.010 m 1.1 0.0 0.1 0. 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1. 1.3 1.4 1.5 Δ =.5cm Δ =.0cm Δ = 1.5cm Δ = 1.0cm Δ = 0.5cm h[m] j k s 1/ [A/mm ].0 Clasa F (100 C) Al b = 0.015 m 1.9 1.8 1.7 1.6 1.5 1.4 1.3 1. 1.1 Δ =.5cm Δ =.0cm Δ = 1.5cm Δ = 1.0cm 1.0 Δ = 0.5cm 0.9 0.0 0.1 0. 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1. 1.3 1.4 1.5 h[m] 45

Bobine de reactanţă fără miez feromagnetic j k s 1/ [A/mm ] Clasa F (100 C) Al b = 0.00 m 1.7 1.6 1.5 1.4 1.3 1. 1.1 Δ =.5cm Δ =.0cm Δ = 1.5cm 1.0 Δ = 1.0cm 0.9 Δ = 0.5cm 0.8 0.0 0.1 0. 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1. 1.3 1.4 1.5 h[m] j k 1/ s [A/mm ] 1.6 Clasa F (100 C) Al b = 0.05 m 1.5 1.4 1.3 1. 1.1 Δ =.5cm 1.0 Δ =.0cm Δ = 1.5cm 0.9 Δ = 1.0cm 0.8 Δ = 0.5cm 0.7 0.0 0.1 0. 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1. 1.3 1.4 1.5 h[m] 46

c) Aluminiu; clasa de izolaţie H (ϑ = 15 C): j. k s = ϑ α con 19,834 10 10 b ; (40) j k s 1/ [A/mm ].7.6.5.4.3..1.0 1.9 1.8 1.7 1.6 1.5 1.4 1.3 Clasa H (15 C) Al b = 0.010 m 0.0 0.1 0. 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1. 1.3 1.4 1.5 Δ =.5cm Δ =.0cm Δ = 1.5cm Δ = 1.0cm Δ = 0.5cm h[m] j k s 1/ [A/mm ]. Clasa H (15 C) Al b = 0.015 m.1.0 1.9 1.8 1.7 1.6 1.5 1.4 1.3 1. Δ =.5cm Δ =.0cm Δ = 1.5cm Δ = 1.0cm 1.1 Δ = 0.5cm 1.0 0.0 0.1 0. 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1. 1.3 1.4 1.5 h[m] 47

Bobine de reactanţă fără miez feromagnetic j k s 1/ [A/mm ] 1.9 Clasa H (15 C) Al b = 0.00 m 1.8 1.7 1.6 1.5 1.4 1.3 1. 1.1 1.0 0.9 Δ =.5cm Δ =.0cm Δ = 1.5cm Δ = 1.0cm Δ = 0.5cm 0.0 0.1 0. 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1. 1.3 1.4 1.5 h[m] j k s 1/ [A/mm ] 1.7 Clasa H (15 C) Al b = 0.05 m 1.6 1.5 1.4 1.3 1. 1.1 1.0 0.9 0.8 Δ =.5cm Δ =.0cm Δ = 1.5cm Δ = 1.0cm Δ = 0.5cm 0.0 0.1 0. 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1. 1.3 1.4 1.5 h[m] 48

j k 1/ s [A/mm ] 1.6 Clasa H (15 C) Al b = 0.030 m 1.5 1.4 1.3 1. 1.1 1.0 Δ =.5cm Δ =.0cm Δ = 1.5cm 0.9 0.8 0.7 0.0 0.1 0. 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1. 1.3 1.4 1.5 Δ = 1.0cm Δ = 0.5cm h[m] Figura 11: Densitatea admisibilă de curent în bobinajele cilindrice de aluminiu, de lăţime: b = 0,010; 0,015; 0,00; 0,05 şi 0,030 m. Din formulele (9), (30), (31) şi (38), (39) şi (40) rezultă, în ipoteza în care valorile coeficienţilor de pierderi suplimentare k s sunt identice, raportul dintre densitatea de curent admisibilă într-un bobinaj de aluminiu şi într-unul de cupru, pentru aceeaşi construcţie (dimensiuni identice) şi aceleaşi condiţii de răcire: j) pentru clasa A de izolaţie: 115,7 j Al = 183, = 0,7947 jcu (41) k) pentru casa F de izolaţie: 130,5 j Al = 05,74 = 0,7964 jcu (4) l) pentru casa H de izolaţie: 139,7033 j Al = 19,834 = 0,797 jcu (43) 49

Bobine de reactanţă fără miez feromagnetic 6. Calculul pierderilor în regim permanent de funcţionare Pierderile în bobinele de reactanţă fără miez feromagnetic pot fi împărţite în pierderi în înfăşurările bobinei şi pierderi în celelalte părţi metalice ale bobinei: în armaturile izolatoarelor, în şuruburile de strângere, etc. [6] La sarcina nominală, pierderile în înfăşurările bobinei pot fi determinate cu ajutorul formulei: P = R I ; în care R este rezistenţa activă a bobinei în curent alternativ. După cum se ştie, rezistenţa activă pentru bobinele de reactanţă, la joasa frecventa (frecvenţa industrială), poate fi exprimată prin multiplicarea rezistentei ohmice R Ωθ a bobinajului la temperatura de referinţă θ, cu coeficientul pierderilor suplimentare k s. Tabelul 1: k 0 - coeficient ce depinde de forma conductorului şi de dimensiunile bobinajului b/d m 0. 0.3 0.4 0.5 h/d m 0.5 8.5.8 19. 15.3 0.6 3.5 6.3 3.0 18.6 0.7 36.0 30.0 6.0 1.8 0.8 38.5 33.0 8.5 4.3 0.9 41.0 36.0 31.0 6.5 1.0 43.4 38.0 33. 9.0 1.1 45.5 40.0 35.0 31.0 1. 47. 41.5 37.0 3.8 1.3 49.0 43.0 38.3 34. 1.4 50.5 44.4 39.8 35.8 50

k O k O = α + β ln (h/d m ) 55 50 45 40 b/d m 0. 0.3 0.4 0.5 35 30 5 0 15 10 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1. 1.3 1.4 1.51.61.7 h/d m Figura 1: Valorile coeficientului k 0 din formula (45) pentru conductoare de secţiune rotundă, în funcţie de rapoartele h / d m cu valori distincte pentru rapoartele b/d m (0.; 0.3; 0.4; 0.5) pentru care respectiv vor corespunde perechile (α, β): (43.37, 1.3); (37.66, 1.36); (33.13, 0.03); (8.96, 0.09) Figura 1.1: Geometria bobinei Pierderile de putere în bobina de reactanţă pot fi calculate cu relaţia [4]: P = k s R Ωθ I = k s ρ 0 [1+α (θ-0)] M γ j [Watt] (44) unde: ρ 0 este rezistivitatea materialului la 0 C [9]: pentru cupru ρ 0 = 1/58 10-6 [Ω m] iar pentru aluminiu ρ 0 = 1/36, 10-6 [Ω m]; α coeficientul de temperatura al rezistentei electrice [9]: 51

Bobine de reactanţă fără miez feromagnetic pentru cupru α = 48 10-5 [1/ C], iar pentru aluminiu α = 408 10-5 [1/ C]; θ temperatura de referinţă [10]: pentru clasele de izolaţie A, E şi B: θ = 75 C iar pentru clasele de izolaţie F şi H: θ = 115 C; M masa conductorului activ al bobinajului [kg]; γ densitatea materialului: pentru cupru γ =8,9 10 3 [kg/m 3 ], iar pentru aluminiu γ =,7 10 3 [kg/m 3 ]; j densitatea de curent [A/m ]. Coeficientul pierderilor suplimentare k s se determina cu ajutorul formulei [6]: k s = 1 + k 0 k q k ρ 5 N W i= 1 h i f 10-3, (45) 50 în care k 0 este un coeficient care depinde de forma conductorului şi de dimensiunile bobinajului [6]. În tabelul 1, respectiv în diagrama din figura 1 sunt date valorile coeficientului k 0 în funcţie de rapoartele h/d m şi b/d m, unde: - d m = (d E + d i )/ este diametrul mediu al bobinajului, h este înălţimea bobinajului şi b = (d E d i )/ este grosimea bobinajului; - k q este un coeficient care depinde de valoarea S sp a secţiunii spirelor înfăşurării; se determina cu relaţia k q = (1,15 1,5) S sp [m ]; - k ρ este un coeficient care ţine seama de natura materialului din care este confecţionat [6]: pentru cupru, k ρ = 1 iar pentru aluminiu k ρ = 0,37; - = N i 1 w i este suma spirelor întregului bobinaj (w i numărul de spire al solenoidului i, iar N numărul solenoizilor conectaţi în paralel); - h [m] este înălţimea bobinajului;

