Oove teorije uzoraka
Oove teorije uzoraka UZORAK: lučaji, reprezetativi dio oovog kupa populacije Uzorci: 1.uzorak:,, 1 1.uzorak:,, i.uzorak:,, i i
Razdioba aritmetičke redie uzorka f ( ) f ( ) razdioba aritmetičke redie uzorka oovi kup oovi kup: N E ( ) ; 0 1, aritm. redia uzorka: N E ( ) ; 3 4 6 5 Rapo oovog kupa
Nepritrae procjee parametara oovog kupa Pojam epritrae procjee: eka varijabla epritrao procjejuje parametar oovog kupa Θ ako vrijedi: E( ) E( ) E( ) E( ) E ( ) 0 0 dakle: uzorka epritrao procjejuje očekivaja o. kupa dakle: varijaca uzorka ije epritraa procjea varijace oovog kupa dakle: varijabla epritrao procjejuje 1 varijacu oovog kupa
Stadarda pogreška aritmetičke redie uzorka Pomoću varijable određuje e 0 0 tadarda pogreška ar. redie VAŽNO: i1 ( ) i 1 k = ( 1)... broj tupjeva lobode uzorka od podataka
f( ) Itervala procjea očekivaja oovog kupa iterval povjereja (vjerodotojoti) f(z) 1 1 3 1 0 1 3 z z z z (1 ) 1 f ( z) e z 1 z varijabla tadardizirae ormale razdiobe
Važo: Veliki uzorci: > 30 elemeata, podataka vrijedot varijable z iz tadardizirae ormale razdiobe Mali uzorci: 30 elemeata, podataka korititi Studetovu t-razdiobu f(t) N0,1 Studetova t-razdioba a k = 1 tupaj lobode Studetova t-razdioba imetriča za velike uzorke e e razlikuje od ormale razdiobe t
Koačo: Za velike uzorke Korititi tadardizirau (jediiču) ormalu razdiobu Za male uzorke Korititi Studetovu t- razdiobu parametrom k = 1 z z ( ) (1 ) t ( k ; t ) ( k ;1 ) z... varijabla N 0,1 t... varijabla Studetove t-razdiobe
Primjer: Podaci utvrđei u ekom proceu: 5.1, 49.0, 51.4, 50.0, 50.3, 49.6, 50.6, 50.8, 51.0, 51.7 Itervalo procijeiti očekivaje oovog kupa iz kojeg potječe uzorak, uz iterval vjerodotojoti 1 = 0,95 (95%) Rezultati dobivei račuajem, iz uzorka: = 10; = 50,65; = 0.96 t( ) t(1 ) 0.96 0.96 50.65.6 50.65.6 10 10 49.96 51.34 uz P 0,95 (95%)
Opaka U lučaju kada je pozata tadarda devijacija oovog kupa, ije užo korišteje Studetove t-razdiobe kao i epritrae procjee tadarde pogreške U tom je lučaju: z( ) z(1 ) Za prethodi primjer: ako prihvatimo da je tadarda devijacija oovog kupa 1 1 50.65 1.96 50.65 1.96 10 10 50.03 51.7 uz P 0,95 (95%) 1, lijedi:
Itervala procjea proporcija Uzorkovaje ekog dvolojog oovog kupa (populacije) u kojem eki događaj ima proporciju P rezultiralo bi lučajom varijablom p, tj. proporcijom itog događaja ali u uzorku: f( p) N E( p) P; p Vrijedi: p z P p z ( ) p (1 ) uz povjereje (vjerodotojot) procjee (1 ) p 1 P p p1 p
Važe pretpotavke: proporcija uzorka p N E( p) P; p p... epritraa procjea tadarde pogreške proporcije p q uzorka: p, q 1 p... veličia uzorka VRIJEDI SAMO ZA VELIKE UZORKE ( 100) ( )
Itervala procjea varijace Varijace (oobito malih) uzoraka e raipaju e ormalo oko varijace oovog kupa Vrijedi (K. Pearo, 1857. 1936.) f ( ) ( i ) varijabla raipa e prema razdiobi k = 1 tupaj lobode k = 1 k = 5 k = 10 i1 0 i1 0 k = 15 E ( ) k k = 1 ( ) (1 ) 0 uz vjerojatot (1 ) 1 0 ( ) (1 )
Koačo:, uz raziu povjereja (1 ) 0 (1 ) ( )
Tetiraje tatitičkih hipoteza T.S.H. predtavlja potupak doošeja odluke a bazi uzorka uzorak, podataka: 1,,..., rezultati e uzorka mogu hvatiti kao točka u -dimezioalom protoru protor e može podijeliti a dva međuobo dijukta dijela (koji e iključuju), dio A i dio B dio B (odbacivaje H 0 ) U praki: umjeto -dimezioalog modela lužimo e jedodimezioalim varijablama (uglavom). dio A (prihvaćaje H 0 )
Potavimo dvije hipoteze H 0 : ulta hipoteza H 1 : alterativa hipoteza Ako e točka T kao realizacija uzorka ađe u dijelu A, matramo hipotezu H 0 ipravom i prihvaćamo je Ako e točka T kao realizacija uzorka ađe u dijelu B, matramo hipotezu H 0 eipravom i odbacujemo je dio B (odbacivaje H 0 ) dio A (prihvaćaje H 0 )
