ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

6ο κεφάλαιο: Συναρτήσεις ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ )

Περιεχόµενα 1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ................................... 5 1.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 1.1.1 1.1.2 1.1.3 ΘΕΩΡΙΑ......................................................... 5 ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ............................................. 7 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ............................................... 10 1.2 ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 1.2.1 1.2.2 1.2.3 ΘΕΩΡΙΑ........................................................ 12 ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ............................................ 20 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ............................................... 23 1.3 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f (x) = αx + β 1.3.1 1.3.2 1.3.3 ΘΕΩΡΙΑ........................................................ 24 ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ............................................ 29 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ............................................... 33 2 Βιβλιογραφία.................................................. 35 2.1 Βιβλία 35 2.2 Ιστοσελίδες 35 5 12 24

Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f (x) = αx + β ΘΕΩΡΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ 1. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 1.1 1.1.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ Ερώτηση 1.1 Τι ονοµάζουµε πραγµατική συνάρτηση µε πεδίο ορισµού Α, υποσύνολο του R; Είναι µια διαδικασία µε την οποία κάθε στοιχείο του συνόλου Α αντιστοιχίζεται σ έναν µόνο πραγµατικό αριθµό. Ερώτηση 1.2 Πότε µια συνάρτηση είναι ορισµένη ; Μια συνάρτηση f : A R είναι ορισµένη, αν και µόνο αν : 1. Ξέρουµε το πεδίο ορισµού της συνάρτησης, το Α και 2. ξέρουµε ή µπορούµε να υπολογίσουµε το f (x) για κάθε x A Ερώτηση 1.3 Οταν το f (x) εκφράζεται µόνο µε ένα αλγεβρικό τύπο, ποιο είναι το πεδίο ορισµού ; Είναι το ευρύτερο υποσύνολο του R, στο οποίο το f (x) έχει νόηµα πραγµατικού αριθµού. ή διαφορετικά, το σύνολο A = {x R f (x) R} Ερώτηση 1.4 Το πεδίο ορισµού µια συνάρτησης είναι πάντα διάστηµα ή ένωση διαστη- µάτων ; Για τη συνάρτηση f (x) = x2 1 το πεδίο ορισµού είναι : A = {x R x2 1 0} = x (, 1) (1, + ) 100 το πεδίο ορισµού είναι : Ενώ για τη συνάρτηση f (x) = 7 x + 3x2 x + 2 7 2 A = {x R x + 3x x + 2 6= 0} το οποίο δεν µπορεί να γραφεί σαν ένωση διαστηµάτων γιατί η εξίσωση 4x7 + 3x2 x + 2 = 0 δεν λύνεται.

Άρα το πεδίο ορισµού δεν γράφεται πάντα ως ένωση διαστηµάτων. Ερώτηση 1.5 Ποιος είναι ο τύπος µιας συνάρτησης, ποια είναι η εξαρτηµένη και ποια η ανεξάρτητη µεταβλητή ; Αν µε µια συνάρτηση f από το A στο B, το x A αντιστοιχίζεται στο y B γράφουµε τον τύπο της συνάρτησης y = f(x) το x είναι η ανεξάρτητη µεταβλητή και το y η εξαρτηµένη. Ερώτηση 1.6 Πότε ένας αριθµός είναι τιµή µιας συνάρτησης ; Ενας αριθµός y R είναι τιµή της συνάρτησης f : A R, αν και µόνο αν : υπάρχει x A µε f(x) = y ή ισοδύναµα Η εξίσωση f(x) = y έχει τουλάχιστον µία λύση x A Ερώτηση 1.7 Ποιο είναι το σύνολο τιµών µια συνάρτησης f : A R Είναι το σύνολο των αριθµών y R, για τους οποίους η εξίσωση f(x) = y (µε άγνωστο το x) έχει τουλάχιστον µια λύση στο Α. f(a) = {y R η εξίσωσηf(x) = y έχει τουλάχιστον µια λύση στο Α} ή f(a) = {y R x A, f(x) = y} Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 6

1.1.2 ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ Θέµα 1.1 Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισµού των παρακάτω συναρτήσεων i. f(x) = x 2 + 3x ii. g(x) = x + 1 x iii. h(x) = x 2 4 iv. t(x) = 3 x 2 5x + 6 + 2 x 3 Μεθοδολογία 1.1 Οταν γνωρίζουµε µόνο τον τύπο µιας συνάρτησης f, τότε το πεδίο ορισµού της είναι το ευρύτερο υποσύνολο του R στο οποίο ο τύπος της f(x) έχει νόηµα πραγµατικού αριθµού. Γενικά το πεδίο ορισµού είναι όλο το R. Εκτός αν έχω περιορισµούς από το ίδιο το πρόβληµα π.χ. η µεταβλητή του χρόνου είναι πάντα µεγαλύτερη ή ίση από το 0 όπως και η απόσταση κ.ο.κ. ή έχω περιορισµούς από τον τύπο,οπότε ϑα ϐρίσκουµε το πεδίο ορισµού της συνάρτησης f ϑέτοντας κατάλληλους περιορισµούς σύµφωνα µε τον Συνάρτηση f Περιορισµός παρακάτω πίνακα. f(x) = P (x) Q(x) Q(x) 0 f(x) = ν P (x), ν N {1} P (x) 0 Λύση 1.1 i. Η f(x) = x 2 +3x δεν έχει περιορισµούς ούτε από τη ϕύση της µεταβλητής ούτε από τον τύπο. Άρα το πεδίο ορισµού είναι A = R ii. g(x) = x + 1 δεν έχει περιορισµούς από τη ϕύση της µεταβλητής, αλλά έχει από x τον τύπο. Πρέπει ο παρονοµαστής x 0 άρα το πεδίο ορισµού είναι A = R {0} iii. h(x) = x 2 4 πρέπει το υπόρριζο x 2 4 0. Για την οποία ϕτιάχνω τον παρακάτω πίνακα προσήµων. Η x 2 4 = 0 έχει ϱίζες το -2 και το 2, εποµένως ο πίνακας προσήµων είναι ο : x -2 2 + x 2 4 + 0 0 + Άρα το πεδίο ορισµού είναι A = (, 2] [2, + ) iv. Η t(x) = 3 x 2 5x + 6 + 2 έχει περιορισµούς και από τον παρονοµαστή και x 3 από το υπόριζο. Πρέπει { x 2 } 5x + 6 0 x 3 0 Φτιάχνω τον πίνακα προσήµων για την ανίσωση : x 2 3 + x 2 5x + 6 + 0 0 + κι εχω, { } x (, 2] [3, + ) A = (, 2] (3, + ) x 3 Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 7