- f [Hz] frecvenţa curentului. Înlocuind în relaţia (44) valorile parametrilor tehnici pentru cazul bobinajelor executate din conductori de cupru, respectiv aluminiu se obţin următoarele relaţii de calcul pentru pierderile la sarcina nominală de funcţionare: a) Pentru clasele de izolaţie: A, E şi B (θ = 75 C): - cupru: P =,385 10-1 k s M j ; (46) - aluminiu: P = 1,53 10-1 k s M j ; (47) b) Pentru clasele de izolaţie: F şi H (θ = 115 C): - cupru: P =,75 10-1 k s M j ; (48) - aluminiu: P = 14,0 10-1 k s M j ; (49) în care: M [kg]- masa conductorului iar j [A/m ] - densitatea de curent. 7. Verificarea încălzirii în regim nominal de funcţionare Bobina de reactanţa are înfăşurările realizate din N solenoizi concentrici conectaţi în paralel, care au înălţimile, grosimile (dimensiunea bobinajului solenoidului pe direcţie radială), pasul spirelor şi lăţimea canalelor de răcire identice (vezi figura 6). Numărul de spire al solenoizilor este diferit, fiind determinat astfel încât fiecare solenoid sa fie parcurs de curenţi cu valori egale. Primul solenoid al înfăşurării, care are diametrul cel mai mic, are un număr de spire w 1 mai mare comparativ cu ceilalţi solenoizi. Masa conductorului activ raportată la suprafaţa de disipare este un invariant pentru toţi solenoizii. Primul solenoid are numărul de spire w 1 care sunt distribuite uniform pe întreaga înălţime a acestuia (ceilalţi solenoizi prezintă la mijlocul bobinajului o zona fără spire ) şi ca 53

Bobine de reactanţă fără miez feromagnetic urmare, masa conductorului activ şi implicit pierderile de putere activă ale acestuia au valorile mai mari comparativ cu ale celorlalţi solenoizi. Din acest motiv calculul de verificare a încălzirii în regim nominal de funcţionare a bobinei se va efectua numai pentru primul solenoid, rezultatul fiind acoperitor pentru toţi ceilalţi solenoizi. Valorile admisibile ale încălzirilor ϑ şi a temperaturilor admisibile θ, pentru situaţia în care răcirea înfăşurărilor bobinelor este realizată cu aer natural sau forţat, iar temperatura maximă a mediului ambiant θ amb este de 40 C, sunt date în tabelul [10]. Tabelul Valorile admisibile ale încălzirii ϑ şi ale temperaturii θ = ϑ + 40 pentru înfăşurările bobinei Nr. crt. Clasa de izolaţie ϑ [ C] θ [ C] 1 A 60 100 E 75 115 3 B 80 10 4 F 100 140 5 H 15 165 În cele ce urmează vom prezenta algoritmul de calcul al încălziri pentru bobinele cu înfăşurările executate din cupru respectiv aluminiu având clasa de izolaţie A (θ =100 C; ϑ = 60 C), F (θ = 140 C; ϑ = 100 C) şi H (θ = 165 C; ϑ = 15 C). Se determină pierderile în sarcină ale primului solenoid, la temperatura admisibilă de funcţionare corespunzătoare clasei de izolaţie [10] (vezi tabelul ) cu ajutorul următoarelor relaţii de calcul derivate din formula (44): a) Cupru; clasa de izolaţie A (θ = 100 C): 54

P = k s ρ 0 [1 + α (θ - 0)] 1/γ M 1 j = = 1/58 10-6 (1+48 10-5 80) 1/(8,9 10 3 ) k s M 1 j = =,60 10-1 k s M 1 j [Watt]; (50) b) Cupru; clasa de izolaţie F (θ = 140 C): P = k s ρ 0 [1 + α (θ - 0)] 1/γ M 1 j = = 1/58 10-6 (1 + 48 10-5 10) 1/(8,9 10 3 ) k s M 1 j = =,93 10-1 k s M 1 j [W]; (51) c) Cupru; clasa de izolaţie H (θ = 165 C): P = k s ρ 0 [1 + α (θ - 0)] 1/γ M 1 j = = 1/58 10-6 (1 + 48 10-5 145) 1/(8,9 10 3 ) k s M 1 j = = 3,1394 10-1 k s M 1 j [W]; (5) d) Aluminiu; clasa de izolaţie A (θ = 100 C): P = k s ρ 0 [1 + α (θ - 0)] 1/γ M 1 j = = 1/36, 10-6 (1+408 10-5 80) 1 / (,7 10 3 ) k s M 1 j = 13,570 10-1 k s M 1 j [W]; (53) e) Aluminiu; clasa de izolaţie F (θ = 140 C): P = k s ρ 0 [1 + α (θ - 0)] 1/γ M 1 j = =1/36, 10-6 (1 + 408 10-5 10) 1/(,7 10 3 ) k s M 1 j = =15,40 10-1 k s M 1 j [W]; (54) f) Aluminiu; clasa de izolaţie H (θ = 165 C): P = k s ρ 0 [1 + α (θ - 0)] 1/γ M 1 j = = 1/36, 10-6 (1 + 408 10-5 145) 1/(,7 10 3 ) k s M 1 j = = 16,84 10-1 k s M 1 j [W]; (55) unde: k s - coeficientul pierderilor suplimentare, calculat cu relaţia 55

Bobine de reactanţă fără miez feromagnetic (45), iar M 1 [kg] - masa netă a bobinajului primului solenoid. Pentru un bobinaj cilindric fără canale de răcire transversale cu diametrul interior d i, cu înălţimea h şi cu grosimea b, masa M 1 poate fi calculată cu relaţia: M 1 = γ π (d i + b) b h [kg]; (56) unde: γ[kg/m 3 ] este densitatea de material: pentru cupru, γ=8,9 10 3 [kg/m 3 ], iar pentru aluminiu γ =,7 10 3 [kg/m 3 ]. Suprafaţa de disipare a căldurii pentru primul solenoid este dată de relaţia: S 1 = π (d i +b) h [m ]. (57) Pierderile specifice Δp pe unitatea de suprafaţă şi pentru un C de creştere a încălzirii sunt date de relaţia: Δp = P 1 ; (58) S ϑ unde: - P 1 [W] - valoarea pierderilor totale ale primului solenoid; - S 1 [m ], suprafaţa de disipare calculată cu formula (57); - ϑ = (θ θ amb ) încălzirea admisibilă corespunzătoare clasei de izolaţie (vezi tabelul ); - α con coeficientul de transmisie a căldurii prin convecţie, determinat experimental (vezi capitolul 3). Din relaţia (58), combinată cu relaţiile (50) (55) pierderile specifice Δp, pentru următoarele categorii de bobinaje: a) Cupru; clasa de izolaţie A (ϑ = 60 C): 1 Δp =,60 10-1 8,910 3 k s b j ϑ = 115,7 10 10 k s b j ϑ = 56

= 115,7 10-10 k s b j 60 = 1,93 10-10 k s b j [ m W o C ]; (59) b) Cupru; clasa de izolaţie F (ϑ = 100 C): Δp =,93 10-1 8 k s,910 3 = 130,5 10-10 b j k s 100 b j ϑ c) Cupru; clasa de izolaţie H (ϑ = 15 C): Δp = 3,1394 10-1 8 k s,910 3 =139,7033 10-10 b j k s 15 = 130,5 10-10 k s = 1,305 10-10 k s b j [ b j ϑ = 139,7033 10-10 k s = 1,1176 10-10 k s b j [ d) Aluminiu; clasa de izolaţie A (ϑ = 60 C ): Δp = 13,570 10-1 = 183, 10-10 k s k s,710 3 b j 60 b j ϑ = 183, 10-10 k s = 3,053 10-10 k s b j [ e) Aluminiu; clasa de izolaţie F (ϑ = 100 C): Δp = 15,40 10-1,710 3 = 05,74 10-10 b j k s 100 k s b ϑ j = 05,74 10-10 k s =,0574 10-10 k s b j [ b j ϑ = m W o C ]; (60) b j ϑ = m W o C ]; (61) b j ϑ = m W o C ]; (6) b ϑ j = m W o C ]; (63) f) Aluminiu; clasa de izolaţie H (ϑ = 15 C): Δp = 16,84 10 1 k s,710 3 b ϑ j =19,834 10 10 k s b ϑ j = b j =19,834 10 10 k s =1,7587 10 10 k s b j [ 15 57 m W o C ]; (64) Se verifică dacă valorile pierderilor specifice Δp calculate conform relaţiilor (59) (64) satisfac inecuaţia: unde: k Δp Δp adm = k α 1con ; (65) - este un coeficient care tine seama de lăţimea Δ a canalelor de răcire cu valorile determinate experimental, conforme cu diagrama din figura 9, iar α 1con este coeficientul admisibil de transmisie a căldurii prin convecţie cu valorile determinate

