Μεθοδολογία Αζκήζεων Απλή Αρμονική Ταλάνηωζη Αξρηθά ζ αζρνιεζνύκε κε απιέο αζθήζεηο θαη ηη πιεξνθνξίεο κπνξνύκε λα εμάγνπκε αλ καο δώζνπλ κία από ηηο ηξεηο βαζηθέο εμηζώζεηο (ζέζεο, ηαρύηεηαο, επηηάρπλζεο). Πξηλ μεθηλήζνπκε αο ζπκεζνύκε ηηο ηξεηο εμηζώζεηο θίλεζεο ελόο ζώκαηνο πνπ εθηειεί Απιή Αξκνληθή Ταιάλησζε, απηέο είλαη νη: x A t θ ), u ( t θ ) θαη a ( t θ ). ( u a Παράδειγμα Έζησ όηη καο δίλνπλ ηελ εμίζσζε, x 56 t καο δίλνπλ κπνξνύκε εύθνια λα δνύκε όηη ηζρύεη:. Σύκθσλα κε ηελ εμίζσζε πνπ A 5m x 56 t 6r / s, δειαδή έρνπκε πιένλ όιεο ηηο απαξαίηεηεο x A( t θ ) θ πιεξνθνξίεο πξνθεηκέλνπ λα ππνινγίζνπκε όηη καο δεηεζεί. Μπνξνύκε λα ππνινγίζνπκε ηελ κέγηζηε ηαρύηεηα u A 56 3m / s, ηελ κέγηζηε επηηάρπλζε a A 5 6 5m s νπόηε πιένλ κπνξνύκε εύθνια λα / γξάςνπκε θαη ηηο άιιεο δύν εμηζώζεηο θίλεζεο ηνπ ζώκαηνο πνπ κειεηάκε: u 3 6 t θαη a 56 t Παξαηεξνύκε πσο ε γσληαθή ζπρλόηεηα θαη ε αξρηθή θάζε είλαη ίδηα θαη γηα ηηο ηξεηο εμηζώζεηο. Με ηνλ ίδην αθξηβώο ηξόπν ζα εξγαδόκαζηαλ αλ καο έδηλαλ κία άιιε εμίζσζε.
Παράδειγμα Γηα παξάδεηγκα αλ καο έδηλαλ ηελ εμίζσζε: κπνξνύκε λα δνύκε όηη ζα έρνπκε: π u 4 t. Πιένλ 4 u m / s u 4t 4 4r / s, δειαδή έρνπκε πιένλ όιεο ηηο u u t rad 4 απαξαίηεηεο πιεξνθνξίεο πξνθεηκέλνπ λα ππνινγίζνπκε όηη καο δεηεζεί. Μπνξνύκε λα ππνινγίζνπκε ην πιάηνο ηεο ηαιάλησζεο επηηάρπλζε a A 4 5 8m / s u A 4 5m, ηελ κέγηζηε νπόηε πιένλ κπνξνύκε εύθνια λα γξάςνπκε θαη ηηο άιιεο δύν εμηζώζεηο θίλεζεο ηνπ ζώκαηνο πνπ κειεηάκε: π π x 56t θαη a -8 6t 4 4 Αξθεηέο θνξέο κπνξεί λα καο δίλνπλ θάπνηεο πιεξνθνξίεο ηηο νπνίεο λα κελ πξνζέμνπκε ακέζσο. Γηα παξάδεηγκα ζηηο θξάζεηο: «έλα ζώκα πεξλάεη από ηε ζέζε ηζνξξνπίαο κε ηαρύηεηα m/s» ή «έλα ζώκα πνπ εθηειεί ΑΑΤ όηαλ ζηακαηάεη ζηηγκηαία απέρεη από ηελ ζέζε ηζνξξνπίαο ηνπ,5 m», καο δίλνπλ αξθεηέο πιεξνθνξίεο ηηο νπνίεο κπνξεί θαη λα κελ ηηο θαηαιάβνπκε κε κία απιή αλάγλσζε. Σηελ πξώηε πεξίπησζε αθνύ ην ζώκα πεξλάεη από ηελ ζέζε ηζνξξνπίαο ηόηε ε ηαρύηεηα απηή είλαη θαη ε κέγηζηε ηαρύηεηα, ελώ ζηελ δεύηεξε πεξίπησζε αθνύ ην ζώκα ζηακαηάεη ζηηγκηαία ηόηε απηή ζα είλαη θαη ε κέγηζηε απνκάθξπλζε, άξα θαη ην πιάηνο ηεο ηαιάλησζεο.
