Εισαγωγή στο Γήινο Πεδίο Βαρύτητας. βαρύτητας (Αρχές. Υπενθυµίζεται ότι. ιανυσµάτων. της Φυσικής Γεωδαισίας)

Transcript

1 Τοµέας Τοπογραφίας, Εργ. Ανώτερης Γεωδαισίας Εισαγωγή στο γήινο πεδίο βαρύτητας (Αρχές της Φυσικής Γεωδαισίας) ιδάσκοντες ηµήτρης εληκαράογλου Παρασκευάς Μήλας Γεράσιµος Μανουσάκης 7ο εξάµηνο, Ακαδ. Έτος Θεωρήσεις του Νεύτωνα και Λογισµός Ο Νεύτωνας ανέπτυξε τη χρήση του λογισµού στους νόµους της κίνησης και της βαρύτητας και εφάρµοσε τις µεθόδους του λογισµού για την επίλυση του προβλήµατος της πλανητικής κίνησης, το σχήµα της επιφάνειας ενός περιστρεφόµενου ρευστού, το πεπλατυσµένο σχήµα της γης, και πολλά άλλα προβλήµατα που συζητήθηκαν µε λεπτοµέρεια στη Principia Mathematica. Ο Leibniz, Gottfried Wilhelm (Γκότφριντ Βίλχελµ Λάιµπνιτς) ανέπτυξε ένα µεγάλο µέρος του συµβολισµού που χρησιµοποιείται στο λογισµό µέχρι και σήµερα και ήταν ο πρώτος που δηµοσίευσε τα αποτελέσµατά του. Σήµερα συνήθως και οι δυο πιστώνονται µε την εφεύρεση του λογισµού Υπενθυµίζεται ότι Λογισµός (Calculus) είναι η µαθηµατική µελέτη της συνεχούς αλλαγής µεγεθών. Έχει δύο πεδία εφαρµογής: Ο διαφορικός λογισµός εστιάζει στα ποσοστά των αλλαγών και τις κλίσεις καµπυλών, π.χ. η απόσταση ενός κινούµενου σώµατος από κάποιο σηµείο αναφοράς ως συνάρτηση του χρόνου x(t), δηλ. η ταχύτητα του σώµατος η θερµοκρασία µιας µεταλλικής ράβδου σε κάθε σηµείοτηςσεσυνάρτησηµετηναπόστασηαπότο άκρο της, T(x) Κύριο αντικείµενο µελέτης του είναι η παράγωγος µιας συνάρτησης η κλίση της εφαπτόµενης γραµµής στο εκάστοτε σηµείο ενδιαφέροντος επί της καµπύλης της συνάρτησης Ο ολοκληρωτικός λογισµός ασχολείται µε τη µελέτη των ορισµών, ιδιοτήτων και εφαρµογών της ολοκλήρωσης (δύο σχετικών εννοιών, το αόριστο και το οριστικό ολοκλήρωµα), ως η αντίστροφή µαθηµατική έννοια της παραγώγου, καθώς και µε τη σώρευση των ποσοτήτων και το αλγεβρικό άθροισµα περιοχών κάτω από καµπύλες ( αθροιστικές συναρτήσεις), π.χ. η φυσική σηµασία του ολοκληρώµατος ως σωρευτικό αποτέλεσµα φυσικών µεγεθών, όταν η µεταβλητή είναι ο χρόνος, χωρικά κατανεµηµένων φυσικών µεγεθών, όταν η µεταβλητή αντιστοιχεί στις διαστάσεις του χώρου Στο σηµερινό µάθηµα Βασικές έννοιες της Άλγεβρας ιανυσµάτων Τελεστές: σύµβολα που υποδηλώνουν πραγµατοποίηση πράξεων παραγώγισης ή µετασχηµατισµού βαθµωτών και διανυσµατικών µεγεθών Χρήσητουςγιατοχαρακτηρισµότωνιδιοτήτωνκαιτης συµπεριφοράς ενός πεδίου Ώστε να δούµε σε επόµενες ενότητες πως ακριβώς εφαρµόζονται, ο διαφορικός και ολοκληρωµατικός λογισµός στα διανυσµατικά πεδία, κυρίως στον τρισδιάστατο Ευκλείδειο χώρο, και ειδικότερα στην περίπτωση του γήινου πεδίου βαρύτητας Βασικές έννοιες της Άλγεβρας ιανυσµάτων Μερικά µεγέθη περιγράφονται πλήρως µόνο από το µέτρο τους και άλλα χρειάζονται και προσανατολισµό!!! Βαθµωτά µεγέθη (η θερµοκρασία, η ατµοσφαιρική πίεση, ) και ιανύσµατα (η ταχύτητα ενός σκάφους, του ανέµου, τα κύµατα στη θάλασσα, )