Bobine de reactanţă fără miez feromagnetic experimental, conforme cu diagramele prezentate în figura 8. Aceste valori pot fi determinate si analitic cu ajutorul formulelor (1-) şi (1-3). Daca inecuaţia (65) nu este satisfăcută, se va micşora valoarea densităţii de curent j (se majorează secţiunea spirelor înfăşurării) şi se reia calculul de dimensionare al bobinei de reactanţă. 8. Funcţionarea la curentul nominal de scurtă durată (curentul de scurtcircuit brusc) Verificarea bunei funcţionari a bobinei de reactanţă la curentul nominal de scurtă durată I sc, se poate efectua prin două metode de calcul: a) Se aplică formula prevăzută în normele internaţionale [10]: T 1 = θ + a j sc t 10-3 [ C], (66) în care: - θ [ C] - este temperatura iniţială maximă admisibilă a înfăşurării normată în funcţie de clasa de izolaţie; valorile normate sunt date în tabelul 1; - a este un coeficient dat în tabelul 3, în funcţie de parametrul ½ (θ + T ); (θ este temperatura normată mai sus menţionată, T este temperatura standardizată maximă admisibilă a înfăşurării în funcţie de natura materialului şi de clasa de izolaţie a înfăşurării; valorile normate sunt date în tabelul 3) de scurtă durată; - j sc [A/mm] este valoarea densităţii curentului nominal - t este durata în secunde a curentului nominal de scurtă durată; conform normelor internaţionale [10], durata normată t N 58

este (două) secunde dacă valoarea curentului nominal de scurtă durată este mai mare de 0 de ori ca valoarea curentului nominal de lungă durată, respectiv 3 (trei) secunde dacă valoarea curentului nominal de scurtă durată este mai mică sau egală cu de 0 ori valoarea curentului nominal de lungă durată. Funcţionarea bobinei de reactanţă la curentul nominal de scurtă durată I sc este corespunzătoare dacă este îndeplinită inecuaţia: T 1 T ; (67) unde T 1 este valoarea temperaturii calculată cu relaţia (66), iar T este valoarea standardizată a temperaturii medii maxime admisibile, dată în tabelul 4. Tabelul 3 Tabelul 4 Valoarea factorului a Clasa de în funcţie de parametrul izolaţie ½ (θ + T ) Valoarea temperaturii medii maxime admisibile T a înfăşurării ½ (θ + T ) Înfăşurarea Înfăşurarea Înfăşurarea din Cu din Al din Cu 140 7,14 16,3 A 180 180 160 7,80 17,4 E 50 00 180 8,0 18,3 B, F sau H 350 00 00 8,59-0 8,99-40 9,38 - Înfăşurarea din Al Dacă inecuaţia nu este îndeplinită, atunci se va determina valoarea maximă admisibilă a densităţii de curent j scadm (implicit secţiunea minimă admisibilă a spirelor bobinajului) din ecuaţia (66), în care se înlocuiesc valorile: T 1 = T şi t = t N ; apoi se reia calculul de dimensionare al bobinei de reactanţă. b) Se aplică formula pentru stabilitatea termica a aparatelor electrice [6]: 59

j c γ sc t = k s α ρ Bobine de reactanţă fără miez feromagnetic 0 60 1+α ln 1+α θ 0 T, (68) în care: - j sc [A/m ] - este valoarea densităţii curentului nominal de scurtă durată; - t este durata în secunde a curentului nominal de scurtă durată; - c 0 căldura specifică a materialului: pentru cupru c 0 = 890 W s/(kg grd.), iar pentru aluminiu c 0 = 387 W s / (kg grd.); - γ densitatea materialului: pentru cupru γ = 8,9 10 3 [kg/m 3 ], iar pentru aluminiu γ =,7 10 3 [kg/m 3 ]; - k s coeficientul pierderilor suplimentare determinat conform relaţiei (45); - α coeficientul de temperatură al rezistentei electrice: pentru cupru α = 48 10-5 [1/ C], iar pentru aluminiu α = 408 10-5 [1/ C]; - ρ 0 este rezistivitatea materialului la temperatura de 0 C: pentru cupru ρ 0 = 1/63,43 10-6 [Ω m], iar pentru aluminiu ρ 0 = 1/39,416 10-6 [Ω m]; -T este temperatura standardizată maximă admisibilă a înfăşurării în funcţie de natura materialului şi de clasa de izolaţie a înfăşurării; valorile normate sunt date în tabelul 4; - θ [ C] - este temperatura iniţială standardizată maximă admisibilă a înfăşurării în funcţie de clasa de izolaţie; valorile normate sunt date în tabelul 1; Funcţionarea bobinei de reactanţă la curentul nominal de scurtă durată I sc este corespunzătoare dacă este îndeplinită inecuaţia: t t N ; (69)

unde t este durata în secunde a curentului nominal de scurtă durată calculată cu relaţia (68), iar t N este durata normată, mai sus menţionată, a curentului nominal de scurta durată. Daca inecuaţia (69) nu este îndeplinită, atunci se va determina valoarea maximă admisibilă a densităţii de curent j scadm (implicit secţiunea minimă admisibilă a spirelor bobinajului) din ecuaţia (68), în care se înlocuieşte t = t N ; apoi se reia calculul de dimensionare a bobinei de reactanţă. 9. Verificarea funcţionarii bobinei la forţele electrodinamice 9.1 Relaţii generale pentru calculul forţelor La bobinele fără miez feromagnetic, utilizate pentru limitarea curenţilor în circuitele electrice, calculul forţelor electrodinamice, care se produc la valoarea maximă de vârf a curentului nominal de scurtă durată, este necesar la dimensionarea sistemului mecanic de consolidare a conductoarelor înfăşurării. Forţele rezultante care acţionează după anumite coordonate asupra unui sistem de conductoare se pot determina prin aplicarea teoremei forţelor generalizate în funcţie de energia magnetică a sistemului exprimată în raport cu acele coordonate. Forţele locale care acţionează asupra conductoarelor se pot determina în funcţie de valoarea inducţiei magnetice prin elementul de conductor parcurs de curent. Energia magnetică în câmpul bobinei este: W m = ½ L i (70) Asupra bobinei se produc forte axiale de compresie, care se 61

Bobine de reactanţă fără miez feromagnetic determină prin aplicarea teoremei forţelor generalizate [8]: F a = Wh m i= const precum şi forţe radiale date de relaţia: = 1 i hl ; (71) F r = Wb m i= const = 1 i ; (7) pentru aplicarea în calcule a acestor relaţii, este necesar să se cunoască funcţiile L h L b, respectiv L b, în care L este inductivitatea bobinei, iar h şi b sunt dimensiunile bobinei (axiala, respectiv radială). Forţa locală asupra unui element de conductor filiform de lungime dl, parcurs de curentul i şi aflat în câmpul magnetic B r este: df = i [ dl r B ]; (73) Pentru aplicarea în calcule a acestei relaţii este necesar să se cunoască vectorul inducţiei magnetice. Câmpul magnetic se poate descompune în doua componente: r r r B = B r + B h, (74) În care B r r este componenta radiala, iar B r h - componenta axială; cu aceasta elementul de forţă devine: r r df = i [ dl B ] + i [ dl Bh ] (75) r 9. Forţele electromagnetice în bobinele cilindrice Forţele electrodinamice care acţionează asupra unui sistem electromagnetic sunt întotdeauna dirijate astfel încât să mărească inductanţa sistemului în ansamblu şi de aceea, în interiorul unei bobine de reactanţă monofazate, la trecerea prin bobină a curentului, eforturile electrodinamice tind să comprime bobina în toate direcţiile 6

şi să mărească diametrul acesteia (vezi figura 13.1) [6], [8]. În funcţie de locul unde se află situată spira în câmpul magnetic al bobinei, aceste forţe au valori şi sensuri diferite. Ca urmare, tensiunile mecanice care apar în diferite locuri ale bobinei nu sunt identice între ele. Figura 13.1: Direcţiile şi sensul forţelor electrodinamice La acţiunea electrodinamică asupra spirelor, fiecare dintre forţele care acţionează asupra unităţii de lungime a spirei poate fi considerată ca suma a doua forţe: forţa radială, F r, şi forţa axiala, F h, create corespunzător de către câmpul longitudinal şi câmpul transversal al bobinei. În figura 13. este reprezentată aproximativ variaţia câmpului longitudinal pe diametrul bobinei, precum şi variaţia câmpului transversal pe înălţimea bobinei; de asemenea este reprezentată descompunerea câmpului rezultant al bobinei (într-un punct oarecare K), în componenta longitudinală H h şi transversala H r, şi sunt arătate forţele F r şi F h corespunzătoare acestor câmpuri. După cum se observă din figura 13, forţele radiale maxime pe unitatea de 63

Bobine de reactanţă fără miez feromagnetic lungime a conductorului sunt situate pe stratul (solenoidul) interior al bobinajului, fiind create de componenta longitudinală a câmpului. Punctul maxim se afla situat la mijlocul înălţimii solenoidului din interiorul bobinajului (punctul A din figura 13.). Figura 13.: Câmpul magnetic pe direcţia longitudinală (axială) şi transversală (radială) şi forţele electrodinamice corespunzătoare acestora În continuare vor fi prezentate formulele de calcul obţinute experimental, referitor la valorile câmpurilor (forţelor) longitudinale şi transversale ale bobinelor, formule care permit determinarea eforturilor ce acţionează pe unitatea de lungime a spirei, în trei puncte caracteristice: A, B şi C, ale bobinajelor (vezi figura 13.) [6]: 1 N F A 7,57 10-7 wi ( Id ) Ah / [N/m]; (76) b N 1 F B 9,083 10-7 N 1 wi ( Id ) Ah [N/m]; (77) b N 1 b N 1 N F C 4,4 10-7 wi ( Id ) Ah 1 64 [N/m]; (78)

unde: - b = (d E - d i )/ [m] este lăţimea bobinajului; N w i i= 1 - w = 1 / N este numărul mediu de spire al bobinei realizate din N solenoizi conectaţi în paralel; - I d = 1,8 I sc [A] este valoarea de vârf a curentului nominal de scurtă durată (vezi paragraful 9.4); Figurile 14: Diagramele coeficienţilor A h funcţie de raportul h/d i A h şi A h/ sunt coeficienţi care depind de forma bobinei şi se determină cu ajutorul nomogramelor din figurile 14, respectiv 15. 65

