6. ΘΟΡΥΒΟΣ 6.. Γενικά Θόρυβος (noise) είναι κάθε ανεπιθύμτο σήμα το οποίο υπερτίθεται στο μεταδιδόμενο σήμα πλροφορίας και προκαλεί τν αλλοίωσή του. Αν και οι πγές του θορύβου ενδέχεται να είναι εξωγενείς ως προς το τλεπικοινωνιακό σύστμα (φυσικός θόρυβος, θόρυβος από εξωτερικές λεκτρικές διατάξεις κλπ.), ενδιαφέρει ο θόρυβος που δμιουργείται από τις διατάξεις του ίδιου του τλεπικοινωνιακού συστήματος (ενδογενής θόρυβος). Οι ενόττες που ακολουθούν αναφέρονται σε αυτόν τον τύπο θορύβου. 6.. Μαθματική περιγραφή του θορύβου 6... Πεδίο χρόνου και στατιστική περιγραφή Ο θόρυβος είναι στοχαστικό (τυχαίο) σήμα, υπό τν έννοια ότι κυματομορφή του n(t) δεν υπακούει σε συγκεκριμένο μαθματικό τύπο, αλλά λαμβάνει τυχαίες τιμές. Για το λόγο αυτόν, κατά τ μελέτ του θορύβου είναι ιδιαίτερα σμαντικές οι στατιστικές παράμετροί του, π.χ. μέσ τιμή και τυπική απόκλισ. Για τν κυματομορφή n(t) ισχύουν οι παρακάτω σχέσεις: Μέσ τιμή: μ <n(t)> = 0 (6.) Τυπική απόκλισ: σ [n(t) μ] [n(t) - 0] n (t) T n (t).dt (6.) όπου n είναι μέσ ισχύς του θορύβου. n Οι τιμές τς κυματομορφής n(t) του θορύβου ακολουθούν τν κανονική κατανομή (Gauss βλέπε και ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Π.). Η σχετική συνάρτσ πυκνόττας πιθανόττας δίνεται από τον τύπο Ο δείκτς n στο συμβολισμό τς ισχύος χρσιμοποιείται προκειμένου να μν υπάρχει σύγχυσ με το σύμβολο τς πιθανόττας. Γερ. Κ. Παγιατάκς: Τλεπικοινωνιακά Συστήματα 6.
(n(t)) = e n /σ (6.3) σ π υπό τν έννοια ότι πιθανόττα (n n(t) n ) n(t) να λάβει τιμές από n έως n (Volts) δίνεται από τον τύπο (n n(t) n ) = [n,n ] (n).dn (6.4) (n) max = σ π f(σ) = e / max 68,3% (βλ. εξίσωσ 6.6.α) μ=0 -σ σ n Η συνάρτσ πυκνόττας πιθανόττας (n(t)) του θορύβου έχει τις παρακάτω ιδιόττες: ( n(t)) = (n(t)) max (n(t)) = (0) = σ π (σ) = e / 0,6. σ π σ π (6.5.α) (6.5.β) = 0,6. (0) (6.5.γ) Τέλος, ισχύουν τα εξής: ( σ n(t) +σ) = [-σ, σ] (n).dn 68,3% ( σ n(t) +σ) = [-σ, σ] (n).dn 95,5% ( 3σ n(t) +3σ) = [-3σ, 3σ] (n).dn 99,7% (6.6.α) (6.6.β) (6.6.γ) Παράδειγμα: Έστω ότι μέσ ισχύς του θορύβου, σε ένα τλεπικοινωνιακό σύστμα, είναι Ρ n = μw = 0 6 W. Τότε από τν (6.) προκύπτει ότι σ = n = 0 W = 0 3 V = mv. Σύμφωνα με τις εξισώσεις (6.6), πιθανόττα ο θόρυβος να λάβει τιμές από mv έως + mv είναι 68,3%, πιθανόττα να λάβει τιμές από mv έως + mv είναι 95,5% ενώ πιθανόττα να λάβει τιμές από 3 mv έως +3 mv είναι 99,7%. Η πρακτική αξία τς διαπίστωσς αυτής είναι ότι, εάν για το τλεπικοινωνιακό σύστμα ο απαιτούμενος χρόνος ικανοποιτικής λειτουργίας είναι τς τάξς του 999,7% (δλαδή, ο ανεκτός χρόνος προβλματικής λειτουργίας είναι τς τάξς του 0,3% ή 4 min/μέρα), τα σήματα πλροφορίας θα πρέπει να έχουν ισχύ τέτοια ώστε να μν επρεάζονται από θορύβους 3 mv έως +3 mv. Γερ. Κ. Παγιατάκς: Τλεπικοινωνιακά Συστήματα 6. 6
