PAAU (LOXSE) Setembro 004 Código: FÍSICA Elixir e desenvolver unha das dúas opcións propostas. Puntuación máxima: Problemas 6 puntos (1,5 cada apartado). Cuestións 4 puntos (1 cada cuestión, teórica ou práctica). Non se valorará a simple anotación dun ítem como solución ás cuestións teóricas. Pode usarse calculadora sempre que no sexa programable nin memorice texto. OPCIÓN 1 PROBLEMAS 1.- A masa da Lúa respecto da Terra é 0,011 M T e seu radio é R T / 4. Dado un corpo cuxo peso na Terra é 980 N (g 0 = 9,80 m s - ), calcula: a) A masa e o peso do corpo na Lúa. b) A velocidade coa que o corpo chega a superficie luar si cae dende unha altura de 100 metros..- Un obxecto de 5 cm de altura, está situado a unha distancia x do vértice dun espello esférico cóncavo, de 1 m de radio de curvatura; calcula a posición e tamaño da imaxe: a) Si x = 75 cm. b) Si x = 5 cm (nos dous casos debuxa a marcha dos raios) CUESTIÓNS TEÓRICAS: Razoa as respostas as seguintes cuestións: 1.- Unha espira rectangular está situada nun campo magnético uniforme, representado polas frechas da figura. Razoa si o amperímetro indicará paso de corrente: A) S a espira xira arredor do eixe Y. B) Se xira arredor do eixe X. C) Se se despraza ó longo de calquera dos eixes X ou Y..- Si un oscilador harmónico se encontra nun instante dado nunha posición x que é igual a metade da súa amplitude (x = A/), a relación entre a enerxía cinética e potencial é: A) E c = 3 E p. B) E c = E p. C) E c = E p. 3.- A luz xerada polo Sol: A) Está formada por ondas electromagnéticas de diferente lonxitude de onda. B) Son ondas que se propagan no baleiro a diferentes velocidades. C) Son fotóns da mesma enerxía. CUESTIÓN PRÁCTICA: No estudio estático dun resorte represéntanse variacións de lonxitude (Δl i ) fronte as forzas aplicadas (F i ), obtendo unha liña recta. No estudio dinámico do mesmo resorte represéntanse as masas (m i ) fronte os cadrados dos períodos (T i ), obténdose tamén unha recta. Teñen as dúas a mesma pendente? Razoa a resposta. OPCIÓN PROBLEMAS 1.- O tritio ( 3 1) é un isótopo do hidróxeno inestable cun período de semidesintegración T 1/ de 1,5 anos, e desintégrase emitindo unha partícula beta. A análise dunha mostra nunha botella de auga mostra que a actividade debida ó tritio é o 75 % da que presenta a auga no manancial de orixe, calcula: a) O tempo que leva embotellada a auga da mostra. b) A actividade dunha mostra que conten 10-6 g de 3 1. (N A = 6,0 10 3 mol -1 ).- A función de onda que describe a propagación dun son é y(x) = 6 10 - cos(68 t - 1,90 x) (magnitudes no sistema internacional); calcula: a) A frecuencia, lonxitude de onda e velocidade de propagación. b) A velocidade e a aceleración máximas dun punto calquera do medio no que se propaga a onda. CUESTIÓNS TEÓRICAS: Razoa as respostas as seguintes cuestións: 1.- No movemento da Terra arredor do Sol: A) Consérvanse o momento angular e o momento lineal. B) Consérvanse o momento lineal e o momento da forza que os une. C) Varía o momento lineal e consérvase o angular..- Cando se dispersan raios X en grafito, obsérvase que emerxen fotóns de menor enerxía que a incidente i electróns de alta velocidade. Este fenómeno pode explicarse por: A) Unha colisión totalmente inelástica entre un fotón e un átomo. B) Elástica entre un fotón e un electrón. C) Elástica entre dous fotóns. 3.- Dous espellos planos están colocados perpendicularmente entre si. Un raio de luz que se despraza nun terceiro plano perpendicular ós dous, reflíctese sucesivamente nos dous espellos. O raio reflectido no segundo espello, con respecto ó raio orixinal: A) É perpendicular. B) É paralelo. C) depende do ángulo de incidencia. CUESTIÓN PRÁCTICA: Que influencia teñen na medida experimental de g cun péndulo simple, as seguintes variables: a masa, o número de oscilacións, a amplitude das oscilacións? Y A X