Bobine de reactanţă fără miez feromagnetic Figurile 15: Diagramele coeficienţilor A h / funcţie de h/(d i ) Cu toate că forţele maxime care acţionează asupra unităţii de lungime a spirei revin spirelor medii interioare (punctul A din figura 13.), efortul mecanic este maxim la spirele de capăt, situate la exteriorul înfăşurării (punctele C şi C din figura 13.). Forţa maximă în punctul A acţionează numai în sens radial, tinzând să rupă spira, iar această forţă este compensată de reacţia sistemului mecanic de consolidare al întregii înfăşurări şi, ca urmare, pericolul este în general redus. În punctele C şi C, există forţe axiale maxime care solicită spira la încovoiere (vezi figura 16). Totodată, din punct de vedere constructiv, pe spirele situate la exteriorul bobinajului se 66

obţine deschiderea maxima l d a conductorilor spirei. În punctele C şi C se obţin tensiuni maxime şi, ca urmare, este necesară verificarea prin calcul a rezistenţei mecanice a conductorilor spirelor situate în aceste zone. Figura 16: Forţele care solicită la încovoiere spira de capăt situată la exteriorul bobinajului La determinarea eforturilor şi deformaţiilor conductorilor, solicitarea electrodinamică poate fi considerată ca fiind aplicată instantaneu, iar conductorul spirei poate fi considerat ca un fir flexibil (în majoritatea cazurilor spirele înfăşurării sunt realizate din mai multe conductoare elementare, care au o anumită elasticitate). Săgeata de încovoiere a conductoarelor, pe baza teoriei firelor flexibile, poate fi calculată cu relaţia: în care: f = FC l 8 F 67 t d [m] (79) - F C este forţa care acţionează pe unitatea de lungime, calculată cu formula (78); - l d [m] este lungimea deschiderii conductoarelor încastrate la capete prin intermediul distanţoarelor consecutive adiacente spirei exterioare a înfăşurării;

Bobine de reactanţă fără miez feromagnetic - F t [N] este forţa de întindere a conductoarelor; - este un coeficient care tine seama de faptul că solicitarea nu este statica, ci este aplicata instantaneu. Forţa de întindere a conductoarelor poate fi calculată cu relaţia: 8 f F t = E 3 l d s c [N] (80) unde E [N/m ] este modulul de elasticitate al materialului din care sunt confecţionate conductoarele: pentru cupru E = 1,753 10 11 N/m, iar pentru aluminiu E = 7,063 10 11 secţiunea conductoarelor spirei. N/m [9], iar Σs c [m ] - este Din combinaţia relaţiilor (79) şi (80), rezultă săgeata, f, a conductorului: 6 F l 64 E s c Efortul unitar în conductoare va fi: 4 f = 3 C d [m] (81) F t 8 f σ = s = E [N/m ] (8) c 3 l d Din combinaţia relaţiilor (81) şi (8) σ = 3 F C ld E [N/m ( ) ] (83) 6 s c Cu relaţia (83) se pot determina eforturile mecanice specifice care apar în conductoare, atunci când se cunosc forţele F C care acţionează pe unitatea de lungime a conductoarelor. Comportarea conductoarelor la efortul electrodinamic este corespunzătoare dacă este satisfăcută inecuaţia: σ σ adm, (84) unde σ adm - este tensiunea admisibilă la tracţiune a materialului: 68

pentru cupru σ adm = 0 10 7 N/m, iar pentru aluminiu σ adm = 15 10 7 N/m [11]. Dacă tensiunea mecanica σ determinată cu formula (83) este mai mare decât tensiunea admisibilă la tracţiune a materialului conductorului σ adm, atunci se va proceda la micşorarea lungimii l d, prin majorarea adecvată a numărului de distanţoare distribuite uniform pe circumferinţa spirei. Forţa admisibilă F adm pe unitatea de lungime, în cazul unei secţiuni uniforme a conductoarelor spirei (dacă se consideră conductoarele ca o grindă cu capetele încastrate), poate fi determinata cu relaţia: σ l F adm = 1 W adm d [N/m], (85) în care: - W [m 3 ] este modulul de rezistenţă al conductoarelor spirei; - σ adm [N/m ] tensiunea admisibilă la tracţiune a materialului conductoarelor; - l d [m] lungimea conductoarelor, considerate ca o grindă încastrată la ambele capete. Dacă conductoarele care alcătuiesc secţiunea spirei nu satisfac întru totul proprietăţile firelor flexibile, atunci forţa admisibilă F adm pe unitatea de lungime a conductoarelor (cablului) poate fi determinată cu relaţia: F adm = sc l d 4 σ E 3 adm [N] (86) în care: - Σs c [m ] este secţiunea conductoarelor spirei; - E [N/m ] modulul de elasticitate al materialului. Forţa F l exercitată pe unitatea de lungime a conductoarelor 69

Bobine de reactanţă fără miez feromagnetic spirelor de capăt situate la exteriorul înfăşurării bobinei poate fi determinată cu relaţia de calcul [6]: în care: - N 1 w i N 7 F l = 10 w 1 i I β h N d [N/m] (87) este suma spirelor celor N solenoizi conectaţi în paralel (numărul total al spirelor înfăşurării a căror secţiune este străbătută de curentul cu valoarea I d / N [A]); axială); - h [m] este înălţimea bobinajului (dimensiunea pe direcţia - I d = 1,8 I sc [A] este valoarea de vârf a curentului nominal de scurtă durată (vezi paragraful 9.4); - N - este numărul solenoizilor conectaţi în paralel; - β = β h b, este un coeficient care depinde de geometria dm d m bobinei, iar valorile sunt date în tabelul 5. Comportarea conductoarelor la efortul electrodinamic este corespunzătoare dacă este satisfăcută inecuaţia: F l F adm (88) Tabelul 5: Valorile coeficientului β pentru calculul solicitărilor în spiră, conform relaţiei (87) h/dm b/d m 0, 0, 0,4 0,6 0,8 0,30 0,3 0,34 0,36 0,6 3,35 3,18 3,0,84,70,56,4,30,0 0,8 3,58 3,40 3,3 3,07,90,76,6,50,39 1,0 3,70 3,54 3,38 3,3 3,07,9,78,64,51,0 3,90 3,70 3,5 3,36 3,0 3,05,90,77,64 70

β 4.0 h/d m 3.8 3.6 3.4 0.6 0.8 1.0 1. 3. 3.0.8.6.4. 0.18 0.0 0. 0.4 0.6 0.8 0.30 0.3 0.34 0.36 0.38 b/d m Figura 16.1: Coeficientul β exprimat în funcţie b/d m la valori h/d m distincte 9.3 Forţele dintre două bobine cilindrice identice coaxiale Energia magnetică corespunzătoare câmpului magnetic mutual este: W m1 = i 1 i L 1 (89) Forţa axială rezultantă, de interacţiune dintre cele doua bobine cilindrice coaxiale identice este [8]: F a1 = Wz m 0 i1, i = const = i 1 i L z 1 0 = i 1 i w ϕ a, (90) în care: z 0 - h = S este distanta dintre bobine (z 0 - este distanta dintre centrele bobinelor, iar h este înălţimea bobinei vezi figura 71

Bobine de reactanţă fără miez feromagnetic 17); Figura 17: Forţele electrodinamice specifice ϕ a care acţionează între două bobine identice montate suprapus (pe aceeaşi verticală) în funcţie de raportul S/d m (S = distanţa dintre axele bobinelor; d m = diametrul mediu al bobinajului) şi de geometria bobinei (rapoartele h/d m = 0,5 1,5 şi b/d m = 1/6) w este numărul de spire al bobinei; ϕ a = ϕ a d b, m d h, m d S m - este o funcţie care caracterizează valoarea forţei de interacţiune pe un amper-spiră (i 1 = i =1A şi w = 1), în funcţie de dimensiunile geometrice ale bobinelor (b/d m, h/d m ) şi raportul dintre distantei S dintre înfăşurări şi diametrul lor mediu S/d m. 7

În figura 17 sunt reprezentate nomogramele forţelor specifice axiale rezultante între două bobine identice coaxiale, montate suprapus pe aceeaşi verticală a locului (este reprezentat graficul funcţiei ϕ a în funcţie de raportul S/d m, pentru diferite rapoarte h/d m, în cazul particular când raportul dintre diametrul mediul al bobinajului şi grosimea acestuia are valoarea: d m /b = 6). 9.4 Forţele între două bobine cilindrice identice cu axele paralele aşezate la aceeaşi cotă 1 Forţele rezultante care se exercită radial în planul perpendicular pe axele bobinelor se determină cu relaţia: F r = WS m i 1, i = const L = i 1 i 1 = i S 1 i w ϕ, (91) în care: - S este distanţa între axele bobinelor (vezi figura 18); - w este numărul de spire al bobinei; - ϕ r = ϕ r, este o funcţie care caracterizează d b d h, d S m m m valoarea forţei de interacţiune pe un amper-spira (i 1 = i = 1A şi w = 1), în funcţie de dimensiunile geometrice ale bobinelor: (b/d m, h/d m ) şi raportul distantei dintre axele bobinelor şi diametrul lor mediu: S/d m. În figura 18 s-au reprezentat nomogramele forţelor specifice radiale rezultante care se exercită între două bobine identice cu axele paralele (graficul funcţiei ϕ r ), în funcţie de raportul S/d m, pentru diferite rapoarte h/d m, în cazul particular când raportul dintre diametrul mediu al bobinajului şi grosimea acestuia are valoarea: d m /b = 6. r 1 (z 0 = 0) 73

