Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Transcript

1 Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za svaki niz n ) iz D n 0 ) koji konvergira prema 0, niz funkcijskih vrijednosti f n )) konvergira prema L. Pomoću navedenih definicija i pravila za ese nizova realnih brojeva može se pokazati da vrijede sljedeća pravila za računanje s esima funkcija u točki: ) f ) ± g )) = f ) ± g ), ) f ) g )) = f ) g ), f ) f ) 3) g ) = g ), Nadalje, vrijede sljedeći važni esi: = 0, 0 g ) 0. sin =, + α ) β = e αβ, α, β R, + α) β = e αβ, α, β R. 0 Zadatak. Ispitajte postoji li es funkcije f : R R, zadane formulom f) = 3 u točki 0 =. Rješenje. Neka je n ) bilo koji niz takav da n. Tada je f n ) = 3 n 3, pa je f ) = 3. Niz n ) koji konvergira prema možemo izabrati na tri različita načina: i) tako da njegovi članovi slijeva teže prema, kao što je primjerice niz n :, 4 5, 9 0, n n +, ) ii) tako da njegovi članovi zdesna teže prema, kao što je primjerice niz n :, 5 4, 0 9, n + n, )

2 iii) tako da njegovi članovi teže prema malo slijeva - malo zdesna, kao što je primjerice niz n : 0, 5 4, 8 9, 7 6, + )n n, 3) Nizovi funkcijskih vrijednosti u sva tri slučaja teže prema 3: i) 3, 5, 7 0, 3n n +, 3 ii) 6, 5 4, 30 9, 3n + 3 n, 3 iii) 0, 5 4, 4 9, 5 6, 3 + )n 3 n, 3. Zadatak. Ispitajte postoji li es funkcije f : R R, zadane formulom f) = točki 0 =. Rješenje. Neka je n ) niz realnih brojeva takav da n. {, 4, > u i) Ako članovi niza n ) slijeva teže prema, primjerice kao niz ), za odgovarajući niz funkcijskih vrijednosti vrijedi f n ). ii) Ako članovi niza n ) zdesna teže prema, primjerice kao niz ), za odgovarajući niz funkcijskih vrijednosti vrijedi f n ) 4. iii) Ako članovi niza n ) teže prema malo slijeva - malo zdesna, primjerice kao niz 3), odgovarajući niz funkcijskih vrijednosti ima dva gomilišta to su i 4) te stoga niz divergira. Zaključujemo da f) ne postoji. Zadatak 3. Izračunajte ese: a) 4 3 b) 9 9 c) + 3 Rješenje. a) Nakon uvrštavanja = funkcija u brojniku i funkcija u nazivniku poprimaju vrijednost nula, pa je zadani es neodredenog oblika 0 0). Kako su obje funkcije polinomi njihovim rastavljanjem na faktore dobivamo i u brojniku i u nazivniku ). ) + ) = 4 ) + ) = + + = 3 4. b) Zadani es je neodredenog oblika 0 0), stoga ćemo funkciju pod znakom esa malo preurediti = 9 3 3) + 3) = = 6.

3 c) Iz istog razloga, kao u prethodnim primjerima, preuredimo funkciju pod znakom esa + 3 = + 3 = = = ) ) Zadatak 4. Izračunajte ese: a) ) + 3 b) ) Rješenje. a) Kako je dani es neodredenog oblika ) transformacijom izraza u zagradi dobivamo ) + 3 = ) ) = = = 0. b) Zadani es je neodredenog oblika ), stoga ćemo funkciju pod znakom esa malo preurediti ) = + 3 ) ) + 5 ) = = = Zadatak 5. Izračunajte ese: tg a) 0 b) 0 cos 4 c) 0 5 arcsin 7 = =

4 Rješenje. Najprije treba transformirati funkcije pod znakom esa tako da možemo primjeniti sin 0 =. a) Primjenom formule tg = sin cos dobivamo tg sin 0 = 0 cos ) ) sin = 0 cos b) Primjenom formule sin = cos ) dobivamo cos sin 0 4 = 0 4 = sin 0 = 0 4 sin = 0 0 sin ) = 8 0 cos = =. sin ) = 8. c) Supstitucijom arcsin = t dobivamo arcsin = t 5 arcsin = t 0 Zadatak 6. Izračunajte ese: + 3 a) b) 0 e ) = t 0 5t 7 sin t = 5 7 t 0 sin t t = 5 7. Rješenje. Najprije treba transformirati funkcije pod znakom esa tako da možemo primijeniti + α ) β = e αβ, α, β R. a) Podjeo izraz u brojniku i nazivniku s, pa dobivamo ) + 3 = + 3 ) ) = e 6 e = e 8. b) Supstitucijom e = t i primjenom svojstava logaritamske funkcije dobivamo e e = t = 0, t 0 t = 0 t 0 ln t + ) = t 0 = ln t + ) t ln t + ) = ln t + ) t t 0 [ ] Kako za logaritamsku funkciju vrijedi [ln f )] = ln f ), slijedi a a t 0 ln t + ) t 4 = ln t 0 t + ) t