x 2 Θέµα 1.2 Να ϐρείτε το πεδίο ορισµού της συνάρτησης f(x) = 3 x x 2 4 Λύση 1.2 Από τον τύπο της συνάρτησης έχω τους παρακάτω περιορισµούς : x x 2 4 > 0 x > x > 0 x 2 4 x 2 > x 2 4 ισχύει x 2 x 2 4 0 x 2 x 2 ή x 2 Άρα A = [2, + ] Θέµα 1.3 Να ϐρείτε το πεδίο ορισµού της f(x) = x x 2 4x + λ, λ R Λύση 1.3 Το πεδίο ορισµού της συνάρτησης είναι A = {x R x 2 4x + λ 0} Η εξίσωση x 2 4x + λ = 0 έχει διακρίνουσα = 16 4λ µε πίνακα προσήµων : λ 2 + + 0 Εποµένως έχω τις περιπτώσεις : i. Αν λ < 4 έχω > 0, οπότε η εξίσωση x 2 4x + λ = 0 έχει δυο ϱίζες, τις x 1,2 = 4 ± 16 4λ = 2 ± 4 λ 2 Άρα το πεδίο ορισµού της f είναι A = R {2 4 λ, 2 + 4 λ} ii. Αν λ = 4 έχω = 0, οπότε η εξίσωση x 2 4x + λ = 0 έχει µια ϱίζα, την x = 2 Άρα το πεδίο ορισµού της f είναι A = R {2} iii. Αν λ > 4 έχω < 0, οπότε η εξίσωση x 2 4x + λ = 0 δεν έχει ϱίζες Άρα το πεδίο ορισµού της f είναι A = R Θέµα 1.4 Να ϐρείτε το σύνολο τιµών της f(x) = x2 3x + 1 x 3 Μεθοδολογία 1.2 Για να προσδιορίσουµε το σύνολο τιµών της f, ϑα ϐρούµε όλους τους αριθµούς y R, για τους οποίους η εξίσωση f(x) = y (µε άγνωστο το x) έχει τουλάχιστον µια λύση στο Α. Λύση 1.4 Το πεδίο ορισµού είναι A = R {3} f(x) = y x2 3x + 1 = y x 3 y(x 3) = x 2 3x + 1 x 2 + x( y 3) + 3y + 1 = 0 Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 8

η οποία έχει λύση στο Α αν και µόνο αν 0 x 3 (y + 3) 2 4(3y + 1) 0 3 2 + 3( y 3) + 3y + 1 0 y 2 6y + 5 0 1 0 (που ισχύει) y 1ή y 5 Άρα το σύνολο τιµών είναι f(a) = (, 1] [5, + ) { x 2 5x + 6 x 1 Θέµα 1.5 Εχουµε τη συνάρτηση f(x) = x x < 1 x 1 Να ϐρείτε τις τιµές της συνάρτησης, f(0), f(1), f(2) Λύση 1.5 i. Για να υπολογίσω το f(0) ϑα χρησιµοποιήσω τον τύπο f(x) = x x 1, γιατί 0 < 1 Άρα f(0) = 0 0 1 = 0 ii. Για να υπολογίσω το f(1) ϑα χρησιµοποιήσω τον τύπο f(x) = x 2 5x + 6, γιατί 1 1 Άρα f(1) = 1 2 5 1 + 6 = 2 iii. Για να υπολογίσω το f(2) ϑα χρησιµοποιήσω τον τύπο f(x) = x 2 5x + 6, γιατί 2 1 Άρα f(2) = 2 2 5 2 + 6 = 0 Θέµα 1.6 Να ϐρείτε για ποιες τιµές του x, η συνάρτηση f(x) = x 2 8 δίνει τιµή 7. Λύση 1.6 Είναι f(x) = 7 x 2 8 = 7 x = ± 15 x = ±1 x 2 8 = 7 x 2 8 = 7 x 2 = 15 x 2 = 1 Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 9