Pogreške pri tetiraju hipoteza Očito: pri uporabi opiaog modela moguće u pogreške Uzrok pogrešaka: lučajot odabira elemeata uzorka! Vrte pogrešaka: Pogreška 1. vrte ataje odbacivajem ulte hipoteze H 0 (i prihvaćajem alterative hipoteze H 1 ) iako je hipoteza H 0 iprava: Vjerojatot pogreške 1. vrte: P T B H 0 POGREŠNO ODBACIVANJE HIPOTEZE Ho Pogreška. vrte ataje prihvaćajem hipoteze H 0 u uvjetima ipravoti alterative hipoteze H 1 Vjerojatot pogreške. vrte: P T A H 1 POGREŠNO PRIHVAĆANJE HIPOTEZE Ho
Jakot teta Jakot (moć) teta predtavlja vjerojatot odbacivaja ulte hipoteze kada je uitiu eiprava: p PT B H 1 očito: + p = 1 p = 1 ISPRAVNO ODBACIVANJE H o
Hipoteza Ho ISTINITA Staje NEISTINITA O D L Odbaciti Pogreška 1. vrte ISPRAVNO U K A Prihvatiti ISPRAVNO Pogreška. vrte
Tetiraje hipoteza za očekivaje Uzorak oovi kup, hipoteze Razdioba aritmetičke redie uzorka f( ) Studetova razdioba k = 1 t. lob. Hipoteze: H H H H 0 1 1 1 : : dvotrai tet : jedotrai : tetovi f() t 1 1 Pogoda jedodimezioala varijabla: t... varijabla Studetove t-razdiobe, k = 1 tup. lobode k = 1 1 t t Ako je rač. 0 odbaciti Ho, uz vjerojatot pogreške 1. vrte t 0 0 t 0 t
Primjer: Podaci iz primjera za itervalu procjeu očekivaja = 10; = 50.65; = 0.96; Provjeriti hipotezu da je riječ o podacima kupa čije je očekivaje 51.5 jediica, aprama alterativoj hipotezi Vjerojatot pogreške 1. vrte eka izoi 0.05 ( = 0.05) f() t 51.5 H : 51.5 H : 51.5 ( 51.5) 0 1 0.05 t rač. 50.65 51.50 0.85 0.96 0.3036 10.7997 Zaključak: t rač..7997 t 0 1.833 0 t t t ODBACITI H rač. 0 0
Provjera hipoteza uzorak uzorak 1. kup: očekivaje 1, varijaca 01 1. uzorak: 1 podataka,. kup: očekivaje, varijaca 0 Hipoteze:. uzorak: podataka, H H H H : 0 1 : 1 1 : 1 1 : 1 1 f( 1 ) f( ),, 1 1 1,, 1 1,
aritmetička redia vakog od uzoraka raipat će e oko očekivaja kupa iz kojeg uzorak potječe jihova razlika d 1 raipat će e oko veličie pretpotavimo li da je hipoteza Ho itiita, 1, D 1 varijabla d će e raipati oko 0. f( d) 0 d
pri tome je tadarda pogreška varijable d: d 1 1... za uzorke 1 + 30 d ( 1) ( 1) 1 1 1 1 1... za uzorke 1 + > 30, i ako e 1 i zato razlikuju varijabla pogoda za tetiraje ulte hipoteze: f() t k = 1 + t rač. 1 d... varijabla Studetove t-razdiobe k = 1 +.. Ako trač. t0 odbaciti Ho, uz vjerojatot pogreške 1. vrte. t 0 0 t 0 t
Tetiraje hipoteza za proporcije (atributive podatke) lučaj: uzorak o. kup oovi dvoloji kup proporcijom P elemeta a vojtvom A. uzorak elemeata proporcijom p važo: E(p) = P raipaje proporcije p oko proporcije P ima tadardu pogrešku: p p q lučaj: uzorak uzorak oovi kupovi 1. kup, proporcije P 1. kup, proporcije P uzorci 1 pod., proporcija p 1 pod., proporcija p ulta hipoteza: alterativa hip.: H : P P 0 1 H : P P 1 1 H : P P 1 1 H : P P 1
varijabla za tetiraje hipoteze Ho : P z p P p var. razdiobe N Vrijedi amo za VELIKE uzorke tj. 100 0,1 razlika d = p 1 p raipa e oko E(d) = 0, ako pretpotavimo itiitot ulte hipoteze varijabla pogoda za tetiraje ulte hipoteze: z p 1 d p d p (1 p) p p p 1 1 1 1 1 Zaključak: Ako zrač. z( ) ODBACITI Ho
Uporedba (tetiraje) varijaci 1. Oovi kup: očekivaje 1, varijaca 01 epritraa procjea varijace. Oovi kup: očekivaje, varijaca 0 epritraa procjea varijace Nulta hipoteza: H : aprama alterativoj H 0 01 0 : 1 01 0 1 Varijabla F varijabla F-razdiobe k b = 1 1.. i k = 1.. 1
f( F) Ako: F rač. > F 0 odbaciti Ho 1 k b ; k Kovecija: 1 Tipičo: = 0.05; 0.01 F 0 F F-razdioba: utemeljio G. Sedecor (1881. 1934.) Naziv F-razdioba u čat R. Fihera (1890. 196.) VAŽNO: Svakom tetu aritmetičkih redia mora prethoditi provjera začajoti razlika među varijacama