2 Για να ορίσουµε πράξεις στις οποίες υπεισέρχονται διανύσµατα, είναι χρήσιµο αυτά να παριστάνονται σε µια από τις παραπάνω ισοδύναµες µορφές, ως συνάρτηση των συνιστωσών τους κατά τις διευθύνσεις των συντεταγµένων αξόνων και των µοναδιαίων διανυσµάτων τους Καρτεσιανές Συντ/νες Κυλινδρικές Συντ/νες Σφαιρικές Συντ/νες Τα µοναδιαία διανύσµατα εµπεριέχουν το στοιχείο της κατεύθυνσης, ενώ το µέτρο τους είναι ουδέτερο µέγεθος Βασικές πράξεις της Άλγεβρας ιανυσµάτων ύο ή περισσότερα διανύσµατα (οποιαδήποτε προσανατολισµένα µεγέθη) µπορούν να συνδυαστούν µεταξύ τους, µπορούν να επιδράσουν ταυτόχρονα ή να επηρεάσουν ένα τρίτο µέγεθος που εξαρτάται τόσο από το µέτρο τους όσο και από τον προσανατολισµό τους Βασικές πράξεις της Άλγεβρας ιανυσµάτων Μεταξύ δύο διανυσµάτων µπορούν να ορισθούν: Το γεωµετρικό τους άθροισµα, η γεωµετρική τους διαφορά, το εσωτερικό, το εξωτερικό, το αριθµητικό και το δυαδικό τους γινόµενο π.χ. εάν έχουµε Άθροισµα διανυσµάτων Μπορείναεπεκταθείσε πιο πολύπλοκες περιπτώσεις στις οποίες τα διανύσµατα κατευθύνονται σε κατευθύνσεις διαφορετικές από τις καθαρά κατακόρυφες και οριζόντιες Η πράξη της πρόσθεσης είναι µια εσωτερική πράξη σύνθεσης στο χώρο των διανυσµάτων. Τοάθροισµαδύο διανυσµάτων είναι το γεωµετρικό αποτέλεσµα της εφαρµογής του κανόνα του παραλληλογράµµου ένα τρίτο διάνυσµα, µε συνιστώσες το άθροισµα των αντίστοιχων συνιστωσών των δύο διανυσµάτων. Η πράξη του αθροίσµατος διανυσµάτων έχει τις ίδιες ιδιότητες µε την πρόσθεση των αριθµών Αντιµεταθετική ιδιότητα (a+b=b+a): Το άθροισµα δύο διανυσµάτων δεν εξαρτάται από τη σειρά των αρχικών διανυσµάτων Προσεταιριστική ιδιότητα : ( a+b ) + c = a + ( b+c ) Το άθροισµα τριών διανυσµάτων δεν εξαρτάται από το ποιό ζεύγος θα υπολογιστεί πρώτα Αυτές επιτρέπουν την αναγραφή ενός αθροίσµατος πολλών διανυσµάτων να έχει νόηµα χωρίς προσδιορισµό της σειράς µε τον οποίο θα γίνουν οι προσθέσεις Αφαίρεση διανυσµάτων Η πράξη αυτή εµπεριέχει την έννοια της αντίθετης δράσης Είναι η πρόσθεση ενός διανύσµατος µε το αντίθετο ενός άλλου διανύσµατος Παράδειγµα: η µετατόπιση σηµείων στο χώρο Ένα σωµατίδιο κινείται από ένα σηµείο Ρ1, το οποίο έχει ένα διάνυσµα θέσης r 1 σε µια νέα θέση P µε ένα νέο διάνυσµα θέσης r. Το διάνυσµα µετατόπισης είναι r = r r 1 = (r x r 1x )i + (r y r 1y )j +(r z r 1z )k Βαθµωτός πολλαπλασιασµός διανυσµάτων Είναι το γινόµενο του διανύσµατος a µε κάποιο πραγµατικό αριθµό λ διάνυσµα µε µέτρο λ a, και οµόρροπο του a (αν λ>0) ή αντίρροπο του a (αν λ<0) Οι ιδιότητες αυτού του πολλαπλασιασµού είναι παρόµοιες µε του πολλαπλασιασµού αριθµών

3 Βαθµωτός πολλαπλασιασµός διανυσµάτων ιαίρεση διανυσµάτων ;;; Η συγκεκριµένη πράξη αποτελεί µια εξωτερική πράξη σύνθεσης και αποκαλείται συνήθως εξωτερικός πολλαπλασιασµός. Η πράξεις της πρόσθεσης και του αριθµητικού γινοµένου ικανοποιούν τις επιµεριστικές ιδιότητες του πολλαπλασιασµού ως προς την πρόσθεση: k(a+b) = ka + kb και (k+m) a = ka + ma. Μπορούµε να διαιρέσουµε δύο διανύσµατα; π.χ., η πίεση (ένα βαθµωτό µέγεθος)= ύναµη/εµβαδόν F = P A Όχι, γενικά δεν µπορούµε να διαιρέσουµε ένα διάνυσµα µε ένα άλλο. τουλάχιστον όχι όπως καταλαβαίνουµε τη διαίρεση αριθµών Εσωτερικό γινόµενο διανυσµάτων Το εσωτερικό ή σκαλινό (βαθµωτό) γινόµενο δύο διανυσµάτων A και B, συµβολίζεται ως A B, και είναι ένα βαθµωτό µέγεθος ίσο προς το γινόµενο των µέτρων των δύο διανυσµάτων επί το συνηµίτονο της µεταξύ τους γωνίας Το εσωτερικό γινόµενο δύο διανυσµάτων είναι βαθµωτό (αριθµός) και αντιστοιχεί στην προβολή ενός διανύσµατος στο άλλο Εάν δύο µη µηδενικά διανύσµατα A και B έχουν εσωτερικό γινόµενο µηδέν τα διανύσµατα είναι κάθετα µεταξύ τους, A B Εσωτερικό γινόµενο διανυσµάτων υαδικός τελεστής Με ιδιότητες: Αντιµεταθετική Επιµεριστική Εξωτερικό γινόµενο διανυσµάτων nˆ θ ab Ορίζεται γεωµετρικά ως το