1.1.3 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ 1. Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισµού των παρακάτω συναρτήσεων i. f(x) = 2 x 3 + x ii. g(x) = x2 + 1 x 3 + x 2 iii. h(x) = x 2 16 iv. t(x) = x 2 4x + 3 + x v. k(x) = x + 3 + x 2 x 1 25 vi. b(x) = x 2 3x + 2 2 x 3 4x 2 x 2 4x 2. Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισµού των παρακάτω συναρτήσεων i. f(x) = x 2 x 1 x 2 1 ii. g(x) = x + 10 6 x + 1 3. Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισµού των παρακάτω συναρτήσεων 16 x 2 i. f(x) = x 4 ii. g(x) = 2 2 + x x 2 8x 4. Να ϐρείτε για ποιες τιµές του λ R η συνάρτηση x 2 (5λ + 2)x 8 f(x) = (λ 1)x 2 2(λ 1)x + 3 έχει πεδίο ορισµού όλο το R. { x 3 x < 1 5. Εχουµε τη συνάρτηση f(x) = 2x + 3 x 1 Να ϐρείτε τις τιµές της συνάρτησης, f(0), f(1), f(2) 6. Να ϐρείτε για ποιες τιµές του x, η συνάρτηση f(x) = x2 16 x 2 4x δίνει τιµή 2. 7. Να προσδιορίσετε το σύνολο τιµών των παρακάτω συναρτήσεων i. f(x) = x x 2 4 ii. g(x) = x2 + x + 1 x 2 + x + 2 8. ίνεται η συνάρτηση f(x) = 2x µε πεδίο ορισµού A = [ 1, 2]. Να ϐρείτε το σύνολο τιµών της. { αx 1 x < 0 9. Αν f(x) = β 2x 2 x 0 Να ϐρείτε τα α, β R, ώστε να είναι : f(0) = 3 και f( 2) = 1. Στη συνέχεια να ϐρείτε την τιµή της παράστασης : 10. Αν f(x) = { x + 2 x < 1 x 2 x 1 Να ϐρείτε το x ώστε : f(x) = 1 { 2 1, x ϱητός 11. Αν f(x) = 0, x άρητος A = 2f(0) 3f(1) 3f( 1 2 ) + 5f(1 2 ) i. Να ϐρεθούν τα f(0), f( 3), f(3500), f(π) ii. Να λυθεί η ανίσωση x + 1 f( 3) < f(1821) 12. ίνεται η συνάρτηση f(x) = 2x + 3, να δειχθεί ότι : i. f(α + β) = f(α) + f(β) 3 ii. f( α + β) f( α) + f( β) 3 13. Αν f(x) = x 2 2x + 3, να λύσετε την εξίσωση f(x + 1) 2f(2x) + 3f( 1) = 14 Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 10

14. Στο σύνολο Z των ακεραίων αριθµών, ορίζουµε τη συνάρτηση f(x) = 3( 1) x + 2( 1) x+1 { 1, x άρτιος i. Να αποδείξετε ότι f(x) = 1, x περιττός ii. Να ϐρείτε τις τιµές f( 23), f( 55), f(0), f(1000), f(28) Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 11

1.2 ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 1.2.1 ΘΕΩΡΙΑ Ερώτηση 1.8 Τι ονοµάζουµε γραφική παράσταση ή καµπύλη της f σε ένα καρτεσιανό σύστηµα συντεταγµένων Oxy; Τι είναι η εξίσωση της γραφικής παράστασης της f; Γραφική παράσταση µιας συνάρτησης f, που έχει πεδίο ορισµού το Α, ονοµάζουµε το σύνολο των σηµείων M(x, f(x)), για όλα τα x A. Εξίσωση της γραφικής παράστασης της ϕ είναι η εξίσωση y = f(x)που επαληθεύεται µόνο από τα Ϲεύγη (x, y) που είναι συντεταγµένες σηµείων της γραφικής παράστασης της f Ενα σηµείο σηµείο A(x o, y o ) είναι σηµείο της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f αν και µόνο αν y o = f(x o ) Σχήµα 1.1: Σηµείο γραφικής παράστασης Ερώτηση 1.9 Να γράψετε τα συµµετρικά του σηµείου M(x, y) ως προς τους άξονες, την αρχή των αξόνων O(0, 0) και την ευθεία y = x Το συµµετρικό ως προς τον xx είναι M (x, y) Το συµµετρικό ως προς τον yy είναι M ( x, y) Το συµµετρικό ως προς το Ο είναι M ( x, y) Το συµµετρικό ως προς την y = x είναι M (y, x) Ερώτηση 1.10 Να γράψετε και να αποδείξετε τον τύπο της απόστασης 2 σηµείων A(x 1, y 1 ) και B(x 2, y 2 ) Εχουµε, (AK) = x 2 x 1 και (BK) = y 2 y 1 Είναι : (AB) 2 = (AK) 2 + (BK) 2 = x 2 x 1 2 + y 2 y 1 2 = (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2 Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 12

Αρα (AB) = (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2 Ερώτηση 1.11 Ποιά συµπεράσµατα ϐγάζουµε από τη γραφική παράσταση συνάρτησης ; Πεδίο ορισµού Το πεδίο ορισµού της συνάρτησης f είναι το διάστηµα [α, ϐ), η προβολή της γραφικής παράστασης στον xx Σχήµα 1.2: Πεδίο ορισµού συνάρτησης Σύνολο τιµών Το σύνολο τιµών είναι της συνάρτησης f είναι το διάστηµα [γ, δ), η προβολή της γραφικής παράστασης στον yy Σχήµα 1.3: Σύνολο τιµών συνάρτησης Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 13

