όπου Η μήτρα ή πίνακας του συστήματος

Έστω το γραμμικό σύστημα: Το ίδιο σύστημα σε μορφή πινάκων: 3 5 7 3 2 y x y x B X y x 3 7 5 3 2 όπου Η μήτρα ή πίνακας του συστήματος B Η μήτρα ή πίνακας των σταθερών όρων X Η μήτρα ή πίνακας των αγνώστων του συστήματος

Ο μοναδιαίος πίνακας διαστάσεων 2x2 είναι ο I 2 και έχει την ιδιότητα να αφήνει αναλλοίωτο κατά τον πολλαπλασιασμό κάθε τετραγωνικό πίνακα 2x2 I 2 I2 Ο τυχών τετραγωνικός πίνακας διαστάσεων 2x2 έχει αντίστροφο πίνακα ιδίων διαστάσεων, τον αν και μόνο αν ισχύουν οι σχέσεις I 2

Η λύση του συστήματος, εφ όσον η μήτρα του συστήματος έχει όντως αντίστροφο, τον B X B X I B X B X 2

Μοναδιαίος πίνακας για διαστάσεις 3x3 και 4x4 : nxn nxn nxn n I n I I 3 I 4 Για οποιονδήποτε τετραγωνικό πίνακα διαστάσεων nxn ισχύει: Εξ ορισμού, ο τυχόν τετραγωνικός πίνακας Α διαστάσεων nxn έχει αντίστροφο όταν: I n

Ως ορίζουσα ενός τυχόντος 2x2 πίνακα ορίζεται ο αριθμός D 2 και συμβολίζεται ως: det() ή Ένας τυχών πίνακας 3x3 2 3 2 22 32 3 23 33 Η ανάπτυξη της ορίζουσάς του ως προς την πρώτη γραμμή: 22 23 2 D3 2 32 33 3 23 33 3 2 3 22 32

33 32 3 23 22 2 3 2 32 3 22 2 3 33 3 23 2 2 33 32 23 22 3 D j i j i, ) ( α Πρόσημο του

Σημαντική σημείωση: Ο υπολογισμός της ορίζουσας είναι ανεξάρτητος της γραμμής ή της στήλης ως προς την οποία θα αναπτυχθεί. Για έναν τυχόντα 4x4 πίνακα: 2 3 4 2 22 32 42 3 23 33 43 4 24 34 44 Ανάπτυξη ορίζουσας ως προς τη δεύτερη στήλη του πίνακα: D 4 2 2 3 4 23 33 43 24 34 44 22 3 4 3 33 43 4 34 44 32 2 4 3 23 43 4 24 44 42 2 3 3 23 33 4 24 34

Η ορίζουσα τυχόντος τετραγωνικού πίνακα συμβολίζεται ως det(α) ή ως ΘΕΩΡΗΜΑ Ένας τετραγωνικός πίνακας έχει αντίστροφο, αν και μόνο αν η ορίζουσά του είναι διάφορη του μηδενός. 2 n 2 22 n2 n 2n nn Υπενθυμίζεται ότι η ορίζουσα ενός πίνακα είναι βαθμωτό μέγεθος.

Έστω Α ένας τυχόν τετραγωνικός πίνακας π.χ. ο Τότε η ορίζουσά του υπολογίζεται στο Matlab ως εξής

Έστω ένας τυχών μη τετραγωνικός πίνακας Εάν η det() δράσει σε μη τετραγωνικό πίνακα, η ροή της εκτέλεσης του προγράμματος διακόπτεται βίαια.

Η σύγκριση γίνεται σειριακά από αριστερά προς τα δεξιά: πρώτα γίνεται η και μόνο εάν αυτή ισχύει επιτελείται η

Η αντιστροφή της σειράς των λογικών συνθηκών οδηγεί σε σφάλμα όταν ο πίνακας Α δεν είναι τετραγωνικός

Προτείνεται η χρήση εμφωλεασμένων if όταν η ν+ συνθήκη απαιτεί την ισχύ της ν-οστής. Εν προκειμένω: Απαιτείται ιδιαίτερη προσοχή στη στοίχιση των εμφωλεασμένων if

Το αποτέλεσμα της εκτέλεσης υποδηλώνει ορίζουσα διάφορη του μηδενός, ενώ τα Μαθηματικά σαφώς υπαγορεύουν ότι det(n)=

Η συνάρτηση inv() του Matlab Υπολογισμός αντιστρόφου πίνακα Για τον αντίστροφο ενός πίνακα Ισχύουν υποχρεωτικά οι εξής ιδιότητες:

Ο υπολογισμός του αντιστρόφου δεν είναι εφικτός αν ο πίνακας δεν είναι τετραγωνικός Η εκ παραδρομής εφαρμογή της συνάρτησης inv σε έναν μη-τετραγωνικό πίνακα, διακόπτει βίαια τη ροή του αντίστοιχου προγράμματος.