κάθετο διάνυσµα στο επίπεδο που σχηµατίζουν ταδύοδιανύσµατα A και B, µεφοράσύµφωνηµετον κανόνα του δεξιόστροφου κοχλία, όταντοδιάνυσµα A στρέφεταιπροςτο B, σαρώνοντας τη µικρότερη γωνία θ Εξωτερικό γινόµενο διανυσµάτων nˆ θ ab Συµβολίζεται µε τον δυαδικό τελεστή x Το αποτέλεσµα είναι διάνυσµα και αντιστοιχεί στο εµβαδόν του παραλληλόγραµµου που ορίζουν τα διανύσµατα. Ικανοποιεί την απαίτηση, που υπάρχει σε πολλά προβλήµατα της Μηχανικής και της Φυσικής, για την κατασκευή κάθετου διανύσµατος σε δύο υπάρχοντα διανύσµατα Εξωτερικό γινόµενο διανυσµάτων nˆ θ ab Με ιδιότητες: Αντιµεταθετική Επιµεριστική Εξωτερικό γινόµενο διανυσµάτων καρτεσιανές συντεταγµένες κυλινδρικές συντεταγµένες σφαιρικές συντεταγµένες

4 υαδικό γινόµενο διανυσµάτων Το δυαδικό γινόµενο ορίζεται ως τετραγωνικός πίνακας που προκύπτει από τον πολλαπλασιασµό του a ως διάνυσµα-στήλη µε το διάνυσµα b ως διάνυσµα-σειρά Υπάρχουν δύο τριπλά διανυσµατικά γινόµενα: το βαθµωτό τριπλό ή µικτό γινόµενο, και το διανυσµατικό τριπλό ή δις εξωτερικό γινόµενο. a Τριπλό εσωτερικό γινόµενο (scalar triple product) c b Τριπλό εξωτερικό γινόµενο (vector triple product) Στα δύο µη ισοδύναµα προϊόντα τριπλού γινοµένου τριών διανυσµάτων a, b, c, σε κάθε περίπτωση, δύο από τα διανύσµατα ορίζουν ένα επίπεδο, το άλλο κατευθύνεται έξω από το επίπεδο, και µπορεί να χωριστεί σε παράλληλες και κάθετες συνιστώσες που αντιστοιχούν στο εξωτερικό γινόµενο των δύο διανυσµάτων που καθορίζουν το επίπεδο. Αυτές οι συνιστώσες ( c, c ) µπορούν να βρεθούν µέσω προβολής (vector projection) και ορθογωνικής προβολής (vector rejection) του διανύσµατος. Το τριπλό προϊόν είναι στο επίπεδο και περιστρέφεται όπως φαίνεται στο σχήµα Το δέλτα του Kronecker Όπως θα δούµε αργότερα, πολλές εξισώσεις στα Μαθηµατικά, τη Φυσική αλλά και τη Φυσική Γεωδαισία, µπορούν να γραφούν εύκολα χρησιµοποιώντας έναν τελεστή που συµβολίζεται ως δ ij και είναι γνωστός ως Kronecker delta ή σύµβολο του Kronecker και ορίζεται ως δ ij = 1, εάν i=j και δ ij = 0, εάν i j Leopold Kronecker ( ) Το Kronecker Delta σχετίζεται µε τις παραγώγους των µεταβλητών των αξόνων συντεταγµένων ενός ΣΑ σε σχέση µε τον εαυτό τους, π.χ. µε αντίστοιχες τιµές για τις παραγώγους των συντεταγµένων y και z Σε αυτό το σηµείο, το µοτίβο πρέπει να είναι προφανές οι σχέσεις µπορούν να γραφούν εν συντοµία ως Κατα τον ίδιο τρόπο, µπορούν να εκφραστούν οι ιδιότητες των ορθοκανονικών διανυσµάτων βάσης ή ο µοναδιαίος πίνακας ιαφορικός Λογισµός ιανυσµάτων & Τελεστές Ένας τελεστής στα µαθηµατικά, µπορεί να θεωρηθεί ως ένα σύµβολο ή γενίκευση της έννοιας της συνάρτησης και ορίζεται γενικά ως µια συνάρτηση που δρα πάνω στη "µορφή" κάποιας άλλης συνάρτησης ως σύνολο, µετασχηµατίζοντάς την κατά έναν καθορισµένο τρόπο και να δώσει µια άλλη συνάρτηση των ίδιων µεταβλητών. π.χ., η παράγωγος διανυσµατικής ποσότητας ως προς µονόµετρη ποσότητα

