Ιδιοσυναρτήσεις του αρμονικού ταλαντωτή Πολυώνυμα Hermite i) Δείξτε ότι δύο τυχαίες διαδοχικές ιδιοσυναρτήσεις του αρμονικού ταλαντωτή έχουν αντίθετη ομοτιμία. ii) Δείξτε ότι y n 0 ) ¹ 0, για n = 0,,... iii) Υπολογίστε τους αριθμούς Hermite H n º H n 0 ), για n = 0,,... Λύση i) Οι τελεστές καταστροφής και δημιουργίας του αρμονικού ταλαντωτή δίνονται, αντίστοιχα, από τις σχέσεις aˆ = aˆ = i ˆ pˆ çx+ i ˆ pˆ çx Στην αναπαράσταση θέσης, όπου x = x και pˆ = -i d, ο τελεστής δημιουργίας dx γράφεται aˆ x ) = i d d d xç -i = çx= çx dx dx dx aˆ x ) = d x dx Αν εισάγουμε την κλίμακα μήκους a = aˆ x ) = στην τελευταία σχέση, αυτή γράφεται x d ç - a ) dx a Εξάλλου, ο τελεστής ομοτιμίας P ορίζεται από τη σχέση P x = - x Έτσι, η δράση του τελεστή ομοτιμίας στην aˆ x )y n x ) μάς δίνει Pˆ aˆ x )y n x ) ) = aˆ - x )y n - x ) Με τη βοήθεια της ), η τελευταία ισότητα γράφεται -x) d x d Pˆ aˆ x )y n x ) ) = -a çç y n - x ) = ç - a y n - x ) = d -x) dx a a = -aˆ x )y n - x ) = -aˆ x ) Pˆy n x ) //07
Pˆ aˆ x )y n x ) ) = -aˆ x ) Pˆy n x ) ) Όμως Pˆy n x ) = ±y n x ), αφού οι ιδιοσυναρτήσεις y n x ) είναι είτε άρτιες ομοτιμία ) είτε περιττές ομοτιμία - ). Αν η y n x ) έχει ομοτιμία, δηλαδή αν Pˆy n x ) = y n x ), η ) μάς δίνει Pˆ aˆ x )y n x ) ) = -aˆ x )y n x ), δηλαδή η aˆ x )y n x ) έχει ομοτιμία -. Αν η y n x ) έχει ομοτιμία -, δηλαδή αν Pˆy n x ) = -y n x ), η ) μάς δίνει Pˆ aˆ x )y n x ) ) = aˆ x )y n x ), δηλαδή η aˆ x )y n x ) έχει ομοτιμία. Συμπεραίνουμε ότι οι y n x ) και aˆ x )y n x ) έχουν αντίθετη ομοτιμία. Από τη σχέση aˆ x )y n x ) = n + y n+ x ), που είναι η έκφραση της σχέσης aˆ n = n + n + στην αναπαράσταση θέσης, συμπεραίνουμε ότι η συνάρτηση aˆ x )y n x ) έχει ίδια ομοτιμία με την ιδιοσυνάρτηση y n + x ). Έτσι, καταλήγουμε ότι δύο τυχαίες διαδοχικές ιδιοσυναρτήσεις y n x ) και y n + x ) του αρμονικού ταλαντωτή έχουν αντίθετη ομοτιμία. Η ιδιοσυνάρτηση της βασικής κατάστασης του αρμονικού ταλαντωτή έχει τη μορφή x y 0 x ) = A exp ç -, a η κλίμακα μήκους του αρμονικού ταλαντωτή. Η y 0 x ) είναι επομένως άρτια. όπου A σταθερά και a = Έτσι, οι ιδιοσυναρτήσεις y n x ) είναι άρτιες, ενώ οι ιδιοσυναρτήσεις y n + x ) είναι περιττές, δηλαδή y n - x ) = y n x ) και y n + - x ) = -y n + x ) 3) για n = 0,,... Από την 3) παίρνουμε y n + -0 ) = -y n + 0 ) Þ y n + 0 ) = -y n + 0 ) Þ y n + 0 ) = 0 //07
, όλες οι περιττές ιδιοσυναρτήσεις μηδενίζονται στο μηδέν. Ακολούθως θα δείξουμε επαγωγικά ότι οι άρτιες ιδιοσυναρτήσεις δεν μηδενίζονται στο μηδέν, δηλαδή y n 0 ) ¹ 0, για n = 0,,... x ii) Για n = 0, είναι y 0 x ) = A exp ç -, και επομένως a y 0 0 ) = A exp 0 ) = A ¹ 0 Έστω ότι y 0 ) ¹ 0 Θα δείξουμε ότι y +) 0 ) ¹ 0 Με τη βοήθεια της σχέσης aˆ x )y n x ) = n + y n+ x ), υπολογίζουμε τη δράση του τελεστή a x ) στην ιδιοσυνάρτηση y x ), που είναι aˆ x )y x ) = aˆ x ) aˆ x )y x ) = aˆ x ) + y + x ) = = + aˆ x )y + x ) = + ) + )y + x ) aˆ x )y x ) = + ) + )y + x ) ) Εξάλλου, από την ), ο τελεστής a x ) είναι x d x d x d d d aˆ x ) = ç - a ç - a = ç ç - x - x + a a dx a dx ç a dx dx dx x d d d aˆ x ) = ç ç - x - x + a ç a dx dx dx x d d d aˆ x )y x ) = ç ç - x - x + a y x ) = ç a dx dx dx x d = ç ç y x ) - xy x ) - xy x ) ) + a y x ) = ç a dx x = ç ç y x ) - xy x ) -y x ) - xy x ) + a y x ) = ç a x = ç ç ç - y x ) - xy x ) + a y x ) ç ç a 3 //07