6... Πεδίο συχνόττας Η έννοια του λευκού θορύβου Ο ενδογενής θόρυβος που δμιουργείται από τα στοιχεία ενός τλεπικοινωνιακού συστήματος, είναι, πρακτικά, ανεξάρττος από τ συχνόττα για όλο το φάσμα λειτουργίας των τλεπικοινωνιακών συστμάτων. Ένας θόρυβος τέτοιου τύπου χαρακτρίζεται «λευκός». Η πυκνόττα ισχύος G n (f) του λευκού θορύβου εκφράζεται ως d G n (f) n df = (σε Watts/Hz) (6.7) όπου σταθερά που εξαρτάται από τον τύπο του θορύβου ενώ ο συντελεστής προέρχεται από το γεγονός ότι (όπως εξγήθκε και στο κεφάλαιο 3) χρσιμοποιείται και ο μιάξονας των αρντικών συχνοτήτων.... G n (f) /... 0 f Παράδειγμα: Αν ο (λευκός) θόρυβος που δμιουργείται σε μια τλεπικοινωνιακή ζεύξ έχει πυκνόττα ισχύος G n (f) = = μw/hz και ζεύξ έχει εύρος ζώνς Blink = 00 khz, τότε μέσ ισχύς Ρ n του θορύβου τς ζεύξς είναι Ρ n =.Blink = ( μw/hz).(400 khz) = 400 mw Δύο σμαντικοί τύποι λευκού θορύβου είναι ο θερμικός θόρυβος (thermal noise) και ο θόρυβος βολής (shot noise). Ο θερμικός θόρυβος δμιουργείται από τν ακανόνιστ ροή των λεκτρονιών στις ωμικές αντιστάσεις ενώ ο θόρυβος βολής από τν τυχαία διάχυσ των φορέων αγωγιμόττας στις διοδικές επαφές. Ισχύουν τα εξής: Θερμικός θόρυβος: G n,ther (f) = = kt.r (W/Hz) για ωμική αντίστασ R (6.8.α) G n,ther (f) = = kt.re{z} (W/Hz) για εμπέδσ Z (6.8.β) Γερ. Κ. Παγιατάκς: Τλεπικοινωνιακά Συστήματα 6.3
Θόρυβος βολής: G n,shot (f) = = ei (W/Hz) (6.9) όπου k =,38x0 3 W/(Hz. o K) σταθερά Boltzman, T απόλυτ θερμοκρασία (σε ο Κ), R ωμική αντίστασ (σε Ω), Ζ εμπέδσ (σε Ω), e =,6x0 9 Cb το φορτίο του λεκτρονίου και Ι το ρεύμα (σε Α). Κατόπιν των ανωτέρω, οι ισχείς του θερμικού θορύβου και του θορύβου βολής προκύπτουν ίσες με Θερμικός θόρυβος: n,ther (f) = G n,ther (f).b =.Bn = 4.kT.R.B n (W) (6.0.α) n,ther (f) = G n,ther (f).b n =.Bn = 4.kT.Re{Z).B n (W) (6.0.β) Θόρυβος βολής: n,shot (f) = G n,shot (f).b n =.B = eibn (W) (6.) Κανονικοποιμέν και διαθέσιμ ισχύς θερμικού θορύβου Ως κανονικοποιμέν (normalised) ισχύς n,norm θερμικού θορύβου, ορίζεται ισχύς του θερμικού θορύβου που προκύπτει από αντίστασ Ω. Με βάσ τν (6.0.α) ισχύει ότι n,norm (f) = n, ther = 4.kT.B n (6.) R Ως διαθέσιμ (available) ισχύς θορύβου n, av χαρακτρίζεται ισχύς θορύβου που προκύπτει από αντίστασ 4.R (τετραπλάσια τς αντίστασς που εκδλώνει το θόρυβο). Από τν (6.0.