5 ιαφορικός Λογισµός ιανυσµάτων & Τελεστές Τελεστές - Σύµβολα µπροστά από διανυσµατικές ή βαθµωτές συναρτήσεις που υποδηλώνουν πραγµατοποίηση πράξεων παραγώγισης ή µετασχηµατισµού Τελεστής ανάδελτα, ανάδελτα, Τελεστής βαθµίδα, βαθµίδα, grad Τελεστής απόκλιση, απόκλιση, div Τελεστής περιστροφή, περιστροφή, rot ή curl Τελεστής Laplace, Laplace, Μπορεί να εφαρµόζεται τελεστής σε τελεστή ff Κλίση, βαθµίδα Βαθµωτή σ. Grad, gradient FF Απόκλιση Div, divergence ιανυσµ. σ. FF ιανυσµ σ. Περιστροφή ή στροβιλισµός Curl ή Rot ff ιάνυσµα FF Βαθµωτή σ. F F ιανυσµ. σ. Το αποτέλεσµα της εφαρµογής του τελεστή έχει Τελεστής Ανάδελτα, Εφαρµόζεται σε µονόµετρες και σε διανυσµατικές συναρτήσεις Είναι διανυσµατικός διαφορικός τελεστής των µερικών παραγώγων µιας συνάρτησης ως προς τις τρεις διαστάσεις του χώρου. Στη ξένη βιβλιογραφία αναφέρεται ως Anadelta, Del ή Nabla, από την αρχαία ελληνική λέξη για την άρπα των Ασσυρίων Τελεστής Ανάδελτα, Κλίση ή Βαθµίδα, grad Ορίζεται ως ο βαθµωτός πολλαπλασιασµός του Εκφράζεται µε παρόµοιο τρόπο στα διαφορετικά συστήµατα συντεταγµένων τελεστή ανάδελτα µε µια βαθµωτή συνάρτηση f=f(x,y,z), η οποία έχει συνεχείς µερικές παραγώγους σε καρτεσιανές συντεταγµένες Ιδιότητες σε κυλινδρικές συντεταγµένες π.χ. εάν f=µονόµετρη grad f = f ποσότητα σε σφαιρικές συντεταγµένες Αν σε κάθε σηµείο του πεδίου ορισµού της συνάρτησης f(r) µπορούµε να αντιστοιχίσουµε ένα διάνυσµα gradf(r) δηµιουργείται ένα διανυσµατικό πεδίο που αποκαλείται πεδίο κλίσεων της f(r). Με άλλα λόγια, ο τελεστής µετασχηµατίζει ένα βαθµωτό πεδίο π.χ. εάν f=µονόµετρη (µια συνάρτηση) ποσότητα grad f = f σε ένα διανυσµατικό πεδίο ιδιότητες ανάλογες µε εκείνες των διανυσµάτων εν µπορεί να θεωρηθεί σαν διάνυσµα, γιατί για αυτό δεν µπορεί να ορισθεί µέτρο και διεύθυνση. Μπορεί όµως να θεωρηθεί ότι έχει διανυσµατικό χαρακτήρα, χαρακτήρα (αφού περιέχει τα µοναδιαία διανύσµατα i, j, k και υπακούει στους κανόνες της διανυσµατικής άλγεβρας), όπως επίσης και διαφορικό χαρακτήρα, χαρακτήρα (αφού περιέχει τις µερικές παραγώγους / x, / y, / z δηλαδή, δρα σε συναρτήσεις των x,y,z τις οποίες και παραγωγίζει). f ( x, y ) = xe ( x f(x,y) f(x,y) = (cosx + cosy) f= i+6y j+cosz k + y ) Η κλίση της συνάρτησης f ( x, y ) ως µπλε βέλη πάνω από το διάγραµµα ψευδοψευδοχρώµατος της συνάρτησης

6 z=f(x,y)=4x+y Η διεύθυνση της βαθµίδας f σε κάποιο σηµείο είναι η διεύθυνση εκείνη που εάν την ακολουθήσουµε, τότε η κατευθύνουσα παράγωγος df/ds, (δηλαδή ο συντελεστής µεταβολής του βαθµωτού πεδίου f), θα είναι η µεγαλύτερη που µπορεί να έχει το βαθµωτό πεδίο στο σηµείο αυτό: Η κλίση f συνδέεται (αλλά δεν πρέπει να συγχέεται) µε την κατευθύνουσα παράγωγο df/ds σε κάποιο σηµείο P0(x0,y0,z0), σε βαθµωτό πεδίο f, κατά τη διεύθυνση του µοναδιαίου διανύσµατος u επιφάνεια παραβολοειδούς f(x,y)=c, ισουψείς της επιφάνειας f(x,y) Η κλίση f = <8x,y> σε τρια σηµεια (sqrt(1.5),0), (1,1), και (0,sqrt(5)) Το Duf παίρνει τη µεγαλύτερη θετική του τιµή εάν θ=0 η κατεύθυνση της µεγαλύτερης αύξησης της f είναι η ίδια κατεύθυνση µε το διάνυσµα της κλίσης. ή το διαφορικό Η κλίση ή βαθµίδα ενός βαθµωτού πεδίου f, σε κάποιο σηµείο, είναι ένα διάνυσµα που δείχνει προς την κατεύθυνση του ποσοστού αύξησης του βαθµωτού πεδίου, και το µέγεθος του διανύσµατος grad f εκφράζει το µεγαλύτερο ρυθµό µεταβολής του πεδίου είναι µηδέν σε ένα τοπικό µέγιστο η τοπικό ελάχιστο (επειδή δεν υπάρχει διεύθυνση που να δείχνει αύξηση της συνάρτησης H κλίση ή βαθµίδα ενός Το σύνολο των κλίσεων σε όλα τα σηµεία της περιοχής ορισµού του βαθµωτού πεδίου f είναι ένα διανυσµατικό πεδίο το αποκαλούµενο πεδίο κλίσεων Η κλίση ή βαθµίδα είναι µηδέν σε τοπικό µέγιστο ή τοπικό ελάχιστο (επειδή δεν υπάρχει καµιά κατεύθυνση αύξησης) H βαθµωτή συνάρτηση f(x,y,z) είναι ανεξάρτητη από τον προσανατολισµό των αξόνων του συστήµατος