Τετραγωνικό μοντέλο συνάρτησης Τετραγωνικά μοντέλα Δ. Γ. Παπαγεωργίου Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων dpapageo@cc.uoi.gr http://pc164.materials.uoi.gr/dpapageo Για συνάρτηση μιας μεταβλητής Παρατήρηση: Κάθε συνάρτηση κοντά στο ελάχιστο μοιάζει με μια παραβολή. Ανάπτυγμα Taylor της συνάρτησης γύρω από σημείο! Κρατάμε μέχρι και τους όρους δεύτερης τάξης: Τετραγωνικό μοντέλο συνάρτησης Πολυώνυμο δεύτερου βαθμού (παραβολή) Υπολογιστικές Μέθοδοι Πολύπλοκων Συστημάτων Τετραγωνικά μοντέλα τετραγωνικού μοντέλου #1 τετραγωνικού μοντέλου #1 Δίνεται η συνάρτηση: cos Βρείτε το τετραγωνικό μοντέλο της συνάρτησης γύρω από το σημείο 0 Σημείωση: Το σημείο 0 είναι τοπικό ελάχιστο της Το τετραγωνικό μοντέλο είναι: Χρειαζόμαστε τα 0, 0, 0 0 cos0 1 Συνεπώς το τετραγωνικό μοντέλο γύρω από το 0 είναι: 1 0 0 0 1 1 sin 0 sin0 0 cos 0 cos0 1 Υπολογιστικές Μέθοδοι Πολύπλοκων Συστημάτων Τετραγωνικά μοντέλα 3 Υπολογιστικές Μέθοδοι Πολύπλοκων Συστημάτων Τετραγωνικά μοντέλα 4
τετραγωνικού μοντέλου #1 τετραγωνικού μοντέλου # Δίνεται η συνάρτηση: Βρείτε το τετραγωνικό μοντέλο της συνάρτησης γύρω από το σημείο 0 Παρατήρηση: Το ελάχιστο της συνάρτησης συμπίπτει με αυτό του τετραγωνικού μοντέλου Υπολογιστικές Μέθοδοι Πολύπλοκων Συστημάτων Τετραγωνικά μοντέλα 5 Υπολογιστικές Μέθοδοι Πολύπλοκων Συστημάτων Τετραγωνικά μοντέλα 6 τετραγωνικού μοντέλου # τετραγωνικού μοντέλου # Το τετραγωνικό μοντέλο είναι: Χρειαζόμαστε τα 0, 0, 0 0 1 Συνεπώς το τετραγωνικό μοντέλο γύρω από το 0 είναι: 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 Παρατήρηση: To τετραγωνικό μοντέλο έχει ελάχιστο, η συνάρτηση όχι Υπολογιστικές Μέθοδοι Πολύπλοκων Συστημάτων Τετραγωνικά μοντέλα 7 Υπολογιστικές Μέθοδοι Πολύπλοκων Συστημάτων Τετραγωνικά μοντέλα 8
Το ελάχιστο του τετραγωνικού μοντέλου Ποιο είναι το ελάχιστο του Υπολογίζουμε την πρώτη παράγωγο: Βρίσκουμε που μηδενίζεται: 0 0 Ελέγχουμε τη δεύτερη παράγωγο: Το τετραγωνικό μοντέλο έχει την ίδια δεύτερη παράγωγο με την πραγματική συνάρτηση στο σημείο. Δίνεται η συνάρτηση a. Βρείτε αναλυτικά το σημείο στο οποίο η έχει ελάχιστο. b. Βρείτε το τετραγωνικό μοντέλο της συνάρτησης γύρω από το ελάχιστο. c. Ποιο είναι το ελάχιστο του d. Βρείτε το τετραγωνικό μοντέλο της συνάρτησης γύρω από το σημείο 1. e. Ποιο είναι το ελάχιστο του Υπολογιστικές Μέθοδοι Πολύπλοκων Συστημάτων Τετραγωνικά μοντέλα 9 Υπολογιστικές Μέθοδοι Πολύπλοκων Συστημάτων Τετραγωνικά μοντέλα 10 