ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 06-07 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας v.koutras@fme.aegean.gr Τηλ: 7035468
Εκτίμηση δ.ε. για τη μέση διαφορά με δείγματα κατά ζεύγη Υπάρχουν περιπτώσεις στις οποίες χρειάζεται να κάνουμε μια στατιστική μελέτη για σύγκριση των μέσω δύο «θεραπειών», δηλαδή ουσιών ή διεργασιών ή διαφορετικών επιπέδων ενός παράγοντα ο οποίος επηρεάζει τα αποτελέσματα, αντιμετωπίζουμε συχνά το πρόβλημα της ανομοιογένειας του πειραματικού υλικού (πχ αντικειμένων, πειραματόζωων, υλικών κλπ) Λόγω αυτής της ανομοιογένειας προκύπτουν μετρήσεις με μεγάλη μεταβλητότητα, με αποτέλεσμα να βρίσκονται δ.ε. για τη διαφορά των μέσω επιδράσεων των «θεραπειών» με μικρή ακρίβεια (μεγάλο πλάτος) που δεν μπορούν να φανερώσουν μια ουσιαστική διαφορά στις μέσες επιδράσεις Ένας τρόπος για την εξουδετέρωση αυτής της μεταβλητότητας είναι να πάρουμε δείγματα κατά ζεύγη, δηλαδή να πάρουμε n ζευγάρια μετρήσεων με τις δύο «θεραπείες», όπου τα στοιχεία κάθε ζεύγους αντιστοιχούν στις ίδιες τιμές κάποιου εξωγενή παράγοντα
Εκτίμηση δ.ε. για τη μέση διαφορά με δείγματα κατά ζεύγη Για παράδειγμα, αν θέλουμε να συγκρίνουμε τις μέσες πυκνότητες ρευστότητας δυο διαλυμάτων, μπορούμε να πάρουμε n ζευγάρια μετρήσεων της ρευστότητας των δύο διαλυμάτων για διαφορετικές τιμές της θερμοκρασίας, όπου οι μετρήσεις σε κάθε ζευγάρι αντιστοιχούν στη ίδια τιμή της θερμοκρασίας. Αν η θερμοκρασία επηρεάζει σημαντικά τη ρευστότητα, θα υπάρχει μεγάλη μεταβλητότητα στις μετρήσεις καθενός διαλύματος από ζεύγος σε ζεύγος Η εξουδετέρωση της μεταβλητότητας μεταξύ των μετρήσεων διαφορετικών ζευγών γίνεται βασίζοντας τη στατιστική συμπερασματολογία στις διαφορές: D X των παρατηρήσεων κάθε ζεύγους. i i Y, ( i,,..., n) i Οι διαφορές αυτές αναμένεται να έχουν μικρότερη μεταβλητότητα από την μεταβλητότητα των Χ, Χ,, Χ n και τη μεταβλητότητα των Y, Y,, Y n
Εκτίμηση δ.ε. για τη μέση διαφορά με δείγματα κατά ζεύγη Υποθέσεις για τα ζεύγη (Χ i, Y i ). Για κάθε i =,,, n το ζεύγος (Χ i, Y i ) έχει διδιάστατη κανονική κατανομή. Τα τυχαία ζεύγη (Χ, Y ), (Χ, Y ),, (Χ n, Y n ) είναι ανεξάρτητα Υποθέσεις για τις διαφορές D i. Οι διαφορές D, D,, D n αποτελούν τυχαίο δείγμα από κανονικό πληθυσμό με μέση τιμή μ D Κάτω από αυτές τις προϋποθέσεις μπορούμε να κατασκευάσουμε ένα διάστημα εμπιστοσύνης τη διαφορά μ D των μέσων τιμών των παρατηρήσεων Χ i καιy i κάθε ζεύγους. Οι παρατηρούμενες διαφορές d, d,, d n είναι τιμές ενός τυχαίου δείγματος από κανονικό πληθυσμό με άγνωστη διασπορά: d t a, n όπου είναι η δειγματική μέση τιμή και s D η δειγματική τυπική απόκλιση των d i d s D n
Εκτίμηση δ.ε.για τη διαφορά δειγματικών αναλογιών με ανεξάρτητα δείγματα Υπάρχουν περιπτώσεις στις οποίες χρειάζεται να εκτιμήσουμε ένα διάστημα εμπιστοσύνης για τη διαφορά δυο αναλογιών p -p όπως για παράδειγμα όταν θέλουμε να συγκρίνουμε τα ποσοστά των ελαττωματικών προϊόντων που παράγονται από δύο διαφορετικές μηχανές ή δύο διαφορετικές διεργασίες παραγωγής, τα ποσοστά προτίμησης ενός υποψηφίου μεταξύ ανδρών και γυναικών μιας εκλογικής περιφέρειας κλπ Κάτω από τις κατάλληλες προϋποθέσεις και αν δυο δείγματα μεγέθους n και n είναι ανεξάρτητα, τυχαία και μεγάλα τότε το προσεγγιστικό 00(-α)% δ.ε. για τη διαφορά p -p των αναλογιών σε δύο πληθυσμούς είναι: z a ( n ) ( n )
Εκτίμηση δ.ε. για το λόγο των διασπορών δύο πληθυσμών με ανεξάρτητα δείγματα Σε αρκετές περιπτώσεις χρειάζεται να εκτιμήσουμε δ.ε. για το λόγο σ /σ των διασπορών δύο κανονικών πληθυσμών (όπως πχ όταν μας ενδιαφέρει αν οι διασπορές είναι ίσες) Το 00(-α)% δ.ε. για το λόγο σ /σ των διασπορών είναι: s s F s a, n, n, F a, n, n s Ανάλογα μπορούμε να βρούμε και το δ.ε. για το λόγο σ /σ των διασπορών δύο κανονικών πληθυσμών