Bobine de reactanţă fără miez feromagnetic Figura 18: Forţele electrodinamice ϕ r care acţionează între două bobine identice montate alăturat în funcţie de raportul S/d m (S este distanţa dintre axele bobinelor; d m diametrul mediu al bobinajului) şi de geometria bobinei (rapoartele h/d m = 0,5 1,5 şi b/d m = 1/6) Forţele axiale rezultante, de deplasare a celor doua bobine cilindrice aşezate la aceeaşi cotă (z 0 = 0), sunt nule [8]. Pentru calculul forţelor electrodinamice trebuie determinate valorile curentului nominal de scurtă durată I sc şi valoarea de vârf a acestuia I d. În ipoteza în care toate rezistenţele ohmice ale circuitului sunt neglijate iar bobina de reactanţă rămâne ca unic consumator de 74

energie electrică în circuit şi, totodată, considerând că tensiunea reţelei nu variază în timpul scurtcircuitului, valorile maxime posibile ale acestor curenţi pot fi determinate cu relaţiile: I sc = U N U = N 3 X 3 π f L N N [A] (9) în care: - U N [V] este tensiunea nominală a reţelei electrice; - f [Hz] este frecvenţa curentului; - L N [H] este inductivitatea nominală a bobinei de reactanţă. I d = 1,8 I [A] (93) sc În cazul scurtcircuitului simetric trifazat, valorile produsului curenţilor a două faze i 1 i variază intre limitele: ¾ I d ¼ I d. Valorile maxime ale produsului i 1 i (negative şi pozitive) dau valorile maxime ale forţelor de atracţie şi de respingere ale bobinelor. Astfel, în cursul unei singure perioade a curentului alternativ, forţele care se exercită între fazele adiacente au doua valori maxime negative şi doua valori maxime pozitive. În situaţia în care cele trei bobine monofazate sunt identice şi sunt montate suprapus (pe aceeaşi verticală a locului) se calculează: a) forţele maxime de respingere F resp, care se exercită între fazele adiacente: F resp = 3 [N], (94) I w ϕ 4 d a unde I d se calculează cu relaţia (93), w = 1 N N 1 w i - este valoarea medie a numărului de spire al bobinei realizate din N solenoizi conectaţi în paralel iar valorile ϕa ( A sp.) N se iau din nomogramele din 75

Bobine de reactanţă fără miez feromagnetic figura 17. b) forţele maxime de atracţie F atr, care se exercită între fazele adiacente: F atr = 1 [N], (95) I w ϕ 4 d a Din combinaţia relaţiilor (79) şi (80) rezultă: F resp = 3 F atr ; (96) adică, în cazul montajului suprapus (pe aceeaşi verticală a locului) a unui set de trei bobine monofazate identice, forţele de respingere care se manifestă între faze sunt de trei ori mai mari faţă de cele de atracţie şi, ca urmare, este util ca izolatoarele dintre faze să fie izolatoare compozite care au o rezistenţă remarcabilă la tracţiune. Valorile acestor forţe pot fi inversate dacă bobina monofazată, amplasata la mijloc (faza centrală) are sensul înfăşurărilor inversat faţă de sensul înfăşurărilor celorlalte două bobine monofazate, sau dacă în faza centrală se realizează schimbarea sensului curentului prin inversarea bornelor de alimentare cu energie electrică. În acest caz forţele de respingere vor fi: F resp = 31 F atr ; (97) În acest ultim caz consolidarea mecanică între bobine poate fi realizată cu ajutorul izolatoarelor din porţelan care rezistă mai bine la eforturi de compresiune faţă de tracţiune. În situaţia în care cele trei bobine monofazate sunt identice şi sunt montate alăturat (pe o linie orizontală vezi figura 18 ), sensul forţelor maximale nu are un rol prea mare, deoarece izolatoarele 76

suport sunt solicitate la încovoiere. Numai în situaţia în care sunt utilizate ca distanţoare intre faze izolatoarele suport din porţelan, este mai avantajos ca forţele maximale de interacţiune între bobine să fie forţele de atracţie. Amplasarea pe orizontală a bobinelor este folosită fie în cazul unor forte electrodinamice mari, fie în cazul unor înălţimi mici ale spaţiului disponibil. Formulele de calcul ale forţelor de respingere şi de atracţie sunt similare cu relaţiile de calcul (94) şi (95), cu precizarea ca funcţia ϕ a se înlocuieşte cu funcţia ϕ r : F resp = 3 I w ϕ 4 d r [N]; (98) F atr = 1 I w ϕ [N]; (99) 4 d unde I d se calculează cu relaţia (93), iar valorile ϕ r [N/(A sp) ] se determină din nomogramele prezentate în figura 18. r 77

Bobine de reactanţă fără miez feromagnetic ANEXA A.1: Alegerea bobinelor de reactanţă limitatoare de curent pentru protecţia circuitelor electrice. Exemplul numeric Cunoscându-se configuraţia circuitului electric (vezi figura 19) unde urmează a fi instalată bobina de reactanţă, inclusiv partea de scurtcircuit în amonte Sk 1 [MVA], respectiv în aval Sk [MVA] de bobină, reactanţa nominală necesară pentru bobină se calculează cu relaţia (100): 1 1 X n [ Ω] = U n [ kv ] (100) S k [ MVA] S k1[ MVA] Exemplu: Cunoscând schema monofilară indicată în figura 19, se calculează puterea de scurtcircuit Sk 1 în amonte de bobină, cu relaţia (101) Figura 19: Schema monofilară a circuitului electric ude urmează a fi înseriată bobina de reactanţă 78

S n 40 4000 S k1 = = = 333MVA U % 1 /100 1 =. (101) sc Puterea de scurtcircuit (Sk ) în aval de bobină este impusă, fiind egală cu puterea de rupere a întreruptoarelor de medie tensiune: S = k 50MVA Valoarea reactanţei nominale X n necesara pentru bobina de reactanţă ce urmează a fi înseriată în circuit, astfel încât puterea de scurtcircuit în aval (pe partea de medie tensiune) să fie limitată la S k =50 MVA, rezultă din relaţia (100): 1 1 1 1 X n [ Ω] = U [ kv ] = 0 = 0, 4Ω Sk [ MVA] Sk1[ MVA] 50 333 Reactanţa procentuala x p necesară pentru bobină se calculează cu relaţia (10 ): X n I n 0,4 150 x p = 100 = 100 = 4,33% (10) U / 3 0000/ 3 Se rotunjeşte la întreg x p = 5% n Bobina de reactanţă necesară va avea parametrii nominali: U n = 0 kv; I n = 150 A şi x p = 5%. 79

Bobine de reactanţă fără miez feromagnetic ANEXA A.: Bobina de reactanţa BR-6000-500-5, uscată, fără miez feromagnetic, de tip serie definita în CEI 60076-6: 007. Exemplul numeric: calculul de dimensionare A..1. Date nominale: - tensiunea nominala: U N = 6000 V; - curentul nominal: I N = 500 A; - reactanţa procentuala: x p = 5/100 - frecventa nominala: f N = 50 Hz - conductoarele înfăşurării: aluminiu - clasa de izolaţie: F (ϑ = 100 C; θ =140 C) - diametrul maxim al înfăşurării: d adm = 1500 mm - înălţimea maximă a înfăşurării: h adm = 450 mm A..1.. Reactanţa nominală: X N = U N 3 I N xp = 6000 3 500 5 100 0,0693 Ω (toleranţa admisă: 0%, +0% vezi CEI 60076-6: 007). A..1.3. Inductivitatea nominală: L N = X N π f N =0,0 10-3 H (toleranţa admisă: 0%, +0% pentru calculul de predimensionare, valoarea inductanţei se majorează cu 10%, şi ca urmare se va considera: L N =0,4 10-3 H) A..1.4. Curentul nominal de scurta durata: I sc = U N 3 X N = I N = x p / 100 5 500 =50 000 A ; 80

t = 3 s (I sc 0 I N t = 3 sec, conform CEI 60076-6: 007). A..1.5. Valoarea de vârf a curentului nominal de scurtă durată: I d = 1,8 I sc 15 000 A. A... Calculul de predimensionare Conform nomogramelor din figura 11, pentru un solenoid din aluminiu clasa F de izolaţie, cu grosimea bobinajului n 0 = b =10 15 mm şi cu înălţimea h 1000 mm densitatea de curent j 1,35 A/mm. Spira solenoidului este realizata din n =10 conductoare de aluminiu cu secţiunea dreptunghiulară 10,5 (s c = 0,6 mm ) conectate în paralel (dispunerea conductoarelor: 5 pe direcţia radiala şi pe direcţia axială); secţiunea spirei solenoidului: Σs c = 10 0,6 = 06 mm. În ipoteza în care se admite o creştere a bobinajului de cca.,5% atât pe direcţie radiala cât şi pe direcţie axială, iar grosimea izolaţiei Δ iz însumată pentru ambele laturi ale conductorului este de cca. 0,5 mm, rezulta: - n 0 = 1,05 (+0,5) 5 =1,815 13 mm; - n v = 1,05 (10,5 +0,5) =,55 mm; - k M = n n n s 0 v = c 1,815,55 10 0,6 = 1,405 Din relaţia: n 0 n v N = k M I j N N N = 1,405 500 1,815,05 1,35 = 8,989; Se adopta N = 9 (numărul solenoizilor conectaţi în paralel); Se recalculează j N = I N 500 = N sc 9 06 81 =1,3484 A/mm Din motive de răcire a bobinajului, respectiv a izolaţiei intre spire