Λύση γραμμικού συστήματος Προσοχή! Είναι εντελώς λάθος να γράψει κανείς

Ένα προς επίλυση γραμμικό σύστημα τεσσάρων εξισώσεων με τέσσερις αγνώστους l z w z l w k k w l z l k w z 7 3.5.7 3 6 8 5 6 9 5 3 2 4.5 2 3 9 7 Παρατηρούμε ότι το σύστημα δεν είναι στην παρούσα μορφή σωστά στοιχειοθετημένο, ώστε να μπορεί να λυθεί άμεσα με κώδικα Matlab

3.5 7 3.7 6 5 9 6 8 5 4.5 3 2 2 3 9 7 l k w z l k w z l k w z l k w z Αρχικά, αναδιατάσσουμε το σύστημα ώστε να έχει την ακόλουθη μορφή:

X B Το αρχικό γραμμικό σύστημα εξισώσεων γράφεται σε μορφή πινάκων ως: όπου είναι ο πίνακας ή η μήτρα του συστήματος και η μήτρα των σταθερών όρων αυτού B 7 3.7 5 9 6 8 4.5 3 2 3 9 7 3.5 6 5 2 B

Η φορμαλιστική λύση του προηγουμένου συστήματος είναι η X B Η υλοποίηση αυτής της λύσης σε κώδικα Matlab είναι η

Για γραμμικά συστήματα μεγάλης τάξης έχουν αναπτυχθεί ειδικές τεχνικές επίλυσης αυτών που μελετώνται στην αριθμητική ανάλυση

Ως πολυωνυμική συνάρτηση ή απλά ως πολυώνυμο ορίζεται ο γραμμικός συνδυασμός των δυνάμεων μίας ανεξάρτητης μεταβλητής, έστω x. Πολυώνυμο μηδενικού βαθμού: a x a σταθερά Πολυώνυμο ου βαθμού: ax ax ax a

Πολυώνυμο 2 ου βαθμού: Πολυώνυμο n οστου βαθμού: 2 2 2 2 a x a x a x a x a x a n n n n n n n n n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x a 2 2 2 2...... Η συνέχεια μίας συνάρτησης εντός ενός συγκεκριμένου πεδίου ορισμού εντοπίζεται από την μη ύπαρξη κενών ή αλμάτων στη γραφική της παράσταση για αυτό το πεδίο ορισμού.

4 6 54 x 3 x 2 x x[4,4] 5 5 Για την πλήρη περιγραφή ενός πολυωνύμου στο Matlab, απαιτείται η κατασκευή ενός πίνακα που περιέχει τους συντελεστές του πολυωνύμου. Η σειρά τοποθέτησης των συντελεστών εντός του πίνακα είναι από το μεγιστοβάθμιο μέχρι το σταθερό όρο. Εάν κάποιος συντελεστής λείπει στη θέση του τοποθετείται το μηδέν. 4 [,, 6 5, 54 ] 5

Ο πίνακας x του πεδίου ορισμού αποτελείται από 8 στοιχεία. Για να υψωθούν όλα τα στοιχεία του x στο τετράγωνο απαιτούνται 8 πολλαπλασιασμοί. Για να υπολογισθεί το x.^3=(x.*x).*x απαιτούνται 2*8 πολλαπλασιασμοί. Συνολικά απαιτούνται 3*8 πολλαπλασιασμοί= 243 πολλαπλασιασμοί.

Βελτιωμένος, από πλευράς πολυπλοκότητας, κώδικας υπολογισμού πολυωνύμου

Ο πίνακας x του πεδίου ορισμού αποτελείται πάλι από 8 στοιχεία. Για να υψωθούν όλα τα στοιχεία του x στο τετράγωνο απαιτούνται εκ νέου 8 πολλαπλασιασμοί. Δεδομένου του x.^2, για να υπολογισθεί ο x.^3=x.*(x.^2) απαιτούνται μόνο 8 πολλαπλασιασμοί. Συνολικά απαιτούνται 2*8=62 δηλαδή 8 λιγότεροι πολλαπλασιασμοί.

Το κέρδος από την καλή σύνταξη του κώδικα αυξάνει ραγδαία, όσο αυξάνει ο βαθμός του πολυωνύμου. Π.χ. για πολυώνυμο ου βαθμού και το ίδιο πεδίο ορισμού ο πρώτος τρόπος απαιτεί 52866 πολλαπλασιασμούς ενώ ο δεύτερος μόνον 682 πολλαπλασιασμούς. Το Matlab υπολογίζει τα πολυώνυμα με τη συνάρτηση polyval:

Κατά την εκτέλεση του προγράμματος προέκυψε ότι polywnymo(6)=.7764*^(-5) polywnymo(62)=-.56 Επειδή οι ανωτέρω τιμές είναι ετερόσημες, το πολυώνυμο ως συνεχής συνάρτηση θα μηδενίζεται υποχρεωτικά εντός του ανοικτού διαστήματος (x(6),x(62)) χωρίς να γνωρίζουμε ακριβώς που. Γι αυτό αποδίδουμε την ρίζα στο άκρο όπου το πολυώνυμο έχει τη μικρότερη απόλυτη τιμή δηλαδή το x(6)

Η εγγενής συνάρτηση roots του Matlab εντοπίζει τις ίδιες ρίζες. Στην roots ο χρήστης δεν απαιτείται να δώσει πεδίο ορισμού ενώ αυτή προσφέρει και μιγαδικές ρίζες. Π.χ. Επίλυση του πολυωνύμου: x 4 3x 3 5x 2 29x 3

Ο πίνακας synartisi έχει τις τιμές οποιασδήποτε συνεχούς συνάρτησης ορισμένης στον πίνακα x που περιέχει διαμέριση επιθυμητού κλειστού διαστήματος

Το Matlab, όπως και οι περισσότερες γλώσσες προγραμματισμού, παρέχει τη δυνατότητα δημιουργίας προγραμμάτων, τα οποία αποθηκεύονται στον δίσκο και όταν καλούνται προσφέρουν στον χρήστη τον πίνακα synartisi της προηγούμενης διαφάνειας πρακτικά για οποιοδήποτε πίνακα πεδίου ορισμού. Τα προγράμματα αυτά ονομάζονται επίσης «συναρτήσεις».