αναφοράς Το διάνυσµα f, παραµένει αµετάβλητο εάν το σύστηµα αναφοράς περιστραφεί σε σχέση µε την αρχή του (δηλ. δηλ. για οποιοδήποτε ορθογώνιο µετασχηµατισµό) µετασχηµατισµό) Αφού ο τελεστής grad µετασχηµατίζει ένα βαθµωτό πεδίο (µια συνάρτηση) σε ένα διανυσµατικό πεδίο, τι σηµαίνει το αντίστροφο; Εάν ένα διανυσµατικό πεδίο F(r) είναι ίσο µε τη βαθµίδα κάποιας διαφορίσιµης συνάρτησης V(r), δηλ. F(r) = - V(r), το διανυσµατικό πεδίο F(r) λέγεται ότι είναι συντηρητικό πεδίο και η βαθµωτή συνάρτηση V(r) λέγεται συνάρτηση δυναµικού ή δυναµικό του διανυσµατικού πεδίου. Αργότερα θα δούµε ότι το βαρυτικό πεδίο της Γης είναι ένα συντηρητικό διανυσµατικό πεδίο που προέρχεται πράγµατι από µια συνάρτηση δυναµικού V, το γήινο δυναµικό της βαρύτητας. Το κάθετο διάνυσµα σε f P µια επιφάνεια f(x,y,z)=0, σε ένα σηµείο Ρ(x,y,z) σε διάνυσµα θέσης r=(x,y,z) π.χ. η βαθµωτή P(x,y,z)= P(x,y,z ) Κλίση ή Βαθµίδα, Βαθµίδα, grad βαθµωτού πεδίου, εξαρτάται από την εκλογή των αξόνων του συστήµατος αναφοράς συνάρτηση που εκφράζει τη θερµοκρασία Τ σε ένα σηµείο P(x,y,z)= P(x,y,z ) είναι ανεξάρτητη από το σύστηµα συντεταγµένων Τ= Τ Για µια στοιχειώδη µετακίνηση του Ρ στην επιφάνεια έχουµε το εφαπτόµενο διάνυσµα dr=(dx,dy,dz) To dr είναι κάθετο στην κλίση gradf γιατί ισχύει fx P dx + fy P dy + fz P dz = 0

7 Από τη σχέση του ολικού διαφορικού και του τελεστή grad συνάγεται εύκολα ότι ηλ., U dr εκφράζει την αλλαγή στη µονόµετρη ποσότητα U όταν κινούµαστε κατά dr ( dr =ds) ο ρυθµός αλλαγής του U κατά απόσταση ds σε οποιαδήποτε διεύθυνση dr είναι η προβολή του gradu στη διεύθυνση dr π.χ., Η βαθµίδα µεταβολής του υψοµέτρου σε ένα σηµείο µιας πλαγιάς είναι διάνυσµα κάθετο στην ισοϋψή στο σηµείο αυτό και περιγράφει την τοπογραφική κλίση στο σηµείο Ηέντασητουβαρυτικούπεδίου, g,είναιηβαθµίδα του δυναµικού του πεδίου βαρύτητας, U. Για µια µικρή µετακίνηση στην ισοδυναµική επιφάνεια Επιφάνειες σταθερού U (ισοδυναµικές) Το διάνυσµα κλίσης f(α), απεικονίζεται από το κόκκινο διάνυσµα (δεξιά) καθώς και από τη σκιά του κάτω από την επιφάνεια των ισοϋψών του αναγλύφου (αριστερά). ff Βαθµωτή σ. f Κλίση, βαθµίδα Grad, gradient ιάνυσµα ff Βαθµωτή σ. f Κλίση, βαθµίδα Grad, gradient ιάνυσµα ff Βαθµωτή σ. f Κλίση, βαθµίδα Grad, gradient ιάνυσµα σε καρτεσιανές σ. σε καρτεσιανές συντεταγµένες f παράδειγµα για βαθµωτή συνάρτηση στο επίπεδο? σε κυλινδρικές συντεταγµένες σε σφαιρικές σ. σε κυλινδρικές συντεταγµένες σε σφαιρικές συντεταγµένες Ανακεφαλαιώνοντας τα περί βαθµίδας Η κλίση ή βαθµίδα µιας βαθµωτής συνάρτησης U, είναι ένα διάνυσµα το οποίο, σε κάθε σηµείο: 1. είναι κάθετο στις επιφάνειες σταθερού U. Έχει τη διεύθυνση προς την οποία ο ρυθµός αύξησης του U είναι µέγιστος 3. Έχει µέτρο που είναι ίσο µε το µέγιστο ρυθµό µεταβολής του U στο συγκεκριµένο σηµείο 4. Έχει προβολή σε κάποια κατεύθυνση, της οποίας το µέτρο ισούται µε το µέγιστο ρυθµό µεταβολής του U στην κατεύθυνση αυτή 5. Είναι µηδέν σε ένα τοπικό µέγιστο η τοπικό ελάχιστο (επειδή δεν υπάρχει διεύθυνση που να δείχνει αύξηση της συνάρτησης U) Απόκλιση (divergence), div Ορίζεται ως το εσωτερικό γινόµενο του τελεστή ανάδελτα µε µια διανυσµατική συνάρτηση, π.χ. F(P,Q,R), η οποία έχει συνεχείς µερικές παραγώγους P/ x, Q/ y, R/ z Το αποτέλεσµα, συµβολίζεται ως divf, και είναι µονόµετρη ποσότητα Η φυσική σηµασία της απόκλισης ενός διανυσµατικού πεδίου, έχει παρόµοια σχέση µε εκείνη της ποσότητας ροής των ρευστών. Η απόκλιση έχει τις χαρακτηριστικές ιδιότητες