α), προκύπτει ότι 4kTB R n, av = n = ktbn (6.3) 3 4R Οι σχέσεις (6.8) και (6.) που αφορούν το θερμικό θόρυβο, δίνονται με όρους τάσς θορύβου. Υπό τν έννοια αυτή, σχέσ (6.0.α) μπορεί να γραφεί ως n,ther (f) = <v n (t)> = 4.kT.R.B n. Στν περίπτωσ, που, αντί για τν τάσ, χρσιμοποιθεί το ρεύμα θορύβου, σχέσ πρέπει να γραφεί 4kTB ως <i n (t)> = <v n (t)/r > = n. R 3 Ο ορισμός προκύπτει ως εξής: Προκειμένου να έχουμε μέγιστ μεταφορά ισχύος από πγή (με εσωτερική αντίστασ R s ) σε φορτίο R L θα πρέπει, κατ αρχάς, να είναι R s = R L = R. Στν περίπτωσ αυτή, κανονικοποιμέν ισχύς θερμικού θορύβου που προκύπτει στο συνολικό κύκλωμα (όπου R tot = R s + R L = R) είναι ίσ με norm,total = R n. Από τν ισχύ αυτή, διαθέσιμ norm, total (available) στο φορτίο R L = R είναι μισή, συνεπώς av = = n. 4R Γερ. Κ. Παγιατάκς: Τλεπικοινωνιακά Συστήματα 6.4
6.3. Διέλευσ λευκού θορύβου από γραμμικό σύστμα 6.3.. Γενικά Σε περίπτωσ που λευκός θόρυβος εμφανιστεί στν είσοδο γραμμικού συστήματος (π.χ. φίλτρου), τότε, από τις (5.5) και (5.6), προκύπτει ότι ο θόρυβος εξόδου έχει φασματική πυκνόττα ισχύος G n,ο (f) που δίνεται από τ σχέσ G n,ο (f) = Η(f) G n,i (f) = Η(f) (6.4) (όπου έγινε χρήσ τς σχέσς G n,i (f) = που ισχύει για το λευκό θόρυβο). Από τν εξίσωσ (6.4), προκύπτει ότι μέσ ισχύς του θορύβου εξόδου δίνεται από τ σχέσ n,ο = G n,ο (f).df = Η(f) G n,i (f).df = Η(f).df (6.5) G n,i (f) = / H(f) G n,o (f) = Η(f) G n,i (f) Πεδίο f Διέλευσ από βαθυπερατό φίλτρο [0, Β] Στν περίπτωσ αυτή, το φάσμα ισχύος G n,ο (f) του θορύβου εξόδου έχει τ μορφή που απεικονίζεται στο παρακάτω σχήμα (G n,ο (f) = μόνο για το πεπερασμένο φασματικό διάστμα [ Β, Β]).... G n,o (f) /... Β 0 Β f Η μέσ ισχύς n,ο του θορύβου εξόδου προκύπτει με εφαρμογή τς εξίσωσς (6.5), λαμβανομένου υπόψ ότι Η(f) = (για f B). (6.5) n,ο = [ Β,Β] Η(f).df =.Β = Β (6.6) Γερ. Κ. Παγιατάκς: Τλεπικοινωνιακά Συστήματα 6.5
Παράδειγμα: Λευκός θόρυβος με πυκνόττα ισχύος G n (f) = = μw/hz διέρχεται από βαθυπερατό φίλτρο εύρους ζώνς B = 00 khz. Η μέσ ισχύς Ρ του θορύβου εξόδου. Ρ =.B = ( μw/hz).(00 khz) = 00 mw Διέλευσ από ζωνοπερατό φίλτρο [f,f ] (B=f -f ) Ζωνοπερατός θόρυβος Και εδώ, το φάσμα ισχύος G n,ο (f) του θορύβου εξόδου έχει σταθερή τιμή (ίσ με ) μόνο για το πεπερασμένο φασματικό διάστμα [f, f ] (και το αντίθετό του [ f, f ]). Η μέσ ισχύς n,ο του θορύβου εξόδου προκύπτει με εφαρμογή τς εξίσωσς (6.5), λαμβανομένου υπόψ ότι Η(f) = για f f f (και για f f f ). (6.5) n,ο = [-f,-f ],[f,f] Η(f).df =.(f f ) = (f f ) = Β (6.7) Παράδειγμα: Λευκός θόρυβος με πυκνόττα ισχύος G n (f) = = μw/hz διέρχεται από ζωνοπερατό φίλτρο που λειτουργεί στ ζών συχνοτήτων [f, f ] = [000, 00 khz]. Η μέσ ισχύς Ρ του θορύβου εξόδου B = f f = 00 000 = 0 khz Ρ =.B = ( μw/hz).