Solucións PROBLEMAS OPCIÓN 1 1.- A masa da Lúa respecto da Terra é 0,011 M T e seu radio é R T / 4. Dado un corpo cuxo peso na Terra é 980 N (g 0 = 9,80 m s - ), calcula: a) A masa e o peso do corpo na Lúa. b) A velocidade coa que o corpo chega a superficie luar si cae dende unha altura de 100 metros. Rta.: a) m = 100 kg; P L = 176 N; b) v L = 18,7 m/s Datos Cifras significativas: 3 Masa da Lúa M L = 0,011 M T Radio da Lúa R P = ¼ R T Peso na Terra P T = 980 N Altura da que cae h = 100 m Valor da aceleración da gravidade na superficie da Terra g T = 9,80 m/s Incógnitas Masa do corpo m Peso de corpo na Lúa P L Velocidade coa que o corpo chega a superficie luar v Outros símbolos Constante da gravitación universal G Ecuacións Lei de Newton da gravitación universal (aplicada á forza que exerce un planeta esférico sobre un corpo puntual) F G =G M m r Peso P = m g ª lei de Newton da Dinámica F = m a Enerxía cinética E c = ½ m v Enerxía potencial gravitatoria (referida ao chan, suposta g constante) E p = m g h a) Da expresión do peso: m = P T / g T = 980 [N] / 9,80 [m/s ] = 100 kg O peso é igual á forza da atracción gravitatoria dada pola lei de Newton da gravitación Universal. Para un obxecto de masa m situado na superficie da Terra, Na superficie da Lúa: Dividindo esta última pola anterior: O peso na Lúa será: P L P T = G M Lm R L G M T m R T = M L M T P T =G M m T =980 N R T P L =G M Lm R L R T R =0,011 M T L M T R T ¼ R T =0,011 16=0,179 P L = 0,179 P T = 0,179 980 [N] = 176 N Análise: O peso na Lúa é menor que na Terra, como era de prever. Nos exercicios emprégase moitas veces
que a aceleración na Lúa é 1/6 que na Terra. O valor obtido (0,176) no coincide con 1/6, pero tras repasar as operacións debemos concluír que os datos non eran tan precisos como parecían, e que cando tomamos o radio da Lúa como un valor exacto, non tivemos en conta que só era unha aproximación. O número de cifras significativas entón é unha senón tres. Nese caso, o resultado final é de 00 N, ou sexa 1/5 do da Terra. b) Ao caer dende un punto á unha altura h p, próximo á superficie da Lúa, a aceleración da gravidade pode considerarse constante. Se a única forza que realiza traballo é a gravitatoria, a enerxía mecánica tense que conservar. (E c + E p ) h = (E c + E p ) chan A enerxía potencial dun obxecto de masa m, que se atopa a unha altura h, nas proximidades da Lúa, vén dada por Substituíndo, de onde O valor da gravidade na Lúa pode obterse do seu peso: E p = m g L h 0 + m g L h = ½ m v + 0 v = g L h g L = P L / m = 176 [N] / 100 [kg] = 1,76 m/s A velocidade que alcanza un corpo o caer dende una altura de h = 100 m ata o chan, na Lúa é v= g L h= 1,76 [m/ s ] 100 [ m]=18,7 m/ s.