8 αν r (=x i + y j + z k), ποια είναι η απόκλιση του δ. πεδίου ; Η συνιστώσα κατά x του div(r/r 3 ): a 1 =x (x +y +z ) -3/ a 1 / x = = r -3 (1-3x r - ) Παροµοίως για τις συνιστώσες a, a 3 div(r/r 3 ) = 0 Ένα διανυσµατικό πεδίο a για το οποίο ισχύει diva=0 λέγεται ότι είναι σωληνοειδές Ποια είναι η σηµασία του τελεστή div Σχετίζεται µε τη ροή ενός πεδίου σε κλειστή επιφάνεια (S), που περιβάλει ένα δεδοµένο σηµείο Ρ(x,y,z) στο χώρο -Σκεφτείτε το ως το ρυθµό αύξησης (θετική απόκλιση) ή συστολής ροής (αρνητική απόκλιση). Π.χ., η ροή ενός ρευστού σε ένα σηµείο µικρού κύβου µπορεί να έρχεται σε µερικές πλευρές του και όχι σε άλλες Συνδυάζουµε όλα τα επιµέρους αποτελέσµατα της ροήςπροςόλεςτιςπλευρέςγιανακαταλάβουµεαν η συνολική ροή εισέρχεται ή εξέρχεται του κύβου Θεωρώντας το εξωτερικό µοναδιαίο διάνυσµα n, και ds, το στοιχειώδες εµβαδόν της επιφάνειας, ορίζουµε το διάνυσµα n ds και την ταχύτητα v(x i ) του ρευστού (διανυσµατικό µέγεθος) Ορίζουµε την ποσότητα Q S, ως τη ροή του πεδίου v(x i ) η αποκλίση divv (µονόµετρο µέγεθος) V είναι ο όγκος που περικλείεται από την επιφάνεια S (εν προκειµένω, του κύβου) Σηµασία του τελεστή div Αν θεωρήσουµε έναν ιδεατό χώρο µέσα στον οποίο πραγµατοποιείται ροή ρευστού. Έστω ότι η F(x,y,z) είναι µια διανυσµατική συνάρτηση που περιγράφει την ταχύτητα του ρευστού στη θέση (x,y,z) του χώρου αυτού. H απόκλιση της F(x,y,z), divf, είναι η µεταβολή της στο χώρο. έστω ένας στοιχειώδης όγκος dv. Ποια είναι η συνολική εκροή του ρευστού? Στην αριστερή πλευρά του στοιχειώδους όγκου Σηµασία του τελεστή div Παροµοίως στην απέναντι (δεξιά) πλευρά η εκροή είναι Άρα η εκροή του ρευστού από τις δύο αυτές πλευρές είναι Συνολική εκροή του ρευστού από τον όγκο dv Σηµασία του τελεστή div Τρισδιάστατο διανυσµατικό πεδίο - ροή του υγρού - µε θετική απόκλιση (= επέκταση ροής, διαστολή ρευστού) Η απόκλιση ενός διανυσµατικού πεδίου µέτρα απλά πόσο επεκτείνεται η ροή σε ένα δεδοµένο σηµείο. εν δείχνει σε ποια κατεύθυνση συµβαίνει αυτό (µονόµετρο µέγεθος) Τογεγονόςότιτο υγρόρέειέξωαπό τη σφαίρα υποδηλώνει ότι η απόκλιση του διανυσµατικού πεδίου είναι θετική (δηλαδή, η ροή έχει θετική απόκλιση παντού µέσα στη σφαίρα) ακόµη και αν µετακινήσουµε τη σφαίρα µακριά από τηνπηγήτου πεδίου

9 Εάν µετακινήσουµε τη σφαίρα µακριά απότηνπηγήτου πεδίου, τα βέλη συνεχίσουν να µεγαλώνουν µακριά από την πηγή τοπεδίο ρέειπιογρήγορα, όταν εξέρχεται από τη σφαίρα απόότιόταν εισέρχεται σε αυτή τα βέλη διαχέονται προς τα έξω η εκροή από τη σφαίρα είναι πάντα µεγαλύτερη από την εισροή στη σφαίρα. Ηεκροήαπότη σφαίρα είναι πιο αργήαπόότιη εισροήσεαυτή, καθώς τα βέλη γίνονται όλο και µικρότερα. Απότηνάλλη πλευρά, επειδή η ροή διαχέεται προςταέξω, το υγρόρέειέξωαπό τησφαίρασε περισσότερο από τοήµισυτης επιφάνειας της Αντίθετα, ανηκίνησητουρευστού είναι προς τα µέσα (π.χ. υπάρχει συνεχής τροφοδοσία από έξω προς τα µέσα και κατανάλωση ρευστού στο εσωτερικό του ιδεατούχώρου) τότεητιµήτου divf είναι αρνητική Αν ένα ρευστό κινείται προς τα έξω (π.