se adopta: - k 0 = 14 mm (lăţimea canalelor de răcire); Bobine de reactanţă fără miez feromagnetic - k v = mm (grosimea distanţoarelor dintre două spire consecutive). Pasul înfăşurării: - pe direcţie axială: p v = n v + k v =,55 + =4,55 mm - pe direcţie radială : p 0 = n 0 + k 0 = 1,815 + 14 = 6,815 mm; valorile diametrelor medii al solenoizilor formează o progresie aritmetica cu raţia r = p 0 = 6,815 = 53,65 mm. Inductivitatea L c a bobinei echivalente se determina cu relaţia (14): L c = 1,405 500 14 14 1+ + + 0,4 10-3 = 1 1,3484 1,815,55 1,815,55 = 8493,377 H Valoarea optima b a ferestrei bobinei pătrate se determină cu formula (16); 8493,377 5,5 1 b = 10 1 5 =0,30 m = 30 mm Valoarea optima a diametrului mediu d m al bobinei se determina cu relaţia (17): d m =3 b=3 30 = 960 mm (coincide cu diametrul mediu al solenoidului nr. 5, din cei 9 solenoizi conectaţi în paralel); Diametrul mediu d 1 al primului solenoid(solenoidul cu diametrul cel mai mic) rezulta: d 1 = d m - N 1 r 9 1 =960-53, 65=745,5 mm Diametrul mediu al solenoidului d 9 (solenoidul cu diametrul cel 8

mai mare) este: d 9 = d m + N 1 r =960 + 53, 65=1174,5mm 83 9 1 Se determina numărul de spire pentru fiecare solenoid în parte cu ajutorul Relaţiilor lui Maxwell privitoare la inductivităţi (19), astfel încât sa fie realizata egalizarea curenţilor pe fiecare cale de curent. Sistemul de ecuaţii (19) este rezolvat cu ajutorul unui program software specializat. În tabelul A1 sunt prezentate centralizat numărul diferenţiat de spire pentru bobina realizata din N = 9 solenoizi conectaţi în paralel. Tabelul A1: Bobina \ Z = 0,076 Ω \ d1 d9 = 0,7455 1,1745 m \ p = 0,0455 m \ b = 0,005 m \ c = 0,01315 m \ ρ = 4,45797395569085E-8 Ω m; k M = 1,318 1) w(1) = a(1) = L(1) = 0,001868961 H z(1) = 0,68705 Ω. = 13, = 0,340 m L() = 0,00177784 H z() = 0,684187 Ω. L(3) = 0,001746037 H z(3) = 0,683187 Ω. L(4) = 0,001891455 H z(4) = 0,687755 Ω. L(5) = 0,001733138 H z(5) = 0,6878 Ω. L(6) = 0,001835956 H z(6) = 0,68601 Ω. L(7) = 0,001774680 H z(7) = 0,684088 Ω. L(8) = 0,001800533 H z(8) = 0,68490 Ω. L(9) = 0,00185650 H z(9) = 0,686663 Ω. ) w() = 3) w(3) = 4) w(4) = 5) w(5) = 6) w(6) = 7) w(7) = 8) w(8) = 9) w(9) = a() = a(3) = a(4) = a(5) = a(6) = a(7) = a(8) = a(9) = = 11,6 = 10,5 = 9,8 = 9, = 8,9 = 8,7 = 8,7 = 8,9 = 0,847 m = 0,5777 m = 0,405 m = 0,58 m = 0,1849 m = 0,1358 m = 0,1358 m = 0,1849 m Unde: w(i)= numărul de spire al solenoidului i ; a(i) = înălţimea solenoidului i constituit din w(i) spire. L(i) şi Z(i) = inductivitatea, respectiv impedanţa solenoidului i constituit din w(i) spire; p = pasul spirelor solenoizilor; b c = dimensiunile secţiunii dreptunghiulare a spirelor solenoizilor (secţiunea conductorului blanc echivalent: b - pe direcţia axială şi c - pe direcţia radiala); k M = factorul de majorare a secţiunii spirei.

Bobine de reactanţă fără miez feromagnetic Z_calculat = 0,0761308378316 (ohm) Eroarea (dz) = 0,0001308 Ω; Eroarea relativă procentuală (100 dz/z) = 0,17 %. Înălţimea bobinajului este dată de înălţimea primului solenoid: h = 648 mm > h adm =450 mm. Pentru a diminua înălţimea bobinajului se reia calculul de predimensionare al bobinei cu un număr majorat de solenoizi conectaţi în paralel determinat, cu relaţia: N =1 + b = 1 + 30 =1,93 13; 6, 815 p 0 Se recalculează secţiunea spirei : Σs c = n s c = I N /(N j) = 500/13/1,35 = 14,45 mm ; pentru n = 10 s c = 14,45 mm ; se alege valoarea standardizată: s c = 14,6 mm conductorul de aluminiu cu secţiunea dreptunghiulară x 7,5. Se recalculează mărimile: - densitatea de curent: j = 500/13/146 = 1,317 A/mm - n v = 1,05 (7,5 +0,5) = 16,4 mm; - p v = 16,4 + =18,4 mm; - k M = 1,815 16,4/146 = 1,439; - L c = 1,439 1 1,317 =9954,0 H 500 1 5 14 14 1 + + 1,815 16,4 1,815 16.4 1 9954,0 - b = 10 = 0,330m = 330mm 5,5 - d m = d 6 = 3 b =3 330 = 990 mm + 0,4 10-3 = N 1 13 1 - d1 = dm r = 990 53,65 = 668,5mm 670mm N 1 13 1 - d13 = dm + r = 990 53,65 = 1311,75mm 131mm 84

Dimensiunile bobinajului şi numărul de spire al celor 13 solenoizi conectaţi în paralel sunt prezentate centralizat în tabelul A. Tabelul A Solenoid \ Z = 0,076 Ω \ d1 d13 = 0,6685 1,3135 m \ p = 0,0184 m \ b = 0,0159 m \c = 0,01315 m \ ρ = 4,53536760009E-8 Ω m; k M = 1,318 1) w(1) = a(1) = L(1) = 0,00315065 (H) z(1) = 0,990337 (Ω). = 15,5 = 0,85 (m) L() = 0,0031380855 (H) z() = 0,985884 (Ω). L(3) = 0,0031515845 (H) z(3) = 0,9901 (Ω). L(4) = 0,0031431096 (H) z(4) = 0,987459 (Ω). L(5) = 0,003148951 (H) z(5) = 0,987391 (Ω). L(6) = 0,0031440739 (H) z(6) = 0,987761 (Ω). L(7) = 0,00316988 (H) z(7) = 0,99370 (Ω). L(8) = 0,003138746 (H) z(8) = 0,98608 (Ω). L(9) = 0,003148795 (H) z(9) = 0,98946 (Ω). 10) w(10) = a(10) = L(10) = 0,003160000 (H) z(10) = 0,9976 (Ω). = 8,4 = 0,1545 (m) 11) w(11) = a(11) = L(11) = 0,00313788 (H) z(11) = 0,984 (Ω). = 8,3 = 0,157 (m) 1) w(1) = a(1) = L(1) = 0,003140301 (H) z(1) = 0,98658 (Ω). = 8,4 = 0,1545 (m) 13) w(13) = a(13) = L(13) = 0,00313465 (H) z(13) = 0,98481 (Ω). = 8,6 = 0,158 (m) Z_calculat = 0,0760133834 Ω Eroarea (dz) = 1,33834E-5 Ω; Eroarea relativă procentuală (100 dz/z) = 0,017 %. ) w() = 3) w(3) = 4) w(4) = 5) w(5) = 6) w(6) = 7) w(7) = 8) w(8) = 9) w(9) = a() = a(3) = a(4) = a(5) = a(6) = a(7) = a(8) = a(9) = = 13,4 = 1 = 10,9 = 10,1 = 9,5 = 9,1 = 8,7 = 8,5 = 0,465 (m) = 0,08 (m) = 0,005 (m) = 0,1858 (m) = 0,1748 (m) = 0,1674 (m) = 0,1600 (m) = 0,1564 (m) Înălţimea bobinajului realizat din 13 solenoizi conectaţi în paralel este (vezi tabelul A): h = 570 mm > h adm =450 mm. Reducerea în continuare a înălţimii bobinajului, în ipoteza în care se menţine aceeaşi densitate de curent (secţiunea spirelor rămâne nemodificată), poate fi realizată prin majorarea diametrului bobinei. În tabelul A3 sunt prezentate centralizat principalele elemente 85