5 Supstitucijom u = /t transformiramo funkciju pod znakom esa u = t = t 0 = ) ln t + ) t t 0 u ln + u = ln e =. u u Zadatak 7. Za funkciju f : R \ {0} R zadanu formulom f) = e a) 0 f ) izračunajte: b) 0+ f ) c) d) f ) f ) + Rješenje. Kako za eksponencijalnu funkciju vrijedi e f) = e f) a, možemo lako a izačunati tražene ese. a) f ) = e = e 0 = e = b) f ) = e c) d) f ) = e f ) = e + + = e 0+ = e + = +. = e = e 0 =. = e + = e 0 =. Asimptote funkcije Pravac y = k + l nazivamo desna kosa asimptota funkcije f : R R, ako vrijedi f) k + l)) = 0. + Koeficijenti k i l desne kose asimptote iznose: k = f) +, l = f) k). + Pravac y = k + l nazivamo lijeva kosa asimptota funkcije f : R R, ako vrijedi f) k + l)) = 0. Koeficijenti k i l lijeve kose asimptote iznose: k = f), l = f) k). Specijalno, za k = 0 pravac y = l nazivamo horizontalna asimptota. Pravac = a je vertikalna asimptota funkcije f ako vrijedi f) = ± ili f) = ±. a a+ 5

6 Zadatak. Odredite asimptote funkcije f) = +. Rješenje. Kako je područje definicije funkcije f skup R\{ }, vertikalna asimptota se može nalaziti samo u točki =, pa računamo es slijeva i zdesna u toj točki. + Dakle, pravac = je vertikalna asimptota. + =, + = Slika : Graf funkcije, kosa i vertikalna asimptota Sada računamo koeficijente k i l kose asimptote, gdje je k koeficijent smjera, a l njen odsječak na y-osi: f) k = ± = ± l = [f) k] = ± + ) =, [ ] + ± = ± + =. Stoga je pravac y = obostrana kosa asimptota, pa funkcija f nema horizontalnih asimptota. Na Slici. crvenom bojom prikazan je graf funkcije f, narančastom bojom vertikalna asimptota dok je plavom bojom prikazana kosa asimptota. Zadatak. Odredite asimptote funkcije f) = + 3. Rješenje. Domena funkcije f je skup R\{0, }, pa se vertikalne asimptote mogu nalaziti samo u točkama = 0 i =. Limesi slijeva i zdesna u tim točkama iznose = +, + 3 =, =, = +. 6

7 Slika : Graf funkcije, horizontalna i vertikalne asimptote Stoga su pravaci = 0 i = vertikalne asimptote funkcije. Kako koeficijenti k i l kose asimptote iznose f) k = ± = + 3 ± ) = 0, l = [f) k] = + 3 ± ± =, funkcija f nema kosu asimptotu, a pravac y = je horizontalna asimptota. Na Slici. crvenom bojom prikazan je graf funkcije f, narančastom bojom vertikalne asimptota dok je plavom bojom prikazana horizontalna asimptota. Zadatak 3. Odredite asimptote funkcije f) = e. Rješenje. Domena funkcije f je skup R\{0}, pa se vertikalna asimptota može nalaziti samo u točki = 0. Kako je 0 0+ pravac = 0 je vertikalna asimptota funkcije. Koeficijenti k i l kose asimptote iznose ) e = 0, ) e =, f) k = ± = e ± l = [f) k] = ± ± e = ± ) e + ) =, = ± e =. 7

8 Slika 3: Graf funkcije, kosa i vertikalna asimptota Stoga je pravac y = + obostrana kosa asimptota, pa funkcija f nema horizontalnih asimptota. Na Slici 3. crvenom bojom prikazan je graf funkcije f, narančastom bojom vertikalna asimptota dok je plavom bojom prikazana kosa asimptota. Neprekidnost funkcije Funkcija f : a, b) R je neprekidna u točki 0 a, b) ako ima es u točki 0 koji je jednak f 0 ), odnosno ako je f ) = f ) = f 0). + Funkcija f : a, b) R je neprekidna na intervalu a, b) ako je neprekidna u svakoj točki intervala. Zadatak. Neka je funkcija f : R R zadana formulom { +, < f) =,. Odredite točke prekida. Rješenje. Računamo es slijeva i zdesna u točki 0 = f ) = + ) = 4, f ) = ) = Kako je točka 0 = je točka prekida. Na Slici 4. prikazan je graf funkcije f. f ) f ) + 8

9 Slika 4: Graf funkcije f Zadatak. Neka je funkcija f : R R zadana formulom +, f) = 4, =. Da li je f neprekidna u točki 0 =? Rješenje. Funkcija f nije neprekidna u točki 0 =, vrijedi ali + ) + ) f ) = = = 3, + ) + ) f ) = = = 3, f ) = 4. Na Slici 5. prikazan je graf funkcije f. Zadatak 3. Odredite parametar a tako da funkcija { 9 f) =, 3 + a, > 3. bude neprekidna. Rješenje. Kako je funkcija f zadana po dijelovima pomoću neprekidih funkcija, možemo zaključiti da je f neprekidna na skupu R\{3}. Treba odrediti konstantu a tako da f bude neprekidna u točki 0 = 3, odnosno da vrijedi Za danu funkciju f vrijedi f ) = f ) = f 0). 4) + f ) = ) = 0, 3+ f ) = 3+ f 3) = a) = 3 + a,

10 Slika 5: Graf funkcije f Uvrstimo li dobivene rezultate u 4) slijedi odnosno a = 3. Zadatak 4. Odredite parametar a tako da funkcija bude neprekidna. a + 3 = 0, sin f) =, < 0 + a, 0. Rješenje. Sličnim razmatranjem kao u prethodnom zadatku, odredimo konstantu a tako da funkcija f bude neprekidna u točki 0 = 0. Kako je iz 4) slijedi a =. f ) 0 = sin 0 =, f ) 0+ = 0+ + a) = a, f 0) = a, 0