χ. υπάρχουν πηγές µέσα στον ιδεατό χώρο) η τιµή του divf είναι θετική και περιγράφει ποσοτικά αυτήν την διόγκωση (κίνηση προς τα έξω, εκροή από τον ιδεατό χώρο). Ποια είναι η απόκλιση του πεδίου? Ανησφαίραείναιστηνπηγή, σαφώςηροήείναιεκτός τηςσφαίρας ηαπόκλισηδενορίζεταιστηνπηγή πρέπεινααγνοήσουµεαυτότοσηµείο ηκαθαρή εισροή στη σφαίρα είναι ακριβώς ίση µε την καθαρή εκροήαπότησφαίρα µακριάαπότηνπηγή, το ρευστό ούτε επεκτείνεται ούτε συµπιέζεται και η απόκλιση είναι µηδενική απόκλιση F : διανυσµατική σ. F : βαθµωτή σ. div, Κυλινδρικές Καρτεσιανές Σφαιρικές Ανακεφαλαιώνοντας τα περί απόκλισης Η απόκλιση µιας διανυσµατικής συνάρτησης F, είναι ένα βαθµωτό µέγεθος που: 1. Εκφράζει το ρυθµό αλλαγής της ροής του πεδίου που επεκτείνεται. Αν στο κέντρο ενός όγκου υπάρχει µια πηγή ροής και η απόκλιση είναι θετική τότε και η ροή είναι θετική 3. Μπορεί να γίνει αντιληπτή σαν την επέκταση π.χ., της ταχύτητας F ενός ρευστού που ρέει από ένα σηµείο 4. Έχει προβολή σε κάποια κατεύθυνση, της οποίας το µέτρο ισούται µε το µέγιστο ρυθµό µεταβολής του U στην κατεύθυνση αυτή Περιστροφή /Στροβιλισµός, rot ή curl Στο διανυσµατικό λογισµό, η περιστροφή ή στροβιλισµός, το curl ή rot, είναι ένα διάνυσµα που περιγράφει την απειροελάχιστη περιστροφή ενός 3- διαστάσεωνδιανυσµατικούπεδίου. Σε κάθε σηµείο στο χώρο, η περιστροφή ή στροβιλισµός αυτού του πεδίου αντιπροσωπεύεται από ένα διάνυσµα, του οποίου τα χαρακτηριστικά (µήκος και κατεύθυνση) χαρακτηρίζουν την περιστροφή σε εκείνο το σηµείο. Ο όρος curl" προτάθηκε για πρώτη φορά από τον James Clerk Maxwell το 1871, ενώ ο όρος rot (από το rotational ή rotation) χρησιµοποιείται κυρίως στις περισσότερες ευρωπαϊκές χώρες. Περιστροφή /Στροβιλισµός, rot ή curl Αν το διάνυσµα F περιγράφει την ταχύτητα κίνησης ενός ρευστού σε ένα ιδεατό χώρο, η διανυσµατική συνάρτηση curlf περιγράφει το στροβιλισµό του ρευστού µέσα στο χώρο αυτό Αν curlf = x F = 0 αστρόβιλο πεδίο

10 Περιστροφή /Στροβιλισµός, rot ή curl Ηπεριστροφή ενός δ. πεδίου εκφράζει την ιδέα της στροβιλικής ροής. π.χ., έναρευστό µπορεί να κυκλοφορεί γύρω από έναν κεντρικό άξονα Στο γράφηµα, παρατηρήστε τις τελείες που φαίνονται να επιπλέουν κατά µήκος του άξονα περιστροφής. Αυτά τα σηµεία είναι αναπαραστάσεις διανυσµάτων µηδενικού µήκους, δηλ. η ταχύτητα εκεί είναι µηδέν. Περιστροφή/Στροβιλισµός Η περιστροφή της σφαίρας µέτρα το στροβιλισµό του πεδίου στο κέντρο της σφαίρας. Η κυκλική ροή είναι η µακροσκοπική κυκλοφορία του πεδίου. Υπάρχει και η µικροσκοπική κυκλοφορία Σφαίρα, µε σταθερό το κέντρο της σε κάποιο σηµείο του πεδίου, αλλά ελεύθερη να περιστρέφεται σε οποιαδήποτε διεύθυνση περί το κέντρο της Περιστροφή/Στροβιλισµός Το πράσινο βέλος κατά µήκος του άξονα της σφαίρας είναι η περιστροφή (curl) του διανυσµατικού πεδίου. Το µήκος του βέλους αντιστοιχεί στην ταχύτητα περιστροφής και η κατεύθυνση του βέλους καθορίζεται από τον κανόνα του δεξιού αντίχειρα. Περιστροφή /Στροβιλισµός Σε αυτό το παράδειγµα, η σφαίρα (σε µια άλλη θέση) περιστρέφεται στην ίδια φορά µε την µακροσκοπική κυκλοφορία της ροής του ρευστού, και µε την ίδια ταχύτητα Το curl δείχνει προς την κατεύθυνση του πράσινου βέλους Περιστροφή /Στροβιλισµός Στροβιλισµός Εφόσονηπεριστροφή ενός διανυσµατικού πεδίουείναιδιάνυσµα, θα έχει αντίστοιχες συνιστώσες ως προς τους άξονες του συστήµατος αναφοράς π.