- Un obxecto de 5 cm de altura, está situado a unha distancia x do vértice dun espello esférico cóncavo, de 1 m de radio de curvatura. Calcula a posición e tamaño da imaxe: a) Si x = 75 cm b) Si x = 5 cm Nos dous casos debuxa a marcha dos raios. Rta.: a) s' = -1,5 m; y' = -10 cm; b) s' = 0,5 m; y' = 10 cm Datos (convenio de signos din) Cifras significativas: Radio de curvatura do espello R = -1,0 m Tamaño do obxecto y = 5,0 cm = 0,050 m Posición do obxecto: No primeiro caso s 1 = -75 cm = -0,75 m No segundo caso s = -5 cm = -0,5 m Incógnitas Posición da imaxe en ámbolos dous casos s 1 ', s ' Tamaño da imaxe en ámbolos dous casos y 1 ', y ' Outros símbolos Distancia focal do espello f Ecuacións Relación entre a posición da imaxe e a do obxecto nos espellos 1 s' + 1 s = 1 f Aumento lateral nos espellos A L = y' y = s ' s Relación entre a distancia focal e o radio de curvatura f = R / a)
f = R / = -1,0 [m] / = -0,50 m 1 s' + 1 0,75 [m] = 1 0,50 [m] s' = -1,5 m A imaxe atópase a 1,5 m á esquerda do espello. A L = -s' / s = 1,5 [m] / -0,75 [m] = - y' = A L y = - 5 cm = -10 cm A imaxe é real, invertida e maior (o dobre). b) 1 s' + 1 0,5 [m] = 1 0,50 [ m] s' = +0,50 m A imaxe atópase a 0,50 m á dereita do espello. A L = -s' / s = -0,50 [m] / -0,5 [m] = y' = A L y = 5 cm = 10 cm A imaxe é virtual, dereita e maior (o dobre) I C F f O s R s' C F f O I s s' R Análise: en ámbolos dous casos, o resultado do cálculo coincide co do debuxo. CUESTIÓNS TEÓRICAS: 1.- Unha espira rectangular está situada nun campo magnético uniforme, representado polas frechas da figura. Razoa si o amperímetro indicará paso de corrente: A) Se a espira xira arredor do eixe Y. B) Se xira arredor do eixe X. C) Se se despraza ó longo de calquera dos eixes X ou Y. Y X B A lei de Faraday Lenz di que se inducirá unha corrente que se opoña á variación de fluxo a través da espira. A f.e.m. desa corrente será igual á variación de fluxo magnético respecto ao tempo. B Y φ S X ε= dφ dt O fluxo magnético é o produto escalar do vector B campo magnético polo vector S perpendicular á superficie delimitada pola espira. Φ = B S = B S cos φ Cando a espira xira arredor do eixe Y, o fluxo magnético non varía, posto que é nulo todo o tempo: as liñas do campo magnético non atravesan a superficie da espira nin cando a espira está en repouso nin cando xira arredor do eixe Y, pos son sempre paralelas ao plano da espira. O ángulo φ vale sempre π/ rad e o cos π/ = 0. A
Pero cando a espira xira arredor do eixe X, as liñas de campo atravesan a superficie plana delimitada pola espira, variando o fluxo magnético dende 0 ata un máximo cando a espira está no plano XZ perpendicular o eixe Y que é o do campo magnético. Logo volve a diminuír ata facerse nulo cando teña xirado π rad. Ao desprazarse a espira, sempre paralelamente ás liñas de campo, o fluxo seguirá a ser nulo en tódolos casos. S φ Y B X.- Si un oscilador harmónico se encontra nun instante dado nunha posición x que é igual a metade da súa amplitude (x = A/), a relación entre a enerxía cinética e potencial é: A) E c = 3 E p B) E c = E p C) E c = E p A A enerxía potencial dun oscilador harmónico cando a elongación vale x é: onde k é a constante elástica do oscilador. Como a enerxía cinética é: a enerxía mecánica do oscilador vale: Para a elongación máxima ou amplitude: E p = ½ k x E c = ½ m v E = E c + E p = ½ m v + ½ k x E = E c + E p = ½ m 0 + ½ k A = ½ k A Como a forza elástica é unha forza conservativa a enerxía mecánica é unha constante e valerá o mesmo para calquera elongación. Polo tanto: Para o caso no que x = A /, Vese que E c = 3 E p E = ½ k A E p = ½ k x = ½ k (A / ) = ¼ (½ k A ) = ¼ E E c = E E p = E ¼ E = ¾ E 3.