ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ A u B Μέτρο Διεύθυνση Κατεύθυνση (φορά) Σημείο Εφαρμογής Διανυσματικά Μεγέθη : μετάθεση, ταχύτητα, επιτάχυνση, δύναμη Μονόμετρα Μεγέθη : χρόνος, μάζα, όγκος, θερμοκρασία, πίεση, πυκνότητα
u i x u k O j u u x Κατευθύνοντα συνημίτονα: α = συνθ, α = συνθ, α = συνθ συνιστώσες : u, u, u Παράσταση διανύσματος α) Μέτρο : u, (u), u και κατευθύνοντα συνημίτονα β) συνιστώσες : u, u, u u=u(u,u,u ), u=u i, i,, x u i u j u k u i, j, k u u u u, μοναδιαία διανύσματα u u u u u u u,, u u u
. Πράξεις Διανυσμάτων. Πρόσθεση Διανυσμάτων x i j k i j k Διανυσματικό (γεωμετρικό) άθροισμα : a a a x i j k u Αντίθετο του : (ίδιο μέτρο, αντίθετη φορά)
. Αφαίρεση διανυσμάτων Πρόσθεση του αντιθέτου ( ) γ =α -β, γ =α -β, γ =α -β Ίσα διανύσματα; 4
. Πολλαπλασιασμός διανυσμάτων α) Εσωτερικό Γινόμενο (dot product) (μονόμετρο μέγεθος) a(a,a,a ), b(b, b, b ) a b ab a b a b a b a b a a? W F s us ES 5
β) Εξωτερικό Γινόμενο (vector/cross/outer product) (διανυσματικό μέγεθος) a( a, a, a ), b ( b, b, b ) (,, ) (,, ) i j k M F s S B h r i( ) j( ) k( )? 6
γ) Δυαδικό γινόμενο (τανυστικό γινόμενο-dyadic product) a a e ia ja ka, b b e ib jb kb i i j j i j a ab ab ab a b a b b b a b a b a b a b a ab ab ab ia ib ia jb ia kb ja ib ja jb ja kb ka ib ka jb ka kb 9 συσιστώσες => μέγεθος μονόμετρο; διανυσματικό; ΔΥΑΔΙΚΗ ΟΝΤΟΤΗΤΑ => Τανυστής β Τάξης 7
Εφαρμογή. Δίνονται τα δύο διανύσματα a i j k b i j k Να βρεθούν το γεωμετρικό τους άθροισμα, η γεωμετρική τους διαφορά, το εσωτερικό, εξωτερικό και δυαδικό τους γινόμενο a b i j k a b i 5 j 4k a b 6 7 i j k axb 7i 7 j 7k a b ii 4ij 6ik ji 6 jj 9 jk ki kj kk 8
Λογισμός Διανυσμάτων - Μονόμετρες συναρτήσεις (π.χ. χρόνος, πυκνότητα, θερμοκρασία) (μεταβολές μονόμετρων ποσοτήτων στο χώρο ή το χρόνο) - Διανυσματικές συναρτήσεις (π.χ. ένταση πεδίου βαρύτητας) (μεταβολές διανυσματικών ποσοτήτων στο χώρο ή το χρόνο). Διαφορικός Λογισμός Διανυσμάτων παραγώγιση διανυσματικής ποσότητας ως προς μονόμετρη ποσότητα du du du i j k dt dt dt dt du 9
ΤΕΛΕΣΤΕΣ Σύμβολα μπροστά από διανυσματικές ή μονόμετρες συναρτήσεις που υποδεικνύουν πραγματοποίηση πράξεων παραγώγισης α) Διανυσματικός τελεστής ανάδελτα (nabla), (ΔΙΑΝΥΣΜΑ) i x j k x x Εφαρμόζεται σε μονόμετρες και διανυσματικές συναρτήσεις 0
β) Τελεστής βαθμίδα, grad (ΔΙΑΝΥΣΜΑ) U= g gradu i U x j U k U x x U ds U= U= U=μονόμετρη ποσότητα grad U = U Η βαθμίδα μεταβολής του υψομέτρου σε ένα σημείο μιας πλαγιάς είναι διάνυσμα κάθετο στην ισοϋψή στο σημείο αυτό και περιγράφει την τοπογραφική κλίση στο σημείο αυτό.