Αξρηθή θάζε Η αξρηθή θάζε κπνξεί λα θξύβεηαη κέζα ζηνλ ηξηγσλνκεηξηθό αξηζκό θαη λα κελ ην πξνζέμνπκε. Γηα παξάδεηγκα αλ καο δώζνπλ ηελ εμίζσζε απνκάθξπλζεο x 4 6t, κε κία πξώηε καηηά ζα πεη θαλείο πσο ε αξρηθή θάζε είλαη κεδέλ. Αλ πξνζέμνπκε ιίγν θαιύηεξα όκσο ζα δνύκε πσο αληί γηα εκίηνλν ζην ηξηγσλνκεηξηθό έρνπκε ζπλεκίηνλν. Κάλνληαο ρξήζε γλώζεσλ πνπ έρνπκε από ην κάζεκα ηεο Άιγεβξαο Β Λπθείνπ κπνξνύκε εύθνια λα θαηαιάβνπκε όηη κπνξνύκε λα γξάςνπκε: x 4 6t 4 6t, άξα ε αξρηθή θάζε είλαη 9. Γεληθά όηαλ ε αξρηθή θάζε είλαη 9, νη εμηζώζεηο θίλεζεο ζα γίλνπλ: x t, u u t θαη a a t Δπίζεο αληί λα καο δώζνπλ θάπνην ηξηγσλνκεηξηθό αξηζκό αιιαγκέλν ή θαζαξά ηελ αξρηθή θάζε ηεο ηαιάλησζεο λα καο ηεο δώζνπλ κέζα από θάπνηα ζέζε θαη ηαρύηεηα ηνπ ζώκαηνο. Παξαθάησ δίλεηαη έλαο ζπλνπηηθό πίλαθαο κε ηελ αξρηθή θάζε αλάινγα ηελ ζέζε θαη ηελ ηαρύηεηα: Πίλαθαο Θέζη Ταχύηηηα Αρχική Φάζη Για t= ηο ζώμα είναι ζηη θέζη x= Για t= ηο ζώμα είναι ζηη θέζη x= +Α Για t= ηο ζώμα είναι ζηη θέζη x= Για t= ηο ζώμα είναι ζηη θέζη x= -Α Τν ζώκα θηλείηαη πξνο ηε ζεηηθή θαηεύζπλζε Τν ζώκα θηλείηαη πξνο ηελ αξλεηηθή θαηεύζπλζε Τν ζώκα θηλείηαη πξνο ηελ αξλεηηθή θαηεύζπλζε Τν ζώκα θηλείηαη πξνο ηε ζεηηθή θαηεύζπλζε π/ π 3π/ 3
Δπίζεο παξαθάησ δίλεηαη θη έλαο ζρεηηθόο πίλαθαο κε ηηο ηηκέο ησλ ηξηγσλνκεηξηθώλ αξηζκώλ γηα ηηο ζπλήζεηο ηηκέο: Πίλαθαο x π/6 π/4 π/3 π/ π 3π/ π ημx 3 - ζυνx 3 - Παράδειγμα 3 Έλα ζώκα εθηειεί ΑΑΤ θαη ηελ ρξνληθή ζηηγκή t= βξίζθεηαη ζηελ ζέζε x=+a. Να ππνινγίζεηε ηελ αξρηθή θάζε ηεο ηαιάλησζεο. Μπνξνύκε λα θάλνπκε ρξήζε ησλ πιεξνθνξηώλ ηνπ πίλαθα θαη λα πνύκε απεπζείαο όηη ε αξρηθή θάζε ζα είλαη. Μπνξνύκε όκσο λα ην απνδείμνπκε ιύλνληαο κία ζρεηηθά εύθνιε ηξηγσλνκεηξηθή εμίζσζε. Γειαδή πξέπεη λα ιύζνπκε ηελ εμίζσζε: t A x A A Αληηθαζηζηνύκε ηνλ ρξόλν κε ηελ ηηκή πνπ καο δίλνπλ, ζηε ζπγθεθξηκέλε πεξίπησζε t=, νπόηε ζα έρνπκε: A A Σην κάζεκα ηεο Άιγεβξαο ζηε Β Λπθείνπ κάζακε πσο ιύλνπκε ηέηνηεο εμηζώζεηο. Άξα γηα ην πξόβιεκά καο ζα ηζρύεη: 4