- A luz xerada polo Sol: A) Está formada por ondas electromagnéticas de diferente lonxitude de onda. B) Son ondas que se propagan no baleiro a diferentes velocidades. C) Son fotóns da mesma enerxía. A A luz do Sol é luz branca. Newton xa demostrou que, ao pasar por un prisma de vidro dispersábase en varias cores que ao pasar de novo por un segundo prisma, orientado axeitadamente, recompoñían de novo a luz branca. Aínda que Newton pensaba que a luz estaba formada por un chorro de partículas, foi a hipótese ondulatoria do seu rival uygens a que se foi comprobando ao longo dos séculos. Así Young conseguiu figuras de interferencia ao facer pasar luz por unha dobre fenda. Maxwell unificou a forza eléctrica e a magnética e viu que de certa combinación da permitividade eléctrica ε 0 e a permeabilidade magnética µ 0 do baleiro, obtiña o valor da velocidade da luz. c = (ε 0 µ 0 ) -1/ Maxwell demostrou que a luz é una superposición dun campo eléctrico oscilante que xeraba un campo mag-
nético oscilante perpendicular ao eléctrico que se propagaba polo baleiro a 300 000 km/s. Unha luz monocromática ten unha lonxitude de onda determinada (entre 400 e 700 nm). As cores do arco da vella corresponden a unha dispersión da luz nas súas compoñentes monocromáticas. A opción B non pode ser correcta, xa que un dos postulados de Einstein da relatividade especial di que a velocidade da luz do baleiro é unha constante, independentemente do sistema de referencia dende o que se mida. A opción C tampouco é a correcta. Cando a natureza ondulatoria da luz estaba probada, a interpretación de Einstein do efecto fotoeléctrico probou que a luz monocromática era tamén un chorro de partículas ás que chamou fotóns, que tiñan unha enerxía dada pola ecuación de Planck E = h f onde h é a constante de Planck e f a frecuencia da luz monocromática. Nas experiencias do efecto fotoeléctrico viuse que ao alumear o cátodo con luz monocromática de distintas frecuencias, obtidas por exemplo, dispersando a luz branca con un prisma, existía unha frecuencia mínima ou frecuencia limiar para que se producira o efecto fotoeléctrico. Segundo a interpretación de Einstein, a luz que non producía o efecto fotoeléctrico era por que non tiña a enerxía suficiente. CUESTIÓN PRÁCTICA: No estudio estático dun resorte represéntanse variacións de lonxitude (Δl i) fronte as forzas aplicadas (F i), obtendo unha liña recta. No estudio dinámico do mesmo resorte represéntanse as masas (m i) fronte os cadrados dos períodos (T i ), obténdose tamén unha recta. Teñen as dúas a mesma pendente? Razoa a resposta. No estudio estático emprégase a lei de ooke: F = k Δl Se Δl represéntase no eixe de ordenadas, e as forzas F no eixe de abscisas, a pendente da recta será: pendente estudio estático = p e = Δl / ΔF =1 / k igual ao inverso da constante elástica do resorte. No estudio dinámico, a ecuación empregada é a relación entre a constante elástica k e a constante harmónica ω k = m ω = 4 π m / T Na representación, as masas están no eixe de ordenadas e os cadrados dos períodos no de abscisas. Entón: pendente estudio dinámico = p d = Δm / ΔT = k / (4 π ) polo tanto a pendente da representación derivada do estudio dinámico debería ser: distinta á obtida polo método estático. p d = k / (4 π ) = 1 / (p e 4 π ) PROBLEMAS OPCIÓN 3 1.- O tritio ( 1 ) é un isótopo do hidróxeno inestable cun período de semidesintegración T 1/ de 1,5 anos, e desintégrase emitindo unha partícula beta. A análise dunha mostra nunha botella de auga mostra que a actividade debida ó tritio é o 75 % da que presenta a auga no manancial de orixe, calcula: a) O tempo que leva embotellada a auga da mostra. b) A actividade dunha mostra que conten 10-6 3 g de 1 N A = 6,0 10 3 mol -1 Rta.: a) t = 5, anos; b) A = 4 10 8 Bq