Bobine de reactanţă fără miez feromagnetic constructive ale bobinajului (N, w i şi h) calculate cu ajutorul programului software specializat, pentru următoarele trei tipovariante de bobine: a) Bob:9/1380 N = 9; d E 1380 mm h = 480 mm > h adm =450 b) Bob:9/1500 N = 9; d E 1500 mm h = 4 mm < h adm =450 c) Bob:13/1500 N =13; d E 1500 mm h = 40 mm < h adm = 450 Numai variantele constructive b) şi c) satisfac cerinţele tehnice privind dimensiunile de gabarit impuse şi ca urmare vor fi analizate în paralel în paragrafele următoare. Tabelul A3 Bobina \ Z = 0,076 Ω \ d1 d9 = 0,94 1,369 m \ p = 0,0455 m \ b = 0,005 m \ c = 0,01315 m \ ρ = 4,45797395569085E-8 Ω m \ k M = 1,318 1) w(1) = a(1) = L(1) = 0,001791480 H z(1) = 0,6846160 Ω. = 9,8 = 0,4059 m ) w() = a() = L() = 0,001891598 H z() = 0,6877600 Ω. = 8,9 = 0,1849 m 3) w(3) = a(3) = L(3) = 0,001777506 H z(3) = 0,6841749 Ω. = 8, = 0,0131 m 4) w(4) = a(4) = L(4) = 0,00195190 H z(4) = 0,6896536 Ω. = 7,8 = 0,19149 m 5) w(5) = a(5) = L(5) = 0,001687648 H z(5) = 0,6813519 Ω. = 7,4 = 0,18167 m 6) w(6) = a(6) = L(6) = 0,001658009 H z(6) = 0,680413 Ω. = 7, = 0,17676 m 7) w(7) = a(7) = L(7) = 0,001919016 H z(7) = 0,68863 Ω. = 7, = 0,17676 m 8) w(8) = a(8) = L(8) = 0,0018436 H z(8) = 0,6856461 Ω. = 7, = 0,17676 m 9) w(9) = = 7,3 a(9) = = 0,1791 m L(9) = 0,001645111 H z(9) = 0,680009 Ω. Z_calculat = 0,0760755387 Ω Eroarea (dz) = 7,55387E-5 Ω; Eroarea relativă procentuala (100 dz/z) = 0,099 %. Bobina \ Z = 0,076 Ω \ d1 d9 = 1,0645 1,4935 m \ p = 0,0455 m \ b = 0,005 m \ c = 0,01315 m \ ρ = 4,45797395569085E -8 Ω m Ajustare 1) w(1) = = 8,6 a(1) = = 0,1113 m L(1) = 0,0018708 H z(1) = 0,6870915 Ω. 86

) w() = a() = = 7,8 = 0,19149 m L() = 0,0017304 H z() = 0,686964 Ω. 3) w(3) = a(3) = = 7,3 = 0,17915 m L(3) = 0,00179534 H z(3) = 0,684735 Ω. 4) w(4) = a(4) = = 6,9 = 0,169395 m L(4) = 0,00167648 H z(4) = 0,6810007 Ω. 5) w(5) = a(5) = = 6,7 = 0,164485 m L(5) = 0,0018955 H z(5) = 0,6858101 Ω. 6) w(6) = a(6) = = 6,6 = 0,1603 m L(6) = 0,0019937 H z(6) = 0,690968 Ω. 7) w(7) = a(7) = = 6,5 = 0,159575 m L(7) = 0,001839 H z(7) = 0,6858976 Ω. 8) w(8) = a(8) = = 6,5 = 0,159575 m L(8) = 0,0016899 H z(8) = 0,681463 Ω. 9) w(9) = a(9) = = 6,7 = 0,164485 m L(9) = 0,0018636 H z(9) = 0,6868741 Ω. Z_calculat = 0,076181709 Ω Eroarea (dz) = 0,0001817099 Ω; Eroarea relativa procentuala (100 dz/z) = 0,1687 %. Bobina \ Z = 0,076 Ω \ d1 d13 = 0,85 1,4935 m \ p = 0,0184 m \ b = 0,0159 m c = 0,01315 m \ ρ = 4,53576864535769E-8 Ω m: Ajustare 1) w(1) = a(1) = = 11,4 = 0,0976 m L(1) = 0,0031518 H z(1) = 0,99009 Ω. ) w() = a() = = 10,1 = 0,18584 m L() = 0,0031740 H z() = 0,9854 Ω. 3) w(3) = a(3) = = 9,3 = 0,1711 m L(3) = 0,00315500 H z(3) = 0,991194 Ω. 4) w(4) = a(4) = = 8,6 = 0,1584 m L(4) = 0,00313879 H z(4) = 0,98610 Ω. 5) w(5) = a(5) = = 8,1 = 0,14904 m L(5) = 0,00313677 H z(5) = 0,985466 Ω. 6) w(6) = a(6) = = 7,7 = 0,14168 m L(6) = 0,0031667 H z(6) = 0,9894 Ω. 7) w(7) = a(7) = = 7,5 = 0,13800 m L(7) = 0,0031670 H z(7) = 0,993613 Ω. 8) w(8) = a(8) = = 7, = 0,1348 m L(8) = 0,00311977 H z(8) = 0,98017 Ω. 9) w(9) = a(9) = = 7,1 = 0,13064 m L(9) = 0,00313504 H z(9) = 0,98496 Ω. 10) w(10) = a(10) = = 7,1 = 0,13064 m L(10) = 0,0031659 H z(10) = 0,99463 Ω. 11) w(11) = a(11) = L(11) = 0,0031639 H z(11) = 0,99400 Ω. = 7,1 1) w(1) = = 7,1 = 0,13064 m a(1) = = 0,13064 m L(1) = 0,003153 H z(1) = 0,98189 Ω. 87

13) w(13) = = 7,3 a(13) = = 0,1343 m Bobine de reactanţă fără miez feromagnetic L(13) = 0,003135 H z(13) = 0,98499 Ω. Z_calculat = 0,07596011536363 Ω Eroarea (dz) = 7,39788463636898E-5 Ω; Eroarea relativă procentuală (100 dz/z) = 0,097340587306445 %. A..3. Calculul pierderilor în regim permanent de funcţionare Pentru bobinajul realizat din conductori de aluminiu clasa F de izolaţie,valoarea pierderilor se determină la temperatura de referinţă: θ = 115 C. Se aplica formula(49) unde: k s = 1+ k 0 k q k ρ P = 14,0 10-1 k s M j ; N W i= 1 h i 88 f 50 iar masa netă M se determină cu relaţia: Pentru Bobina 9/1500 9 M = ρ π di wi n s 1 10-3 [vezi formula (45)], k s = 1 + 18,8 7,95 10-6 0,37 [(17, + 15,6 + 14,6 + 13,8 + 13,4 + + 13, + 13 + 13 + 13,4) / 0,4] 10-3 = 1 + 0,175 = 1,175; M =,7 π (1064,5 17, + 1118,15 15,6 + 1171,75 14,6 + + 15,375 13,8 + 179 13,4 + 133,65 13, + 1386,5 13 + + 1439,875 13 + 1493,5 13,4) 10 0,6 10-6 8 kg; j = 1,3484 10 6 A/m ; P = 14,0 10-1 1,175 8 (1,3484 10 6 ) = 8536,65 W Pentru Bobina 13/1500 k s = 1 + 19 193,45 10-6 0,37 [(,8 + 0, + 18,6 + 17, + 16, + + 15,4 + 15 + 14,4 + 14, + 14, + 14, + 14, + 14,6)/0,40] 10-3 = = 1 + 0,34388 1,344. M =,7 π (850,8 + 903,65 0, + 957,5 18,6 + +1010,875 17, + 1064,5 16, + 1118,15 15,4 + 1171,75 15 + + 15,375 14,4 + 179 14, + 133,65 14, + 1386,5 14, + c.

+1439,875 14, + 1493,5 14,6) 10 14,6 10-6 = 99,11 kg; j = 1,317 10 6 A/m ; P = 14,0 10-1 1,344 99,11 (1,317 10 6 ) = 9901,5 W Observaţie: valoarea pierderilor în regim permanent a bobinei 9/1500 este mai mică cu 1364 W comparativ cu bobina 13/1500 si ca urmare varianta constructivă Bob:9/1500 se impune a fi adoptată. A..4. Verificarea încălzirii în regim nominal de funcţionare Pentru calculul pierderilor specifice se aplică formula (63): Δp =,0574 10-10 k s b j [ m W o C ]; Încălzirea este corespunzătoare dacă este îndeplinită inecuaţia (65): Δp Δp adm = k α 1con. Mărimile α 1con şi k se determină din diagramele din figura 8 şi 9 sau analitic cu ajutorul formulelor (1-) şi (1-3), în funcţie de înălţimea bobinajului (h bob 0,450 m), de lăţimea canalelor de răcire (k 0 = Δ=1,4cm) şi de încălzirea ϑ = 100 C (corespunzătoare pentru clasa F de izolaţie) Δp adm = k α 1con = 1,185 5,460 = 6,470 Pentru Bobina 9/1500 h 450 mm m W o C Δp =,0574 10-10 1,175 13 10-3 (1,3484 10 6 ) = 5,70 Δp adm = Pentru Bobina 13/1500 = 6,470 m W o C Δp =,0574 10-10 1,344 13 10-3 (1,317 10 6 ) = 6,35 Δp adm = 6,470 m W o C 89