a. Βρείτε αναλυτικά το σημείο στο οποίο η έχει ελάχιστο. Βρίσκουμε τις παραγώγους: 4 4 Βρίσκουμε που μηδενίζεται η πρώτη παράγωγος: 0 4 0 4 Για κάθε λύση εξετάζουμε τη δεύτερη παράγωγο: 0 ελάχιστο 4 1 4 4 1 4 4 4 0 μέγιστο b. Βρείτε το τετραγωνικό μοντέλο της συνάρτησης γύρω από το ελάχιστο. Έχουμε βρεί ότι: 4 4 Το τετραγωνικό μοντέλο είναι: Για 0 0 Υπολογιστικές Μέθοδοι Πολύπλοκων Συστημάτων Τετραγωνικά μοντέλα 11 Υπολογιστικές Μέθοδοι Πολύπλοκων Συστημάτων Τετραγωνικά μοντέλα 1
c. Ποιο είναι το ελάχιστο του Βρήκαμε ότι: Οι παράγωγοι του μοντέλου είναι: 0 d. Βρείτε το τετραγωνικό μοντέλο της συνάρτησης γύρω από το σημείο 1. Έχουμε βρεί ότι: 4 4 Για 1 1 1 1 1 1 1 1 4 1 1 4 7 Το τετραγωνικό μοντέλο είναι: 1 3 1 7 1 1 1 1 41 3 Υπολογιστικές Μέθοδοι Πολύπλοκων Συστημάτων Τετραγωνικά μοντέλα 13 Υπολογιστικές Μέθοδοι Πολύπλοκων Συστημάτων Τετραγωνικά μοντέλα 14 Παραβολή σε πολλές διαστάσεις e. Ποιο είναι το ελάχιστο του Βρήκαμε ότι: 1 3 1 7 1 Η παράγωγος του μοντέλου είναι: 3 7 1 0 3 7 1 0 7 1 3 1 3 7 1 3 1.43 7 Η παραβολή σε πολλές διαστάσεις έχει τη μορφή: 1 όπου: Συμμετρικός πίνακας Διάνυσμα Σταθερά Υπολογιστικές Μέθοδοι Πολύπλοκων Συστημάτων Τετραγωνικά μοντέλα 15 Υπολογιστικές Μέθοδοι Πολύπλοκων Συστημάτων Τετραγωνικά μοντέλα 16
Υπενθύμιση: Πράξεις μεταξύ πινάκων και διανυσμάτων Αν έχουμε: Πολλαπλασιασμός διανυσμάτων αριθμός πίνακας Πολλαπλασιασμός πίνακα με διάνυσμα διάνυσμα στήλη διάνυσμα γραμμή Υπολογιστικές Μέθοδοι Πολύπλοκων Συστημάτων Τετραγωνικά μοντέλα 17 Υπενθύμιση: Πράξεις μεταξύ πινάκων και διανυσμάτων Ανάστροφοι αθροισμάτων Πρώτες παράγωγοι Ανάστροφοι γινομένων Για συμμετρικό πίνακα Μέτρο διανύσματος Υπολογιστικές Μέθοδοι Πολύπλοκων Συστημάτων Τετραγωνικά μοντέλα 18 Υπενθύμιση: Συμβολισμοί Παραβολή σε πολλές διαστάσεις. #1 Το διάνυσμα πρώτων παραγώγων της συνάρτησης. Συμβολίζεται και με Ο πίνακας των δευτέρων παραγώγων της συνάρτησης. Παραβολή με 1 0 0 Γράφουμε το διάνυσμα 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 Υπολογιστικές Μέθοδοι Πολύπλοκων Συστημάτων Τετραγωνικά μοντέλα 19 Υπολογιστικές Μέθοδοι Πολύπλοκων Συστημάτων Τετραγωνικά μοντέλα 0