Datos Cifras significativas: 3 Período de semidesintegración T 1/ = 1,5 ano = 3,94 10 8 s Actividade da mostra A = 75,0 % A 0 Masa da mostra m = 1,00 10-6 g = 1,00 10-9 kg Número de Avogadro N A = 6,0 10 3 mol -1 Incógnitas Tempo transcorrido t Actividade radioactiva A Outros símbolos Constante de desintegración radioactiva λ Ecuacións Lei da desintegración radioactiva N = N 0 e λ t λ = ln (N 0 / N) / t Cando t = T 1/, N = N 0 / T 1/ = ln / λ Actividade radioactiva A = dn / dt = λ N a) Calcúlase a constante radioactiva a partires do período de semidesintegración λ = ln 0,693 = T 1/ 3,94 10 8 [s] =1,76 10 9 s 1 Despexando o tempo da ecuación da lei de desintegración: t= ln( N 0/ N ) λ = ln(λ N 0/λ N ) λ = ln( A 0/ A) = ln(100/75,0) λ 1,76 10 9 [s 1 ] =1,64 108 s=5,19 anos b) N =1,00 10 6 3 1 mol g 1 3 3 g 1 1 3 6,0 10 3 3 átomos 1 3 1 mol 1 3 1 núcleo 1 =,01 10 17 3 núcleos 3 1 1 átomo 1 A = λ N = 1,76 10-9 [s -1 ],01 10 17 [núcleos] = 3,53 10 8 Bq.- A función de onda que describe a propagación dun son é y(x) = 6 10 - cos(68 t 1,90 x) (magnitudes no sistema internacional). Calcula: a) A frecuencia, lonxitude de onda e velocidade de propagación. b) A velocidade e a aceleración máximas dun punto calquera do medio no que se propaga a onda. Rta.: a) f = 100 z; λ = 3,31 m; v p = 330 m/s; b) v máx = 40 m/s; a máx = 10 4 m/s Datos Cifras significativas: 3 Ecuación da onda y = 6,00 10 - cos(68 t 1,90 x) m Incógnitas Frecuencia f Lonxitude de onda λ Velocidade de propagación v p Velocidade máxima v máx Aceleración máxima a máx Outros símbolos Posición do punto (distancia ao foco) x Período T Ecuacións Dunha onda harmónica unidimensional y= A sen[ π ( t T x λ )] Número de onda Frecuencia k = π / λ f = 1 / T
Ecuacións Relación entre a lonxitude de onda e a frecuencia v p = λ f a) Comparando a ecuación dunha onda harmónica unidimensional con a ecuación dada queda: Frecuencia π / T = π f = 68 [rad s -1 ] de onde f = 100 z Lonxitude de onda: π / λ = 1,90 [rad -1 ] de onde λ = 3,31 m Velocidade de propagación: v p = λ f = 3,31 [m] 100 [s -1 ] = 331 m s -1 Análise: A velocidade da un resultado que semella ao da velocidade do son no ar. b) Derivando a ecuación de movemento, obtemos: A velocidade é máxima cando sen θ = 1 Volvendo a derivar, v = d y / d t = -6,00 10-68 sen(68 t 1,90 x) v máx = 6,00 10 - [m] 68 [s -1 ] = 37,7 m/s a = d v / d t = -6,00 10 - [m] (68 [s -1 ]) cos(68 t 1,90 x) =,37 10 4 cos(68 t 1,90 x) m/s A aceleración é máxima cando cos θ = 1 a máx =,37 10 4 m/s (No caso de que se tomase só unha cifra significativa, xa que o dato amplitude 6 10 - só ten unha, os resultados serían: v máx = 40 m/s; a máx = 10 4 m/s ) CUESTIÓNS TEÓRICAS: 1.- No movemento da Terra arredor do Sol: A) Consérvanse o momento angular e o momento lineal. B) Consérvanse o momento lineal e o momento da forza que os une. C) Varía o momento lineal e conserva se o angular. C O campo gravitatorio é un campo de forzas centrais no que F e r son paralelos. Polo tanto o momento M F da forza será M F = r F = 0 M F = d L / d t = 0 L O = constante (módulo e dirección) Isto representa o principio de conservación do momento cinético. O momento lineal: p = m v non será constante, xa que o vector v, que é tanxente a traxectoria da órbita do planeta, cambia de dirección..