Bobine de reactanţă fără miez feromagnetic A..5 Verificarea funcţionarii la curentul nominal de scurtă durată a) Se aplica formula (66): T 1 = θ + a j sc t 10-3 [ C] şi se verifică inecuaţia (67): T 1 T ; Pentru bobinajul de aluminiu clasa F de izolaţie (vezi tabelele şi 3) θ + T 140 + 00 a. θ =140 C (vezi tabelul 1) şi = a = a = a( 170) = 17, 85 Pentru Bobina 9/1500 T 1 = 140 + 17,85 Pentru Bobina 13/1500 T 1 = 140 +17,85 50000 9 06 50000 13 146 b) Se aplica formula(68): j sc t = şi se verifica inecuaţia (69): t t N ; Pentru Bob 9/1500 50000 9 06 10 6 t = t = 1,71< t N = 3 s Pentru Bob13/1500 50000 13 146 10 6 t = 3 10-3 = 179 T = 00 C 3 10-3 = 177,17 T = 00 C c γ k s α ρ 0 1+α ln 1+α θ 0 T 387,710 3 5 ln 1 + 00 5 1 6 1 40810 5 1,175 40810 10 + 140 39,416 387,710 3 5 ln 1 + 00 5 1 6 1 40810 5 1,344 40810 10 + 140 39,416 t = 1,567 < t N =3 s Observaţie: Pentru siguranţă în exploatare se impune ca durata de funcţionare a bobinei la curentul nominal de scurtă durată de 50000 A sa fie limitată la o valoare de maximum 1,5 secunde. In ipoteza in care durata de funcţionare de t=3 secunde nu poate fi diminuată, 90

atunci este necesară redimensionarea bobinei. Se menţine clasa F de izolaţie a bobinei, dar se majorează secţiunea spirelor astfel încât supratemperatura înregistrată la sarcina nominală să aibă o valoare ϑ ϑ p ; unde supratemperatura ϑ p are o valoare predeterminată situată sub valoarea maximă admisibilă a clasei F de izolaţie (ϑ a = 100 C ). Pentru valoarea predeterminată ϑ p << ϑ a = 100 C se calculează α con cu formula (1-4), şi apoi in funcţie de această valoare se determină valoarea densităţii de curent j la sarcina nominală. Algoritmul de calcul este similar cu cel prezentat in capitolele 4 si 7. Durata t calculată cu relaţia (68) poate fi majorată, deoarece valoarea T =00 C rămâne nemodificata, iar mărimile θ=40+ϑ p şi implicit j sc pot fi diminuate succesiv astfel încât valoarea t sa rezulte minim 3 secunde. Exemplu: Se adopta ϑ p =70 C θ=40+ϑ p =110 C; din relaţia (1-4) α con =5,96 m W o C ; din relaţiile (44) si (58) în care s-a efectuat substituţia Δp = α con j=1,0 10 6 A/m I I 50000 500 sc 6 6 j sc = j = 1,0 10 = 4 10 A/m. Înlocuind în formula(68) toate n aceste valori şi considerând valoarea coeficientului pierderilor suplimentare k s practic nemodificata, rezultă pentru Bob 9/1500 t=3,36 > t N = 3 s. A..6 Verificarea la forţele electromagnetice A..6.1 Eforturile ce acţionează pe unitatea de lungime a spirei se determină cu relaţia (78): 1 b N F C 4,4 10-7 wi ( Id ) Ah N 1 [N/m], 91

Bobine de reactanţă fără miez feromagnetic iar lungimea l d maximă admisibilă a porţiunii de spire încastrate între două distanţoare consecutive se determină din relaţia (83), în care s-a înlocuit mărimea σ cu σ adm : σ adm = 3 F C ld E [N/m sc 3 / ] l d σadm ( ) E F 6 s c 6 1/ C Pentru Bobina 9/1500 17,/9 7,510 3 F C 4,4 10-7 15000 0, 3 = 13,5 10 3 N/m d 7,063 10 6 1/ 6 06 10 10 11 3 13,5 10 7 3 ( 15 10 ) 3 / = 8,93 l m. Pentru Bobina 13/1500 11,/13 334,7510 3 F C 4,4 10-7 15000 0, 46 = 147,9 10 3 N/m ld 7,063 10 6 1/ 6 146 10 10 11 3 147,9 10 7 3 ( 15 10 ) 3 / = 5,8 Eforturilor ce acţionează pe unitatea de lungime a spirei se determina cu relaţia (87): N w 7 i F l = 10 = 1 Id β h N i [N/m], iar lungimea l d maximă admisibilă a porţiunii de spire încastrate între două distanţoare consecutive se determină din relaţia (86), în care s-a înlocuit mărimea F adm cu F l Pentru Bobina 9/1500 l d s c F l 4 σ E 3 adm [m]. 17, F l = 10 7 15000 3 3 = 17,443 10 0,4 9 N/m m 9

d 6 06 10 3 17,443 10 Pentru Bobina 13/1500 7 3 ( 15 10 ) 4 7,063 10 l =0,1647 m. 11, 15000 0,40 13 F l = 10-7 3,35 = 10,95 10 N/m d 6 146 10 3 10,95 10 11 7 3 ( 15 10 ) 4 7,063 10 l = 0,1431m. A..6. Forţele electrodinamice care acţionează între bobine a) cazul montajului suprapus (cele trei bobine monofazate sunt identice şi sunt montate suprapus pe aceeaşi verticală a locului); se aplică formulele (95) şi (96): 11 F atr = 1 [N]; F resp = 3 F atr [N]; I w ϕ 4 d a Pentru Bobina 9/1500 din figura 17, pentru S = 0,6 d m şi h/d m = 4/170 = 0,33 ϕ a = 19 10-8 17, 9 8 3 F atr = 1 15000 19 10 = 148,5 10 [N]; 4 F resp = 3 148,5 10 3 = 444,76 10 3 [N]; Pentru Bob13/1500 din figura 17, pentru S = 0,6 d m şi h/d m = 40/1171,75 =0,36 ϕ a = 18,5 10-8 11, 13 8 3 F atr = 1 15000 18,5 10 = 190,74 10 [N]; 4 F resp =3 190,74 10 3 =57, 10 3 [N] ; b) cazul montajului alăturat (cele trei bobine sunt montate în linie în acelaşi plan orizontal); se aplică formulele (98)şi (99): 93

Bobine de reactanţă fără miez feromagnetic F atr = 1 I w ϕ d r [N]; F 4 resp = 3 F atr [N]; Pentru Bobina 9/1500 din figura 18, pentru S = 1,5 d m şi h/d m = 4/170 = 0,33 ϕ r = 5 10-8 17, 9 8 3 F atr = 1 15000 5 10 = 39,013 10 [N]; 4 F resp = 3 39,013 10 3 =117,04 10 3 [N]. Pentru Bobina 13/1500 din figura 18, pentru S = 1,5 d m şi h/d m = 40/1171,75 = 0,36 ϕ r = 4,5 10-8 11, 13 8 3 F atr = 1 15000 4,5 10 = 46,39 10 [N]; 4 F resp = 3 46,39 10 3 = 139,19 10 3 [N] 94

Bibliografie: [1] Rudemberg R., Fenomene tranzitorii în sistemele electromagnetice, Bucureşti, Ed. Tehnica, 1959. [] Leites L.V., Calcule electromagnetice ale transformatoarelor, Moscova, Energhia, 1981. [3] Kalantarov P.L. şi Teitlin L.A., Calculul inductanţelor (traducere din lb. rusă), Bucureşti, Ed. Tehnica, 1958. [4] Jezierski E, Gogolevski Z., Kopczynski Z. şi Szmit I., Transformatoare electrice, Constructie şi proiectare (traducere din lb. polonă, adaptată şi completată), Bucureşti, Ed. Tehnică, 1966. [5] Timotin A., Hortopan V., Ifrim A., Preda M., Lecţii de Bazele Electrotehnicii, Bucureşti, Ed. Didactică şi Pedagogică, 1970. [6] Babikov M.A., Aparate electrice vol. III - Aparate electrice de înaltă tensiune (traducere din lb. rusă, adaptată şi comentată), Bucureşti, Ed. Tehnica, 1965. [7] Gheorghiu I., Fransua A., Tratat de maşini electrice volumul al IIlea Transformatoare, Bucureşti, Ed. Academiei, 1970. [8] Bala C. s.a., Bobine de reactanţa pentru sisteme energetice, Bucureşti, Ed. Tehnică, 198. [9] Hütte, Manualul inginerului, Volumul I (traducere îngrijită de prof. dr. ing. Remus Răduleţ după ediţia a 7-a germană), Bucureşti, Ed. Tehnică, 1949. [10] CEI 60076-6: 007, Bobine de reactanţă. [11] Hortopan Gh., Aparate electrice, Bucureşti, Ed. Didactica şi Pedagogica, 197. [1] Constantin Viorel Marin, Doina Marin, Contribuţii la determinarea coeficientului de transmisie a căldurii prin conducţie şi convecţie la transformatoarele electrice uscate, Electronica, Electrotehnica, Automatica, 47 (1999), Nr. 11-1 95

Bobine de reactanţă fără miez feromagnetic 96

97