Η γραφική παράσταση σε σχέση µε τον xx Η γραφική παράσταση τέµνει τον xx στα σηµεία ϱ και µ τα οποία είναι ϱίζες της εξίσωσης f(x) = 0 Η γραφική παράσταση της f(x) είναι πάνω από τον xx στα διαστήµατα (α, ρ) (µ, β), στις λύσεις της ανίσωσης f(x) > 0 Η γραφική παράσταση της f(x) είναι κάτω από τον xx στο διάστηµα (ρ, µ),στις λύσεις της ανίσωσης f(x) < 0 Σχήµα 1.4: Σχετική ϑέση γραφικής παράστασης µε τον xx Μονοτονία Η γραφική παράσταση είναι ϕθίνουσα στα διαστήµατα (α, ɛ) (0, ζ) εκεί που ισχύει x 1, x 2 D f µε x 1 < x 2 f(x 1 ) < f(x 2 ) Η γραφική παράσταση είναι αύξουσα στα διαστήµατα (ɛ, 0) (ζ, β) εκεί που ισχύει x 1, x 2 D f µε x 1 < x 2 f(x 1 ) > f(x 2 ) Σχήµα 1.5: Μονοτονία συνάρτησης Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 14

Ακρότατα-Μέγιστο Η γραφική παράσταση έχει τοπικά µέγιστα στο α το f(α) = η και στο 0 το f(0) = θ στα x o όπου x που ανήκει σε µια περιοχή του x o ισχύει f(x) f(x 0 ) Ολικό µέγιστο έχω στο α το f(α) = η γιατί θ < η Ρ ΠΡΟΣΟΧΗ!!! Στο β δεν έχω µέγιστο γιατί δεν ανήκει στο πεδίο ορισµού! Σχήµα 1.6: Μέγιστο συνάρτησης Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 15

Ακρότατα-Ελάχιστο Η γραφική παράσταση έχει τοπικά ελάχιστα στο ɛ το f(ɛ) = γ και στο ζ το f(ζ) = γ στα x o όπου x που ανήκει σε µια περιοχή του x o ισχύει f(x) f(x 0 ) Ολικό ελάχιστο έχω στο ɛ και στο ζ γιατί f(ɛ) = f(ζ)) = θ Σχήµα 1.7: Ελάχιστο συνάρτησης Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 16

Ερώτηση 1.12 Ποια συµπεράσµατα ϐγάζουµε από τις γραφικές παραστάσεις δύο συναρτήσεων ; Κοινά σηµεία δύο γραφικών παραστάσεων Οι γραφικές παραστάσεις τέµνονται στα σηµεία µε τετµηµένες x 1, x 2, x 3 οι οποίες είναι οι λύσεις της εξίσωσης f(x) = g(x) Σχήµα 1.8: Κοινά σηµεία 2 γραφικών παραστάσεων Η f µεγαλύτερη από την g Η γραφική παράσταση της f είναι πάνω από τη γραφική παράσταση της g στα διαστήµατα (x 1, x 2 ) (x 3, β) Τα οποία είναι λύσεις της ανίσωσης f(x) > g(x) Σχήµα 1.9: Σχετικές ϑέσεις 2 γραφικών παραστάσεων Ι Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 17

Η f µικρότερη από την g Η γραφική παράσταση της f είναι κάτω από τη γραφική παράσταση της g στα διαστήµατα (α, x 1 ) (x 2, x 3 ) Τα οποία είναι λύσεις της ανίσωσης f(x) < g(x) Σχήµα 1.10: Σχετικές ϑέσεις 2 γραφικών παραστάσεων ΙΙ Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 18

Μελέτη συνάρτησης Σχήµα 1.11: Μελέτη συνάρτησης Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 19

1.2.2 ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ Θέµα 1.7 Να ϐρείτε το συµµετρικό του A( 2, 5), ως προς : i. τον xx ii. τον yy iii. το 0(0, 0) iv. την διχοτόµο 1ου 3ου τεταρτηµορίου y = x Μεθοδολογία 1.3 Το συµµετρικό του M(x, y) ως προς τον xx είναι M (x, y) δηλαδή κρατάω ίδιο το x και αλλάζω το πρόσηµο του y ως προς τον yy είναι M ( x, y) δηλαδή αλλάζω το πρόσηµο του x και κρατάω ίδιο το y ως προς το Ο είναι M ( x, y) δηλαδή αλλάζω το πρόσηµο του x και του y ως προς την y = x είναι M (y, x) δηλαδή αλλάζω τη ϑέση του x και του y Λύση 1.7 i. Το συµµετρικό του A( 2, 5), ως προς τον xx είναι το ( 2, 5) ii. Το συµµετρικό του A( 2, 5), ως προς τον yy είναι το (2, 5) iii. Το συµµετρικό του A( 2, 5), ως προς το 0(0, 0) είναι το (2, 5) iv. Το συµµετρικό του A( 2, 5), ως προς την y = x είναι το (5, 2) Θέµα 1.8 Να προσδιορίσετε το λ R ώστε να είναι συµµετρικά ως προς τον xx τα A( 1, 5) και B( 1, λ + 1) Λύση 1.8 Για να είναι συµµετρικά ως προς τον xx ϑα πρέπει να έχουν ίσες τετµηµένες 1 = 1 και τεταγµένες µε αντίθετα πρόσηµα. 5 = 25 = λ + 1 λ = 24 λ + 1 Θέµα 1.9 Να αποδείξετε ότι τα σηµεία A(2, 2), B( 1, 1), Γ(3, 6) είναι κορυφές ισοσκελούς τριγώνου. Μεθοδολογία 1.4 Θα υπολογίσω τα µήκη των πλευρών ΑΒ, ΑΓ, ΒΓ και για να είναι το τρίγωνο ισοσκελές, ϑα πρέπει τουλάχιστον οι 2 από τις τρεις πλευρές να είναι ίσες. Λύση 1.9 AB = (2 + 1) 2 + (2 1) 2 = 10 AΓ = (3 2) 2 + ( 6 2) 2 = 65 BΓ = (3 + 1) 2 + ( 6 1) 2 = 65 Άρα AΓ = BΓ Θέµα 1.10 Να αποδείξετε ότι τα σηµεία A(1, 1), B(3, 1), Γ(1, 3) είναι κορυφές ισοσκελούς και ορθογωνίου τριγώνου. Μεθοδολογία 1.5 Θα υπολογίσω τα µήκη των πλευρών ΑΒ, ΑΓ, ΒΓ και για να είναι το τρίγωνο ισοσκελές, ϑα πρέπει τουλάχιστον οι 2 από τις τρεις πλευρές να είναι ίσες, ενώ για να είναι ορθογώνιο, ϑα πρέπει τα µήκη των πλευρών να ικανοποιούν το Πυθαγόρειο Θεώρηµα Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 20