(40 khz) = 40 mw Επισμαίνεται ότι δεδομένου ότι κάθε δομοστοιχείο ενός τλεπικοινωνιακού συστήματος (αλλά και το σύστμα αυτό καθεαυτό) είναι ουσιαστικά ένα ζωνοπερατό φίλτρο, ο θόρυβος που εμφανίζεται εντός του τλεπικοινωνιακού συστήματος είναι ζωνοπερατός 4. Τριγωνομετρικές συνιστώσες ζωνοπερατού θορύβου Κατά τ μελέτ τλεπικοινωνιακών συστμάτων παρουσία θορύβου (ιδιαίτερα κατά τ μελέτ τς συμπεριφοράς των δεκτών) είναι χρήσιμο ο ζωνοπερατός θόρυβος να εκφράζεται στ μορφή n(t) = n c (t).cos(πf z t) n s (t).sin(πf z t) (6.8) όπου οι n c (t) και n s (t) χαρακτρίζονται (αντίστοιχα) ως συνμιτονική και μιτονική συνιστώσα του θορύβου και f z κεντρική συχνόττα τς φασματικής ζώνς. 4 Ο βαθυπερατός θόρυβος που εξετάστκε παραπάνω είναι και αυτός μια ειδική περίπτωσ ζωνοπερατού θορύβου (f = 0, f = B). Γερ. Κ. Παγιατάκς: Τλεπικοινωνιακά Συστήματα 6.6
Η παραπάνω «τριγωνομετρική» έκφρασ του ζωνοπερατού προκύπτει με βάσ τον εξής συλλογισμό: Ο ζωνοπερατός θόρυβος μπορεί να εκφραστεί ως n(t) = A(t)cos(πf z t + θ(t)) = A(t)cos(πf z t)cos(θ(t)) A(t)sin(πf z t)sin(θ(t)) (6.9) όπου Α(t) και θ(t) βραδέως μεταβαλλόμενες τυχαίες διαδικασίες που εκφράζουν (αντίστοιχα) το πλάτος και τ φάσ του θορύβου. Θέτοντας A(t).cos(θ(t)) = n c (t) A(t).sin(θ(t)) = n s (t) (6.0) προκύπτει έκφρασ (6.8). Αν n, nc και ns, οι ισχείς του θορύβου και των συνιστωσών του, όπως δίνονται από τους τύπους n = <n(t) > nc = <n c (t) > ns = <n s (t) > (6.) ισχύει ότι nc = ns = n <n c (t) > = <n s (t) > = <n(t) > (6.) 6.3.. Iσοδύναμο εύρος ζώνς θορύβου Εάν θόρυβος n(t) διέρχεται από γραμμικό σύστμα με συνάρτσ μεταφοράς H(f), τότε ως ισοδύναμο εύρος ζώνς θορύβου B n στν έξοδο του συστήματος και στ συχνόττα f o ορίζεται παράμετρος B n = H(f ) o [-,+ ] H(f) df] = H(f ) o [ [0,+ ] H(f) df] = H(f ) o n,out (6.3) υπό τν έννοια ότι ισχύς εξόδου n,out του θορύβου μπορεί να γραφεί, απλά, ως n,out = H(f o ) B n (6.4) Γερ. Κ. Παγιατάκς: Τλεπικοινωνιακά Συστήματα 6.7
6.3.3. Ενεργός θερμοκρασία θορύβου Ενεργός θερμοκρασία πγής Ορίζεται ως T S = n, av, S kb n (6.5) (όπου n,av,s διαθέσιμ, από τν πγή, ισχύς θορύβου και Β n το ισοδύναμο εύρος ζώνς του θορύβου). Ενεργός θερμοκρασία ενισχυτή Ορίζεται ως T A = no, av, A (6.6) AkB n (όπου nο,av,a διαθέσιμ ισχύς του θορύβου στν έξοδο του ενισχυτή, Β n το ισοδύναμο εύρος ζώνς του θορύβου και A το κέρδος ισχύος του ενισχυτή). Ενεργός θερμοκρασία γραμμής μεταφοράς Μπορεί να αποδειχθεί ότι όπου α = T L = (α )T e (6.7) out in περιβάλλοντος (7 C = 90 K). ο συντελεστής εξασθένσς τς γραμμής και Τ e θερμοκρασία 6.3.4. Συντελεστής (παράγοντας) θορύβου Ως συντελεστής (παράγοντας) θορύβου (για γραμμικό σύστμα) ορίζεται το μέγεθος F = Διαθέσιμ ισχύς θορύβου στν έξοδο του συστήματος = n,ο (6.8) Διαθέσιμ ισχύς θορύβου στν έξοδο του συστήματος αν το σύστμα ήταν αθόρυβο A n,i Ένας εναλλακτικός ορισμός για το συντελεστή θορύβου F είναι ο Γερ. Κ. Παγιατάκς: Τλεπικοινωνιακά Συστήματα 6.8
F = Σματοθορυβικός λόγος στν είσοδο του συστήματος = SNR i (6.9) Σματοθορυβικός λόγος στν έξοδο του συστήματος SNR o όπου SNR i = s,i n,i, SNR o = s,ο n,ο (6.30) Δεδομένου ότι n,i = kt S B n = kt e B n (6.3) n,ο = A n,i + AkT A B n = A. kt e B n + AkT A B n = Ak(T e + T A )B n (6.3) (T S = T e = 90 o K ενεργός θερμοκρασία τς πγής, Β n το ισοδύναμο εύρος θορύβου, A και Τ A το κέρδος ισχύος και ενεργός θερμοκρασία του ενισχυτή). προκύπτει ότι 5 F = SNR SNR i o s,i n,i s,o n,o A n,i s,i n,i A s,i AkT B S A n,i AkT A n,i A B k(t e TA )B T kt B T e A e (6.33) (6.3) T A = (F ).T e (6.34) s,i n,i A s,o = A s,i n,o = A n,i + AkT A.B Για συστήματα διασυνδεδεμένα σε σειρά (με κέρδ ισχύος A,A, και συντελεστές θορύβου F, F, ισχύει ότι) F F3 F total = F +... A AA TA TA 3 Τ Α,total = Τ Α +... A A A (6.35) (6.36) 5 Στ βιβλιογραφία, αντί για τα σύμβολα s,i, n,i, s,o και n,o, πολλές φορές, χρσιμοποιούνται (αντίστοιχα) τα S i, N i, S o και Ν ο. Γερ. Κ. Παγιατάκς: Τλεπικοινωνιακά Συστήματα 6.9
6.4. Αυτοσυσχέτισ λευκού θορύβου Δεδομένου ότι αυτοσυσχέτισ r(τ) και πυκνόττα ισχύος G(f) αποτελούν ζεύγος Fourier, για το λευκό θόρυβο ισχύει ότι r n (τ) G n (f) = (6.37) οπότε, προκύπτει ότι r n (τ) =.δ(τ) (6.38) Η φυσική σμασία τς (6.38) είναι ακόλουθ. Δεδομένου ότι δ(τ) = 0 για τ 0, τα δείγματα του λευκού θορύβου είναι ασυσχέτιστα μεταξύ τους όσο συχνά και αν λαμβάνονται. Η κατάστασ διαφοροποιείται όταν ο θόρυβος διέλθει π.χ. από βαθυπερατό φίλτρο. Στν περίπτωσ αυτή, ο θόρυβος στν έξοδο δεν είναι λευκός, δε πυκνόττα ισχύος του G n,ο (f) δίνεται από το σχήμα που ακολουθεί.... G n,o (f) /... Β 0 Β f Στν περίπτωσ αυτή (και σύμφωνα με τν ενόττα 4.6) αυτοσυσχέτισ του θορύβου εξόδου λαμβάνει τ μορφή r nο (τ) = sin(πβτ) πβτ (6.39) Η φυσική σμασία τς (6.39) είναι ακόλουθ: Για χρονικά διαστήματα τ, τέτοια ώστε r nο (τ) 0, υφίσταται συσχέτισ μεταξύ των δειγμάτων του ζωνοπερατού θορύβου. Δεδομένου ότι για τ =, rnο (τ) = 0, προκειμένου να υφίσταται συσχέτισ μεταξύ των B δειγμάτων, τα δείγματα πρέπει να λαμβάνονται σε χρονικά διαστήματα μικρότερα των sec. B Γερ. Κ. Παγιατάκς: Τλεπικοινωνιακά Συστήματα 6.0