χ. η περιστροφή της δεσµευµένης σφαίρας αντιστοιχεί στη συνιστώσα υ 3 kστη κατεύθυνσητουάξονα z Ηταχύτητα περιστροφής της σφαίρας αντιστοιχεί στο υ 3 καιτο πρόσηµοτου υ 3 υποδηλώνει τη φορά περιστροφής περί τον άξονα F F ιανυσµ σ. Περιστροφή ή στροβιλισµός Curl ή Rot ιανυσµ. σ. σε καρτεσιανές συντεταγµένες Στην ορίζουσα, οι τελεστές παραγώγισης / x, / y, / z, πρέπει να προηγούνται των συνιστωσών συναρτήσεων f, g, h F F ιανυσµ σ. Περιστροφή ή στροβιλισµός Curl ή Rot ιανυσµ. σ. σε κυλινδρικές συντεταγµένες Υπενθύµιση: στη Γεωδαισία αντί των µεταβλητών (r,θ,z) χρησιµοποιούµε συνήθως (r,λ,z) ή (ρ,λ,z) F F ιανυσµ σ. Περιστροφή ή στροβιλισµός Curl ή Rot ιανυσµ. σ. σε σφαιρικές συντεταγµένες Υπενθύµιση: στη Γεωδαισία αντί των µεταβλητών (r, r,θ,φ) χρησιµοποιούµε συνήθως (r, r,θ,λ) Ανακεφαλαιώνοντας τα περί στροβιλισµού ή περιστροφής πεδίου Ηπεριστροφήµιαςδιανυσµατικήςσυνάρτησης F, είναι ένα διάνυσµα το οποίο, σε κάθε σηµείο: 1. Εκφράζει την ιδέα της περιστροφής ενός ρευστού (δηλαδή όταν έχουµε ροή γύρω από ένα σηµείο). Ορίζεται ως όριο της κυκλοφορίας δια την επιφάνεια, όταν η επιφάνεια τείνει στο µηδέν όρος κυκλοφορία (circulation) συχνά αποδίδεται στην ολοκλήρωση της εφαπτοµενικής συνιστώσας µιας διανυσµατικής συνάρτησης κατά µήκος µιας κλειστής διαδροµής Η διεύθυνση της απόκλισης είναι κάθετη στην επιφάνεια 3. Από την ύπαρξή του µπορούµε να συµπεράνουµε επίσης αν ένα διανυσµατικό πεδίο είναι συντηρητικό ή όχι

11 Τελεστής Λαπλασιανή, Εφαρµογή σε µονόµετρο µέγεθος / σε βαθµωτή συνάρτηση U U U Φ= U= + + x x x Εφαρµογή σε διάνυσµα / σε διανυσµατική συνάρτηση 1 Φυσική σηµασία: η εφαρµογή της σε µια ποσότητα δείχνει τηµεταβολήτηςτιµήςτηςποσότηταςαπόένασηµείοσε ένα γειτονικό του U = U - U0, όπου 3 U 0 = τιµήποσότηταςστοσηµείο 0 U =»» στη γειτονιά τουσηµείου 0 Συνοπτικά η σηµασία του Λαπλασιανού τελεστή Ονοµάζεται µερικές φορές η απόκλιση της βάθµωσης ή div grad ενός βαθµωτού πεδίου: 1. Εκφράζει την ιδέα χρήσης του τελεστή ανάδελτα ( nabla ή del ) σε ένα φυσικό διαφορικό τελεστή, έτσι ώστε να µπορεί να δηµιουργεί ένα βαθµωτό πεδίο από ένα άλλο βαθµωτό πεδίο εάν εφαρµόσουµε τη τελεστή της βάθµωσης ή βαθµίδας" ( grad ) σε ένα βαθµωτό πεδίο µας δίδει ένα διανυσµατικό πεδίο, και στη συνέχεια εάν εφαρµόσουµε τον τελεστή της απόκλισης ( div ) τα αποτέλεσµα θα είναι να πάρουµε ένα βαθµωτό πεδίο ίνεται το διάνυσµα θέσης: r = x + y + z Να βρεθεί η κλίση (grad) του ίνεται η ακόλουθη διανυσµατική συνάρτηση F: Να βρεθεί (a) η απόκλιση (div) της, και (b) η τιµή του p ώστε να είναι F = 0 ίνεται η διανυσµατική συνάρτηση F = r / r p : Να βρεθεί (a) η απόκλιση (div) της, και (b) η τιµή του p ώστε να είναι div F = 0 ίνεται η βαθµωτή συνάρτηση: U=x 1 +x - 3x 3 Να βρεθούν η βαθµίδα (grad) και η λαπλασιανή της ( ) στο σηµείο (0, 1, -1) Υπενθύµιση Υπενθύµιση p=3 divf=0 Σε κάθε σηµείο ίνεται η διανυσµατική συνάρτηση: Να βρεθούν η βαθµίδα (grad) και η απόκλιση της (div) της

12 ίνεται η διανυσµατική συνάρτηση ίνεται η διανυσµατική συνάρτηση Να βρεθούν η απόκλιση (div), η περιστροφή (rot ή curl) και η λαπλασιανή ( ) της στο σηµείο (1, 1, -1) Να βρεθούν η απόκλιση (div), η περιστροφή (rot ή curl) και η λαπλασιανή της ( ) στο σηµείο (1, 1, -1) ίνεται η µονόµετρη συνάρτηση Φ = x 1 x + x 3 x 3 - x 1 x x 3 Να βρεθούν η βαθµίδα (grad), και η λαπλασιανή της ( ) στο σηµείο (1,, 0) Τελεστής Απόκλιση, div Ναυπολογιστούν:?? Τελεστής Απόκλιση, div y 0 Τελεστής Απόκλιση, div Επιπτώσεις της διανυσµατικής µορφής του πεδίου βαρύτητας Χρήση καµπυλόγραµµων συντεταγµένων και τελεστών για το χαρακτηρισµό βασικών ιδιοτήτων του πεδίου