KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.

Transcript

1 KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa grupoid se zove semigrupa (N, +), (Z, +), (R, +) su komutativi i asocijativi, (N, ), (Z, ), (R, ) su komutativi i asocijativi, (P(S), ), (P(S), ) su komutativi i asocijativi, (M (R), +) komutativa i asocijativa, (M (R), ) asocijativa i ekomutativa (gde je M (R) skup kvadratih matrica reda ad poljem realih brojeva), (S S, ) asocijativa i ekomutativa Elemet e L grupoida (G, ) je levi eutrali (jediiči) akko važi ( x G) e L x = x Elemet e D grupoida (G, ) je desi eutrali (jediiči) akko važi ( x G) x e D = x Elemet e grupoida (G, ) je eutrali (jediiči) akko je levi i desi eutrali, tj akko važi ( x G) x e = x, e x = x (N, +), ema; (Z, +), e = 0; (Z, + ), e = 0; (Q, ), e = 1; (Z, ), e = 1; (P(S), ), e = ; (P(S), ), e = S; (S S, ), e = 1 S, gde 1 S : S S, 1 S (x) = x (idetičko preslikavaje skupa S); a b c a c a b, e b a b c L = b, e D ema; c a a b a c b a b b a d b c c a b c d d b c d b, e = c Neka je (G, ) grupoid i a G Preslikavaje L a : G G defiisao sa L a (x) = a x, x G, se zove leva traslacija grupoida G za elemet a 1 Na skupu R defiisae su operacije i a sledeći ači x y = x 3 + y 3, x y = x Ispitati komutativost i asocijativost ovih operacija

2 2 2 Na skupu S = {(a, b) a, b Z} defiisaa je operacija (a, b) (c, d) = (ac, bc + d) Ispitati komutativost i asocijativost ove operacije 3 Dokazati da su grupoidi (Z, + ), (Z, + ), (Z, ), (Z, ) komutativi i asocijativi 4 Ispitati da li su sledeći grupoidi komutativi i asocijativi: a b c a a b c b b c a c c a b a b c d b b c d b c c d b c d d b c d b 5 Neka je (G, ) komutativa (asocijativa) grupoid Dokazati: Svaki podgrupoid datog grupoida je komutativa (asocijativa) (b) Ako je kogruecija grupoida (G, ) oda je grupoid (G/, ) takod e komutativa (asocijativa) (operacija je defiisaa sa C a C b = C a b ) (c) Homomorfa slika datog grupoida je takod e komutativa (asocijativa) grupoid 6 Ako eki grupoid ima levi i desi eutrali oda su oi jedaki Dokazati 7 Grupoid može imati ajviše jeda eutrali elemet Dokazati 8 Ako grupoid (G, ) ima eutrali e i ako je kogruecija grupoida G oda je C e eutrali grupoida (G/, ) 9 Neka je (H, ) homomorfa slika grupoida (G, ) Ako grupoid G ima eutrali oda ga ima i grupoid H Dokazati KVAZIGRUPA Grupoid (G, ) je kvazigrupa ako i samo ako za svako a, b G jedačie a x = b i y a = b imaju jedistvea rešeja (po x i po y), tj važi ( a, b G)( 1 x G)( 1 y G) (a x = b, y a = b) (Z, +), (Q, +), (R, +) su kvazigrupe, ) (N, +) ije kvazigrupa (a primer 3 + x = 1 ema rešeje), (Z, ) ije kvazigrupa (a primer 2 x = 1 ema rešeje), (Q, ) ije kvazigrupa (0 x = 1 ema rešeje), (Q \ {0}, ) je kvazigrupa