γ) Τελεστής απόκλιση, div (ΜΟΝΟΜΕΤΡΗ) u divu x u x u x Εφαρμόζεται σε διάνυσμα προκύπτει μονόμετρη divu u i j k iu ju ku x x x u u u x x x u 0 Σωληνοειδέ ς διάνυσμα
Αν θεωρήσουμε έναν ιδεατό χώρο μέσα στον οποίο πραγματοποιείται ροή ρευστού. Έστω ότι η F ( x, y, z ) είναι μια διανυσματική συνάρτηση που περιγράφει την ταχύτητα του ρευστού στη θέση ( x, y, z ) του χώρου αυτού. Απόκλιση της είναι η μεταβολή της στο χώρο. F Αν το υγρό κινείται προς τα έξω (π.χ. υπάρχουν πηγές μέσα στον ιδεατό χώρο που μελετούμε) τότε η τιμή d iv F είναι θετική και περιγράφει ποσοτικά αυτήν την διόγκωση (κίνηση προς τα έξω, εκκροή από τον ιδεατό χώρο). Αντίθετα, αν η κίνηση του υγρού είναι προς τα μέσα (π.χ. υπάρχει συνεχής τροφοδοσία από έξω προς τα μέσα και κατανάλωση ρευστού στο εσωτερικό του ιδεατού χώρου) τότε η τιμή είναι αρνητική. d iv F
δ) Τελεστής περιστροφή, rot ή curl (ΔΙΑΝΥΣΜΑ) i j k rotu curlu x x x u u u u u u u u u i j k x x x x x x Αν το διάνυσμα περιγράφει την ταχύτητα κίνησης ενός υγρού σε ένα ιδεατό χώρο, η διανυσματική συνάρτηση c u r l u περιγράφει το στροβιλισμό του υγρού μέσα στο χώρο αυτό u u 0 Α σ τ ρ ό β ιλ ο δ ιά ν υ σ μ α 4
ε) Τελεστής λαπλασιανή, (ΜΟΝΟΜΕΤΡΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑ) U U x u i u j U x u U x k u Εφαρμογή σε μονόμετρη (U) Εφαρμογή σε διανυσματική u Φυσική σημασία: η εφαρμογή της σε μια ποσότητα δείχνει τη μεταβολή της τιμής της ποσότητας από ένα σημείο σε ένα γειτονικό του. U = U - U 0, ό U 0 = τιμή ποσότητας στο σημείο 0 U =»» στη γειτονιά του σημείου 0 5
Εφαρμογή. Δίνεται η μονόμετρη συνάρτηση: U = x + x - x Να βρεθούν η βαθμίδα (grad) και η λαπλασιανή της ( ) στο σημείο (0,, -) U U U grad U U i j k x x x i(x ) j(4x ) k( 6x ) 4 j 6k U U U U 4 6 0 x x x Σε κάθε σημείο 6
Εφαρμογή.4 Δίνεται η διανυσματική συνάρτηση u(x,x x x,-x x x Να βρεθούν η απόκλιση (div), η περιστροφή (rot ή curl) και η λαπλασιανή της ( ) στο σημείο (, -, -) u u u divu xx xx 5 x x x u u u u u u x x x x x x rot u curl u u i j k u i u j u k u i( x x x x x ) j(x x x ) k(x x ) 8 j 4k u u u u u u u u u i j k x x x x x x x x x ) 0 0 k( x x x x ) x (x x )k 0k 7
Άσκηση. α) μέτρα, κατευθύνοντα συνημίτονα, γωνίες με τους άξονες β) άθροισμα, διαφορά γ) εσωτερικό, εξωτερικό, δυαδικό γινόμενο a(,, ), b(, 4,) a 4 9.74 57.7, 6.7, 05.5.74.74.74 0 0 0 b 6 4.4 4 0.6, 9.5, 76.4 4.4 4.4 4.4 0 0 0 a (,, ) b(, 4,) (,7,0), a b (i j k) ( i 4 j k) i 7j a (,, ) b(, 4,) (,, ), a b (i j k) ( i 4 j k) i j k ab ( ) 4 ( ) 9 i j k a b 7i j k 4 a b ii 8ij ik ji jj jk ki 4kj kk 8
Άσκηση. Δίνεται μονόμετρη συνάρτηση Φ = x x + x x - x x x. Να βρεθούν η βαθμίδα (grad) και η λαπλασιανή της ( ) στο σημείο (,, 0) grad j k x x x (x x x x ) (x x x x x ) j (x x x )k 4 j 6k x x x x 6x x 4 9