Παραβολή σε πολλές διαστάσεις. #1 Παραβολή σε πολλές διαστάσεις. # Τρισδιάστατη απεικόνιση Ισοϋψείς καμπύλες Πως γίνεται το προηγούμενο παράδειγμα αν το διάνυσμα έχει μη μηδενική τιμή; Πχ 1 1 1 1 1 Υπολογιστικές Μέθοδοι Πολύπλοκων Συστημάτων Τετραγωνικά μοντέλα 1 Υπολογιστικές Μέθοδοι Πολύπλοκων Συστημάτων Τετραγωνικά μοντέλα Παραβολή σε πολλές διαστάσεις. #3 Παραβολή με μη διαγώνιο πίνακα 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 Υπολογιστικές Μέθοδοι Πολύπλοκων Συστημάτων Τετραγωνικά μοντέλα 3 Το ελάχιστο της παραβολής Θα βρούμε που έχει ελάχιστο η παραβολή: 1 Υπολογίζουμε τις πρώτες παραγώγους: 1 1 Βρίσκουμε που μηδενίζονται οι πρώτες παράγωγοι: 0 0 Οι δεύτερες παράγωγοι είναι: Υπολογιστικές Μέθοδοι Πολύπλοκων Συστημάτων Τετραγωνικά μοντέλα 4
Βρείτε το ελάχιστο της τετραγωνικής συνάρτησης 1 με 1 1 0 0 1 1 Η τετραγωνική συνάρτηση είναι:, 1 1 1 1 0 1 1 1, Βρίσκουμε τις παραγώγους: 1 0 10 Αντικαθιστώ την 1 στην 10 1 Από την 1 10 1 Γνωρίζουμε ότι ο πίνακας δευτέρων παραγώγων της είναι ο. Πρέπει να δούμε αν είναι θετικά ορισμένος, δηλαδή αν όλες οι ιδιοτιμές του είναι θετικές. Σχηματίζουμε το πρόβλημα ιδιοτιμών του πίνακα. 0 Πρέπει η ορίζουσα του να είναι μηδέν. 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 31 Βρίσκω τις λύσεις: 310, 3 5 Και οι δύο ιδιοτιμές είναι θετικές, άρα ο πίνακας A είναι θετικά ορισμένος, άρα το σημείο 1, 1 είναι ελάχιστο. Υπολογιστικές Μέθοδοι Πολύπλοκων Συστημάτων Τετραγωνικά μοντέλα 5 Υπολογιστικές Μέθοδοι Πολύπλοκων Συστημάτων Τετραγωνικά μοντέλα 6 Τετραγωνικό μοντέλο πολυδιάστατης συνάρτησης Ανάπτυγμα Taylor πολυδιάστατης συνάρτησης γύρω από το σημείο όπου κρατάμε μέχρι τους όρους δεύτερης τάξης. 1 Τετραγωνικό μοντέλο πολυδιάστατης συνάρτησης 1 1 1 ή 1 Χρησιμοποιούμε την πρώτη μορφή: 1 1 Όμως επειδή ο είναι συμμετρικός (δηλαδή ): Το μπορεί να γραφεί στη μορφή 1 με 1 Υπολογιστικές Μέθοδοι Πολύπλοκων Συστημάτων Τετραγωνικά μοντέλα 7 Υπολογιστικές Μέθοδοι Πολύπλοκων Συστημάτων Τετραγωνικά μοντέλα 8
Το ελάχιστο του τετραγωνικού μοντέλου Βρήκαμε ότι το ελάχιστο μιας πολυδιάστατης παραβολής είναι: Αντικαθιστώντας: Παίρνουμε: Δίνεται η συνάρτηση, 6 a. Βρείτε το ελάχιστο. b. Βρείτε το τετραγωνικό μοντέλο γύρω από το ελάχιστο. c. Ποιο είναι το ελάχιστο του d. Βρείτε το τετραγωνικό μοντέλο γύρω από το σημείο 0,1. e. Ποιο είναι το ελάχιστο του Ελάχιστο του τετραγωνικού μοντέλου Υπολογιστικές Μέθοδοι Πολύπλοκων Συστημάτων Τετραγωνικά μοντέλα 9 Υπολογιστικές Μέθοδοι Πολύπλοκων Συστημάτων Τετραγωνικά μοντέλα 30 a. Βρείτε το ελάχιστο της συνάρτησης, 6 Οι πρώτες παράγωγοι είναι: 0 0 1 0 Έχουμε δύο στάσιμα σημεία 0, και 0,. Θα εξετάσουμε σε ποια από τις δύο περιπτώσεις ο πίνακας των δευτέρων παραγώγων έχει θετικές ιδιοτιμές. Οι δεύτερες παράγωγοι είναι: 4 0 0 Για το σημείο 0, 0 0 Σχηματίζω το πρόβλημα ιδιοτιμών του 0 Πρέπει η ορίζουσα του να είναι μηδέν. 0 0 1 0 0 0 0 Είναι σαγματικό σημείο. Για το σημείο 0, 0 0 1 0 0 0 Είναι ελάχιστο. 0 Υπολογιστικές Μέθοδοι Πολύπλοκων Συστημάτων Τετραγωνικά μοντέλα 31 Υπολογιστικές Μέθοδοι Πολύπλοκων Συστημάτων Τετραγωνικά μοντέλα 3