6.5. Ασκήσεις Άσκσ Η μέσ ισχύς του θορύβου, σε ένα τλεπικοινωνιακό σύστμα, εκτιμάται σε Ρ n = μw. Αν το σύστμα πρέπει να λειτουργεί με SNR = 0 db (τουλάχιστον), ο δε ανεκτός χρόνος προβλματικής λειτουργίας του συστήματος είναι τς τάξς του 0,3% (4 min/μέρα), να υπολογιστεί μέσ ισχύς που απαιτείται να έχουν τα σήματα πλροφορίας. Λύσ Από τν (6.) προκύπτει ότι σ = n = 0 6 W = 0 3 V = mv. Σύμφωνα με τις εξισώσεις (6.6), για να υπάρχει διαθεσιμόττα 99,7%, ο θόρυβος πρέπει να λαμβάνει τιμές από 3 mv έως +3 mv, δλαδή να έχει μέσ ισχύ τς τάξς του n = (3 mv) = (3x0 3 V) = 9x0 6 = 9 μw. Αφού SNR = 0 db = 0, θα πρέπει το σήμα πλροφορίας να έχει μέσ ισχύ s = 0 n = 900 μw, άρα οι τιμές που θα πρέπει να λαμβάνει είναι, (τουλάχιστον) από 30 mv έως +30 mv. Άσκσ Να υπολογιστεί φασματική πυκνόττα ισχύος του θορύβου στα άκρα του παρακάτω κυκλώματος: R = Ω L = H C = F R = Ω Λύσ (περίγραμμα) Z eq = (R +jωl) // // R jωc Z eq = 4ω 6 j 4 4ω 4ω 9 4ω 4 4ω 9 G n (ω) = kt.re{z eq } Γερ. Κ. Παγιατάκς: Τλεπικοινωνιακά Συστήματα 6.
Άσκσ 3 Να υπολογιστεί rms τάσ θορύβου v n,rms κατά μήκος του πυκνωτή του παρακάτω κυκλώματος: R C Λύσ (περίγραμμα) Z eq = R // G n,v (ω) = kt.re{z eq } = G n,v (ω).b = v n,rms jωc Άσκσ 4 Στν παρακάτω (μικροκυματικό) δέκτ εύρους ζώνς B ch = 4 ΜHz, να υπολογιστούν: (α) Ο (συνολικός) συντελεστής θορύβου F rec,total και ενεργός θερμοκρασία θορύβου T rec του δέκτ. (β) Η διαθέσιμ ισχύς ant τς κεραίας που θα δώσει σματοθορυβικό λόγο SNR o = 0 db στν έξοδο του τελευταίου ενισχυτή (είσοδο του φωρατή). Να θεωρθεί ότι θερμοκρασία περιβάλλοντος είναι Τ ο = 7 C = 90 K. Τ s = 4 K L = 0,4 db Ενισχυτής T = 4 K, A = 30 db Ενισχυτής F 3 = 6 db, A 3 = 0 db Ενισχυτής F 4 = db, A 4 = 60 db Φωρατής Λύσ (περίγραμμα) (α) F = 0 L /0 = 0 0,4/0 =,04 F = + T /T o F 3 = 0 6/0 F 4 = 0 /0 F F3 F rec,total = F +... =,064 A A A T eq = (F rec,total ).T o = 8,76 K (β) A = = = 0,955, 04 L S o = A A A 3 A 4 S i S o /N o = 0 SNR o /0 = 0 = 00 S i /N i = F rec,total (S o /N o ) S i = F rec,total (S o /N o ).N i = F rec,total (S o /N o ).ktb ch (T s +T eq ) = 0,8 pw Γερ. Κ. Παγιατάκς: Τλεπικοινωνιακά Συστήματα 6.
6.6. Παραπομπές Νασιόπουλος Α., Τλεπικοινωνίες, Εκδ. Αράκυνθος, 007: Ενόττα 8.. Κωττής Π., Διαμόρφωσ και Μετάδοσ Σμάτων, Εκδ. Τζιόλα 003: Κεφάλαιο. Κωνσταντίνου Φ., Καψάλς Χ., Κωττής Π., Εισαγωγή στις Τλεπικοινωνίες, Εκδ. Παπασωτρίου 995: Κεφάλαιο 3. Taub H., Schilling D. L., Τλεπικοινωνιακά Συστήματα, Εκδ. Τζιόλα 997: Κεφάλαια 7, 4. Γερ. Κ. Παγιατάκς: Τλεπικοινωνιακά Συστήματα 6.3