Άσκηση. Δίνεται διανυσματική συνάρτηση u ix x jx x x kx x Να βρεθούν η απόκλιση (div), η περιστροφή (rot ή curl) και η λαπλασιανή της ( ) στο σημείο (,, -) u u u divu x xx xx x x x i j k x x xx x xx x x xx x xx rot u i j k x x x x x x x x x x x x x x x x i(x x x ) j(0) k(x x x x ) k u i u j u k u u u u u u u u u u i j k x x x x x x x x x i x kx i k 0
. Ολοκληρωτικός Λογισμός Διανυσμάτων α) Απλό Ολοκλήρωμα Διανύσματος ds A u B B B W u dx ) u d s u dx u dx A A ( u, u, u συνιστώσες του διανύσματος u dx, dx, dx συνιστώσες του διανύσματος ds π.χ. έργο
β) Διπλό Ολοκλήρωμα Διανύσματος S ds u d S u d S u d S S u u d S ) εσωτερικό γινόμενο S ( u, u, u συνιστώσες του διανύσματος u ds, ds, ds συνιστώσες του διανύσματος ds u ds u ds u. ds.cos90 0 u π.χ. αν η ένταση ενός ηλεκτρικού/μαγνητικού πεδίου το διπλό ολοκλήρωμα είναι η ηλεκτρική/μαγνητική ροή του πεδίου δια μέσου της επιφάνειας S
γ) Τριπλό Ολοκλήρωμα Διανύσματος dv i u dv j u dv k u u V V V V dv u dv V V Μέση τιμή του διανύσματος στο χώρο του όγκου V
Θεώρημα της απόκλισης (Θεώρημα Gauss) V u d V u d S S Το τριπλό ολοκλήρωμα της απόκλισης διανυσματικής συνάρτησης σε όγκο V ισοδυναμεί με Το διπλό ολοκλήρωμα της διανυσματικής συνάρτησης στην επιφάνεια S που περιβάλλει τον V π.χ. Ο ρυθμός απόκλισης υγρού από όγκο V ιδεατού δοχείου = ρυθμό εκροής του από την επιφάνεια S που περιβάλλει τον όγκο (δοχείο) 4
Θεώρημα του Stokes S u d S u d s Το διπλό ολοκλήρωμα της περιστροφής διανύσματικής συνάρτησης σε επιφάνεια S ισοδυναμεί με Το απλό κλειστό ολοκλήρωμα της διανύσματικής συνάρτησης στη γραμμή s που περιβάλλει την S π.χ. Στροβιλισμός υγρού σε επιφάνεια S ισοδυναμεί με το μέσο στροβιλισμό υγρού κατά μήκος της γραμμής, s, που περιβάλλει την επιφάνεια S. 5
ΕΦΑΡΜΟΓΗ.5 Ευθύγραμμος ηλεκτρικός αγωγός ο οποίος διαρρέεται από ρεύμα έντασης i δημιουργεί μαγνητικό πεδίο έντασης Η (σε απόσταση r από τον αγωγό) η οποία εφάπτεται κύκλου ακτίνας r και έχει μέτρο ίσο με ki/r, όπου k σταθερά. Να βρεθεί το απλό ολοκλήρωμα της έντασης κατά μήκος περιφέρειας κύκλου που έχει το κέντρο του στον αγωγό και ακτίνα R. Έστω στοιχειώδες μήκος ds πάνω στον κύκλο. Τότε : ki ki ki H ds ds cos 0 ds R ki R R R (εσωτερικό γινόμενο) => H. ds. cos(0)=h. ds R H 6
ΕΦΑΡΜΟΓΗ.6 Η ένταση, E, του ηλεκτρικού πεδίου σε σημείο που απέχει απόσταση r από ηλεκτρικό φορτίο q έχει τη διεύθυνση της ευθείας που ενώνει το φορτίο με το σημείο () και μέτρο που δίνεται από τη σχέση E=kq/r. Να βρεθεί η ηλεκτρική ροή που περνάει από την επιφάνεια σφαίρας που έχει κέντρο το φορτίο q και ακτίνα R. () => διεύθυνση της Ε // διεύθυνση ακτίνων R => Ηλεκτρική ροή: E ds E ds cos 0 E ds όπου ds στοιχείο της επιφάνειας της σφαίρας. kq kq kq E ds ds ds 4 R 4 kq R R R S S S Άρα η συνολική ροή είναι ανεξάρτητη της επιφάνειας. 7
Τανυστές Τανυστής n τάξης στο χώρο των r διαστάσεων: r n συνιστώσες, κατά την αλλαγή των αξόνων υπακούει σε ορισμένο μετασχηματισμό τανυστές 0 ής τάξης, r 0 = 0 = μονόμετρα μεγέθη τανυστές ης τάξης, r = = διανυσματικά μεγέθη τανυστές ης τάξης, r = =9 τάση, ανηγμένη παραμόρφωση S ij, i,j=,, 8