Γηα ην ζα πξέπεη λα ηζρύεη: θαηαιήμνπκε όηη,,,... 3. Λύλνληαο ηελ αλίζσζε απηή ζα Δπνκέλσο ζα ηζρύεη όηη. Απόδεημε ΑΑΤ Σε αξθεηά πξνβιήκαηα ζα καο δεηήζνπλ λα απνδείμνπκε πσο ην ζώκα πνπ κειεηάκε εθηειεί ΑΑΤ. Γηα λα εθηειεί έλα ζώκα ΑΑΤ αξθεί ε ζπληζηακέλε ησλ δπλάκεσλ λα ηζνύηαη κε F Dx. Παράδειγμα 4 Έλα ζώκα κάδαο m, θξέκεηαη από ηελ άθξε ελόο ειαηεξίνπ, ηνπ νπνίνπ ε άιιε άθξε είλαη ζηεξεσκέλε ζε αθιόλεην ζεκείν. Να απνδείμεηε πσο αλ εθηξέςνπκε θαηά x ην ειαηήξην ηόηε απηό ζα εθηειέζεη ΑΑΤ. Αξρηθά πξέπεη λα θάλνπκε ζρήκα. Τν ζρήκα είλαη απηό πνπ ζα καο βνεζήζεη λα ιύζνπκε ηελ άζθεζε. Σηε ζπγθεθξηκέλε πεξίπησζε ην ζρήκα ζα είλαη όπσο θαίλεηαη παξαθάησ Ξεθηλάκε ζρεκαηίδνληαο ην ειαηήξην κόλν ηνπ. Όηαλ ζην ειαηήξην δελ αζθείηαη θακία δύλακε ηόηε απηό βξίζθεηαη ζηελ Θέζε Φπζηθνύ Μήθνπο (ΘΦΜ). Μόιηο θξεκάζνπκε ην ζώκα κάδαο m, ζην ειαηήξην ηόηε απηό ζα θηλεζεί πξνο ηα θάησ ππό ηελ επήξεηα ηνπ βάξνπο. Με ην πνπ θηλεζεί ην ειαηήξην ηόηε αλαπηύζζεηαη θαη κία δύλακε επαλαθνξάο, ε νπνία ηείλεη λα ην επαλαθέξεη ζηελ αξρηθή ηνπ θαηάζηαζε, ζηελ ΘΦΜ. 5
Κάπνηα ζηηγκή ε δύλακε επαλαθνξάο θαη ην βάξνο γίλνληαη ίζα νπόηε ην ζώκα παύεη λα θηλείηαη. Η ζέζε απηή είλαη ε Θέζε Ιζνξξνπίαο (ΘΙ), όπνπ F. Άξα ζα ηζρύεη θαη όηη mg kx. Δπόκελν βήκα είλαη λα πάκε ζε κία ηπραία ζέζε. Σ απηή ην βάξνο δελ ζα εμηζνξξνπεί ηελ δύλακε επαλαθνξάο ηνπ ειαηεξίνπ. Άξα ζα έρνπκε: F mg F mg - k(x x ) mg kx kx. Όκσο δείμακε ήδε όηη mg kx, άξα ε παξαπάλσ ζρέζε ζα γξαθεί σο: F kx θαη πεξίνδν T Άξα ην ζώκα εθηειεί Απιή Αξκνληθή Ταιάλησζε κε ζηαζεξά επαλαθνξάο m k D k Αλ ην ειαηήξην ήηαλ νξηδόληην ηα πξάγκαηα ζα ήηαλ αθόκα πην εύθνια αθνύ ε κόλε δύλακε παξάιιειε ζηελ θίλεζε είλαη ε δύλακε ειαηεξίνπ. Άξα ζε ηπραία ζέζε ζα ηζρύεη F kx, νπόηε ην ζώκα εθηειεί Απιή Αξκνληθή Ταιάλησζε κε ζηαζεξά επαλαθνξάο D k θαη πεξίνδν T m k Αλ ην ειαηήξην ήηαλ ζε θάπνην θεθιηκέλν επίπεδν δελ ζα άιιαδε θάηη, απιά ζα έπξεπε αληί γηα ην βάξνο λα βάινπκε ηελ θαηάιιειε ζπληζηώζα ηνπ. 6