Λύση 1.10 AB = (3 1) 2 + (1 1) 2 = 2 AΓ = (1 1) 2 + (3 1) 2 = 2 BΓ = (3 1) 2 + ( 3 + 1) 2 = 8 Άρα AΓ = AB και BΓ 2 = 8, AB 2 + AΓ 2 = 4 + 4 = 8 Άρα BΓ 2 = AB 2 + AΓ 2 οπότε το τρίγωνο είναι και ορθογώνιο. Θέµα 1.11 Να εξετάσετε αν το σηµείο Α(-1, 1) ανήκει στη γραφική παράσταση της συνάρτησης µε τύπο f(x) = x x 2 + 1 Μεθοδολογία 1.6 Ενα σηµείο A(x o, y o ) ανήκει στη γραφική παράσταση της συνάρτησης y = f(x) αν και µόνο αν y o = f(x o ) Λύση 1.11 Για να είναι το Α(-1, 1) σηµείο της f(x) = ϑα πρέπει να ισχύει f( 1) = 1. f( 1) = x x 2 + 1 1 ( 1) 2 + 1 = 1 1 άρα το Α(-1, 1) δεν είναι σηµείο της f(x) = x 2 x 2 + 1 Θέµα 1.12 ίνεται η συνάρτηση f(x) = 5x 1. Να ϐρείτε το κ R, ώστε η γραφική παράσταση της συνάρτησης να διέρχεται από το A(2, κ). Λύση 1.12 Αφού η γραφική παράσταση της f διέρχεται από το το A(2, κ) ϑα πρέπει : f(2) = κ 5 2 1 = κ κ = 9 Θέµα 1.13 Να ϐρείτε σε ποια σηµεία τέµνει τους άξονες η συνάρτηση f(x) = x 2 4 και σε ποια διαστήµατα είναι πάνω από τον xx. Μεθοδολογία 1.7 Για να ϐρω σε ποιο σηµείο η γραφική παράσταση της f τέµνει τον yy, υπολογίζω την τιµή της συνάρτησης f(0). Για να ϐρω σε ποιο σηµείο η γραφική παράσταση της f τέµνει τον xx, λύνω την εξίσωση f(x) = 0. Για να ϐρω σε ποια διαστήµατα η γραφική παράσταση της f είναι πάνω από τον xx, λύνω την ανίσωση f(x) > 0, ενώ για κάτω από τον xx, την f(x) < 0 Λύση 1.13 f(0) = 0 2 4 = 4. Άρα τέµνει τον yy στο A(0, 4) f(x) = 0 x 2 4 = 0 x = ±2. Άρα τέµνει τον xx στο B(2, 0) και Γ( 2, 0) f(x) > 0 x 2 4 > 0 x 2 > 4 x > 4 x (, 2) (2, + ) Θέµα 1.14 Εχουµε τις συναρτήσεις f(x) = x 2 5x + 4 και g(x) = 2x 6. Να ϐρείτε : i. Τα κοινά σηµεία των C f, C g ii. Τις τετµηµένες των σηµείων της C f που ϐρίσκονται κάτω από τη C g Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 21

Μεθοδολογία 1.8 Για να ϐρω σε ποια σηµεία η γραφική παράσταση της f τέµνει τη γραφική παράσταση της g, λύνω την εξίσωση f(x) = g(x). Για να ϐρω σε ποια διαστήµατα η γραφική παράσταση της f είναι πάνω από τη γραφική παράσταση της g, λύνω την ανίσωση f(x) > g(x). Λύση 1.14 i. f(x) = g(x) x 2 5x + 6 = 2x 6 x 2 7x + 12 = 0, = 1 x 1,2 = 5 ± 1 2 x 1 = 3, x 2 = 2 Τα κοινά σηµεία των C f, C g είναι τα A(3, g(3)) = (3, 0) και B(2, g(2)) = (2, 2) ii. Για την ανίσωση f(x) > g(x) x 2 7x + 12 > 0 έχω τον παρακάτω πίνακα προσήµων : x 2 3 + x 2 7x + 12 + 0 0 + Άρα οι τετµηµένες των σηµείων της C f που ϐρίσκονται κάτω από τη C g είναι τα x (, 2) (3, + ) Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 22