3 3 1 Ispitati da li je (R, ) kvazigrupa, ako je R skup realih brojeva, a operacija defiisaa a sledeći ači: x y = ax + by + c, a, b, c R, ab 0 (b) x y = x y, (c) x y = 3 x + 3 y, (d) x y = x 2 + y 2, (e) x y = x 3 + x + 3y 2 Koji od sledećih grupoida su kvazigrupe: a a a a a b b b b b c c c c c d d d d d b a c b d c b d a c d c a d a? 3 Pokazati da u svakoj kvazigrupi važe zakoi kacelacije (skraćivaja) Primerom pokazati da obruto e mora da važi, tj da grupoid u kome važe zakoi kacelacije e mora biti kvazigrupa 4 Dokazati da u (Z 6, 6) e važe zakoi kacelacije 5 Neka je (G, ) koača komutativa kvazigrupa Pokazati da jedačia x x = a ima rešeje za svako a G ako i samo ako je broj elemeata skupa G epara SEMIGRUPA Asocijativa grupoid se zove semigrupa Za a 1,, a G defiišemo a 1 a iduktivo (po ): za = 1: a 1 = a 1, za +1: a 1 a +1 = (a 1 a ) a +1,(pod pretpostavkom da je defiisao a 1 a ) Specijalo, za a 1 = = a = a proizvod a a }{{} i ozačava sa a se zove -ti stepe elemeta a Napomea: Ako je semigrupa aditiva (G, +), oda se -ti stepe elemeta a G obeležava sa a = a } + {{ + a } Teorema (uopštei asocijativi zako) Neka je (G, ) semigrupa, N i a 1,, a G Tada za svako k < važi a 1 a = (a 1 a k ) (a k+1 a )

4 4 Posledica Neka je (G, ) semigrupa, m, N i a G Tada važi: (1) a m a = a m+, (2) (a m ) = a m (u aditivoj otaciji: (1) ma + a = (m + )a, (2) (ma) = (m)a) Semigrupa (G, ) je cikliča sa geeratorom a ako je svaki je elemet stepe elemeta a, tj važi G = {a N} Tada pišemo G = a (N, +) = 1 = {1, 2 = 1 + 1, 3 = , }; (Z, + ) = 1 = {1, 2 = 1 + 1,, 1 = , 0 = 1 + }{{} + 1} }{{} 1 1 Neka je f : G H homomorfizam semigrupe (G, ) u semigrupu (H, ) Dokazati da za svako a G i svako N važi f(a ) = (f) 2 Neka je N i (G, ) komutativa semigrupa Dokazati da je preslikavaje f : G G, f(x) = x edomorfizam semigrupe G 3 Pokazati da su dve beskoače cikliče semigrupe izomorfe 4 Ako je semigrupa (S, ) bez jediice, proširiti S i tako da ovi grupoid bude semigrupa sa jediicom (mooid) 5 Neka je (G, ) semigrupa i L = {L a a G} skup levih traslacija grupoida G Pokazati: (1) (L, ) je semigrupa, (2) Preslikavaje φ : G L, dato sa φ = L a je homomorfizam semigrupe (G, ) u semigrupu (L, ) 6 Svaka semigrupa je izomorfa ekoj semigrupi preslikavaja 7 Odrediti semigrupe preslikavaja izomorfe sledećim semigrupama b b a d c c c d a b d d c b a b a b c d c a b c d d a b c d a a a a a b b b b b c c c c c d d d d d 8 Koristeći Kejlijevu teoremu za semigrupe ispitati da li su sledeći grupoidi semigrupe: b b a d c c c d a b d d c b a

5 5 9 Pokazati da u svakoj koačoj semigrupi postoji idempoteta elemet (b) Cikliča semigrupa je koača akko sadrži idempoteta elemet MONOID Semigrupa sa eutralim elemetom se zove mooid Elemet a mooida (G,, e) je iverzibila sleva akko jedačia x a = e ima bar jedo rešeje u skupu G Svako takvo rešeje se zove levi iverz od a Elemet a mooida (G,, e) je iverzibila zdesa akko jedačia a y = e ima bar jedo rešeje u skupu G Svako takvo rešeje se zove desi iverz od a Elemet a mooida (G,, e) je iverzibila akko je iverzibila sleva i zdesa Tada su jegov levi i desi iverz jedistvei i jedaki i taj elemet se obeležava sa a 1 i zove iverz od a Dakle, to je jedii elemet za koji važi a a 1 = e, a 1 a = e 1 Ako je elemet a mooida (G,, e) iverzibila sleva i zdesa tada su jegov levi i desi iverzi jedistvei i jedaki Dokazati 2 Ako su elemeti a i b mooida (G,, e) iverzibili, oda su iverzibili i a 1, b 1 i a b i važi (a 1 ) 1 = a i (a b) 1 = b 1 a 1 3 Odrediti iverzibile elemete u mooidima (Z, +, 0), (Q, +, 0), (R, +, 0); (b) (N,, 1), (Z,, 1), (Q,, 1); (c) (Z, +, 0), (Z,, 1); (d) (M (R), +, 0), (M (R),, I ); (e) (P(S),, ), (P(S),, S); (f) (S S,, 1 S )