Ιδιότητες Τανυστών Δεύτερης Τάξης Α) ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΟΣ S ij = Sji S = S, S = S, S = S π.χ. 6 4 4 7 Β) ΑΝΤΙΣΥΜΜΕΤΡΙΚΟΣ (ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΕΑΣ/ΣΤΡΟΦΕΑΣ) 0 - - S = -S, S = -S, S = -S S ij = -Sji π.χ. 0 4 S = S = S = 0-4 0 Γ) ΙΣΟΤΡΟΠΟΣ S = S = S, S = S = S = S = S = S π.χ. Στους ισότροπους τανυστές οι άξονες θεωρούνται ισοδύναμοι. Εναλλαγή των αξόνων δεν επηρεάζει τις τιμές των συνιστωσών 9
Ίχνος τανυστή : S + S + S Τανυστής = Συμμετρικός (με ίδιο ίχνος) + Αντισυμμετρικός () Τανυστής = Ισότροπος (με ίδιο ίχνος) + Τανυστής (με μηδενικό ίχνος) Συμμετρικός τανυστής = Ισοτροπέας + Εκτροπέας () () Λ () => Τανυστής = Ισοτροπέας + Εκτροπέας + Αντισυμμετρικός ---------------------------------------------------------------------------------- Τανυστής Kroneker, δ ij ij 0 0 0 0 0 0 για i=j δ ij =, για ij δ ij =0 ------------------------------------------------------------------------------------------------- 0
Εφαρμογή.7 4 5 Δίνεται ο τανυστής ης τάξης : Sij 8 5 7 8 Να αναλυθεί σε άθροισμα ενός συμμετρικού και ενός αντισυμμετρικού τανυστή y y ij S y y y y 8 0 x x ij S x 0 x x x 0 x y 8 () () () y 6 x y 5 () () x y x 4 () (5) (6) y y x 5 (4) (6) x 9 y x (5) () (4) y 0 x y 7 (6) () x 5
Εφαρμογή.8 Να αναλυθεί σε άθροισμα ενός ισοτροπέα και ενός εκτροπέα 6 0 Sij 6 0 8 Ισότροπος ομόλογα στοιχεία ίσα, ίδιο ίχνος με αρχικό Στοιχεία διαγωνίου = (++8)/ = 4 4 0 0 Sij 0 4 0 0 0 4 6 0 4 0 0 6 0 Sij Sij Sij Sij 6 0 4 0 Sij 6 0 8 0 0 4 0 4 Άρα: 6 0 4 0 0 6 0 6 0 4 0 6 0 8 0 0 4 0 4
Άσκηση.4 Δίνεται διανυσματική συνάρτηση Να αποδειχθεί ότι είναι αστρόβιλη u = i(x-)- jx (rot u = 0) και u ds = 0 rot u i j k u x x x u u u u u u u u u x x x x x x i j k i(0) j(0) k(0) 0 Θεώρημα Stokes: u d s ( u ) d S 0 S 0
Άσκηση.5 Δίνεται διανυσματική συνάρτηση u = i(x -)- jx Να αποδειχθεί ότι είναι σωληνοειδής (div u=0) και u d S = 0 S u u u x x x d iv u u 0 => Σωληνοειδής Θεώρημα της απόκλισης (θεώρημα GAUSS) u d S ( u ) d V 0 S V 0 4
Άσκηση.6 Να υπολογιστεί το απλό ολοκλήρωμα του διανύσματος u ix jx κατά μήκος της διαδρομής (0,0) (,0) (,) (0,) (0,0) (0,) (,) (c,d) (c,d) (c,d) (c,d) x x (a,b) (a,b) (a,b) (a,b) A u ds x.dx x.dx 9 0 0 0 9 (0, 0) (, 0) A (0,0) (,0) 9 4 9 0 (, 0) (, ) A 0 4 9 4 9 (, ) (0, ) A 0 0 0 4 (0, ) (0, 0) A4 9 9 A A A A A4 0 5
Άσκηση.8 Να βρεθούν τα ίχνη ενός α) στροφέα, β) εκτροπέα, γ) ισοτροπέα με ένα διαγώνιο στοιχείο -4 α) Στροφέας (αντισυμμετρικός): S ij = S ji S = S = S = 0 ίχνος = 0 β) Συμμετρικός = ισοτροπέας + εκτροπέας Ισότροπος τανυστής με ίχνος ίσο με του αρχικού και στοιχεία διαγωνίου ίσα Άρα, ίχνος εκτροπέα = 0 γ) Ισοτροπέας στοιχεία διαγωνίου ίσα, κ=-4 ίχνος =.(-4) = - 6