1.2.3 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ 1. Να ϐρείτε τα συµµετρικά σηµεία, ως προς τον xx, τον yy, την αρχή των αξόνων O(0, 0) και τη διχοτόµο 1ου 3ου τεταρτηµορίου y = x, των παρακάτω σηµείων : i. το A(1, 2) ii. το B( 2, 3) iii. το Γ( 3, 1) iv. το (0, 5) 2. Να αποδείξετε ότι τα σηµεία Α(1, 2), Β(4, -2) και Γ(-3, 5) είναι κορυφές ισοσκελούς τριγώνου. 3. Να αποδείξετε ότι τα σηµεία Α(1, -1), Β(-1, 1) και Γ(4, 2) είναι κορυφές ορθογωνίου τριγώνου. 4. Να ϐρείτε τα κοινά σηµεία των παρακάτω συναρτήσεων µε τους άξονες, καθώς και τα διαστήµατα στα οποία, οι γραφικές τους παραστάσεις ϐρίσκονται πάνω από τον xx : i. f(x) = x + 3 ii. g(x) = 2x + 8 iii. h(x) = x 2 3x iv. το k(x) = x2 x x 2 5. ίνεται η συνάρτηση f(x) = 2x 3 + (κ 1) 2, κ R. Να ϐρείτε το κ R, ώστε η γραφική παράσταση της συνάρτησης να διέρχεται από το O(0, 0). Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 23

1.3 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f(x) = αx + β 1.3.1 ΘΕΩΡΙΑ Ερώτηση 1.13 Ποια εξίσωση λέγεται εξίσωση ευθείας ; Η συνάρτηση f(x) = αx + β έχει γραφική παράσταση µια ευθεία, µε συντελεστή διεύθυνσης λ ɛ = α = ɛφω και τέµνει τον yy στο σηµείο A(0, β) Σχήµα 1.12: Ευθεία Ερώτηση 1.14 Ποιος είναι ο συντελεστής διεύθυνσης µιας ευθείας ; Ο συντελεστής διεύθυνσης µιας ευθείας, είναι η εφαπτόµενη της γωνιάς που σχηµατίζει η ευθεία µε τον xx Σχήµα 1.13: Συντελεστής διεύθυνσης Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 24

Ερώτηση 1.15 Τι συµπεράσµατα ϐγάζουµε αν ο συντελεστής διεύθυνσης είναι ϑετικός, ο συντελεστής διεύθυνσης είναι αρνητικός ή µηδέν ; Ο συντελεστής διεύθυνσης είναι ϑετικός, όταν η γωνία που σχηµατίζει η ευθεία µε τον xx είναι οξεία. (0 o ω 90 o ) Ο συντελεστής διεύθυνσης είναι αρνητικός, όταν η γωνία που σχηµατίζει η ευθεία µε τον xx είναι αµβλεία. (90 o ω 180 o ). Σχήµα 1.14: Συντελεστής διεύθυνσης ϑετικός Σχήµα 1.15: Συντελεστής διεύθυνσης αρνητικός Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 25

Ο συντελεστής διεύθυνσης είναι µηδέν, όταν η ευθεία είναι παράλληλα µε τον µε τον xx, δηλαδή ω = 0 o. Σχήµα 1.16: Συντελεστής διεύθυνσης 0 Ρ ΠΡΟΣΟΧΗ!!! Οταν ο συντελεστής διεύθυνσης δεν ορίζεται, η ευθεία είναι κάθετη στον xx δηλαδή ω = 90 o και δεν αποτελεί γραφική παράσταση συνάρτησης. Σχήµα 1.17: εν ορίζεται συντελεστής διεύθυνσης Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 26

Ερώτηση 1.16 Ποια είναι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) = αx ; Είναι µια ευθεία που έχει συντελεστή διεύθυνσης λ ɛ = α και διέρχεται από την αρχή των αξόνων. Σχήµα 1.18: Η ευθεία y = αx Ερώτηση 1.17 Ποιος είναι ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας που διέρχεται από τα σηµεία A(x 1, y 1 ) και B(x 2, y 2 ); Είναι λ = y 2 y 1 x 2 x 1, x 1 x 2. Σχήµα 1.19: Συντελεστής διεύθυνσης από 2 σηµεία Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 27

Ερώτηση 1.18 Τι ισχύει για τις παράλληλες ευθείες ; Αν οι συντελεστές διεύθυνσης 2 ευθειών ορίζονται, τότε : Οι ευθείες είναι παράλληλες αν-ν οι συντελεστές διεύθυνσης είναι ίσοι ɛ 1 ɛ 2 λ 1 = λ 2 Σχήµα 1.20: Παράλληλες ευθείες Ερώτηση 1.19 Τι ισχύει για τις κάθετες ευθείες ; Αν οι συντελεστές διεύθυνσης 2 ευθειών ορίζονται, τότε : Οι ευθείες είναι κάθετες αν και µόνο αν οι συντελεστές διεύθυνσης είναι αντίθετοι και αντίστροφοι ɛ 1 ɛ 2 λ 1 λ 2 = 1 Σχήµα 1.21: Κάθετες ευθείες Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 28