x ˆa x )y x ) = ç ç ç - y x ) - xy x ) + a y x ) ç ç a Συγκρίνοντας την τελευταία σχέση με την ), παίρνουμε x + + y x = ç ) ) + ) ç çç ç - y x ) - xy x ) + a y x ) a y + x ) = x ç ç ç - y x ) - xy x ) + a y x ) + ) + ) ç ç a y + 0 ) = -y + ) + ) 0 ) + a y 0 ) ) 5) Η y x ) είναι ιδιοσυνάρτηση ενέργειας E = ç + w, επομένως ικανοποιεί την εξίσωση y x ) + m E - x y x ) = 0 ç y 0 ) + me y 0 ) = 0 Αν πολλαπλασιάσουμε και τα δύο μέλη της προηγούμενης εξίσωσης με a, και στη συνέχεια χρησιμοποιήσουμε τη σχέση E = ç + w, θα πάρουμε me me a çy 0 ) + y 0 ) = 0 Þ a y 0 ) + a{ y 0) = 0 Þ E Þ a y 0 ) + y 0 ) = 0 Þ a y 0 ) + + )y 0 ) = 0 w { ç + w w a y 0 ) = - + )y 0 ) 6) Με τη βοήθεια της 6), η 5) γράφεται //07
y + 0 ) = =- -y 0) - + )y 0 ) ) = + ) + ) + ) y 0) = + ) + ) + y 0) + ) y + 0) = - + y 0 ) 7) + ) Εφόσον y 0 ) ¹ 0, από την 7) βλέπουμε ότι y +) 0 ) ¹ 0 y n 0 ) ¹ 0, για n = 0,,... iii) Οι ιδιοσυναρτήσεις του αρμονικού ταλαντωτή συνδέονται με τα πολυώνυμα Hermite με τον τύπο x y n x ) = H x exp ) ç-, ç n n n! p a x, a=. a είναι όπου x = x x x yn ç = ç H n ç exp ç - 8) a a n n! p a a Από το προηγούμενο ερώτημα y n + 0 ) = 0 ç H n + 0 ) = 0 Þ H n + 0 ) = 0 n + n + )! p a H n + = 0 για n = 0,,... Εξάλλου, από την 8) παίρνουμε x x x y ç = H exp ç- ç ç a a )! p a a 5 //07
και x x x y + ç = + H exp ç- ç + ç a a a + )! p a y 0 ) = ç H 0 ) )! p a και y + 0) = + ç H + 0 ) + )! p a Αν αντικαταστήσουμε τις δύο τελευταίες σχέσεις στην 7), θα πάρουμε + ) H + 0 ) = ç + ) + + )! p a Þ H + 0 ) = - + ) + ) ç H 0) Þ )! p a + + )! + ) + + H 0 = H 0) = ) ) ) )! + ) + ) 3 + + H 0 = - + H 0 Þ ) ) ) ) ) + ) Þ H +) 0 ) = - + ) H 0 ) =- H n+) 0 ) = - n + ) H n 0 ) 9) για n = 0,,... Για n = 0, η 9) μάς δίνει H 0 ) = - H 0 0 ) Για n = παίρνουμε H 0 ) = -*3H 0 ) = -) *3H 0 0 ) = -) **3H 0 0 ) Για n = παίρνουμε 6 6 H 6 0 ) = -*5 H 0 ) = -) 3 *3*5H 0 0 ) = -) **3*5 H 0 0 ) 3 Για n = 3 παίρνουμε 8 8 H 8 0 ) = -*7 H 6 0 ) = -) *3*5*7 H 0 0 ) = -) **3*5*7 H 0 0 ) Έστω ότι 6 //07
H 0 ) = -) **3*...* - ) H 0 0 ) Þ H 0 ) = -) - )!! H 0 0 ) Τότε H +) 0 ) = - + ) H 0 ) = - + ) -) - )!! H 0 0 ) = = -) + + - )!! H 0 0 ) H n +) 0 ) = -) n + n + n - )!! H 0 0 ) για n =,..., και H 0 ) = - H 0 0 ) Επειδή H 0 0 ) =, οι δύο τελευταίες σχέσεις γράφονται H n +) = -) n + n + n - )!! για n =,..., και H = - Σημείωση Με - )!! συμβολίζουμε το διπλό παραγοντικό του -, δηλαδή - )!! = *3*...* - ) Σπύρος Κωνσταντογιάννης Φυσικός, M.Sc. sonstan@otmail.com 7 //07