b. Βρείτε το τετραγωνικό μοντέλο γύρω από το ελάχιστο. 1 Το τετραγωνικό μοντέλο προκύπτει από τη σειρά Taylor όπου 0, είναι το ελάχιστο: 1 Οι παράγωγοι στο ελάχιστο είναι μηδέν, συνεπώς: 1 Θα υπολογίσουμε την τιμή της συνάρτησης στο ελάχιστο: 0, 6 1 3 1 3 1 1 3 1 0 0 0 0 0 1 3 1 0 1 3 1 4, 1 3 Υπολογιστικές Μέθοδοι Πολύπλοκων Συστημάτων Τετραγωνικά μοντέλα 33 Υπολογιστικές Μέθοδοι Πολύπλοκων Συστημάτων Τετραγωνικά μοντέλα 34 c. Ποιο είναι το ελάχιστο του Βρήκαμε ότι:, 1 3 Οι παράγωγοι είναι: 0 0 0 Για το σημείο 0, ο πίνακας των δευτέρων παραγώγων είναι θετικά ορισμένος ; d. Βρείτε το τετραγωνικό μοντέλο γύρω από το σημείο 0,1. Το τετραγωνικό μοντέλο προκύπτει από τη σειρά Taylor όπου 0,1 1 Θα υπολογίσουμε την τιμή της συνάρτησης στο σημείο 0, 1, 6 0, 1 1 1 6 11 6 Υπολογιστικές Μέθοδοι Πολύπλοκων Συστημάτων Τετραγωνικά μοντέλα 35 Υπολογιστικές Μέθοδοι Πολύπλοκων Συστημάτων Τετραγωνικά μοντέλα 36
Θα υπολογίσουμε τις πρώτες παραγώγους στο σημείο 0, 1 1 Συνεπώς: 0 1 Θα υπολογίσουμε τις δεύτερες παραγώγους στο σημείο 0, 1 4 0 0 Συνεπώς: 0 1 11 0 6 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 11 6 11 6 1 1 1 1 1 11 6 1 1 1 1, 3 5 6 0 1 0 1 Υπολογιστικές Μέθοδοι Πολύπλοκων Συστημάτων Τετραγωνικά μοντέλα 37 Υπολογιστικές Μέθοδοι Πολύπλοκων Συστημάτων Τετραγωνικά μοντέλα 38 e. Ποιο είναι το ελάχιστο του Βρήκαμε ότι:, 3 5 6 Οι παράγωγοι είναι: 0 0 3 0 3 1.5 Για το σημείο 0, ο πίνακας των δευτέρων παραγώγων είναι θετικά ορισμένος ; Δίνεται η συνάρτηση, Βρείτε το τετραγωνικό μοντέλο γύρω από το σημείο 1,0. Το τετραγωνικό μοντέλο προκύπτει από τη σειρά Taylor όπου 1,0 1 Θα υπολογίσουμε την τιμή της συνάρτησης στο σημείο 1,0 1,0 1 1 Υπολογιστικές Μέθοδοι Πολύπλοκων Συστημάτων Τετραγωνικά μοντέλα 39 Υπολογιστικές Μέθοδοι Πολύπλοκων Συστημάτων Τετραγωνικά μοντέλα 40
Θα υπολογίσουμε τις πρώτες παραγώγους:, Συνεπώς: 1 Θα υπολογίσουμε τις δεύτερες παραγώγους: Συνεπώς: 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1, Υπολογιστικές Μέθοδοι Πολύπλοκων Συστημάτων Τετραγωνικά μοντέλα 41 Υπολογιστικές Μέθοδοι Πολύπλοκων Συστημάτων Τετραγωνικά μοντέλα 4