1.3.2 ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ Θέµα 1.15 ίνεται η ευθεία y = x 5, να ϐρείτε : i. Το συντελεστή διεύθυνσης. ii. Τη γωνία που σχηµατίζει η ευθεία µε τον xx. iii. Σε ποια σηµεία τέµνει τους άξονες. iv. Το εµβαδόν του τριγώνου, που σχηµατίζει η ευθεία µε τους άξονες. Λύση 1.15 1. Επειδή η εξίσωση της ευθείας είναι της µορφής y = αx + β, ο συντελεστής διεύθυνσης είναι ο συντελεστής του x. Άρα λ = 1 2. Γνωρίζουµε ότι, λ ɛ = α = ɛφω = ɛφω = 1 = ω = 45 o 3. Η ευθεία τέµνει τον xx για y = 0, δηλαδή 0 = x 5 = x = 5. Στο σηµείο A(5, 0) τέµνει τον yy για y = 0, δηλαδή x = 0 5 = y = 5. Στο σηµείο B(0, 5) 4. Το εµβαδόν του τριγώνου που σχηµατίζει µε τους άξονες είναι : E = 1 2 (OA)(OB) = 1 25 5 5 = 2 2 τ.µ. Θέµα 1.16 Να ϐρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σηµεία A(2, 1) και B(3, 1). Λύση 1.16 Η εξίσωση της ευθείας είναι της µορφής y = αx + β Άρα τα σηµεία από τα οποία διέρχεται την επαληθεύουν y = αx + β ==== A(2,1) 1 = 2α + β y = αx + β ===== B(3, 1) 1 = 3α + β Αφαιρώντας κατά µέλη έχουµε : α = 2 Αντικαθιστώντας στην πρώτη εξίσωση έχουµε : 1 = 2α + β ==== α= 2 1 = 6 + β = β = 5 Άρα η εξίσωση είναι y = 2x + 5. Θέµα 1.17 Να ϐρείτε το συντελεστή διεύθυνσης της ευθείας που διέρχεται από τα σηµεία A(2, 4) και B( 2, 0) και τη γωνιά που σχηµατίζει η ευθεία µε τον xx. Λύση 1.17 Είναι λ = y 2 y 1 A(2,4) 4 0, x 1 x 2 ===== x 2 x 1 B( 2,0) 2 + 2 = 1 Επειδή ɛφ45 o = 1 = ω = 45 o Θέµα 1.18 Να ϐρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το το σηµείο A(2, 3) και είναι παράλληλη στην y = 4x 3. Λύση 1.18 Η ευθεία έχει εξίσωση της µορφής y = αx + β. υο ευθείες όταν είναι παράλληλες, έχουν ίσους συντελεστές διεύθυνσης. Επειδή η y = 4x 3 έχει συντελεστή διεύθυνσης 4, οπότε ϑα πρέπει α = 4. Άρα y = 4x + β A(2,3) ==== 3 = 4 2 + β = β = 5. Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 29

και η ευθεία είναι y = 4x 5. Θέµα 1.19 Να ϐρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το το σηµείο A( 2, 1) και είναι κάθετη στην y = 2x + 5. Λύση 1.19 Η ευθεία έχει εξίσωση της µορφής y = αx + β. υο ευθείες όταν είναι κάθετες, έχουν συντελεστές διεύθυνσης αντίστροφους και αντίθετους (έχουν γινόµενο 1). Επειδή η y = 2x + 5 έχει συντελεστή διεύθυνσης 2, ϑα πρέπει α 2 = 1 α = 1 2 Άρα y = 1 2 x + β ===== A( 2,1) 1 = 1 ( 2) + β = β = 0 2 και η ευθεία είναι y = 1 2 x. Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 30

Θέµα 1.20 Να προσδιορίσετε το λ R ώστε οι παρακάτω ευθείες να είναι παράλληλες y = (λ 2 + 3 λ )x + 2 (ɛ 1 ) και y = 4x + 5 (ɛ 2 ). Λύση 1.20 υο ευθείες όταν είναι παράλληλες, έχουν ίσους συντελεστές διεύθυνσης. Άρα, λ 2 + 3 λ = 4 λ 2 + 3 λ 4 = 0 ϑέτω λ = ω κι έχω : ω 1 = 1 ω 2 + 3ω 4 = 0 ω 2 = 4 λ = 1 λ = 4, αδύνατη λ = ±1 Θέµα 1.21 Να προσδιορίσετε το λ R ώστε οι παρακάτω ευθείες να είναι κάθετες y = ( λ 2 + 3 2 λ)x + 2 (ɛ 1) και y = 2x + 5 (ɛ 2 ) Λύση 1.21 υο ευθείες όταν είναι κάθετες, όταν οι συντελεστές διεύθυνσής τους έχουν γινόµενο -1. ( λ 2 + 3 2 λ)( 2) = 1 2λ2 + 3λ 1 = 0 λ = 1 λ = 2 Θέµα 1.22 Να ϐρείτε την εξίσωση της ευθείας, που είναι κάθετη στην y = 1 3 x διέρχεται από το σηµείο τοµής των ευθειών y = x και y = x + 1. και Λύση 1.22 Το σηµείο τοµής των ευθειών y = x και y = x + 1 είναι η λύση του συστήµατος y = x x = x + 1 y = x + 1 x = 1 2 αντικαθιστώντας στην y = x x= 1 2 === y = 1 2 το κοινό σηµείο των ευθειών y = x και y = x + 1 είναι το A( 1 2, 1 ) Η ευθεία που 2 ψάχνουµε έχει εξίσωση της µορφής y = αx + β Ως γνωστό, δυο ευθείες όταν είναι παράλληλες, έχουν ίσους συντελεστές διεύθυνσης η y = 1 3 x έχει συντελεστή διεύθυνσης 1 3, Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 31

άρα ϑα πρέπει α = 1 3 Εποµένως y = 1 3 x + β A( 1 2,1 2 ) ===== 1 2 = 1 3 1 2 + β = β = 1 2 + 1 6 = β = 2 3 Άρα η ευθεία είναι y = 1 3 x + 2 3 Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 32