- Cando se dispersan raios X en grafito, obsérvase que emerxen fotóns de menor enerxía que a incidente i electróns de alta velocidade. Este fenómeno pode explicarse por: a) Unha colisión totalmente inelástica entre un fotón e un átomo. b) Elástica entre un fotón e un electrón. c) Elástica entre dous fotóns. B Coñécese como efecto Compton, que xunto á interpretación de Einstein do efecto fotoeléctrico, sentou as bases da natureza corpuscular da luz (aínda que sen abandonar o seu carácter ondulatorio). Nel os electróns
debilmente ligados aos átomos de carbono son golpeados polos fotóns nun choque elástico. (Consérvase a enerxía, e tamén o momento lineal). Os raios X dispersados saen cunha enerxía menor, e, por tanto, a súa lonxitude de onda aumenta. A ecuación λ f λ 0 = h m c (1 cosθ ) da a variación da lonxitude de onda da radiación emerxente λ f respecto da emerxente λ 0 en función do ángulo de dispersión θ. O termo h / mc ten dimensión de lonxitude e recibe o nome de lonxitude de onda de Compton. A opción A non pode ser correcta porque nun choque inelástico as partículas quedan xunguidas. Cando un fotón incide nun átomo, e a enerxía non chega para expulsar un electrón, provócase un salto do electrón a un nivel de enerxía superior, e logo emítese un fotón cando o electrón retorna ao seu nivel de enerxía máis baixo. A opción C tampouco é correcta. Nun choque entre dous fotóns, se a enerxía é suficiente e as condicións adecuadas, se producirá un par electrón-positrón, de acordo coa ecuación de equivalencia entre masa e enerxía de Einstein: E = m c. 3.- Dous espellos planos están colocados perpendicularmente entre si. Un raio de luz que se despraza nun terceiro plano perpendicular ós dous, reflíctese sucesivamente nos dous espellos. O raio reflectido no segundo espello, con respecto ó raio orixinal: A) É perpendicular. B) É paralelo. C) Depende do ángulo de incidencia. B Véxase a figura. Se chamamos α ao ángulo que forma o raio co espello horizontal, o ángulo con que sae o raio reflectido no espello vertical respecto á horizontal, tamén vale α. r Cúmprese que: β = π α i = -β = -α α i 1 r 1 i β r = - i = α CUESTIÓN PRÁCTICA: Que influencia teñen na medida experimental de g cun péndulo simple, as seguintes variables: a) A masa b) O número de oscilacións c) A amplitude das oscilacións? A medida experimental de g baséase na medida de tempos dun número de oscilacións para calcular o período do péndulo, e, a partir da ecuación, calcular o valor de g. a) Ningunha, A expresión do período T dun péndulo de lonxitude l é: T = l g onde g é a aceleración da gravidade. A masa non aparece na expresión e non afecta ao valor do período. b) Ningunha.
É conveniente que o número de oscilacións sexa da orden de 10 ou 0 para aumentar a precisión da medida. c) Ningunha. Considérase que o comportamento pódese tomar como harmónico para ángulos menores de 15º. Sempre que as amplitudes sexan pequenas non influirán na medida de g. Cuestións e problemas das Probas de Acceso á Universidade (P.A.U.) en Galicia. Respostas e composición de Alfonso J. Barbadillo Marán, alfbar@bigfoot.com Algunhas ecuacións construíronse coas macros da extensión CLC09 de Charles Lalanne-Cassou. A tradución ao/desde o galego realizouse coa axuda de traducindote, de Óscar ermida López. Algúns cálculos fixéronse cunha folla de cálculo OpenOffice (ou LibreOffice) feita por Alfonso J. Barbadillo Marán.