1.3.3 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ 1. Να ϐρείτε τη γωνία που σχηµατίζουν µε τον xx οι παρακάτω ευθείες : i. y = x + 2 ii. 3y = x + 4 iii. y 4 = 0 iv. 3x 6 = 0 v. y = 3x + 1 vi. x + y + 3 = 0 2. Να ϐρείτε την τιµή του λ R ώστε η ευθεία y = 3λ + 4 x + 2 να σχηµατίζει µε τον xx γωνία 45 o 3. Να προσδιορίσετε την εξίσωση της ευθείας που σχηµατίζει τον xx γωνία 60 o και διέρχεται από το σηµείο A( 3, 1). 4. Να προσδιορίσετε την εξίσωση της ευθείας που είναι παράλληλη στην 6x 2y+3 = 0 και διέρχεται από το σηµείο A(3, 4). 5. Να προσδιορίσετε την εξίσωση της ευθείας που είναι κάθετη στην y = 1 x + 1 και διέρχεται από το σηµείο A( 1, 2). 4 3x + 2, x 2 6. ίνεται η συνάρτηση, 2αx + 4, x 2 i. Να προσδιορίσετε το α R y = 4f(1) β 2 x + 3 ii. Να ϐρείτε το β R ώστε οι ευθείες y = (β + 1) 2 x + 1821 παράλληλες. x, x < 0 7. Να ϕτιάξετε την γραφική παράσταση της f(x) = 2, 0 x < 3 3x 7, x 3 y = (α 2 4α)x + 3α + 1 = 0 8. ίνονται οι ευθείες y = (α + 14)x 5 i. Να προσδιορίσετε το α R ώστε οι ευθείες να είναι παράλληλες. ii. Να προσδιορίσετε το α R ώστε οι ευθείες να ταυτίζονται. 9. Να προσδιορίσετε το λ R ώστε η ευθεία y = (λ + 2)x + 4 να είναι : i. παράλληλη στον xx. ii. παράλληλη στην y = 2 3 x 4. να είναι iii. παράλληλη στην y = (λ 2 )x + 2. 10. Να προσδιορίσετε το λ R ώστε η ευθεία y = λ 1 1 2λ x 5 λ να είναι : 2λ 1 i. παράλληλη στον xx. ii. παράλληλη στην y = x + 1. iii. διερχόµενη από την αρχή των αξόνων. iv. διερχόµενη από το σηµείο A(1, 2) 11. Να προσδιορίσετε το λ R ώστε τα σηµεία A(3, 2) B( 1, 4) Γ(λ, λ 1) να είναι συνευθειακά. 12. Να αποδείξετε ότι οι ευθείες y = (λ + 2)x λ 1, που προκύπτουν για τις διάφορες Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 33

τιµές του λ R, διέρχονται από το ίδιο σηµείο. 13. Θεωρούµε τη συνάρτηση f : R R, µε f(x) = 3 2 x + 1 2 i. Να ϐρείτε την τιµή της παράστασης A = f( 1) + f(0) + f( 2) + f(2) ii. Να ϕτιάξετε τη γραφική παράσταση C f της f iii. Να ϐρείτε ένα σηµείο της γραφικής παράστασης της f στο οποίο η τετµηµένη είναι τριπλάσια από την τεταγµένη. iv. Να προσδιορίσετε το α R ώστε το σηµείο N( α + 1, 2α 1 ) να είναι σηµείο 3 της C f. 2 14. ίνεται η συνάρτηση f(x) = λx + 2, λ > 0. Να ϐρείτε : i. Τα σηµεία τοµής της C f µε τους άξονες. ii. Το εµβαδόν του τριγώνου, που σχηµατίζει η C f µε τους άξονες. iii. Την τιµή του λ ώστε το εµβαδόν να είναι 2 τ.µ. 15. ίνεται η συνάρτηση f : R R, µε f(x) = 3x + 1 i. Να ϐρείτε τα α, β ώστε τα σηµεία M(α, 5) και N(2, β + 5) να ανήκουν στην C f ii. Να δείξετε ότι τα σηµεία A(0, 1), B(1, 2), Γ(2, 5), ( 1, 0) είναι συνευ- 3 ϑειακά. iii. Να ϕτιάξετε τη γραφική παράσταση της f. 16. Εστω η συνάρτηση f : R R, µε f(x) = nx + n 4, h R i. Να ϐρείτε την τιµή n για την οποία, η γραφική παράσταση της f, διέρχεται από το A(n, 2) ii. Να ϐρείτε την τιµή n για την οποία, η γραφική παράσταση της f, σχηµατίζει µε τους άξονες, τρίγωνο µε εµβαδόν E = n 2 2αx + 5, x < 0 17. Εστω η συνάρτηση f : R R, µε f(x) = 3x + β, x 0 i. Να ϐρείτε τα α, β αν η γραφική παράσταση της f διέρχεται από τα M( 1, 1) και N(2, 3) ii. Για α = 3 και β = 9 i. Να χαράξετε τη γραφική παράσταση της f ii. Να λύσετε την εξίσωση f(x) + f( x) = 7 Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 34

Βιβλία Ιστοσελίδες 2. Βιβλιογραφία 2.1 Βιβλία 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 2.2 Μπαραλός Αλγεβρα Κυριακόπουλος Αλγεβρα Μαυρογιάννης Αλγεβρα Παπακωνσταντίνου Αλγεβρα Σχολικό ΟΕ Β Αλγεβρα Μπάρλας Αλγεβρα Λουκόπουλος Αλγεβρα Μιχαηλιδης Αλγεβρα Ιστοσελίδες